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Komplexe Zahlen


Betrachten wir die Gleichung x² - 2x + 5 = 0:

Wir wissen, dass die Nummer gehört nicht zu den reellen Zahlen, da es keine quadrierte Zahl gibt -1. Damit die obige Gleichung eine Lösung hat, müssen wir die Menge der reellen Zahlen erweitern, um eine neue Menge mit dem Namen zu erhalten Reihe von komplexen Zahlen und vertreten durch .
Die Nummer wurde die imaginäre Einheit genannt und die Nummer erstellt ich, damit:

i² = -1

Bald

i =

Also die Lösungen der Gleichung x² - 2x + 5 = 0 in sind 1 - 2i und 1 + 2i.

Algebraische Form einer komplexen Zahl

Jede komplexe Zahl z kann in folgender Form geschrieben werden:

z =  a + bimit die, b

Diese Form wird als algebraische Form der komplexen Zahl bezeichnet. Beachten Sie, dass eine komplexe Zahl in diesem Format aus zwei Teilen besteht:

Wir zeigen an:
Re (z) = a
Im (z) = b

Beispiele

  • z = 3 + 5i        Re (z) = 3 und Im (z) = 5
  • z = -7 + 18i            Re (z) = -7 und Im (z) = 18
  • z = 53 - 25i     Re (z) = 53 und Im (z) = -25
  • Wenn der Realteil der komplexen Zahl null ist, lautet die Zahl rein imaginär.

Beispiel: z = 3i    Re (z) = 0 und Im (z) = 3

Beispiel

Bestimmen Sie den Wert von k so die komplexe Zahl z = (k - 4) + 3i sei rein imaginär:

Auflösung
Damit die Zahl rein imaginär ist, muss der Realteil null sein:

k - 4 = 0  k = 4

  • Wenn der Imaginärteil der komplexen Zahl null ist, lautet die Zahl königlich.

Beispiel: z = 10   Re (z) = 10 und Im (z) = 0

Beispiel

Bestimmen Sie den Wert von k so die komplexe Zahl z = 3+ (k² - 4) i sei eine reelle Zahl:

Auflösung
Damit die Zahl real ist, muss der Imaginärteil null sein:

k² - 4 = 0 k² = 4 k = -2 oder k = 2

Wir können jede komplexe Zahl zuordnen z = a + bi zu einem Punkt in der Argand-Gauss-Ebene. Auf der Abszissenachse (Realachse) ist der Realteil und auf der Ordinatenachse (Imaginärachse) der Immigrationsteil der komplexen Zahl dargestellt. Der Punkt P ist die anbringen oder geometrisches Bild von z.

Beispiel

Stellen Sie in der Argand-Gauß-Ebene die komplexen Zahlen dar:

Auflösung
Jeder Komplex ist ein Punkt auf der Ebene, dessen Abszisse der Realteil und dessen Ordinate der Imaginärteil ist:

Beachten Sie, dass reelle Zahlen auf der reellen Achse liegen, genauso wie reine imaginäre Zahlen auf der imaginären Achse liegen.

Hinweis: Das Feld für die Ordnungsbeziehung ist nicht für das Feld für komplexe Zahlen definiert, dh, es gibt keine komplexe Zahl, die größer oder kleiner als eine andere ist.

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Video: Die Komplexen Zahlen - Einführung Gehe auf & werde #EinserSchüler (Januar 2022).