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6.2: Überblick über Potenzreihen - Mathematik


Viele Anwendungen führen zu Differentialgleichungen mit Lösungen, die nicht durch elementare Funktionen wie Polynome, rationale Funktionen, exponentielle und logarithmische Funktionen und trigonometrische Funktionen ausgedrückt werden können. Die Lösungen einiger der wichtigsten dieser Gleichungen können in Potenzreihen ausgedrückt werden. Wir werden solche Gleichungen in diesem Kapitel untersuchen. In diesem Abschnitt besprechen wir relevante Eigenschaften von Potenzreihen. Wir werden Beweise weglassen, die in jedem Standardtext der Infinitesimalrechnung zu finden sind.

Definition (PageIndex{1})

Eine unendliche Reihe der Form

[label{eq:7.1.1} sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n,]

wobei (x_0) und (a_0), (a_1,) …, (a_n,) … Konstanten sind, heißt a Potenzreihe in (x-x_0.) Wir sagen, dass die Potenzreihe Gleichung ef{eq:7.1.1} konvergiert für ein gegebenes (x) wenn der Grenzwert

[lim_{N oinfty} sum_{n=0}^Na_n(x-x_0)^n onumber]

existiert(;) andernfalls sagen wir, dass die Potenzreihe divergiert für das gegebene (x.)

Eine Potenzreihe in (x-x_0) muss konvergieren, wenn (x=x_0) gilt, da die positiven Potenzen von (x-x_0) in diesem Fall alle null sind. Dies kann der einzige Wert von (x) sein, für den die Potenzreihe konvergiert. Der nächste Satz zeigt jedoch, dass, wenn die Potenzreihe für ein (x e x_0) konvergiert, die Menge aller Werte von (x), für die sie konvergiert, ein Intervall bildet.

Satz (PageIndex{2})

Für jede Potenzreihe

[sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n, onumber]

genau eine dieser Aussagen ist wahr(:)

  1. Die Potenzreihe konvergiert nur für (x=x_0.)
  2. Die Potenzreihe konvergiert für alle Werte von (x.)
  3. Es gibt eine positive Zahl (R), so dass die Potenzreihe konvergiert, wenn (|x-x_0|R).

Im Fall (iii) sagen wir, dass (R) die Konvergenzradius der Potenzreihe. Der Einfachheit halber schließen wir die anderen beiden Fälle in diese Definition ein, indem wir (R=0) im Fall (i) und (R=infty) im Fall (ii) definieren. Wir definieren die offenes Konvergenzintervall von (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) zu

[(x_{0}-R, x_{0}+R)quad ext{if}quad 0

Wenn (R) endlich ist, kann keine allgemeine Aussage über die Konvergenz an den Endpunkten (x=x_0pm R) des offenen Konvergenzintervalls getroffen werden; die Reihe kann an einem oder beiden Punkten konvergieren oder an beiden divergieren.

Denken Sie daran, dass eine Reihe von Konstanten (sum_{n=0}^inftyalpha_n) konvergieren absolut wenn die Folge der Absolutwerte (sum_{n=0}^infty|alpha_n|) konvergiert. Es kann gezeigt werden, dass eine Potenzreihe (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) mit positivem Konvergenzradius (R) in ihrem offenen Konvergenzintervall absolut konvergiert; das heißt die serie

[sum_{n=0}^infty |a_n||x-x_0|^n onumber]

der Absolutwerte konvergiert, wenn (|x-x_0|

Der nächste Satz bietet eine nützliche Methode zur Bestimmung des Konvergenzradius einer Potenzreihe. Es wird in der Infinitesimalrechnung abgeleitet, indem der Verhältnistest auf die entsprechende Reihe von Absolutwerten angewendet wird. Für verwandte Theoreme siehe Übungen 7.2.2 und 7.2.4.

Satz (PageIndex{3})

Angenommen, es gibt eine ganze Zahl (N) mit (a_n e0) falls (nge N) und

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=L, onumber]

wobei (0le Lleinfty.) Dann ist der Konvergenzradius von (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) (R=1/ L ,), was so zu interpretieren ist, dass (R=0) falls (L=infty,) oder (R=infty) falls (L=0) gilt.

Beispiel (PageIndex{1})

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe:

  1. [sum_{n=0}^infty n!x^n onumber]
  2. [sum_{n=10}^infty (-1)^n {x^nüber n!} onumber]
  3. [sum_{n=0}^infty 2^nn^2 (x-1)^n. onumber]

Lösung a

Hier (a_n=n!), also

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {(n+1)!over n!}= lim_{n oinfty}(n+1)=infty. keine Nummer]

Daher (R=0).

Lösung b

Hier gilt (a_n=(1)^n/n!) für (nge N=10), also

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {n!over (n+1)!}= lim_{n oinfty}{1über n+1}=0. keine Nummer]

Daher (R=infty).

Lösung c

Hier (a_n=2^nn^2), also

[lim_{n oinfty}left|a_{n+1}over a_n ight|=lim_{n oinfty} {2^{n+1}(n+1)^ 2over2^nn^2}=2lim_{n oinfty}left(1+{1over n} ight)^2=2. keine Nummer]

Daher (R=1/2).

Taylor-Serie

Hat eine Funktion (f) Ableitungen aller Ordnungen an einem Punkt (x=x_0), dann gilt Taylorreihe von (f) über (x_0) ist definiert durch

[sum_{n=0}^infty {f^{(n)}(x_0)over n!}(x-x_0)^n. keine Nummer ]

Im Spezialfall (x_0=0) heißt diese Reihe auch die Maclaurin-Reihe von (F).

Taylorreihen für die meisten der üblichen elementaren Funktionen konvergieren gegen die Funktionen auf ihren offenen Konvergenzintervallen. Sie kennen zum Beispiel wahrscheinlich die folgende Maclaurin-Reihe:

[label{eq:7.1.2} e^{x} = sum_{n=0}^{infty} frac{x^{n}}{n!}, quad -infty

[label{eq:7.1.3} sin x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} frac{x^{2n+1}}{(2n+ 1)!}, quad -infty

[label{eq:7.1.4} cos x = sum_{n=0}^{infty} (-1)^{n} frac{x^{2n}}{(2n)!} quad -infty

[label{eq:7.1.5} frac{1}{1-x} = sum_{n=0}^{infty} x^{n} quad -1

Differenzierung der Leistungsreihen

Eine Potenzreihe mit positivem Konvergenzradius definiert eine Funktion

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

auf seinem offenen Konvergenzintervall. Wir sagen, dass die Serie repräsentiert (f) auf dem offenen Konvergenzintervall. Eine durch eine Potenzreihe repräsentierte Funktion (f) kann eine bekannte Elementarfunktion sein, wie in den Gleichungen ef{eq:7.1.2} - ef{eq:7.1.5}; Es kommt jedoch oft vor, dass (f) keine bekannte Funktion ist, also die Reihe tatsächlich definiert (F).

Der nächste Satz zeigt, dass eine durch eine Potenzreihe repräsentierte Funktion Ableitungen aller Ordnungen auf dem offenen Konvergenzintervall der Potenzreihe hat, und liefert Potenzreihendarstellungen der Ableitungen.

Satz (PageIndex{4}): Eine Potenzreihe

Eine Potenzreihe

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

mit positivem Konvergenzradius (R) hat Ableitungen aller Ordnungen in seinem offenen Konvergenzintervall, und aufeinanderfolgende Ableitungen können durch wiederholtes Differenzieren von Term nach Term(;) erhalten werden, d.h.

[egin{align} f'(x)&={sum_{n=1}^infty na_n(x-x_0)^{n-1}}label{eq:7.1.6}, f''(x)&={sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}},label{eq:7.1.7} &vdots& onumber f^{(k)}(x)&={sum_{n=k}^infty n(n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0 )^{nk}}label{eq:7.1.8}.end{align} onumber]

Außerdem haben alle diese Reihen den gleichen Konvergenzradius (R.)

Beispiel (PageIndex{2})

Sei (f(x)=sinx). Aus Gleichung ef{eq:7.1.3},

[f(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^n {x^{2n+1}over(2n+1)!}. keine Nummer]

Aus Gleichung ef{eq:7.1.6},

[f'(x)=sum_{n=0}^infty(-1)^n{dover dx}left[x^{2n+1}over(2n+1)! ight ]= sum_{n=0}^infty(-1)^n {x^{2n}over(2n)!}, onumber]

das ist die Reihengleichung ef{eq:7.1.4} für (cos x).

Einzigartigkeit der Power-Serie

Der nächste Satz zeigt, dass für (f) definiert durch eine Potenzreihe in (x-x_0) mit positivem Konvergenzradius, dann ist die Potenzreihe die Taylorreihe von (f) um (x_0).

Satz (PageIndex{5})

Wenn die Potenzreihe

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n onumber]

einen positiven Konvergenzradius hat, dann

[label{eq:7.1.9} a_n={f^{(n)}(x_0)over n!};]

dh (sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n) ist die Taylorreihe von (f) um (x_0).

Dieses Ergebnis kann durch Setzen von (x=x_0) in Gleichung ef{eq:7.1.8} erhalten werden, was

[f^{(k)}(x_0)=k(k-1)cdots1cdot a_k=k!a_k. keine Nummer]

Dies impliziert, dass

[a_k={f^{(k)}(x_0)over k!}. onumber]

Abgesehen von der Notation ist dies dasselbe wie Gleichung ef{eq:7.1.9}.

Der nächste Satz listet zwei wichtige Eigenschaften von Potenzreihen auf, die aus Satz (PageIndex{4}) folgen.

Satz (PageIndex{6})

  1. Wenn [sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=sum_{n=0}^infty b_n(x-x_0)^n onumber] für alle (x ) in einem offenen Intervall, das (x_0,) enthält, dann (a_n=b_n) für (n=0), (1), (2), ….
  2. Wenn [sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=0 onumber] für alle (x) in einem offenen Intervall, das (x_0,) enthält, dann (a_n =0) für (n=0), (1), (2), ….

Um (a) zu erhalten, beobachten wir, dass die beiden Reihen dieselbe Funktion (f) auf dem offenen Intervall darstellen; daher impliziert Satz (PageIndex{4}), dass

[a_n=b_n={f^{(n)}(x_0)over n!},quad n=0,1,2,dots. keine Nummer]

(b) erhält man aus (a), indem man (b_n=0) für (n=0), (1), (2), … nimmt.

Taylor-Polynome

Wenn (f) (N) Ableitungen an einem Punkt (x_0) hat, sagen wir, dass

[T_N(x)=sum_{n=0}^N{f^{(n)}(x_0)über n!}(x-x_0)^n onumber]

ist der (N)-tes Taylor-Polynom von (f) um (x_0). Diese Definition und der Satz (PageIndex{4}) implizieren, dass wenn

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n, onumber]

wo die Potenzreihe einen positiven Konvergenzradius hat, dann sind die Taylor-Polynome von (f) um (x_0) gegeben durch

[T_N(x)=sum_{n=0}^N a_n(x-x_0)^n. keine Nummer]

In numerischen Anwendungen verwenden wir die Taylor-Polynome, um (f) auf Teilintervallen des offenen Konvergenzintervalls der Potenzreihe anzunähern. Zum Beispiel impliziert Gleichung ef{eq:7.1.2}, dass das Taylor-Polynom (T_N) von (f(x)=e^x) ist

[T_N(x)=sum_{n=0}^N{x^nüber n!}. keine Nummer]

Die durchgezogene Kurve in Abbildung (PageIndex{1}) ist der Graph von (y=e^x) auf dem Intervall ([0,5]). Die gestrichelten Kurven in Abbildung (PageIndex{1}) sind die Graphen der Taylor-Polynome (T_1), …, (T_6) von (y=e^x) um (x_0=0 ). Aus dieser Abbildung schließen wir, dass sich die Genauigkeit der Approximation von (y=e^x) durch sein Taylor-Polynom (T_N) mit zunehmendem (N) verbessert.

Verschieben des Summenindex

In der Definition (PageIndex{1}) einer Potenzreihe in (x-x_0) ist der (n)-te Term ein konstantes Vielfaches von ((x-x_0)^n). Dies gilt nicht in Gleichung ef{eq:7.1.6}, Gleichung ef{eq:7.1.7} und Gleichung ef{eq:7.1.8}, wo die allgemeinen Terme konstante Vielfache von ( (x-x_0)^{n-1}), ((x-x_0)^{n-2}) bzw. ((x-x_0)^{nk}). Diese Reihen können jedoch alle so umgeschrieben werden, dass ihre (n)-ten Terme konstante Vielfache von ((x-x_0)^n) sind. Lassen wir zum Beispiel (n=k+1) in der Reihe in Gleichung ef{eq:7.1.6}, ergibt sich

[label{eq:7.1.10} f'(x)=sum_{k=0}^infty (k+1)a_{k+1}(x-x_0)^k,]

wobei wir den neuen Summationsindex (k) bei Null beginnen, so dass der erste Term in Gleichung ef{eq:7.1.10} (erhalten durch Setzen von (k=0)) gleich dem ersten Term in . ist Gleichung ef{eq:7.1.6} (erhalten durch Setzen von (n=1)). Die Summe einer Reihe ist jedoch unabhängig von dem Symbol, das verwendet wird, um den Summenindex zu bezeichnen, ebenso wie der Wert eines bestimmten Integrals unabhängig von dem Symbol ist, das verwendet wird, um die Integrationsvariable zu bezeichnen. Daher können wir (k) durch (n) in Gleichung ef{eq:7.1.10} ersetzen, um zu erhalten

[label{eq:7.1.11} f'(x)=sum_{n=0}^infty (n+1)a_{n+1}(x-x_0)^n,]

wobei der allgemeine Term ein konstantes Vielfaches von ((x-x_0)^n) ist.

Es ist nicht unbedingt notwendig, den Zwischensummenindex (k) einzuführen. Wir können Gleichung ef{eq:7.1.11} direkt aus Gleichung ef{eq:7.1.6} erhalten, indem wir (n) durch (n+1) im allgemeinen Ausdruck von Gleichung ef{eq . ersetzen :7.1.6} und Subtrahieren von 1 von der unteren Grenze der Gleichung ef{eq:7.1.6}. Allgemeiner verwenden wir das folgende Verfahren zum Verschieben von Indizes.

Verschieben des Summenindex in einer Potenzreihe

Für jede ganze Zahl (k) ist die Potenzreihe

[sum _ { n = n _ { 0 } } ^ { infty } b _ { n } left( x - x _ { 0 } ight) ^ { n - k } onumber ]

kann umgeschrieben werden als

[sum _ { n = n _ { 0 } - k } ^ { infty } b _ { n + k } left( x - x _ { 0 } ight) ^ { n } onumber ]

dh das Ersetzen von (n) durch (n + k) im allgemeinen Term und das Subtrahieren von k von der unteren Summengrenze lässt die Reihe unverändert.

Beispiel (PageIndex{3})

Schreiben Sie die folgenden Potenzreihen aus Gleichung ef{eq:7.1.7} und Gleichung ef{eq:7.1.8} um, sodass der allgemeine Term in jeder ein konstantes Vielfaches von ((x-x_0)^n) ist :

[(a)sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}quad(b) sum_{n=k}^infty n( n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{nk}. keine Nummer ]

Lösung a

Ersetzen von (n) durch (n+2) im allgemeinen Term und Subtrahieren von (2) von der unteren Grenze der Summenausbeute

[sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-x_0)^{n-2}= sum_{n=0}^infty (n+2)(n+1 )a_{n+2}(x-x_0)^n. keine Nummer ]

Lösung b

Ersetzen von (n) durch (n+k) im allgemeinen Term und Subtrahieren von (k) von der unteren Grenze der Summenausbeute

[sum_{n=k}^infty n(n-1)cdots(n-k+1)a_n(x-x_0)^{nk}= sum_{n=0}^infty (n +k)(n+k-1)cdots(n+1)a_{n+k}(x-x_0)^n. keine Nummer ]

Beispiel (PageIndex{4})

Angesichts dessen

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_nx^n, onumber]

schreiben Sie die Funktion (xf'') als Potenzreihe, in der der allgemeine Term ein konstantes Vielfaches von (x^n) ist.

Lösung

Aus Satz (PageIndex{4}) mit (x_0=0),

[f''(x)=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-2}. onumber]

Deswegen

[xf''(x)=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1}. onumber]

Ersetzen von (n) durch (n+1) im allgemeinen Term und Subtrahieren von (1) von der unteren Grenze der Summenausbeute

[xf''(x)=sum_{n=1}^infty (n+1)na_{n+1}x^n. onumber]

Wir können das auch schreiben als

[xf''(x)=sum_{n=0}^infty (n+1)na_{n+1}x^n, onumber]

da der erste Term in dieser letzten Reihe Null ist. (Wir werden später sehen, dass es manchmal nützlich ist, Null-Terme am Anfang einer Reihe einzufügen.)

Linearkombinationen von Leistungsreihen

Wenn eine Potenzreihe mit einer Konstanten multipliziert wird, kann die Konstante in die Summation eingefügt werden; das ist,

[csum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n=sum_{n=0}^infty ca_n(x-x_0)^n. onumber]

Zwei Potenzreihen

[f(x)=sum_{n=0}^infty a_n(x-x_0)^n quadmbox{ und }quad g(x)=sum_{n=0}^infty b_n (x-x_0)^n onumber]

mit positiven Konvergenzradien können Term für Term an Punkten hinzugefügt werden, die ihren offenen Konvergenzintervallen gemeinsam sind; wenn also die erste Reihe für (|x-x_0|

[f(x)+g(x)=sum_{n=0}^infty(a_n+b_n)(x-x_0)^n onumber]

für (|x-x_0|

[c_1f(x)+c_2f(x)=sum_{n=0}^infty(c_1a_n+c_2b_n)(x-x_0)^n. onumber]

Beispiel (PageIndex{5})

Finden Sie die Maclaurin-Reihe für (cosh x) als Linearkombination der Maclaurin-Reihe für (e^x) und (e^{-x}).

Lösung

Per Definition,

[cosh x={1over2}e^x+{1over2}e^{-x}. keine Nummer]

Seit

[e^x=sum_{n=0}^infty {x^nover n!}quadmbox{ und }quad e^{-x}=sum_{n=0}^ infty (-1)^n {x^nüber n!}, onumber]

es folgt dem

[label{eq:7.1.12} cosh x=sum_{n=0}^infty {1over2}[1+(-1)^n]{x^nover n!}. ]

Seit

[{1over2}[1+(-1)^n]=left{egin{array}{cl}1&mbox{ if } n=2m,mbox{ eine gerade ganze Zahl}, 0&mbox{ if }n=2m+1,mbox{ eine ungerade ganze Zahl}, end{array} ight. keine Nummer]

wir können Gleichung ef{eq:7.1.12} einfacher umschreiben als

[cosh x=sum_{m=0}^infty{x^{2m}over(2m)!}. keine Nummer]

Dieses Ergebnis gilt auf ((-infty,infty)), da dies das offene Konvergenzintervall der Maclaurin-Reihe für (e^x) und (e^{-x}) ist.

Beispiel (PageIndex{6})

Annehmen

[y=sum_{n=0}^infty a_n x^n onumber]

auf einem offenen Intervall (I), das den Ursprung enthält.

  1. Drücken Sie [(2-x)y''+2y onumber] als Potenzreihe in (x) auf (I) aus.
  2. Verwenden Sie das Ergebnis von (a), um notwendige und hinreichende Bedingungen für die Koeffizienten ({a_n}) zu finden, damit (y) eine Lösung der homogenen Gleichung . ist

    [label{eq:7.1.13} (2-x)y''+2y=0]

    auf (I).

Lösung a

Aus Gleichung ef{eq:7.1.7} mit (x_0=0),

[y''=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-2}. keine Nummer]

Deswegen

[label{eq:7.1.14} egin{array}{rcl} (2-x)y''+2y &= 2y''-xy'+2y &= {sum_{n=2 }^infty 2n(n-1)a_nx^{n-2} -sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1} +sum_{n=0}^ infty 2a_n x^n}. end{array}]

Um die drei Reihen zu kombinieren, verschieben wir die Indizes in den ersten beiden, um ihre allgemeinen Terme zu konstanten Vielfachen von (x^n) zu machen; daher,

[label{eq:7.1.15} sum_{n=2}^infty 2n(n-1)a_nx^{n-2}=sum_{n=0}^infty2(n+2) (n+1)a_{n+2}x^n]

und

[label{eq:7.1.16} sum_{n=2}^infty n(n-1)a_nx^{n-1}=sum_{n=1}^infty(n+1) na_{n+1}x^n =sum_{n=0}^infty(n+1)na_{n+1}x^n,]

wobei wir in der letzten Reihe einen Nullterm hinzugefügt haben, so dass, wenn wir aus Gleichung ef{eq:7.1.15} und Gleichung ef{eq:7.1.16} in Gleichung ef{eq:7.1.14} ersetzen, alle drei Reihe beginnt mit (n=0); daher,

[label{eq:7.1.17} (2-x)y''+2y=sum_{n=0}^infty [2(n+2)(n+1)a_{n+2} -(n+1)na_{n+1}+2a_n]x^n.]

Lösung b

Aus Gleichung ef{eq:7.1.17} sehen wir, dass (y) Gleichung ef{eq:7.1.13} auf (I) erfüllt, wenn

[label{eq:7.1.18} 2(n+2)(n+1)a_{n+2}-(n+1)na_{n+1}+2a_n=0,quad n=0 ,1,2, Punkte.]

Umgekehrt impliziert Satz (PageIndex{5})b, dass, wenn (y=sum_{n=0}^infty a_nx^n) Gleichung ef{eq:7.1.13} auf (I ), dann gilt Gleichung ef{eq:7.1.18}.

Beispiel (PageIndex{7})

Annehmen

[y=sum_{n=0}^infty a_n (x-1)^n onumber]

auf einem offenen Intervall (I), das (x_0=1) enthält. Drücken Sie die Funktion aus

[label{eq:7.1.19} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y]

als Potenzreihe in (x-1) auf (I).

Lösung

Da wir eine Potenzreihe in (x-1) wollen, schreiben wir den Koeffizienten von (y'') in Gleichung ef{eq:7.1.19} um als (1+x=2+(x- 1)), so wird aus Gleichung ef{eq:7.1.19}

[2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y'+3y. keine Nummer]

Aus Gleichung ef{eq:7.1.6} und Gleichung ef{eq:7.1.7} mit (x_0=1)

[y'=sum_{n=1}^infty na_n(x-1)^{n-1}quadmbox{ und }quad y ''=sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}. keine Nummer]

Deswegen

[egin{ausgerichtet} 2y '' &= sum_{n=2}^infty 2n(n-1)a_n(x-1)^{n-2}, (x-1)y ' ' &= sum_{n=2}^infty n(n-1)a_n(x-1)^{n-1}, 2(x-1)^2y' &= sum_{n= 1}^infty2na_n(x-1)^{n+1}, 3y &= sum_{n=0}^infty 3a_n (x-1)^n.end{ausgerichtet} onumber]

Bevor wir diese vier Reihen hinzufügen, verschieben wir die Indizes in den ersten drei, so dass ihre allgemeinen Terme konstante Vielfache von ((x-1)^n) werden. Dies ergibt

[egin{align} 2y'' &= sum_{n=0}^infty 2(n+2)(n+1)a_{n+2}(x-1)^n,label{ eq:7.1.20} (x-1)y'' &= sum_{n=0}^infty (n+1)na_{n+1}(x-1)^n, label{ eq:7.1.21} 2(x-1)^2y' &= sum_{n=1}^infty 2(n-1)a_{n-1}(x-1)^n, label{eq:7.1.22} 3y &= sum_{n=0}^infty 3a_n (x-1)^n, label{eq:7.1.23}end{align}]

wobei wir der Reihe in Gleichung ef{eq:7.1.21} und Gleichung ef{eq:7.1.22} anfängliche Nullterme hinzugefügt haben. Die Addition von Gleichung ef{eq:7.1.20} –Gleichung ef{eq:7.1.23} ergibt

[egin{ausgerichtet} (1+x)y''+2(x-1)^2y'+3y &= 2y''+(x-1)y''+2(x-1)^2y '+3y &= sum_{n=0}^infty b_n (x-1)^n,end{ausgerichtet} onumber ]

wo

[egin{align} b_0 &= 4a_2+3a_0, label{eq:7.1.24} b_n &= 2(n+2)(n+1)a_{n+2}+(n+1 )na_{n+1}+2(n-1)a_{n-1}+3a_n,,nge1label{eq:7.1.25}.end{align}]

Die Formel Gleichung ef{eq:7.1.24} für (b_0) kann nicht durch Setzen von (n=0) in Gleichung ef{eq:7.1.25} erhalten werden, da die Summe in Gleichung ref{eq:7.1.22} beginnt mit (n=1), während diejenigen in Gleichung ef{eq:7.1.20}, Gleichung ef{eq:7.1.21} und Gleichung ef{eq: 7.1.23} beginnen mit (n=0).


Zuordnungen

Es gibt vier Prüfungen und regelmäßige Hausaufgaben. Die erste Prüfung war Freitag, 5. Juni, 9 Uhr. Der zweite war Mittwoch, der 17. Juni, der dritte Dienstag, der 30. Juni und der letzte Freitag, der 10. Juli (letzter Unterrichtstag).

Kurze Lösungen zum vorletzten Problem-Set finden Sie hier.

Die aktuelle Version (7/08) der Hausaufgabenaufgaben, beginnend mit Frage 88, finden Sie hier (.pdf). Die älteren Probleme sind hier (.pdf) (Nummern 1 bis 49) und hier (.pdf) (Nummern 50 bis 87) verfügbar.

  • Problemsatz 17 (Abgabe am Freitag, 10. Juli, 12.00 Uhr): Fragen 99-101. (Am Donnerstag werden keine zusätzlichen Probleme zugewiesen, Sie können diese also gerne am Donnerstag abgeben, um sie benoten und am Freitag zurücksenden zu lassen.)
  • Problemsatz 16 (Abgabe Mittwoch, 8. Juli, 12.30 Uhr): Ab Montag: Fragen 93-96.
    Ab Dienstag: Fragen 97-8.
  • Problemsatz 15 (abzugeben am Montag, 6. Juli, 12.30 Uhr): Es gibt 10 mögliche Positionen für die zusätzliche halbe Stunde des Unterrichts: von 12 bis 12.30 Uhr oder von 14.30 bis 3 Uhr an einem beliebigen Tag der nächsten Woche. Senden Sie mir eine E-Mail mit den Zeiten, mit denen Sie einen Konflikt haben oder dass Sie keinen dieser Zeiten haben. Dann mach die Fragen 88-92.
  • Problemstellung 14 (Abgabe am Donnerstag, 2. Juli, 12.30 Uhr): Fragen 84-87.
  • Prüfung 3: Fragen und Lösungen im .pdf-Format.
  • Aufgabenstellung 13 (Abgabe Montag, 29. Juni, 12:30 Uhr): Fragen 78-82. Bei Frage 81 liegt ein Tippfehler vor: Die Wörter "unten" und "oben" sollten vertauscht werden.
  • Problemsatz 12 (abzugeben Freitag, 26. Juni, 12 Uhr): Ab Mittwoch: Fragen 71-75. Wiederholen Sie auch Frage 67, wenn Sie sie zur Gutschrift einreichen möchten.
    Ab Donnerstag: Fragen 76, 77.
  • Problemsatz 11 (abzugeben Mittwoch, 24. Juni, 12:30 Uhr): Ab Montag: Fragen 59, 60, 61, 62. Ab Dienstag: 65, 66, 67, 68. Bei Frage 67 ist ein Tippfehler , "Wie lautet die Gleichung der durch (1, 2, 3) gehenden Ebene, die ein Tetraeder vom ersten Oktanten minimalen Volumens schneidet?" Der erste Oktant ist die Menge von Punkten im Raum, so dass x, y, z alle größer oder gleich 0 sind. Das zweidimensionale Analogon dieses Problems wäre: "Wie lautet die Gleichung der durch (1, 2) das ein Dreieck vom ersten Quadranten der minimalen Fläche abschneidet?"
  • Aufgabenstellung 10 (Abgabe Montag, 22. Juni, 12:30 Uhr): Fragen 56, 57, 58.
  • Aufgabenstellung 9 (wird am Freitag, 19. Juni, 12 Uhr umgedreht): Fragen 50, 51, 52, 53, 55. Hinweis zu 53: Der Richtungsvektor der Geraden verläuft parallel zu beiden Ebenen und steht somit senkrecht zu den Normalenvektoren beider Flugzeuge. Hinweis zu 55: Ellipsen sind Kreisen sehr ähnlich.
  • Aufgabenstellung 8 (Abgabe am Mittwoch, 17. Juni, 12.30 Uhr): Fragen 48 und 49. Setzen Sie für die Zahl 49 einen ausgewählten Wert in eine der Ihnen bekannten Potenzreihenformeln ein, um die fragliche Reihe zu berechnen.
    Kommen Sie am Dienstag mit allen Prüfungsfragen für die bevorstehende Prüfung vorbereitet.
  • Prüfung 2: Fragen und Lösungen im .pdf-Format.
  • Aufgabenstellung 7 (Abgabe Montag, 15. Juni, 12:30 Uhr): Fragen 42, 44, 45, 46, 47.
  • Aufgabenstellung 6 (abzugeben Freitag, 12. Juni, 12.30 Uhr): Ab Mittwoch: Fragen 36, 37.
    Später Mittwoch hinzugefügt: 40, 41. Bei Frage 41 hinterlassen Sie Ihre Antwort in Form einer inversen trigonometrischen Funktion.
    Donnerstag hinzugefügt: 38, 39, 43.
  • Aufgabenstellung 5 (abzugeben Mittwoch, 10. Juni, 12:30 Uhr): Ab Montag: Fragen 19, 30, 32. (Bei Nummer 19 sollte die endgültige Antwort aus den 18 Funktionen der Reihe nach mit den Symbolen ">>," ">", "


Um mit der Analyse dieser Reihe zu beginnen, könnten Sie die Sterling-Approximation $n!approx left(frac ne ight)^nsqrt <2pi n>$ verwenden:

Dies ist natürlich nur eine untere Grenze für den Näherungswert, und dieser Term $sqrt n$ muss noch behandelt werden.

Ich musste viel recherchieren, was mein Vorteil war :)

Umriss. Grundsätzlich werde ich den Traum des zweiten Jahres verwenden, um einen integralen Ausdruck für die Antwort abzuleiten.

Nachweisen. Wir ändern Variablen, indem wir $ ag<2a>x=expigl(-u/(n+1)igr)$ schreiben, was uns erlaubt, (1) als $int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx = (-1)^(n+1)^<-(n+1)>int^_<0>u^e^<-u>,mathrmu ag<2b>$ Beachten Sie, dass das Integral auf der rechten Seite genau $n!$ ist (dank der Gamma-Funktion). Damit ist der Beweis für unser Lemma abgeschlossen. QED.

Satz. Wir behaupten $f(t) = 1+sum^_left(frac echts)^ = 1 + tint^<1>_<0>x^<-xt>,mathrmx. ag<3>$

Nachweisen. Am Ende schreiben wir den Integranden auf der rechten Seite um $x^ <-xt>= e^ <-xtln(x)>= sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^. ag<4a>$ Das setzen wir zurück in das Integral $int^<1>_<0>x^<-xt>,mathrmx= int^<1>_<0>sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^,mathrmx. ag<4b>$ Summe und Integral vertauschen $int^<1>_<0>sum^_frac<(-t)^>x^ln(x)^,mathrmx =sum^_frac<(-t)^>int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx. ag<4c>$ Wir verwenden unser Lemma, um die rechte Seite in egin . umzuschreiben sum^_frac<(-t)^>int^<1>_<0>x^ln(x)^,mathrmx &= sum^_frac<(-t)^>left((-1)^(n+1)^<-n+1>n! ight) &= sum^_frac<>><(n+1)^>. ag <4c>end Dann fummeln wir einfach an der Arithmetik herum (multiplizieren mit $t$ und addieren 1), um die fragliche Reihe zu erhalten. Damit ist unser Beweis für den Satz abgeschlossen. QED.

Anmerkung. Mir ist kein geschlossener Ausdruck für das Integral bekannt. Vielleicht kennt entweder das OP oder ein anderer Benutzer eine ausgefallene Möglichkeit, das Integral auszuwerten, aber ich kenne keine leicht verfügbare :(


Potenzreihe

Unsere Redakteure prüfen, was Sie eingereicht haben, und entscheiden, ob der Artikel überarbeitet werden soll.

Potenzreihe, in der Mathematik eine unendliche Reihe, die man sich als Polynom mit unendlich vielen Termen vorstellen kann, z. B. 1 + x + x 2 + x 3 +⋯. Normalerweise konvergiert eine gegebene Potenzreihe für alle Werte von . (d. h. nähert sich einer endlichen Summe an) x innerhalb eines bestimmten Intervalls um Null herum – insbesondere immer dann, wenn der Absolutwert von x ist kleiner als eine positive Zahl R, bekannt als Konvergenzradius. Außerhalb dieses Intervalls divergiert die Reihe (ist unendlich), während die Reihe konvergieren oder divergieren kann, wenn x = ± R. Der Konvergenzradius kann oft durch eine Version des Quotiententests für Potenzreihen bestimmt werden: gegeben eine allgemeine Potenzreihe ein0 + ein1x + ein2x 2 +⋯, wobei die Koeffizienten bekannt sind, ist der Konvergenzradius gleich der Grenze des Verhältnisses aufeinanderfolgender Koeffizienten. Symbolisch konvergiert die Reihe für alle Werte von x so dass

Zum Beispiel die unendliche Reihe 1 + x + x 2 + x 3 +⋯ hat einen Konvergenzradius von 1 (alle Koeffizienten sind 1) – das heißt, es konvergiert für alle −1 < x < 1 – und innerhalb dieses Intervalls ist die unendliche Reihe gleich 1/(1 − x). Anwendung des Verhältnistests auf die Serie 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3/3! +⋯ (wobei die faktorielle Notation n! bedeutet das Produkt der Zählzahlen von 1 bis n) ergibt einen Konvergenzradius von so dass die Reihe für jeden Wert von konvergiert x.

Die meisten Funktionen können durch eine Potenzreihe in einem bestimmten Intervall dargestellt werden (sehen Tisch ). Obwohl eine Reihe für alle Werte von konvergieren kann x, kann die Konvergenz für einige Werte so langsam sein, dass ihre Verwendung zur Approximation einer Funktion die Berechnung zu vieler Terme erfordert, um sie nützlich zu machen. Anstelle von Befugnissen von x, manchmal tritt eine viel schnellere Konvergenz für Potenzen von (xC), wo C ist ein Wert in der Nähe des gewünschten Wertes von x. Potenzreihen wurden auch zur Berechnung von Konstanten wie π und der Basis des natürlichen Logarithmus . verwendet e und zum Lösen von Differentialgleichungen.

Dieser Artikel wurde zuletzt von William L. Hosch, Associate Editor, überarbeitet und aktualisiert.


6.1 Leistungsreihen und Funktionen

Eine Potenzreihe ist eine Reihe von Termen, die eine Variable beinhalten. Genauer gesagt, wenn die Variable . ist x, dann beinhalten alle Terme der Reihe Potenzen von x. Daher kann man sich eine Potenzreihe als unendliches Polynom vorstellen. Potenzreihen werden verwendet, um gemeinsame Funktionen darzustellen und auch um neue Funktionen zu definieren. In diesem Abschnitt definieren wir Potenzreihen und zeigen, wie man bestimmt, wann eine Potenzreihe konvergiert und wann sie divergiert. Wir zeigen auch, wie man bestimmte Funktionen mit Potenzreihen darstellt.

Form einer Leistungsreihe

wo x eine Variable ist und die Koeffizienten Cn Konstanten sind, wird als Potenzreihe bezeichnet. Die Serie

ist ein Beispiel für eine Potenzreihe. Da diese Reihe eine geometrische Reihe mit dem Verhältnis r = x , r = x ist, wissen wir, dass sie konvergiert, wenn | x | < 1 | x | < 1 und divergiert, wenn | x | 1 . | x | 1 .

Definition

ist eine Potenzreihe um x = 0 zentriert. x = 0 . Eine Reihe der Form

ist eine Potenzreihe um x = a zentriert. x = ein.

sind beide Potenzreihen bei x = 0 zentriert. x = 0 . Die Serie

ist eine Potenzreihe um x = 2 zentriert. x = 2.

Konvergenz einer Potenzreihe

Konvergenz einer Potenzreihe

Nachweisen

schließen wir, dass für alle n N , n N ,

Mit diesem Ergebnis können wir nun den Satz beweisen. Betrachten Sie die Serie

Definition

Um das Konvergenzintervall für eine Potenzreihe zu bestimmen, wenden wir typischerweise den Verhältnistest an. In Beispiel 6.1 zeigen wir die drei verschiedenen Möglichkeiten, die in Abbildung 6.2 dargestellt sind.

Beispiel 6.1

Bestimmung des Konvergenzintervalls und des Konvergenzradius

Bestimmen Sie für jede der folgenden Reihen das Konvergenzintervall und den Konvergenzradius.

Lösung

Kontrollpunkt 6.1

Bestimmen Sie das Intervall und den Konvergenzradius für die Reihe ∑ n = 1 ∞ x n n . n = 1 ∞ x n n .

Funktionen als Potenzreihen darstellen

Eine Funktion durch ein „unendliches Polynom“ darstellen zu können, ist ein mächtiges Werkzeug. Polynomfunktionen sind am einfachsten zu analysieren, da sie nur die grundlegenden arithmetischen Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division beinhalten. Wenn wir eine komplizierte Funktion durch ein unendliches Polynom darstellen können, können wir die Polynomdarstellung verwenden, um sie zu differenzieren oder zu integrieren. Darüber hinaus können wir eine abgeschnittene Version des Polynomausdrucks verwenden, um die Werte der Funktion anzunähern. Die Frage ist also, wann können wir eine Funktion durch eine Potenzreihe darstellen?

Betrachten Sie noch einmal die geometrische Reihe

Denken Sie daran, dass die geometrische Reihe

Damit können wir die Funktion f ( x ) = 1 1 − x f ( x ) = 1 1 − x durch die Potenzreihe

Wir zeigen nun grafisch, wie diese Reihe eine Darstellung für die Funktion f ( x ) = 1 1 − x f ( x ) = 1 1 − x liefert, indem wir den Graphen von F mit den Graphen mehrerer der Teilsummen dieser unendlichen Reihe.

Beispiel 6.2

Eine Funktion und Partialsummen ihrer Potenzreihen grafisch darstellen

Lösung

Als nächstes betrachten wir Funktionen, die einen der Summe einer geometrischen Reihe ähnlichen Ausdruck beinhalten, und zeigen, wie diese Funktionen durch Potenzreihen dargestellt werden.

Beispiel 6.3

Darstellung einer Funktion mit einer Potenzreihe

Verwenden Sie eine Potenzreihe, um jede der folgenden Funktionen f darzustellen. F . Finden Sie das Konvergenzintervall.

Lösung

In den verbleibenden Abschnitten dieses Kapitels werden wir zeigen, wie man Potenzreihendarstellungen für viele andere Funktionen herleitet und wie wir diese Darstellungen verwenden können, um verschiedene Funktionen auszuwerten, zu differenzieren und zu integrieren.

Abschnitt 6.1 Übungen

Geben Sie in den folgenden Übungen an, ob jede Aussage wahr ist, oder geben Sie ein Beispiel an, um zu zeigen, dass sie falsch ist.

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen den Konvergenzradius R und Konvergenzintervall für a n x n a n x n mit den gegebenen Koeffizienten a n . ein .

Bestimmen Sie in den folgenden Übungen den Konvergenzradius jeder Reihe.

k = 1 ∞ k ! 1 · 3 · 5 ( 2 k − 1 ) x k ∑ k = 1 ∞ k ! 1 · 3 · 5 ( 2 k − 1 ) x k

k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k k = 1 ∞ 2 · 4 · 6 ⋯ 2 k ( 2 k ) ! x k

Verwenden Sie in den folgenden Übungen den Verhältnistest, um den Konvergenzradius jeder Reihe zu bestimmen.

n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x n n = 1 ∞ 2 3 n ( n ! ) 3 ( 3 n ) ! x nein

f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 a = 0 f ( x ) = x 2 1 − 4 x 2 a = 0

f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 a = 2 f ( x ) = x 2 5 − 4 x + x 2 a = 2

Verwenden Sie die nächste Übung, um den Konvergenzradius der gegebenen Reihe in den folgenden Übungen zu ermitteln.

k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( k − 1 2 k + 3 ) k x k

∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k ∑ k = 1 ∞ ( 2 k 2 − 1 k 2 + 3 ) k x k

∑ n = 1 ∞ an n = ( n 1 / n − 1 ) n x n ∑ n = 1 ∞ an n = ( n 1 / n − 1 ) n x n

∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 ) ∑ n = 0 ∞ a 2 n x n ( H i n t : x = ± x 2 )

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    • Autoren: Gilbert Strang, Edwin „Jed“ Herman
    • Herausgeber/Website: OpenStax
    • Buchtitel: Infinitesimalrechnung Band 2
    • Erscheinungsdatum: 30.03.2016
    • Ort: Houston, Texas
    • Buch-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • Abschnitts-URL: https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/6-1-power-series-and-functions

    © 21.12.2020 OpenStax. Von OpenStax produzierte Lehrbuchinhalte sind unter einer Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0-Lizenz lizenziert. Der OpenStax-Name, das OpenStax-Logo, die OpenStax-Buchcover, der OpenStax CNX-Name und das OpenStax CNX-Logo unterliegen nicht der Creative Commons-Lizenz und dürfen ohne die vorherige und ausdrückliche schriftliche Zustimmung der Rice University nicht reproduziert werden.


    Inhaltsverzeichnis

    Vorwort
    Einführung und Inhalt
    Teil eins. Allgemein
    Kapitel 1. Technisches Design und mathematische Programmierung
    1.1. Der Prozess des Konstruktionsdesigns
    1.2. Anwendung von Computern in Systemdesign und -betrieb
    1.3. Optimierungsmethoden
    Kapitel 2. Ein Überblick über die Planung und den Betrieb von Stromversorgungssystemen
    2.1. Ziele der Systemplanung
    2.2. Phasen der Systemplanung und -konstruktion
    2.3. Der Übergang von der Planung zum Betrieb
    2.4. Die Ziele des Systembetriebs
    2.5. Phasen im Systembetrieb
    Kapitel 3. Einige häufig verwendete Analysetechniken
    3.1. Stromflüsse und Spannung
    3.2. Die Knotenimpedanzmatrix
    3.3. Fehlerstufen
    3.4. Transiente und stationäre Stabilität
    3.5. Some Useful Approximations
    3.6. System Costs
    Part Two. System Planning
    Chapter 4. The Estimation of Demand and Total Generation Requirement
    4.1. Estimation of Energy and Active Power Demands
    4.2. Estimation of Reactive Power
    4.3. The Estimation of Available Generation Capacity
    4.4. Reliability of Supply
    4.5. Gross Plant Margins and Standards of Supply in Practice
    Chapter 5. Standardization Studies for Network Plant
    5.1. Standardization Studies for One Stage of Development
    5.2. Standardization Studies for Several Stages of Development
    5.3. Fault Levels and Switchgear Rupturing Capacity
    Chapter 6. Generation Expansion Studies
    6.1. Comparative Economic Assessment of Individual Generation Projects
    6.2. The Investigation of Outline Generation Expansion Plans
    6.3. Simulation Models in Generation Expansion Planning
    6.4. A Heuristic Method to Investigate Outline Expansion Plans
    6.5. Linear Programming Models
    6.6. Dynamic Programming Formulations
    6.7. Other Non-linear Models
    6.8. Abschluss
    Chapter 7. Network Configuration Studies
    7.1. Typical Network Configurations
    7.2. The Configuration and Computation
    7.3. The Configuration Design Problem
    7.4. Costing of Schemes
    7.5. Security Criteria and Analysis of Network Viability
    7.6. Outline Design
    7.7. Configuration Design
    7.8. Configuration Synthesis Using Engineering Judgment
    7.9. Network Synthesis Using Mixed Engineering Judgment/Optimization Methods
    7.10. Configuration Synthesis Using Heuristic Logic
    7.11. Configuration Synthesis Using a Combinatorial Approach
    7.12. Two Recent Proposals for Configuration Synthesis
    7.13. Other Possible Approaches to Configuration Synthesis
    7.14. Abschluss
    Chapter 8. Probability and Planning
    8.1. Reliability Analysis in Network Planning
    8.2. Reliability Analysis on the Generation and Transmission System
    8.3. Risk and Uncertainty in Investment Decisions
    8.4. Abschluss
    Part Three. System Operation
    Chapter 9. Time Scales and Computation in System Operation
    Chapter 10. Load Prediction and Generation Capacity
    10.1. The Prediction of Demand
    10.2. Generation Capacity
    10.3. Optimum Maintenance Programming
    10.4. Fuel Supplies and Costs
    Chapter 11. Security Assessment
    11.1. Indications and Analysis of Insecure Operation
    11.2. Security Assessment against Excessive Current Flows
    11.3. Security Assessment against Excessive Fault Levels
    11.4. Security Assessment against Excessive Voltage Changes
    11.5. Security Assessment against System Instability
    11.6. The Present and Trends in Predictive Security Assessment
    11.7. The Present and Trends in On-line-Security Assessment
    Chapter 12. The Scheduling of Generating Plant
    12.1. A Manual Method of Scheduling
    12.2. Integer Programming Methods
    12.3. A Dynamic Programming Method
    12.4. Heuristic Methods
    12.5. Abschluss
    Chapter 13. The Dispatching of Generation
    13.1. Primary, Secondary and Tertiary Regulation
    13.2. Operation of Interconnected Areas
    13.3. Economic Dispatch Using the "Coordination Equations"
    13.4. Economic Dispatching Incorporating Group Transfer Analysis
    13.5. Economic Dispatching Incorporating Multiple-Load-Flow Analysis
    13.6. Dispatching Models Including an Exact Network Solution
    13.7. Transmission Loss Calculations and Optimum Dispatch
    13.8. System Control Centers
    13.9. Assessment of Optimum Network Configuration in Operation
    13.10. A Brief Note on the Operation of Hydrothermal Systems
    13.11. Computers and Dispatching in the Future
    Abschluss
    Appendix 1. Some Concepts in Probability Theory
    1.1. Markovian Systems
    1.2. Some Basic Equations in Reliability Theory
    1.3. Probability and the Binomial Distribution
    1.4. The Monte Carlo Method
    Appendix 2. Mathematical Programming
    2.1. Linear Programming
    2.2. Some Special Forms and Extensions of Linear Programming
    2.3. Non-linear Programming
    2.4. Dynamic Programming
    Appendix 3. Terms and Symbols Used
    3.1. Bedingungen
    3.2. Symbole
    Verweise
    Index
    Other Titles in the Series


    Exam 2

    • 2.5, 7.4: Differential Equations
    • 10.1-10.2: Improper Integrals
    • 11.1-11.4: Sequences and Series
    • 11.5-11.6: Power Series (you will only need be responsible for the information posted on the Power Series worksheets for Monday, 4/7, Wednesday, 4/9, and Friday, 4/11). In particular, you will NOT be tested on integration and differentiation of power series on Exam 2.
    • Chapter 11 Review Exercises: 1-8, 10, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22, 37-48. Here are solutions for the Chapter 11 Review Exercises.

    Here are some practice exam questions for Exam 2. Note that inclusion or exclusion of a particular topic on the practice exam DOEST NOT mean that that topic will necessarily be included or excluded on the actual exam. The practice exam is just to give you some more practice problems to work on. You should, of course, study your class notes, homework problems, and quiz problems in addition to the practice exam. Here is an Answer Key for Practice Exam 2. Here are some worked out solutions and hints to the practice exam.

    Warning: Do not look at or print out the solutions to the above practice problems until after working on them yourself, taking some time, and going back later to try any problems you couldn't do the first time again. Doing the problems while looking at the answers renders them almost completely useless as preparation for taking an exam.


    Determining the Radius of Convergence of a Power Series

    We will now look at a technique for determining the radius of convergence of a power series using The Ratio Test for Positive Series

    Theorem 1: If $lim_ iggr vert frac<>> iggr vert = L$ where $L$ is a positive real number or $L = 0$ or $L = infty$ , then the power series $sum_^ a_n(x - c)^n$ has a radius of convergence $R = frac<1>$ where if $L = 0$ then $R = infty$ and if $L = infty$ then $R = 0$ .

    Let's now look at some examples of finding the radius of convergence of a power series.


    I plan to keep an up-to-date list of the topics, examples etc. covered in class. Unless stated otherwise, reference numbers refer to our textbook, W. E. Boyce and R. C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.), henceforth abbreviated as [BDP].

    Note: There is a free online access to WileyPLUS provided by the University on campus. This no-cost option is sufficient to complete the homework assignments for Math 201. However, it can be accessed only from these designated computer labs on campus, and it does not allow usage of any other online Wiley study tools.

    two attempts for every homework problem. Correct answers on second attempts are worth 80%.

    Three words about cheating:

    Midterm test

    The midterm test will be held on Saturday, October 24th, 2015 at 1:00 pm . You will write the midterm in N-RE 2-001 (our usual class room last names A - K) or N-RE 2-003 (last names L - Z).

    A midterm review session will be held for all sections on Thursday, 22 Oct, 5-7 pm in CCIS L2-190. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here.

    Need some practice material? The following is taken from last year's midterm: Midterm test 2014.

    Some of you have asked for additional practice material for homogeneous and Bernoulli equations. You may want to check out this for Bernoulli equations for homogeneous equations, try this and this (the latter also has some other substitutions).

    • Duration: 90 minutes.
    • Material covered: Up to, and including, power series solutions of linear differential equations, i.e., Chapters I to IV in class.
    • Some questions may be multiple choice.
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Viel Glück!

    The Math and Applied Sciences Centre is also offering a review session.

    Midterm test - Solutions

    Midterm test average:

    Final exam

    The final exam will be held on Saturday, December 19th, 2015 at 9:00 am in the Main Gym (Van Vliet building)

    The following rows have been reserved for you (section EB1):

    Please make sure you are seated in one of the correct rows.

    Some details concerning the final:

    • Duration: 120 minutes.
    • Material covered: Basically everything, but with a strong emphasis on the material covered in class after the midterm test.
    • A table of Laplace transform will be provided (from [BDP]).
    • NO calculators, formula sheets etc.!
    • NO cell-phones, i-pods, or other electronics!
    • Please bring a valid ID with you.
    • Viel Glück!

    A review session will be held for all sections on Wednesday, 9 Dec, 4:00-6:00pm in ETLC 1-003. Please make an effort to attend!
    The material for this review session can be found here and here.

    Other material

    Need help? The Decima Robinson Support Centre in CAB 528 offers free drop-in help sessions, Monday to Friday, 9:00 am to 3:00 pm. It's a great, friendly place, though quite busy at times.

    Your integration skills are a bit rusty? The Math and Applied Sciences Centre is running a Review of Integration Techniques.


    6.2: Review of Power Series - Mathematics

    Office hours: Tuesdays 5:00PM - 6:00PM and 8:30 - 9PM (Thursday office hours TBD), Hill 624 or by appointment.

    Email: cl.volkov at rutgers dot edu (for friends) / fq15 at scarletmail dot rutgers dot edu (for teaching)

    Lecture 2 (June 1, 2017). Lecture Notes, Workshop 1 (written by Dr. Scheffer), Writing Samples.
    The course materials mainly comes from Chapter 5 and 6 of Sundstrom's book.
    Also you can read Zorich's book, Section 1.2 and 1.3.
    All workshops are due 11:55PM the next Tuesday. So in case you have questions, you can discuss with me either before or after Tuesday's class.

    Lecture 3 (June 6, 2017). Vorlesungsnotizen
    For more details, please read Zorich, Section 2.1.
    An slightly different argument showing root 2 is not rational can be found in [Z], 2.2.2.c. The argument in the notes is modified from [A], Theorem 1.4.5.
    The construction of real numbers using Dedekind cuts can be found in [A], Section 8.6.

    Lecture 4 (June 8, 2017). Lecture Notes, Workshop 2
    Since I wasn't able to cover the density theorem, the workshop problem 5 is removed from this week's assignment.
    By now you should finish reading [A], Section 1.1 - 1.3 and Thompson-Brucker-Brucker, Elementary Real Analysis, Section 1.1 - 1.7.

    Lecture 5 (June 13, 2017). Vorlesungsnotizen
    It is very important that the Nested Interval Property applies only to closed intervals that are bounded. Think: which part of the proof fails when the intervals are not bounded.
    One can prove under the assumption of Archimedean Property, Nested Interval Property can imply Axiom of Completeness. Please see James Propp's paper Real Analysis in Reverse for more details. In the coming Chapter we will see a lot more such properties.

    Lecture 6 (June 15, 2017). Lecture Notes, Workshop 3
    In case you are interested in solving the optional workshop problem, please see the Notes on Countable Sets and Cantor's Diagonalization.
    The idea of Cantor's Diagonalization is to construct a decimal that is outside of the range of the function from the naturals to reals. Please see [A], Section 1.6 for details. In the note above you will find the most essential argument.
    By now you should finish reading Section 1.4 - 1.5 and 2.1 of the textbook, and Section 1.8 - 1.10, 2.1 - 2.4 of the TBB book
    About cardinalities, please read [Gamow] One Two Three Infinity, Chapter 1 and 2.

    Lecture 7 (June 20, 2017). Vorlesungsnotizen
    Here you should learn the technique of finding the N from the given conditions of convergence, instead of from the estimates.
    Also, to use the Algebraic Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.

    Lecture 8 (June 22, 2017). Lecture Notes, Workshop 4
    For the Order Limit Theorem, it is important to make sure that all the limits involved exist. Otherwise you might make some serious mistakes.
    Monotone Convergence gives a very convenient way of proving convergence, but usually does not tell you directly what the limit is. In general, getting the actual limit is usually difficult. In this class we only deal with some simple cases.
    Please make sure you can recall how to prove AoC implies MCT. Make a brief summary definitely helps.
    By now you should finish reading [A] 2.2 - 2.4, [TBB] 2.5 - 2.10.

    Lecture 9 (June 27, 2017). Vorlesungsnotizen
    In case you are struggling with the Workshop 4, Mr. Yang kindly wrote a guide to all the problems and agreed to share. Note that this is just a guide. The thinking process has been elaborated presented. Yet it does not make a proof. You still need to organize these thoughts into a proof.

    Lecture 10 (June 29, 2017). Lecture Notes, Workshop 5
    In case you are not satisfied with certain grade of the quizzes, or you have missed it due to any reason, please finish a write-up of the homework of the previous lecture and present your solution to me in person.
    For example, if you are not happy with your grades for Quiz 7, then you should do all the homework problems assigned in Lecture 7.
    I'll check a random problem to see if you really have good understanding towards it. If you have, then your quiz grade will be made to 8/10. To make up quizzes 1 - 9, your solutions must be presented before July 13th. After July 13th, the grades for Quiz 1 - 9 cannot be changed any more.
    By now you should finish reading [A] 2.5 - 2.6, [TBB] 2.11 - 2.12.

    Lecture 11 (July 4, 2017) No lectures today. Happy holiday!

    Lecture 12 (July 6, 2017). Midterm Exam, Workshop 6 (Written by Dr. Scheffer)
    Second chance policies: In case you didn't do well in the midterm, here is what you should do:

    • Study the course notes and other materials to make sure you know how to solve every problems in the exam.
    • Arrange a time for a Russian styled oral exam. I will pick a random problem in the exam.You will have 10 minutes for preparing the solutions. Then you should present the solution on the blackboard.
    • Books, pre-written notes are not allowed. The only thing you can refer to is the notes you generated in that 10 minutes.

    If your presentation is satisfactory, your midterm grade will be exonerated from the final grading computation. In other words, your grade will be computed as 60% Final + 20% Workshop + 10% Oral Quiz + 10% Written Quiz.

    Lecture 13 (July 11, 2017). Course Notes
    For those who missed tonight's lecture, please make sure you are capable of proving every single entry in the table on Page 9. In class I explained those examples on the blackboard. However the proof was only given orally. Please let me know if you are having trouble proving any items. I will be happy to supply an argument.
    The written quiz tonight is replaced as a Questionnaire regarding the midterm. Please find it in Sakai Assignments.

    Lecture 14 (July 13, 2017). Course Notes, Workshop 7
    Note: You don't need to worry the compactness part in either [A] or [TBB]. I did use the examples in [A] and the motivating comments in [TBB]. For Workshop 7, you don't need to know anything other than the currently posted course notes.
    By now you should finish reading [A] 3.2, [TBB] 4.1 - 4.4.

    Lecture 15 (July 18, 2017). Course Notes
    I have set up the system, so Workshop 6 can be (re)submitted until Aug. 4. Workshop 7 can be (re)submitted until July 25th.

    Lecture 16 (July 20, 2017). Course Notes, Workshop 8
    By now you should finish reading [A] 3.3, [TBB] 4.5 (Note that the Cousin's Property was not covered). You should start reading [A] 4.2 and [TBB] 5.1.
    Sorry for having delivered a stupidly organized lecture tonight. Hopefully the reorganized notes look better. Please let me know if you have troubles.

    Lecture 18 (July 27, 2017). Course Notes, Workshop 9
    By now you should finish reading [A] 4.1 - 4.3, [TBB] 5.1, 5.2, 5.4 and 5.5.
    On the second page of Workshop 9 you will find some comments to the exercises in [A]. Please at least attempt those problems I boldfaced.

    Lecture 19 (Aug. 1, 2017). Course Notes
    As we are about to finish Chapter 4 on Thursday, it is a very good point to review everything. If you have a good understanding on the materials in Chapter 1 to 4, you should feel no difficulty at all to understand Chapter 5, and most of the parts in Chapter 6 (until you arrive at the issue of uniform convergence of sequences and series of functions). If you are taking 312 next semester, your life will be easy for a while. So please do so without hesitation.
    For those who didn't do well in the quiz tonight, please answer the following questions:
            1. How many exercises did you attempt in 3.2, 3.3, 4.2, 4.3, 4.4?
            2. What kind of difficulty did you experience?
            3. Anything I can do to help?
    Please send your answers through emails. The grade for the quiz will be adjusted to 8/10 or your actual grade, whichever is higher.

    Lecture 20 (Aug. 3, 2017). Course Notes, Workshop 10
    Please attempt to prove those facts in Part 3 by yourself and do not read my argument unless you have no clue. My argument might be too complicated than it should be. The easiest way to simplify any complicated argument is to work your own argument without reading a word from the original one.
    The reason I chose these two easy problems for this last workshop assignment is to provide more free time for you to review the materials and attempt all the other problems in the book. Don't be lazy. You are not studying analysis for me, but to prepare for your future studies. The exercises in [A] is really the minimal amount you have to go through in order to master the skills.
    By now you should finish reading [A] 4.4 - 4.5 and [TBB] 5.6 - 5.9.

    Lecture 21 (Aug. 8, 2017). Course Notes.
    As you can see, if you have a solid understand for Chapter 1 through 4, there is no trouble for you to understand at least the theory of derivatives. The main challenge for this Chapter is how to use the results in real life. Please see Zorich's exercises for more practice.

    Lecture 22 (Aug. 10, 2017). Course Notes. Review of Chapter 1 to 4
    The exam will be held on next Tuesday. There will be 13 problems with 200 points. 150 points are considered as a perfect score. Please find more details on Sakai.
    By now you should finish reading [A] 5.1 - 5.3. If you have time, please also read [TBB] 7.1 - 7.7. We don't have enough time covering all these materials however the knowledge will be assumed in 312.

    In the Spring of 2017 I taught 640:244 (Differential Equation for Physics and Engineering) for Sections 20 - 22.
    I taught the same class in the past. Here are the materials I taught in Summer 2015. And here are the materials I used for teaching recitations of 244 in Spring 2015, Fall 2014, Spring 2014 and Fall 2013.

    Please find Dr. Shtelen's syllabus, schedule and homework assignments here.

    Please find the information concerning maple labs here.

    All announcements are to be posted on sakai. Please make sure that you have a working email address registered to the system.

    • MIT OCW Lectures on Differential Equations (Note that they have a different syllabus)
    • Dr. Z's Calc 4 Lecture Handouts (The mathematical central topic is covered and emphasized, with marginal topics discarded)
    • Maple Tutorial (Found and shared by Mr. Joshua Vigoureux).

    Week 2 (Jan. 25): Recitation Notes, Quiz 1.
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 1 to further understand the geometric interpretation of ODE.
    Regarding the first order linear ODE, you can also check MIT Lecture 3 and read Dr. Z's notes for 2.1 for further understanding.
    Here are my own notes for Section 2.2 and 2.4

    Week 4 (Feb. 8): Recitation Notes (Part 1), Recitation Notes (Part 2) (allow me to reuse the notes in the past). Quiz 3
    In case you have time, please also watch MIT Lecture 5 and read Dr. Z's Notes on 2.5 (Note that Dr. Z used a different method).
    Here are my own notes for Section 2.7 and Section 3.1.

    Week 6 (Feb. 22): No recitation notes this week. Aside from those exam problems, I just went over the notes I announced in the previous week.
    The Quiz this week is take-home. Please carefully review Section 2.6 and 3.4.

    Week 7 (Mar. 1): Recitation Notes, Yet another take-home Quiz
    The principle I talked about in the recitation notes applies to Chapter 4 as well. You should keep in mind that
          1. First try templates, as well as exponential powers, are determined ONLY by the right hand side of the ODE.
          2. To determine how many times your template fails, you have to look at the characteristic roots, which are determined ONLY by the left hand side of the ODE.
    Please understand this set of recitation notes thoroughly.
    For 3.5 and 3.6, Dr. Z's notes may also be helpful: Notes on 3.5, Notes on 3.6
    My own notes on 3.5 (Part 1), 3.5 (Part 2), 3.5 (Part 3), 3.6, 3.4 and 3.7 (Course Plan), 3.4 and 3.7 (Notes Part 1), 3.7, 5.4 (Notes Part 2), 3.6, 3.8

    Week 8 (Mar. 8): Recitation Notes, Quiz 7
    Basically all the related materials were posted last week. So nothing more here.

    Week 9 (Mar. 15): Spring break. No recitation today. Enjoy!

    Week 10 (Mar. 22): Recitation Notes, Quiz 8, Quiz 8 Make-up
    Maple Lab 3 is due next week. Late submissions are allowed up to next Friday (Mar. 31, 2017).
    In case you have time, please read Dr. Z's notes on Section 4.1, Section 4.2, Section 4.3.
    My own notes on 4.1, 4.2, 4.3. Please find my notes on 3.8 above.

    Week 11 (Mar. 29): Recitation Notes for Linear Algebra, Quiz 9, Recitation Notes for 7.5, 7.6 and 7.8
    (Although these notes were written a while ago, it should be able to help)
    For the linear systems, Dr. Z's notes on 7.1, 7.4, 7.5, 7.6 and 7.8 should also be helpful.
    Please go over the (updated) Review Questions and make sure you are comfortable on everyone of it. I think it would help you better than any practice exam.

    Week 13 (Apr. 12): Quiz 11
    Aside from exam problems, all I talked about in class are in the recitation notes or previous week. Please go over it and especially make sure you know how to deal with complex eigenvalues.

    Week 14 (Apr. 19): Quiz 12
    Here are my summer course notes on Chapter 9: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.4 leftovers (Shared by Ms. Shawnie Caslin). Also please watch MIT Lecture 31 for how to deal with nonlinear systems.
    I wasn't able to type up the notes for finding global trajectories. In case you have taken neat notes, please don't hesitate to share.
    Maple Lab 5 is supposed to due yesterday. Late submissions are accepted until next Tuesday (Apr. 25).

    For 244 students, I have two requirements

    If you don't know how to manipulate logarithm, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch10_SE.pdf
    Please read Section 10.5 on page 45 in the pdf file (page 733 in the book), try all example problems, and do Exercise 44 - 61 on page 51 in the pdf file (Page 740 in the book).

    If you are not very fluent with the quadratic equations (e.g. always use the root formula), please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch08_SE.pdf
    Read Section 8.1, 8.2 , try all example problems, and do Exercise 66 - 83 on page 23 in the pdf file (Page 573 in the book). Make sure you understand all the related methods

    In particular, if you have never seen criss-cross factorization before, please check the youtube videos
    Criss-Cross Method 1, Criss-Cross Method 2, Criss-Cross Method 3 and Criss-Cross Method 4.

    If you have never seen matrices before, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch03_SE.pdf
    Read Section 3.6 , try all example problems, and do Exercise 15 - 23, 46 - 49 on page 51 - 52 in the pdf file (page 227 - 228 in the book).
    Read Section 3.7 , try all example problems, and do Exercise 2 - 7, 20 - 25, 35 - 40 on page 63 - 64 in the pdf file (page 239 - 240 in the book).
    After you work on this topic, try the problems of the attendence quiz at Lecture 15 and you will find it easy to play.

    If you keep on making mistakes on exponentials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch01_SE.pdf
    Read Section 1.8 , try all example problems, and do Exercise 59 - 84 on page 88 in the pdf file (page 88 in the book).

    If you don't know how to divide a polynomial, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch05_SE.pdf
    Read Section 5.3 , try all example problems, and do Exercise 27 - 42 on page 31 in the pdf file (page 339 in the book).
    After you have done the work, please compare to the technique I used on dealing with t/(t+1) or -2-t/(t+1) in class. You will see that this is actually the simplest example of division.

    If you are not fluent on simplifications of rational functions, please find
    http://people.ucsc.edu/

    miglior/chapter%20pdf/Ch06_SE.pdf
    Read Section 6.1 - 6.4 , try all example problems, and do Exercise 29 - 48 on page 61 - 62 in the pdf file (page 463 - 464 in the book).

    If you are not fluent on playing with trigonometric functions, please find
    http://www.eht.k12.nj.us/

    staffoch/Textbook/chapter04.pdf
    Read Section 4.3 , make sure you memorize the table of the values of sine, cosine and tangent on usual special angles on page 23 of the PDF file (page 279 in the book)
    and do Exercise 17 - 26 on page 28 of the pdf file (page 284 in the book)
    Read Section 4.5 , make sure you can recognize, distinguish different graphs of the trignometric functions and manipulate them by scaling and translation , and do Exercise 3 - 14, 23 - 16 on page 48 in the pdf file (page 304 in the book)

    If you are not fluent on factorizing polynomials, please find
    http://people.ucsc.edu/

    Please make sure you have a solid understanding on the math 300 class (Introduction to Mathematical Reasoning). You can review the knowledge using the following material
    Dr. Sussmann's notes on Math 300, Lecture 2, 3 and 4
    This set of notes summarizes the most essential knowledge in that class. On his course website you'll find more related material for reviewing.

    Please recall the knowledge of Calculus I, especially the graphs of the most commonly seen elementary functions. You can check the following file to recall the knowledge:
    Table of Common Graphs
    Although the main focus is to formulate rigorous argument, in many cases this process is facilitated by the intuition from the graphs.
    Also I'll assume a solid basis of computational skills for this class. Please try problems in Chapter 1 and 2 of famous Russian book
    3193 Problems in Mathematical Analysis
    to test your skills.


    Schau das Video: Mathe I,: Potenzreihen (Januar 2022).