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1.2: Volumen der Rotationskörper - zylindrische Schalen

1.2: Volumen der Rotationskörper - zylindrische Schalen



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In diesem Abschnitt untersuchen wir die Methode der zylindrischen Schalen, die letzte Methode zur Bestimmung des Volumens eines Rotationskörpers. Mit der Methode der zylindrischen Schalen integrieren wir entlang der Koordinate Achse senkrecht zur Rotationsachse. Im letzten Teil dieses Abschnitts besprechen wir alle Methoden zur Ermittlung des Volumens, die wir untersucht haben, und geben einige Richtlinien an, die Ihnen bei der Entscheidung helfen, welche Methode Sie in einer bestimmten Situation verwenden sollten.

Die Methode der zylindrischen Schalen

Auch hier arbeiten wir mit einer soliden Revolution. Wie zuvor definieren wir eine Region (R), die oben durch den Graphen einer Funktion (y=f(x)) begrenzt ist, unten durch die x-Achse, und links und rechts durch die Linien (x=a) bzw. (x=b), wie in Abbildung (PageIndex{1a}) gezeigt. Wir drehen dann diese Region um die ja-Achse, wie in Abbildung (PageIndex{1b}) gezeigt. Beachten Sie, dass sich dies von dem unterscheidet, was wir zuvor getan haben. Früher drehten sich Regionen, die durch Funktionen von (x) definiert wurden, um die x-Achse oder eine Linie parallel dazu.

Partitionieren Sie wie schon oft zuvor das Intervall ([a,b]) mit einer regulären Partition, (P={x_0,x_1,…,x_n}) und für (i=1,2 ,…,n), wählen Sie einen Punkt (x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]). Dann konstruiere ein Rechteck über dem Intervall ([x_{i−1},x_i]) von Höhe (f(x^∗_i)) und Breite (Δx). Ein repräsentatives Rechteck ist in Abbildung (PageIndex{2a}) dargestellt. Wenn dieses Rechteck um den . gedreht wird ja-Achse, statt einer Scheibe oder einer Unterlegscheibe erhalten wir eine zylindrische Schale, wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Um das Volumen dieser Schale zu berechnen, betrachten Sie Abbildung (PageIndex{3}).

Die Schale ist ein Zylinder, daher ist ihr Volumen die Querschnittsfläche multipliziert mit der Höhe des Zylinders. Die Querschnitte sind Ringe (ringförmige Bereiche – im Wesentlichen Kreise mit einem Loch in der Mitte), mit Außenradius (x_i) und Innenradius (x_{i−1}). Somit ist die Querschnittsfläche (πx^2_i−πx^2_{i−1}). Die Höhe des Zylinders ist (f(x^∗_i).) Dann ist das Volumen der Schale

[ egin{align*} V_{shell}&=f(x^∗_i)(πx^2_{i}−πx^2_{i−1}) [5pt] &=πf(x^∗ _i)(x^2_i−x^2_{i−1}) [5pt] &=πf(x^∗_i)(x_i+x_{i−1})(x_i−x_{i−1}) [5pt] &=2πf(x^∗_i)(dfrac {x_i+x_{i−1}}{2})(x_i−x_{i−1}). end{ausrichten*}]

Beachte, dass (x_i−x_{i−1}=Δx,) also gilt

[V_{Schale}=2πf(x^∗_i)(dfrac {x_i+x_{i−1}}{2})Δx.]

Außerdem ist (dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}) sowohl der Mittelpunkt des Intervalls ([x_{i−1},x_i]) als auch der mittlere Radius der Schale, und wir können dies durch (x^∗_i) approximieren. Wir haben dann

[V_{Schale}≈2πf(x^∗_i)x^∗_iΔx.]

Eine andere Möglichkeit, sich dies vorzustellen, besteht darin, einen vertikalen Schnitt in die Schale zu machen und sie dann zu öffnen, um eine flache Platte zu bilden (Abbildung (PageIndex{4})).

In Wirklichkeit ist der Außenradius der Schale größer als der Innenradius, und daher wäre die Hinterkante der Platte etwas länger als die Vorderkante der Platte. Wir können die abgeflachte Schale jedoch durch eine flache Platte der Höhe (f(x^∗_i)), der Breite (2πx^∗_i) und der Dicke (Δx) annähern (Abbildung). Das Volumen der Schale entspricht dann ungefähr dem Volumen der flachen Platte. Wenn wir die Höhe, Breite und Tiefe der Platte multiplizieren, erhalten wir

[V_{Schale}≈f(x^∗_i)(2πx^∗_i)Δx,]

Das ist die gleiche Formel, die wir vorher hatten.

Um das Volumen des gesamten Festkörpers zu berechnen, addieren wir dann die Volumina aller Schalen und erhalten

[V≈sum_{i=1}^n(2πx^∗_if(x^∗_i)Δx).]

Hier haben wir eine weitere Riemann-Summe, diesmal für die Funktion (2πxf(x).) Wenn wir den Grenzwert als (n→∞) nehmen, erhalten wir

[V=lim_{n→∞}sum_{i=1}^n(2πx^∗_if(x^∗_i)Δx)=int ^b_a(2πxf(x))dx.]

Dies führt zu der folgenden Regel für die Methode der zylindrischen Schalen.

Regel: Die Methode der zylindrischen Schalen

Sei (f(x)) stetig und nichtnegativ. Definiere (R) als den oben durch den Graphen von (f(x)) begrenzten Bereich, unten durch den x-Achse, links durch die Linie (x=a) und rechts durch die Linie (x=b). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation von (R) um den ja-Achse ist gegeben durch

[V=int ^b_a(2πxf(x))dx.]

Betrachten wir nun ein Beispiel.

Beispiel (PageIndex{1}): Die Methode der zylindrischen Schalen I

Definiere (R) als den Bereich, der oben durch den Graphen von (f(x)=1/x) und unten durch den x-Achse über das Intervall ([1,3]). Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die (y-Achse) gebildet wird.

Lösung

Zuerst müssen wir den Bereich (R) und den zugehörigen Rotationskörper graphisch darstellen, wie in Abbildung (PageIndex{5}) gezeigt.

Dann ist das Volumen des Festkörpers gegeben durch

[ egin{align*} V&=int ^b_a(2πxf(x))dx &=int ^3_1(2πx(dfrac {1}{x}))dx &=int ^ 3_12π,dx&=2πx|^3_1=4π,Einheiten^3. end{ausrichten*}]

Abbildung (PageIndex{5}): (c)Das interaktive Diagramm mit CalcPlot3D

Übung (PageIndex{1})

Definiere R als die Region, die oben durch den Graphen von (f(x)=x^2) und unten durch die x-Achse über dem Intervall ([1,2]) begrenzt wird. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die (y-Achse) gebildet wird.

Hinweis

Verwenden Sie das Verfahren aus Beispiel (PageIndex{1}).

Antworten

[dfrac{15π}{2} Einheiten^3 onumber]

Beispiel (PageIndex{2}): Die Methode der zylindrischen Schalen II

Definiere (R) als den Bereich, der oben durch den Graphen von (f(x)=2x−x^2) und unten durch die x-Achse über dem Intervall ([0,2]) begrenzt wird. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um den gebildet wird y-Achse.

Lösung

Zeichnen Sie zunächst die Region (R) und den zugehörigen Rotationskörper, wie in Abbildung (PageIndex{6}) gezeigt.

Dann ist das Volumen des Festkörpers gegeben durch

[egin{align*} V &=int ^b_a(2πxf(x))dx &=int ^2_0(2πx(2x−x^2))dx &= 2πint ^2_0 (2x^2−x^3)dx &=2π links. left[dfrac {2x^3}{3}−dfrac {x^4}{4} ight] ight|^2_0 &=dfrac {8π}{3}Einheiten^3 end{ ausrichten*}]

Übung (PageIndex{2})

Definiere (R) als die Region, die oben durch den Graphen von (f(x)=3x−x^2) und unten durch die (x-Achse) über dem Intervall ([0,2] ). Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die (y-Achse) gebildet wird.

Hinweis

Verwenden Sie den Prozess aus Beispiel (PageIndex{2}).

Antworten

(8π) Einheiten

Wie bei der Scheibenmethode und der Scheibenmethode können wir die Methode der zylindrischen Schalen mit Rotationskörpern verwenden, die um die (x-Achse,) gedreht werden, wenn wir in Bezug auf (y) integrieren wollen. Die analoge Regel für diese Art von Festkörpern ist hier gegeben.

Regel: Die Methode der zylindrischen Schalen für Rotationskörper um die x-Achse

Sei (g(y)) stetig und nichtnegativ. Definiere (Q) als den rechts durch den Graphen von (g(y)) begrenzten Bereich, links durch die (y-Achse), unten durch die Gerade (y=c) , und darüber durch die Zeile (y=d). Dann ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (Q) um die (x-Achse) entsteht, gegeben durch

[V=int ^d_c(2πyg(y))dy.]

Beispiel (PageIndex{3}): Die Methode der zylindrischen Schalen für einen um die x-Achse gedrehten Körper

Definiere (Q) als den Bereich, der rechts durch den Graphen von (g(y)=2sqrt{y}) und links durch die (y-Achse) für (y∈ .) begrenzt wird [0,4]). Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (Q) um die (x-Achse) entsteht.

Lösung

Zuerst müssen wir den Bereich (Q) und den zugehörigen Rotationskörper grafisch darstellen, wie in Abbildung (PageIndex{7}) gezeigt.

Beschriften Sie den schattierten Bereich mit (Q). Dann ist das Volumen des Festkörpers gegeben durch

[ egin{align*} V &=int ^d_c(2πyg(y))dy &=int ^4_0(2πy(2sqrt{y}))dy &=4πint ^ 4_0y^{3/2}dy &=4π[dfrac {2y^{5/2}}{5}]∣^4_0 &=dfrac {256π}{5}, Einheiten^3 end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{3})

Definiere (Q) als den Bereich, der rechts durch den Graphen von (g(y)=3/y) und links durch die (y-Achse) für (y∈[1, 3]). Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (Q) um die (x-Achse) entsteht.

Hinweis

Verwenden Sie den Prozess aus Beispiel (PageIndex{3}).

Antworten

(12π) Einheiten

Als nächstes Beispiel betrachten wir einen Rotationskörper, bei dem der Graph einer Funktion um eine andere Linie als eine der beiden Koordinatenachsen gedreht wird. Um dies einzurichten, müssen wir die Entwicklung der Methode der zylindrischen Schalen überdenken. Denken Sie daran, dass wir das Volumen einer der Schalen gefunden haben durch

[egin{align*} V_{shell}&=f(x^∗_i)(πx^2_i−πx^2_{i−1}) [5pt] &=πf(x^∗_i)( x^2_i−x^2_{i−1}) [5pt] &=πf(x^∗_i)(x_i+x_{i−1})(x_i−x_{i−1}) [ 5pt] &=2πf(x^∗_i)(dfrac {x_i+x_{i−1}}{2})(x_i−x_{i−1}).end{align*}]

Grundlage war eine Schale mit einem Außenradius von (x_i) und einem Innenradius von (x_{i−1}). Wenn wir jedoch die Region um eine andere Linie als die (y-Achse) drehen, haben wir einen anderen Außen- und Innenradius. Nehmen wir zum Beispiel an, dass wir den Bereich um die Gerade (x=−k,) drehen, wobei (k) eine positive Konstante ist. Dann ist der Außenradius der Schale (x_i+k) und der Innenradius der Schale (x_{i−1}+k). Setzen wir diese Terme in den Ausdruck für das Volumen ein, so sehen wir, dass bei Drehung einer ebenen Region um die Gerade (x=−k,) das Volumen einer Schale gegeben ist durch shell

[egin{align*} V_{Shell}&=2πf(x^∗_i)(dfrac {(x_i+k)+(x_{i−1}+k)}{2})((x_i+ k)−(x_{i−1}+k)) [5pt] &=2πf(x∗^i)((dfrac {x_i+x_{i−2}}{2})+k)Δx .end{ausrichten*}]

Wie zuvor bemerken wir, dass (dfrac {x_i+x_{i−1}}{2}) der Mittelpunkt des Intervalls ([x_{i−1},x_i]) ist und angenähert werden kann durch (x^∗_i). Dann ist das ungefähre Volumen der Schale

[V_{Schale}≈2π(x^∗_i+k)f(x^∗_i)Δx.]

Der Rest der Entwicklung geht weiter wie bisher, und das sehen wir

[V=int ^b_a(2π(x+k)f(x))dx.]

Wir könnten den Bereich auch um andere horizontale oder vertikale Linien drehen, beispielsweise um eine vertikale Linie in der rechten Halbebene. In jedem Fall muss die Volumenformel entsprechend angepasst werden. Insbesondere muss (x-term) im Integral durch einen Ausdruck ersetzt werden, der den Radius einer Schale repräsentiert. Um zu sehen, wie dies funktioniert, betrachten Sie das folgende Beispiel.

Beispiel (PageIndex{4}): Eine um eine Linie gedrehte Revolutionsregion

Definiere (R) als den Bereich, der oben durch den Graphen von (f(x)=x) und unten durch die (x-Achse) über dem Intervall ([1,2]) begrenzt wird. Bestimme das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die Gerade (x=−1.) entsteht

Lösung

Zeichnen Sie zunächst die Region (R) und den zugehörigen Rotationskörper, wie in Abbildung (PageIndex{8}) gezeigt.

Beachten Sie, dass der Radius einer Schale durch (x+1) gegeben ist. Dann ist das Volumen des Festkörpers gegeben durch

[egin{align*} V&=int ^2_1 2π(x+1)f(x), dx &=int ^2_1 2π(x+1)x , dx=2πint ^ 2_1 x^2+x , dx &=2π left[dfrac{x^3}{3}+dfrac{x^2}{2} ight]|^2_1 &=dfrac {23π}{3} , ext{units}^3 end{align*}]

Übung (PageIndex{4})

Definiere (R) als die Region, die oben durch den Graphen von (f(x)=x^2) und unten durch die (x-Achse) über dem Intervall ([0,1]) begrenzt wird . Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die Gerade (x=−2) entsteht.

Hinweis

Verwenden Sie den Prozess aus Beispiel (PageIndex{4}).

Antworten

(dfrac {11π}{6}) Einheiten3

Betrachten wir für unser letztes Beispiel in diesem Abschnitt das Volumen eines Rotationskörpers, dessen Rotationsbereich durch die Graphen zweier Funktionen begrenzt ist.

Beispiel (PageIndex{5}): Eine von den Graphen zweier Funktionen begrenzte Rotationsregion

Definiere (R) als den Bereich, der oben durch den Graphen der Funktion (f(x)=sqrt{x}) und unten durch den Graphen der Funktion (g(x)=1/x ) über das Intervall ([1,4]). Ermitteln Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch die Rotation von (R) um die (y-Achse) erzeugt wird.

Lösung

Zeichnen Sie zunächst die Region (R) und den zugehörigen Rotationskörper, wie in Abbildung (PageIndex{9}) gezeigt.

Beachten Sie, dass die Rotationsachse die (y-Achse) ist, sodass der Radius einer Schale einfach durch (x) gegeben ist. Wir müssen keine Anpassungen am x-Term unseres Integranden vornehmen. Die Höhe einer Schale ist jedoch durch (f(x)−g(x)) gegeben, also müssen wir in diesem Fall den (f(x))-Term des Integranden anpassen. Dann ist das Volumen des Festkörpers gegeben durch

[egin{align*} V &=int ^4_1(2πx(f(x)−g(x)))dx [5pt] &= int ^4_1(2πx(sqrt{x}− dfrac {1}{x}))dx=2πint ^4_1(x^{3/2}−1)dx [5pt] &= 2π[dfrac {2x^{5/2}}{ 5}−x]∣^4_1=dfrac {94π}{5} , ext{Einheiten}^3. end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{5})

Definiere (R) als die Region, die oben durch den Graphen von (f(x)=x) und unten durch den Graphen von (g(x)=x^2) über dem Intervall ([0 ,1]). Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers, der durch Rotation von (R) um die (y-Achse) gebildet wird.

Hinweis

Hinweis: Verwenden Sie das Verfahren aus Beispiel (PageIndex{5}).

Antworten

(dfrac {π}{6}) Einheiten3

Welche Methode sollten wir verwenden?

Wir haben verschiedene Methoden studiert, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, aber woher wissen wir, welche Methode wir verwenden sollen? Es kommt oft darauf an, welches Integral am einfachsten zu bewerten ist. Abbildung (PageIndex{10}) beschreibt die verschiedenen Ansätze für Rotationskörper um die (x-Achse.) Es liegt an Ihnen, die analoge Tabelle für Rotationskörper um die (y-Achse) zu entwickeln. )

Schauen wir uns ein paar zusätzliche Probleme an und entscheiden wir uns für den besten Lösungsansatz.

Beispiel (PageIndex{6}): Auswahl der besten Methode

Wählen Sie für jedes der folgenden Probleme die beste Methode aus, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, der durch Rotieren des gegebenen Bereichs um die (x-Achse,) erzeugt wird, und stellen Sie das Integral auf, um das Volumen zu finden (bewerten Sie nicht die Integral).

  1. Die Region, die von den Graphen von (y=x, y=2−x,) und der (x-Achse.)
  2. Die von den Graphen von (y=4x−x^2) und der (x-Achse.) begrenzte Region

Lösung:

A.

Skizzieren Sie zuerst den Bereich und den Rotationskörper wie gezeigt.

Betrachten wir die Region, wenn wir bezüglich (x) integrieren wollen, müssten wir das Integral in zwei Teile zerlegen, da wir verschiedene Funktionen haben, die die Region über ([0,1]) und begrenzen. ([1,2]). In diesem Fall hätten wir mit der Disk-Methode

[V=int ^1_0(πx^2)dx+int ^2_1(π(2−x)^2)dx. keine Nummer]

Wenn wir stattdessen die Shell-Methode verwenden würden, würden wir Funktionen von y verwenden, um die Kurven darzustellen, wodurch

[V=int ^1_0(2πy[(2−y)−y])dy=int ^1_0(2πy[2−2y])dy. keine Nummer]

Keines dieser Integrale ist besonders belastend, aber da die Schalenmethode nur ein Integral erfordert und der Integrand weniger Vereinfachung erfordert, sollten wir in diesem Fall wahrscheinlich die Schalenmethode verwenden.

B.

Skizzieren Sie zuerst den Bereich und den Rotationskörper wie gezeigt.

Betrachtet man die Region, wäre es problematisch, ein horizontales Rechteck zu definieren; der Bereich wird links und rechts durch dieselbe Funktion begrenzt. Daher können wir die Methode der Schalen verwerfen. Der Festkörper hat keinen Hohlraum in der Mitte, daher können wir die Methode der Scheiben verwenden. Dann

[V=int ^4_0π(4x−x^2)^2dx onumber]

Übung (PageIndex{6})

Wählen Sie die beste Methode, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden, der durch Rotieren des gegebenen Bereichs um die (x-Achse) erzeugt wird, und richten Sie das Integral ein, um das Volumen zu finden (das Integral nicht auswerten): der Bereich, der von begrenzt wird die Graphen von (y=2−x^2) und (y=x^2).

Hinweis

Skizzieren Sie den Bereich und verwenden Sie Abbildung (PageIndex{12}), um zu entscheiden, welches Integral am einfachsten auszuwerten ist.

Antworten

Verwenden Sie die Methode der Unterlegscheiben; [V=int ^1_{−1}π[(2−x^2)^2−(x^2)^2]dx onumber]

Schlüssel Konzepte

  • Die Methode der zylindrischen Schalen ist eine andere Methode, um das Volumen eines Rotationskörpers mit einem bestimmten Integral zu berechnen. Diese Methode ist manchmal entweder der Methode der Scheiben oder der Methode der Unterlegscheiben vorzuziehen, da wir in Bezug auf die andere Variable integrieren. In manchen Fällen ist ein Integral wesentlich komplizierter als das andere.
  • Die Geometrie der Funktionen und die Schwierigkeit der Integration sind die Hauptfaktoren bei der Entscheidung, welche Integrationsmethode verwendet werden soll.

Schlüsselgleichungen

  • Methode der zylindrischen Schalen

(V=int ^b_a(2πxf(x))dx)

Glossar

Methode der zylindrischen Schalen
ein Verfahren zum Berechnen des Volumens eines Rotationskörpers durch Unterteilen des Festkörpers in verschachtelte zylindrische Schalen; Diese Methode unterscheidet sich von den Methoden der Scheiben oder Unterlegscheiben darin, dass wir in Bezug auf die entgegengesetzte Variable integrieren

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


Calculus Early Transcendentals: Integral- und Multi-Variablen-Kalkül für die Sozialwissenschaften

Im vorigen Abschnitt haben wir das Volumen eines Rotationskörpers über ein geschlossenes Intervall ([a,b]) berechnet, indem wir die Querschnittsflächen addiert haben, die wir erhalten haben, indem wir den Festkörper mit Ebenen senkrecht zur Achse durchgeschnitten haben der Rotation über ([a,b] ext<.>) Es gibt noch eine andere Methode, die anstelle von Scheibenscheiben wird erzeugen zylindrische Schalenscheiben. Diese zylindrischen Schalenscheiben werden erzeugt, indem man den Festkörper mit Zylindern durchschneidet, die sich symmetrisch um die Rotationsachse winden, wie in Abbildung 3.15 gezeigt. Dies ist vergleichbar mit dem Stapeln von Papierhandtuchrollen mit zunehmenden Radien ineinander.

Genauso wie wir Festplatten addieren konnten, können wir auch addieren, und daher wird diese Integrationsmethode zur Berechnung des Volumens eines Rotationskörpers als . Wir beginnen mit der Untersuchung solcher Schalen, wenn wir die Fläche einer begrenzten Region um die (y)-Achse drehen.

Unterabschnitt 3.4.1 Shell-Methode: Integration w.r.t. (x)

Angenommen, der Bereich begrenzt durch (f(x)=sqrt+2) mit (xin[1,5]) wird wie unten rechts gezeigt um die (y)-Achse gedreht. Es ist möglich, aber umständlich, das Volumen des resultierenden Feststoffs nach der bisher verwendeten Washer-Methode zu berechnen. Das Problem ist, dass es zwei „Arten“ typischer Unterlegscheiben gibt: Diejenigen, die von der Kurve (f) zur Linie (x=5) verlaufen und diejenigen, die zwischen den Linien (x=1) und sitzen (x=5) wie unten links gezeigt.

Um das Volumen mit diesem Ansatz zu berechnen, müssen wir das Problem in zwei Teile aufteilen und zwei Integrale berechnen:

Wenn wir stattdessen den Rotationskörper parallel zur Rotationsachse mit zylindrischen Schalen mit zunehmenden Radien über das Intervall ([1,5]) entlang der (x)-Achse durchschneiden, dann hat jede der zylindrischen Schalen Höhe (f) wie unten gezeigt.

Beachten Sie, dass sich „Unterlegscheiben“ auf die Fläche eines Kreises (pi r^2 ext<,>) beziehen, während „Schalen“ sich auf die Oberfläche eines offenen Zylinders (2pi rh text<.>) Wenn wir das Volumen solch dünner Schalen addieren, erhalten wir eine Annäherung an das wahre Volumen. Welches Volumen hat eine solche Schale? Betrachten Sie die Schale bei (ds x_i ext<.>) Stellen Sie sich vor, wir schneiden die Schale an einer Stelle vertikal ab und „rollen“ die Oberfläche der zylindrischen Schale zu einem dünnen, flachen Blech ab, wie unten gezeigt.

Dieses Blatt wird fast ein rechteckiges Prisma sein, das (Delta x) dick, (h) hoch und (ds 2pi r) breit ist (der Umfang der zylindrischen Schale). In Bezug auf (x_i ext<,>) beachte, dass (h) die Höhe von (f ext<,>) ist und dass der Radius (r) genau (x_i ext <.>) Das Volumen einer zylindrischen Schale ist dann ungefähr das Volumen eines rechteckigen Prismas mit diesen Abmessungen: (ds 2pi x_i f(x_i)Delta x ext<.>) Addieren wir diese auf und nehmen den Grenzwert wie üblich, wir erhalten das Integral

Verwenden Sie nun die Substitution, um das Integral auszuwerten:

Dies löst die Aufgabe mit nur einem Integral. Man kann argumentieren, dass wir am Ende die gleiche Menge an Arbeit leisten mussten. Es gibt jedoch oft Situationen, in denen eine der beiden Methoden, Unterlegscheibe oder Schale, einfacher ist als die andere. Daher lohnt es sich, diese Technik bei der Berechnung von Rotationsvolumen von Festkörpern zu untersuchen. Wir erfassen unsere Ergebnisse im folgenden Satz.

Satz 3.32 . Schalenmethode: Fläche unter Kurve — Integration w.r.t. (x).

Angenommen (f) ist nichtnegativ und stetig auf dem Intervall ([a,b] ext<.>) Dann ist das Volumen (V) gebildet durch Drehung der Fläche unter der Kurve von (f ) um die (y)-Achse ist

(x_i) ist die Lage der zylindrischen Schale und ihr Radius,

(f(x_i)) ist die Höhe der zylindrischen Schale und

(Delta x) ist die Dicke der zylindrischen Schale, wie unten gezeigt.

Wir stellen nun ein Beispiel für die Shell-Methode vor.

Beispiel 3.33 . Shell-Methode — Integration w.r.t. (x).

Angenommen, die Fläche unterhalb der Kurve (f(x)=x+1) für alle (x) in ([0,3]) wird um die (y)-Achse gedreht. Suchen Sie das Volume mithilfe der Shell-Methode.

Wir beginnen damit, (f) auf dem Intervall ([0,3]) graphisch darzustellen und identifizieren eine beliebige zylindrische Schale wie unten gezeigt.

Dann ist das Volumen gegeben durch

Auch hier können wir die Fläche einer beliebigen Region um eine Rotationsachse drehen, einschließlich der Fläche einer Region, die oben durch eine Funktion (y=f(x)) und unten durch eine Funktion (y=g(x )) auf einem Intervall (xin[a,b]), wie wir als nächstes untersuchen werden.

Die Rotationsachse kann eine beliebige Achse parallel zur (y)-Achse sein, damit diese Methode funktioniert. Betrachten Sie wieder den Bereich, der durch die Funktion (f(x)=sqrt+2) mit (x in[1,5] ext<,>), aber fügen wir noch eine zweite Schranke hinzu, nämlich die Funktion (g(x)=frac<1><4>(x -1)^2 ext<.>) Algebra zeigt uns, dass (f > g) auf (x in[1,5] ext<.>) Wir wollen das Volumen des Festkörpers berechnen erhalten durch Drehen des begrenzten Bereichs um die (y)-Achse. Wir beginnen mit der grafischen Darstellung der Region und erinnern uns daran, dass die angegebene Region der Unterschied zwischen zwei Regionen ist, wie unten gezeigt:

Unser Ergebnis erfassen wir im folgenden Satz.

Satz 3.34 . Schalenmethode: Fläche zwischen Kurven — Integration w.r.t. (x).

Angenommen (f) und (g) sind nichtnegativ und stetig auf dem Intervall ([a,b]) mit (fgeq g) für alle (x) in ([ a,b] ext<.>) Sei (R) die oben von (f) und unten von (g) begrenzte Fläche sowie die Geraden (x=a) und (x=b ext<.>) Dann ist das durch Drehung von (R) um die (y)-Achse gebildete Volumen (V)

(x_i) ist die Lage der zylindrischen Schale und ihr Radius,

(f(x_i)-g(x_i)) ist die Höhe der zylindrischen Schale, und

(Delta x) ist die Dicke der zylindrischen Schale, wie unten gezeigt.

Wir geben nun ein weiteres Beispiel für eine solche Region, die nach unten und oben durch zwei Funktionen (f) bzw. (g) begrenzt ist.

Beispiel 3.35 . Shell-Methode — Integration w.r.t (x).

Angenommen, der Bereich zwischen (f(x)=x+1) und (g(x)=(x-1)^2) ist um die (y)-Achse gedreht. Suchen Sie das Volume mithilfe der Shell-Methode.

Wir beginnen damit, die Schnittpunkte der beiden Funktionen (f) und (g ext<:>) zu finden.

also sind (x=0) und (x=3) die Schnittpunkte. Wir verwenden nun diese Informationen, um (f) und (g) auf dem Intervall ([0,3]) graphisch darzustellen und eine beliebige zylindrische Schale zu identifizieren, wie unten gezeigt.

Dann wird das Volumen wie folgt berechnet:

Unterabschnitt 3.4.2 Shell-Methode: Integration w.r.t. (j)

Bisher haben wir drei Hauptmethoden zur Erzeugung eines Rotationskörpers und zur Berechnung seines Volumens besprochen, die unten aufgeführt sind. Denken Sie daran, dass die Washer-Methode durch die Disk-Methode ersetzt wird, wenn die untere oder linke Kurve durch die (x)-Achse bzw. die (y)-Achse beschrieben wird.

Rotieren einer Fläche, die nach oben und unten durch Funktionen von (x) sowie Geraden (x=a) und (x=b) um die (x)-Achse begrenzt ist, und dann mit der Washer Methode zur Volumenberechnung.

Rotieren einer Fläche, die durch Funktionen von (y) sowie Linien (y=c) und (y=d) nach rechts und links begrenzt ist, um die (y)-Achse und dann Washer Methode zur Volumenberechnung.

Rotieren einer Fläche, die nach oben und unten durch Funktionen von (x) sowie Geraden (x=a) und (x=b) um die (y)-Achse begrenzt ist, und dann mit der Shell-Methode zur Volumenberechnung.

Es bleibt nur noch ein Fall:

Einen Bereich, der durch Funktionen von (y) sowie Linien (y=c) und (y=d) nach rechts und links begrenzt ist, um die (y)-Achse drehen und dann Shell-Methode zur Volumenberechnung.

Wir sind ohne weiteres davon überzeugt, dass das Volumen eines solchen Rotationskörpers mit einer Schalenmethode ähnlich der oben diskutierten berechnet werden kann, die im folgenden Satz zusammengefasst ist.

Satz 3.36 . Schalenmethode: Fläche zwischen Kurven — Integration w.r.t. (y).

Angenommen (f) und (g) sind nichtnegativ und stetig auf dem Intervall ([c,d]) mit (fgeq g) für alle (y) in ([ c,d] ext<.>) Sei (R) die rechts von (f) und links von (g) begrenzte Fläche sowie die Geraden (y=c) und (y=d ext<.>) Dann ist das durch Drehung von (R) um die (x)-Achse gebildete Volumen (V)

(y_i) ist die Lage der zylindrischen Schale und ihr Radius,

(f(y_i)-g(y_i)) ist die Höhe der zylindrischen Schale, und

(Delta y) ist die Dicke der zylindrischen Schale, wie unten gezeigt.

Wir geben auch ein Beispiel, um diese Methode zu veranschaulichen.

Beispiel 3.37 . Vergleich von Methoden.

Angenommen, die Fläche unter (ds y=-x^2+1) wird um die (x)-Achse gedreht. Bestimmen Sie das Volumen des Rotationskörpers mit

Wir beginnen mit der grafischen Darstellung der Fläche und geben eine beliebige Festplatte an:

Wir beginnen wieder mit der grafischen Darstellung der Fläche und geben eine beliebige zylindrische Schale an:

Daher berechnet sich das Volumen mit

Unterabschnitt 3.4.3 Zusammenfassung

Es gibt viele verschiedene Szenarien, in denen die Shell-Methode eingesetzt werden kann, auf die hier jedoch nicht eingegangen wird, wir geben jedoch eine allgemeine Richtlinie.

Richtlinie für die Shell-Methode.

Die folgenden Schritte beschreiben, wie die Shell-Methode verwendet wird.

Konstruieren Sie eine beliebige zylindrische Schale parallel zur Rotationsachse.

Identifizieren Sie den Radius und die Höhe der zylindrischen Schale.

Bestimmen Sie die Dicke der zylindrischen Schale.

Stellen Sie das bestimmte Integral auf, indem Sie sicherstellen, dass Sie das Volumen der konstruierten zylindrischen Schale berechnen.

Übungen zu Abschnitt 3.4.
Aufgabe 3.4.1.

Verwenden Sie die Shell-Methode, um die Volumen der Volumenkörper zu ermitteln, die durch Drehen des schattierten Bereichs um die angegebene Achse erzeugt werden.


2.3 Umdrehungszahlen: Zylindrische Schalen

In diesem Abschnitt untersuchen wir die Methode der zylindrischen Schalen, die letzte Methode zur Bestimmung des Volumens eines Rotationskörpers. Wir können diese Methode auf die gleichen Arten von Festkörpern anwenden wie die Scheibenmethode oder die Scheibenmethode, jedoch mit der Scheiben- und Scheibenmethode integrieren wir entlang der Koordinatenachse parallel zur Rotationsachse. Mit der Methode der zylindrischen Schalen integrieren wir entlang der Koordinatenachse aufrecht zur Rotationsachse. Die Möglichkeit, auszuwählen, welche Integrationsvariable wir verwenden möchten, kann bei komplizierteren Funktionen ein erheblicher Vorteil sein. Außerdem macht die spezielle Geometrie des Festkörpers manchmal die Methode der Verwendung von zylindrischen Schalen attraktiver als die Verwendung der Scheibenmethode. Im letzten Teil dieses Abschnitts überprüfen wir alle von uns untersuchten Methoden zur Ermittlung des Volumens und legen einige Richtlinien fest, die Ihnen bei der Entscheidung helfen, welche Methode Sie in einer bestimmten Situation verwenden sollten.

Die Methode der zylindrischen Schalen

Auch hier arbeiten wir mit einer soliden Revolution. Wie zuvor definieren wir eine Region R , R , die oben durch den Graphen einer Funktion y = f ( x ) , y = f ( x ) , unten durch die x -Achse, x -Achse und links und rechts begrenzt ist durch die Linien x = ax = a bzw. x = b , x = b , wie in Abbildung 2.25(a) gezeigt. Wir drehen dann diese Region um die ja-Achse, wie in Abbildung 2.25(b) gezeigt. Beachten Sie, dass sich dies von dem unterscheidet, was wir zuvor getan haben. Bisher wurden Bereiche, die durch Funktionen von x x definiert wurden, um die x -Achse x -Achse oder eine dazu parallele Linie gedreht.

Um das Volumen dieser Schale zu berechnen, betrachten Sie Abbildung 2.27.

Die Schale ist ein Zylinder, daher ist ihr Volumen die Querschnittsfläche multipliziert mit der Höhe des Zylinders. Die Querschnitte sind Ringe (ringförmige Bereiche – im Wesentlichen Kreise mit einem Loch in der Mitte) mit Außenradius x i x i und Innenradius x i − 1 . x i − 1 . Somit beträgt die Querschnittsfläche π x i 2 – π x i – 1 2 . x i 2 − π x i − 1 2 . Die Höhe des Zylinders beträgt f ( x i * ) . f ( x i * ) . Dann ist das Volumen der Schale

Beachte, dass x i − x i − 1 = Δ x , x i − x i − 1 = Δ x , also gilt

Eine andere Möglichkeit, sich dies vorzustellen, besteht darin, einen vertikalen Schnitt in die Schale zu machen und sie dann zu einer flachen Platte zu öffnen (Abbildung 2.28).

In Wirklichkeit ist der Außenradius der Schale größer als der Innenradius, und daher wäre die Hinterkante der Platte etwas länger als die Vorderkante der Platte. Wir können die abgeflachte Schale jedoch durch eine flache Platte der Höhe f ( x i * ) , f ( x i * ) , Breite 2 π x i * , 2 π x i * und Dicke Δ x Δ x annähern (Abbildung 2.28). Das Volumen der Schale entspricht dann ungefähr dem Volumen der flachen Platte. Wenn wir die Höhe, Breite und Tiefe der Platte multiplizieren, erhalten wir

Das ist die gleiche Formel, die wir vorher hatten.

Um das Volumen des gesamten Festkörpers zu berechnen, addieren wir dann die Volumina aller Schalen und erhalten

Hier haben wir eine weitere Riemann-Summe, diesmal für die Funktion 2 π x f ( x ) . 2 x f ( x ) . Nimmt man den Grenzwert als n → ∞ n → ∞ gibt uns


Welche Methode sollten wir verwenden?

Wir haben verschiedene Methoden studiert, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, aber woher wissen wir, welche Methode wir verwenden sollen? Es kommt oft darauf an, welches Integral am einfachsten zu bewerten ist. Abbildung (PageIndex<10>) beschreibt die verschiedenen Ansätze für Rotationskörper um die (x)-Achse. Es liegt an Ihnen, die analoge Tabelle für Rotationskörper um die (y)-Achse zu entwickeln.

Abbildung (PageIndex<10>)

Lassen Sie uns einen Blick auf einige zusätzliche Probleme werfen und entscheiden Sie sich für den besten Lösungsansatz.

Beispiel (PageIndex<6>): Auswahl der besten Methode

Wählen Sie für jedes der folgenden Probleme die beste Methode aus, um das Volumen eines Rotationskörpers zu bestimmen, der durch Rotieren des gegebenen Bereichs um die (x)-Achse erzeugt wird, und stellen Sie das Integral auf, um das Volumen zu finden (bewerten Sie nicht Integral).

  1. Der Bereich, der von den Graphen von (y=x, y=2&minusx,) und der (x)-Achse begrenzt wird.
  2. Der Bereich, der von den Graphen von (y=4x&minusx^2) und der (x)-Achse begrenzt wird.

Skizzieren Sie zuerst den Bereich und den Rotationskörper wie gezeigt.

Abbildung (PageIndex<11>): (a) Der Bereich (R) begrenzt von zwei Linien und der (x)-Achse. (b) Der Rotationskörper, der durch Rotation von (R) um die (x)-Achse erzeugt wird.

Betrachten wir die Region, wenn wir bezüglich (x) integrieren wollen, müssten wir das Integral in zwei Teile zerlegen, weil wir verschiedene Funktionen haben, die die Region über ([0,1]) und ([1,2]). In diesem Fall hätten wir mit der Disk-Methode

Wenn wir stattdessen die Shell-Methode verwenden würden, würden wir Funktionen von y verwenden, um die Kurven darzustellen, wodurch

Keines dieser Integrale ist besonders belastend, aber da die Schalenmethode nur ein Integral erfordert und der Integrand weniger Vereinfachung erfordert, sollten wir in diesem Fall wahrscheinlich die Schalenmethode verwenden.

Skizzieren Sie zuerst den Bereich und den Rotationskörper wie gezeigt.

Abbildung (PageIndex<12>): (a) Der Bereich (R) zwischen der Kurve und der (x)-Achse. (b) Der Rotationskörper, der durch Rotation von (R) um die (x)-Achse erzeugt wird.

Betrachtet man die Region, wäre es problematisch, ein horizontales Rechteck zu definieren, wobei die Region links und rechts durch dieselbe Funktion begrenzt wird. Daher können wir die Methode der Schalen verwerfen. Der Festkörper hat keinen Hohlraum in der Mitte, daher können wir die Methode der Scheiben verwenden. Dann

[V=int ^4_0&pileft(4x&minusx^2 ight)^2,dx onumber]

Wählen Sie die beste Methode, um das Volumen eines Rotationskörpers zu finden, der durch Rotieren des gegebenen Bereichs um die (x)-Achse erzeugt wird, und richten Sie das Integral ein, um das Volumen zu finden (das Integral nicht auswerten): der Bereich, der von begrenzt wird die Graphen von (y=2&minusx^2) und (y=x^2).

Skizzieren Sie den Bereich und verwenden Sie Abbildung (PageIndex<12>), um zu entscheiden, welches Integral am einfachsten auszuwerten ist.

Verwenden Sie die Methode der Unterlegscheiben [V=int ^1_<&minus1>&pileft[left(2&minusx^2 ight)^2&minusleft(x^2 ight)^2 ight],dx onumber ]


6.3 Umdrehungszahlen: Zylindrische Schalen

In this section, we examine the method of cylindrical shells, the final method for finding the volume of a solid of revolution. We can use this method on the same kinds of solids as the disk method or the washer method however, with the disk and washer methods, we integrate along the coordinate axis parallel to the axis of revolution. With the method of cylindrical shells, we integrate along the coordinate axis aufrecht to the axis of revolution. The ability to choose which variable of integration we want to use can be a significant advantage with more complicated functions. Also, the specific geometry of the solid sometimes makes the method of using cylindrical shells more appealing than using the washer method. In the last part of this section, we review all the methods for finding volume that we have studied and lay out some guidelines to help you determine which method to use in a given situation.

The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region R , R , bounded above by the graph of a function y = f ( x ) , y = f ( x ) , below by the x -axis, x -axis, and on the left and right by the lines x = a x = a and x = b , x = b , respectively, as shown in Figure 6.25(a). We then revolve this region around the ja-axis, as shown in Figure 6.25(b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of x x were revolved around the x -axis x -axis or a line parallel to it.

To calculate the volume of this shell, consider Figure 6.27.

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius x i x i and inner radius x i − 1 . x i − 1 . Thus, the cross-sectional area is π x i 2 − π x i − 1 2 . π x i 2 − π x i − 1 2 . The height of the cylinder is f ( x i * ) . f ( x i * ) . Then the volume of the shell is

Note that x i − x i − 1 = Δ x , x i − x i − 1 = Δ x , so we have

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate (Figure 6.28).

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f ( x i * ) , f ( x i * ) , width 2 π x i * , 2 π x i * , and thickness Δ x Δ x (Figure 6.28). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f ( x ) . 2 π x f ( x ) . Taking the limit as n → ∞ n → ∞ gives us


The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region bounded above by the graph of a function below by the and on the left and right by the lines und respectively, as shown in (Figure)(a). We then revolve this region around the -axis, as shown in (Figure)(b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of were revolved around the or a line parallel to it.

Figure 1. (a) A region bounded by the graph of a function of (b) The solid of revolution formed when the region is revolved around the

As we have done many times before, partition the interval using a regular partition, and, for choose a point Then, construct a rectangle over the interval of height and width A representative rectangle is shown in (Figure)(a). When that rectangle is revolved around the -axis, instead of a disk or a washer, we get a cylindrical shell, as shown in the following figure.

Figure 2. (a) A representative rectangle. (b) When this rectangle is revolved around the the result is a cylindrical shell. (c) When we put all the shells together, we get an approximation of the original solid.

To calculate the volume of this shell, consider (Figure).

Figure 3. Calculating the volume of the shell.

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius and inner radius Thus, the cross-sectional area is The height of the cylinder is Then the volume of the shell is

Beachten Sie, dass so we have

Weiter, is both the midpoint of the interval and the average radius of the shell, and we can approximate this by Wir haben dann

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate ((Figure)).

Figure 4. (a) Make a vertical cut in a representative shell. (b) Open the shell up to form a flat plate.

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height Breite and thickness ((Figur)). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function Taking the limit as gives us

This leads to the following rule for the method of cylindrical shells.

Rule: The Method of Cylindrical Shells

Lassen be continuous and nonnegative. Define as the region bounded above by the graph of below by the on the left by the line and on the right by the line Then the volume of the solid of revolution formed by revolving um die -axis is given by

Now let’s consider an example.

The Method of Cylindrical Shells 1

Define as the region bounded above by the graph of and below by the über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

Lösung

First we must graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 5. (a) The region under the graph of über das Intervall (b) The solid of revolution generated by revolving über die

Then the volume of the solid is given by

Define R as the region bounded above by the graph of and below by the -axis over the interval Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

units 3

The Method of Cylindrical Shells 2

Define R as the region bounded above by the graph of and below by the über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

Lösung

First graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 6. (a) The region under the graph of über das Intervall (b) The volume of revolution obtained by revolving über die

Then the volume of the solid is given by

Define as the region bounded above by the graph of and below by the über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

Lösung

units 3

As with the disk method and the washer method, we can use the method of cylindrical shells with solids of revolution, revolved around the when we want to integrate with respect to The analogous rule for this type of solid is given here.

Rule: The Method of Cylindrical Shells for Solids of Revolution around the -Achse

Lassen be continuous and nonnegative. Define as the region bounded on the right by the graph of on the left by the below by the line and above by the line Then, the volume of the solid of revolution formed by revolving um die wird gegeben von

The Method of Cylindrical Shells for a Solid Revolved around the -Achse

Define as the region bounded on the right by the graph of and on the left by the Pro Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die -Achse.

Lösung

First, we need to graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 7. (a) The region to the left of the function über das Intervall (b) The solid of revolution generated by revolving um die

Label the shaded region Then the volume of the solid is given by

Define as the region bounded on the right by the graph of and on the left by the Pro Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

Lösung

units 3

For the next example, we look at a solid of revolution for which the graph of a function is revolved around a line other than one of the two coordinate axes. To set this up, we need to revisit the development of the method of cylindrical shells. Recall that we found the volume of one of the shells to be given by

This was based on a shell with an outer radius of and an inner radius of If, however, we rotate the region around a line other than the we have a different outer and inner radius. Suppose, for example, that we rotate the region around the line wo is some positive constant. Then, the outer radius of the shell is and the inner radius of the shell is Substituting these terms into the expression for volume, we see that when a plane region is rotated around the line the volume of a shell is given by

As before, we notice that is the midpoint of the interval and can be approximated by Then, the approximate volume of the shell is

The remainder of the development proceeds as before, and we see that

We could also rotate the region around other horizontal or vertical lines, such as a vertical line in the right half plane. In each case, the volume formula must be adjusted accordingly. Insbesondere die in the integral must be replaced with an expression representing the radius of a shell. To see how this works, consider the following example.

A Region of Revolution Revolved around a Line

Define as the region bounded above by the graph of and below by the über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving around the line

Lösung

First, graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Figure 8. (a) The region between the graph of und das über das Intervall (b) The solid of revolution generated by revolving around the line Then the volume of the solid is given by

Define as the region bounded above by the graph of and below by the über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving around the line

Lösung

units 3

For our final example in this section, let’s look at the volume of a solid of revolution for which the region of revolution is bounded by the graphs of two functions.

A Region of Revolution Bounded by the Graphs of Two Functions

Define as the region bounded above by the graph of the function and below by the graph of the function über das Intervall Find the volume of the solid of revolution generated by revolving um die

Lösung

First, graph the region and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

[caption align="aligncenter"] Figure 9. (a) The region between the graph of and the graph of über das Intervall (b) The solid of revolution generated by revolving um die

Note that the axis of revolution is the so the radius of a shell is given simply by We don’t need to make any adjustments to the -term of our integrand. The height of a shell, though, is given by so in this case we need to adjust the term of the integrand. Then the volume of the solid is given by

Define as the region bounded above by the graph of and below by the graph of über das Intervall Find the volume of the solid of revolution formed by revolving um die

Lösung

units 3


Volume of Solids by Cylindrical Shells

Another method of finding the volume of a solid of revolution is by summing up cylindrical shells that are parallel to the axis of rotation. The reason behind multiple methods is because often one method gives elegant solutions to problems which would be challenging to solve by another.

There are two methods of using cylindrical shells:

  1. The first principle method where the volume of the solid of revolution is found by summing up thin cylindrical shells.
  2. Treating the cylindrical shell as a rectangular prism by rolling out the cylinder.

Both methods are acceptable by the syllabus but the second method tends to be easier, thus it will be used more often.

The following examples demonstrate how we can use the method of cylindrical shell to find the volume of the solid of revolution.

Beispiel 7

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid formed when the shaded region bounded by

is rotated about the -axis.

Solution 7

Consider a thin cylindrical shell parallel to axis of rotation. Since the shell has very small width, its volume can be approximated as a rectangular prism. For any arbitrary point (x,y) on the curve, the resulting prism will have:

Beispiel 8

The diagram shows the region enclosed by the curves and .

The region is rotated about the-axis.

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid formed.

Solution 8

(We will use first principles method here)

Consider a very thin cylindrical shell,

where is the coordinate of the parabola, and is the coordinate for the straight line.

Because is so small, and taking its square makes it even smaller, we approximate .

Beispiel 9

A solid is formed by rotating the region bounded by the curve and the line about the -axis. Use the method of cylindrical shells to find the volume of this solid.

Solution 9

Beispiel 10

The shaded region between the curve , the -axis, and the lines and, where , is rotated about the -axis to form a solid of revolution.

(i) Use the method of cylindrical shells to find the volume of this solid in terms of .

(ii) What is the limiting value of this volume as ?

Solution 10

Beispiel 11

The diagram shows the graph of for .

The area bounded by , the line and the -axis is rotated about the line to form a solid.

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid.

Solution 11

Example 12

The region bounded by the curve and the and -axes is rotated about the line . Find the volume of the solid of revolution.

Solution 12


Volumes of Revolution: Cylindrical Shells

In this section, we examine the method of cylindrical shells, the final method for finding the volume of a solid of revolution. We can use this method on the same kinds of solids as the disk method or the washer method however, with the disk and washer methods, we integrate along the coordinate axis parallel to the axis of revolution. With the method of cylindrical shells, we integrate along the coordinate axis aufrecht to the axis of revolution. The ability to choose which variable of integration we want to use can be a significant advantage with more complicated functions. Also, the specific geometry of the solid sometimes makes the method of using cylindrical shells more appealing than using the washer method. In the last part of this section, we review all the methods for finding volume that we have studied and lay out some guidelines to help you determine which method to use in a given situation.

The Method of Cylindrical Shells

Again, we are working with a solid of revolution. As before, we define a region R ,

bounded above by the graph of a function y = f ( x ) ,

and on the left and right by the lines x = a

respectively, as shown in [link](a). We then revolve this region around the ja-axis, as shown in [link](b). Note that this is different from what we have done before. Previously, regions defined in terms of functions of x

were revolved around the x -axis

As we have done many times before, partition the interval [ a , b ]

using a regular partition, P =

choose a point x i * ∈ [ x i − 1 , x i ] .

Then, construct a rectangle over the interval [ x i − 1 , x i ]

A representative rectangle is shown in [link](a). When that rectangle is revolved around the ja-axis, instead of a disk or a washer, we get a cylindrical shell, as shown in the following figure.

To calculate the volume of this shell, consider [link].

The shell is a cylinder, so its volume is the cross-sectional area multiplied by the height of the cylinder. The cross-sections are annuli (ring-shaped regions—essentially, circles with a hole in the center), with outer radius x i

Thus, the cross-sectional area is π x i 2 − π x i − 1 2 .

The height of the cylinder is f ( x i * ) .

Then the volume of the shell is

Note that x i − x i − 1 = Δ x ,

Furthermore, x i + x i − 1 2

is both the midpoint of the interval [ x i − 1 , x i ]

and the average radius of the shell, and we can approximate this by x i * .

Another way to think of this is to think of making a vertical cut in the shell and then opening it up to form a flat plate ([link]).

In reality, the outer radius of the shell is greater than the inner radius, and hence the back edge of the plate would be slightly longer than the front edge of the plate. However, we can approximate the flattened shell by a flat plate of height f ( x i * ) ,

([link]). The volume of the shell, then, is approximately the volume of the flat plate. Multiplying the height, width, and depth of the plate, we get

which is the same formula we had before.

To calculate the volume of the entire solid, we then add the volumes of all the shells and obtain

Here we have another Riemann sum, this time for the function 2 π x f ( x ) .

This leads to the following rule for the method of cylindrical shells.

be continuous and nonnegative. Define R

as the region bounded above by the graph of f ( x ) ,

on the left by the line x = a ,

and on the right by the line x = b .

Then the volume of the solid of revolution formed by revolving R

um die ja-axis is given by

Now let’s consider an example.

as the region bounded above by the graph of f ( x ) = 1 / x

Find the volume of the solid of revolution formed by revolving R

First we must graph the region R

and the associated solid of revolution, as shown in the following figure.

Then the volume of the solid is given by

Define R as the region bounded above by the graph of f ( x ) = x 2


1.2: Volumes of solids of revolution - cylindrical shells

In the previous section we started looking at finding volumes of solids of revolution. In that section we took cross sections that were rings or disks, found the cross-sectional area and then used the following formulas to find the volume of the solid.

In the previous section we only used cross sections that were in the shape of a disk or a ring. This however does not always need to be the case. We can use any shape for the cross sections as long as it can be expanded or contracted to completely cover the solid we’re looking at. This is a good thing because as our first example will show us we can’t always use rings/disks.

As we did in the previous section, let’s first graph the bounded region and solid. Note that the bounded region here is the shaded portion shown. The curve is extended out a little past this for the purposes of illustrating what the curve looks like.

So, we’ve basically got something that’s roughly doughnut shaped. If we were to use rings on this solid here is what a typical ring would look like.

This leads to several problems. First, both the inner and outer radius are defined by the same function. This, in itself, can be dealt with on occasion as we saw in a example in the Area Between Curves section. However, this usually means more work than other methods so it’s often not the best approach.

This leads to the second problem we got here. In order to use rings we would need to put this function into the form (x = fleft( y ight)). That is NOT easy in general for a cubic polynomial and in other cases may not even be possible to do. Even when it is possible to do this the resulting equation is often significantly messier than the original which can also cause problems.

The last problem with rings in this case is not so much a problem as it’s just added work. If we were to use rings the limit would be (y) limits and this means that we will need to know how high the graph goes. To this point the limits of integration have always been intersection points that were fairly easy to find. However, in this case the highest point is not an intersection point, but instead a relative maximum. We spent several sections in the Applications of Derivatives chapter talking about how to find maximum values of functions. However, finding them can, on occasion, take some work.

So, we’ve seen three problems with rings in this case that will either increase our work load or outright prevent us from using rings.

What we need to do is to find a different way to cut the solid that will give us a cross-sectional area that we can work with. One way to do this is to think of our solid as a lump of cookie dough and instead of cutting it perpendicular to the axis of rotation we could instead center a cylindrical cookie cutter on the axis of rotation and push this down into the solid. Doing this would give the following picture,

Doing this gives us a cylinder or shell in the object and we can easily find its surface area. The surface area of this cylinder is,

Notice as well that as we increase the radius of the cylinder we will completely cover the solid and so we can use this in our formula to find the volume of this solid. All we need are limits of integration. The first cylinder will cut into the solid at (x = 1) and as we increase (x) to (x = 3) we will completely cover both sides of the solid since expanding the cylinder in one direction will automatically expand it in the other direction as well.

The volume of this solid is then,

The method used in the last example is called the method of cylinders oder method of shells. The formula for the area in all cases will be,

There are a couple of important differences between this method and the method of rings/disks that we should note before moving on. First, rotation about a vertical axis will give an area that is a function of (x) and rotation about a horizontal axis will give an area that is a function of (y). This is exactly opposite of the method of rings/disks.

Second, we don’t take the complete range of (x) or (y) for the limits of integration as we did in the previous section. Instead we take a range of (x) or (y) that will cover one side of the solid. As we noted in the first example if we expand out the radius to cover one side we will automatically expand in the other direction as well to cover the other side.

Let’s take a look at another example.

First let’s get a graph of the bounded region and the solid.

Okay, we are rotating about a horizontal axis. This means that the area will be a function of (y) and so our equation will also need to be written in (x = fleft( y ight)) form.

As we did in the ring/disk section let’s take a couple of looks at a typical cylinder. The sketch on the left shows a typical cylinder with the back half of the object also in the sketch to give the right sketch some context. The sketch on the right contains a typical cylinder and only the curves that define the edge of the solid.

In this case the width of the cylinder is not the function value as it was in the previous example. In this case the function value is the distance between the edge of the cylinder and the (y)-axis. The distance from the edge out to the line is (x = 8) and so the width is then (8 - ). The cross-sectional area in this case is,

The first cylinder will cut into the solid at (y = 0) and the final cylinder will cut in at (y = 2) and so these are our limits of integration.

The volume of this solid is,

The remaining examples in this section will have axis of rotation about axis other than the (x) and (y)-axis. As with the method of rings/disks we will need to be a little careful with these.

Here’s a graph of the bounded region and solid.

Here are our sketches of a typical cylinder. Again, the sketch on the left is here to provide some context for the sketch on the right.

Okay, there is a lot going on in the sketch to the left. First notice that the radius is not just an (x) or (y) as it was in the previous two cases. In this case (x) is the distance from the y‑axis to the edge of the cylinder and we need the distance from the axis of rotation to the edge of the cylinder. That means that the radius of this cylinder is (6 - x).

Secondly, the height of the cylinder is the difference of the two functions in this case.

The cross-sectional area is then,

Now the first cylinder will cut into the solid at (x = 1) and the final cylinder will cut into the solid at (x = 5) so there are our limits.

The integration of the last term is a little tricky so let’s do that here. It will use the substitution,

We saw one of these kinds of substitutions back in the substitution section.

We should first get the intersection points there.

So, the two curves will intersect at (y = 1) and (y = 4). Here is a sketch of the bounded region and the solid.

Here are our sketches of a typical cylinder. The sketch on the left is here to provide some context for the sketch on the right.

Here’s the cross-sectional area for this cylinder.

The first cylinder will cut into the solid at (y = 1) and the final cylinder will cut in at (y = 4). The volume is then,


Examples with Detailed Solutions

Beispiel 1

Use the method of cylindrical shells to find the volume of the solid generated by revolving the shaded (red) region (triangle) about the y axis.

Figure 2. volume of a solid of revolution generated by a triangle around y axis

Solution to Example 1

Beispiel 2

Solution to Example 2

The graphs of y = - x 3 + 2 x 2 - x + 2 and y = -x + 1 are shown below. Both graphs have x intercepts calculated by solving the equations y = 0.
x intercept of y = - x 3 + 2 x 2 - x + 2
- x 3 + 2 x 2 - x + 2 = 0
Factor.
x 2 (- x + 2) +(- x + 2) = 0
(- x + 2) (1 + x 2 ) = 0
- x + 2 = 0 gives the x intercept at x = 2 as shown in the graph above. (1 + x 2 = 0 has no real solutions)
x intercept of y = - x + 1
- x + 1 = 0 gives x = 1 a shown in the graph above.

Figure 3. volume of a solid of revolution generated by a cubic curve around y axis Note that from x = 0 to x = 1, the upper part of the region is limited by y = f(x) = - x 3 + 2 x 2 - x + 2 and the lower part is limited by y = h(x) = - x + 1, hence the volume V1 wird gegeben von

Beispiel 3

Solution to Example 3

Figure 4. volume of a solid of revolution generated by a sine curve around y axis The volume of the solid of revolution described in this example is given by

Beispiel 4

Solution to Example 4

We first solve for x to find the equation of the curve (x/a) 2 + (y/b) 2 = 1 in the first quadrant (x > 0 and y > 0)
x = a √(1 - (y/b) 2 )
The rotation is around the x axis therefore the cylindrical shells are parallel to the x axis and the volume V is given by

Figure 5. volume of a solid of revolution generated by a quarter of an ellipse around x axis