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13.1E: Übungen zu Abschnitt 13.1 - Mathematik


Einführung in vektorwertige Funktionen

1) Geben Sie die Komponentenfunktionen (x=f(t)) und (y=g(t)) für die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=3 sec t, hat{ mathbf{i}}+2 an t,hat{mathbf{j}}).

Antworten:
Hier können wir sagen, dass (f(t)=3 sec t, quad g(t)=2 an t)

also haben wir (x(t)=3 sec t, quad y(t)=2 an t).

2) Gegeben (vecs r(t)=3 sec that{mathbf{i}}+2 an that{mathbf{j}}) finden Sie die folgenden Werte (wenn möglich).

  1. (vecs r(frac{pi}{4}))
  2. (vecs r(pi))
  3. (vecs r(frac{pi}{2}))

3) Skizzieren Sie die Kurve der vektorwertigen Funktion ( vecs r(t)=3 sec t hat{mathbf{i}}+2 an that{mathbf{j}}) und geben Sie Ausrichtung der Kurve. Skizzieren Sie Asymptoten als Leitfaden für den Graphen.

Antworten:

Grenzen vektorwertiger Funktionen

4) Bewerte (limlimits_{t o 0}left(e^that{mathbf{i}}+frac{sin t}{t} hat{mathbf{j}}+e ^{−t} hat{mathbf{k}} ight))

5) Gegeben sei die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=⟨cos t,sin t⟩) folgende Werte:

  1. (limlimits_{t ofrac{pi}{4}} vecs r(t))
  2. (vecs r(frac{pi}{3}))
  3. Ist (vecs r(t)) stetig bei (t=frac{pi}{3})?
  4. Graph (vecs r(t)).
Antworten:

ein. (⟨frac{sqrt{2}}{2},frac{sqrt{2}}{2}⟩),
b. (⟨frac{1}{2},frac{sqrt{3}}{2}⟩),
c. Ja, die Grenze wie t nähert sich (mathrm{frac{pi}{3}}) gleich (mathrm{r(frac{pi}{3})}),
d.

6) Gegeben sei die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=⟨t,t^2+1⟩), bestimme die folgenden Werte:

  1. (limlimits_{t o -3} vecs r(t))
  2. (vecs r(−3))
  3. Ist (vecs r(t)) stetig bei (x=−3)?
  4. (vecs r(t+2)−vecs r(t))

7) Sei (vecs r(t)=e^that{mathbf{i}}+sin that{mathbf{j}}+ln that{mathbf{k}}) . Finden Sie die folgenden Werte:

  1. (vecs r(frac{pi}{4}))
  2. (limlimits_{t ofrac{pi}{4}} vecs r(t))
  3. Ist (vecs r(t)) stetig bei (t=frac{pi}{4})?
Antworten:
ein. ⟨(e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4}))⟩;
b. ⟨(e^{frac{pi}{4}},frac{sqrt{2}}{2},ln (frac{pi}{4}))⟩;
c. Ja

Bestimmen Sie für die Aufgaben 8 - 13 den Grenzwert der folgenden vektorwertigen Funktionen beim angegebenen Wert von (t).

8) (limlimits_{t o 4}⟨sqrt{t−3},frac{sqrt{t}−2}{t−4}, an(frac{pi}{t} )⟩)

9) (limlimits_{t ofrac{pi}{2}}vecs r(t)) für (vecs r(t)=e^that{mathbf{i}} +sin t hat{mathbf{j}}+ln that{mathbf{k}})

Antworten:
(⟨e^{frac{pi}{2}},1,ln(frac{pi}{2})⟩)

10) (limlimits_{t oinfty}⟨e^{−2t},frac{2t+3}{3t−1},arctan(2t)⟩)

11) (limlimits_{t o e^2}⟨tln(t),frac{ln t}{t^2},sqrt{ln(t^2)⟩})

Antworten:
(2e^2 hat{mathbf{i}}+frac{2}{e^4}hat{mathbf{j}}+2hat{mathbf{k}})

12) (limlimits_{t ofrac{pi}{6}}⟨cos 2t,sin 2t,1⟩)

13) (limlimits_{t oinfty}vecs r(t)) für (vecs r(t)=2e^{−t} mathbf{ i}+e^{−t} Hut{mathbf{j}}+ln(t−1) hat{mathbf{k}})

Antworten:
Der Grenzwert existiert nicht, weil der Grenzwert von (ln(t−1)) nicht existiert, wenn sich (t) unendlich nähert.

Bereich einer vektorwertigen Funktion

Bestimmen Sie für die Aufgaben 14 - 17 den Definitionsbereich der vektorwertigen Funktionen.

14) Bereich: (vecs r(t)=⟨t^2,t,sin t⟩)

15) Bereich: (vecs r(t)=⟨t^2, an t,ln t⟩)

Antworten:
( ext{D}_{vecs r} = left{t,|, t>0,t≠(2k+1)frac{pi}{2}, , ext{ wobei} ,k , ext{eine ganze Zahl ist} ight })

16) Bereich: (vecs r(t)=⟨t^2,sqrt{t−3},frac{3}{2t+1}⟩)

17) Bereich: (vecs r(t)=⟨csc(t),frac{1}{sqrt{t−3}}, ln(t−2)⟩)

Antworten:
( ext{D}_{vecs r} = left{t,|, t>3,t≠npi,, ext{wo}, n, ext{is jede ganze Zahl} ight })

18) ein. Finden Sie das Gebiet von (vecs r(t)=2e^{-t} hat{mathbf{i}}+e^{−t}hat{mathbf{j}}+ln(t− 1)hat{mathbf{k}}).

b. Für welche Werte von (t) ist (vecs r(t)=2e^{-t} hat{mathbf{i}}+e^{−t}hat{mathbf{j}} +ln(t−1)hat{mathbf{k}}) stetig?

Antworten:
ein. ( ext{D}_{vecs r}: ( 1, infty))
b. Alle (t) mit (t∈(1,infty))

19) Bereich: (vecs r(t)=(arccos t), hat{mathbf{i}} + sqrt{2t−1}, hat{mathbf{j}}+ln( t) , hat{mathbf{k}})

Antworten:
( ext{D}_{vecs r}: ig[ frac{1}{2}, 1 ig])

Visualisierung von vektorwertigen Funktionen

20) Beschreiben Sie die durch die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=(1+t)hat{mathbf{i}}+(2+5t)hat{mathbf{j}}+( −1+6t)hat{mathbf{k}}).

21) Sei (vecs r(t)=⟨cos t,t,sin t⟩) und beantworte damit die folgenden Fragen.

  1. Für welche Werte von (t) ist (vecs r(t)) stetig?
  2. Skizzieren Sie den Graphen von (vecs r(t)).
Antworten:
ein. (vecs r) ist stetig für alle reellen Zahlen, also für (tinmathbb{R}).
b. Beachten Sie, dass auf der vertikalen Achse im Querschnitt in Bild (a) unten anstelle von (y) ein (z) stehen sollte.

22) Fertigen Sie eine sorgfältige Skizze des Graphen von (vecs r(t) = t^2, hat{mathbf{i}} + t, hat{mathbf{j}}) an.

Verwenden Sie in den Fragen 23 - 25 ein grafisches Dienstprogramm, um jede der vektorwertigen Funktionen zu skizzieren:

23) [T] (vecs r(t)=2 cos^2 that{mathbf{i}}+(2−sqrt{t})hat{mathbf{j}})

Antworten:

24) [T] (vecs r(t)=⟨e^{cos (3t)},e^{−sin(t)}⟩)

25) [T] (vecs r(t)=⟨2−sin (2t),3+2 cos t⟩)

Antworten:

Auffinden von Gleichungen in (x) und (y) für den durch vektorwertige Funktionen verfolgten Pfad

Eliminieren Sie für die Fragen 26-33 den Parameter (t), schreiben Sie die Gleichung in kartesischen Koordinaten und skizzieren Sie dann den Graphen der vektorwertigen Funktionen.

26) (vecs r(t)=2that{mathbf{i}}+t^2hat{mathbf{j}})
(Hinweis: Seien (x=2t) und (y=t^2). Löse die erste Gleichung nach (t) nach (x) und setze dieses Ergebnis in die zweite Gleichung ein.)

27) (vecs r(t)=t^3 hat{mathbf{i}}+2that{mathbf{j}})

Antworten:

(y=2sqrt[3]{x}), eine Variation der Kubikwurzelfunktion

28) (vecs r(t)=sin t,hat{mathbf{i}}+cos t,hat{mathbf{j}})

29) (vecs r(t)=3cos t,hat{mathbf{i}}+3sin t,hat{mathbf{j}})

Antworten:

(x^2+y^2=9), ein Kreis mit Mittelpunkt ((0,0)) mit Radius 3 und einer Ausrichtung gegen den Uhrzeigersinnclockwise

30) (vecs r(t)=⟨ sin t,4 cos t⟩)

31) (vecs r(t)=2sin t,hat{mathbf{i}}-3cos t,hat{mathbf{j}})

Antworten:

(frac{x^2}{4}+frac{y^2}{9}=1), eine Ellipse zentriert bei ((0,0)) mit Achsenabschnitten bei (x = pm2 ) und (y =pm3) und eine Ausrichtung im Uhrzeigersinn

32) (vecs r(t)= an t,hat{mathbf{i}}-2sec t,hat{mathbf{j}})

33) (vecs r(t)=3sec t,hat{mathbf{i}}+4 an t,hat{mathbf{j}})

Antworten:

(frac{x^2}{9}-frac{y^2}{16}=1), eine um ((0,0)) zentrierte Hyperbel mit (x)-Achsenabschnitten ((3, 0)) und ((-3, 0)), mit gezeigter Orientierung

Finden einer vektorwertigen Funktion zum Verfolgen des Graphen einer Gleichung in (x) und (y)

Suchen Sie für die Fragen 34 - 40 eine vektorwertige Funktion, die die gegebene Kurve in die angegebene Richtung zeichnet.

34) (4x^2+9y^2=36); im und gegen den Uhrzeigersinn

35) (y=x^2); von links nach rechts

Antworten:
(vecs r(t)=⟨t,t^2⟩), wobei (t) zunimmt

36) Die Linie durch P und Q wo P ist ((1,4,−2)) und Q ist ((3,9,6))

37) Der im Uhrzeigersinn orientierte Kreis (x^2 + y^2 = 36) mit der Position ((-6, 0)) zur Zeit (t = 0).

Antworten:
(vecs r(t)=-6cos t,hat{mathbf{i}}+6sin t,hat{mathbf{j}})

38) Die Ellipse, (x^2 + frac{y^2}{36} = 1), gegen den Uhrzeigersinn orientiert

Antworten:
(vecs r(t)=cos t,hat{mathbf{i}}+6sin t,hat{mathbf{j}})

39) Die Hyperbel, (frac{y^2}{36} - x^2 = 1), oberes Stück ist von links nach rechts orientiert

Antworten:
(vecs r(t)= an t,hat{mathbf{i}}+6sec t,hat{mathbf{j}})

40) Die Hyperbel, (frac{x^2}{49} - frac{y^2}{64} = 1), rechtes Stück ist von unten nach oben orientiert

Antworten:
(vecs r(t)=7sec t,hat{mathbf{i}}+8 an t,hat{mathbf{j}})

Parametrieren eines stückweisen Pfads

Geben Sie für die Fragen 41 - 44 eine Parametrisierung für jeden stückweisen Pfad an. Versuchen Sie, eine Parametrisierung zu schreiben, die mit (t = 0) beginnt und sich durch Werte von (t) fortsetzt, während Sie von einem Teil zum anderen gehen.

41)

Antworten:
ein. (vecs r_1(t)=t,hat{mathbf{i}} + t^4,hat{mathbf{j}}) für (0le tle 1)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{-t},hat{mathbf{j}}) für (-1 le t le 0)

Eine stückweise Parametrisierung dieses Pfades lautet also:
(vecs r(t) = egin{Fälle}
t,hat{mathbf{i}} + t^4,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
left(2-t ight),hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{2-t},hat{mathbf{j}}, & 1 lt tle 2
end{Fälle})

b. (vecs r_1(t)=t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{t},hat{mathbf{j}}) für (0le t le1)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + (-t)^4 ,hat{mathbf{j}}) für (-1le t le0)

Eine stückweise Parametrisierung dieses Pfades lautet also:
(vecs r(t) = egin{Fälle}
t,hat{mathbf{i}} + sqrt[3]{t},hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
left(2-t ight),hat{mathbf{i}} + left(2-t ight)^4,hat{mathbf{j}}, & 1 lt t le 2
end{Fälle})

42)

43) ein. b.

Antworten:
ein. (vecs r_1(t)=t,hat{mathbf{i}} +0 ,hat{mathbf{j}}) für (0le tle 2)
(vecs r_2(t)= -t,hat{mathbf{i}} + left(2+t ight),hat{mathbf{j}}) für (-2 le t le -1)
(vecs r_3(t)= -t,hat{mathbf{i}} + left(-t ight)^3,hat{mathbf{j}}) für (- 1 le t le 0)

Eine stückweise Parametrisierung dieses Pfades lautet also:
(vecs r(t) = egin{Fälle}
t,hat{mathbf{i}}, & 0 le t le 2
left(4-t ight),hat{mathbf{i}} + left(t-2 ight),hat{mathbf{j}}, & 2 lt tle 3
left(4-t ight),hat{mathbf{i}} + left(4-t ight)^3,hat{mathbf{j}}, & 3 lt t le 4
end{Fälle})

b. (vecs r_1(t)=t,hat{mathbf{i}} + t^3,hat{mathbf{j}}) für (0le tle 1)
(vecs r_2(t)=t,hat{mathbf{i}} + left(2 - t ight),hat{mathbf{j}}) für (1le t le2)
(vecs r_3(t)= -t,hat{mathbf{i}} + 0,hat{mathbf{j}}) für (-2le tle 0)

Eine stückweise Parametrisierung dieses Pfades lautet also:
(vecs r(t) = egin{Fälle}
t,hat{mathbf{i}} + t^3,hat{mathbf{j}}, & 0 le t le 1
t,hat{mathbf{i}} + left(2 - t ight),hat{mathbf{j}}, & 1 lt tle 2
left(4-t ight), hat{mathbf{i}}, & 2 lt tle 4
end{Fälle})

44)

Zusätzliche Fragen zu vektorwertigen Funktionen

Betrachten Sie für die Fragen 45 - 48 die Kurve, die durch die vektorwertige Funktion (vecs r(t)=(50e^{−t}cos t)hat{mathbf{i}}+(50e^{ −t}sin t)hat{mathbf{j}}+(5−5e^{−t})hat{mathbf{k}}).

45) Was ist der Anfangspunkt des Pfades, der (vecs r(0)) entspricht?

Antworten:
((50,0,0))

46) Was ist (limlimits_{t oinfty}vecs r(t))?

47) [T] Verwenden Sie Technologie, um die Kurve zu skizzieren.

Antworten:

48) Eliminieren Sie den Parameter t um zu zeigen, dass (z=5−frac{r}{10}) mit (r^2=x^2+y^2) gilt.

49) [T] Sei (vecs r(t)=cos that{mathbf{i}}+sin that{mathbf{j}}+0,3 sin (2t)hat{mathbf{k} }). Verwenden Sie Technologie, um die Kurve (genannt Achterbahnkurve) über das Intervall ([0,2pi)). Wählen Sie mindestens zwei Ansichten aus, um die Gipfel und Täler zu bestimmen.

Antworten:

50) [T] Verwenden Sie das Ergebnis der vorherigen Aufgabe, um eine Gleichung für eine Achterbahn mit einem steilen Gefälle vom Gipfel und einer steilen Steigung vom „Tal“ aufzustellen. Verwenden Sie dann die Technologie, um die Gleichung grafisch darzustellen.

51) Verwenden Sie die Ergebnisse der beiden vorhergehenden Aufgaben, um eine Bahngleichung einer Achterbahn mit mehr als zwei Wendepunkten (Gipfel und Täler) zu konstruieren.

Antworten:

Eine Möglichkeit ist (vecs r(t)=cos that{mathbf{i}}+sin that{mathbf{j}}+sin (4t)hat{mathbf{k }}). Durch Erhöhen des Koeffizienten von (t) in der dritten Komponente erhöht sich die Anzahl der Wendepunkte.

52) Führen Sie die folgende Untersuchung durch.

  1. Zeichne die Kurve (vecs r(t)=(4+cos(18t))cos(t)hat{mathbf{i}}+(4+cos (18t)sin (t)) hat{mathbf{j}}+0.3 sin(18t)hat{mathbf{k}}) mit zwei Blickwinkeln Ihrer Wahl, um die Gesamtform der Kurve zu sehen.
  2. Ähnelt die Kurve einem „Slinky“?
  3. Welche Änderungen an der Gleichung sollten vorgenommen werden, um die Anzahl der Windungen des Slinky zu erhöhen?

Mitwirkende

Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.

Paul Seeburger (Monroe Community College) hat Übungen für LaTeX bearbeitet und #12, 14, 19, 22, 30-33, 37-44 erstellt.


Gerade Linie.

Wenn die Linie den Winkel halbiert, dann ist &thgr; = 45° oder 135°.

d.h. y = ±x ist die erforderliche Gleichung.

Wenn die Abschneidelinie gleich schneidet, dann ist a = b.

Also ist x + y = 7 die erforderliche Gleichung.

Also ist x &ndash y + 4 = 0 die erforderliche Gleichung.

Also ist x + 2y = 18 die erforderliche Gleichung.

Nach Frage, a + b = 14 dann b = 14 &ndash a.

Die Gleichung für a = 6 und b = 8 lautet:

Auch hier lautet die Gleichung für a = 7 und b = 7:

4x + 3y = 24 und x + y = 7 sind also die erforderlichen Gleichungen.

Die Endpunkte auf dem Teil der Linie in den Achsen sind (a,0) und (0,b). Wenn der Punkt (&ndash5,4) die Linie teilt, die (a,0),(0,b) im Verhältnis 1:2 verbindet.

Also, 5y = 8x + 60 ist die erforderliche Gleichung.

Seien A(&ndash2,0), B(2,&ndash4),C(4,1) die Eckpunkte des Dreiecks.

Seien AP, BQ,RC die Mediane des Dreiecks.

Gleichung der Seite AB ist, y &ndash 4= $frac<<0 - 4>><< - 2 - 2>>$ (x &ndash 2)

Gleichung der Seite BC ist, y &ndash 4 = $frac<<1 - 4>><<4 - 2>>$(x &ndash 2)

Gleichung der Seite CA ist, y &ndash 1 =$frac<<0 - 1>><< - 2 - 4>>$(x &ndash 4)

Gleichung des Medians AP ist, y &ndash 0 = $frac< <2>- 0>><<3 + 2>>$(x + 2).

Gleichung des Median BQ ist, y &ndash 4 = $frac< <2>- 4>><<1 - 2>>$(x &ndash 2)

Gleichung des Median CR ist, y &ndash 1 = $frac<<2 - 1>><<0 - 4>>$(x &ndash 4)

Die Seitengleichung lautet also: x &ndash y + 2 = 0, 3x + 2y = 14

Und die Mediangleichung lautet: x &ndash 2y + 2 =0, 7x &ndash 2y = 6.

Ausdrücken der Gleichung 2x + 3y + k = 0 in der Form $frac<< m>><< m>> + frac<< m>>><< m>>$ = 1

Dann wird das Dreieck mit Koordinaten gebildet

(x,y) teilt die Gerade im Verhältnis m1 : m2.

Worin liegt die Gerade 3x + y = 9

Durch Lösen von (i) und (ii) erhalten wir x = 2, y = &ndash1.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (2, &ndash1).

Setzen wir diesen Punkt in (iii) ein, erhalten wir

Daher sind die angegebenen Zeilen gleichzeitig.

Durch Lösen von (i) und (ii) erhalten wir x = $frac<<27>><<17>>$, y = $frac<<32>><<17>>$.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also ($frac<<27>><<17>>$,$< m<: >>frac<<32>><<17 >>$).

Setzen wir diesen Punkt in (iii) ein, erhalten wir

Daher sind die angegebenen Zeilen gleichzeitig.

Durch Lösen von (i) und (ii) erhalten wir x = 10, y = 0

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (10,0).

Setzen wir diesen Punkt in (iii) ein, erhalten wir

Daher sind die angegebenen Zeilen gleichzeitig.

Durch Lösen von (i) und (ii) erhalten wir x = 1, y = &ndash1.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (1, &ndash1).

Wenn die angegebenen Linien gleichzeitig sind, muss der Punkt (1, &ndash1) (ii) erfüllen.

Und der Übereinstimmungspunkt = (1, &ndash1).

Durch Lösen von (i) und (ii) erhalten wir x = 1, y = &ndash1.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (1, &ndash1).

Die Gleichung der Verbindungslinie von (1, &ndash1) und (0,0) lautet:

Also ist x + y = 0 die erforderliche Gleichung.

Die Gleichung der Verbindungslinie von (1,&ndash1) und (3,1) lautet:

Also ist x &ndash y = 2 die erforderliche Gleichung.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also $left( <7>< m<: >>,frac<4><7>> ight)$ .

Was durch $left( <7>,frac<4><7>> ight)$ geht, dann

Setzen wir den Wert von a in (iii) ein, erhalten wir

d.h. 7x + 7y = 9 ist die erforderliche Gleichung.

P und Q sind zwei Punkte auf der Geraden x &ndash y + 1 = 0.

Aus der Abbildung ist OP = OQ = 5.

Sei OR senkrecht zu PQ.

Ändern der gegebenen Gleichung x &ndash y + 1 = 0 in die Form xcos&alpha + ysin&alpha = p, dann,

PQ = 2 * QR = 2 * $frac<7><>$ = 7$sqrt 2 $.

Fläche des Dreiecks OPQ = $frac<1><2>$* PQ * OR.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (1,1).

Wenn die Linie den gleichen Winkel mit den Achsen bildet.

d.h. m = tan45° und m = tan135°.

Nun ist die Gleichung der Geraden durch (1,1) mit der Steigung m = 1 y &ndash 1 = 1(x &ndash 1).

Die Gleichung der Geraden durch (1,1) mit Steigung m = &ndash1 ist wiederum y &ndash 1 = &ndash1 (x &ndash 1).

Daher sind die erforderlichen Linien x &ndash y = 0 und x + y = 2.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (1, &ndash1).

Nun lautet die Gleichung der Geraden durch (1, &ndash1) und Steigung = $frac<1><2>$:

Also ist x &ndash 2y = 3 die erforderliche Lösung.

Der Schnittpunkt von (i) und (ii) ist also (11,5).

Nun lautet die Gleichung der Geraden durch (11,5) und Steigung = $ - frac<2><3>$:


13.1E: Übungen zu Abschnitt 13.1 - Mathematik

Wir haben bereits gesehen, dass eine bequeme Möglichkeit, eine Linie in drei Dimensionen zu beschreiben, darin besteht, einen Vektor bereitzustellen, der auf jeden Punkt auf der Linie "zeigt", da ein Parameter $t$ variiert, wie etwa $langle 1,2,3 angle +tlangle 1,-2,2 angle =langle 1+t,2-2t,3+2t angle.$ Außer dass dies ein besonders einfaches geometrisches Objekt ergibt, gibt es nichts Besonderes an den einzelnen Funktionen von $ t$, die die Koordinaten dieses Vektors bilden&mdashany Vektor mit einem Parameter, wie $langle f(t),g(t),h(t) angle$, beschreibt eine Kurve in drei Dimensionen, da $t$ durch . variiert alle möglichen Werte.

Beispiel 13.1.1 Beschreiben Sie die Kurven $langle cos t,sin t,0 angle$, $langle cos t,sin t,t angle$ und $langle cos t,sin t ,2t angle$.

Da $t$ variiert, zeichnen die ersten beiden Koordinaten in allen drei Funktionen die Punkte auf dem Einheitskreis nach, beginnend mit $(1,0)$ wenn $t=0$ und dann gegen den Uhrzeigersinn um den Kreis herum als $t$ steigt. Im ersten Fall ist die $z$-Koordinate immer 0, das beschreibt also genau den Einheitskreis in der $x$-$y$-Ebene. Im zweiten Fall beschreiben die Koordinaten $x$ und $y$ immer noch einen Kreis, aber jetzt variiert die Koordinate $z$, so dass die Höhe der Kurve dem Wert von $t$ entspricht. Wenn beispielsweise $t=pi$ ist, ist der resultierende Vektor $langle -1,0,pi angle$. Ein wenig Nachdenken sollte Sie davon überzeugen, dass das Ergebnis eine Helix ist. Im dritten Vektor variiert die $z$-Koordinate doppelt so schnell wie der Parameter $t$, sodass wir eine gestreckte Helix erhalten. Beide sind in Abbildung 13.1.1 dargestellt. Links ist die erste Helix, dargestellt für $t$ zwischen 0 und $4pi$, rechts die zweite Helix, dargestellt für $t$ zwischen 0 und $2pi$. Beide beginnen und enden am selben Punkt, aber die erste Helix braucht zwei volle "Umdrehungen", um dorthin zu gelangen, da ihre $z$-Koordinate langsamer wächst.

Ein Vektorausdruck der Form $langle f(t),g(t),h(t) angle$ heißt a Vektorfunktion es ist eine Funktion von den reellen Zahlen $R$ bis zur Menge aller dreidimensionalen Vektoren. Wir können es uns alternativ als drei separate Funktionen vorstellen, $x=f(t)$, $y=g(t)$ und $z=h(t)$, die Punkte im Raum beschreiben. In diesem Fall bezeichnen wir den Gleichungssatz normalerweise als parametrische Gleichungen für die Kurve, genau wie für eine Linie. Während der Parameter $t$ in einer Vektorfunktion eine beliebige Anzahl physikalischer Größen darstellen oder einfach eine „reine Zahl“ sein kann, ist es oft praktisch und nützlich, sich $t$ als Zeitdarstellung vorzustellen sagt Ihnen dann, wo sich ein bestimmtes Objekt im Weltraum zu jeder Zeit befindet.

Vektorfunktionen können schwer zu verstehen, d. h. schwer vorstellbar sein. Wenn verfügbar, kann Computersoftware sehr hilfreich sein. Bei der Handarbeit ist es sinnvoll, die "Projektionen" der Kurve auf die drei Standardkoordinatenebenen zu berücksichtigen. Zum Teil haben wir dies bereits getan: In Beispiel 13.1.1 haben wir festgestellt, dass alle drei Kurven auf einen Kreis projizieren in die $x$-$y$ Ebene, da $langle cos t,sin t angle$ eine zweidimensionale Vektorfunktion für den Einheitskreis ist.

Beispiel 13.1.2 Zeichnen Sie die Projektionen von $langle cos t,sin t,2t angle$ auf die $x$-$z$-Ebene und die $y$-$z$-Ebene. Die zweidimensionale Vektorfunktion für die Projektion auf die $x$-$z$-Ebene ist $langle cos t, 2t angle$ oder in parametrischer Form $x=cos t$, $z=2t$. Durch Eliminieren von $t$ erhalten wir die Gleichung $x=cos(z/2)$, die bekannte Kurve links in Abbildung 13.1.2. Für die Projektion auf die $y$-$z$-Ebene beginnen wir mit der Vektorfunktion $langle sin t, 2t angle$, die gleichbedeutend ist mit $y=sin t$, $z=2t$ . Das Eliminieren von $t$ ergibt $y=sin(z/2)$, wie rechts in Abbildung 13.1.2 gezeigt.


Anmerkungen zu Mathematik der Klasse IX

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Ü. 13.1 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Es soll eine Kunststoffbox mit einer Länge von 1,5 m, einer Breite von 1,25 m und einer Tiefe von 65 cm hergestellt werden. Es ist oben geöffnet. Ignorieren Sie die Dicke der Kunststoffplatte, bestimmen Sie
(i) Die Fläche des Bogens, die für die Herstellung der Schachtel erforderlich ist.
(ii) Die Kosten für ein Blatt dafür, wenn ein Blatt mit einer Größe von 1 m2 ₹20 kostet.
Lösung:
(i) Hier Länge (l) = 1,5 m, Breite th(b) = 1,25 m
und Höhe (h) = 65 cm = (frac < 65 >< 100 >) m = 0,65 m

∵ Es ist von oben geöffnet.
∴ Seine Oberfläche
= [Seitenfläche] + [Grundfläche]
= [2(1 + b)h] + [lb]
= [2(1,50 + 1,25)0,65] m 2 + [1,50 x 1,25] m 2
= [2 x 2,75 x 0,65] m² + [1,875] m²
= 3,575 m 2 + 1,875 m 2 = 5,45 m 2
∴ Für die Herstellung der Box erforderliche Fläche des Blechs = 5,45 m 2

(ii) Kosten für 1 m 2 Blatt = Rs. 20
Kosten für 5,45 m 2 Blatt = Rs. (20 x 5,45)
= Rs. 109
Daher sind die Kosten für das erforderliche Blatt = Rs. 109

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Die Länge, Breite und Höhe eines Raumes betragen 5 m, 4 m bzw. 3 m. Ermitteln Sie die Kosten für das Weißwaschen der Wände des Raumes und der Decke in Höhe von ₹17,50 pro m 2 .
Lösung:
Raumlänge (l) = 5 m 5
Raumbreite (b) = 4 m²
Raumhöhe (h) = 3 m
Der Raum gleicht einem Quader, dessen vier Wände (Seitenfläche) und Decke weiß getüncht werden sollen.
∴ Bereich für weiße Wäsche
= [Seitenfläche] + [Fläche der Decke]
= [2(l + b)h] + [l x b]
= [2(5 + 4) x 3] m 2 + [5 x 4] m 2 = 54 m 2 + 20 m 2 = 74 m 2
Kosten für weiße Wäsche für 1 m2 Fläche = Rs. 7,50
∴ Kosten für Weißwäsche für 74 m 2 Fläche = Rs. (7,50 x 74) = Rs. 555
Somit sind die erforderlichen Kosten für die Weißwäsche = Rs. 555

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Der Boden einer rechteckigen Halle hat einen Umfang von 250 m. Wenn die Kosten für das Streichen der vier Wände zum Preis von ₹10 pro m 2 ₹15000 betragen, ermitteln Sie die Höhe der Halle.
[Hinweis: Fläche der vier Wände = Mantelfläche]
Lösung:
Eine rechteckige Halle bedeutet einen Quader.
Länge und Breite der Halle seien l bzw. b.
∴ Umfang des Bodens = 2(l + b)
⇒ 2(l + b) = 250 m
∵ Fläche von vier Wänden = Seitenfläche = 2(1 + b) x h, wobei h die Hallenhöhe = 250 h m 2
Kosten für das Streichen der vier Wände
= Rs. (10 x 250 h) = Rs. 2500h
⇒ 2500 h = 15000 ⇒ h = (frac < 15000 >< 2500 >) = 6
Somit ist die erforderliche Hallenhöhe = 6 m

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Die Farbe in einem bestimmten Behälter reicht aus, um eine Fläche von 9,375 m 2 zu streichen. Wie viele Steine ​​mit den Maßen 22,5 cm x 10 cm x 7,5 cm können aus diesem Behälter gestrichen werden.
Lösung:
Überstreichbare Gesamtfläche = 9,375 m 2
Hier, Länge eines Ziegels (l) = 22,5 cm
Breite eines Ziegels (b) = 10 cm
Höhe eines Ziegels (h) = 7,5 cm
Da ein Ziegel wie ein Quader ist, dann
Gesamtoberfläche eines Ziegels = 2[lb + bh + hl]
= 2[(225 x 1(0) + (10 x 7,5) + (7,5 x 22,5)] cm 2
= 2[(225) + (75) + (168,75)] cm2
= 2[468.75] cm 2 = 937,5 cm 2 = (frac < 937,5 >< 10000 >) m 2
Die erforderliche Anzahl von Steinen sei n
∴ Gesamtoberfläche von n Ziegeln = n x (frac < 937,5 >< 10000 >) m 2

Somit ist die erforderliche Anzahl von Steinen = 100

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Ein würfelförmiger Kasten hat eine Kantenlänge von 10 cm und ein anderer quaderförmiger Kasten ist 12,5 cm lang, 10 cm breit und 8 cm hoch.
(i) Welche Box hat die größere Seitenfläche und um wie viel?
(ii) Welche Box hat die kleinere Gesamtoberfläche und um wie viel?
Lösung:
Für den würfelförmigen Kasten mit Rand (a) = 10 cm
Seitenfläche = 4a 2 = 4 x 10 2 cm 2
= 400cm2
Gesamtfläche = 6a 2 = 6 x 10 2 cm 2
= 600cm2
Für den quaderförmigen Kasten mit Abmessungen,
Länge (l) = 12,5 cm,
Breite (b) = 10 cm,
Höhe (h) = 8 cm
∴ Seitenfläche = 2[l + b] x h = 2[12,5 + 10] x 8 cm 2 = 360 cm 2
Gesamtoberfläche = 2[lb + bh + hl]
= 2[(12,5 x 10) + (10 x 8) + (8 x 12,5)] cm 2
= 2[125 + 80 + 100]cm2
= 2[305]cm2
= 610cm2
(i) Ein kubischer Kasten hat die größere Seitenfläche um (400 – 360) cm 2 = 40 cm 2 .
(ii) Die Gesamtoberfläche einer kubischen Box ist um (610 – 600) cm 2 = 10 cm 2 kleiner als die der quaderförmigen Box.

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Ein kleines Indoor-Gewächshaus (Herbar) besteht komplett aus Glasscheiben (inklusive Boden), die mit Klebeband zusammengehalten werden. Es ist 30 cm lang, 25 cm breit und 25 cm hoch.
(i) Welche Fläche hat das Glas?
(ii) Wie viel Klebeband wird für alle 12 Kanten benötigt?
Lösung:
Das Herbarium ist wie ein Quader.
Hier Länge (l) = 30 cm,
Breite (b) = 25 cm,
Höhe (h) = 25 cm
(i) Oberfläche des Herbariums (Glas)
= 2[lb + bh + hl]
= 2[(30 x 25) + (25 x 25) + (25 x 30)] cm 2 – 2[750 + 625 + 750] cm 2
= 2[2125]cm2
= 4250cm2
Somit ist die erforderliche Fläche des Glases = 4250 cm 2

(ii) Gesamtlänge von 12 Kanten = 4l + 4b + 4h
= 4(l+b+h)
= 4(30 + 25 + 25) cm
= 4 x 80 cm = 320 cm
Somit ist die erforderliche Bandlänge = 320 cm

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Shanti Sweets Stalll gab einen Auftrag zur Herstellung von Kartons zum Verpacken ihrer Süßigkeiten auf. Es wurden zwei Kartongrößen benötigt. Das größere mit den Maßen 25 cm x 20 cm x 5 cm und das kleinere mit den Maßen 15 cm x 12 cm x 5 cm. Für alle Überlappungen werden 5 % der Gesamtfläche zusätzlich benötigt. Wenn die Kartonkosten ₹4 für 1000 cm² betragen, ermitteln Sie die Kartonkosten, die für die Lieferung von 250 Kartons jeder Sorte erforderlich sind.
Lösung:
Für größere Kiste:
Länge (l) = 25 cm,
Breite (b) = 20 cm,
Höhe (h) = 5 cm
Gesamtfläche einer Kiste = 2(lb + bh + hl)
= 2[(25 x 20) + (20 x 5) + (5 x t25)] cm 2
= 2 [500 + 100 + 125] cm2
= 2[725]cm2
= 1450cm2
Gesamtfläche von 250 Boxen = (250 x 1450) cm 2 = 362500 cm 2

Für kleinere Box:
l = 15 cm, b = 12 cm, h = 5 cm
Gesamtfläche einer Kiste = 2 [lb + bh + hl]
= 2[(15 x 12) + (12 x 5) + (5 x 15)] cm 2
= 2[180 + 60 + 75] cm 2 = 2[315] cm 2 = 630 cm 2
∴ Gesamtfläche von 250 Boxen = (250 x 630) cm 2 = 157500 cm 2
Gesamtfläche beider Boxentypen = 362500 cm 2 +157500 cm 2 = 520000 cm 2 Fläche für Überlappungen = 5% von [Gesamtfläche]
= (frac < 5 >< 100 >) x 520000 cm 2 = 26000 cm 2
∴ Gesamtfläche des benötigten Kartons = [Gesamtfläche von 250 Kartons jeder Sorte] + [Fläche für Überlappungen]
= 520000 cm 2 + 26000 cm 2 = 546000 cm 2
∵ Kosten von 1000 cm 2 Karton = Rs. 4
∴ Kosten von 546000 cm 2 Karton
= Rs.(frac < 4 imes 546000 >< 1000 >) = Rs. 2184

Ü. 13.1 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Parveen wollte für ihr Auto einen provisorischen Unterschlupf bauen, indem sie eine kastenartige Struktur mit Plane anfertigte, die alle vier Seiten und die Oberseite des Autos bedeckt (mit der Vorderseite als aufrollbare Klappe). Unter der Annahme, dass die Nähränder sehr klein und daher vernachlässigbar sind, wie viel Plane wäre dann erforderlich, um den Unterstand mit einer Höhe von 2,5 m und einem Grundmaß von 4 m x 3 m herzustellen?
Lösung:
Hier Länge (l) = 4 m,
Breite (b) = 3m
und Höhe (h) = 2,5 m
Die Struktur ist wie ein Quader.
∴ Die Oberfläche des Quaders, ohne die Basis
=[Seitenfläche] + [Fläche Decke]
= [2(l + b)h] + [lb]
= [2(4 + 3) x 2,5] m 2 + [4 x 3] m 2
= 35 m 2 + 12 m 2 = 47 m 2
Somit wären 47 m 2 Plane erforderlich.

NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 9 Kapitel 13 Oberflächen und Volumen (Hindi-Medium) Bsp. 13.1








NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumina Bsp 13.2

Ü 13.2 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Die gekrümmte Oberfläche eines geraden Kreiszylinders der Höhe 14 cm beträgt 88 cm 2 . Finden Sie den Durchmesser der Basis des Zylinders.
Lösung:
Sei r der Radius des Zylinders.
Hier Höhe (h) = 14 cm und gewölbte Fläche = 88 cm 2
Gekrümmte Oberfläche eines Zylinders = 2πrh
⇒ 2πrh = 88
⇒ 2 x (frac < 22 >< 7 >) x r x 14 = 88
⇒ r = (frac < 88 imes 7 >< 2 imes 22 imes 14 >) = 1 cm
∴ Durchmesser = 2 x r = (2 x 1) cm = 2 cm

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Es ist erforderlich, einen geschlossenen zylindrischen Tank mit einer Höhe von 1 m und einem Bodendurchmesser von 140 cm aus einem Blech herzustellen. Wie viele Quadratmeter der Platte werden dafür benötigt?
Lösung:
Hier Höhe (h) = 1 m
Durchmesser der Basis = 140 cm = 1,40 m
Radius (r) = (frac < 1,40 >< 2 >)m = 0,70 m
Gesamtfläche des Zylinders = 2πr (h + r)
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 0,70(1 + 0,70)m 2
= 2 x 22 x 0,10 x 1,70 m 2
= 2 x 22 x (frac < 10 >< 100 >) x (frac < 170 >< 100 >)m 2
= (frac < 748 >< 100 >)m 2 = 7,48 m 2
Daher ist die erforderliche Platte = 7,48 m 2

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Ein Metallrohr ist 77 cm lang. Der Innendurchmesser eines Querschnitts beträgt 4 cm, der Außendurchmesser 4,4 cm (siehe Abbildung). Finden Sie es
(i) innere gekrümmte Oberfläche.
(ii) äußerer gekrümmter Oberflächenbereich.
(iii) Gesamtoberfläche.

Lösung:
Länge des Metallrohres = 77 cm
Es hat die Form eines Zylinders.
∴ Höhe des Zylinders (h) = 77 cm
Innendurchmesser = 4 cm
Innenradius (r) = (frac < 4 >< 2 >) cm = 2 cm
Außendurchmesser = 4,4 cm
⇒ Außenradius (R) = (frac < 4,4 >< 2 >) cm = 2,2 cm

(i) Innere gekrümmte Oberfläche = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2 x 77 cm 2
= 2 x 22 x 2 x 11 cm 2 = 968 cm 2

(ii) Äußere gekrümmte Oberfläche = 2πRh

(iii) Gesamtoberfläche = [innere gekrümmte Oberfläche] + [äußere gekrümmte Oberfläche] + [Fläche von zwei kreisförmigen Enden]
= [2πrh] + [2πRh] + 2[π(R 2 – r 2 )]
= [968 cm 2 ] + [1064,8 cm 2 ]

Ü 13.2 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Der Durchmesser einer Walze beträgt 84 cm und ihre Länge beträgt 120 cm. Es braucht 500 vollständige Umdrehungen, um einen Spielplatz zu ebnen. Finden Sie die Fläche des Spielplatzes in m 2 .
Lösung:
Die Walze hat die Form eines Zylinders mit einem Durchmesser von = 84 cm
⇒ Radius der Walze(r) = (frac < 84 >< 2 >) cm = 42 cm
Länge der Walze (h) = 120 cm
Gekrümmte Oberfläche der Walze = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 42 x 120 cm 2
= 2 x 22 x 6 x 120 cm 2 = 31680 cm 2
Fläche des Spielplatzes mit einer Walzenumdrehung nivelliert = 31680 cm 2
= (frac < 31680 >< 10000 >)m 2
∴ Fläche des Spielplatzes in 500 . eingeebnet
Umdrehungen = 500 x (frac < 31680 >< 10000 >)m 2 = 1584m 2

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Eine zylindrische Säule hat einen Durchmesser von 50 cm und eine Höhe von 3,5 m. Ermitteln Sie die Kosten für das Streichen der gekrümmten Oberfläche der Säule in Höhe von ₹12,50 pro m 2 .
Lösung:
Durchmesser der Säule = 50 cm
∴ Radius (r) = (frac < 50 >< 2 >)m = 25 m = (frac < 1 >< 4 >)m
und Höhe (h) = 3,5 m
Gekrümmte Fläche einer Säule = 2πrh

∴ Gekrümmte zu lackierende Fläche = (frac < 11 >< 2 >)m 2
∴ Kosten für das Anstreichen von 1 m 2 Säule = Rs. 12.50
∴ Kosten für die Bemalung von (frac < 11 >< 2 >) m 2 Säule
= Rs. ( (frac < 11 >< 2 >) x 12,50 )
= Rs. 68,75.

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Die gekrümmte Oberfläche eines geraden Kreiszylinders beträgt 4,4 m2. Wenn der Grundradius des Zylinders 0,7 m beträgt, ermitteln Sie seine Höhe. Die gekrümmte Oberfläche eines geraden Kreiszylinders beträgt 4,4 m2. Wenn der Radius der Basis des Zylinders 0,7 m beträgt, ermitteln Sie seine Höhe.
Lösung:
Radius (r) = 0,7 m
Sei die Höhe des Zylinders h m
Gekrümmte Oberfläche eines Zylinders = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 7 >< 10 >) x hm 2
Die gekrümmte Fläche beträgt jedoch 4,4 m 2 . [Gegeben]

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 7.
er Innendurchmesser eines Rundbrunnens beträgt 3,5 m. Es ist 10 m tief. Finden
(i) seine innere gekrümmte Oberfläche.
(ii) die Kosten für das Verputzen dieser gekrümmten Oberfläche in Höhe von ₹40 pro m 2 .
Lösung:
Hans Innendurchmesser des Brunnens = 3,5 m
Radius des Brunnens (r) = (frac < 3.5 >< 2 >)
Höhe des Brunnens (h) = 10 m
(i) Innere gekrümmte Oberfläche = 2πrh

(ii) Putzkosten pro m 2 = Rs. 40
∴ Gesamtkosten für das Verputzen der Fläche 110 m 2
= Rs. (110 x 40) = Rs. 4400

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 8.
In einer Warmwasserheizung befindet sich ein zylindrisches Rohr mit einer Länge von 28 m und einem Durchmesser von 5 cm. Finden Sie die gesamte strahlende Oberfläche im System.
Lösung:
USD Länge des zylindrischen Rohres (h) = 28 m
Durchmesser des Rohres = 5 cm
∴ Radius (r) = (frac < 5 >< 2 >) cm = (frac < 5 >< 200 >) m
Gekrümmte Oberfläche eines Zylinders = 2πrh

Somit beträgt die gesamte Abstrahlfläche 4,4 m 2 .

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 9.
Finden
(i) die seitliche oder gekrümmte Oberfläche eines geschlossenen zylindrischen Benzinlagertanks mit einem Durchmesser von 4,2 m und einer Höhe von 4,5 m.
(ii) wie viel Stahl tatsächlich verwendet wurde, wenn (frac < 1 >< 12 >) des tatsächlich verwendeten Stahls bei der Herstellung des Tanks verschwendet wurde.
Lösung:
Der Vorratstank hat die Form eines Zylinders.
∴ Durchmesser des Tanks = 4,2 m
⇒ Radius (r) = (frac < 4,2 >< 2 >) = 2,1 m
Höhe (h) = 4,5 m
Jetzt,
(i) Seitliche (oder gekrümmte) Oberfläche des Tanks = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2,1 x 4,5 m 2
= 2 x 22 x 0,3 x 4,5 m 2 59,4 m 2

(ii) Gesamtoberfläche des Tanks = 2πr(r + h)
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 2,1(2,1 + 4,5)m 2
= 44 x 0,3 x 6,6 m 2 = 87,13 m 2
Die tatsächliche Fläche des verwendeten Stahls sei x m 2
∴ Stahlabfallfläche = (frac < 1 >< 12 >) x x m
= (frac < x >< 12 >)m 2
Verwendete Stahlfläche = x – (frac < x >< 12 >) m 2


Somit beträgt die benötigte Fläche des tatsächlich verwendeten Stahls 95,04 m 2 .

Ü 13.2 Klasse 9 Mathematik Frage 10.
In der Abbildung sehen Sie den Rahmen eines Lampenschirms. Es ist mit einem dekorativen Tuch abzudecken. Der Rahmen hat einen Basisdurchmesser von 20 cm und eine Höhe von 30 cm. Für die Faltung über die Ober- und Unterseite des Rahmens ist ein Spielraum von 2,5 cm vorzusehen. Finden Sie heraus, wie viel Stoff zum Bedecken des Lampenschirms benötigt wird.

Lösung:
Der Lampenschirm hat die Form eines Zylinders,
wobei Radius (r) = (frac < 20 >< 2 >) cm = 10 cm
und Höhe = 30 cm.
Oben und unten am Rahmen ist ein Rand von 2,5 cm anzubringen.
∴ Gesamthöhe des Zylinders, (h)
= 30 cm + 2,5 cm + 2,5 cm = 35 cm
Nun, gekrümmte Oberfläche = 2πrh
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x 10 x 35 cm 2
= 2200cm2
Somit ist die benötigte Fläche des Tuches = 2200 cm 2

Ü 13.2 Klasse 9 Mathe Frage 11.
Die Schüler einer Vidyalaya wurden gebeten, an einem Wettbewerb zur Herstellung und Dekoration von Stiftehaltern in Form eines Zylinders mit Sockel aus Pappe teilzunehmen. Jeder Federhalter sollte einen Radius von 3 cm und eine Höhe von 10,5 cm haben. Die Vidyalaya sollte die Konkurrenten mit Karton beliefern. Bei 35 Teilnehmern, wie viel Karton muss für den Wettbewerb gekauft werden?
Lösung:
Hier haben die Stifthalter die Form von Zylindern.
Radius eines Federhalters (r) = 3 cm
Höhe eines Stifthalters (h) = 10,5 cm
Da muss ein Federhalter von oben geöffnet werden.
Nun, Fläche eines Stifthalters = [Seitenfläche] + [Grundfläche]
= [2πrh] + [πr2]


∴ Fläche von 35 Stiftehaltern
= 35 x (frac < 1584 >< 7 >) cm 2 = 7920 cm 2
Somit mussten 7920 cm 2 Karton gekauft werden.

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumen Bsp. 13.3 1

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Der Durchmesser der Kegelbasis beträgt 10,5 cm und die schräge Höhe beträgt 10 cm. Finden Sie seine gekrümmte Oberfläche.
Lösung:
Hier Durchmesser der Basis = 10,5 cm
⇒ Radius (r) = (frac < 10.5 >< 2 >) cm
und Schräghöhe (l) =10 cm
Gekrümmte Oberfläche des Kegels = πrl
= (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 10,5 >< 2 >) x 10cm 2
= 11 x 15 x 1 cm 2 = 165 cm 2

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Bestimmen Sie die Gesamtoberfläche eines Kegels, wenn seine schräge Höhe 21 m und der Durchmesser seiner Basis 24 m beträgt.
Lösung:
Hier Durchmesser = 24 m 24
∴ Radius (r) = (frac < 24 >< 2 >) m = 12 m
und Schräghöhe (l) = 21 m
∴ Gesamtoberfläche eines Kegels = πr(r +1)

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Die gewölbte Oberfläche eines Kegels beträgt 308 cm² und seine schräge Höhe beträgt 14 cm. Finden
(i) Radius der Basis und
(ii) Gesamtoberfläche des Kegels.
Lösung:
Hier gekrümmte Oberfläche = πrl = 308 cm 2
Schräghöhe (l) = 14 cm

(i) Der Radius der Basis sei ‘r’ cm
∴ πrl = 308 ⇒ (frac < 22 >< 7 >) x r x 14 = 308
r = (frac < 308 imes 7 >< 22 imes 14 >) = 7cm
Somit beträgt der Radius des Kegels 7 cm

(ii) Grundfläche = πr 2 = (frac < 22 >< 7 >) x 7 2 cm 2
= 22 x 7 cm 2 = 154 cm 2
und gekrümmte Oberfläche = 308 cm 2 [Gegeben]
∴ Gesamtfläche des Kegels
= [Gekrümmte Fläche] + [Grundfläche] = 308 cm 2 + 154 cm 2
= 462cm2

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Ein konisches Zelt ist 10 m hoch und der Radius seiner Basis beträgt 24 m. Finden
(i) schräge Höhe des Zeltes.
(ii) Kosten der Leinwand, die für die Herstellung des Zeltes erforderlich ist, wenn die Kosten für 1 m 2 Leinwand 70 betragen.
Lösung:
Hier Zelthöhe (h) = 10 m
Radius der Basis (r) = 24 m

(i) Die schräge Höhe, l = (sqrt < < r >^< 2 >-< h >^ < 2 >>)
= (sqrt < < 24 >^< 2 >+< 10 >^ < 2 >>) m = (sqrt < 576+100 >) m = (sqrt < 676 >) m = 26m
Somit beträgt die erforderliche Schräghöhe des Zeltes 26 m.

(ii) Gekrümmte Oberfläche des Kegels = πrl
∴ Bereich der Leinwand erforderlich

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Welche Länge der 3 m breiten Plane wird benötigt, um ein konisches Zelt mit einer Höhe von 8 m und einem Bodenradius von 6 m herzustellen? Nehmen Sie an, dass die zusätzliche Materiallänge, die für das Heften der Ränder und den Schnittverlust benötigt wird, ungefähr 20 cm beträgt. (Verwenden Sie π = 3,14)
Lösung:
Basisradius (r) = 6 m
Höhe (h) = 8m
∴ Schräghöhe (l) = (sqrt < < r >^< 2 >-< h >^ < 2 >>) = (sqrt < < 6 >^< 2 >-< 8 >^ < 2 >>) m
= (sqrt < 36+64 >) m
= (sqrt < 100 >)m = 10 m
Nun, gekrümmte Oberfläche = πrl
= 3,14 x 6 x 10 m 2
= (frac < 314 >< 100 >) x 6 x 10 m 2 = 1884 m 2
Somit benötigte Fläche der Plane, um das Zelt herzustellen = 188,4 m 2
Die Länge der Plane sei L m
Länge x Breite = 188.4
⇒ L x 3 = 188,4 ⇒ L = (frac < 188,4 >< 3 >) = 62,8
Zusätzliche Planenlänge für Ränder = 20cm = (frac < 20 >< 100 >)m = 0,2m
Somit benötigte Gesamtlänge der Plane = 62,8 m + 0,2 m = 63 m

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Die schräge Höhe und der Basisdurchmesser eines konischen Grabes betragen 25 m bzw. 14 m. Bestimmen Sie die Kosten für das Weißwaschen der gekrümmten Oberfläche in Höhe von ₹ 210 pro 100 m 2 .
Lösung:
Hier gilt Basisradius (r) = (frac < 14 >< 2 >) m = 7 m
Schräghöhe (l) = 25 m
∴ Gekrümmte Oberfläche = πrl
= (frac < 22 >< 7 >) x 7 x 25 m 2 = 550 m 2
Kosten des Weißwaschens für 100 m 2 Fläche = Rs. 210
∴ Kalkputzkosten für 550 m 2 Fläche
= Rs. (frac < 210 >< 100 >) x 550 = Rs. 1155

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Eine Jokerkappe hat die Form eines geraden kreisförmigen Kegels mit einem Basisradius von 7 cm und einer Höhe von 24 cm. Finden Sie die Fläche des Blattes, die erforderlich ist, um 10 solcher Kappen herzustellen.
Lösung:
Radius der Basis (r) = 7 cm und Höhe (h) = 24 cm
Schräghöhe (l) = (sqrt < < h >^< 2 >-< r >^ < 2 >>) = (sqrt < < 24 >^< 2 >-< 7 >^ < 2 > >)cm
= (sqrt < 576+49 >)cm = (sqrt < 625 >) cm = 25 cm
∴Seitenfläche = πrl = (frac < 22>< 7 >) x 7 x 25 cm 2 = 550 cm 2
∴ Seitenfläche von 10 Kappen = 10 x 550 cm 2
= 5500cm2
Somit ist die benötigte Fläche des Blechs = 5500 cm 2

Ü. 13.3 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Vom restlichen Teil der Straße wird eine Bushaltestelle mit 50 Hohlkegeln aus recyceltem Karton abgeschottet. Jeder Kegel hat einen Basisdurchmesser von 40 cm und eine Höhe von 1 m. Wenn die Außenseite jedes Kegels gestrichen werden soll und die Lackierkosten ₹12 pro m² betragen, wie hoch sind die Kosten für das Lackieren all dieser Kegel? (Verwende π = 3.14 und nimm ( sqrt <104>) = 1.02)
Lösung:
Durchmesser der Basis = 40cm

= Rs. 384.336 = Rs. 384.34 (ca.)
Somit betragen die erforderlichen Lackierkosten Rs. 384.34 (ca.).

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumina Ex 13.4 1

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Bestimme die Oberfläche einer Kugel mit Radius
(i) 10,5 cm
(ii) 5,6 cm
(iii) 14 cm
Lösung:
(i) Hier ist r = 10,5 cm
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2

(ii) Hier ist r = 5,6 cm
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2

(iii) Hier ist r = 14 cm
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Finden Sie die Oberfläche einer Kugel mit dem Durchmesser
(i) 14 cm
(ii) 21 cm
(iii) 3,5 m
Lösung:
(i) Hier Durchmesser = 14 cm

(ii) Hier Durchmesser = 21 cm

(iii) Hier Durchmesser = 3,5 m

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Bestimme die Gesamtoberfläche einer Halbkugel mit einem Radius von 10 cm. (Verwenden Sie π = 3,14)
Lösung:
Hier Radius (r) = 10 cm
Gesamtoberfläche der Halbkugel = 3πr 2
= 3 x 3,14 x 10 x 10 cm 2 = 942 cm 2

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Der Radius eines kugelförmigen Ballons vergrößert sich von 7 cm auf 14 cm, wenn Luft hineingepumpt wird. Bestimmen Sie das Verhältnis der Oberflächen des Ballons in den beiden Fällen.
Lösung:
Bestimmen Sie das Verhältnis der Oberflächen des Ballons in den beiden Fällen.
BSD Fall I: Wenn Radius (r1) = 7 cm
Oberfläche = 4πr1 2 = 4 x (frac < 22 >< 7 >) x (7) cm 2
= 4 x 22 x 7 cm 2 = 616 cm 2

Fall II: Wenn Radius (r 2 ) = 14 cm 2
Oberfläche = 4πr2 2 =4 x (frac < 22 >< 7 >) x (14) 2 cm 2
= 4 x 22 x 14 x 2 cm 2 = 2464 cm 2
∴ Das erforderliche Verhältnis = (frac < 616 >< 2464 >) = (frac < 1 >< 4 >) oder 1 : 4

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Eine halbkugelförmige Schale aus Messing hat einen Innendurchmesser von 10,5 cm. Berechnen Sie die Kosten für die Verzinnung auf der Innenseite mit einem Preis von ₹16 pro 100 cm².
Lösung:
Innendurchmesser der halbkugelförmigen Schale = 10,5 cm

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Bestimme den Radius einer Kugel, deren Oberfläche 154 cm² beträgt.
Lösung:
Der Radius der Kugel sei r cm.
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2
∴ 4πr 2 = 154

Somit beträgt der erforderliche Radius der Kugel 3,5 cm.

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Der Durchmesser des Mondes beträgt etwa ein Viertel des Durchmessers der Erde. Bestimmen Sie das Verhältnis ihrer Oberflächen.
Lösung:
Der Erdradius sei r.
∴ Radius des Mondes = (frac < r >< 4 >)
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2
Denn sowohl die Erde als auch der Mond gelten als Kugel.
Erdoberfläche = 4πr 2

Somit ist das erforderliche Verhältnis = 1 : 16.

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Eine halbkugelförmige Schale besteht aus Stahl, 0,25 cm dick. Der Innenradius der Schüssel beträgt 5 cm. Finden Sie die äußere gekrümmte Oberfläche der Schüssel.
Lösung:
Innenradius (r) = 5 cm
Dicke = 0,25 cm

∴ Außenradius (R) [5,00 + 0251 cm = 5,25 cm
∴ Äußere gekrümmte Oberfläche der Schüssel = 2πR 2

Ü. 13.4 Klasse 9 Mathe Frage 9.
Ein gerader Kreiszylinder umschließt gerade eine Kugel mit dem Radius r (siehe Abbildung). Finden
(i) Oberfläche der Kugel,
(ii) gekrümmte Oberfläche des Zylinders,
(iii) Verhältnis der in (i) und (ii) erhaltenen Flächen.

Lösung:
(i) Für die Kugel gilt Radius = r
∴ Oberfläche der Kugel = 4πR 2

(ii) Für den rechten Kreiszylinder gilt:
Radius des Zylinders = Radius der Kugel
∴Radius des Zylinders = r
Höhe des Zylinders = Durchmesser der Kugel
∴ Höhe des Zylinders (h) 2r
Da gekrümmte Oberfläche eines Zylinders = 2πrh
= 2πr(2r) = 4πr 2

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumina Ex 13.5 1

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 1.
Eine Streichholzschachtel misst 4 cm x 2,5 cm x 1,5 cm. Welches Volumen hat ein Paket mit 12 solcher Schachteln?
Lösung:
Da hat eine Streichholzschachtel die Form eines Quaders.
Hier Länge (l) = 4 cm, Breite (b) = 2,5 cm
und Höhe (h) = 1,5 cm
∴ Volumen einer Streichholzschachtel = l x b x h
= 4 x 25 x 1,5 cm 3
= 4 x (frac < 25 >< 10 >) x (frac < 15 >< 10 >)cm 3
= 15cm 3
⇒ Volumen von 12 solcher Boxen = 12 x 15 cm 3
= 180cm 3

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Ein quaderförmiger Wassertank ist 6 m lang, 5 m breit und 4,5 m tief. Wie viel Liter Wasser kann es fassen? ( 1m³ = 1000L)
Lösung:
Länge (l) =6 m, Breite (h) =5 m und
Tiefe (h) = 4,5 m
∴ Kapazität =l x b x h = 6 x 5 x 4,5 m 3m
= 6 x 5 x (frac < 45 >< 10 >)m = 3 x 45m 3 = 135m 3
∵ 1 m 3 = 1000 Liter
⇒ 135 m 3 = 135000 Liter
∴ Die erforderliche Wassermenge im Tank = 135000 Liter.

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Ein quaderförmiges Gefäß ist 10 m lang und 8 m breit. Wie hoch muss es sein, um 380 Kubikmeter Flüssigkeit zu fassen?
Lösung:
Länge (l) = 10 m, Breite (b) = S m
Volumen (V) = 380m 3
Die Höhe des quaderförmigen Gefäßes sei ‘h’.
Bsp 13.5 Klasse 9 Mathematik Volumen des quaderförmigen Gefäßes = l x b x h
⇒ 10 x 8 x h m 3 = 80 h m 3
⇒ 80h = 380
⇒ h = (frac < 380 >< 80 >) = 4,75m
Somit ist die erforderliche Höhe des Behälters = 4,75 m

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Berechnen Sie die Kosten für das Ausheben einer quaderförmigen Grube von 8 m Länge, 6 m Breite und 3 m Tiefe mit einer Rate von ₹30 pro m³.
Lösung:
Länge (i) = 8m
Breite (b) = 6 m
Tiefe (h) = 3 m
∴ Volumen der quaderförmigen Grube = l x b x h
= 8 x 6 x 3 m3 = 144 m3
Daher sind die Kosten für das Graben einer Grube = Rs. (144 x 30)
= Rs. 4320

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Das Fassungsvermögen eines quaderförmigen Tanks beträgt 50000 Liter Wasser. Bestimmen Sie die Breite des Tanks, wenn seine Länge und Tiefe 2,5 m bzw. 10 m betragen.
Lösung:
ira Länge des Tanks (l) = 2,5 m
Tiefe des Tanks (h) = 10 m
Die Breite des Tanks sei b m.
∴ Volumen (Kapazität) des Tanks = l x b x h
= 2,5 x b x 10 m 3
= (frac < 25 >< 10 >) x 10 x bm 3
= 25bm 3
Aber das Fassungsvermögen des Tanks = 50000 Liter
= 50 m 3 [ ∵ 1000 Liter = 1 m 3 ]
∴ 25b = 50 ⇒ b = (frac < 50 >< 25 >) = 2
Somit ist die Breite des Tanks = 2 m

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Ein Dorf mit 4000 Einwohnern benötigt 150 Liter Wasser pro Kopf und Tag. Es hat einen Tank von 20 m x 15 m x 6 m. Wie viele Tage reicht das Wasser dieses Tanks?
Lösung:
fcWra Länge des Tanks (l) = 20 m
Breite des Tanks (b) = 15 m
Höhe des Tanks (h) = 6m
∴ Tankvolumen = l x b x h
= 20 x 15 x 6 m 3 = 1800 m 3
Denn 1 m 3 = 1000 Liter
∴ Fassungsvermögen des Tanks = 1800 x 1000 Liter = 1800000 Liter
Denn pro Kopf und Tag werden 150 Liter Wasser benötigt.
∴ Wasserbedarf von 4000 Personen pro Tag = 150 x 4000 Liter
Die erforderliche Anzahl von Tagen sei x
∴ 4000 x 150 x x = 1800000
⇒ x = (frac < 1800000 >< 4000 imes 150 >) = 3
Somit beträgt die erforderliche Anzahl von Tagen 3.

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Ein Abstieg misst 40 m x 25 m x 10 m. Ermitteln Sie die maximale Anzahl an Holzkisten mit einer Größe von jeweils 15 m x 125 m x 0,5 m, die im Abstieg gelagert werden können.
Lösung:
Volumen des Abstiegs = 40 x 25 x 10 m 3
Volumen einer Holzkiste = 1,5 x 1,25 x 0,5 m 3

∴ Maximale Anzahl Holzkisten = 10667.

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Ein massiver Würfel mit einer Seitenlänge von 12 cm wird in acht Würfel gleichen Volumens geschnitten. Welche Seite wird der neue Würfel haben? Finden Sie auch das Verhältnis zwischen ihren Oberflächen.
Lösung:
Seite des gegebenen Würfels = 12 cm
Volumen des gegebenen Würfels = (Seite) 3 = (12) 3 cm 3
Sei die Seite des neuen Würfels n
∴ Volumen des neuen Würfels = n 3
⇒ Volumen von 8 neuen Würfeln = 8n 3
Nach Frage,
8n 3 = (12) 3 = 12 x 12 x 12
⇒ n 3 = (frac < 12 imes 12 imes 12>< 8 >) = 6 x 6 x 6
n 3 = 6 3
n = 6
Somit beträgt die benötigte Seite des neuen Würfels 6 cm.
Nun, Fläche des gegebenen Würfels = 6 x (Seite) 2 = 6 x 12 2 cm 2 = 6 x 12 x 12 cm 2
Oberfläche des neuen Würfels = 6 x 6 2 cm 2
= 6 x 6 x 6 cm 2
Jetzt,

Somit ist das erforderliche Verhältnis = 4 : 1

Ü. 13.5 Klasse 9 Mathe Frage 9.
Ein Fluss von 3 m Tiefe und 40 m Breite fließt mit einer Geschwindigkeit von 2 km pro Stunde. Wie viel Wasser fällt in einer Minute ins Meer?
Lösung:
Das Wasser, das in einem Fluss fließt, kann in Form eines Quaders betrachtet werden.

Länge (l) = 2 km = 2000 m
Breite (b) = 40 m,
Tiefe (h) = 3 m
∴ Wasservolumen (Volumen des so gebildeten Quaders) = l x b x h
= 2000 x 40 x 3 m 3
Jetzt fließt Wasser in 1 Stunde (60 Minuten) = 2000 x 40 x 3 m 3
Wassermenge, die in 1 Minute fällt
= [2000 x 40 x 3] + 60 m 3
= 4000m 3

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumen Ex 13.6 1

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 1.
Der Umfang des Bodens eines zylindrischen Gefäßes beträgt 132 cm und seine Höhe beträgt 25 cm. Wie viel Liter Wasser kann es fassen? (1000cm³ = 1 L.)
Lösung:
Der Basisradius des zylindrischen Gefäßes sei r cm.
∴ Umfang der Basis = 2πr
⇒ 2πr = 132 [Umfang = 132 cm, (gegeben)]
= 2 x (frac < 22 >< 7 >) x r = 132
⇒ r = (frac < 132 x 7 >< 2 x 22 >) cm = 21cm
Da, Höhe des Gefäßes (h) = 25 cm
Behältervolumen (h) = πr 2 h
= (frac < 22 >< 7 >) x (21) 2 x 25cm 3
= (frac < 22 >< 7 >) x 21 x 21 x 25 cm 3
= 22 x 3 x 21 x 25 cm 3
= 34650cm 3
∵ Kapazität des Gefäßes = Volumen des Gefäßes
∴ Fassungsvermögen des zylindrischen Gefäßes = 34650 cm 3
Denn 1000 cm 3 = 1 Liter
⇒ 34650 cm 3 = (frac < 34650 >< 1000 >) Liter = 34,65 Liter
Somit fasst das Gefäß 34,65 Liter Wasser.

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Der Innendurchmesser einer zylindrischen Holzpfeife beträgt 24 cm und ihr Außendurchmesser 28 cm. Die Länge der Pfeife beträgt 35 cm. Bestimmen Sie die Masse der Pfeife, wenn 1 cm3 Holz eine Masse von 0,6 g hat.
Lösung:
Innendurchmesser des zylindrischen Rohres = 24cm
⇒ Inrr Radius des Rohres (r) = (frac < 24 >< 2 >)cm = 12cm
Außendurchmesser des Rohres = 28 cm
Außenradius des Rohres (R) = 14cm
Länge des Rohres (h) = 35 cm
∴ Holzmenge im Rohr = Außenvolumen – Innenvolumen
= πR 2 h – πr 2 h
= πh (R + r) (R – r)
[∵ a2 – b2 = (a + b)(a – b)]
= (frac < 22 >< 7 >) x 35 x (14+12) x (14 – 12)cm 3
= 22 x 5 x 26 x 2 cm 3
Holzmasse in der Pfeife = (Holzmasse in 1 cm 3 Holz) x (Holzvolumen in der Pfeife)
= (0,6 g) x (22 x 5 x 26 x 2) cm 3
= (frac < 6 >< 10 >) x 22 x 10 x 26 g = 3432 g
= (frac < 3432 >< 1000 >) kg = 3,432 kg [∵ 1000 g = 1 kg]
Somit beträgt die erforderliche Rohrmasse 3,432 kg.

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Ein Erfrischungsgetränk ist in zwei Packungen erhältlich
(i) eine Blechdose mit rechteckigem Boden von 5 cm Länge und 4 cm Breite und einer Höhe von 15 cm.
(ii) ein Plastikzylinder mit kreisförmiger Basis von 7 cm Durchmesser und 10 cm Höhe. Welcher Behälter hat ein größeres Fassungsvermögen und um wie viel?
Lösung:
(i) Für rechteckige Packungen,
Länge (l) = 5 cm,
Breite (b) = 4 cm
Höhe (h) = 15 cm
Volumen = L x B x H = 5 x 4 x 15 cm 3 = 300 cm 3
∴ Fassungsvermögen der rechteckigen Packung = 300 cm 3

(ii) Für zylindrische Packungen,
Basisdurchmesser = 7 cm
∴ Radius der Basis (r) = (frac < 7 >< 2 >) cm
Höhe (h) = 10 cm
∴ Volumen = πr 2 h = (frac < 22 >< 7 >) x ((frac < 7 >< 2 >)) 2 x 10cm
= (frac < 22 >< 7 >) x (frac < 7 >< 2 >) x (frac < 7 >< 2 >) x 10cm
= 11 x 7 x 5 cm 3 = 385 cm 3
∴ Fassungsvermögen der zylindrischen Packung = 385 cm 3
Die zylindrische Packung hat also eine größere Kapazität
um (385 – 300) cm 3 = 85 cm 3

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Wenn die Mantelfläche eines Zylinders 94,2 cm² beträgt und seine Höhe 5 cm beträgt, dann finde
(i) Radius seiner Basis,
(ii) sein Volumen. (Verwenden Sie π = 3,14)
Lösung:
Höhe des Zylinders (h) = 5 cm
Lassen Sie den Basisradius des Zylinders 'r’.

(i) Da die Mantelfläche des Zylinders = 2πrh ist,
Aber Mantelfläche des Zylinders 94,2 cm 2 [gegeben]
2πrh = 94,2

Somit ist der Radius des Zylinders = 3 cm

(ii) Volumen eines Zylinders = πr 2 h
⇒ Volumen von tlw gegebenem Zylinder
=3.14 (3) 2 x 5cm 3
= (frac < 314 >< 100 >) x 3 x 3 x 5 cm 3
= (frac < 1413 >< 10 >) cm = 141,3 cm 3
Somit ist das erforderliche Volumen = 141,3 cm 3

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Es kostet 2200 Yen, die innere gekrümmte Oberfläche eines zylindrischen Gefäßes von 10 m Tiefe zu bemalen. Wenn die Malerkosten painting20 pro m² betragen, finden Sie
(i) innere gekrümmte Oberfläche des Gefäßes,
(ii) Radius der Basis,
(iii) Kapazität des Schiffes.
Lösung:
(i) Gesamtkosten der Malerei = Rs. 2200
Kosten für die Lackierung der Fläche l m 2 = Rs. 20
Gesamtkosten

∴ Innere gekrümmte Oberfläche des Gefäßes of
= 110 m²

(ii) Sei r der Basisradius des zylindrischen Gefäßes.
Gekrümmte Oberfläche eines Zylinders = 2πrh

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Das Fassungsvermögen eines geschlossenen zylindrischen Behälters von 1 m Höhe beträgt 15,4 Liter. Wie viele Quadratmeter Blech würden dafür benötigt?
Lösung:
Fassungsvermögen des zylindrischen Gefäßes
= 15,4 Liter = 15,4 x 1000 cm 3 [1 Liter = 10(x) cm 3 ]

Sei r m der Radius des Gefäßbodens.

Gesamtoberfläche des zylindrischen Gefäßes

Somit ist das erforderliche Blech = 0,4708 m 2 .

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Ein Bleistift besteht aus einem Zylinder aus Holz, in dessen Inneren ein massiver Zylinder aus Graphit gefüllt ist. Der Durchmesser des Bleistifts beträgt 7 mm und der Durchmesser des Graphits beträgt 1 mm. Wenn die Länge von. der Bleistift ist 14 cm groß, finde das Volumen des Holzes und das des Graphits.
Lösung:
Da, 10 mm = 1 cm:
∴ 1mm = (frac < 1 >< 10 >) cm
Für Graphitzylinder,

∴ Radius des Bleistifts (R) = (frac < 7 >< 20 >) cm
Höhe des Bleistifts (h) = 14 cm
Volumen des Bleistifts = πR 2 h

∴ Volumen des Holzes = [Volumen des Pendels] – [Volumen des Graphits]
= 5,39 cm3 – 0,11 cm3
= 5,28cm3
Somit beträgt das erforderliche Volumen des Holzes = 5,28 cm 3 .

Ü. 13.6 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Ein Patient in einem Krankenhaus erhält täglich Suppe in einer zylindrischen Schüssel mit einem Durchmesser von 7 cm. Wenn die Schüssel 4 cm hoch mit Suppe gefüllt ist, wie viel Suppe muss das Krankenhaus dann täglich zubereiten, um 250 Patienten zu versorgen?
Lösung:
∵ Die Schüssel ist zylindrisch, mit einem Durchmesser des Bodens = 7 cm

So muss das Krankenhaus täglich 38,5 Liter Suppe für 250 Patienten zubereiten.

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumina Ex 13.7 1

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Finden Sie das Volumen des rechten Kreiskegels mit
(i) Radius 6 cm, Höhe 7 cm
(ii) Radius 3,5 cm, Höhe 12 cm
Lösung:
(i) Hier Radius des Kegels (r) =6 cm
Höhe (h) = 7 cm

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Finden Sie das Fassungsvermögen in Litern eines konischen Gefäßes mit
(i) Radius 7 cm, schräge Höhe 25 cm
(ii) Höhe 12 cm, schräge Höhe 13 cm
Lösung:
(i) Hier Radius (r) = 7 cm und Schräghöhe (l) = 25 cm

Somit beträgt das erforderliche Fassungsvermögen des konischen Gefäßes 1.232 Liter.

(ii) Hier Höhe (h) = 12 cm und Schräghöhe (l) = 13 cm 13

∴ Fassungsvermögen des konischen Gefäßes

Somit beträgt das erforderliche Fassungsvermögen des konischen Behälters (frac < 11 >< 35 >) Liter.

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Die Höhe eines Kegels beträgt 15 cm. Wenn sein Volumen 1570 cm³ beträgt, ermitteln Sie den Radius der Basis. (Verwenden Sie π = 3,14)
Lösung:
Hier Kegelhöhe (h) = 15 cm
Volumen des Kegels = 1570 cm 3
Der Radius der Basis sei „r“ cm.

Somit beträgt der erforderliche Radius der Basis 10 cm.

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Wenn das Volumen eines runden Kegels mit einer Höhe von 9 cm 48 cm³ beträgt, bestimmen Sie den Durchmesser seiner Basis.
Lösung:
Volumen des Kegels = 48 cm 3
Höhe des Kegels (h) = 9 cm
Sei r cm sein Basisradius.

Durchmesser = 2 x Radius.
∴ Durchmesser der Kegelbasis = (2 x 4)cm = 8 cm

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Eine konische Grube mit einem Spitzendurchmesser von 3,5 m ist 12 m tief. Wie groß ist sein Fassungsvermögen in Kiloliter?
Lösung:
Hier Durchmesser der konischen Grube = 3,5 m
Radius (r) = (frac < 3,5 >< 2 >) m = (frac < 35 >< 20 >)m,
Tiefe (h) = 12m
⇒ Volumen (Kapazität) = (frac < 1 >< 3 >) πr 2 h

Somit beträgt das Fassungsvermögen der konischen Grube 38,5 kl.

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Das Volumen eines geraden Kreiskegels beträgt 9856 cm 3 . Wenn der Durchmesser der Basis 28 cm beträgt, finden Sie
(i) Höhe des Kegels
(ii) schräge Höhe des Kegels
(iii) gekrümmte Oberfläche des Kegels
Lösung:
Volumen des Kegels = 9856 cm 3
Durchmesser der Basis 28 cm
Radius der Basis (r) = (frac < 28 >< 2 >) = 14 cm

(i) Die Höhe des Kegels sei h cm.

Somit beträgt die erforderliche Höhe 48 cm.

(ii) Die schräge Höhe sei l cm.
⇒ l 2 = r 2 +h 2
⇒ l 2 = 14 2 + 48 2 = 196 + 2304 = 2500
l = 50
Somit ist die erforderliche Schräghöhe = 50 cm.

(iii) Die gekrümmte Oberfläche eines Kegels = πrl
∴ Gekrümmte Oberfläche = (frac < 22 >< 7 >) x 14 x 50 cm 2
= 2200cm2
Somit beträgt die gekrümmte Oberfläche des Kegels 2200 cm 2 .

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Um die Seite 12 cm wird ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit den Seiten 5 cm, 12 cm und 13 cm gedreht. Bestimmen Sie das Volumen des so erhaltenen Feststoffs.
Lösung:
Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks ABC sind 5 cm, 12 cm und 13 cm.
Das rechtwinklige Dreieck ist um die Seite 12 cm gedreht.

Somit haben wir den Radius der Basis des so gebildeten Kegels (r) = 5 cm
Höhe (h) = 12cm
∴ Volumen des so erhaltenen Kegels = (frac < 1 >< 3 >)πr 2 h
= (frac < 1 >< 3 >) x π x (5) 2 x 12cm 3
= 100 πcm 3
Somit beträgt das erforderliche Volumen des Kegels 100 cm 3 .

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Wenn das Dreieck ABC in Frage 7 oben um die Seite 5 cm gedreht wird, dann bestimme das Volumen des so erhaltenen Festkörpers. Finden Sie auch das Verhältnis der Volumina der beiden Feststoffe in den Fragen 7 und 8.
Lösung:
Da wird das rechtwinklige Dreieck um die Seite 5 cm gedreht.
∴ Höhe des so erhaltenen Kegels (h) = 5 cm
Kegelradius (r) = 12 cm 12

Das erforderliche Verhältnis beträgt also 5 : 12.

Ü. 13.7 Klasse 9 Mathe Frage 9.
Ein Weizenhaufen hat die Form eines Kegels mit einem Durchmesser von 10,5 m und einer Höhe von 3 m. Finden Sie sein Volumen. Der Haufen ist mit einer Plane abzudecken, um ihn vor Regen zu schützen. Suchen Sie den gewünschten Bereich der Leinwand.
Lösung:
Hier hat der Weizenhaufen die Form eines Kegels mit Basisdurchmesser = 10,5 m

Somit ist das erforderliche Volumen = 86,625 m 3
Nun muss die Fläche der Leinwand, die den Haufen bedeckt, gleich der gekrümmten Oberfläche des konischen Haufens sein.

Somit beträgt die benötigte Fläche der Leinwand 99,825 m 2 .

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumen Ex 13.8 Ex

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Bestimme das Volumen einer Kugel, deren Radius ist
(i) 7 cm
(ii) 0,63 cm
Lösung:
(i) Hier Radius (r) = 7cm

Somit ist das erforderliche Volumen = 1437(frac < 1 >< 3 >)cm 3

(ii) Hier Radius (r) = 0,63 m

Somit beträgt das benötigte Volumen 1,05 m 3 (ca.)

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Ermitteln Sie die Wassermenge, die von einer massiven Kugel mit dem Durchmesser
(i) 28 cm
(ii) 0,21 m
Lösung:
(i) Durchmesser der Kugel =28 cm
Radius der Kugel (r) cm (frac < 28 >< 2 >)cm = 14cm
Volumen der Kugel = (frac < 4 >< 3 >)πr 3

(ii) Durchmesser der Kugel = 0,21 m
⇒ Radius(r) = (frac < 0,21 >< 2 >)m = (frac < 21 >< 200 >)m

Somit ist die angezeigte Wassermenge = 0,004851 m 3 .

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Der Durchmesser einer Metallkugel beträgt 4,2 cm. Wie groß ist die Masse der Kugel, wenn die Dichte des Metalls 8,9 g pro cm 3 beträgt?
Lösung:
Durchmesser des Metallköders = 4,2 cm
⇒ Radius (r) = (frac < 4,2 >< 2 >)cm = 2,1cm

Dichte des Metalls = 8,9 g pro cm 3

∴ Masse der Kugel = 8,9 x [Volumen der Kugel]

Somit beträgt die Masse der Kugel 345,39 g (ca.)

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathematik Frage 4.
Der Durchmesser des Mondes beträgt etwa ein Viertel des Durchmessers der Erde. Welcher Bruchteil des Volumens der Erde ist das Volumen des Mondes?
Lösung:
Der Durchmesser der Erde sei 2r.
⇒ Radius der Erde = (frac < 2r >< 2 >) = r
Da, Durchmesser des Mondes = (frac < 1 >< 4 >) (Durchmesser der Erde)
⇒ Radius des Mondes = (frac < 1 >< 4 >)(Radius der Erde)
Radius des Mondes = (frac < 1 >< 4 >) (r) = (frac < r >< 4 >)
∴ Volumen der Erde = (frac < 4 >< 3 >)πr 3 und

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 5.
Wie viele Liter Milch fasst eine halbkugelförmige Schüssel mit einem Durchmesser von 10,5 cm?
Lösung:
Durchmesser der halbkugelförmigen Schale = 10,5 cm
⇒ Radius der Halbkugel (r) = (frac < 10.5 >< 2 >)cm = (frac < 105 >< 20 >)cm


Somit ist das Fassungsvermögen der Schüssel = 0,303 Liter (ca.)

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 6.
Ein halbkugelförmiger Tank besteht aus einem 1 cm dicken Eisenblech. Wenn der Innenradius 1 m beträgt, ermitteln Sie das Volumen des Eisens, das zur Herstellung des Tanks verwendet wurde.
Lösung:
Innenradius (r) = 1 m
∵ Dicke = 1 cm = (frac < 1 >< 100 >)m = 0.01m

∴ Außenradius (R) = 1 m + 0,01 m = 1,01 m

Somit ist das benötigte Volumen des verwendeten Bügeleisens
= 0,06348 m 3 (ca.)

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 7.
Bestimme das Volumen einer Kugel mit einer Oberfläche von 154 cm 2 .
Lösung:
Sei ‚r‘ der Radius der Kugel.
∴Seine Oberfläche = 4πr 2
4πr 2 = 154 [Gegeben]

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 8.
Eine Kuppel eines Gebäudes hat die Form einer Halbkugel. Von innen war es weiß gewaschen und kostete 498,96 Yen. Wenn die Kosten für weiße Wäsche 2,00 per pro Quadratmeter betragen, finden Sie die
(i) Innenfläche der Kuppel,
(ii) Luftvolumen innerhalb der Kuppel.
Lösung:
(i) Gesamt-cct der Weißwäsche = Rs. 498,96
Kosten für 1m² Tünche = Rs. 2
Gesamtkosten 498,96 2
∴ Fläche = (frac < GesamtQuad Kosten >< KostenQuad vonQuad 1< m >^< 2 >Fläche > =Quad frac < 498,96 > < 2 >=quad 249,48< m >^< 2 >)
Somit beträgt die benötigte Fläche der Kuppel 249,48 m 2 .

(ii) Sei ‚r‘ der Radius der halbkugelförmigen Kuppel.
∴ Innenfläche der Kuppel = 2πr 2

Nun, Luftvolumen in der Kuppel = Volumen einer Halbkugel

Somit beträgt das erforderliche Luftvolumen in der Kuppel 523,9 m 3 (ca.).

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathe Frage 9.
Siebenundzwanzig massive Eisenkugeln mit jeweils dem Radius r und der Oberfläche S werden geschmolzen, um eine Kugel mit der Oberfläche S’ zu bilden. Finden Sie die
(i) Radius r’ der neuen Kugel,
(ii) Verhältnis von S und S’.
Lösung:
(i) Der Radius einer kleinen Kugel sei r
∴ Sein Volumen = (frac < 4 >< 3 >)πr 3
Volumen von 27 kleinen Kugeln 27 x [ (frac < 4 >< 3 >)πr 3 ]
Der Radius der neuen Kugel sei r’
∴ Volumen der neuen Kugel = (frac < 4 >< 3 >)π(r’) 3

Daher beträgt der Radius einer neuen Kugel 3r.

(ii) Oberfläche einer Kugel = 4πr 2
= S = 4πr 2 und S’ = 4π (3r) 2 [∵ r’ = 3r]

Somit ist S : S’ = 1 : 9

Ü. 13.8 Klasse 9 Mathematik Frage 10.
Eine Medikamentenkapsel hat die Form einer Kugel mit einem Durchmesser von 3,5 mm. Wie viel Medizin (in mm 3 ) wird benötigt, um diese Kapsel zu füllen?
Lösung:
Durchmesser der kugelförmigen Kapsel = 3,5 mm
⇒ Radius der Kugelkapsel (r) = (frac < 3.5 >< 2 >) mm = (frac < 35 >< 20 >)mm
∴ Volumen der Kugelkapsel = 4πr 3

= 22.45833 mm 3
= 22,46 mm 3 (ca.)
Somit ist die benötigte Medikamentenmenge = 22,46 mm 3 (ca.)

NCERT-Lösungen für Klasse 9 Mathematik Kapitel 13 Oberflächen und Volumina Ex 13.9 1

Ü. 13.9 Klasse 9 Mathematik Frage 1.
Ein Bücherregal aus Holz hat folgende Außenmaße:
Höhe = 110cm, Tiefe = 25cm, Breite = 85cm (siehe Abbildung). Die Dicke der Diele beträgt überall 5 cm. Die Außenflächen sind zu polieren und die Innenflächen zu lackieren. Wenn die Polierrate 20 Paise pro cm 2 beträgt und die Pointingrate 10 Paise pro cm 2 beträgt, ermitteln Sie die Gesamtkosten, die für das Polieren und Lackieren der Oberfläche des Bücherregals erforderlich sind.

Lösung:
Hier Länge (l) = 85 cm,
Breite (b) = 25 cm und Höhe (h) = 110 cm
Äußere Oberfläche = Fläche der vier Flächen + Fläche der Rückseite + Fläche der vorderen Sicken
= [2 (110 + 85) x 25 + 110 x 85 + (110 x 5 x 2) + (75 x 5) x 4] cm 2 = 21700 cm 2
∴ Kosten für das Polieren der Außenflächen = Rs. (21700 x (frac < 20 >< 100 >) ) = Rs. 4340
Innenfläche = Fläche von fünf Flächen zu je 3 Quadern mit den Maßen 75 cm x 30 cm x 20 cm
= Gesamtfläche von 3 Quadern mit den Maßen 75 cm x 30 cm x 20 cm – Grundfläche von 3 Quadern mit den Maßen 75 cm x 30 cm x 20 cm 3(2(75 x 30 + 30 x 20 + 75 x .) 20)) cm 2 – 3 x (75 x 30) cm 2
= 6(2250 + 600 + 1500) cm 2 – 6750 cm 2 = 19350 cm 2
∴ Kosten für das Lackieren von Innenflächen = Rs. 19350 x (frac < 10 >< 100 >) = Rs. 1935
Hene, Gesamtausgaben = Rs. (4340 + 1935)
= Rs. 6275

Ü. 13.9 Klasse 9 Mathe Frage 2.
Die vordere Verbundwand eines Hauses ist mit Holzkugeln mit einem Durchmesser von 21 cm verziert, die auf kleinen Stützen platziert sind, wie in der Abbildung gezeigt. Zu diesem Zweck werden acht solcher Kugeln verwendet, die silbern lackiert werden sollen. Jede Stütze ist ein Zylinder mit Radius 1,5 cm und Höhe 7 cm und ist schwarz zu streichen. Ermitteln Sie die erforderlichen Farbkosten, wenn Silberfarbe 25 Paise pro cm 2 kostet und schwarze Farbe 5 Paise pro cm 2 kostet.

Lösung:
Hier Durchmesser einer Kugel = 21 cm
Radius einer Kugel (r) = (frac < 21 >< 2 >) cm
Oberfläche einer Kugel = 4πr 2
∴ Oberfläche von 8 Kugeln
= 8 x 4 x (frac < 22 >< 7 >) x ((frac < 21 >< 2 >)) 2 cm 2

Daher sind die Kosten für die erforderliche Farbe = Rs. 2784,25

Ü. 13.9 Klasse 9 Mathe Frage 3.
Der Durchmesser einer Kugel wird um 25 % verringert. Um wie viel Prozent nimmt seine gekrümmte Oberfläche ab?
Lösung:
Der Durchmesser einer Kugel sei d.
Nach dem Verkleinern, Durchmesser der Kugel
= d – (frac < 25 >< 100 >) x d
= d – (frac < 1 >< 4 >)d = (frac < 3 >< 4 >)d
Denn Oberfläche einer Kugel = 4πr 2 oder π(2r) 2 oder πd 2
Oberfläche einer Kugel, wenn der Durchmesser der Kugel ist

Verringern Sie nun den Prozentsatz der gekrümmten Oberfläche


In der Fakten- und Möglichkeitstheorie ist das Bayes-Theorem (auch als Bayes-Regel bezeichnet) eine mathematische Methode, die verwendet wird, um die bedingte Möglichkeit von Ereignissen zu entscheiden. Im Wesentlichen beschreibt das Theorem von Bayes die Möglichkeit eines Anlasses, der primär vollständig auf früherer Kenntnis der Situationen beruht, die wahrscheinlich auf den Anlass anwendbar sind.

Die Formel für den Satz von Bayes

Der Satz von Bayes wird in der folgenden Formel ausgedrückt:

  • P(A|B) – die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis A, gegebenes Ereignis B ist eingetreten
  • P(B|A) – die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von Ereignis B, gegebenes Ereignis A ist eingetreten
  • P(A) – die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
  • P(B) – die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B

Beachten Sie, dass die Ereignisse A und B unabhängige Ereignisse sind (d. h. die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von Ereignis A hängt nicht von der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses von Ereignis B ab).

Dieser Satz an Instanzen wird ebenfalls als inverser Möglichkeitssatz bezeichnet.

Erinnern wir uns an jede Gelegenheit „A“ des Musterraums „S“ (wie im vorherigen Abschnitt).

Dieser Anlass könnte aufgrund der einzigartigen Ursachen (oder aufgrund der Prävalenz eines der Fälle A1, A2, L An) aufgetreten sein.

Erlauben Sie uns nun zu sagen, dass die Gelegenheit A entdeckt wurde, und wir müssen die Möglichkeit entdecken, dass sie der Prävalenz von Ursachen zugefallen ist, sagt Ai.

Auf diese Weise sind wir neugierig auf P(Ai/A). Diese Problemformen werden mit Hilfe des Bayesschen Theorems gelöst.


Beispielarbeitsblätter (Umfang, Durchmesser, Radius, Kreisfläche)

Schlüssel zu Geometrie-Arbeitsbüchern

Hier ist eine nicht einschüchternde Möglichkeit, die Schüler auf die formale Geometrie vorzubereiten. Schlüssel zur Geometrie Arbeitsbücher führen die Schüler in eine breite Palette von geometrischen Entdeckungen ein, während sie schrittweise Konstruktionen durchführen. Mit Bleistift, Zirkel und Lineal beginnen die Schüler damit, Linien zu zeichnen, Winkel zu halbieren und Segmente zu reproduzieren. Später führen sie ausgeklügelte Konstruktionen aus, die über ein Dutzend Schritte umfassen – und werden aufgefordert, ihre eigenen Verallgemeinerungen zu bilden. Am Ende haben die Studierenden 134 geometrische Begriffe kennengelernt und sind bereit, formale Beweise anzugehen.


Kostenlose Mathe-Arbeitsblätter für Klasse 2

Dies ist eine umfassende Sammlung kostenlos druckbarer Mathe-Arbeitsblätter für die 2. Klasse, geordnet nach Themen wie Addition, Subtraktion, Kopfrechnen, Umgruppieren, Stellenwert, Uhr, Geld, Geometrie und Multiplikation. Sie werden nach dem Zufallsprinzip generiert, können von Ihrem Browser aus gedruckt werden und enthalten den Antwortschlüssel. Die Arbeitsblätter unterstützen jedes Mathematikprogramm der zweiten Klasse, passen aber besonders gut zum Mathe-Lehrplan der zweiten Klasse von IXL.

Die Arbeitsblätter werden jedes Mal zufällig generiert, wenn Sie auf die untenstehenden Links klicken. Sie können auch eine neue, andere erhalten, indem Sie einfach die Seite in Ihrem Browser aktualisieren (drücken Sie F5).

Sie können sie direkt aus Ihrem Browserfenster ausdrucken, aber prüfen Sie zuerst, wie sie in der "Druckvorschau" aussehen. Wenn das Arbeitsblatt nicht auf die Seite passt, passen Sie die Ränder, Kopf- und Fußzeile in den Einstellungen für die Seiteneinrichtung Ihres Browsers an. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die "Skala" in der Druckvorschau auf 95 % oder 90 % einzustellen. Einige Browser und Drucker verfügen über die Option "An Druck anpassen", die das Arbeitsblatt automatisch skaliert, damit es in den bedruckbaren Bereich passt.

Alle Arbeitsblätter werden mit einem Antwortschlüssel auf der 2. Seite der Datei geliefert.

Geistige Ergänzung

  • Einstellige Zahlen hinzufügen - Summe 10 oder weniger
  • Hinzufügen innerhalb von 0-10 - fehlender Nachtrag
  • Hinzufügen innerhalb von 10-18 - fehlender Nachtrag
  • Drei Summanden, einstellig
  • Drei Aufsätze, einstellige, fehlende Aufsätze
  • Vier Summanden, einstellig
  • Vier Nachträge, eine Ziffer, fehlender Nachtrag
  • Fehlender Addend - Summen mit 11 und 12
  • Fehlender Addend - Summen mit 13 und 14
  • Fehlender Addend - Summen mit 15 und 16
  • Fehlender Nachtrag - Summen mit 17 und 18
  • Fehlendes Addend zufällig innerhalb von 1 und 20
  • Ganze Zehner addieren, 2 Addenden
  • Addieren von ganzen Zehnern, 2 Addenden, fehlendem Addend
  • Addieren von ganzen Zehnern, 3 Addenden (Druck im Querformat)
  • Addieren von ganzen Zehnern, 3 Addenden, fehlender Addend (Druck im Querformat)
  • Addieren von ganzen Zehnern, 4 Addenden (Druck im Querformat)
  • Addieren von ganzen Zehnern, 4 Addenden, fehlender Addend (Druck im Querformat)

Umgruppierung zusätzlich

Dies wird auch als Spaltenaddition bezeichnet: Wir schreiben die Zahlen zum Addieren untereinander. Die meisten Arbeitsblätter unten beinhalten das Umgruppieren mit Zehner (auch bekannt als Zehner). Siehe auch diese kostenlose Lektion von mir: Zusätzlich umgruppieren.

Geistige Subtraktion

Denken Sie daran, dass Sie einfach Ihr Browserfenster aktualisieren können, um ein weiteres Arbeitsblatt der gleichen Art zu erhalten.

Umgruppieren in Subtraktion

Die meisten der folgenden Arbeitsblätter beinhalten das Umgruppieren (auch Ausleihen genannt), sofern nicht anders angegeben.

Stellenwert

In den USA ist für die 2. Klasse in den Common Core-Standards keine Rundung erforderlich. Ich stelle diese Links jedoch zur Verfügung, falls in Ihrem Land/Lehrplan in der 2. Klasse gerundet wird.

Denken Sie daran, dass Sie einfach Ihr Browserfenster aktualisieren können, um ein weiteres Arbeitsblatt der gleichen Art zu erhalten.

Uhr (Uhrzeit)

Geld - Münzen zählen

Verwenden Sie diese Seiten, um Arbeitsblätter für andere Währungen zu erstellen:

Geometrie

Maßeinheiten

Auch hier sind Umrechnungen zwischen Maßeinheiten nicht in den Common Core-Standards für die 2. Klasse enthalten. In der 2. Klasse sollte der Schwerpunkt des Curriculums darin liegen, die Kinder mit dem Messen und der Auswahl der geeigneten Messeinheit vertraut zu machen. Auch Einheitenumrechnungen erfordern gute Kenntnisse der Einmaleins. Wenn Sie möchten, dass Ihr Schüler in der zweiten Klasse Umrechnungen zwischen Maßeinheiten übt, überprüfen Sie bitte den Abschnitt „Messen“ in den Arbeitsblättern der Klasse 3.

Wenn Sie mehr Kontrolle über die Optionen wie Anzahl der Aufgaben oder Schriftgröße oder Abstand der Aufgaben oder Zahlenbereich haben möchten, klicken Sie einfach auf diese Links, um die Arbeitsblattgeneratoren selbst zu verwenden:


Management der lumbalen Spinalkanalstenose durch translatorische Manipulation und lumbale Flexionsübungen: Eine Fallserie

Eine lumbale Spinalkanalstenose ist eine Verengung des Spinalkanals oder des Foramen intervertebrale, die Kreuzschmerzen und Beinschmerzen und -schwäche verursachen kann. Um diese Symptome zu lindern, wird häufig ein chirurgischer Eingriff durchgeführt. Die Symptomreduktion und das longitudinale Management funktioneller Defizite mit konservativer Behandlung sind weniger gut dokumentiert. Der Zweck dieser Fallserie war es, die Ergebnisse eines konservativen Physiotherapieprogramms zu beschreiben, das aus translatorischen Manipulationen von T1-T9 und L1-L3 mit niedriger und hoher Geschwindigkeit und zwei Übungen zur Lendenflexion bei 6 Patienten mit diagnostizierter lumbaler Spinalkanalstenose besteht neurogene Claudicatio. Ein Laufbandtest wurde wöchentlich und bei der Entlassung für jeden Patienten wiederholt. Alle sechs Probanden zeigten Verbesserungen der Laufband-Gehzeit vor dem Einsetzen der neurogenen Claudicatio (Bereich: 1 Min. 34 Sek. bis 26 Min.) im Oswestry Low Back Pain Disability Index (Bereich: 7,5% bis 64,7%) und im McGill Pain Questionnaire Score (Bereich: 25 % bis 57 %). Fünf Probanden wurden mit der Schober-Technik gemessen, und alle zeigten eine Verbesserung der thorakolumbalen Flexionsmobilität. Die kombinierte Anwendung von translatorischen Manipulations- und Wirbelsäulenflexionsübungen kann bei sechs Patienten mit lumbaler Spinalkanalstenose zu einer verbesserten Wirbelsäulenflexibilität, Gehfähigkeit sowie Schmerzen und Funktionsstatus geführt haben.


NCERT-Lösungen für Klasse 10 Math Math

NCERT-Lösungen gelten als äußerst hilfreiche Ressource für die Prüfungsvorbereitung. Meritnation.com bietet seinen Nutzern Zugang zu einem reichhaltigen Angebot an NCERT-Fragen und deren Lösungen. CBSE Class 10 Math NCERT-Lösungen werden von Experten des Fachs erstellt und bereiten die Schüler daher mit Sicherheit darauf vor, gute Ergebnisse zu erzielen. Die in den NCERT-Büchern bereitgestellten Fragen werden in Übereinstimmung mit CBSE erstellt, wodurch eine höhere Chance besteht, in den CBSE-Fragebögen zu erscheinen. Diese NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 10 stärken nicht nur die Grundlagen der Schüler im Fach, sondern geben ihnen auch die Möglichkeit, verschiedene Arten von Fragen einfach zu lösen.

Unsere Mathe-Lehrbuchlösungen der Klasse 10 verschaffen den Schülern einen Vorteil bei praktischen Fragen. Diese Lehrbuchlösungen helfen den Schülern sowohl bei Prüfungen als auch im Hausaufgabenalltag. Die enthaltenen Lösungen sind leicht verständlich und jeder Schritt der Lösung wird so beschrieben, dass er dem Verständnis der Schüler entspricht.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 1, REALE NUMMERN: Dieses Kapitel beginnt mit einer Einführung über reale Nummern. In Klasse 9 wurde eine Teildiskussion über reelle Zahlen geführt. Um weiter auf dieses Thema einzugehen, werden in den ersten beiden Abschnitten zwei sehr wichtige Eigenschaften einer reellen Zahl diskutiert, nämlich:
1. Der Divisionsalgorithmus von Euklid
2. Der Fundamentalsatz der Arithmetik

Euklids Divisionsalgorithmuslid besteht aus einer kurzen Beschreibung von Euklids Divisionslemma. Die nächste Übung basiert auf dem Thema irrationale Zahlen überdenken. Es werden verschiedene Theoreme gegeben, um dem Schüler zu verdeutlichen, wie eine bestimmte Zahl bewiesen werden kann irrational. Dafür werden mehrere Beispiele gegeben. Übung 1.3 ist eine kurze Übung bestehend aus 3 Fragen. Weiter zur nächsten Übung, die auf dem Thema basiertrationale Zahlen überdenken und ihre Dezimalerweiterungen. Zur Lösung der Aufgaben der Aufgabe 1.4 werden 3 Sätze benötigt. Daher müssen die Schüler diese Theoreme gründlich verstehen.
Am Ende des Kapitels wird zur Reprise eine Zusammenfassung des Kapitels gegeben.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 2, Polynome Kapitel beginnt mit dem Zitieren über Polynomgrade und Differenzierung von Polynome basierend auf seiner Grad. Der nächste Abschnitt beschreibt die geometrische Bedeutung der Nullen von a Polynom. Verschiedene Grafiken werden gezeigt, um zu erklären, wie Plotten von Gleichungen erfolgt. Parabeln werden in diesem Abschnitt vorgestellt.
Danach werden gelöste Beispiele gegeben, um zu zeigen, wie die Anzahl der Nullen mit Hilfe der grafische Methode.
Aufgabe 2.1 basiert auf dem gleichen Konzept. Im nächsten Abschnitt, die Beziehung zwischen Nullen und Koeffizienten von a Polynom wird erklärt.
Übung 2.2 besteht aus Fragen, in denen die Schüler die Summe und Produkt von Nullen des Gegebenen Polynom.
Wenn es weitergeht, lernen die Schüler etwas über Divisionsalgorithmen für Polynome.
Aufgabe 2.3 basiert darauf.
Zusätzlich wird eine optionale Übung angeboten, die jedoch nur zum Üben und nicht aus Prüfungssicht gegeben ist.
Für einen perfekten Abschluss werden ein paar wichtige Punkte gegeben, um das Kapitel zusammenzufassen.

  • Ersetzungsmethode
  • Eliminationsmethode
  • Kreuzmultiplikation
  • Faktorisierung
  • Vervollständigen der Quadrate
  • Quadratische Formel

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 5 Arithmetische Progressionen: Dieses Kapitel beginnt mit der Erläuterung der arithmetische Progression und wie es mit unserem Alltag zusammenhängt. Sobald es verstanden ist, besteht der nächste Schritt darin, die verschiedenen Begriffe zu studieren, die sich auf . beziehen arithmetische Progression.

  • AAA-Ähnlichkeitskriterium
  • AA Ähnlichkeitskriterium
  • SSS-Ähnlichkeitskriterium
  • SAS-Ähnlichkeitskriterium

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 7: Koordinatengeometrie - Zu Beginn eine kurze Beschreibung verschiedener Koordinaten beziehen sich auf das, was die Schüler in Klasse IX gelernt haben.
Dieses Kapitel legt den Schwerpunkt darauf, wie Sie die Abstand zwischen den beiden Punkten deren Koordinaten gegeben sind, und zu finden Sie den Bereich der Dreiecke geformt von drei vergebene Punkte. Zu guter Letzt lernen die Schüler auch, wie man die Koordinaten der Punkte, die a . teilen Liniensegment Verbinden zweier gegebener Punkte in einer gegebenen Verhältnis.
Im ersten Abschnitt erfahren die Leser mehr über die Abstand formel. Sie wird anhand eines Diagramms im Detail erklärt. Es werden gelöste Beispiele gegeben, um das Konzept für die Schüler verständlicher zu machen.
Weiter bewegen, Abschnittsformel gegeben ist und ein Spezialfall des Findens der Mittelpunkt des Liniensegments wird auch erklärt, was aus Prüfungssicht wichtig ist.
Im letzten Abschnitt, Fläche eines Dreiecks wird diskutiert, gefolgt von gelöstem Beispiel und Übung.
Eine optionale Übung wird am Ende des Kapitels gegeben. Danach wird das Kapitel in 5 Punkten für eine schnelle Überarbeitung abgeschlossen.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 8: Einführung in die Trigonometrie: Zu Beginn werden einige Beispiele aus dem wirklichen Leben gegeben, um die Notwendigkeit zu erklären Trigonometrie. In diesem Kapitel lernen die Studierenden die trigonometrische Verhältnisse des Winkel. Die Diskussion über die trigonometrisch Verhältnisse wird beschränkt auf spitze Winkel nur.
In Abschnitt 8.2 verschiedene trigonometrische Verhältnisse werden erklärt, d.h Seitenverhältnisse eines rechtwinkligen Dreiecks zu seinen spitzen Winkeln. Gelöste Beispiele werden gegeben, um zu erklären, wie man findet trigonometrische Verhältnisse und wie man bestimmte gegebene Beziehungen beweist.
Im nächsten Abschnitt, trigonometrische Verhältnisse einiger spezifischer Winkel 0 ° , 30 ° , 45 ° , 60 ° und 90 ° unterrichtet werden. Tabelle 8.1 enthält alle erforderlichen trigonometrische Verhältnisse Wert. Die Schüler müssen diese Werte lernen, da sie den wichtigsten Teil dieses Kapitels darstellen und für die Lösung der Probleme unerlässlich sind.
Im Abschnitt 8,4 trigonometrische Verhältnisse von komplementäre Winkel unterrichtet werden. Übung 8.3 basiert darauf.
Im nächsten Teil des Kapitels geht es um trigonometrische Identitäten. Drei wichtige Identitäten werden in diesem Abschnitt hervorgehoben. Am Ende werden die wichtigsten Punkte des Kapitels besprochen.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 9: Einige Anwendungen der Trigonometrie - In diesem Kapitel werden die Schüler einige Möglichkeiten untersuchen, wie Trigonometrie wird im Leben um uns herum verwendet. Trigonometrie ist das älteste Fach, das von Gelehrten auf der ganzen Welt studiert wurde.
In Abschnitt 9.2 wird das Thema Höhe und Entfernungen wird diskutiert. In diesem Teil des Kapitels werden verschiedene Begriffe erklärt. 7 gelöste Beispiele sind in diesem Kapitel enthalten, um das gleiche Konzept für die Schüler verständlich zu machen.
Dieses Kapitel enthält nur eine Übung. Dies ist eine umfangreiche Übung mit 16 Fragen. In den ersten Fragen ist die Höhe von verschiedenen Objekte ist unbekannt und die Schüler müssen dasselbe berechnen. Bei einigen Fragen ist die Breite des Objekt ist zu berechnen. Andere Fragen verlangen eine Berechnung des Abstand zwischen zwei Objekten.
Eine kurze Zusammenfassung des Kapitels erfolgt am Ende.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 10- Kreise: Beginnend mit der Angabe der Definition des Kreis die in Klasse IX studiert wurde, geht das Kapitel weiter, um die Sekante und Tangente des Kreis. Der erste Abschnitt behandelt das Thema- Tangential an einen Kreis. Dieser Abschnitt wird mit Hilfe von zwei Aktivitäten erklärt, gefolgt von dem Satz, dass die Tangente an jedem Punkt eines Kreises senkrecht zum Radius durch den Berührungspunkt steht. Am Ende des Abschnitts werden einige Anmerkungen erwähnt, die nicht ignoriert werden sollten.
Übung 10.1 ist eine kurze Übung mit 4 Fragen.
Im nächsten Abschnitt geht es um die Anzahl der Tangenten von einem Punkt auf einem Kreis. In diesem Abschnitt werden drei verschiedene Fälle besprochen und später wird der Satz erklärt, der sich auf die Tangentenlängen von einem externen Punkt zu einem Kreis bezieht. Die letzte Übung des Kapitels ist 10.2, in der die ersten drei Fragen lauten Fragen mit mehreren Antworten mit eine richtige möglichkeit. Danach basieren einige Fragen auf dem Beweis der gegebenen Aussage.
Abschließend erfolgt der Abschluss des Kapitels in 3 Punkten.

  • Um ein Liniensegment im angegebenen Verhältnis zu teilen.
  • Um ein Dreieck ähnlich dem gegebenen Dreieck gemäß dem gegebenen Skalierungsfaktor zu konstruieren.
  • Um das Tangentenpaar von einem externen Punkt zu einem Kreis zu konstruieren.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 12: Bereiche im Zusammenhang mit Kreisen- Wir alle kennen die Methoden des Findens Umfänge und Bereiche von einfach Flugzeugfiguren sowie Rechtecke, Quadrate, Parallelogramme, Dreiecke, und Kreise.
Im ersten Abschnitt geht es um die Umfang und Bereich eines Kreises. Das Konzept von (Kuchen) π wird diskutiert. Ein gelöstes Beispiel wird in diesem Abschnitt besprochen. Die erste Übung 12.1 ist eine kurze Übung mit 5 Fragen.
Der zweite Abschnitt befasst sich mit Bereiche der Branche und Kreissegment. In diesem Abschnitt werden zwei Beispiele besprochen, um den Schülern das Konzept klar zu machen. Die folgende Übung 12.2 enthält 14 darauf aufbauende Fragen.
Im nächsten Abschnitt geht es um das Thema- Bereiche der Kombination von ebenen Figuren. Dieser spezielle Abschnitt enthält 3 gelöste Beispiele und dann wird die letzte Übung des Kapitels 12.3 gegeben.
Später folgt die Zusammenfassung des Kapitels.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 13: Flächen und Volumen- Die Schüler haben bereits gelernt über Feststoffe mögen Quader, Kegel, Zylinder, und Kugel. Sie haben auch gelernt, wie sie ihre finden Flächen und Bände. In diesem Kapitel erfahren die Schüler, wie sie Flächen und Bände von Kombination von Feststoffe. Die ersten beiden Übungen dieses Kapitels basieren darauf.
Im nächsten Thema geht es um die Umwandlung eines Festkörpers von einer Form in eine andere. 4 gelöste Beispiele werden gegeben, um das Konzept klarer zu machen.
Die nächste Übung 13.3 enthält verschiedene Fragen, die auf demselben Konzept basieren. Abschnitt 13.5 befasst sich mit dem Thema- Kegelstumpf. In diesem Kapitel wird ein Schüler lernen, wie man die schräge Höhe, gekrümmte Oberfläche, Gesamtoberfläche und Volumen des Kegelstumpfes. Dieses Kapitel enthält Aktivitäten, gelöste Beispiele und Übungsfragen, um dieses Thema besser zu erklären.
Übung 13.5 ist eine optionale Übung, die aus Prüfungssicht nicht gegeben ist. Der Schluss des Kapitels wird am Ende des Kapitels gegeben.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 14: Statistiken- Konzept der Klassifizierung von gegebenen Daten in data nicht gruppiert ebenso gut wie gruppierte Häufigkeitsverteilungen wurde den Schülern der Klasse IX erklärt. Balkendiagramme, Histogramme, und Frequenzpolygone wurden auch schon früher eingeführt. In diesem Kapitel werden drei Maßnahmen untersucht, nämlich bedeuten, Median und Modus aus nicht gruppierte Daten zu dem von gruppierte Daten wird verlängert.
Konzept von kumulierte Häufigkeit, das Häufigkeitsverteilung (kumulativ) und wie man zeichnet Summenhäufigkeitskurven (ogives) wird in diesem Kapitel ebenfalls erläutert.
Der allererste Abschnitt behandelt das Thema Mittelwert gruppierter Daten. Obere Grenze und das untere Grenze werden erklärt. Es gibt drei Methoden, um den Mittelwert zu ermitteln:

1. Direkte Methode
2. Angenommene Mittelwertmethode
3. Schrittabweichungsmethode

Der nächste Abschnitt befasst sich mit dem Konzept der Modus der gruppierten Daten. 3 gelöste Beispiele und eine Aktivität helfen den Schülern, das Thema zu verstehen. Danach lernen die Schüler über Median von gruppierten Daten und können dasselbe in der folgenden Übung üben. Das letzte Thema des Kapitels ist Grafische Darstellung der kumulierten Häufigkeitsverteilung gefolgt von einer Übung. Später werden die wichtigsten Punkte des Kapitels kurz erklärt.

Mathematik NCERT Klasse 10, Kapitel 15: Wahrscheinlichkeit- Am Anfang des Kapitels empirisch oder Experimental- und theoretische oder klassische Wahrscheinlichkeiten sind besprochen. Im ersten Abschnitt geht es um Wahrscheinlichkeit – ein theoretischer Ansatz. Man wird auf den Begriff stoßen gleich wahrscheinliche Ergebnisse in diesem Abschnitt.
In diesem Kapitel wird davon ausgegangen, dass alle Experimente gleich wahrscheinliche Ergebnisse. Es werden verschiedene gelöste Beispiele gegeben, um das Konzept von . zu erklären Wahrscheinlichkeit. Es werden einige Bemerkungen gemacht, die nicht ignoriert werden sollten.
Nachdem, ergänzende Veranstaltung ist ein weiteres Thema, das Aufmerksamkeit erfordert. Unmöglich und sicher oder bestimmte Ereignisse werden ebenfalls in diesem Kapitel behandelt. Es gibt insgesamt 13 gelöste Beispiele in diesem Abschnitt, von denen die Beispielnummern 10 und 11 aus Sicht der Prüfung nicht sind.
Dieses Kapitel enthält nur eine Übung, 15.1 ist eine umfangreiche Übung mit 25 Fragen.
Es wird auch eine optionale Übung gegeben, die jedoch nicht prüfungsrelevant ist. Und am Ende finden die Schüler eine Zusammenfassung des Kapitels in 7 Punkten.