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6.1: Flächen zwischen Kurven - Mathematik


Lernziele

  • Bestimmen Sie die Fläche einer Region zwischen zwei Kurven durch Integrieren in Bezug auf die unabhängige Variable.
  • Finden Sie die Fläche einer zusammengesetzten Region.
  • Bestimmen Sie die Fläche einer Region zwischen zwei Kurven durch Integrieren in Bezug auf die abhängige Variable.

In Einführung in die Integration haben wir das Konzept des bestimmten Integrals entwickelt, um die Fläche unter einer Kurve in einem bestimmten Intervall zu berechnen. In diesem Abschnitt erweitern wir diese Idee, um die Fläche komplexerer Regionen zu berechnen. Wir beginnen damit, die Fläche zwischen zwei Kurven zu finden, die Funktionen von (displaystyle x) sind, beginnend mit dem einfachen Fall, in dem ein Funktionswert immer größer ist als der andere. Wir betrachten dann Fälle, in denen sich die Graphen der Funktionen kreuzen. Zuletzt betrachten wir, wie die Fläche zwischen zwei Kurven berechnet wird, die Funktionen von (displaystyle y) sind.

Fläche einer Region zwischen zwei Kurven

Seien (displaystyle f(x)) und (displaystyle g(x)) stetige Funktionen über ein Intervall (displaystyle [a,b]) mit (displaystyle f(x)≥ g(x)) auf (displaystyle [a,b]). Wir wollen den Bereich zwischen den Graphen der Funktionen finden, wie in Abbildung (PageIndex{1}) gezeigt.

Wie zuvor werden wir das Intervall auf die x-Achse und approximieren Sie die Fläche zwischen den Graphen der Funktionen mit Rechtecken. Für (displaystyle i=0,1,2,…,n) sei also (displaystyle P={x_i}) eine reguläre Partition von (displaystyle [a,b]). Dann wähle für (displaystyle i=1,2,…,n,) einen Punkt (displaystyle x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]), und auf jedem Intervall ( displaystyle [x_{i−1},x_i]) konstruiere ein Rechteck, das sich vertikal von (displaystyle g(x^∗_i)) bis (displaystyle f(x^∗_i)) erstreckt. Abbildung (PageIndex{2a}) zeigt die Rechtecke, wenn (displaystyle x^∗_i) als linker Endpunkt des Intervalls und (displaystyle n=10) ausgewählt ist. Abbildung (PageIndex{2b}) zeigt ein repräsentatives Rechteck im Detail.

Die Höhe jedes einzelnen Rechtecks ​​ist (displaystyle f(x^∗_i)−g(x^∗_i)) und die Breite jedes Rechtecks ​​ist (displaystyle Δx). Wenn wir die Flächen aller Rechtecke addieren, sehen wir, dass die Fläche zwischen den Kurven angenähert wird durch

[displaystyle A≈sum_{i=1}^n[f(x^∗_i)−g(x^∗_i)]Δx.]

Dies ist eine Riemann-Summe, also nehmen wir den Grenzwert als (displaystyle n→∞) und erhalten

[displaystyle A=lim_{n→∞}sum_{i=1}^n[f(x^∗_i)−g(x^∗_i)]Δx=int ^b_a[f(x) −g(x)]dx.]

Diese Erkenntnisse sind im folgenden Theorem zusammengefasst.

Den Bereich zwischen zwei Kurven finden

Seien (displaystyle f(x)) und (displaystyle g(x)) stetige Funktionen mit (displaystyle f(x)≥g(x)) über ein Intervall [(displaystyle a,b]). Sei R die Region, die oben durch den Graphen von (displaystyle f(x), unten durch den Graphen von (displaystyle g(x)) und links und rechts durch die Geraden ( displaystyle x=a) bzw. (displaystyle x=b). Dann ist die Fläche von ( extbf{R}) gegeben durch

[A=int ^b_a[f(x)−g(x)]dx.]

Wir wenden diesen Satz im folgenden Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{1}): Ermitteln der Fläche einer Region zwischen zwei Kurven I

Wenn ( extbf{R}) der Bereich ist, der oben durch den Graphen der Funktion (displaystyle f(x)=x+4) und unten durch den Graphen der Funktion (displaystyle g(x )=3−dfrac{x}{2}) über das Intervall (displaystyle [1,4]), bestimme die Fläche der Region ( extbf{R}).

Lösung

Die Region ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir haben

[ egin{align*} A =int ^b_a[f(x)−g(x)],dx [4pt] =int ^4_1[(x+4)−(3−dfrac {x}{2})],dx=int ^4_1left[dfrac{3x}{2}+1 ight],dx [4pt] =[dfrac{3x^2}{ 4}+x]igg|^4_1=(16−dfrac{7}{4})=dfrac{57}{4}. end{ausrichten*}]

Die Fläche der Region beträgt (displaystyle dfrac{57}{4}Einheiten^2).

Übung (PageIndex{1})

Wenn ( extbf{R}) der Bereich ist, der von den Graphen der Funktionen (displaystyle f(x)=dfrac{x}{2}+5) und (displaystyle g(x) =x+dfrac{1}{2}) über dem Intervall (displaystyle [1,5]), finde die Fläche der Region ( extbf{R}).

Hinweis

Stellen Sie die Funktionen grafisch dar, um zu bestimmen, welcher Funktionsgraph die Obergrenze und welcher die Untergrenze bildet, und folgen Sie dann dem in Beispiel verwendeten Prozess.

Antworten

(displaystyle 12) Einheiten2

In Beispiel (PageIndex{1}) haben wir das interessierende Intervall als Teil der Problemstellung definiert. Sehr oft möchten wir jedoch unser Interessenintervall basierend darauf definieren, wo sich die Graphen der beiden Funktionen schneiden. Dies wird im folgenden Beispiel veranschaulicht.

Beispiel (PageIndex{2}): Ermitteln der Fläche einer Region zwischen zwei Kurven II

Wenn ( extbf{R}) der Bereich ist, der oben durch den Graphen der Funktion (displaystyle f(x)=9−(x/2)^2) und unten durch den Graphen der Funktion (displaystyle g(x)=6−x), bestimme die Fläche der Region ( extbf{R}).

Lösung

Die Region ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir müssen zuerst berechnen, wo sich die Graphen der Funktionen schneiden. Mit (displaystyle f(x)=g(x),) erhalten wir

[ egin{align*} displaystyle f(x) =g(x) [4pt] 9−(dfrac{x}{2})^2 =6−x[4pt] 9− dfrac{x^2}{4} =6−x[4pt] 36−x^2 =24−4x[4pt] x^2−4x−12 =0[4pt] (x−6 )(x+2) =0. end{ausrichten*}]

Die Graphen der Funktionen schneiden sich, wenn (displaystyle x=6) oder (displaystyle x=−2,) ist, also wollen wir von (displaystyle −2) nach (displaystyle 6) integrieren . Da (displaystyle f(x)≥g(x)) für (displaystyle −2≤x≤6,) gilt, erhalten wir

[egin{align*} displaystyle A =int ^b_a[f(x)−g(x)],dx =int ^6_{−2} left[9−(dfrac{ x}{2})^2−(6−x) ight],dx =int ^6_{−2}left[3−dfrac{x^2}{4}+x ight ],dx = links. left[3x−dfrac{x^3}{12}+dfrac{x^2}{2} ight] ight|^6_{−2}=dfrac{64}{3}. end{ausrichten*}]

Die Fläche der Region beträgt (displaystyle 64/3) Einheiten2.

Übung (PageIndex{2})

Wenn ( extbf{R}) der Bereich ist, der oben durch den Graphen der Funktion (displaystyle f(x)=x) und unten durch den Graphen der Funktion (displaystyle g(x)= x^4), bestimme die Fläche der Region ( extbf{R}).

Hinweis

Verwenden Sie den Prozess aus Beispiel (PageIndex{2}).

Antworten

(displaystyle dfrac{3}{10}) Einheit2

Bereiche zusammengesetzter Regionen

Bisher haben wir (displaystyle f(x)≥g(x)) über das gesamte interessierende Intervall benötigt, aber was ist, wenn wir Regionen betrachten wollen, die durch die Graphen von einander kreuzenden Funktionen begrenzt sind? In diesem Fall modifizieren wir den soeben entwickelten Prozess, indem wir die Absolutwertfunktion verwenden.

Ermitteln der Fläche einer Region zwischen sich kreuzenden Kurven

Seien (displaystyle f(x)) und (displaystyle g(x)) stetige Funktionen über ein Intervall (displaystyle [a,b]). Sei ( extbf{R}) die Region zwischen den Graphen von (displaystyle f(x)) und (displaystyle g(x)), und sei links und rechts durch die Geraden (displaystyle x=a) bzw. (displaystyle x=b). Dann ist die Fläche von ( extbf{R}) gegeben durch

[A=int ^b_a|f(x)−g(x)|dx.]

In der Praxis erfordert die Anwendung dieses Theorems, dass wir das Intervall (displaystyle [a,b]) aufbrechen und mehrere Integrale auswerten, je nachdem, welcher der Funktionswerte über einen bestimmten Teil des Intervalls größer ist. Wir untersuchen diesen Vorgang im folgenden Beispiel.

Beispiel (PageIndex{3}): Ermitteln der Fläche einer Region, die durch kreuzende Funktionen begrenzt ist

Ist ( extbf{R}) der Bereich zwischen den Graphen der Funktionen (displaystyle f(x)=sin x) und (displaystyle g(x)=cos x) über dem Intervall (displaystyle [0,π]), finde die Fläche der Region ( extbf{R}).

Lösung

Die Region ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Graphen der Funktionen schneiden sich bei (displaystyle x=π/4). Für (displaystyle x∈[0,π/4], cos x≥sin x ,) also

(displaystyle |f(x)−g(x)|=|sin x −cos x|=cos x−sin x .)

Andererseits gilt für (displaystyle x∈[π/4,,], sin x ≥cos x,) also

(displaystyle |f(x)−g(x)|=|sin x −cos x|=sin x −cos x.)

Dann

[ egin{align*} A =int ^b_a|f(x)−g(x)|dx [4pt] =int ^π_0|sin x −cos x|dx=int ^ {π/4}_0(cos x−sin x )dx+int ^{π}_{π/4}(sin x −cos x)dx [4pt] =[sin x + cos x]|^{π/4}_0+[−cos x−sin x ]|^π_{π/4} [4pt] =(sqrt{2}−1)+(1+sqrt {2})=2sqrt{2}. end{ausrichten*}]

Die Fläche der Region beträgt (displaystyle 2sqrt{2}) Einheiten2.

Übung (PageIndex{3})

Ist ( extbf{R}) der Bereich zwischen den Graphen der Funktionen (displaystyle f(x)=sin x) und (displaystyle g(x)=cos x) über dem Intervall (displaystyle [π/2,2π]), finden Sie die Fläche der Region ( extbf{R}).

Hinweis

Die beiden Kurven schneiden sich bei (displaystyle x=(5π)/4.)

Antworten

(displaystyle 2+2sqrt{2}) Einheiten2

Beispiel (PageIndex{4}): Ermitteln der Fläche einer komplexen Region

Betrachten Sie die in Abbildung (PageIndex{6}) dargestellte Region. Bestimme die Fläche von ( extbf{R}).

Lösung

Wie bei Beispiel (PageIndex{3}) müssen wir das Intervall in zwei Teile teilen. Die Graphen der Funktionen schneiden sich bei (displaystyle x=1) (setze (displaystyle f(x)=g(x)) und löse nach x auf), also berechnen wir zwei separate Integrale: eines über das Intervall over (displaystyle [0,1]) und einer über dem Intervall (displaystyle [1,2]).

Über das Intervall (displaystyle [0,1]) wird die Region oben durch (displaystyle f(x)=x^2) und unten durch die x-Achse begrenzt, also haben wir

(displaystyle A_1=int ^1_0x^2dx=dfrac{x^3}{3}∣^1_0=dfrac{1}{3}.)

Über dem Intervall (displaystyle [1,2],) wird der Bereich oben durch (displaystyle g(x)=2−x) und unten durch den x-Achse, also haben wir

(displaystyle A_2=int ^2_1(2−x)dx=[2x−dfrac{x^2}{2}]∣^2_1=dfrac{1}{2}.)

Addiert man diese Bereiche zusammen, erhält man

(displaystyle A=A_1+A_2=dfrac{1}{3}+dfrac{1}{2}=dfrac{5}{6}.)

Die Fläche der Region beträgt (displaystyle 5/6) Einheiten2.

Übung (PageIndex{4})

Betrachten Sie die in der folgenden Abbildung dargestellte Region. Bestimme die Fläche von ( extbf{R}).

Hinweis

Die beiden Kurven schneiden sich bei x=1

Antworten

(displaystyle dfrac{5}{3}) Einheiten2

In Bezug auf y . definierte Regionen

In Beispiel (PageIndex{4}) mussten wir zwei separate Integrale auswerten, um die Fläche der Region zu berechnen. Es gibt jedoch einen anderen Ansatz, der nur ein Integral erfordert. Was ist, wenn wir die Kurven als Funktionen von (displaystyle y) anstatt als Funktionen von (displaystyle x) behandeln? Überprüfen Sie die Abbildung. Beachten Sie, dass der linke rot dargestellte Graph durch die Funktion (displaystyle y=f(x)=x^2) dargestellt wird. Wir könnten dies genauso gut nach x lösen und die Kurve durch die Funktion (displaystyle x=v(y)=sqrt{y}) darstellen. (Beachte, dass (displaystyle x=−sqrt{y}) auch eine gültige Darstellung der Funktion (displaystyle y=f(x)=x^2) als Funktion von (displaystyle y ).Anhand des Graphen ist jedoch klar, dass wir an der positiven Quadratwurzel interessiert sind.) Ebenso wird der rechte Graph durch die Funktion (displaystyle y=g(x)=2−x) könnte aber genauso gut durch die Funktion (displaystyle x=u(y)=2−y) dargestellt werden. Wenn die Graphen als Funktionen von (displaystyle y) dargestellt werden, sehen wir, dass der Bereich links durch den Graphen der einen Funktion und rechts durch den Graphen der anderen Funktion begrenzt wird. Wenn wir also in Bezug auf (displaystyle y) integrieren, müssen wir nur ein Integral auswerten. Lassen Sie uns eine Formel für diese Art der Integration entwickeln.

Seien (displaystyle u(y)) und (displaystyle v(y)) stetige Funktionen über ein Intervall (displaystyle [c,d]) mit (displaystyle u(y)≥ v(y)) für alle (displaystyle y∈[c,d]). Wir wollen den Bereich zwischen den Graphen der Funktionen finden, wie in Abbildung (PageIndex{7}) gezeigt.

Dieses Mal werden wir das Intervall auf die y-Achse und verwenden Sie horizontale Rechtecke, um den Bereich zwischen den Funktionen anzunähern. Für (displaystyle i=0,1,2,…,n) sei also (displaystyle Q={y_i}) eine reguläre Partition von (displaystyle [c,d]). Dann wähle für (displaystyle i=1,2,…,n) einen Punkt (displaystyle y^∗_i∈[y_{i−1},y_i]), dann über jedem Intervall ( displaystyle [y_{i−1},y_i]) konstruiere ein Rechteck, das sich horizontal von (displaystyle v(y^0∗_i)) bis (displaystyle u(y^∗_i)) erstreckt. Abbildung (PageIndex{8a})zeigt die Rechtecke, wenn (displaystyle y^∗_i) als unterer Endpunkt des Intervalls und (displaystyle n=10) ausgewählt ist. Abbildung (PageIndex{8b}) zeigt ein repräsentatives Rechteck im Detail.

Die Höhe jedes einzelnen Rechtecks ​​ist (displaystyle Δy) und die Breite jedes Rechtecks ​​ist (displaystyle u(y^∗_i)−v(y^∗_i)). Daher beträgt die Fläche zwischen den Kurven ungefähr

[ A≈sum_{i=1}^n[u(y^∗_i)−v(y^∗_i)]Δy . keine Nummer]

Dies ist eine Riemann-Summe, also nehmen wir den Grenzwert als (displaystyle n→∞,) und erhalten

[ egin{align*} A =lim_{n→∞}sum_{i=1}^n[u(y^∗_i)−v(y^∗_i)]Δy [4pt] = int ^d_c[u(y)−v(y)]dy. end{ausrichten*}]

Diese Erkenntnisse sind im folgenden Theorem zusammengefasst.

Finden der Fläche zwischen zwei Kurven, Integrieren entlang der y-Achse

Seien (displaystyle u(y)) und (displaystyle v(y)) stetige Funktionen mit (displaystyle u(y)≥v(y))für alle (displaystyle y∈ [CD]). Sei ( extbf{R}) die rechts durch den Graphen von (displaystyle u(y)) begrenzte Region, links durch den Graphen von (displaystyle v(y)), und darüber und darunter durch die Zeilen (displaystyle y=d) bzw. (displaystyle y=c). Dann ist die Fläche von ( extbf{R}) gegeben durch

[A=int ^d_c[u(y)−v(y)]dy.]

Beispiel (PageIndex{5}): Integrieren bezüglich y

Sehen wir uns Beispiel (PageIndex{4}) noch einmal an, nur diesmal integrieren wir in Bezug auf (displaystyle y). Sei ( extbf{R}) der in Abbildung (PageIndex{9}) dargestellte Bereich. Bestimme die Fläche von ( extbf{R}) durch Integrieren in Bezug auf (displaystyle y).

Lösung

Wir müssen die Graphen zunächst als Funktionen von (displaystyle y) ausdrücken. Wie wir am Anfang dieses Abschnitts gesehen haben, kann die linke Kurve durch die Funktion (displaystyle x=v(y)=sqrt{y}) und die rechte Kurve durch die Funktion (displaystyle x=u(y)=2−y).

Nun müssen wir die Integrationsgrenzen bestimmen. Der Bereich wird unten durch die x-Achse begrenzt, daher ist die untere Integrationsgrenze (displaystyle y=0). Die obere Integrationsgrenze wird durch den Schnittpunkt der beiden Graphen bestimmt, das ist der Punkt (displaystyle (1,1)), sodass die obere Integrationsgrenze (displaystyle y=1) ist. Somit haben wir (displaystyle [c,d]=[0,1]).

Wenn wir die Fläche der Region berechnen, erhalten wir

[ egin{align*} A =int ^d_c[u(y)−v(y)]dy [4pt] =int ^1_0[(2−y)−sqrt{y}]dy [4pt] =[2y−dfrac{y^2}{2}−dfrac{2}{3}y^{3/2}]∣^1_0[4pt] =dfrac{5} {6}. end{ausrichten*}]

Die Fläche der Region beträgt (displaystyle 5/6) Einheiten2.

Übung (PageIndex{5})

Sehen wir uns den Prüfpunkt von Beispiel (PageIndex{4}) noch einmal an, nur diesmal integrieren wir in Bezug auf (displaystyle y). Sei ( extbf{R}) der in der folgenden Abbildung dargestellte Bereich. Bestimme die Fläche von ( extbf{R}) durch Integrieren in Bezug auf (displaystyle y).

Hinweis

Folgen Sie dem Vorgang aus dem vorherigen Beispiel.

Antworten

(displaystyle dfrac{5}{3}) Einheiten2

Schlüssel Konzepte

  • Genauso wie bestimmte Integrale verwendet werden können, um die Fläche unter einer Kurve zu bestimmen, können sie auch verwendet werden, um die Fläche zwischen zwei Kurven zu bestimmen.
  • Um die Fläche zwischen zwei durch Funktionen definierten Kurven zu ermitteln, integrieren Sie die Differenz der Funktionen.
  • Wenn sich die Graphen der Funktionen kreuzen oder die Region komplex ist, verwenden Sie den Absolutwert der Differenz der Funktionen. In diesem Fall kann es erforderlich sein, zwei oder mehr Integrale auszuwerten und die Ergebnisse zu addieren, um die Fläche der Region zu ermitteln.
  • Manchmal kann es einfacher sein, den Bereich in Bezug auf y zu integrieren. Die Prinzipien sind die gleichen, unabhängig davon, welche Variable als Integrationsvariable verwendet wird.

Schlüsselgleichungen

  • Fläche zwischen zwei Kurven, Integration auf der x-Achse

(displaystyle A=int ^b_a[f(x)−g(x)]dx)

  • Fläche zwischen zwei Kurven, Integration auf der y-Achse

(displaystyle A=int ^d_c[u(y)−v(y)]dy)