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Lagrange-Multiplikatoren


Das Lösen von Optimierungsproblemen für Funktionen von zwei oder mehr Variablen kann dem Lösen solcher Probleme in der Berechnung mit einer Variablen ähnlich sein. Techniken zum Umgang mit mehreren Variablen ermöglichen es uns jedoch, vielfältigere Optimierungsprobleme zu lösen, für die wir zusätzliche Bedingungen oder Einschränkungen berücksichtigen müssen. In diesem Abschnitt untersuchen wir eine der gebräuchlicheren und nützlichsten Methoden zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen.

Lagrange-Multiplikatoren

Im vorherigen Abschnitt wurde eine angewandte Situation untersucht, bei der es um die Maximierung einer Gewinnfunktion geht, vorbehaltlich bestimmter Einschränkungen. In diesem Beispiel betrafen die Beschränkungen eine maximale Anzahl von Golfbällen, die in (1) Monat ((x),) produziert und verkauft werden konnten, und eine maximale Anzahl von Werbestunden, die pro Monat gekauft werden konnten (( j)). Angenommen, diese wurden zu einer einzigen Budgetbeschränkung zusammengefasst, wie z. B. (20x+4y≤216), die sowohl die Kosten für die Herstellung der Golfbälle als auch die Anzahl der pro Monat gekauften Werbestunden berücksichtigt. Das Ziel ist immer noch die Gewinnmaximierung, aber jetzt gibt es eine andere Art von Einschränkung für die Werte von (x) und (y). Diese Einschränkung und die entsprechende Gewinnfunktion

[f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2 onumber]

ist ein Beispiel für ein Optimierungsproblem, und die Funktion (f(x,y)) heißt die Zielfunktion. Es folgt ein Graph verschiedener Niveaukurven der Funktion (f(x,y)).

In Abbildung (PageIndex{1}) repräsentiert der Wert (c) verschiedene Gewinnstufen (d. h. Werte der Funktion (f)). Mit steigendem Wert von (c) verschiebt sich die Kurve nach rechts. Da unser Ziel die Gewinnmaximierung ist, wollen wir eine Kurve so weit wie möglich nach rechts wählen. Gäbe es keine Beschränkungen hinsichtlich der Anzahl der Golfbälle, die das Unternehmen produzieren könnte, oder der Anzahl der verfügbaren Werbeeinheiten, dann könnten wir so viele Golfbälle produzieren, wie wir wollen, und so viel Werbung machen, wie wir wollen, und es gäbe keine ein maximaler Gewinn für das Unternehmen. Leider haben wir eine Budgetbeschränkung, die durch die Ungleichung (20x+4y≤216.) modelliert wird. Um zu sehen, wie diese Beschränkung mit der Gewinnfunktion interagiert, zeigt Abbildung (PageIndex{2}) den Graphen der Linie (20x+4y=216) überlagert mit dem vorherigen Graphen.

Wie bereits erwähnt, entsteht der maximale Gewinn, wenn die Niveaukurve möglichst weit rechts liegt. Allerdings muss das diesem maximalen Gewinn entsprechende Produktionsniveau auch die Budgetbeschränkung erfüllen, also muss der Punkt, an dem dieser Gewinn entsteht, ebenfalls auf (oder links von) der roten Linie in Abbildung (PageIndex{2}) liegen. ). Die Betrachtung dieses Graphen zeigt, dass dieser Punkt dort existiert, wo die Linie tangential zur Niveaukurve von (f) ist. Versuch und Irrtum zeigen, dass dieses Gewinnniveau bei (395) zu liegen scheint, wenn (x) und (y) beide knapp unter (5) liegen. Auf die Lösung dieses Problems kommen wir später in diesem Abschnitt zurück. Aus theoretischer Sicht muss an dem Punkt, an dem die Gewinnkurve tangential zur Begrenzungslinie verläuft, der Gradient der beiden an diesem Punkt ausgewerteten Funktionen in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen. Denken Sie daran, dass der Gradient einer Funktion von mehr als einer Variablen ein Vektor ist. Wenn zwei Vektoren in die gleiche (oder entgegengesetzte) Richtung zeigen, muss einer ein konstantes Vielfaches des anderen sein. Diese Idee ist die Grundlage der Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Methode der Lagrange-Multiplikatoren: Eine Einschränkung

Satz (PageIndex{1}):Seien (f) und (g) Funktionen zweier Variablen mit stetigen partiellen Ableitungen an jedem Punkt einer offenen Menge mit der glatten Kurve (g(x,y)=k), wobei (k ) ist eine Konstante. Angenommen, (f) hat, wenn es auf Punkte auf der Kurve (g(x,y)=k beschränkt ist, ein lokales Extremum im Punkt ((x_0,y_0)) und (vecs g(x_0,y_0)≠0). Dann gibt es eine Zahl (λ) namens a Lagrange-Multiplikator, für die

[vecs f(x_0,y_0)=λvecs ∇g(x_0,y_0).]

Beweis

Angenommen, am Punkt ((x_0,y_0). tritt ein eingeschränktes Extremum auf.) Weiterhin nehmen wir an, dass die Gleichung (g(x,y)=k) glatt parametrisiert werden kann als

(x=x(s); ext{und}; y=y(s))

wobei (s) ein Bogenlängenparameter mit Referenzpunkt ((x_0,y_0)) bei (s=0) ist. Daher hat die Größe (z=f(x(s),y(s))) ein relatives Maximum oder relatives Minimum bei (s=0), und dies impliziert, dass (dfrac{dz}{ ds}=0) an dieser Stelle. Aus der Kettenregel

[egin{align*} dfrac{dz}{ds} &=dfrac{∂f}{∂x}⋅dfrac{∂x}{∂s}+dfrac{∂f}{∂y} ⋅dfrac{∂y}{∂s} [5pt] &=left(dfrac{∂f}{∂x}hat{mathbf i}+dfrac{∂f}{∂y} hat{mathbf j} ight)⋅left(dfrac{∂x}{∂s}hat{mathbf i}+dfrac{∂y}{∂s}hat{mathbf j} ight )[5pt] &=0, end{ausrichten*}]

wobei die Ableitungen alle bei (s=0) ausgewertet werden. Der erste Faktor im Skalarprodukt ist jedoch die Steigung von (f), und der zweite Faktor ist der Einheitstangensvektor (vec{mathbf T}(0)) an die Randbedingungskurve. Da der Punkt ((x_0,y_0)) (s=0) entspricht, folgt aus dieser Gleichung

[vecs ∇f(x_0,y_0)⋅vecs{mathbf T}(0)=0, onumber]

was impliziert, dass der Gradient entweder der Nullvektor (vecs 0) ist oder an einem eingeschränkten relativen Extremum senkrecht zur Randbedingungskurve verläuft. Allerdings ist die Randbedingungskurve (g(x,y)=k) eine Niveaukurve für die Funktion (g(x,y)), so dass für (vecs ∇g(x_0,y_0)≠0 ) dann ist (vecs ∇g(x_0,y_0)) normal zu dieser Kurve bei ((x_0,y_0)) Daraus folgt, dass es einen Skalar (λ) gibt mit

[vecs f(x_0,y_0)=λvecs ∇g(x_0,y_0) onumber]

(Quadrat)

Bewerben Satz (PageIndex{1}) zu einem Optimierungsproblem ähnlich dem des Golfballherstellers brauchen wir eine Problemlösungsstrategie.

Problemlösungsstrategie: Schritte zur Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren

  1. Bestimmen Sie die Zielfunktion (f(x,y)) und die Randbedingungsfunktion (g(x,y).) Beinhaltet das Optimierungsproblem die Maximierung oder Minimierung der Zielfunktion?
  2. Erstellen Sie ein Gleichungssystem mit der folgenden Vorlage: [egin{align} vecs ∇f(x,y) &=λvecs ∇g(x,y) [5pt] g(x,y) &=k end{ausrichten}.]
  3. Löse nach (x) und (y) auf, um zu bestimmen Lagrange-Punkte, d. h. Punkte, die die Lagrange-Multiplikatorgleichung erfüllen.
  4. Wenn die Zielfunktion auf der Nebenbedingung stetig ist und die Nebenbedingung eine geschlossene Kurve (wie ein Kreis oder eine Ellipse) ist, dann maximiert der größte der Werte von (f) bei den in Schritt (3) gefundenen Lösungen (f), vorbehaltlich der Einschränkung; der kleinste dieser Werte minimiert (f), vorbehaltlich der Einschränkung.

    In anderen Fällen müssen wir jedoch die Zielfunktionen (f) an Punkten der Nebenbedingung auf beiden Seiten jedes Lagrange-Punktes auswerten, um zu bestimmen, ob wir ein relatives Maximum oder ein relatives Minimum erhalten haben.

Beachten Sie, dass es möglich ist, dass unsere Zielfunktion an einem bestimmten Lagrange-Punkt kein relatives Maximum oder relatives Minimum hat. Dies kann in einigen Situationen vorkommen, aber meistens, wenn der Lagrange-Punkt auch ein kritischer Punkt der Zielfunktion ist, die uns einen Sattelpunkt gibt. Meistens werden wir immer noch ein relatives Extremum an einem Sattelpunkt erhalten, der einer Einschränkung unterliegt, aber manchmal nicht. Ein Beispiel für diesen Fall finden Sie in Abbildung (PageIndex{3}).

Abbildung (PageIndex{3}): Graph von (f(x,y)=x^2-y^3) zusammen mit der Nebenbedingung ((x-1)^2 + y^2 = 1). Beachten Sie, dass es bei ((0,0) kein relatives Extremum gibt, obwohl dieser Punkt die Lagrange-Multiplikator-Gleichung mit (lambda=0) erfüllt.

Beispiel (PageIndex{1}): Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren

Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um den Mindestwert von (f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y) unter der Bedingung (x+2y=7.) zu finden.

Lösung

Folgen wir der Problemlösungsstrategie:

1. Die Zielfunktion ist (f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y.) Die Randbedingungsfunktion ist gleich der linken Seite der Randbedingungsgleichung, wenn nur eine Konstante on ist die rechte Seite. Hier also (g(x,y)=x+2y). Das Problem fordert uns auf, nach dem minimalen Wert von (f) zu lösen, vorbehaltlich der Einschränkung (Abbildung (PageIndex{4})).

2. Wir müssen dann die Gradienten von (f) und (g) berechnen:

[vecs abla fleft( x,y ight) = left( 2x - 2 ight) hat{mathbf{i}} + left( 8y + 8 ight) hat{mathbf {j}} vecs abla g left( x, y ight) = hat{mathbf{i}} + 2 hat{mathbf{j}}.]

Die Gleichung (vecs abla fleft( x, y ight) = lambda vecs abla g left( x, y ight)) wird zu

[left( 2 x - 2 ight) hat{mathbf{i}} + left( 8 y + 8 ight) hat{mathbf{j}} = lambdaleft(hat{ mathbf{i}} + 2 hat{mathbf{j}} ight),]

was umgeschrieben werden kann als

[left( 2 x - 2 ight) hat{mathbf{i}} + left( 8 y + 8 ight) hat{mathbf{j}} = lambdahat{mathbf{ i}} + 2 lambda hat{mathbf{j}}.]

Als nächstes setzen wir die Koeffizienten von (hat{mathbf{i}}) und (hat{mathbf{j}}) gleich:

[egin{align} 2 x - 2 &= lambda 8 y + 8 &= 2 lambda. end{ausrichten}]

Aus der Gleichung (gleft(x,y ight) = k) wird (x + 2 y = 7). Das zu lösende Gleichungssystem ist also

[egin{align} 2 x - 2 &= lambda 8 y + 8 &= 2 lambda x + 2 y &= 7. end{align}]

3. Dies ist ein lineares System von drei Gleichungen in drei Variablen. Wir beginnen damit, dass wir die zweite Gleichung nach (λ) lösen und sie in die erste Gleichung einsetzen. Dies ergibt (λ=4y+4), also Einsetzen in die erste Gleichung ergibt [2x−2=4y+4. onumber] Das Auflösen dieser Gleichung nach (x) ergibt (x=2y+ 3). Dann setzen wir dies in die dritte Gleichung ein: [egin{align*} (2y+3)+2y&=7 [5pt]4y&=4 [5pt]y&=1. end{align*}] Da (x=2y+3,) ergibt (x=5.)

4. Als nächstes berechnen wir (f(x,y)=x^2+4y^2−2x+8y) am Punkt ((5,1)), [f(5,1)= 5^2+4(1)^2−2(5)+8(1)=27.]Um sicherzustellen, dass dies einem minimalen Wert der Einschränkungsfunktion entspricht, versuchen wir einige andere Punkte auf der Einschränkung von beiden Seiten von der Punkt ((5,1)), wie die Achsenabschnitte von (g(x,y)=0), die ((7,0)) und ((0,3.5) sind ).

Wir erhalten (f(7,0)=35 gt 27) und (f(0,3.5)=77 gt 27).

Es scheint also, dass (f) ein relatives Minimum von (27) bei ((5,1)) hat, vorbehaltlich der gegebenen Einschränkung.

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um den maximalen Wert von zu finden

[f(x,y)=9x^2+36xy−4y^2−18x−8y onumber]

unter der Bedingung (3x+4y=32.)

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsstrategie für die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Antworten

Unter der gegebenen Einschränkung hat (f) einen Maximalwert von (976) am Punkt ((8,2)).

Kehren wir nun zu dem am Anfang des Abschnitts gestellten Problem zurück.

Beispiel (PageIndex{2}): Golfbälle und Lagrange-Multiplikatoren

Der Golfballhersteller Pro-T hat ein Gewinnmodell entwickelt, das von der Anzahl (x) der pro Monat verkauften Golfbälle (in Tausend gemessen) und der Anzahl der Werbestunden pro Monat abhängt y, nach der Funktion

[z=f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2, onumber]

wobei (z) in Tausend Dollar gemessen wird. Die Budgetbeschränkungsfunktion, die sich auf die Produktionskosten von Tausenden Golfbällen und Werbeeinheiten bezieht, ist gegeben durch (20x+4y=216.) Bestimme die Werte von (x) und (y), die den Gewinn maximieren, und den maximalen Gewinn finden.

Lösung:

Auch hier folgen wir der Problemlösungsstrategie:

  1. Die Zielfunktion ist (f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2.) Um die Randbedingungsfunktion zu bestimmen, dividieren wir beide Seiten durch (4), was ( 5x+y=54.) Die Randbedingungsfunktion ist gleich der linken Seite, also (g(x,y)=5x+y.) Das Problem fordert uns auf, nach dem Maximalwert von (f ), unterliegt dieser Einschränkung.
  2. Wir berechnen also die Gradienten von (f) und (g): [egin{align*} vecs ∇f(x,y)&=(48−2x−2y)hat{ mathbf i}+(96−2x−18y)hat{mathbf j}[5pt]vecs ∇g(x,y)&=5hat{mathbf i}+hat{mathbf j} . end{align*}] Aus der Gleichung (vecs ∇f(x,y)=λvecs ∇g(x,y)) wird [(48−2x−2y)hat{i}+ (96−2x−18y)hat{mathbf j}=λ(5hat{mathbf i}+hat{mathbf j}), onumber] was umgeschrieben werden kann als [(48−2x −2y)hat{mathbf i}+(96−2x−18y)hat{mathbf j}=λ5hat{mathbf i}+λhat{mathbf j}. onumber] Wir dann setze die Koeffizienten von (hat{mathbf i}) und (hat{mathbf j}) gleich: [egin{align*} 48−2x−2y&=5λ [ 5pt] 96−2x−18y&=λ. end{align*}] Aus der Gleichung (g(x,y)=k) wird (5x+y=54). Das zu lösende Gleichungssystem ist also [egin{align*} 48−2x−2y&=5λ [5pt] 96−2x−18y&=λ [5pt]5x+y&=54. end{ausrichten*}]
  3. Wir verwenden die linke Seite der zweiten Gleichung, um (λ) in der ersten Gleichung zu ersetzen: [egin{align*} 48−2x−2y&=5(96−2x−18y) [5pt] 48−2x−2y&=480−10x−90y [5pt] 8x&=432−88y [5pt] x&=54−11y. end{align*}] Dann setzen wir dies in die dritte Gleichung ein: [egin{align*} 5(54−11y)+y&=54[5pt] 270−55y+y&=54[ 5pt]216&=54y [5pt]y&=4. end{align*}] Da (x=54−11y,) ergibt (x=10.)
  4. Wir setzen dann ((10,4)) in (f(x,y)=48x+96y−x^2−2xy−9y^2,) ein, was [egin{align*} f( 10,4)&=48(10)+96(4)−(10)^2−2(10)(4)−9(4)^2 [5pt] & =480+384−100−80 −144=540.end{align*}] Daher beträgt der maximal erzielbare Gewinn, vorbehaltlich budgetärer Beschränkungen, ($540.000) bei einer Produktionsmenge von (10.000) Golfbällen und (4 ) pro Monat gekaufte Werbestunden. Lassen Sie uns überprüfen, ob dies wirklich ein Maximum ist. Die Endpunkte der Linie, die die Einschränkung definiert, sind ((10.8,0)) und ((0,54)). Lassen Sie uns (f) an diesen beiden Punkten auswerten: [egin{align*} f(10,8,0)&=48(10,8)+96(0)−10,8^2−2(10,8)(0)−9(0^2) [5pt] &=401,76 [5pt] f (0,54)&=48(0)+96(54)−0^2−2(0)(54)−9(54^2) [5pt] &=−21.060. end{align*}] Der zweite Wert stellt einen Verlust dar, da keine Golfbälle produziert werden. Keiner dieser Werte überschreitet (540), daher scheint unser Extremum ein Maximalwert von (f) zu sein, vorbehaltlich der gegebenen Einschränkung.

Aufgabe (PageIndex{2}): Optimierung der Cobb-Douglas-Funktion

Ein Unternehmen hat bestimmt, dass sein Produktionsniveau durch die Cobb-Douglas-Funktion (f(x,y)=2,5x^{0,45}y^{0,55}) gegeben ist, wobei (x) die Gesamtzahl der Arbeit . darstellt Stunden in (1) Jahr und (y) stellt den gesamten Kapitaleinsatz für das Unternehmen dar. Angenommen (1) Arbeitskosteneinheit (40$) und (1) Kapitalkosteneinheit (50$). Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um den Höchstwert von (f(x,y)=2,5x^{0,45}y^{0,55}) vorbehaltlich einer Budgetbeschränkung von (500.000 $) pro Jahr zu ermitteln.

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsstrategie für die Methode der Lagrange-Multiplikatoren.

Antworten:

Unter der gegebenen Einschränkung ergibt sich ein maximales Produktionsniveau von (13890) bei (5625) Arbeitsstunden und ($5500) Gesamtkapitaleinsatz.

Im Fall einer Zielfunktion mit drei Variablen und einer einzigen Randbedingungsfunktion kann auch die Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwendet werden, um ein Optimierungsproblem zu lösen. Ein Beispiel für eine Zielfunktion mit drei Variablen könnte die Cobb-Douglas-Funktion in Aufgabe (PageIndex{2}): (f(x,y,z)=x^{0,2}y^{0,4}z^{0,4},) wobei (x) die Kosten darstellt represents der Arbeit, (y) repräsentiert den Kapitaleinsatz und (z) repräsentiert die Werbekosten. Die Methode ist dieselbe wie bei der Methode mit einer Funktion von zwei Variablen; die zu lösenden Gleichungen sind

[egin{align*} vecs f(x,y,z)&=λvecs ∇g(x,y,z) [5pt] g(x,y,z)&=k. end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{3}): Lagrange-Multiplikatoren mit einer Zielfunktion mit drei Variablen

Maximiere die Funktion (f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2) unter der Bedingung (x+y+z=1.)

Lösung:

1. Die Zielfunktion ist (f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.) Um die Einschränkungsfunktion zu bestimmen, setzen wir sie gleich dem variablen Ausdruck auf der linken Seite Seite der Einschränkungsgleichung: (x+y+z=1), was die Einschränkungsfunktion als (g(x,y,z)=x+y+z.) ergibt.

2. Als nächstes berechnen wir (vecs f(x,y,z)) und (vecs ∇g(x,y,z):) [egin{align*} vecs ∇f (x,y,z)&=⟨2x,2y,2z⟩ [5pt] vecs ∇g(x,y,z)&=⟨1,1,1⟩. end{align*}] Dies führt zu den Gleichungen [egin{align*} ⟨2x,2y,2z⟩&=λ⟨1,1,1⟩ [5pt] x+y+z&=1 end{align*}], das in der folgenden Form umgeschrieben werden kann: [egin{align*} 2x&=λ[5pt]2y&=λ [5pt]2z&=λ [5pt]x +y+z&=1. end{ausrichten*}]

3. Da jede der ersten drei Gleichungen (λ) auf der rechten Seite hat, wissen wir, dass (2x=2y=2z) und alle drei Variablen gleich sind. Einsetzen von (y=x) und (z=x) in die letzte Gleichung ergibt (3x=1,), also (x=frac{1}{3}) und (y= frac{1}{3}) und (z=frac{1}{3}), was einem kritischen Punkt auf der Randbedingungskurve entspricht.

4. Dann berechnen wir (f) am Punkt (left(frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3} ight)) : [fleft(frac{1}{3},frac{1}{3},frac{1}{3} ight)=left(frac{1}{3} ight )^2+left(frac{1}{3} ight)^2+left(frac{1}{3} ight)^2=frac{3}{9}=frac{ 1}{3}] Daher ist ein mögliches Extremum der Funktion (frac{1}{3}). Um zu überprüfen, ob es sich um ein Minimum handelt, wählen Sie andere Punkte, die die Randbedingung von beiden Seiten des oben erhaltenen Punktes erfüllen, und berechnen Sie (f) an diesen Punkten. Zum Beispiel [egin{align*} f(1,0,0)&=1^2+0^2+0^2=1 [5pt] f(0,−2,3)&= 0^2++(−2)^2+3^2=13. end{align*}] Diese beiden Werte sind größer als (frac{1}{3}), was uns vermuten lässt, dass das Extremum ein Minimum ist, abhängig von der gegebenen Einschränkung.

Übung (PageIndex{3}):

Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um den Mindestwert der Funktion zu finden

[f(x,y,z)=x+y+z onumber]

unter der Bedingung (x^2+y^2+z^2=1.)

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsstrategie für die Methode der Lagrange-Multiplikatoren mit einer Zielfunktion von drei Variablen.

Antworten

Die Auswertung von (f) an beiden erhaltenen Punkten ergibt [egin{align*} fleft(dfrac{sqrt{3}}{3},dfrac{sqrt{3}}{ 3},dfrac{sqrt{3}}{3} ight)&=dfrac{sqrt{3}}{3}+dfrac{sqrt{3}}{3}+dfrac{ sqrt{3}}{3}=sqrt{3} fleft(−dfrac{sqrt{3}}{3},−dfrac{sqrt{3}}{3},− dfrac{sqrt{3}}{3} ight)&=−dfrac{sqrt{3}}{3}−dfrac{sqrt{3}}{3}−dfrac{sqrt{3 }}{3}=−sqrt{3}end{align*}] Da die Einschränkung stetig ist, vergleichen wir diese Werte und schließen daraus, dass (f) ein relatives Minimum von (−sqrt{3 }) am Punkt (left(−dfrac{sqrt{3}}{3},−dfrac{sqrt{3}}{3},−dfrac{sqrt{3}}{ 3} ight)), vorbehaltlich der gegebenen Einschränkung.

Probleme mit zwei Einschränkungen

Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren kann auf Probleme mit mehr als einer Nebenbedingung angewendet werden. In diesem Fall ist die Zielfunktion (w) eine Funktion von drei Variablen:

[w=f(x,y,z)]

und unterliegt zwei Einschränkungen:

[g(x,y,z)=0 ; ext{und} ; h(x,y,z)=0.]

Es gibt zwei Lagrange-Multiplikatoren, (λ_1) und (λ_2), und das Gleichungssystem wird

[egin{align*} vecs f(x_0,y_0,z_0)&=λ_1vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2vecs ∇h(x_0,y_0,z_0) [5pt ] g(x_0,y_0,z_0)&=0[5pt] h(x_0,y_0,z_0)&=0 end{align*}]

Beispiel (PageIndex{4}): Lagrange-Multiplikatoren mit zwei Nebenbedingungen

Finden Sie die maximalen und minimalen Werte der Funktion

[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 onumber]

unter den Bedingungen (z^2=x^2+y^2) und (x+y−z+1=0.)

Lösung:

Folgen wir der Problemlösungsstrategie:

  1. Die Zielfunktion ist (f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2.) Um die Randbedingungsfunktionen zu bestimmen, subtrahieren wir zunächst (z^2) von beiden Seiten des erste Einschränkung, die (x^2+y^2−z^2=0) ergibt, also (g(x,y,z)=x^2+y^2−z^2). Die zweite Einschränkungsfunktion ist (h(x,y,z)=x+y−z+1.)
  2. Wir berechnen dann die Gradienten von (f,g,) und (h): [egin{align*} vecs ∇f(x,y,z)&=2xhat{mathbf i} +2yhat{mathbf j}+2zhat{mathbf k} [5pt] vecs ∇g(x,y,z)&=2xhat{mathbf i}+2yhat{ mathbf j}−2zhat{mathbf k} [5pt] vecs ∇h(x,y,z)&=hat{mathbf i}+hat{mathbf j}−hat{ mathbf k}. end{align*}] Die Gleichung (vecs ∇f(x,y,z)=λ_1vecs ∇g(x,y,z)+λ_2vecs ∇h(x,y,z) ) wird zu [2xhat{mathbf i}+2yhat{mathbf j}+2zhat{mathbf k}=λ_1(2xhat{mathbf i}+2yhat{mathbf j} −2zhat{mathbf k})+λ_2(hat{mathbf i}+hat{mathbf j}−hat{mathbf k}),] was umgeschrieben werden kann als [2xhat {mathbf i}+2yhat{mathbf j}+2zhat{mathbf k}=(2λ_1x+λ_2)hat{mathbf i}+(2λ_1y+λ_2)hat{mathbf j}− (2λ_1z+λ_2)hat{mathbf k}.] Als nächstes setzen wir die Koeffizienten von (hat{mathbf i}) und (hat{mathbf j}) gleich: [egin{align*}2x&=2λ_1x+λ_2 [5pt]2y&=2λ_1y+λ_2 [5pt]2z&=−2λ_1z−λ_2. end{align*}] Die beiden Gleichungen, die sich aus den Randbedingungen ergeben, sind (z^2=x^2+y^2) und (x+y−z+1=0). Die Kombination dieser Gleichungen mit den vorherigen drei Gleichungen ergibt [egin{align*} 2x&=2λ_1x+λ_2 [5pt]2y&=2λ_1y+λ_2 [5pt]2z&=−2λ_1z−λ_2 [5pt]z^ 2&=x^2+y^2 [5pt]x+y−z+1&=0. end{ausrichten*}]
  3. Die ersten drei Gleichungen enthalten die Variable (λ_2). Das Auflösen der dritten Gleichung nach (λ_2) und das Ersetzen in die erste und zweite Gleichung reduziert die Anzahl der Gleichungen auf vier: [egin{align*}2x&=2λ_1x−2λ_1z−2z [5pt] 2y&=2λ_1y− 2λ_1z−2z[5pt] z^2&=x^2+y^2[5pt] x+y−z+1&=0. end{align*}] Als nächstes lösen wir die erste und zweite Gleichung nach (λ_1). Die erste Gleichung ergibt (λ_1=dfrac{x+z}{x−z}), die zweite Gleichung (λ_1=dfrac{y+z}{y−z}). Wir setzen die rechte Seite jeder Gleichung gleich und multiplizieren kreuzweise: [egin{align*} dfrac{x+z}{x−z}&=dfrac{y+z}{y −z} [5pt](x+z)(y−z)&=(x−z)(y+z) [5pt]xy−xz+yz−z^2&=xy+xz−yz −z^2 [5pt]2yz−2xz&=0 [5pt]2z(y−x)&=0. end{align*}] Also entweder (z=0) oder (y=x). Wenn (z=0), dann wird die erste Einschränkung (0=x^2+y^2). Die einzige wirkliche Lösung dieser Gleichung ist (x=0) und (y=0), was das geordnete Tripel ((0,0,0)) ergibt. Dieser Punkt erfüllt die zweite Bedingung nicht, ist also keine Lösung. Als nächstes betrachten wir (y=x), was die Anzahl der Gleichungen auf drei reduziert: [egin{align*}y &= x [5pt] z^2 &= x^2 +y^2 [5pt] x + y -z+1&=0. end{align*} ] Wir setzen die erste Gleichung in die zweite und dritte Gleichung ein: [egin{align*} z^2 &= x^2 +x^2 [5pt] &= x+x -z+1 =0. end{align*} ] Dann lösen wir die zweite Gleichung nach (z), was (z=2x+1) ergibt. Wir setzen dies dann in die erste Gleichung ein, [egin{align*} z^2 &= 2x^2 [5pt] (2x^2 +1)^2 &= 2x^2 [5pt] 4x ^2 + 4x +1 &= 2x^2 [5pt] 2x^2 +4x +1 &=0, end{align*}] und löse mit der quadratischen Formel nach (x): [ x = dfrac{-4 pm sqrt{4^2 -4(2)(1)} }{2(2)} = dfrac{-4pm sqrt{8}}{4} = dfrac{-4 pm 2sqrt{2}}{4} = -1 pm dfrac{sqrt{2}}{2}. ] Erinnern Sie sich an (y=x), so dass dies auch nach (y) aufgelöst wird. Dann gilt (z=2x+1), also [z = 2x +1 =2 left( -1 pm dfrac{sqrt{2}}{2} ight) +1 = -2 + 1 pm sqrt{2} = -1 pm sqrt{2} . ] Daher gibt es zwei geordnete Triplettlösungen: [left( -1 + dfrac{sqrt{2}}{2} , -1 + dfrac{sqrt{2}}{2} , -1 + sqrt{2} ight) ; ext{und} ; left( -1 -dfrac{sqrt{2}}{2} , -1 -dfrac{sqrt{2}}{2} , -1 -sqrt{2} ight). ]
  4. Wir ersetzen (left(−1+dfrac{sqrt{2}}{2},−1+dfrac{sqrt{2}}{2}, −1+sqrt{2} ight) ) in (f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2), was [egin{align*} fleft( -1 + dfrac{sqrt {2}}{2}, -1 + dfrac{sqrt{2}}{2} , -1 + sqrt{2} ight) &= left( -1+dfrac{sqrt{2 }}{2} ight)^2 + left( -1 + dfrac{sqrt{2}}{2} ight)^2 + (-1+sqrt{2})^2 [ 5pt] &= left( 1-sqrt{2}+dfrac{1}{2} ight) + left( 1-sqrt{2}+dfrac{1}{2} ight) + (1 -2sqrt{2} +2) [5pt] &= 6-4sqrt{2}. end{align*}] Dann ersetzen wir (left(−1−dfrac{sqrt{2}}{2}, -1+dfrac{sqrt{2}}{2}, - 1+sqrt{2} ight)) in (f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2), was [egin{align*} f left(−1−dfrac{sqrt{2}}{2}, -1+dfrac{sqrt{2}}{2}, -1+sqrt{2} ight) &= left( -1-dfrac{sqrt{2}}{2} ight)^2 + left( -1 - dfrac{sqrt{2}}{2} ight)^2 + (-1- sqrt{2})^2 [5pt] &= left( 1+sqrt{2}+dfrac{1}{2} ight) + left( 1+sqrt{2}+dfrac {1}{2} ight) + (1 +2sqrt{2} +2) [5pt] &= 6+4sqrt{2}. end{align*}] (6+4sqrt{2}) ist der Maximalwert und (6−4sqrt{2}) ist der Minimalwert von (f(x,y, z)), vorbehaltlich der gegebenen Randbedingungen.

Übung (PageIndex{4})

Verwenden Sie die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, um den Mindestwert der Funktion zu finden

[f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2]

unter den Bedingungen ( 2x+y+2z=9) und (5x+5y+7z=29.)

Hinweis

Verwenden Sie die Problemlösungsstrategie für die Methode der Lagrange-Multiplikatoren mit zwei Nebenbedingungen.

Antworten

(f(2,1,2)=9) ist ein relatives Minimum von (f), vorbehaltlich der gegebenen Randbedingungen

Schlüssel Konzepte

  • Eine mit einer oder mehreren Nebenbedingungen kombinierte Zielfunktion ist ein Beispiel für ein Optimierungsproblem.
  • Zur Lösung von Optimierungsproblemen wenden wir die Methode der Lagrange-Multiplikatoren mit einer vierstufigen Problemlösungsstrategie an.

Schlüsselgleichungen

  • Methode der Lagrange-Multiplikatoren, eine Einschränkung

(vecs f(x,y)=λvecs ∇g(x,y))

(g(x,y)=k)

  • Methode der Lagrange-Multiplikatoren, zwei Einschränkungen

(vecs f(x_0,y_0,z_0)=λ_1vecs ∇g(x_0,y_0,z_0)+λ_2vecs ∇h(x_0,y_0,z_0))

(g(x_0,y_0,z_0)=0)

(h(x_0,y_0,z_0)=0)

Glossar

Zwang
eine Ungleichung oder Gleichung mit einer oder mehreren Variablen, die in einem Optimierungsproblem verwendet wird; die Einschränkung erzwingt eine Grenze für die möglichen Lösungen für das Problem
Lagrange-Multiplikator
die Konstante (oder Konstanten), die in der Methode der Lagrange-Multiplikatoren verwendet wird; im Fall einer Konstanten wird sie durch die Variable (λ) dargestellt
Methode der Lagrange-Multiplikatoren
eine Methode zur Lösung eines Optimierungsproblems unter einer oder mehreren Nebenbedingungen
Zielfunktion
die Funktion, die in einem Optimierungsproblem maximiert oder minimiert werden soll
Optimierungsproblem
Berechnung eines maximalen oder minimalen Wertes einer Funktion mehrerer Variablen, oft unter Verwendung von Lagrange-Multiplikatoren

Mitwirkende

  • Gilbert Strang (MIT) und Edwin „Jed“ Herman (Harvey Mudd) mit vielen beitragenden Autoren. Dieser Inhalt von OpenStax wird mit einer CC-BY-SA-NC 4.0-Lizenz lizenziert. Kostenlos herunterladen unter http://cnx.org.


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