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1.1: Auftakt zu den Funktionen

1.1: Auftakt zu den Funktionen


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Gegen Ende des 20. Jahrhunderts stiegen die Werte der Aktien von Internet- und Technologieunternehmen dramatisch an. In der Folge stieg auch der Börsendurchschnitt von Standard and Poor’s. Das Standard and Poor’s Index verfolgt den Wert dieser Anfangsinvestition von knapp 100 US-Dollar über die 40 Jahre. Es zeigt, dass eine Investition, die bis etwa 1995 weniger als 500 US-Dollar wert war, bis Anfang 2000 auf ungefähr 1100 US-Dollar anstieg. Dieser Fünfjahreszeitraum wurde als „Dot-Com-Blase“ bekannt, weil so viele Internet-Startups gegründet wurden. Wie es jedoch bei Blasen üblich ist, platzte die Dotcom-Blase schließlich. Viele Unternehmen wuchsen zu schnell und gingen dann plötzlich aus dem Geschäft. Das Ergebnis verursachte den starken Rückgang, der in der Grafik ab Ende 2000 dargestellt ist.

Beachten Sie bei der Betrachtung dieses Beispiels, dass es eine eindeutige Beziehung zwischen dem Jahr und dem Börsendurchschnitt gibt. Für jedes von uns gewählte Jahr können wir den entsprechenden Wert des Börsendurchschnitts ermitteln. In diesem Kapitel werden wir diese Arten von Beziehungen und ihre Eigenschaften untersuchen.


1.1: Auftakt zu den Funktionen

In diesem Abschnitt werden wir sicherstellen, dass Sie mit Funktionen und Funktionsnotation vertraut sind. Beide werden in fast jedem Abschnitt einer Calculus-Klasse vorkommen, sodass Sie in der Lage sein müssen, damit umzugehen.

Erstens, was genau ist eine Funktion? Die einfachste Definition ist, dass eine Gleichung eine Funktion ist, wenn für jedes (x) im Bereich der Gleichung (der Bereich umfasst alle (x)s, die in die Gleichung eingefügt werden können) die Gleichung the ergeben genau einen Wert von (y), wenn wir die Gleichung bei einem bestimmten (x) auswerten.

Dies ist in der Regel anhand eines Beispiels leichter zu verstehen.

Dieser erste ist eine Funktion. Für ein gegebenes (x) gibt es nur eine Möglichkeit, es zu quadrieren und dann 1 zum Ergebnis zu addieren. Also, egal welchen Wert von (x) Sie in die Gleichung einsetzen, es gibt nur einen möglichen Wert von (y), wenn wir die Gleichung mit diesem Wert von (x) auswerten.

Der einzige Unterschied zwischen dieser Gleichung und der ersten besteht darin, dass wir den Exponenten von (x) auf (y) verschoben haben. Diese kleine Änderung ist in diesem Fall alles, was erforderlich ist, um die Gleichung von einer Funktion in etwas zu ändern, das keine Funktion ist.

Zu sehen, dass dies keine Funktion ist, ist ziemlich einfach. Wählen Sie einen Wert von (x), sagen wir (x = 3) und setzen Sie diesen in die Gleichung ein.

Nun gibt es zwei mögliche Werte von (y), die wir hier verwenden könnten. Wir könnten (y = 2) oder (y = - 2) verwenden. Da es zwei mögliche Werte von (y) gibt, die wir aus einem einzelnen (x) erhalten, ist diese Gleichung keine Funktion.

Beachten Sie, dass dies nur für einen einzelnen Wert von (x) der Fall sein muss, damit eine Gleichung keine Funktion ist. Zum Beispiel hätten wir (x = - 1) verwenden können und in diesem Fall würden wir ein einzelnes (y) ((y = 0)) erhalten. Aufgrund dessen, was bei (x = 3) passiert, wird diese Gleichung jedoch keine Funktion sein.

Als nächstes müssen wir einen kurzen Blick auf die Funktionsnotation werfen. Die Funktionsnotation ist nichts anderes als eine schicke Art, (y) in einer Funktion zu schreiben, die es uns ermöglicht, die Notation und einige unserer Arbeiten ein wenig zu vereinfachen.

Schauen wir uns die folgende Funktion an.

Mit der Funktionsnotation können wir dies wie folgt schreiben.

[StartStartflinks(x echts) & = 2 - 5x + 3 hlinks( x echts) & = 2 - 5x + 3 wlinks(x echts) & = 2 - 5x + 3 end &hspace <0.75in>& eginglinks( x echts) & = 2 - 5x + 3 Rlinks( x echts) & = 2 - 5x + 3 ylinks( x echts) & = 2 - 5x + 3 ende & vdots & end]

Denken Sie daran, dass dies KEIN Buchstabe mal (x) ist, sondern nur eine ausgefallene Schreibweise von (y).

Warum ist das nützlich? Nehmen wir die obige Funktion und erhalten den Wert der Funktion bei (x = -3). Mit der Funktionsnotation stellen wir den Wert der Funktion bei (x = -3) als (fleft( -3 ight)) dar. Die Funktionsnotation bietet uns eine schöne kompakte Möglichkeit, Funktionswerte darzustellen.

Wie werten wir nun die Funktion eigentlich aus? Das ist ganz einfach. Überall, wo wir auf der rechten Seite ein (x) sehen, ersetzen wir alles, was in der Klammer auf der linken Seite steht. Für unsere Funktion ergibt dies,

[Startfleft( < - 3> ight) & = 2 ight)^2> - 5left( < - 3> ight) + 3 & = 2left( 9 echts) + 15 + 3 & = 36end]

Werfen wir einen Blick auf eine weitere Funktionsauswertung.

  1. (flinks( 2 echts))
  2. (flinks( < - 10> echts))
  3. (flinks(t echts))
  4. (flinks( Rechts))
  5. (flinks( Rechts))
  6. (flinks( <4x - 1> echts))

Seien Sie vorsichtig, wenn Sie negative Zahlen quadrieren!

Denken Sie daran, dass wir das WHATEVER von (x) in der Klammer auf der linken Seite ersetzen. Oft ist dies etwas anderes als eine Zahl. In diesem Fall setzen wir also (t) für alle (x) auf der linken Seite ein.

Anstatt Funktionen anhand von Zahlen oder einzelnen Buchstaben auszuwerten, werden wir oft ziemlich komplexe Auswertungen haben, also stellen Sie sicher, dass Sie diese Art von Auswertungen durchführen können.

Der einzige Unterschied zwischen diesem und dem vorherigen besteht darin, dass wir (t) in ein (x) geändert haben. Ansonsten gibt es absolut keinen Unterschied zwischen den beiden! Seien Sie nicht aufgeregt, wenn links in der Klammer ein (x) erscheint.

Dieser unterscheidet sich nicht wesentlich vom vorherigen Teil. Wir haben lediglich die Gleichung geändert, die wir in die Funktion eingefügt haben.

Während eines gesamten Analysis-Kurses werden wir Wurzeln von Funktionen finden. Eine Wurzel einer Funktion ist nichts anderes als eine Zahl, deren Funktion null ist. Mit anderen Worten, das Finden der Wurzeln einer Funktion (gleft( x ight)) ist äquivalent zum Lösen von

Zuerst sollten wir die Gleichung so weit wie möglich faktorisieren. Dies gibt,

Denken Sie als nächstes daran, dass, wenn ein Produkt von zwei Dingen null ist, eines (oder beide) von ihnen null sein musste. Dies bedeutet, dass,

Aus dem ersten ist klar, dass eine der Wurzeln dann (t = 0) sein muss. Um die verbleibenden Wurzeln zu erhalten, müssen wir die quadratische Formel für die zweite Gleichung verwenden. Dies gibt,

Um Sie daran zu erinnern, wie man Radikale vereinfacht, haben wir verschiedene Formen der Antwort gegeben.

Um das Problem zu vervollständigen, finden Sie hier eine vollständige Liste aller Wurzeln dieser Funktion.

Beachten Sie, dass wir nicht die endgültige Form für die Wurzeln aus dem Quadrat verwendet haben. Dies ist normalerweise der Punkt, an dem wir mit der Vereinfachung für diese Art von Wurzeln aufhören. Beachten Sie auch, dass wir aus Übungsgründen die Kompaktform für die beiden Wurzeln des Quadrats aufgebrochen haben. Sie müssen in der Lage sein, dies zu tun, also stellen Sie sicher, dass Sie es können.

Dieses Beispiel hatte einige andere Punkte als das Finden von Funktionswurzeln.

Die erste war, Sie an die quadratische Formel zu erinnern. Dies wird nicht das letzte Mal sein, dass Sie es in dieser Klasse brauchen.

Die zweite war, Sie daran zu gewöhnen, „unordentliche“ Antworten zu sehen. Tatsächlich sind die Antworten im obigen Beispiel nicht wirklich chaotisch. Die meisten Schüler kommen jedoch aus einer Algebra-Klasse, die es gewohnt ist, nur ganze Zahlen und gelegentlich „nette“ Brüche als Antworten zu sehen.

Hier ist also eine faire Warnung. In diesem Kurs werde ich die Antworten oft absichtlich „unordentlich“ aussehen lassen, nur um Sie davon abzubringen, immer „nette“ Antworten zu erwarten. Im „echten Leben“ (was auch immer das ist) ist die Antwort selten eine einfache ganze Zahl wie zwei. In den meisten Problemen wird die Antwort eine Dezimalzahl sein, die aus einem unordentlichen Bruch und/oder einer Antwort mit Radikalen resultiert.

Eine der wichtigeren Ideen zu Funktionen ist die der Domain und Angebot einer Funktion. Einfach ausgedrückt ist die Domäne einer Funktion die Menge aller Werte, die in eine Funktion gesteckt werden können und bei denen die Funktion existiert und eine reelle Zahl für einen Wert hat. Für den Bereich müssen wir also die Division durch Null, Quadratwurzeln von negativen Zahlen, Logarithmen von Null und Logarithmen von negativen Zahlen vermeiden (wenn wir mit Logarithmen nicht vertraut sind, werden wir sie uns etwas später ansehen). etc. Der Bereich einer Funktion ist einfach die Menge aller möglichen Werte, die eine Funktion annehmen kann.

Lassen Sie uns die Domäne und den Umfang einiger Funktionen ermitteln.

  1. (flinks(x echts) = 5x - 3)
  2. (gleft(t ight) = sqrt <4 - 7t>)
  3. (hlinks(x echts) = - 2 + 12x + 5)
  4. (fleft( z ight) = left| echts| - 3)
  5. (glinks(x echts) = 8)

Wir wissen, dass dies eine Linie und keine horizontale Linie ist (weil die Steigung 5 und nicht null ist…). Dies bedeutet, dass diese Funktion jeden Wert annehmen kann und der Bereich daher alle reellen Zahlen umfasst. In der „mathematischen“ Notation lautet dies:

Dies ist allgemeiner ein Polynom und wir wissen, dass wir jeden Wert in ein Polynom einfügen können und daher sind in diesem Fall auch alle reellen Zahlen oder,

Dies ist eine Quadratwurzel und wir wissen, dass Quadratwurzeln immer positiv oder null sind. Wir wissen dann, dass die Reichweite sein wird,

Für die Domain haben wir ein wenig Arbeit, aber nicht viel. Wir müssen sicherstellen, dass wir keine Quadratwurzeln von negativen Zahlen ziehen, also müssen wir Folgendes fordern:

[Start4 - 7t & ge 0 4 & ge 7t frac<4> <7>& ge t hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace <0.25in>t le frac<4><7>end]

Hier haben wir ein Quadrat, das ein Polynom ist, also wissen wir wieder, dass der Definitionsbereich alle reellen Zahlen ist oder

In diesem Fall erfordert die Reichweite ein wenig Arbeit. Aus einer Algebra-Klasse wissen wir, dass der Graph davon eine sich nach unten öffnende Parabel ist (weil der Koeffizient der () ist negativ) und somit ist der Scheitelpunkt der höchste Punkt im Graphen. Wenn wir den Scheitelpunkt kennen, können wir den Bereich erhalten. Der Scheitel ist dann

[x = - frac<<12>> <<2left( < - 2> ight)>> = 3hspace<0.25in>y = hleft( 3 ight) = - 2 < left( 3 ight)^2>+ 12left( 3 ight) + 5 = 23hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>left( <3,23> Rechts)]

Wie besprochen, wissen wir also, dass dies der höchste Punkt im Graphen oder der größte Wert der Funktion ist und die Parabel alle Werte kleiner als dies annehmen wird, also ist der Bereich dann

Diese Funktion enthält einen Absolutwert und wir wissen, dass der Absolutwert entweder positiv oder null ist. In diesem Fall ist der Absolutwert Null, wenn (z = 6) und daher wird der Absolutwertanteil dieser Funktion immer größer oder gleich Null sein. Wir subtrahieren 3 vom Absolutwertanteil und wissen dann, dass der Bereich

Wir können jeden Wert in einen absoluten Wert einfügen und so sind die Domäne wieder alle reellen Zahlen oder,

Diese Funktion mag auf den ersten Blick etwas knifflig erscheinen, ist aber in dieser Reihe von Beispielen tatsächlich die einfachste. Dies ist eine konstante Funktion und daher ergibt jeder Wert von (x), den wir in die Funktion einfügen, einen Wert von 8. Dies bedeutet, dass der Bereich ein einzelner Wert ist oder

Die Domäne sind alle reellen Zahlen,

Im Allgemeinen kann die Bestimmung des Bereichs einer Funktion etwas schwierig sein. Solange wir uns auf „einfache“ Funktionen beschränken, von denen wir einige im vorherigen Beispiel betrachtet haben, ist das Finden der Reichweite nicht schlecht, aber für die meisten Funktionen kann es ein schwieriger Prozess sein.

Aufgrund der Schwierigkeit, den Umfang für viele Funktionen zu finden, mussten wir die im vorherigen Set etwas einfach halten, was auch bedeutete, dass wir einige der komplizierteren Domänenbeispiele, die in der Regel wichtig sein könnten, nicht wirklich betrachten konnten ein Calculus-Kurs. Schauen wir uns also einen anderen Satz von Funktionen an, nur dieses Mal suchen wir nur nach der Domäne.

  1. (fleft( x ight) = displaystyle frac<><<- 2x - 15>>)
  2. (gleft(t ight) = sqrt <6 + t - > )
  3. (hleft( x ight) = displaystyle frac<- 9> >>)

Okay, bei diesem Problem müssen wir die Division durch Null vermeiden, also müssen wir bestimmen, wo der Nenner Null ist, was bedeutet,

[ - 2x - 15 = links( echts links( ight) = 0hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>x = - 3,,,x = 5]

Dies sind also die einzigen Werte von (x), die wir vermeiden müssen, und so lautet die Domäne

In diesem Fall müssen wir Quadratwurzeln negativer Zahlen vermeiden und müssen daher Folgendes fordern:

[6 + t - ge 0hspace<0,25in>hspace <0,25in>Rightarrow hspace<0,25in>hspace<0,25in> -t - 6 le0]

Beachten Sie, dass wir die gesamte Ungleichung mit -1 multipliziert haben (und daran gedacht haben, die Richtung der Ungleichung zu ändern), um die Handhabung zu vereinfachen. Sie müssen in einem Calculus-Kurs mehr als ein paar Mal in der Lage sein, solche Ungleichungen zu lösen, also stellen wir sicher, dass Sie diese lösen können.

Als erstes müssen wir bestimmen, wo die Funktion Null ist, und das ist in diesem Fall nicht allzu schwierig.

Die Funktion ist also Null bei (t = - 2) und (t = 3). Denken Sie daran, dass diese Punkte der einzige Ort sind, an dem die Funktion kann Vorzeichen ändern. An diesen Stellen ist es nicht erforderlich, das Vorzeichen zu ändern, aber dies sind die einzigen Stellen, an denen die Funktion das Vorzeichen ändern kann. Dies bedeutet, dass wir lediglich eine Zahlengeraden in die drei Bereiche aufteilen müssen, die diese beiden Punkte vermeiden, und das Vorzeichen der Funktion an einem einzigen Punkt in jedem der Bereiche testen. Wenn die Funktion an einem einzelnen Punkt in der Region positiv ist, ist sie an allen Punkten in dieser Region positiv, da sie keinen der Punkte enthält, an denen die Funktion das Vorzeichen ändern kann. Wir haben eine ähnliche Situation, wenn die Funktion für den Testpunkt negativ ist.

Hier ist also ein Zahlenstrahl, der diese Berechnungen zeigt.

Daraus können wir sehen, dass der einzige Bereich, in dem das Quadrat (in seiner modifizierten Form) negativ sein wird, im mittleren Bereich liegt. Wenn wir uns daran erinnern, dass wir durch Multiplizieren des Quadrats mit a -1 zum modifizierten Bereich gelangt sind, bedeutet dies, dass das Quadrat unter der Wurzel nur im mittleren Bereich positiv ist und der Definitionsbereich für diese Funktion ist dann

In diesem Fall haben wir eine Mischung aus den beiden vorherigen Teilen. Wir müssen uns um die Division durch Null und die Quadratwurzel negativer Zahlen kümmern. Wir können beide Probleme abdecken, indem wir verlangen,

Beachten Sie, dass die Ungleichung hier unbedingt größer als Null sein muss, um Probleme mit der Division durch Null zu vermeiden. Wir können dies entweder mit der Methode aus dem vorherigen Beispiel lösen, oder in diesem Fall ist es einfach durch Inspektion zu lösen. Die Domäne ist in diesem Fall,

Das nächste Thema, das wir hier besprechen müssen, ist das von Funktionszusammenstellung. Die Zusammensetzung von (f(x)) und (g(x)) ist

Mit anderen Worten, Kompositionen werden ausgewertet, indem die zweite aufgeführte Funktion in die erste aufgeführte Funktion eingefügt wird. Beachten Sie auch, dass die Reihenfolge hier wichtig ist. Das Vertauschen der Bestellung führt in den meisten Fällen zu einer anderen Antwort.

  1. (links( echts)links( 5 echts))
  2. (links( echts)links( x echts))
  3. (links( echts)links( x echts))
  4. (links( echts)links( x echts))

In diesem Fall haben wir statt (x) eine Zahl, aber es funktioniert genauso.

Vergleichen Sie diese Antwort mit dem nächsten Teil und beachten Sie, dass die Antworten NICHT gleich sind. Die Reihenfolge, in der die Funktionen aufgelistet sind, ist wichtig!

Und nur um es noch einmal auf den Punkt zu bringen. Diese Antwort unterscheidet sich vom vorherigen Teil. Ordnung ist wichtig bei der Komposition.

In diesem Fall sollten Sie sich nicht darüber aufregen, dass es sich um dieselbe Funktion handelt. Die Komposition funktioniert immer noch auf die gleiche Weise.

[Startlinks( ight)left( x ight) & = gleft( ight) & = gleft( <1 - 20x> ight) & = 1 - 20left( <1 - 20x> ight) & = 400x - 19end]

Lassen Sie uns ein weiteres Beispiel bearbeiten, das uns zum nächsten Abschnitt führt.

In diesem Fall waren die beiden Kompositionen gleich und die Antwort war sehr einfach.

[links( ight)left( x ight) = left( echts)links( x echts) = x]

Dies wird normalerweise nicht passieren. Wenn die beiden Zusammensetzungen jedoch beide (x) sind, besteht eine sehr schöne Beziehung zwischen den beiden Funktionen. Wir werden uns diese Beziehung im nächsten Abschnitt ansehen.


Einfache IF-Beispiele

Im obigen Beispiel sagt Zelle D2: IF(C2 = Ja, dann gebe eine 1 zurück, sonst gebe eine 2) zurück

In diesem Beispiel lautet die Formel in Zelle D2: IF(C2 = 1, dann Ja zurückgeben, sonst Nein zurückgeben)Wie Sie sehen, können mit der IF-Funktion sowohl Text als auch Werte ausgewertet werden. Es kann auch verwendet werden, um Fehler auszuwerten. Sie sind nicht darauf beschränkt, nur zu prüfen, ob eine Sache mit einer anderen übereinstimmt und ein einzelnes Ergebnis zurückgibt, Sie können auch mathematische Operatoren verwenden und zusätzliche Berechnungen abhängig von Ihren Kriterien durchführen. Sie können auch mehrere IF-Funktionen miteinander verschachteln, um mehrere Vergleiche durchzuführen.

=IF(C2>B2“,Over Budget“,“Innerhalb des Budgets“)

Im obigen Beispiel sagt die IF-Funktion in D2 IF(C2 ist größer als B2, dann "Over Budget" zurückgeben, andernfalls "Innerhalb des Budgets" zurückgeben)

In der obigen Abbildung geben wir anstelle eines Textergebnisses eine mathematische Berechnung zurück. Die Formel in E2 sagt also WENN (Ist größer als budgetiert, dann subtrahieren Sie den budgetierten Betrag vom tatsächlichen Betrag, andernfalls geben Sie nichts zurück).

In diesem Beispiel sagt die Formel in F7 WENN(E7 = „Ja“, dann den Gesamtbetrag in F5 * 8,25% berechnen, sonst wird keine Umsatzsteuer fällig, also zurück 0)

Notiz: Wenn Sie Text in Formeln verwenden möchten, müssen Sie den Text in Anführungszeichen setzen (z. B. „Text“). Die einzige Ausnahme davon ist die Verwendung von TRUE oder FALSE, die Excel automatisch versteht.


1.1: Auftakt zu den Funktionen

prelude-ts (früher prelude.ts) ist eine TypeScript-Bibliothek, die darauf abzielt, funktionale Programmierkonzepte in TypeScript zugänglich und produktiv zu machen. Beachten Sie, dass es, obwohl es in TypeScript geschrieben ist, perfekt von JavaScript (einschließlich ES5) verwendet werden kann!

Es bietet persistente unveränderliche Sammlungen (Vector, Set, Map, Stream) und Konstrukte wie Option, Entweder, Prädikat und Zukunft.

Die Sammlungen sind auch JavaScript-Iterables. Wenn Sie also eine ES6-Laufzeit haben, können Sie das for .. of-Konstrukt darauf verwenden. Wenn Sie mit unveränderlichen Sammlungen nicht vertraut sind, behält list.append(newItem) list unverändert bei. append() gibt eine neue Liste zurück. Unveränderlichkeit hilft beim Nachdenken über Code.

Sie können das überprüfen Benutzerhandbuch, und durchsuchen Sie die API-Dokumentation, oder unser Blog. Beachten Sie, dass die Konstruktoren privat sind und Sie statische Methoden verwenden sollten, um Elemente zu erstellen — zum Beispiel: Option.of , Vector.of , Vector.ofIterable und so weiter.

HashSet und HashMap werden unter Verwendung des HAMT-Algorithmus und konkret der Hamt_plus-Bibliothek implementiert. Vector wird ab 0.7.7 durch einen Bitmap-Vektor-Trie und konkret durch die Listenbibliothek implementiert. Darüber hinaus ist die Bibliothek im idiomatischen JavaScript-Stil geschrieben, mit Schleifen statt Rekursion, sodass die Leistung gut sein sollte (siehe Benchmarks hier im Vergleich zu immutable.js und mehr). list und hamt_plus sind die beiden einzigen Abhängigkeiten von prelude-ts.

JavaScript hat keine strukturelle Gleichheit, außer bei primitiven Typen. Also 1 === 1 ist wahr, aber [1] === [1] ist nicht und auch nicht === . Dies führt zu Problemen für Sammlungen, denn wenn Sie ein Set haben, möchten Sie aufgrund dieser eingeschränkten Definition von Gleichheit keine doppelten Elemente.

Aus diesem Grund empfiehlt Ihnen prelude-ts, für Ihre nicht-primitiven Typen die Methoden equals(other: any): boolean und hashCode(): number zu definieren (die gleichen Methoden, die immutable.js verwendet). Mit diesen Methoden ist strukturelle Gleichheit erreichbar, und tatsächlich ist Vector.of(1,2,3).equals(Vector.of(1,2,3)) wahr. Dies kann jedoch nur funktionieren, wenn die Werte, die Sie in Sammlungen eingeben, selbst eine richtig definierte Gleichheit aufweisen (siehe wie prelude-ts helfen können). Wenn diese Werte keine strukturelle Gleichheit haben, können wir kein besseres Verhalten als === erhalten.

prelude-ts versucht, dem Programmierer dabei zu helfen, es versucht den Entwickler zu ermutigen, das Richtige zu tun. Es wird Typen ohne offensichtlich richtig definierte Gleichheit in Sets und in Maps-Schlüsseln ablehnen, also HashSet.of([1]) oder Vector.of([1]).equals(Vector.of([2])) nicht kompilieren. Für beide erhalten Sie (eine längere Version davon) diese Nachricht:

Weitere Informationen finden Sie im Benutzerhandbuch.

TypeScript muss Iterable kennen, eine ES6-Funktion (aber in den meisten Browsern vorhanden), um Prelude-ts zu kompilieren. Wenn Sie TypeScript verwenden und ES5 als Ziel verwenden, könnte eine minimale Änderung an Ihrer tsconfig.json darin bestehen, Folgendes hinzuzufügen:

(im Vergleich zu den ES5-Standardeinstellungen wird nur 'es2015.iterable' hinzugefügt)

Fügen Sie einfach die Abhängigkeit in Ihrer package.json hinzu und beginnen Sie, sie zu verwenden (wie import < Vector >from "prelude-ts" oder const < Vector >= require("prelude-ts"), wenn Sie commonjs verwenden). Alles sollte funktionieren, einschließlich der Typprüfung, wenn Sie TypeScript verwenden. prelude-ts bietet auch Pretty-Printing im Knoten REPL.

Fügen Sie die Abhängigkeit in Ihrem Paket hinzu. json TypeScript sollte die Typdefinitionen automatisch registrieren.

Das npm-Paket enthält die Dateien dist/src/prelude_ts.js und dist/src/prelude_ts.min.js , die UMD-Bundles sind, die mit anderen Modulsystemen funktionieren und prelude_ts als Fenster global setzen, wenn kein Modulsystem gefunden wird. Fügen Sie die relevante in Ihrer index.html in Skript-Tags ein:

Sie sollten kein Problem damit haben, prelude-ts in Ihre Anwendung zu importieren, aber wenn Sie Module verwenden, wird es etwas komplizierter. Eine Lösung, wenn Sie sie verwenden, besteht darin, eine imports.d.ts-Datei mit folgendem Inhalt zu erstellen:

Dann können Sie in einer .ts-Datei Ihrer Anwendung außerhalb eines Moduls Folgendes tun:

- um Werte ohne den Namensraum zu erhalten.

Wenn Sie schließlich auch dist/src/chrome_dev_tools_formatters.js über ein Skript-Tag einschließen und benutzerdefinierte Chrome-Formatierer aktivieren, erhalten Sie eine schöne Anzeige der prelude-ts-Werte im Chrome-Debugger.

  • CharSeq, ein String-Wrapper?
  • Nicht leerer Vektor? (habe bereits eine nicht leere Linkliste)
  • Verwenden Sie Trampolinspringen oder eine ähnliche Technik in Stream, um Stapelüberlauf-Ausnahmen bei sehr großen Streams zu vermeiden
  • Mehr Funktionen für bestehende Klassen

Außerhalb des Spielraums für Präludium-ts

  • Kostenlose Monaden
  • Monadentransformatoren
  • Effektverfolgung
  • Simulation von höherwertigen Typen

Ich denke, diese Konzepte lassen sich in einer Sprache wie TypeScript nicht gut genug ausdrücken.


1.1: Auftakt zu Derivaten

Der Hennessey Venom GT ist eines der schnellsten Autos der Welt. Im Jahr 2014 erreichte es eine Rekordgeschwindigkeit von 270,49 Meilen pro Stunde. Es kann in 14,51 Sekunden von 0 auf 200 Meilen pro Stunde beschleunigen. Die Techniken in diesem Kapitel können verwendet werden, um die Beschleunigung zu berechnen, die das Venom bei diesem Kunststück erreicht.)

Abbildung (PageIndex<1>): Der Hennessey Venom GT kann in 14,51 Sekunden von 0 auf 300 mph beschleunigen. (Kredit: Änderung der Arbeit von Codex41, Flickr)

Die Berechnung von Geschwindigkeit und Geschwindigkeitsänderungen sind wichtige Anwendungen der Infinitesimalrechnung, aber sie ist viel weiter verbreitet. Infinitesimalrechnung ist in allen Zweigen der Mathematik, Naturwissenschaften und Ingenieurwissenschaften wichtig, und sie ist auch für die Analyse in Wirtschaft und Gesundheit von entscheidender Bedeutung. In diesem Kapitel untersuchen wir eines der Hauptwerkzeuge der Infinitesimalrechnung, die Ableitung, und zeigen bequeme Methoden zur Berechnung von Ableitungen. Wir wenden diese Regeln in diesem Kapitel auf eine Vielzahl von Funktionen an, um dann Anwendungen dieser Techniken zu untersuchen.


Rückgabewerte

Es ist möglich, einen Wert aus der Funktion mit dem Befehl return an die Bash zurückzugeben. Die return-Anweisung beendet die Funktion. Die Syntax lautet wie folgt:

Man kann erzwingen, dass das Skript mit dem durch [Wert] angegebenen Rückgabewert beendet wird. Wenn [Wert] weggelassen wird, ist der Rückgabestatus der des letzten Befehls, der innerhalb der Funktion oder des Skripts ausgeführt wurde.

Beispiele

Erstellen Sie eine neue Datei namens math.sh:

Das obige Beispiel ist einfach. Der Befehl return gibt einen beliebigen Wert zwischen Null (0) und 255. Standardmäßig ist der von der return-Anweisung übergebene Wert der aktuelle Wert der Exit-Statusvariablen. Der folgende Code gibt beispielsweise falsche Werte zurück, da er nicht dazwischen liegt Null (0) und 255.

Hier ist die richtige Verwendung des Return-Befehls (bash-task.sh):

Wie gebe ich einen benutzerdefinierten Wert von einer benutzerdefinierten Funktion zurück?

Wie ich bereits sagte, können Sie den Return-Befehl nicht verwenden. Die Problemumgehung ist jedoch wie folgt mit dem Befehl printf/echo:


1.1: Auftakt zu den Funktionen

Wohltemperiertes Klavier Buch I, Präludium C-Dur

Wir beginnen unsere Analyse mit der sozusagen "Eingangstür" in das 48, das Wohltemperierte Klavier Buch I, Präludium C-Dur. Dieser Auftakt ist (absichtlich) einfach Reihe von Akkord-Arpeggios, durchläuft einige Modulationen in der Nähe von und kehrt zurück zu C-Dur. Hier ist eine kurze Karte von dem, was im Vorspiel passiert:

Bitte beachten Sie, dass ich in der obigen Partitur die beiden Basstöne und die Oberakkorde getrennt gruppiert habe. Dies liegt daran, dass in der Originalpartitur von JSB die 2 Bassnoten gehalten werden und die Grundlage der Akkordfolge bilden. Wenn Sie nur die Bass-Notenzeile der obigen Partitur spielen, werden Sie feststellen, dass es einige melodische Effekte gibt, die nicht hörbar sind, wenn man nur jeden 5-Ton-Akkord spielt (obere und untere Notensysteme). Im Zusammenhang mit diesem Thema muss der Interpret entscheiden, ob die Sechzehntelnoten der rechten Hand bis zum Ende eines jeden Arpeggios gehalten werden oder (nur) so lange gehalten werden sollen, wie es die Notation vorgibt. Aus meiner Sicht sind beide Varianten praktikabel, es kommt auf die Gesamtkonstruktion an

Dieses Präludium ist technisch einfach zu spielen, es müssen also keine Fingersätze diskutiert werden. Ebenso leicht sind die wenigen harmonischen Verläufe zu verstehen, die es umfasst. Doch so einfach es ist, das Geschehen zu verstehen und die wenigen Akkord-Arpeggien technisch zu beherrschen, so schwierig ist es, dieses Vorspiel adäquat zu spielen und, wenn ich das so sagen darf, geschmackvoll. Bedenken Sie, dass dieses einfache Musikstück der Einstieg in eine Welt hochkomplexer Kontrapunktmusik ist. Wie David Ledbetter (in "the 48") betont hat, war das Wohltemperierte Klavier ua JS Bachs Antwort auf recht provokante Veröffentlichungen von J.Mattheson, um die Traditionen der deutschen polyphonen Musik zu verteidigen. In diesem Zusammenhang ist es fast schon ironisch, dass JS Bach seine hochentwickelte Sammlung mit etwas so Naivem, Einfachem und Unschuldigem wie dem C-Dur P.

Was mich zu meiner persönlichen Schlussfolgerung führt, dass dieses Stück nicht für eine "romantische" Interpretation geeignet ist. Wenn Sie C-Dur spielen, denken Sie daran, dass es in etwas Größeres eingebettet ist (z. B. Buch 1), und "fühlen" Sie die Spannung, die es erzeugt, indem es so einfach und monoton ist, verglichen mit dem, was danach kommt. Es ist eindeutig ein sehr schönes Musikstück, und es sollte mit Respekt und Sorgfalt behandelt werden. Keine starken Rubatos, kein "Suchen" nach versteckten Melodien, keine großen Interpretationskonzepte, keine gewollten (oder noch schlimmer: ungewollten) Tempowechsel. Belassen Sie es bitte so, wie es ist - eine reduzierte Akkordfolge, arpeggiert, mit einer Schönheit, die in ihrer Einfachheit liegt, nicht in großen Interpretationsanstrengungen der Künstler, die sich danach sehnt, dass in der Musik, die sie spielt, etwas "passiert". Sparen Sie sich Ihre Interpretationsenergie für die späteren Stücke, Sie werden sie dort brauchen.

Wenn du dir ein schön einfaches anhören willst Deutung des Cmaj-Präludiums empfehle ich die Aufnahme von Friedrich Gulda. Er hat offensichtlich verstanden, wofür dieser Auftakt steht. Glenn Gould präsentiert zum Vergleich den Auftakt in einer ziemlich künstlichen Phrasierung, die sich im Laufe des kurzen Stücks sogar stark ändert, und obwohl dies irgendwie interessant klingen mag, verfehlt es meiner Meinung nach das Wesentliche. Sehr schön auch Jando, Hewitt, Koroliov, Richter (etwas romantisch, aber gut dosiert) und viele andere. Für das Cembalo hören Sie Hantai. Eine Überraschung: Andras Schiffs Version von 1990 ist ziemlich dramatisch (und nicht wirklich überzeugend), während seine Version von 2012 einfach und schön ist. Der Preis dafür, das C-Dur ganz langsam und mit viel Rubato zu zelebrieren, geht an Tureck.

Wohltemperiertes Klavier Buch I, Fuge C-Dur

Die Fuge C-Dur ist ein wunderschön fließendes Musikstück, das anscheinend die perfekte Wahl ist, um die Einführungsfuge zu Buch 1 zu sein. Die Fuge hat praktisch keine Episoden, und wie Wissenschaftler darauf hingewiesen haben, tritt das Thema 24 Mal ein (wie a Hinweis auf die Zahl der P/F in Buch 1), was angesichts der Vorliebe von JSB für Zahlensymbole kein Zufall zu sein scheint. Es ist ein ziemlich dichter Kontrapunkt, aber erwartungsgemäß gibt es in Buch 1 weitaus komplexere Fugen als C-Dur. Somit ist die Fuge C-Dur ein sehr ausgewogenes und passendes Eröffnungsstück für das Werk.

Für Darsteller ist es wichtig, das Gesamtbild zu verstehen die Architektur der Fuge. Es beginnt mit einer regelmäßigen Exposition durch alle 4 Stimmen in den Takten 1-6. Die erste Durchführung (Takt 7 ff) bringt bereits 2 Strettos und moduliert (endlich) in Amin, was zu zunehmender Spannung führt und die Erwartungshaltung des Hörers auf das Kommende steigert. Die zweite Durchführung ab Takt 14 wird diesen Erwartungen mehr als gerecht, mit einer unglaublich dichten Reihe von Strettos, die in das düstere Dmin übergehen, um dann die aufgebaute Spannung in Takt 19 durch Auflösung der Candenca in D-Dur (als Doppel Dominantakkord), übergibt den Fluss in eine Weiterentwicklung (3), die ebenfalls einige Strettos einführt, jedoch in einem entspannteren Kontext, sowohl harmonisch als auch hinsichtlich der Dichte des Kontrapunkts. Die Fuge schließt mit einem warmen und prächtigen Orgelpunkt, wobei die Oberstimmen im kontrapunktischen Dialog zu einem krönenden und erhabenen C-Dur aufsteigen.

Nachfolgend eine Übersicht über die 4 Abschnitte der Fuge sowie ein Hinweis auf die auftretenden Modulationen. Die Darsteller sollten die Spannung bis Takt 14 vorsichtig aufbauen und dann im Abschnitt D2 mit höherer Intensität spielen. Die Spannung sollte dann in Abschnitt D3 gesenkt werden, und die Fuge sollte in perfektem Flow, Legato und warmem Klang enden (was angesichts der Lage der rechten Hand im Schlussakkord nicht einfach ist).

Um es kurz zu sagen: Höhere Intensität bedeutet meiner Meinung nach nicht Forte, und es hat nichts mit Tempoerhöhung oder stressigem Spielen zu tun. Es muss alles mit einem kontinuierlichen Fluss passieren, der für die C-Dur-Fuge charakteristisch ist. Manchmal ist es am besten, die Lautstärke zu senken und die Musik sprechen zu lassen, um zusätzliche Spannung zu erzeugen.

Hinsichtlich der stilistisch Elemente, das Wichtigste beim Spielen der Fuge ist der Fluss. Das Thema ist eine so runde und wundervolle Phrase, die einige Parallelen zu BWV 545 aufweist. Man könnte die Fuge auch mit der WTC-Buch 1 Fuge B-Dur vergleichen, oder im weiteren Sinne mit dem "Gratias Agimus" von JSBs Messe in h-Moll .

Hier ist der Beginn von BWV 545, einem Orgelwerk, das ein interessanter Vergleich ist.

Technisch, die Fuge ist nicht allzu schwer zu spielen, da die Linien fortschreiten, ohne größere Probleme für die linke oder rechte Hand zu verursachen. Besondere Aufmerksamkeit erfordern jedoch die mehrfachen Strettos in den Takten 14 bis 19, die den Schlüsselabschnitt der Fuge darstellen (angesichts der obigen Analyse des Spannungsverlaufs). Diese wenigen Takte sollten separat geübt werden und Interpreten müssen einen geeigneten Fingersatz finden, der zu ihren Händen und ihrer Phrasierung passt.

Hier ist, was für mich funktioniert:

Für ein gutes Deutung der Fuge empfehle ich die Einspielung von Andras Schiff (sowohl 1990 als auch 2012 - letzteres ist interessanter in der Artikulation des Themas, das sich sehr gut durch die Fuge trägt) und von Till Fellner. So rein und leicht, fließend und kontrolliert. Richter benutzt viel Pedal, aber seine Einstellung ist edel und ernst. Koroliov folgt ebenfalls einem sehr ruhigen Weg und macht einen langen Halt vor Takt 14f mit interessanten Ergebnissen. Interessante Phrasierung von Hewitt (sehr ähnlich wie Hentai) und Gould (hier: im positiven Sinne). Ganz besonderer Egarr, der die 32. Noten im Thema als Sechzehntel spielt und damit die vorangehende Note verkürzt.

Meine eigene Interpretation von JS Bachs Well Tempered Clavier Book 1 P/F C-Dur, die ich mit reduzierter Registrierung einfach und fließend zu halten versuche, finden Sie hier.

BPM-Vergleich

Unten finden Sie einen Vergleich der Ausführungsgeschwindigkeit, gemessen in Schlägen pro Minute, für die erfassten Rekorde (siehe Wohltemperiertes Klavier - Bemerkenswerte Leistungen). Interessant, dass Barenboims C-Dur-Vorspiel fast doppelt so schnell wie Tureck ist. Auch das Verhältnis des Präludiums zur Fuge zeigt materielle Unterschiede: Gould und Stadtfeld spielen 1:1, Gulda (fast) 2:1.


Präludium-Kompatibilität: Bereitstellen von Prelude und Data.List mit festen Inhalten für alle GHC-Versionen

This package allows you to write warning-free code that compiles with versions of base before and after AMP and FTP, that is, base before and beginning with 4.8, respectively, and GHC before and beginning with 7.10, respectively. It serves three purposes:

Prevent you from name clashes of FTP-Prelude with locally defined functions having names like <*> , join , foldMap .

Prevent you from redundant import warnings if you manually import Data.Monoid or Control.Applicative .

Fix list functions to the list type, contrarily to the aim of the FTP. This way you are saved from length (2,1) == 1 and maximum (2,1) == 1 , until you import Data.Foldable .

to your modules. This way, you must change all affected modules. If you want to avoid this you may try the prelude2010 package or if you already import Prelude explicitly, you may try to add

In my opinion, this is the wrong way round. The presented Prelude2010 module should have been the one for GHC-7.10 and the Prelude with added and generalized list functions should have been an additional PreludeFTP, preferably exported by a separate package like all other alternate Prelude projects. But the purpose of the FTP was to save some import statements at the expense of blowing up the Foldable class and prevent simple ways to write code that works with GHC version before and starting with GHC-7.10 and that does not provoke warnings.

'base-compat': The opposite approach - Make future function definitions available in older GHC versions.

haskell2010 : Defines the Prelude for Haskell 2010. Unfortunately, haskell2010 is not available anymore since GHC-7.10, because of the AMP.

'numeric-prelude': It is intended to provide a refined numeric class hierarchy but it also provides a non-numeric subset of the Prelude that is more stable than the one of base .


12.1.1: Prelude to Biological Macromolecules

  • Contributed by OpenStax
  • General Biology at OpenStax CNX
Figure (PageIndex<1>): Foods such as bread, fruit, and cheese are rich sources of biological macromolecules. (credit: modification of work by Bengt Nyman)

Food provides the body with the nutrients it needs to survive. Many of these critical nutrients are biological macromolecules, or large molecules, necessary for life. These macromolecules (polymers) are built from different combinations of smaller organic molecules (monomers). What specific types of biological macromolecules do living things require? How are these molecules formed? What functions do they serve? In this chapter, these questions will be explored.


1.1: Prelude to Derivatives

The Hennessey Venom GT is one of the fastest cars in the world. In 2014, it reached a record-setting speed of 270.49 mph. It can go from 0 to 200 mph in 14.51 seconds. The techniques in this chapter can be used to calculate the acceleration the Venom achieves in this feat.)

Figure (PageIndex<1>): The Hennessey Venom GT can go from 0 to 200 mph in 14.51 seconds. (credit: modification of work by Codex41, Flickr)

Calculating velocity and changes in velocity are important uses of calculus, but it is far more widespread than that. Calculus is important in all branches of mathematics, science, and engineering, and it is critical to analysis in business and health as well. In this chapter, we explore one of the main tools of calculus, the derivative, and show convenient ways to calculate derivatives. We apply these rules to a variety of functions in this chapter so that we can then explore applications of these techniques.


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