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9.7: Systeme mit Inversen lösen - Mathematik

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Lernziele

  • Finden Sie die Inverse einer Matrix.
  • Löse ein lineares Gleichungssystem mit einer inversen Matrix

Nancy plant, (10.500 $) in zwei verschiedene Anleihen zu investieren, um ihr Risiko zu verteilen. Die erste Anleihe hat eine jährliche Rendite von (10%), die zweite Anleihe eine jährliche Rendite von (6%). Wie viel sollte Nancy in jede Anleihe investieren, um eine Rendite von (8,5%) aus den beiden Anleihen zu erzielen? Was ist die beste Methode, um dieses Problem zu lösen? Es gibt mehrere Möglichkeiten, dieses Problem zu lösen. Wie wir in den vorherigen Abschnitten gesehen haben, sind Gleichungssysteme und Matrizen nützlich, um reale Probleme im Finanzbereich zu lösen. Nach dem Studium dieses Abschnitts haben wir die Werkzeuge, um das Bindungsproblem mit der Inversen einer Matrix zu lösen.

Die Inverse einer Matrix finden

Wir wissen, dass die multiplikative Inverse einer reellen Zahl (a) (a^{−1}) ist, also

[aa^{−1}=a^{−1}a=left(dfrac{1}{a} ight)a=1 label{eq0}]

Betrachten Sie zum Beispiel die Skalarmultiplikationssituation

[2^{−1}=dfrac{1}{2} onumber]

also aus Gleichung ef{eq0}

[left(dfrac{1}{2} ight)2=1. keine Nummer]

Das multiplikative Inverse einer Matrix ist im Konzept ähnlich, außer dass das Produkt der Matrix (A) und ihrer Inversen (A^{−1}) gleich dem Identitätsmatrix. Die Identitätsmatrix ist eine quadratische Matrix, die Einsen entlang der Hauptdiagonale und Nullen überall sonst enthält. Wir identifizieren Identitätsmatrizen durch (I_n), wobei (n) die Dimension der Matrix darstellt. Gleichungen ef{eq1} und ef{eq2} sind die Identitätsmatrizen für eine (2×2)-Matrix bzw. eine (3×3)-Matrix:

[I_2=egin{bmatrix}1&0 0&1 end{bmatrix} label{eq1}]

[I_3=egin{bmatrix}1&0&0 0&1&0 0&0&1end{bmatrix} label{eq2}]

Die Identitätsmatrix fungiert als (1) in der Matrixalgebra. Beispielsweise,

[AI=IA=AkeineZahl]

Eine Matrix mit einer multiplikativen Inversen hat die Eigenschaften

[AA^{−1}=I]

[A^{−1}A=I]

Eine Matrix mit multiplikativer Inverse heißt an invertierbare Matrix. Nur eine quadratische Matrix kann eine multiplikative Inverse haben, da die Reversibilität,

[AA^{−1}=A^{−1}A=I]

ist eine Voraussetzung. Nicht alle quadratischen Matrizen haben eine Inverse, aber wenn (A) invertierbar ist, dann ist (A^{−1}) eindeutig. Wir werden uns zwei Methoden ansehen, um die Inverse einer (2 × 2)-Matrix zu finden, und eine dritte Methode, die sowohl für (2 × 2)- als auch für (3 × 3)-Matrizen verwendet werden kann.

Definitionen: DIE IDENTITÄTSMATRIX UND MULTIPLIKATIVE INVERSE

Das Identitätsmatrix, (I_n), ist eine quadratische Matrix mit Einsen entlang der Hauptdiagonalen und Nullen überall sonst.

[I_2=egin{bmatrix}1&0 onumber 0&1end{bmatrix}]

wie für die (2 × 2) Identitätsmatrix

[I_3=egin{bmatrix}1&0&0 onumber 0&1&0 onumber 0&0&1end{bmatrix}]

wie für die (3 × 3) Identitätsmatrix

Ist (A) eine (n × n)-Matrix und (B) eine (n × n)-Matrix mit (AB=BA=I_n), dann gilt (B=A −1), die multiplikative Inverse einer Matrix (A).

Beispiel (PageIndex{1}): Zeigen, dass die Identitätsmatrix als 1 . fungiert

Zeigen Sie bei gegebener Matrix (A), dass (AI=IA=A).

[A=egin{bmatrix}3&4 onumber −2&5end{bmatrix}]

Lösung

Verwenden Sie die Matrixmultiplikation, um zu zeigen, dass das Produkt von (A) und der Identitätsmatrix gleich dem Produkt der Identitätsmatrix und (A) ist.

[egin{align*} AI&=egin{bmatrix}3&4 onumber −2&5end{bmatrix}egin{bmatrix}1&0 onumber 0&1end{bmatrix} onumber [4pt] &=egin{bmatrix}3⋅1+4⋅0&3⋅0+4⋅1 onumber −2⋅1+5⋅0&−2⋅0+5⋅1end{bmatrix} onumber [ 4pt] &= egin{bmatrix}3&4 onumber −2&5end{bmatrix} end{align*}]

[egin{align*} AI&=egin{bmatrix}1&0 onumber 0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}3&4 onumber −2&5end{bmatrix} onumber [4pt] &=egin{bmatrix}1⋅3+0⋅(−2)&1⋅4+0⋅5 onumber 0⋅3+1⋅(−2)&0⋅4+1⋅5end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}3&4 onumber −2&5end{bmatrix} end{align*}]

Gewusst wie: Zeigen Sie bei zwei Matrizen, dass die eine die multiplikative Inverse der anderen ist

  • Gegebene Matrix (A) der Ordnung (n × n) und Matrix (B) der Ordnung (n × n) multiplizieren (AB).
  • Wenn (AB=I), dann finde das Produkt (BA). Wenn (BA=I), dann (B=A^{−1}) und (A=B^{−1}).

Beispiel (PageIndex{2}): Zeigen, dass Matrix (A) die multiplikative Inverse von Matrix (B) ist

Zeigen Sie, dass die gegebenen Matrizen multiplikative Inverse zueinander sind.

[A=egin{bmatrix}1&5 onumber −2&−9end{bmatrix}]

und

[B=egin{bmatrix}−9&−5 onumber 2&1end{bmatrix}]

Lösung

Multiplizieren Sie (AB) und (BA). Wenn beide Produkte gleich der Identität sind, sind die beiden Matrizen invers zueinander.

[egin{align*} AB &= egin{bmatrix}1&5 onumber −2&−9end{bmatrix}·egin{bmatrix}−9&−5 onumber 2&1end{bmatrix} onumber [4pt] &=egin{bmatrix}1(−9)+5(2)&1(−5)+5(1) onumber −2(−9)−9(2)& −2(−5)−9(1)end{bmatrix} onumber [4pt] &=egin{bmatrix}1&0 onumber 0&1end{bmatrix} end{align*}]

und

[egin{align*} BA &= egin{bmatrix}−9&−5 onumber 2&1end{bmatrix}·egin{bmatrix}1&5 onumber −2&−9end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}−9(1)−5(−2)&−9(5)−5(−9) onumber 2(1)+1(−2 )&2(−5)+1(−9)end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1&0 onumber &1end{bmatrix} end{align*}]

(A) und (B) sind Inverse zueinander.

Übung (PageIndex{1})

Zeigen Sie, dass die beiden folgenden Matrizen zueinander invers sind.

[A=egin{bmatrix}1&4 onumber [4pt] −1&−3end{bmatrix}]

und

[B=egin{bmatrix}−3&−4 onumber [4pt] 1&1end{bmatrix}]

Antworten

(egin{align*} AB&=egin{bmatrix}1&4 onumber [4pt] −1&−3end{bmatrix}egin{bmatrix}−3&−4 onumber [4pt] 1&1 end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1(−3)+4(1)&1(−4)+4(1) onumber [4pt] −1(−3 )+−3(1)&−1(−4)+−3(1)end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1&0 onumber [4pt] 0&1end {bmatrix} end{ausrichten*})

(egin{align*} BA&=egin{bmatrix}−3&−4 onumber [4pt] 1&1end{bmatrix}egin{bmatrix}1&4 onumber [4pt] −1&−3 end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}−3(1)+−4(−1)&−3(4)+−4(−3) onumber [4pt] 1(1)+1(−1)&1(4)+1(−3)end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1&0 onumber [4pt] 0&1end {bmatrix} end{ausrichten*})

Die multiplikative Inverse mit der Matrixmultiplikation ermitteln

Wir können nun feststellen, ob zwei Matrizen Inversen sind, aber wie würden wir die Inverse einer gegebenen Matrix finden? Da wir wissen, dass das Produkt einer Matrix und ihrer Inversen die Identitätsmatrix ist, können wir die Inverse einer Matrix finden, indem wir eine Gleichung aufstellen mit Matrix-Multiplikation.

Beispiel (PageIndex{3}): Ermitteln der multiplikativen Inversen mit Matrixmultiplikation

Verwenden Sie die Matrixmultiplikation, um die Inverse der gegebenen Matrix zu finden.

[A=egin{bmatrix}1&−2 onumber [4pt] 2&−3end{bmatrix}]

Lösung

Für diese Methode multiplizieren wir (A) mit einer Matrix, die unbekannte Konstanten enthält, und setzen sie gleich der Identität.

(egin{bmatrix}1&−2 onumber [4pt] 2&−3end{bmatrix}egin{bmatrix}a&b onumber [4pt] c&dend{bmatrix}=egin{bmatrix} 1&0 onumber [4pt] 0&1end{bmatrix})

Finden Sie das Produkt der beiden Matrizen auf der linken Seite des Gleichheitszeichens.

[egin{bmatrix}1&−2 onumber [4pt] 2&−3end{bmatrix}egin{bmatrix}a&b onumber [4pt] c&dend{bmatrix}=egin{bmatrix} 1a−2c&1b−2d onumber [4pt] 2a−3c&2b−3dend{bmatrix}]

Als nächstes erstellen Sie ein Gleichungssystem mit dem Eintrag in Zeile 1, Spalte 1 der neuen Matrix gleich dem ersten Eintrag der Identität (1). Setze den Eintrag in Zeile 2, Spalte 1 der neuen Matrix gleich dem entsprechenden Eintrag der Identität, der (0) ist.

(1a−2c=1Raum R_1)

(2a−3c=0Raum R_2)

Multiplizieren und addieren Sie mit Zeilenoperationen wie folgt: ((−2)R_1+R_2 ightarrow R_2). Fügen Sie die Gleichungen hinzu und lösen Sie nach (c) auf.

[ egin{align*} 1a−2c &=1 onumber [4pt] 0+1c &=−2 onumber [4pt] c=−2 onumber end{align*} onumber ]

Rückersatz, um nach (a) aufzulösen.

[ egin{align*} a−2(−2)&=1 onumber [4pt] a+4&=1 onumber [4pt] a&=−3 onumberend{align*} keine Nummer]

Schreiben Sie ein anderes Gleichungssystem, indem Sie den Eintrag in Zeile 1, Spalte 2 der neuen Matrix gleich dem entsprechenden Eintrag der Identität (0) setzen. Setzen Sie den Eintrag in Zeile 2, Spalte 2 gleich dem entsprechenden Eintrag der Identität.

(1b−2d=0Raum R_1)

(2b−3d=1Raum R_2)

Multiplizieren und addieren Sie mit Zeilenoperationen wie folgt: ((−2)R_1+R_2=R_2). Addiere die beiden Gleichungen und löse nach (d) auf.

[ egin{align*} 1b−2d&=0 onumber [4pt] 0+1d&=1 onumber [4pt] d&=1 onumber end{align*} onumber]

Wiedereinsetzen und nach (b) auflösen.

[ egin{align*} b−2(1)&=0 onumber [4pt] b&−2=0 onumber [4pt] b &=2 onumber end{align*} onumber ]

[A^{−1}=egin{bmatrix}−3&2 onumber [4pt] −2&1end{bmatrix}]

Finden der multiplikativen Inversen durch Augmentieren mit der Identität

Eine andere Möglichkeit, die zu finden multiplikativ invers ist durch die Erweiterung mit der Identität. Wenn die Matrix (A) in (I) umgewandelt wird, wird die erweiterte Matrix (I) in (A^{−1}) umgewandelt.

Zum Beispiel gegeben

(A=egin{bmatrix}2&1 onumber [4pt] 5&3end{bmatrix})

ergänze (A) mit der Identität

(left[ egin{array}{cc|cc} 2&1&1&0 5&3&0&1end{array} ight])

Führen Sie Zeilenoperationen mit dem Ziel durch, A in die Identität umzuwandeln.

  1. Reihe 1 und Reihe 2 wechseln.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 5&3&0&1 onumber [4pt] 2&1&1&0end{array} ight])

  2. Multiplizieren Sie Zeile 2 mit -2 und addieren Sie zu Zeile 1.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 onumber [4pt] 2&1&1&0end{array} ight])

  3. Multiplizieren Sie Zeile 1 mit -2 und addieren Sie zu Zeile 2.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&1&-2&1 onumber [4pt] 0&-1&5&-2end{array} ight])

  4. Fügen Sie Zeile 2 zu Zeile 1 hinzu.
  5. Zeile 2 mit -1 multiplizieren. −1.

Die gefundene Matrix ist (A^{−1}).

(A^{−1}=egin{bmatrix}3&−1 onumber [4pt] −5&2end{bmatrix})

Die multiplikative Inverse von (2×2)-Matrizen mithilfe einer Formel ermitteln

Wenn wir die finden müssen multiplikativ invers einer (2 × 2)-Matrix können wir eine spezielle Formel verwenden, anstatt eine Matrixmultiplikation zu verwenden oder mit der Identität zu vergrößern.

Wenn (A) eine (2×2)-Matrix ist, wie zum Beispiel

(A=egin{bmatrix}a&b onumber [4pt] c&dend{bmatrix})

die multiplikative Inverse von (A) ist gegeben durch die Formel

(A^{−1}=dfrac{1}{ad−bc}egin{bmatrix}d&−b onumber [4pt] −c&aend{bmatrix})

wobei (ad−bc≠0). Wenn (ad−bc=0), dann hat (A) keine Umkehrung.

Beispiel (PageIndex{4}): Verwenden der Formel, um die multiplikative Inverse der Matrix (A) zu finden

Verwenden Sie die Formel, um die multiplikative Inverse von zu finden

[A=egin{bmatrix}1&−2 onumber [4pt] 2&−3end{bmatrix}]

Lösung

Wir können überprüfen, ob unsere Formel funktioniert, indem wir eine der anderen Methoden verwenden, um die Umkehrung zu berechnen. Wir erweitern (A) mit der Identität.

(left[ egin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 onumber [4pt] 2&-3&0&1end{array} ight])

Führen Sie Zeilenoperationen mit dem Ziel durch, (A) in die Identität umzuwandeln.

  1. Multiplizieren Sie Zeile 1 mit (−2) und addieren Sie zu Zeile 2.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&-2&1&0 onumber [4pt] 0&1&-2&1end{array} ight])

  2. Multiplizieren Sie Zeile 1 mit (2) und addieren Sie zu Zeile 1.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&0&-3&2 onumber [4pt] 0&1&-2&1end{array} ight])

Wir haben also unsere ursprüngliche Lösung verifiziert.

(A^{−1}=egin{bmatrix}−3&2 onumber [4pt] −2&1end{bmatrix})

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie die Formel, um die Inverse der Matrix (A) zu finden. Verifizieren Sie Ihre Antwort, indem Sie sie mit der Identitätsmatrix ergänzen.

(A=egin{bmatrix}1&−1 onumber [4pt] 2&3end{bmatrix})

Antworten

(A^{−1}=egin{bmatrix}dfrac{3}{5}&dfrac{1}{5} onumber [4pt] −dfrac{2}{5}&dfrac {1}{5}end{bmatrix})

Beispiel (PageIndex{5}): Finden der Inversen der Matrix, falls sie existiert

Finden Sie die Inverse der gegebenen Matrix, falls sie existiert.

(A=egin{bmatrix}3&6 onumber [4pt] 1&2end{bmatrix})

Lösung

Wir werden die Methode der Augmentierung mit der Identität verwenden.

(left[ egin{array}{cc|cc} 3&6&1&0 onumber [4pt] 1&3&0&1end{array} ight])

  1. Reihe 1 und Reihe 2 wechseln.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&3&0&1 onumber [4pt] 3&6&1&0end{array} ight])

  2. Multiplizieren Sie Zeile 1 mit -3 und addieren Sie es zu Zeile 2.

    (left[ egin{array}{cc|cc} 1&2&1&0 onumber [4pt] 0&0&-3&1end{array} ight])

  3. Wir können nichts weiter tun. Die Nullen in Zeile 2 zeigen an, dass diese Matrix keine Inverse hat.
Ermitteln der multiplikativen Inversen von (3×3)-Matrizen

Leider haben wir keine ähnliche Formel wie für eine (2×2)-Matrix, um die Inverse einer (3×3)-Matrix zu finden. Stattdessen erweitern wir die ursprüngliche Matrix mit der Identitätsmatrix und verwenden Zeilenoperationen, um die Umkehrung zu erhalten.

Gegeben eine (3 × 3)-Matrix

[A=egin{bmatrix}2&3&1 onumber [4pt] 3&3&1 onumber [4pt] 2&4&1end{bmatrix}]

ergänze (A) mit der Identitätsmatrix

[egin{array}{c|c}A&Iend{array}=left[ egin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 onumber [4pt] 3&3&1&0&1&0 onumber [4pt] 2&4&1&0&0&1 end{array} ight]]

Zu Beginn schreiben wir die erweiterte Matrix mit der Identität rechts und (A) links. Grundschule durchführen Zeilenoperationen so, dass die Identitätsmatrix links erscheint, erhalten wir die inverse Matrix auf der rechten Seite. Die Umkehrung dieser Matrix finden wir im nächsten Beispiel.

Gewusst wie: Bestimmen Sie bei einer gegebenen (3 × 3)-Matrix die Inverse

  1. Schreiben Sie die ursprüngliche Matrix, ergänzt um die Identitätsmatrix auf der rechten Seite.
  2. Verwenden Sie elementare Zeilenoperationen, damit die Identität links erscheint.
  3. Was rechts erhalten wird, ist die Umkehrung der ursprünglichen Matrix.
  4. Zeigen Sie mit der Matrixmultiplikation, dass (AA^{−1}=I) und (A^{−1}A=I) gilt.

Beispiel (PageIndex{6}): Finden der Inversen einer (3 × 3)-Matrix

Gegeben sei die (3 × 3)-Matrix (A), finde die Umkehrung.

(A=egin{bmatrix}2&3&1 onumber [4pt] 3&3&1 onumber [4pt] 2&4&1end{bmatrix})

Lösung

Ergänze (A) mit der Identitätsmatrix und beginne dann mit Zeilenoperationen, bis die Identitätsmatrix (A) ersetzt. Die Matrix rechts ist die Umkehrung von (A).

(left[ egin{array}{ccc|ccc}2&3&1&1&0&0 onumber [4pt] 3&3&1&0&1&0 onumber [4pt] 2&4&1&0&0&1 end{array} ight] xrightarrow{Interchangespace R_2space and space R_1} left[ egin{array}{ccc|ccc}3&3&1&0&1&0 onumber [4pt] 2&3&1&1&0&0 onumber [4pt] 2&4&1&0&0&1 end{array} ight])

(−R_2+R_1=R_1 ightarrow left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 onumber [4pt] 2&3&1&1&0&0 onumber [4pt] 2&4&1&0&0&1end{array} ight] )

(−R_2+R_3=R_3 ightarrow left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 onumber [4pt] 2&3&1&1&0&0 onumber [4pt] 0&1&0&-1&0&1end{array} Rechts])

(R_2leftrightarrow R_3 ightarrow left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 onumber [4pt] 0&1&0&-1&0&1 onumber [4pt] 2&3&1&1&0&0end{array} ight] )

(−2R_1+R_3=R_3 ightarrow left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 onumber [4pt] 0&1&0&-1&0&1 onumber [4pt] 0&3&1&3&-2&0end{array } Rechts])

(−3R_2+R_3=R_3 ightarrow left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-1&1&0 onumber [4pt] 0&1&0&-1&0&1 onumber [4pt] 0&0&1&6&-2&-3end {Array} ight])

Daher,

(A^{−1}=B=egin{bmatrix}−1&1&0 onumber [4pt] −1&0&1 onumber [4pt] 6&−2&−3end{bmatrix})

Analyse

Um zu beweisen, dass (B=A^{−1}), multiplizieren wir die beiden Matrizen miteinander, um zu sehen, ob das Produkt gleich der Identität ist, wenn (AA^{−1}=I) und (A^{ −1}A=I).

[egin{align*} AA^{−1} & =egin{bmatrix}2&3&1 onumber [4pt] 3&3&1 onumber [4pt] 2&4&1end{bmatrix}egin{bmatrix}−1&1&0 onumber [4pt] −1&0&1 onumber [4pt] 6&−2&−3end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}2(−1)+3(−1 )+1(6)&2(1)+3(0)+1(−2)&2(0)+3(1)+1(−3) onumber [4pt] 3(−1)+3 (−1)+1(6)& 3(1)+3(0)+1(−2)& 3(0)+3(1)+1(−3) onumber [4pt] 2( −1)+4(−1)+1(6)& 2(1)+4(0)+1(−2)& 2(0)+4(1)+1(−3)end{bmatrix } onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1&0&0&0&1&0 onumber [4pt] 0&0&1end{bmatrix} onumber [4pt] A^{−1}A &= egin{bmatrix} −1&1&0 onumber [4pt] −1&0&1 onumber [4pt] 6&−2&−3end{bmatrix}egin{bmatrix}&2&31 onumber [4pt] 3&3&1 onumber [4pt] 2&4&1 end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}−1(2)+1(3)+0(2)& −1(3)+1(3)+0(4) & −1(1)+1(1)+0(1) onumber [4pt] −1(2)+0(3)+1(2)& −1(3)+0(3)+ 1(4)& −1(1)+0(1)+1(1) onumber [4pt] 6(2)+−2(3)+−3(2)& 6(3)+− 2(3)+−3(4)& 6(1)+−2(1)+−3(1)end{bmatrix} onumber [4pt] &= egin{bmatrix}1&0&0 onumbe r [4pt] 0&1&0 onumber [4pt] 0&0&1end{bmatrix} end{align*}]

Übung (PageIndex{3})

Finden Sie die Umkehrung der (3×3)-Matrix.

(A=egin{bmatrix}2&−17&11 onumber [4pt] −1&11&−7 onumber [4pt] 0&3&−2end{bmatrix})

Antworten

(A^{−1}=egin{bmatrix}1&1&2 onumber [4pt] 2&4&−3 onumber [4pt] 3&6&−5end{bmatrix})

Lösen eines Systems linearer Gleichungen unter Verwendung der Inversen einer Matrix

Das Lösen eines linearen Gleichungssystems unter Verwendung der Inversen einer Matrix erfordert die Definition von zwei neuen Matrizen: (X) ist die Matrix, die die Variablen des Systems repräsentiert, und (B) ist die Matrix, die die Konstanten repräsentiert. Verwenden von Matrix-Multiplikation, können wir ein Gleichungssystem mit der gleichen Anzahl von Gleichungen als Variablen definieren wie

(AX=B)

Um ein lineares Gleichungssystem mit einer inversen Matrix zu lösen, sei (A) die Koeffizientenmatrix, (X) die variable Matrix und (B) die konstante Matrix. Wir wollen also ein System (AX=B) lösen. Betrachten Sie zum Beispiel das folgende Gleichungssystem.

(a_1x+b_1y=c_1)

(a_2x+b_2y=c_2)

Aus diesem System ist die Koeffizientenmatrix

(A=egin{bmatrix}a_1&b_1 onumber [4pt] a_2&b_2end{bmatrix})

Die variable Matrix ist

(X=egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix})

Und die konstante Matrix ist

(B=egin{bmatrix}c_1 onumber [4pt] c_2end{bmatrix})

Dann sieht (AX=B) aus wie

(egin{bmatrix}a_1&b_1 onumber [4pt] a_2&b_2end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix}=egin{bmatrix}c_1 onumber [4pt] c_2end{bmatrix})

Erinnern Sie sich an die Diskussion weiter oben in diesem Abschnitt über die Multiplikation einer reellen Zahl mit ihrer Umkehrung ((2^{−1}) 2=left(dfrac{1}{2} ight) 2=1). Um eine einzelne lineare Gleichung (ax=b) nach (x) zu lösen, würden wir einfach beide Seiten der Gleichung mit dem multiplikativen Inversen (Kehrwert) von (a) multiplizieren. Daher,

[egin{align*} ax&= b left(dfrac{1}{a} ight)ax&= left(dfrac{1}{a} ight)b left(a ^{-1} ight)ax&= left(a^{-1} ight)b left[left(a^{-1} ight)a ight]x&= left(a ^{-1} ight)b 1x&= left(a^{-1} ight)b x&= left(a^{-1} ight)b end{align*} ]

Der einzige Unterschied zwischen dem Lösen einer linearen Gleichung und einem in Matrixform geschriebenen Gleichungssystem besteht darin, dass das Finden der Inversen einer Matrix komplizierter ist und die Matrixmultiplikation ein längerer Prozess ist. Das Ziel ist jedoch dasselbe – die Variable zu isolieren.

Wir werden diese Idee im Detail untersuchen, aber es ist hilfreich, mit einem (2 × 2)-System zu beginnen und dann zu einem (3 × 3)-System überzugehen.

LÖSUNG EINES GLEICHSYSTEMS MIT DEM INVERSEN EINER MATRIX

Schreiben Sie für ein gegebenes Gleichungssystem die Koeffizientenmatrix (A), die variable Matrix (X) und die konstante Matrix (B). Dann

(AX=B)

Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem Kehrwert von (A), um die Lösung zu erhalten.

[egin{align*} left(A^{-1} ight)AX&= left(A^{-1} ight)B left[left(A^{-1} rechts)A ight]X&= left(A^{-1} ight)B IX&= left(A^{-1} ight)B X&= left(A^{-1 } ight)B end{align*}]

F&A: Wenn die Koeffizientenmatrix keine Inverse hat, bedeutet dies, dass das System keine Lösung hat?

Nein, wenn die Koeffizientenmatrix nicht invertierbar ist, könnte das System inkonsistent sein und keine Lösung haben oder abhängig sein und unendlich viele Lösungen haben.

Beispiel (PageIndex{7}): Lösen eines (2 × 2)-Systems mit der Inversen einer Matrix

Löse das gegebene Gleichungssystem mit der Inversen einer Matrix.

[egin{align*} 3x+8y&= 5 4x+11y&= 7 end{align*}]

Lösung

Schreiben Sie das System in Form einer Koeffizientenmatrix, einer variablen Matrix und einer konstanten Matrix.

(A=egin{bmatrix}3&8 onumber [4pt] 4&11end{bmatrix}), (X=egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix} ), (B=egin{bmatrix}5 onumber [4pt] 7end{bmatrix})

Dann

(egin{bmatrix}3&8 onumber [4pt] 4&11end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix}=egin{bmatrix}5 onumber [4pt] 7end{bmatrix})

Zuerst müssen wir (A^{−1}) berechnen. Mit der Formel zur Berechnung der Inversen einer (2) mal (2)-Matrix haben wir:

[egin{align*} A^{−1} &= dfrac{1}{ad−bc}egin{bmatrix}d&−b onumber [4pt] −c&aend{bmatrix} &= dfrac{1}{3(11)−8(4)}egin{bmatrix}11&−8 onumber [4pt] −4&3end{bmatrix} &=dfrac{1}{ 1}egin{bmatrix}11&−8 onumber [4pt] −4&3end{bmatrix} end{align*}]

So,

(A^{−1}=egin{bmatrix}11&−8 onumber [4pt] −4 &3end{bmatrix})

Jetzt sind wir bereit zu lösen. Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (A^{−1}).

[egin{align*} left(A^{−1} ight)AX&=left(A^{−1} ight)B [4pt] egin{bmatrix}11&−8 onumber [4pt] −4&3end{bmatrix}egin{bmatrix}3&8 onumber [4pt] 4&11end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix} &=egin{bmatrix}11&−8 onumber [4pt] −4&3end{bmatrix}egin{bmatrix}5 onumber [4pt] 7end{bmatrix} [4pt] egin {bmatrix}1&0 onumber [4pt] 0&1end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix}&=egin{bmatrix}11(5)+(− 8)7 onumber [4pt] −4(5)+3(7)end{bmatrix} [4pt] egin{bmatrix}x onumber [4pt] yend{bmatrix}& =egin{bmatrix}−1 onumber [4pt] 1end{bmatrix} end{align*}]

Die Lösung ist ((−1,1)).

F&A: Können wir nach (X) auflösen, indem wir das Produkt (BA^{−1}) finden?

Nein, erinnere dich daran, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, also (A^{−1}B≠BA^{−1}). Betrachten Sie unsere Schritte zum Lösen der Matrixgleichung.

[egin{align*} left(A^{-1} ight)AX&= left(A^{-1} ight)B left[ left(A^{-1} rechts)A ight]X&= left(A^{-1} ight)B IX&= left(A^{-1} ight)B X&= left(A^{-1 } ight)B end{align*}]

Beachten Sie, dass wir im ersten Schritt beide Seiten der Gleichung mit (A^{−1}) multipliziert haben, aber (A^{−1}) war links von (A) auf der linken Seite und links von (B) auf der rechten Seite. Da die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist, ist die Reihenfolge wichtig.

Beispiel (PageIndex{8}): Lösen eines 3×3-Systems mit der Inversen einer Matrix

Lösen Sie das folgende System mit der Inversen einer Matrix.

Lösung

Schreiben Sie die Gleichung (AX=B).

(egin{bmatrix}5&15&56 onumber [4pt] −4&−11&−41 onumber [4pt] −1&−3&−11end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [ 4pt] y onumber [4pt] zend{bmatrix}=egin{bmatrix}35 onumber [4pt] −26 onumber [4pt] −7end{bmatrix})

Zuerst finden wir die Inverse von (A) durch Augmentieren mit der Identität.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}5&15&56&1&0&0 onumber [4pt] −4&−11&−41&0&1&0 onumber [4pt] −1&−3&−11&0&0&1end{array} ight] )

Zeile 1 mit (dfrac{1}{5}) multiplizieren.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&3&dfrac{56}{5}&dfrac{1}{5}&0&0 onumber [4pt] −4&−11&−41&0&1&0 onumber [4pt] −1&−3&−11&0&0&1end{array} ight])

Multiplizieren Sie Zeile 1 mit (4) und addieren Sie zu Zeile 2.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&3&dfrac{56}{5}&dfrac{1}{5}&0&0 onumber [4pt] 0&1&dfrac{19}{5} &dfrac{4}{5}&1&0 onumber [4pt] −1&−3&−11&0&0&1end{array} ight])

Fügen Sie Zeile 1 zu Zeile 3 hinzu.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&3&dfrac{56}{5}&dfrac{1}{5}&0&0 onumber [4pt] 0&1&dfrac{19}{5} &dfrac{4}{5}&1&0 onumber [4pt] 0&0&dfrac{1}{5}&dfrac{1}{5}&0&1end{array} ight])

Multiplizieren Sie Zeile 2 mit (−3) und addieren Sie zu Zeile 1.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&-dfrac{1}{5}&-dfrac{11}{5}&-3&0 onumber [4pt] 0&1&dfrac{19 }{5}&dfrac{4}{5}&1&0 onumber [4pt] 0&0&dfrac{1}{5}&dfrac{1}{5}&0&1end{array} ight])

Multiplizieren Sie Zeile 3 mit (5).

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&-dfrac{1}{5}&-dfrac{11}{5}&-3&0 onumber [4pt] 0&1&dfrac{19 }{5}&dfrac{4}{5}&1&0 onumber [4pt] 0&0&1&1&0&5end{array} ight])

Multiplizieren Sie Zeile 3 mit (dfrac{1}{5}) und addieren Sie zu Zeile 1.

(left[ egin{array}{ccc|ccc}1&0&0&-2&-3&1 onumber [4pt] 0&1&dfrac{19}{5}&dfrac{4}{5}&1&0 onumber [4pt] 0&0&1&1&0&5end{array} ight])

Multiplizieren Sie Zeile 3 mit (−dfrac{19}{5}) und addieren Sie zu Zeile 2.

So,

(A^{−1}=egin{bmatrix}−2&−3&1 onumber [4pt] −3&1&−19 onumber [4pt] 1&0&5end{bmatrix})

Multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit (A^{−1}). Wir wollen (A^{−1}AX=A^{−1}B):

(egin{bmatrix}−2&−3&1 onumber [4pt] −3&1&−19 onumber [4pt] 1&0&5end{bmatrix}egin{bmatrix}5&15&56 onumber [4pt] −4& −11&−41 onumber [4pt] −1&−3&−11end{bmatrix}egin{bmatrix}x onumber [4pt] y onumber [4pt] zend{bmatrix}= egin{bmatrix}−2&−3&1 onumber [4pt] −3&1&−19 onumber [4pt] 1&0&5end{bmatrix}egin{bmatrix}35 onumber [4pt] −26 onumber [4pt] −7end{bmatrix})

Daher,

(A^{−1}B=egin{bmatrix}−70+78−7 onumber [4pt] −105−26+133 onumber[4pt] 35+0−35end{bmatrix }=egin{bmatrix}1 onumber [4pt] 2 onumber [4pt] 0end{bmatrix})

Die Lösung ist ((1,2,0)).

Übung (PageIndex{4})

Lösen Sie das System mit der Umkehrung der Koeffizientenmatrix.

Antworten

(X=egin{bmatrix}4 onumber [4pt] 38 onumber [4pt] 58end{bmatrix})

Gewusst wie: Lösen Sie ein gegebenes Gleichungssystem mit Matrixinversen mit einem Taschenrechner

  1. Speichern Sie die Koeffizientenmatrix und die Konstantenmatrix als Matrixvariablen ([ A ]) und ([ B ]).
  2. Geben Sie die Multiplikation in den Taschenrechner ein und rufen Sie jede Matrixvariable nach Bedarf auf.
  3. Wenn die Koeffizientenmatrix invertierbar ist, zeigt der Rechner die Lösungsmatrix an; Wenn die Koeffizientenmatrix nicht invertierbar ist, gibt der Rechner eine Fehlermeldung aus.

Beispiel (PageIndex{9}): Verwenden eines Taschenrechners zum Lösen eines Gleichungssystems mit Matrixinversen

Lösen Sie das Gleichungssystem mit Matrixinversen mit einem Taschenrechner

Lösung

Geben Sie auf der Matrixseite des Rechners die Koeffizientenmatrix als Matrixvariable ([ A ]) und die Konstantenmatrix als Matrixvariable ([ B ]) ein.

([A]=egin{bmatrix}2&3&1 onumber [4pt] 3&3&1 onumber [4pt] 2&4&1end{bmatrix}), ([B]=egin{bmatrix}32 onumber [4pt] −27 onumber [4pt] −2end{bmatrix})

Geben Sie auf dem Startbildschirm des Taschenrechners die Multiplikation ein, um nach (X) aufzulösen, und rufen Sie jede Matrixvariable nach Bedarf auf.

([A]^{−1}×[B])

Werten Sie den Ausdruck aus.

(egin{bmatrix}−59 onumber [4pt] −34 onumber [4pt] 252end{bmatrix})

Schlüsselgleichungen

Identitätsmatrix für eine (2 × 2)-Matrix(I_2=egin{bmatrix}1&0 onumber [4pt] 0&1end{bmatrix})
Identitätsmatrix für eine (3 × 3)-Matrix

(I_3=egin{bmatrix}1&0&0 onumber [4pt] 0&1&0 onumber [4pt] 0&0&1end{bmatrix})

Multiplikative Inverse einer (2 × 2)-Matrix(A^{−1}=dfrac{1}{ad−bc}egin{bmatrix}d&−b onumber [4pt]−c&aend{bmatrix}), wobei (ad−bc ≠0)

Schlüssel Konzepte

  • Eine Identitätsmatrix hat die Eigenschaft (AI=IA=A). Siehe Beispiel (PageIndex{1}).
  • Eine invertierbare Matrix hat die Eigenschaft (AA^{−1}=A^{−1}A=I). Siehe Beispiel (PageIndex{2}).
  • Verwenden Sie die Matrixmultiplikation und die Identität, um die Inverse einer (2×2)-Matrix zu finden. Siehe Beispiel (PageIndex{3}).
  • Die multiplikative Inverse kann mit einer Formel ermittelt werden. Siehe Beispiel (PageIndex{4}).
  • Eine andere Methode zum Auffinden des Inversen besteht darin, mit der Identität zu vergrößern. Siehe Beispiel (PageIndex{5}).
  • Wir können eine (3×3)-Matrix mit der Identität auf der rechten Seite erweitern und Zeilenoperationen verwenden, um die ursprüngliche Matrix in die Identität umzuwandeln, und die Matrix auf der rechten Seite wird zur Umkehrung. Siehe Beispiel (PageIndex{6}).
  • Schreiben Sie das Gleichungssystem als (AX=B) und multiplizieren Sie beide Seiten mit dem Kehrwert von (A): (A^{−1}AX=A^{−1}B). Siehe Beispiel (PageIndex{7}) und Beispiel (PageIndex{8}).
  • Wir können auch einen Taschenrechner verwenden, um ein Gleichungssystem mit Matrixinversen zu lösen. Siehe Beispiel (PageIndex{9}).


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