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2.7: Gegenbeispiele - Mathematik

2.7: Gegenbeispiele - Mathematik



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Nicht alle Abzüge sind gültig. Um zu zeigen, dass eine bestimmte Ableitung nicht gültig ist, müssen Sie zeigen, dass es möglich ist, dass ihre Schlussfolgerung falsch ist, während gleichzeitig alle ihre Hypothesen wahr sind. Dazu sollten Sie eine Zuordnung zu den Variablen finden, die alle Hypothesen wahr macht, aber die Schlussfolgerung falsch macht.

Übung (PageIndex{1})

Zeigen Sie, dass die Deduktion [A lor B, quad A Rightarrow B, quad also A] nicht gültig ist.

Hinweis:

Um die Konklusion falsch zu machen, lassen wir (A) falsch sein. Um die erste Hypothese wahr zu machen, müssen wir dann (B) wahr sein lassen. Glücklicherweise ist damit auch die zweite Hypothese wahr.

Lösung

Sei (A) falsch und (B) sei wahr. Dann

[A lor B = mathsf{F} lor mathsf{T} = mathsf{T} ]

und [A Rightarrow B = mathsf{F} Rightarrowmathsf{T} = mathsf{T},]

also sind beide Hypothesen der Deduktion wahr. Die Konklusion der Deduktion (nämlich (A)) ist jedoch falsch.

Da wir eine Situation haben, in der beide Hypothesen der Deduktion wahr sind, aber die Konklusion der Deduktion falsch ist, ist die Deduktion nicht gültig.

Jede Situation, in der alle Hypothesen einer Deduktion wahr sind, die Schlussfolgerung jedoch falsch ist, wird als Gegenbeispiel zur Deduktion bezeichnet.

[ ext{Um zu zeigen, dass ein Abzug nicht gültig ist, finden Sie ein Gegenbeispiel.}]

Übung (PageIndex{2})

Zeigen Sie, dass jede dieser Ableitungen ungültig ist, indem Sie ein Gegenbeispiel finden.

  1. (A lor B), (A Rightarrow B)
  2. (P oder Q), (P & Q)
  3. (A Rechtspfeil (B & C)), ( icht A Rechtspfeil (B oder C)), (C)
  4. (P Rightarrow Q), ( icht P Rightarrow R), (Q & (P lor R))


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