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6: Funktionen - Mathematik

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6: Funktionen - Mathematik

6: Funktionen - Mathematik

Funktionen, Algebra, Algorithmen, Mengenlehre, Binärsystem

Abstrakt

Moderne Wissenschaft und zeitgenössische westliche Kultur sind ohne Mathematik auf hohem Niveau undenkbar. Quantitative Denkweisen, mathematische Ideen, algorithmische Techniken und symbolisches Denken durchdringen die Art und Weise, wie wir die Welt heute konzeptualisieren und mit ihr interagieren. Nach der Zahl und ihrer Verwendung in der Berechnung ist der Begriff der Funktion, der normalerweise in Form einer symbolischen Formel ausgedrückt wird, wahrscheinlich die am weitesten verbreitete mathematische Idee, die in wissenschaftlichen Anwendungen verwendet wird. Funktionen helfen, wichtige kausale Zusammenhänge zwischen verschiedenen Arten von Maßen in zahlreichen wissenschaftlichen Gebieten zu formulieren, und sie bieten eine Möglichkeit, verschiedene algebraische Strukturen in der fortgeschrittenen Mathematik zu vergleichen.

Unser Interesse an Funktionen wird hier ein anderes sein als in der Infinitesimalrechnung. Calculus stellt Funktionen graphisch dar und untersucht bestimmte Merkmale dieser Graphen wie lokale Extremwerte oder die Fläche unter einer Kurve, indem bestimmte spezielle Funktionsberechnungen durchgeführt werden. Hier werden wir stattdessen einige allgemeine algebraische Eigenschaften von Funktionen untersuchen, die in verschiedenen Anwendungen der diskreten Mathematik sowie in fortgeschritteneren Gebieten der Mathematik auftauchen.


6: Funktionen - Mathematik

Die sechs Gehirnfunktionen
Eine Erklärung der grundlegenden Gehirnfunktionen

Kreative Visualisierung:
Ihre visuell-räumliche Fähigkeit besteht in der Tat aus vielen verschiedenen Arten von Fähigkeiten, die von der Erkennung von Details über die Wahrnehmung der Anordnung dieser Details in Mustern bis hin zum Einpassen dieser Muster in eine Wissensdatenbank reichen, damit Sie wissen, was mit ihnen zu tun ist.

Wie Ihre anderen Fähigkeiten kann Ihre visuell-räumliche Intelligenz erhalten bleiben oder sich verschlechtern. Visuelle Nahaufnahmen können Sie herausfordern, diese Details auf ein größeres Muster zu projizieren und so Ihre von der rechten Gehirnhälfte abhängigen ganzheitlichen Bildgebungsfähigkeiten zu trainieren. Vertraute Muster mit ein oder zwei subtilen Details können Ihre Aufmerksamkeit für objektive Details auf die Probe stellen. Und Aufgaben, die die mentale Rotation dreidimensionaler visueller Objekte erfordern, können ein echter Brain-Buster sein, bis Sie lernen, den Dreh raus zu bekommen.

Gedächtnis und Lernen:
Das Gedächtnis ist ein Partner bei der Entwicklung aller anderen geistigen Fähigkeiten. Der Schlüssel zum Lernen ist die Fähigkeit des Gehirns, eine aktuelle Erfahrung in Code umzuwandeln und zu speichern, damit die Erfahrung später zu Ihrem Vorteil abgerufen werden kann. Das Gehirn codiert einige Arten von Sinneseingaben permanent ohne bewusste Anstrengung Ihrerseits. Es kann auch andere Arten von Daten speichern, weil Sie diese Daten bewusst wiederholt durch eine Probeschleife führen – was übrigens auch im Schlaf passieren kann.

Exekutive Planung:
Der vordere Teil des Kortex (die faltige äußere Hülle des Gehirns) ermöglicht es Ihnen, Ziele vorherzusehen und die notwendigen Schritte zu unternehmen, um Ihre Pläne auszuführen. Als jüngster Teil des Gehirns beherbergen die Frontallappen auch die fragilsten Teile unserer Identität und unterstützen die Fähigkeiten, die die bewussteste Anstrengung und Übung erfordern, wenn Sie sie erhalten möchten.

Die Kehrseite der Zerbrechlichkeit von Exekutivfunktionen ist, dass sie auch am formbarsten und durch Übung am besten verbesserungsfähig sind. Der beste Weg, um ein Experte darin zu sein, Informationen zu organisieren und zu Ihrem Vorteil zu nutzen, besteht darin, daran zu arbeiten. Da Ihre Frontallappenfunktionen so bewusst zugänglich sind, ist dies eine einfachere Angelegenheit – solange Sie bereit sind, sich anzustrengen – als beispielsweise zu lernen, Ihre vom Hirnstamm gesteuerten Körperrhythmen anzupassen.

Sprache und Mathematik:
Unser Spracherwerb im Säuglingsalter ist so instinktiv und automatisch, dass wir ihn manchmal für selbstverständlich halten. Jüngste Beweise zeigen uns, dass die lebenslange Bereitschaft, die Grenzen unserer sprachlichen Fähigkeiten zu erweitern, dazu beiträgt, dass die dendritischen Zweige unserer Gehirnzelle nicht verkümmern und sogar Alzheimer vorbeugen kann.

Fast alle von uns fallen in den gleichen Bereich der grundlegenden mathematischen Fähigkeiten. Warum vermeiden dann so viele von uns Kopfrechnen und Mathe-Spiele mit der Ausrede, dass wir einfach „nicht gut in Mathe“ sind? Aber diejenigen von uns, die Mathematik für etwas halten, in dem wir einfach nicht gut sind, neigen dazu, die mentalen Berechnungen anderen zu überlassen. Indem wir uns erlauben, uns in diese Art von Muster einzugewöhnen, lassen wir unsere mathematische Schärfe und allgemeine geistige Wachheit nach. Genau aus diesem Grund sind die meisten von uns, die wirklich „in Mathe nicht gut“ sind, so geworden – weil wir uns mittlerweile wohl fühlen, so über uns selbst zu denken.

Emotionale Reaktion:
Die Neurowissenschaft enthüllt die Loci im Gehirn unserer emotionalen Fähigkeiten und die Nervenbahnen, die Emotionen mit den „intellektuellen“ Funktionen des Geistes verbinden. Emotionen sind eng mit der Kognition und der Aufrechterhaltung der Gesundheit unserer Gehirnzellen sowie des Immunsystems unseres Körpers verbunden.

Soziale Interaktion:
Soziale Interaktion ist eine Fähigkeit, die Sie vielleicht nicht als „mental“ bezeichnen, aber Sie können sie wirklich nicht ignorieren, wenn Sie Ihre Gehirnleistung steigern und die Wirksamkeit Ihrer anderen mentalen Fähigkeiten maximieren möchten. Einige der interessantesten neueren Hirnforschungen haben uns gezeigt, wie soziale Fähigkeiten mit all den anderen traditionellen Intelligenzmaßen verknüpft sind. Eine Person kann einen messerscharfen logischen Scharfsinn haben und dennoch nicht in der Lage sein, diese Fähigkeit zu nutzen, um logische Lebensentscheidungen zu treffen oder sich sogar an produktiven sozialen Interaktionen zu beteiligen. Auch die soziale Interaktion ist neben mentaler Stimulation und körperlicher Betätigung eine der drei Säulen einer sogenannten „Enriched Environment“. Dies ist die Art von Umgebung, die dazu dient, alle kognitiven Fähigkeiten fit zu halten, die Produktion neuer Gehirnzellen anzukurbeln und sogar das Alzheimer-Risiko zu senken.


MASCHINEN MIT ONLINE-FUNKTION

Eine Reihe wunderbarer Online-Funktionsmaschinen entwickeln das gleiche Konzept. Die Schüler können einzeln, zu zweit oder als Klasse arbeiten, um die Rätsel der Funktionsmaschine zu lösen.


    Mit diesem Gerät zum Erraten von Mystery-Funktionsregeln kann der Benutzer die maximale Eingabezahl steuern, mit Optionen für manuelle oder Computereingaben und 1 oder 2 Funktionsregeln. Es erfordert fünf Eingaben/Ausgaben, bevor der Benutzer die Funktionsregel(en) erraten kann.
    Die drei Funktionsmaschinen bei Shodors Interaktivieren Website enthält Hilfe und Unterricht für Schüler und Lehrer:
      (mit 1 Regel) (mit 2 Regeln) (mit 2 Regeln mit positiven und negativen ganzen Zahlen)

    MATHEMATIK T STPM

    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.1

    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.2

    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.3

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    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.5

    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.6

    LÖSUNG FÜR SCHNELLCHECK 6.7

    LÖSUNG FÜR ÜBUNG 6.10

    LÖSUNG FÜR ÜBUNG 6.11


    Funktionen

    Auf dem Weg zur Stadt der Skepsis musste ich das Tal der Ambiguität durchqueren.

    Was ist eine Funktion? Der Begriff einer Funktion ist grundlegend für die Mathematik, aber wie viele grundlegende Aspekte der Mathematik wurde seine Definition erst vor relativ kurzer Zeit festgelegt. Mathematiker benutzten Funktionen, ohne lange darüber nachzudenken, was Funktionen sind! Lass uns das korrigieren.

    Die Definition, die ich am liebsten verwende, ist die folgende:

    Definition. EIN Funktion aus dem Set zum Set ist eine eindeutige Regel, die jedem Element von . zuordnet ein Element von .

    Mit eindeutig meine ich, dass jeder hat nur ein Element von ihm zugeordnet. Dies mag offensichtlich erscheinen, aber tatsächlich gibt es einige interessante mathematische Operationen, die sich als etwas mehrdeutig herausstellen, zum Beispiel:

    Definition. Wir sagen das ist eine Quadratwurzel von Wenn .

    Es ist nicht schwer zu sehen, dass beides und sind Quadratwurzeln von , also der Ausdruck ``die Quadratwurzel von " ist eigentlich mehrdeutig. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, mit einer solchen Mehrdeutigkeit umzugehen: Wir könnten uns beispielsweise einfach mit dem Symbol begnügen , repräsentiert die Zwei-Elemente-Menge representing , aber dann die Quadratwurzel einer Zahl ist keine Zahl!. Der einfachste Weg besteht darin, es einfach durch Annahme auszuschließen, wie ich es mit der oben angegebenen Funktionsdefinition getan habe.

    Um den Begriff der Quadratwurzel zu funktionalisieren, gehen wir normalerweise wie folgt vor:

    Definition. Wir sagen das ist die Hauptquadratwurzel von , und schreibe , Wenn und .

    Das heißt, wenn es die beiden möglichen Optionen für die Quadratwurzel gibt, entscheiden wir uns immer für die positive. Dieser Begriff der "Quadratwurzel" ist nun eindeutig, d. h. eine Funktion.

    Verbinden wir diese Idee mit unserem Formalismus mit Beziehungen. Es ist klar, dass drückt eine Beziehung zwischen und , so dass wir hoffen können, dass unsere Arbeit an Beziehungen uns helfen wird, eine gute Definition von Funktion als einer Art von Beziehung zu entwickeln. Für eine Funktion von zu , wir werden Paare betrachten wollen , also unsere Beziehung (seien wir traditionell und nennen wir es ) ist eine Teilmenge von .

    Was würde es bedeuten, wenn die Regel mehrdeutig wäre? Es würde einige geben mit und , wo und sind ausgeprägt. Das ist, mehrdeutig sein bedeutet

    Aktivität. Schreiben Sie eine Verneinung des obigen logischen Satzes. Das bedeutet es für eindeutig zu sein.

    Aktivität. Wenn Ihre Ablehnung nur und , ändern Sie es mit logischen Fakten, sodass es a enthält .


    Komplexe Funktionen

    Praktische Anwendungen von Funktionen, deren Variablen komplexe Zahlen sind, sind nicht so einfach zu veranschaulichen, aber dennoch sehr umfangreich. Sie treten beispielsweise in der Elektrotechnik und Aerodynamik auf. Wenn die komplexe Variable in der Form dargestellt wird z = x + ichja, wo ich ist die imaginäre Einheit (die Quadratwurzel von −1) und x und ja sind reelle Variablen (sehen Abbildung ) ist es möglich, die komplexe Funktion in Real- und Imaginärteil aufzuspalten: F(z) = P(x, ja) + ichQ(x, ja).


    6: Funktionen - Mathematik

    Tabelle 12.10 Mathematische Funktionen

    Name Beschreibung
    ABS() Den absoluten Wert zurückgeben
    ACOS() Gibt den Arkuskosinus zurück
    WIE IN() Gibt den Arkussinus zurück
    EINE LOHE() Gibt den Arkustangens zurück
    ATAN2() , ATAN() Gibt den Arkustangens der beiden Argumente zurück
    CEIL() Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner als das Argument ist
    DECKE() Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner als das Argument ist
    CONV() Konvertieren Sie Zahlen zwischen verschiedenen Zahlenbasen
    COS() Kosinus zurückgeben
    KINDERBETT() Den Kotangens zurückgeben
    CRC32() Berechnen eines zyklischen Redundanzprüfwertes
    GRAD() Radiant in Grad umrechnen
    EXP() Potenzieren
    FUSSBODEN() Gibt den größten ganzzahligen Wert zurück, der nicht größer als das Argument ist
    LN() Gib den natürlichen Logarithmus des Arguments zurück
    PROTOKOLL() Gib den natürlichen Logarithmus des ersten Arguments zurück
    LOG10() Gibt den Logarithmus zur Basis 10 des Arguments zurück
    LOG2() Gib den Logarithmus zur Basis 2 des Arguments zurück
    MOD() Den Rest zurückgeben
    PI() Gibt den Wert von pi . zurück
    POW() Gibt das Argument mit der angegebenen Potenz zurück
    ENERGIE() Gibt das Argument mit der angegebenen Potenz zurück
    RADIAN () Rückgabeargument konvertiert in Bogenmaß
    ZUFALL() Gibt einen zufälligen Gleitkommawert zurück
    RUNDEN() Runde das Argument
    UNTERZEICHNEN() Gib das Vorzeichen des Arguments zurück
    SÜNDE() Gibt den Sinus des Arguments zurück
    SQRT() Gibt die Quadratwurzel des Arguments zurück
    BRÄUNEN() Gibt den Tangens des Arguments zurück
    KÜRZEN() Auf die angegebene Anzahl von Dezimalstellen kürzen

    Alle mathematischen Funktionen geben im Fehlerfall NULL zurück.

    Gibt den Absolutwert von . zurück x , oder NULL, wenn x ist Null .

    Der Ergebnistyp wird vom Argumenttyp abgeleitet. Dies hat zur Folge, dass ABS(-9223372036854775808) einen Fehler erzeugt, da das Ergebnis nicht in einem vorzeichenbehafteten BIGINT-Wert gespeichert werden kann.

    Diese Funktion kann mit BIGINT-Werten sicher verwendet werden.

    Gibt den Arkuskosinus von zurück x , d. h. der Wert, dessen Kosinus ist x . Gibt NULL zurück, wenn x liegt nicht im Bereich von -1 bis 1 .

    Gibt den Arkussinus von zurück x , d. h. der Wert, dessen Sinus ist x . Gibt NULL zurück, wenn x liegt nicht im Bereich von -1 bis 1 .

    Gibt den Arkustangens von zurück x , d. h. der Wert, dessen Tangens ist x .

    Gibt den Arkustangens der beiden Variablen zurück x und Ja . Es ist vergleichbar mit der Berechnung des Arkustangens von Ja / x , außer dass die Vorzeichen beider Argumente verwendet werden, um den Quadranten des Ergebnisses zu bestimmen.

    Gibt den kleinsten ganzzahligen Wert zurück, der nicht kleiner ist als x .

    Bei numerischen Argumenten mit exaktem Wert hat der Rückgabewert einen numerischen Typ mit exaktem Wert. Bei String- oder Gleitkomma-Argumenten hat der Rückgabewert einen Gleitkomma-Typ.

    Wandelt Zahlen zwischen verschiedenen Zahlenbasen um. Gibt eine Zeichenfolgendarstellung der Zahl zurück n , umgerechnet von Basis from_base zur Basis zur Basis . Gibt NULL zurück, wenn ein Argument NULL ist. Das Argument n wird als Integer interpretiert, kann aber auch als Integer oder String angegeben werden. Die minimale Basis ist 2 und die maximale Basis ist 36 . Ob from_base ist eine negative Zahl, n gilt als vorzeichenbehaftete Zahl. Andernfalls, n wird als unsigniert behandelt. CONV() arbeitet mit 64-Bit-Präzision.

    Gibt den Kosinus von zurück x , wo x wird im Bogenmaß angegeben.

    Gibt den Kotangens von zurück x .

    Berechnet einen zyklischen Redundanzprüfwert und gibt einen 32-Bit-Wert ohne Vorzeichen zurück. Das Ergebnis ist NULL, wenn das Argument NULL ist. Es wird erwartet, dass das Argument ein String ist und (wenn möglich) als einer behandelt wird, wenn dies nicht der Fall ist.

    Gibt das Argument zurück x , von Radiant in Grad umgerechnet.

    Gibt den Wert von zurück e (die Basis der natürlichen Logarithmen) potenziert mit x . Die Umkehrung dieser Funktion ist LOG() (nur mit einem einzigen Argument) oder LN() .

    Gibt den größten ganzzahligen Wert zurück, der nicht größer ist als x .

    Bei numerischen Argumenten mit exaktem Wert hat der Rückgabewert einen numerischen Typ mit exaktem Wert. Bei String- oder Gleitkomma-Argumenten hat der Rückgabewert einen Gleitkomma-Typ.

    Formatiert die Zahl x in ein Format wie '#,###,###.##' , gerundet auf D Dezimalstellen und gibt das Ergebnis als String zurück. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 12.8, „String-Funktionen und -Operatoren“.

    Diese Funktion kann verwendet werden, um eine hexadezimale Darstellung einer Dezimalzahl oder eines Strings zu erhalten, wobei die Art und Weise, wie dies geschieht, je nach Typ des Arguments variiert. Weitere Informationen finden Sie in der Beschreibung dieser Funktion in Abschnitt 12.8, „String-Funktionen und -Operatoren“.

    Gibt den natürlichen Logarithmus von zurück x das heißt die Basis- e Logarithmus von x . Ob x kleiner oder gleich 0 ist, wird NULL zurückgegeben.

    Diese Funktion ist gleichbedeutend mit LOG( x ) . Die Umkehrung dieser Funktion ist die EXP()-Funktion.

    Bei Aufruf mit einem Parameter liefert diese Funktion den natürlichen Logarithmus von x . Ob x kleiner oder gleich 0 ist, wird NULL zurückgegeben.

    Die Umkehrung dieser Funktion (bei Aufruf mit einem einzigen Argument) ist die Funktion EXP().

    Bei Aufruf mit zwei Parametern liefert diese Funktion den Logarithmus von x zur Basis B . Ob x kleiner oder gleich 0 ist oder wenn B kleiner oder gleich 1 ist, wird NULL zurückgegeben.

    Gibt den Logarithmus zur Basis 2 von zurück x .

    LOG2() ist nützlich, um herauszufinden, wie viele Bits eine Zahl zum Speichern benötigt. Diese Funktion entspricht dem Ausdruck LOG( x ) / LOG(2) .

    Gibt den Logarithmus zur Basis 10 von zurück x .

    Modulo-Betrieb. Gibt den Rest von zurück n geteilt durch m .

    Diese Funktion kann mit BIGINT-Werten sicher verwendet werden.

    MOD() funktioniert auch bei Werten, die einen Bruchteil haben und gibt nach der Division den genauen Rest zurück:

    Gibt den Wert von π (pi) zurück. Die Standardanzahl der angezeigten Dezimalstellen ist sieben, aber MySQL verwendet intern den vollen Wert doppelter Genauigkeit.

    Gibt den Wert von zurück x zur Macht erhoben Ja .

    Gibt das Argument zurück x , von Grad in Bogenmaß umgerechnet.

    π Radiant entspricht 180 Grad.

    Gibt einen zufälligen Gleitkommawert zurück v im Bereich 0 <= v < 1.0 . Um eine zufällige ganze Zahl zu erhalten R im bereich ich <= R < J , verwenden Sie den Ausdruck BODEN( ich + RAND() * ( Jich )). Um beispielsweise eine zufällige ganze Zahl im Bereich von 7 <= . zu erhalten R < 12 , verwenden Sie die folgende Anweisung:

    Wenn ein ganzzahliges Argument n angegeben ist, wird er als Seed-Wert verwendet:

    Mit einem konstanten Initialisierungsargument wird der Seed einmal bei der Vorbereitung der Anweisung vor der Ausführung initialisiert.

    Bei einem nicht konstanten Initialisierungsargument (wie einem Spaltennamen) wird der Seed mit dem Wert für jeden Aufruf von RAND() initialisiert.

    Eine Implikation dieses Verhaltens ist, dass für gleiche Argumentwerte RAND( n ) gibt jedes Mal denselben Wert zurück und erzeugt somit eine wiederholbare Folge von Spaltenwerten. Im folgenden Beispiel ist die von RAND(3) erzeugte Wertefolge an beiden Stellen, an denen sie auftritt, gleich.

    RAND() in einer WHERE-Klausel wird für jede Zeile (bei Auswahl aus einer Tabelle) oder Zeilenkombination (bei Auswahl aus einem Mehrtabellen-Join) ausgewertet. Daher ist RAND() für Optimierungszwecke kein konstanter Wert und kann nicht für Indexoptimierungen verwendet werden. Weitere Informationen finden Sie in Abschnitt 8.2.1.17, „Funktionsrufoptimierung“.

    Die Verwendung einer Spalte mit RAND()-Werten in einer ORDER BY- oder GROUP BY-Klausel kann zu unerwarteten Ergebnissen führen, da für jede Klausel ein RAND()-Ausdruck mehrmals für dieselbe Zeile ausgewertet werden kann, wobei jedes Mal ein anderes Ergebnis zurückgegeben wird. Wenn das Ziel darin besteht, Zeilen in zufälliger Reihenfolge abzurufen, können Sie eine Anweisung wie diese verwenden:

    Um eine Zufallsstichprobe aus einer Reihe von Zeilen auszuwählen, kombinieren Sie ORDER BY RAND() mit LIMIT :

    RAND() soll kein perfekter Zufallsgenerator sein. Es ist eine schnelle Möglichkeit, Zufallszahlen bei Bedarf zu generieren, die zwischen Plattformen für dieselbe MySQL-Version portierbar ist.

    Diese Funktion ist für die anweisungsbasierte Replikation unsicher. Eine Warnung wird protokolliert, wenn Sie diese Funktion verwenden, wenn binlog_format auf STATEMENT gesetzt ist.

    Rundet das Argument ab x zu D Nachkommastellen. Der Rundungsalgorithmus hängt vom Datentyp von . ab x . D Standardwert 0, wenn nicht angegeben. D kann negativ sein D Stellen links vom Dezimalpunkt des Wertes x Null zu werden. Der maximale Absolutwert für D 30 ist, werden alle Ziffern über 30 (oder -30) abgeschnitten.

    Der Rückgabewert hat den gleichen Typ wie das erste Argument (vorausgesetzt, es handelt sich um Integer, Double oder Dezimal). Dies bedeutet, dass bei einem Integer-Argument das Ergebnis eine Ganzzahl ist (keine Dezimalstellen):

    ROUND() verwendet je nach Typ des ersten Arguments die folgenden Regeln:

    Für Zahlen mit genauen Werten verwendet ROUND() die Regel „Halbe von Null weg runden“ oder „In Richtung nächster runden“-Regel: Ein Wert mit einem Bruchteil von 0,5 oder größer wird auf die nächste ganze Zahl aufgerundet, wenn sie positiv ist, oder auf nächste ganze Zahl, wenn negativ. (Mit anderen Worten, er wird von Null weggerundet.) Ein Wert mit einem Bruchteil kleiner als 0,5 wird auf die nächste ganze Zahl abgerundet, wenn er positiv ist, oder auf die nächste ganze Zahl, wenn er negativ ist.

    Bei Näherungswertzahlen hängt das Ergebnis von der C-Bibliothek ab. Auf vielen Systemen bedeutet dies, dass ROUND() die „Runde auf die nächste gerade“ Regel verwendet: Ein Wert mit einem Bruchteil genau auf halbem Weg zwischen zwei ganzen Zahlen wird auf die nächste gerade ganze Zahl gerundet.

    Das folgende Beispiel zeigt, wie sich das Runden bei genauen und ungefähren Werten unterscheidet:

    Gibt das Vorzeichen des Arguments als -1 , 0 oder 1 zurück, je nachdem, ob x negativ, null oder positiv ist.

    Gibt den Sinus von zurück x , wo x wird im Bogenmaß angegeben.

    Gibt die Quadratwurzel einer nichtnegativen Zahl zurück x .

    Gibt den Tangens von zurück x , wo x wird im Bogenmaß angegeben.

    Gibt die Zahl zurück x , abgeschnitten auf D Nachkommastellen. Ob D 0 ist, hat das Ergebnis keinen Dezimalpunkt oder Bruchteil. D kann negativ sein D Stellen links vom Dezimalpunkt des Wertes x Null zu werden.


    6: Funktionen - Mathematik

    Wir müssen nun zum zweiten Thema dieses Kapitels übergehen. Bevor wir das tun, müssen wir uns jedoch um eine schnelle Definition kümmern.

    Definition der Beziehung

    EIN Beziehung ist eine Menge geordneter Paare.

    Dies scheint eine seltsame Definition zu sein, aber wir brauchen sie für die Definition einer Funktion (die das Hauptthema dieses Abschnitts ist). Bevor wir jedoch die Definition einer Funktion geben, wollen wir sehen, ob wir verstehen können, was eine Relation ist.

    Denken Sie noch einmal an Beispiel 1 im Abschnitt „Grafiken“ dieses Kapitels zurück. In diesem Beispiel haben wir eine Menge geordneter Paare konstruiert, mit denen wir den Graphen von (y = echts)^2> - 4). Hier sind die bestellten Paare, die wir verwendet haben.

    Alle folgenden sind dann Relationen, weil sie aus einer Menge geordneter Paare bestehen.

    Es gibt natürlich noch viele weitere Relationen, die wir aus der obigen Liste der geordneten Paare bilden könnten, aber wir wollten nur ein paar mögliche Relationen auflisten, um einige Beispiele zu geben. Beachten Sie auch, dass wir auch andere geordnete Paare aus der Gleichung erhalten und diese zu einer der obigen Beziehungen hinzufügen könnten, wenn wir wollten.

    An dieser Stelle fragen Sie sich wahrscheinlich, warum uns Beziehungen wichtig sind, und das ist eine gute Frage. Einige Beziehungen sind sehr speziell und werden auf fast allen Ebenen der Mathematik verwendet. Die folgende Definition sagt uns, welche Relationen diese speziellen Relationen sind.

    Definition einer Funktion

    EIN Funktion ist eine Relation, bei der jedem Wert aus der Menge der ersten Komponenten der geordneten Paare genau ein Wert aus der Menge der zweiten Komponenten des geordneten Paares zugeordnet ist.

    Okay, das ist ein Mund voll. Mal sehen, ob wir herausfinden können, was es bedeutet. Schauen wir uns das folgende Beispiel an, das uns hoffentlich hilft, all dies herauszufinden.

    Aus diesen geordneten Paaren haben wir die folgenden Sätze erster Komponenten (d.h. die erste Zahl von jedem bestellten Paar) und zweite Komponenten (d.h. die zweite Zahl von jedem bestellten Paar).

    Beachten Sie für den Satz der zweiten Komponenten, dass die „-3“ in zwei geordneten Paaren vorkam, aber wir haben sie nur einmal aufgelistet.

    Um zu sehen, warum diese Beziehung eine Funktion ist, wählen Sie einfach einen beliebigen Wert aus der Menge der ersten Komponenten aus. Gehen Sie nun zurück zu der Relation und finden Sie jedes geordnete Paar, in dem diese Zahl die erste Komponente ist, und listen Sie alle zweiten Komponenten dieser geordneten Paare auf. Die Liste der zweiten Komponenten besteht aus genau einem Wert.

    Wählen wir zum Beispiel 2 aus der Menge der ersten Komponenten. Aus der Beziehung sehen wir, dass es genau ein geordnetes Paar mit 2 als erster Komponente gibt,(left( <2, - 3> ight)). Daher ist die Liste der zweiten Komponenten (d.h. die Liste der Werte aus der Menge der zweiten Komponenten), die mit 2 verbunden sind, ist genau eine Zahl, -3.

    Beachten Sie, dass es uns egal ist, dass -3 die zweite Komponente eines zweiten geordneten Pars in der Beziehung ist. Das ist durchaus akzeptabel. Wir möchten nur nicht, dass es mehr als ein bestelltes Paar mit 2 als erste Komponente gibt.

    Wir haben uns hier für unser kurzes Beispiel einen einzelnen Wert aus dem Satz der ersten Komponenten angesehen, aber das Ergebnis ist für alle anderen Optionen gleich. Unabhängig von der Wahl der ersten Komponenten wird ihr genau eine zweite Komponente zugeordnet sein.

    Daher ist diese Beziehung eine Funktion.

    Um wirklich ein Gefühl dafür zu bekommen, was uns die Definition einer Funktion sagt, sollten wir uns wahrscheinlich auch ein Beispiel für eine Relation ansehen, die keine Funktion ist.

    Machen Sie sich keine Gedanken darüber, woher diese Beziehung stammt. Es ist nur eines, das wir für dieses Beispiel erfunden haben.

    Hier ist die Liste der ersten und zweiten Komponenten

    Aus der Menge der ersten Komponenten wählen wir 6. Wenn wir nun zur Relation gehen, sehen wir, dass es zwei geordnete Paare mit 6 als erster Komponente gibt: (left( <6,10> ight)) und (links( <6, - 4> echts)). Die Liste der zweiten Komponenten, die mit 6 verbunden sind, ist dann: 10, -4.

    Die Liste der zweiten Komponenten, die mit 6 verbunden sind, hat zwei Werte, und daher ist diese Beziehung keine Funktion.

    Beachten Sie, dass bei Auswahl von -7 oder 0 aus der Menge der ersten Komponenten nur eine Zahl in der Liste der zweiten Komponenten vorhanden ist, die mit jeder verknüpft sind. Dies spielt keine Rolle. Die Tatsache, dass wir sogar einen einzigen Wert in der Menge der ersten Komponenten mit mehr als einer zugeordneten zweiten Komponente gefunden haben, reicht aus, um zu sagen, dass diese Beziehung keine Funktion ist.

    Als letzten Kommentar zu diesem Beispiel möchten wir anmerken, dass wir eine Funktion haben, wenn wir das erste und/oder das vierte geordnete Paar aus der Relation entfernen würden!

    Hoffentlich haben Sie also zumindest ein Gefühl dafür, was uns die Definition einer Funktion sagt.

    Nachdem wir Sie nun gezwungen haben, die eigentliche Definition einer Funktion durchzugehen, geben wir eine weitere „funktionierende“ Definition einer Funktion an, die für das, was wir hier tun, viel nützlicher ist.

    Die eigentliche Definition arbeitet auf einer Relation. Wie wir jedoch bei den vier Relationen, die wir vor der Definition einer Funktion angegeben haben, und der Relation, die wir in Beispiel 1 verwendet haben, gesehen haben, erhalten wir die Relationen oft aus einer Gleichung.

    Es ist wichtig zu beachten, dass nicht alle Beziehungen aus Gleichungen stammen! Die Relation aus dem zweiten Beispiel war zum Beispiel nur eine Reihe von geordneten Paaren, die wir für das Beispiel aufgeschrieben haben, und stammte aus keiner Gleichung. Dies kann auch bei Relationen zutreffen, die Funktionen sind. Sie müssen nicht aus Gleichungen stammen.

    Die Funktionen, die wir in diesem Kurs verwenden werden, stammen jedoch alle aus Gleichungen. Schreiben wir daher eine Definition einer Funktion auf, die diese Tatsache anerkennt.

    Bevor wir die „funktionierende“ Definition einer Funktion angeben, müssen wir darauf hinweisen, dass dies NICHT die eigentliche Definition einer Funktion ist, die oben angegeben wurde. Dies ist einfach eine gute „Arbeitsdefinition“ einer Funktion, die Dinge mit den Arten von Funktionen verknüpft, mit denen wir in diesem Kurs arbeiten werden.

    „Arbeitsdefinition“ der Funktion

    EIN Funktion ist eine Gleichung, für die jedes (x), das in die Gleichung eingesetzt werden kann, genau ein (y) aus der Gleichung ergibt.

    Da ist es. Das ist die Definition von Funktionen, die wir verwenden werden und die wahrscheinlich einfacher zu entschlüsseln sein wird, was es bedeutet.

    Bevor wir dies untersuchen, sei noch ein wenig darauf hingewiesen, dass wir in der Definition den Ausdruck „(x) that can pluged in“ verwendet haben. Dies deutet darauf hin, dass nicht alle (x) in eine Gleichung eingefügt werden können, und dies ist tatsächlich richtig. Wir werden am Ende dieses Abschnitts noch einmal darauf zurückkommen und dies näher besprechen, aber an dieser Stelle denken Sie nur daran, dass wir nicht durch Null dividieren können und wenn wir reelle Zahlen aus der Gleichung wollen, können wir nicht die Quadratwurzel von ziehen eine negative Zahl. Mit diesen beiden Beispielen ist also klar, dass wir nicht immer jedes (x) in jede Gleichung einsetzen können.

    Außerdem gehen wir bei Funktionen immer davon aus, dass sowohl (x) als auch (y) reelle Zahlen sind. Mit anderen Worten, wir werden für eine Weile vergessen, dass wir etwas über komplexe Zahlen wissen, während wir uns mit diesem Abschnitt befassen.

    Okay, damit kommen wir zurück zur Definition einer Funktion und sehen uns einige Beispiele für Gleichungen an, die Funktionen sind, und Gleichungen, die keine Funktionen sind.

    Die „funktionierende“ Definition der Funktion besagt, dass, wenn wir alle möglichen Werte von (x) nehmen und sie in die Gleichung einsetzen und nach (y) auflösen, wir für jeden Wert von (x .) genau einen Wert erhalten ). In dieser Phase des Spiels kann es ziemlich schwierig sein, tatsächlich zu zeigen, dass eine Gleichung eine Funktion ist, also werden wir uns hauptsächlich durch sie hindurchreden. Andererseits ist es oft ganz einfach zu zeigen, dass eine Gleichung keine Funktion ist.

    Wir müssen also zeigen, dass wir, egal welches (x) wir in die Gleichung einsetzen und nach (y) auflösen, nur einen einzigen Wert von (y) erhalten. Beachten Sie auch, dass der Wert von (y) wahrscheinlich für jeden Wert von (x) unterschiedlich sein wird, obwohl dies nicht unbedingt der Fall sein muss.

    Beginnen wir damit, indem wir einige Werte von (x) einfügen und sehen, was passiert.

    [Startx & = - 4:hspace <0.25in>& y & = 5left( < - 4> ight) + 1 = - 20 + 1 = - 19 x & = 0:hspace <0.25in> & y & = 5left( 0 ight) + 1 = 0 + 1 = 1 x & = 10:hspace <0.25in>& y & = 5left( <10> ight) + 1 = 50 + 1 = 51ende]

    Für jeden dieser Werte von (x) erhalten wir also einen einzelnen Wert von (y) aus der Gleichung. Dies reicht nicht aus, um zu behaupten, dass dies eine Funktion ist. Um offiziell zu beweisen, dass dies eine Funktion ist, müssen wir zeigen, dass dies unabhängig davon funktioniert, welchen Wert von (x) wir in die Gleichung einsetzen.

    Natürlich können wir nicht alle möglichen Werte von (x) in die Gleichung einsetzen. Das ist physikalisch einfach nicht möglich. Gehen wir jedoch zurück und sehen uns die an, die wir eingefügt haben. Für jedes (x) haben wir beim Einstecken zuerst (x) mit 5 multipliziert und dann 1 dazu addiert. Wenn wir nun eine Zahl mit 5 multiplizieren, erhalten wir einen einzelnen Wert aus der Multiplikation. Ebenso erhalten wir nur einen einzelnen Wert, wenn wir 1 zu einer Zahl addieren. Daher erscheint es plausibel, dass wir aufgrund der Operationen beim Einsetzen von (x) in die Gleichung nur einen einzigen Wert von (y) aus der Gleichung erhalten.

    Diese Gleichung ist also eine Funktion.

    Setzen wir wieder ein paar Werte von (x) ein und lösen nach (y) auf, um zu sehen, was passiert.

    [Startx & = - 1:hspace <0.25in>& y = ight)^2> + 1 = 1 + 1 = 2 x & = 3:hspace <0.25in> & y = + 1 = 9 + 1 = 10end]

    Lassen Sie uns nun ein wenig darüber nachdenken, was wir mit den Auswertungen gemacht haben. Zuerst haben wir den Wert von (x) quadriert, den wir eingegeben haben. Wenn wir eine Zahl quadrieren, gibt es nur einen möglichen Wert. Wir addieren dann 1 dazu, aber auch dies ergibt einen einzelnen Wert.

    Es scheint also, dass diese Gleichung auch eine Funktion ist.

    Beachten Sie, dass es in Ordnung ist, den gleichen (y)-Wert für verschiedene (x) zu erhalten. Beispielsweise,

    [x = - 3:hspace<0.25in>y = ight)^2> + 1 = 9 + 1 = 10]

    Wir können einfach nicht mehr als ein (y) aus der Gleichung herausbekommen, nachdem wir (x) eingesetzt haben.

    Wie bei den vorherigen beiden Gleichungen setzen wir ein paar Werte von (x) ein, lösen nach (y) auf und sehen, was wir erhalten.

    [Startx & = 3:hspace <0,25in>& & = 3 + 1 = 4hspace<0,25in>Rightarrow hspace <0,25in>y = pm 2 x & = - 1:hspace <0,25in>& & = - 1 + 1 = 0hspace <0,25in>Rightarrow hspace<0,25in>y = 0 x & = 10:hspace <0,25in>& & = 10 + 1 = 11hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>y = pm sqrt <11>end]

    Denken Sie daran, dass wir nach (y) auflösen, und das bedeutet, dass wir im ersten und letzten Fall oben tatsächlich zwei verschiedene (y)-Werte aus (x) erhalten und somit diese Gleichung ist KEINE Funktion.

    Beachten Sie, dass wir Werte von (x) haben können, die ein einzelnes (y) ergeben, wie wir oben gesehen haben, aber das spielt keine Rolle. Wenn auch nur ein Wert von (x) beim Lösen mehr als einen Wert von (y) ergibt, ist die Gleichung keine Funktion.

    Das bedeutet wirklich, dass wir nicht weiter als bei der ersten Auswertung gehen mussten, da dies mehrere Werte von (y) ergab.

    In diesem Fall verwenden wir die im vorherigen Teil gelernte Lektion und sehen, ob wir einen Wert von (x) finden können, der beim Lösen mehr als einen Wert von (y) ergibt. Denn wir haben ein y 2 im Problem sollte dies nicht allzu schwierig sein, da das Lösen schließlich die Verwendung der Quadratwurzeleigenschaft bedeutet, die mehr als einen Wert von (y) ergibt.

    [x = 0:hspace<0,25in> <0^2>+ = 4hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in> = 4hspace <0,25in>Rightarrow hspace <0,25in>y = pm ,2]

    Diese Gleichung ist also keine Funktion. Denken Sie daran, dass dies aus dem vorherigen Abschnitt die Kreisgleichung ist. Kreise sind niemals Funktionen.

    Hoffentlich haben diese Beispiele Ihnen ein besseres Gefühl dafür gegeben, was eine Funktion eigentlich ist.

    Wir müssen jetzt zu etwas namens Funktionsnotation. Die Funktionsnotation wird in den meisten verbleibenden Kapiteln dieses Kurses häufig verwendet, daher ist es wichtig, sie zu verstehen.

    Beginnen wir mit der folgenden quadratischen Gleichung.

    Wir können einen ähnlichen Prozess wie in den vorherigen Beispielen verwenden, um uns davon zu überzeugen, dass dies eine Funktion ist. Da dies eine Funktion ist, bezeichnen wir sie wie folgt:

    Also haben wir (y) durch die Notation (fleft( x ight)) ersetzt. Dies wird als „f von (x)“ gelesen. Beachten Sie, dass das hier verwendete (f) nichts Besonderes ist. Wir hätten einfach eines der folgenden verwenden können:

    [gleft( x ight) = - 5x + 3,,,hspace<0.25in>hleft( x ight) = - 5x + 3hspace<0.25in>Rleft( x ight) = - 5x + 3]

    Der von uns verwendete Buchstabe spielt keine Rolle. Wichtig ist der „(left( x ight))“-Teil. Der Buchstabe in der Klammer muss mit der Variablen auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens übereinstimmen.

    Es ist sehr wichtig zu beachten, dass (fleft( x ight)) eigentlich nichts anderes ist als eine wirklich schicke Schreibweise von (y). Wenn Sie das im Hinterkopf behalten, werden Sie vielleicht feststellen, dass der Umgang mit der Funktionsnotation etwas einfacher wird.

    Das ist auch NICHT eine Multiplikation von (f) mit (x)! Dies ist einer der häufigsten Fehler, die Menschen machen, wenn sie sich zum ersten Mal mit Funktionen beschäftigen. Dies ist nur eine Notation, die verwendet wird, um Funktionen zu bezeichnen.

    Als nächstes müssen wir darüber reden evaluating functions. Evaluating a function is really nothing more than asking what its value is for specific values of (x). Another way of looking at it is that we are asking what the (y) value for a given (x) is.

    Evaluation is really quite simple. Let’s take the function we were looking at above

    and ask what its value is for (x = 4). In terms of function notation we will “ask” this using the notation (fleft( 4 ight)). So, when there is something other than the variable inside the parenthesis we are really asking what the value of the function is for that particular quantity.

    Now, when we say the value of the function we are really asking what the value of the equation is for that particular value of (x). Here is (fleft( 4 ight)).

    [fleft( 4 ight) = - 5left( 4 ight) + 3 = 16 - 20 + 3 = - 1]

    Notice that evaluating a function is done in exactly the same way in which we evaluate equations. All we do is plug in for (x) whatever is on the inside of the parenthesis on the left. Here’s another evaluation for this function.

    [fleft( < - 6> ight) = ight)^2> - 5left( < - 6> ight) + 3 = 36 + 30 + 3 = 69]

    So, again, whatever is on the inside of the parenthesis on the left is plugged in for (x) in the equation on the right. Let’s take a look at some more examples.

    1. (fleft( 3 ight)) and (gleft( 3 ight))
    2. (fleft( < - 10> ight)) and (gleft( < - 10> ight))
    3. (fleft( 0 ight))
    4. (fleft( t ight))
    5. (fleft( ight)) and (fleft( ight))
    6. (fleft( <> ight))
    7. (gleft( <- 5> ight))

    Okay we’ve got two function evaluations to do here and we’ve also got two functions so we’re going to need to decide which function to use for the evaluations. The key here is to notice the letter that is in front of the parenthesis. For (fleft( 3 ight)) we will use the function (fleft( x ight)) and for (gleft( 3 ight)) we will use (gleft( x ight)). In other words, we just need to make sure that the variables match up.

    Here are the evaluations for this part.

    [eginfleft( 3 ight) & = - 2left( 3 ight) + 8 = 9 - 6 + 8 = 11 gleft( 3 ight) & = sqrt <3 + 6>= sqrt 9 = 3end]

    This one is pretty much the same as the previous part with one exception that we’ll touch on when we reach that point. Here are the evaluations.

    [fleft( < - 10> ight) = ight)^2> - 2left( < - 10> ight) + 8 = 100 + 20 + 8 = 128]

    Make sure that you deal with the negative signs properly here. Now the second one.

    We’ve now reached the difference. Recall that when we first started talking about the definition of functions we stated that we were only going to deal with real numbers. In other words, we only plug in real numbers and we only want real numbers back out as answers. So, since we would get a complex number out of this we can’t plug -10 into this function.

    [fleft( 0 ight) = - 2left( 0 ight) + 8 = 8]

    Again, don’t forget that this isn’t multiplication! For some reason students like to think of this one as multiplication and get an answer of zero. Be careful.

    The rest of these evaluations are now going to be a little different. As this one shows we don’t need to just have numbers in the parenthesis. However, evaluation works in exactly the same way. We plug into the (x)’s on the right side of the equal sign whatever is in the parenthesis. In this case that means that we plug in (t) for all the (x)’s.

    Note that in this case this is pretty much the same thing as our original function, except this time we’re using (t) as a variable.

    Now, let’s get a little more complicated, or at least they appear to be more complicated. Things aren’t as bad as they may appear however. We’ll evaluate (fleft( ight)) first. This one works exactly the same as the previous part did. All the (x)’s on the left will get replaced with (t + 1). We will have some simplification to do as well after the substitution.

    Be careful with parenthesis in these kinds of evaluations. It is easy to mess up with them.

    Now, let’s take a look at (fleft( ight)). With the exception of the (x) this is identical to (fleft( ight)) and so it works exactly the same way.

    Do not get excited about the fact that we reused (x)’s in the evaluation here. In many places where we will be doing this in later sections there will be (x)’s here and so you will need to get used to seeing that.

    Again, don’t get excited about the (x)’s in the parenthesis here. Just evaluate it as if it were a number.

    One more evaluation and this time we’ll use the other function.

    Function evaluation is something that we’ll be doing a lot of in later sections and chapters so make sure that you can do it. You will find several later sections very difficult to understand and/or do the work in if you do not have a good grasp on how function evaluation works.

    While we are on the subject of function evaluation we should now talk about piecewise functions. We’ve actually already seen an example of a piecewise function even if we didn’t call it a function (or a piecewise function) at the time. Recall the mathematical definition of absolute value.

    This is a function and if we use function notation we can write it as follows,

    This is also an example of a piecewise function. A piecewise function is nothing more than a function that is broken into pieces and which piece you use depends upon value of (x). So, in the absolute value example we will use the top piece if (x) is positive or zero and we will use the bottom piece if (x) is negative.

    Let’s take a look at evaluating a more complicated piecewise function.

    evaluate each of the following.

    1. (gleft( < - 6> ight))
    2. (gleft( < - 4> ight))
    3. (gleft( 1 ight))
    4. (gleft( <15> ight))
    5. (gleft( <21> ight))

    Before starting the evaluations here let’s notice that we’re using different letters for the function and variable than the ones that we’ve used to this point. That won’t change how the evaluation works. Do not get so locked into seeing (f) for the function and (x) for the variable that you can’t do any problem that doesn’t have those letters.

    Now, to do each of these evaluations the first thing that we need to do is determine which inequality the number satisfies, and it will only satisfy a single inequality. When we determine which inequality the number satisfies we use the equation associated with that inequality.

    So, let’s do some evaluations.

    In this case -6 satisfies the top inequality and so we’ll use the top equation for this evaluation.

    [gleft( < - 6> ight) = 3 ight)^2> + 4 = 112]

    Now we’ll need to be a little careful with this one since -4 shows up in two of the inequalities. However, it only satisfies the top inequality and so we will once again use the top function for the evaluation.

    In this case the number, 1, satisfies the middle inequality and so we’ll use the middle equation for the evaluation. This evaluation often causes problems for students despite the fact that it’s actually one of the easiest evaluations we’ll ever do. We know that we evaluate functions/equations by plugging in the number for the variable. In this case there are no variables. That isn’t a problem. Since there aren’t any variables it just means that we don’t actually plug in anything and we get the following,

    Again, like with the second part we need to be a little careful with this one. In this case the number satisfies the middle inequality since that is the one with the equal sign in it. Then like the previous part we just get,

    Don’t get excited about the fact that the previous two evaluations were the same value. This will happen on occasion.

    For the final evaluation in this example the number satisfies the bottom inequality and so we’ll use the bottom equation for the evaluation.

    [gleft( <21> ight) = 1 - 6left( <21> ight) = - 125]

    Piecewise functions do not arise all that often in an Algebra class however, they do arise in several places in later classes and so it is important for you to understand them if you are going to be moving on to more math classes.

    As a final topic we need to come back and touch on the fact that we can’t always plug every (x) into every function. We talked briefly about this when we gave the definition of the function and we saw an example of this when we were evaluating functions. We now need to look at this in a little more detail.

    First, we need to get a couple of definitions out of the way.

    Domäne und Reichweite

    Das domain of an equation is the set of all (x)’s that we can plug into the equation and get back a real number for (y). Das range of an equation is the set of all (y)’s that we can ever get out of the equation.

    Note that we did mean to use equation in the definitions above instead of functions. These are really definitions for equations. However, since functions are also equations we can use the definitions for functions as well.

    Determining the range of an equation/function can be pretty difficult to do for many functions and so we aren’t going to really get into that. We are much more interested here in determining the domains of functions. From the definition the domain is the set of all (x)’s that we can plug into a function and get back a real number. At this point, that means that we need to avoid division by zero and taking square roots of negative numbers.

    Let’s do a couple of quick examples of finding domains.

    1. (displaystyle gleft( x ight) = frac<><<+ 3x - 10>>)
    2. (fleft( x ight) = sqrt <5 - 3x>)
    3. (displaystyle hleft( x ight) = frac <>><<+ 4>>)
    4. (displaystyle Rleft( x ight) = frac <>><<- 16>>)

    The domains for these functions are all the values of (x) for which we don’t have division by zero or the square root of a negative number. If we remember these two ideas finding the domains will be pretty easy.

    So, in this case there are no square roots so we don’t need to worry about the square root of a negative number. There is however a possibility that we’ll have a division by zero error. To determine if we will we’ll need to set the denominator equal to zero and solve.

    [ + 3x - 10 = left( ight)left( ight) = 0hspace<0.25in>x = - 5,,,x = 2]

    So, we will get division by zero if we plug in (x = - 5) or (x = 2). That means that we’ll need to avoid those two numbers. However, all the other values of (x) will work since they don’t give division by zero. The domain is then,

    In this case we won’t have division by zero problems since we don’t have any fractions. We do have a square root in the problem and so we’ll need to worry about taking the square root of a negative numbers.

    This one is going to work a little differently from the previous part. In that part we determined the value(s) of (x) to avoid. In this case it will be just as easy to directly get the domain. To avoid square roots of negative numbers all that we need to do is require that

    This is a fairly simple linear inequality that we should be able to solve at this point.

    [5 ge 3xhspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x le frac<5><3>]

    The domain of this function is then,

    In this case we’ve got a fraction, but notice that the denominator will never be zero for any real number since x 2 is guaranteed to be positive or zero and adding 4 onto this will mean that the denominator is always at least 4. In other words, the denominator won’t ever be zero. So, all we need to do then is worry about the square root in the numerator.

    [egin7x + 8 & ge 0 7x & ge - 8 x & ge - frac<8><7>end]

    Now, we can actually plug in any value of (x) into the denominator, however, since we’ve got the square root in the numerator we’ll have to make sure that all (x)’s satisfy the inequality above to avoid problems. Therefore, the domain of this function is

    In this final part we’ve got both a square root and division by zero to worry about. Let’s take care of the square root first since this will probably put the largest restriction on the values of (x). So, to keep the square root happy (d.h. no square root of negative numbers) we’ll need to require that,

    [egin10x - 5 & ge 0 10x & ge 5 x & ge frac<1><2>end]

    So, at the least we’ll need to require that (x ge frac<1><2>) in order to avoid problems with the square root.

    Now, let’s see if we have any division by zero problems. Again, to do this simply set the denominator equal to zero and solve.

    [ - 16 = left( ight)left( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>x = - 4,,,x = 4]

    Now, notice that (x = - 4) doesn’t satisfy the inequality we need for the square root and so that value of (x) has already been excluded by the square root. On the other hand, (x = 4) does satisfy the inequality. This means that it is okay to plug (x = 4) into the square root, however, since it would give division by zero we will need to avoid it.


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