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2.7: Lineare Ungleichungen lösen


Lernziele

Am Ende dieses Abschnitts können Sie:

  • Ungleichungen auf dem Zahlenstrahl grafisch darstellen
  • Lösen Sie Ungleichungen mit den Subtraktions- und Additionseigenschaften der Ungleichung
  • Lösen Sie Ungleichungen mit den Divisions- und Multiplikationseigenschaften der Ungleichung
  • Lösen Sie Ungleichungen, die einer Vereinfachung bedürfen
  • Übersetze in eine Ungleichung und löse

Hinweis

Bevor Sie beginnen, machen Sie dieses Bereitschaftsquiz.

  1. Aus der Algebra ins Deutsche übersetzen: (15>x).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Übung 1.3.1.
  2. Löse: (n−9=−42).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Übung 2.1.7.
  3. Löse: (−5p=−23).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Übung 2.2.1.
  4. Löse: (3a−12=7a−20).
    Wenn Sie dieses Problem übersehen haben, lesen Sie Übung 2.3.22.

Ungleichungen auf der Zahlengerade grafisch darstellen

Weißt du noch, was es bedeutet, dass eine Zahl eine Lösung einer Gleichung ist? Eine Lösung einer Gleichung ist ein Wert einer Variablen, der eine wahre Aussage macht, wenn er in die Gleichung eingesetzt wird.

Was ist mit der Lösung einer Ungleichung? Welche Zahl würde die Ungleichung (x > 3) wahr machen? Denkst du, 'x könnte 4' sein? Das ist richtig, aber x könnte auch 5 oder 20 oder sogar 3,001 sein. Jede Zahl größer als 3 ist eine Lösung der Ungleichung (x > 3).

Wir zeigen die Lösungen der Ungleichung (x > 3) auf dem Zahlenstrahl, indem wir alle Zahlen rechts von 3 einschraffieren, um zu zeigen, dass alle Zahlen größer als 3 Lösungen sind. Da die Zahl 3 selbst keine Lösung ist, setzen wir eine offene Klammer bei 3. Der Graph von (x > 3) ist in Abbildung (PageIndex{1}) dargestellt. Bitte beachten Sie, dass folgende Konvention verwendet wird: Hellblaue Pfeile zeigen in positive Richtung und dunkelblaue Pfeile zeigen in negative Richtung.

Der Graph der Ungleichung (x geq 3) ist dem Graphen von (x > 3) sehr ähnlich, aber jetzt müssen wir zeigen, dass auch 3 eine Lösung ist. Dazu setzen wir eine Klammer an (x = 3), wie in Abbildung (PageIndex{2}) gezeigt.

Beachten Sie, dass das Symbol für offene Klammern ( ( ) anzeigt, dass der Endpunkt der Ungleichung nicht enthalten ist. Das Symbol für offene Klammern [ zeigt an, dass der Endpunkt enthalten ist.

Übung (PageIndex{1})

Grafik auf dem Zahlenstrahl:

  1. (xleq 1)
  2. (x<5)
  3. (x>−1)
Antworten

1. (xleq 1) Das bedeutet alle Zahlen kleiner oder gleich 1. Wir schattieren alle Zahlen auf der Zahlengeraden links von 1 und setzen x=1 in Klammern, um zu zeigen, dass sie enthalten ist .

2. (x<5) Dies bedeutet alle Zahlen kleiner als 5, aber nicht einschließlich 5. Wir schattieren alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl links von 5 und setzen eine Klammer bei x=5, um zu zeigen, dass dies nicht der Fall ist inbegriffen.

3. (x>−1) Dies bedeutet alle Zahlen größer als −1, aber nicht einschließlich −1. Wir schattieren alle Zahlen auf dem Zahlenstrahl rechts von −1 und setzen dann eine Klammer bei x=−1, um anzuzeigen, dass sie nicht enthalten ist.

Übung (PageIndex{2})

Grafik auf dem Zahlenstrahl:

  1. (xleq −1)
  2. (x>2)
  3. (x<3)
Antworten

Übung (PageIndex{3})

Grafik auf dem Zahlenstrahl:

  1. (x>−2)
  2. (x<−3)
  3. (xgeq −1)
Antworten

Wir können Ungleichungen auch darstellen mit Intervall-Notation. Wie wir oben gesehen haben, bedeutet die Ungleichung (x>3) alle Zahlen größer als 3. Die Lösung dieser Ungleichung hat kein oberes Ende. Im Intervall-Notation, drücken wir (x>3) als ((3, infty)) aus. Das Symbol (infty) wird als ‚unendlich‘ gelesen. Es ist keine tatsächliche Zahl. Abbildung (PageIndex{3}) zeigt sowohl den Zahlenstrahl als auch die Intervallnotation.

Die Ungleichung (xleq 1) bedeutet alle Zahlen kleiner oder gleich 1. Diese Zahlen haben kein unteres Ende. Wir schreiben (xleq 1) in Intervallnotation als ((-infty, 1]). Das Symbol (-infty) wird als 'negative Unendlichkeit' gelesen. Abbildung (PageIndex{4 }) zeigt sowohl die Zahlenzeile als auch die Intervallnotation an.

UNGLEICHHEITEN, ZAHLENZEILEN UND INTERVALL NOTATION

Ist Ihnen aufgefallen, dass die Klammer in der Intervallnotation mit dem Symbol am Endpunkt des Pfeils übereinstimmt? Diese Beziehungen sind in Abbildung (PageIndex{5}) dargestellt.

Übung (PageIndex{5})

Zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie in Intervallschreibweise:

  1. (x>2)
  2. (xleq −1.5)
  3. (xgeqfrac{3}{4})
Antworten

Übung (PageIndex{6})

Zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie in Intervallschreibweise:

  1. (xleq −4)
  2. (xgeq 0.5)
  3. (x<-frac{2}{3})
Antworten

Lösen Sie Ungleichungen mit den Subtraktions- und Additionseigenschaften der Ungleichung

Die Subtraktions- und Additionseigenschaften von Equality besagen, dass, wenn zwei Größen gleich sind, die Ergebnisse gleich sind, wenn wir denselben Betrag von beiden Größen addieren oder subtrahieren.

EIGENSCHAFTEN DER GLEICHHEIT

[egin{array} { ll} { extbf { Subtraktionseigenschaft der Gleichheit} } & { extbf { Additionseigenschaft der Gleichheit} } { ext { Für beliebige Zahlen } a , b , ext { und } c , } & { ext { Für beliebige Zahlen } a , b , ext { und } c } { ext { if } qquad quad a = b , } & { ext { if } qquad quad a = b } { ext { dann } a - c = b - c . } & { ext { dann } a + c = b + c } end{array}]

Ähnliche Eigenschaften gelten für Ungleichungen.

Zum Beispiel wissen wir, dass -4 kleiner als 2 ist.
Wenn wir von beiden Größen 5 abziehen, ist die linke Seite immer noch kleiner als die rechte Seite?
Wir erhalten -9 auf der linken und -3 auf der rechten Seite.
Und wir wissen, dass -9 weniger als -3 ist.

Das Ungleichheitszeichen blieb gleich.

Tabelle (PageIndex{1})

Ebenso konnten wir zeigen, dass die Ungleichung auch für die Addition gleich bleibt.

Dies führt uns zu den Subtraktions- und Additionseigenschaften der Ungleichung.

EIGENSCHAFTEN DER UNGLEICHHEIT

[egin{array} { ll} { extbf { Subtraktionseigenschaft der Ungleichung} } & { extbf { Additionseigenschaft der Ungleichung } } { ext { Für beliebige Zahlen } a , b , ext { und } c , } & { ext { Für beliebige Zahlen } a , b , ext { und } c } { ext { if }qquad quad a < b } & { ext { if } qquad quad a < b } { ext { dann } a - c < b - c . } & { ext { then } a + c < b + c } { ext { if } qquad quad a > b } & { ext { if } qquad quad a > b } { ext{dann} a-c > b-c. } & { ext { dann } a + c > b + c } end{array}]

Wir verwenden diese Eigenschaften, um Ungleichungen zu lösen, indem wir dieselben Schritte ausführen, die wir zum Lösen von Gleichungen verwendet haben. Beim Lösen der Ungleichung (x+5>9) würden die Schritte so aussehen:

[egin{array}{rrll} {} &{x + 5} &{ >} &{9} { ext{Subtrahiere 5 von beiden Seiten, um }x zu isolieren.} &{x + 5 - 5 } &{ >} &{9 - 5} {} &{x} &{ >} &{4} end{array}]

Jede Zahl größer als 4 ist eine Lösung dieser Ungleichung.

Übung (PageIndex{7})

Lösen Sie die Ungleichung (n - frac{1}{2} leq frac{5}{8}), zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten
Addiere (frac{1}{2}) zu beiden Seiten der Ungleichung.
Vereinfachen.
Zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl.
Schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

Übung (PageIndex{8})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(p ​​- frac{3}{4} geq frac{1}{6})

Antworten

Übung (PageIndex{9})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(r - frac{1}{3} leq frac{7}{12})

Antworten

Lösen Sie Ungleichungen mit den Divisions- und Multiplikationseigenschaften der Ungleichung

Die Divisions- und Multiplikationseigenschaften von Equality besagen, dass, wenn zwei Größen gleich sind, wenn wir beide Größen mit demselben Betrag teilen oder multiplizieren, die Ergebnisse ebenfalls gleich sind (vorausgesetzt, wir teilen nicht durch 0).

EIGENSCHAFTEN DER GLEICHHEIT

[egin{array}{ll} { extbf{Divisionseigenschaft der Gleichheit}} &{ extbf{Multiplikationseigenschaft der Gleichheit}} { ext{Für beliebige Zahlen a, b, c und c} neq 0} &{ ext{Für beliebige Zahlen a, b, c}} { ext{if } qquad a = b} &{ ext{if} qquad quad a = b} { ext{then }quad frac{a}{c} = frac{b}{c}} &{ ext{then } quad ac = bc} end{array}]

Gibt es ähnliche Eigenschaften für Ungleichungen? Was passiert mit einer Ungleichung, wenn wir beide Seiten durch eine Konstante dividieren oder multiplizieren?

Betrachten Sie einige numerische Beispiele.

Teilen Sie beide Seiten durch 5.Multiplizieren Sie beide Seiten mit 5.
Vereinfachen.
Ergänze die Ungleichungszeichen.
Tabelle (PageIndex{2})

Die Ungleichheitszeichen blieben gleich.

Bleibt die Ungleichung gleich, wenn wir mit einer negativen Zahl dividieren oder multiplizieren?

Teilen Sie beide Seiten durch -5.Multiplizieren Sie beide Seiten mit -5.
Vereinfachen.
Ergänze die Ungleichungszeichen.
Tabelle (PageIndex{3})

Die Ungleichungszeichen kehrten ihre Richtung um.

Wenn wir eine Ungleichung durch eine positive Zahl dividieren oder multiplizieren, bleibt das Ungleichungszeichen gleich. Wenn wir eine Ungleichung durch eine negative Zahl dividieren oder multiplizieren, kehrt sich das Ungleichungszeichen um.

Hier sind die Divisions- und Multiplikationseigenschaften der Ungleichung zum einfachen Nachschlagen.

DIVISION- UND MULTIPLIKATIONSEIGENSCHAFTEN DER UNGLEICHHEIT

Für beliebige reelle Zahlen a,b,c

[egin{array}{ll} { ext{if } a < b ext{ und } c > 0, ext{ then}} &{frac{a}{c} < frac{b} {c} ext{ und } ac < bc} { ext{if } a > b ext{ und } c > 0, ext{ then}} &{frac{a}{c} > frac{b}{c} ext{ und } ac > bc} { ext{if } a < b ext{ und } c < 0, ext{ then}} &{frac{a}{ c} > frac{b}{c} ext{ und } ac > bc} { ext{if } a > b ext{ und } c < 0, ext{ then}} &{frac {a}{c} < frac{b}{c} ext{ und } ac < bc} end{array}]

Wenn wir dividieren oder multiplizieren eine Ungleichung durch a:

  • positiv Zahl, die Ungleichung bleibt die gleich.
  • Negativ Zahl, die Ungleichung kehrt um.

Übung (PageIndex{11})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(9c>72)

Antworten

(c>8)

((8, infty))

Übung (PageIndex{12})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(12dleq 60)

Antworten

(dleq 5)

((-infty, 5])

Übung (PageIndex{14})

Lösen Sie jede Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

(−8q<32)

Antworten

(q>−4)

Übung (PageIndex{15})

Lösen Sie jede Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

(−7rleq −70)

Antworten

UNGLEICHHEITEN LÖSEN

Beim Lösen einer Ungleichung landet die Variable manchmal auf der rechten Seite. Wir können die Ungleichung in umgekehrter Reihenfolge umschreiben, um die Variable nach links zu bekommen.

[egin{array}{l} x > a ext{ hat dieselbe Bedeutung wie } a < x end{array}]

Stellen Sie sich das so vor: „Wenn Xavier größer als Alex ist, dann ist Alex kleiner als Xavier.“

Übung (PageIndex{17})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(24 leq frac{3}{8}m)

Antworten

Übung (PageIndex{18})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(-24 < frac{4}{3}n)

Antworten

Übung (PageIndex{20})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(frac{k}{-12}leq 15)

Antworten

Übung (PageIndex{21})

Lösen Sie die Ungleichung, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

(frac{u}{-4}geq -16)

Antworten

​​​​​

Lösen Sie Ungleichungen, die eine Vereinfachung erfordern

Die meisten Ungleichungen erfordern mehr als einen Schritt, um sie zu lösen. Wir folgen den gleichen Schritten, die wir in der allgemeinen Strategie zum Lösen linearer Gleichungen verwendet haben, aber achten Sie bei der Multiplikation oder Division genau darauf.

Übung (PageIndex{23})

Lösen Sie die Ungleichung (3qgeq 7q−23), zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

Übung (PageIndex{24})

Lösen Sie die Ungleichung (6x<10x+19), zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.

Antworten

Übung (PageIndex{25})

Lösen Sie die Ungleichung (8p+3(p−12)>7p−28) Zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten
Vereinfachen Sie jede Seite so weit wie möglich.8p+3(p−12)>7p−28
Verteilen.8p+3p−36>7p−28
Kombiniere ähnliche Begriffe.11p-36>7p-28
Ziehen Sie 7p von beiden Seiten ab, um die Variablen auf der linken Seite zu sammeln.11p−36−7p>7p−28−7p
Vereinfachen.4p−36>−28
Addiere 36 zu beiden Seiten, um die Konstanten auf der rechten Seite zu sammeln.4p−36+36>−28+36
Vereinfachen.4p>8
Teilen Sie beide Seiten der Ungleichung durch 4; die Ungleichung bleibt gleich.(frac{4p}{4}>84)
Vereinfachen.(p>2)
Zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl.
Schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.((2, infty))

Übung (PageIndex{26})

Lösen Sie die Ungleichung (9y+2(y+6)>5y−24), zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

Übung (PageIndex{27})

Löse die Ungleichung (6u+8(u−1)>10u+32, trage die Lösung auf dem Zahlenstrahl auf und schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

So wie manche Gleichungen Identitäten und manche Widersprüche sind, können auch Ungleichungen Identitäten oder Widersprüche sein. Wir erkennen diese Formen, wenn wir beim Lösen der Ungleichung nur noch Konstanten haben. Wenn das Ergebnis eine wahre Aussage ist, haben wir eine Identität. Wenn das Ergebnis eine falsche Aussage ist, haben wir einen Widerspruch.

Übung (PageIndex{28})

Löse die Ungleichung (8x−2(5−x)<4(x+9)+6x, trage die Lösung auf dem Zahlenstrahl auf und schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten
Vereinfachen Sie jede Seite so weit wie möglich.8x−2(5−x)<4(x+9)+6x
Verteilen.8x−10+2x<4x+36+6x
Kombiniere ähnliche Begriffe.10x−10<10x+36
Subtrahiere 10x von beiden Seiten, um die Variablen auf der linken Seite zu sammeln.10x−10−10x<10x+36−10x
Vereinfachen.−10<36
Die xx sind weg, und wir haben eine wahre Aussage.Die Ungleichheit ist eine Identität.
Die Lösung sind alle reellen Zahlen.
Zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl.
Schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation.((-infty, infty))

Übung (PageIndex{29})

Lösen Sie die Ungleichung (4b−3(3−b)>5(b−6)+2b, zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

Übung (PageIndex{30})

Lösen Sie die Ungleichung (9h−7(2−h)<8(h+11)+8h), zeichnen Sie die Lösung auf dem Zahlenstrahl und schreiben Sie die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

Übung (PageIndex{32})

Löse die Ungleichung (frac{1}{4}x - frac{1}{12}x > frac{1}{6}x + frac{7}{8}), zeichne die Lösung auf den Zahlenstrahl und schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

Übung (PageIndex{33})

Löse die Ungleichung (frac{2}{5}z - frac{1}{3}z < frac{1}{15}z - frac{3}{5}), zeichne die Lösung auf den Zahlenstrahl und schreibe die Lösung in Intervallschreibweise.

Antworten

In eine Ungleichung übersetzen und lösen

Um englische Sätze in Ungleichungen zu übersetzen, müssen wir die Ausdrücke erkennen, die die Ungleichung anzeigen. Manche Wörter sind einfach, wie „mehr als“ und „weniger als“. Aber andere sind nicht so offensichtlich.

Denken Sie an den Satz „mindestens“ – was bedeutet es, „mindestens 21 Jahre alt“ zu sein? Es bedeutet 21 oder mehr. Der Ausdruck „mindestens“ ist gleichbedeutend mit „größer oder gleich“.

Tabelle (PageIndex{4}) zeigt einige gebräuchliche Ausdrücke, die auf Ungleichungen hinweisen.

>(geq)<(leq)
" data-valign="middle" class="lt-math-15134">ist größer alsist größer oder gleichist weniger alsist kleiner oder gleich
" data-valign="middle" class="lt-math-15134">ist mehr alsist mindestensist kleiner alsist höchstens
" data-valign="middle" class="lt-math-15134">ist größer alsist nicht weniger alshat weniger alsist nicht mehr als
" data-valign="middle" class="lt-math-15134">übertrifftist das Minimumist niedriger alsist das Maximum
Tabelle (PageIndex{4})

Übung (PageIndex{34})

Übersetzen und lösen. Dann schreibe die Lösung in Intervallnotation und zeichne sie auf dem Zahlenstrahl auf.

Zwölf mal c ist nicht mehr als 96.

Antworten
Übersetzen.
Lösen – dividiere beide Seiten durch 12.
Vereinfachen.
Schreiben Sie in Intervallnotation.
Graph auf dem Zahlenstrahl.

Übung (PageIndex{35})

Übersetzen und lösen. Dann schreibe die Lösung in Intervallnotation und zeichne sie auf dem Zahlenstrahl auf.

Zwanzig Mal ja ist höchstens 100

Antworten

Übung (PageIndex{36})

Übersetzen und lösen. Dann schreiben Sie die Lösung in Intervallnotation und zeichnen Sie auf dem Zahlenstrahl.

Neun Mal z ist nicht weniger als 135

Antworten

Übung (PageIndex{37})

Übersetzen und lösen. Dann schreibe die Lösung in Intervallnotation und zeichne sie auf dem Zahlenstrahl auf.

Dreißig weniger als x ist mindestens 45.

Antworten
Übersetzen.
Lösen: Addiere 30 zu beiden Seiten.
Vereinfachen.
Schreiben Sie in Intervallnotation.
Graph auf dem Zahlenstrahl.

Übung (PageIndex{38})

Übersetzen und lösen. Dann schreibe die Lösung in Intervallnotation und zeichne sie auf dem Zahlenstrahl auf.

Neunzehn weniger als p ist nicht weniger als 47

Antworten

Übung (PageIndex{39})

Übersetzen und lösen. Dann schreibe die Lösung in Intervallnotation und zeichne sie auf dem Zahlenstrahl auf.

Vier mehr als ein ist höchstens 15.

Antworten

Schlüssel Konzepte

  • Subtraktionseigenschaft der Ungleichung
    Für beliebige Zahlen a, b und c gilt
    wenn awenn a>b dann a−c>b−c.
  • Additionseigenschaft der Ungleichung
    Für beliebige Zahlen a, b und c gilt
    wenn awenn a>b dann a+c>b+c.
  • Divisions- und Multiplikationseigenschaften von Ungleichungja
    Für beliebige Zahlen a, b und c gilt
    wenn a0, dann acbc.
    wenn a>b und c>0, dann ac>bc und ac>bc.
    wenn abc und ac>bc.
    wenn a > b und c < 0, dann ac < bc und ac < bc.
  • Wenn wir dividieren oder multiplizieren eine Ungleichung durch a:
    • positiv Zahl, die Ungleichung bleibt die gleich.
    • Negativ Zahl, die Ungleichung kehrt um.

Lösen von zweistufigen linearen Ungleichungen

Um eine zweistufige Ungleichung zu lösen, machen Sie zuerst die Addition oder Subtraktion mit inversen Operationen rückgängig und machen Sie dann die Multiplikation oder Division rückgängig.

Die umgekehrte Operation der Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.

Ebenso ist die umgekehrte Operation der Multiplikation die Division und umgekehrt.

Beachten Sie, dass jedes Mal, wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, die Ungleichung umkehren.

Zuerst müssen wir den variablen Term auf einer Seite der Ungleichung isolieren. Hier wird links 1 zum variablen Term 2 x addiert. Die umgekehrte Operation der Addition ist die Subtraktion. Ziehe also 1 von beiden Seiten ab.

Nun haben wir die Variable x mit 2 multipliziert. Die Umkehroperation der Multiplikation ist die Division. Teilen Sie also beide Seiten durch 2.

Das heißt, die Ungleichung gilt für alle Werte von x, die kleiner als 3 sind.

Daher sind die Lösungen der Ungleichung 2 x + 1 < 7 alle Zahlen kleiner als 3 .

Zuerst müssen wir links den variablen Term &minus 3 x isolieren. Die umgekehrte Operation der Subtraktion ist die Addition. Fügen Sie also auf beiden Seiten 8 hinzu.

Um die Variable x zu isolieren, teilen Sie beide Seiten durch &minus 3 .

Beachten Sie, dass jedes Mal, wenn Sie beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, die Ungleichung umkehren.

Daher sind die Lösungen der Ungleichung &minus 3 x &minus 8 &ge &minus 2 alle Zahlen kleiner oder gleich &minus 2 .


Lineare Ungleichungen lösen

Überblick
• Abschnitt 2.7 im Lehrbuch:
– Ungleichungen auf einem Zahlenstrahl grafisch darstellen &
Intervall-Notation
– Verwenden der Additionseigenschaft der Ungleichung
– Verwenden der Multiplikationseigenschaft der Ungleichung
– Lösen von Ungleichungen mit beiden Eigenschaften

Ungleichungen auf a . grafisch darstellen
Zahlenzeile & Ampere Intervall Notation

Lösungsset
• Lösungssatz – alle Werte, die ein
Ungleichheit
• Oft wird eine Lösungsmenge mit a . ausgedrückt
Zahlenreihe

Ungleichungen auf einer Zahl grafisch darstellen
Linie
• Betrachten Sie die Ungleichung x > 1
–Welche Werte von x machen die
Ungleichung wahr?

• <2, 3, 4, 5, …>
– Somit kann x ein beliebiger Wert größer als 1 sein

• Welche Richtung auf dem Zahlenstrahl angibt
steigende Werte?
– Kann x = 1 eine Lösung der Ungleichung sein?

• Da x = 1 nicht in der Lösungsmenge enthalten ist, setzen wir a
Klammer um 1 auf dem Zahlenstrahl

• Betrachten Sie nun x ≥ 1
– FAST genauso grafisch dargestellt, AUSSER EX

• Ist x = 1 im Lösungssatz enthalten?
– Da x = 1 Teil der Lösungsmenge ist, setzen wir eine Klammer um 1
auf dem Zahlenstrahl

• Gegeben x < a oder x > a:
– Klammer geht um a auf dem Zahlenstrahl (nicht
inklusive)

• Gegeben x ≤ a oder x ≥ a:
– Klammer geht um a auf der Zahlengeraden (inklusive)

Intervall-Notation
• Einfach, sobald der Graph erhalten ist

• Stellt die “Endpunkte” des Diagramms dar
– Erster “Wert” ist der am weitesten schattierte
links in der Grafik
– Zweiter “Wert” ist das, was am weitesten schattiert ist
rechts in der Grafik
– Ein schattierter Pfeil steht für ∞

• Klammern gehen IMMER um unendlich herum

Ungleichungen auf einer Zahl grafisch darstellen
Linien- und Intervallnotation (Beispiel)
Bsp. 1: Graph auf einem Zahlenstrahl UND schreibe ein
Intervall-Notation:

Additionseigenschaft der Ungleichung
• Funktioniert genauso wie die Addition
Eigentum der Gleichheit

• Wenn eine Nummer hinzugefügt wird oder
von der Variablen abgezogen:
– Füge die gegenüberliegende Zahl zu BEIDE SEITEN hinzu

• Betrachten Sie 2 < 7
–Was passiert, wenn wir auf beiden Seiten 2 hinzufügen?
–Was passiert, wenn wir 5 subtrahieren?

Additionseigenschaft der Ungleichung
(Beispiel)
Bsp. 2: Löse, zeichne UND schreibe die Lösung
in Intervallnotation setzen:

Multiplikationseigenschaft der Ungleichung
• FAST das gleiche wie die Multiplikation
Eigentum der Gleichheit

• Wenn die Variable mit a multipliziert wird
Nummer:
– Dividiere BEIDE SEITEN durch die Zahl
EINSCHLIESSLICH DES ZEICHENS

• Betrachten Sie 4 > 2
–Was passiert, wenn wir durch 2 teilen?
–Was passiert, wenn wir durch -2 teilen?

• Also, wenn wir eine UNGLEICHHEIT AUFTEILEN
durch eine NEGATIVE Zahl:
– Wechseln Sie die Richtung der Ungleichung
– Die Ungleichung kann nicht umgeschaltet werden, wenn
TEILEN durch eine NEGATIVE Zahl ist a
häufiger Fehler!

Multiplikationseigenschaft von
Ungleichung (Beispiel)
Bsp. 3: Löse, zeichne UND schreibe die Lösung
in Intervallnotation setzen:

Ungleichungen lösen mit
Beide Eigenschaften

Ungleichungen mit beiden lösen
Eigenschaften (Beispiel)
Bsp. 4: Löse, zeichne UND schreibe die Lösung
in Intervallnotation setzen:

Bsp 5: Löse, zeichne UND schreibe die Lösung
in Intervallnotation setzen:

Zusammenfassung
• Nachdem Sie diese Folien studiert haben, sollten Sie es wissen
wie man folgendes macht:
– Zeichnen Sie eine Ungleichung auf einer Zahlengeraden
– Die Additions- und Multiplikationseigenschaften verstehen
der Ungleichheit
– Ungleichungen lösen und darstellen

• Zusätzliche Praxis
– Siehe die Liste der vorgeschlagenen Probleme für 2.7

• Nächste Lektion
– Lösen von Absolutwertgleichungen (Abschnitt E.1)


Lineare Ungleichungen lösen

Ein Ungleichheit ist ein Satz mit , &le oder &ge als Verb. Ein Beispiel ist 3x - 5 0 sind wahr, dann ist ac bc wahr.
Ähnliche Aussagen gelten für a &le b.

Wenn beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multipliziert werden, müssen wir das Ungleichungszeichen umkehren.
Ungleichungen ersten Grades mit einer Variablen, wie in Beispiel 1 unten, sind Lineare Ungleichungen.

BEISPIEL 1 Lösen Sie jede der folgenden Aufgaben. Zeichnen Sie dann die Lösungsmenge.
a) 3x - 5
Lösen 13 - 7x &ge 10x - 4
Subtrahieren von 10x
13 - 17x &ge -4

Dividieren durch -17 und Umkehren des Ungleichungszeichens
x &le 1

Die Lösungsmenge ist , oder (-&infin, 1]. Der Graph der Lösungsmenge ist unten gezeigt.

Zusammengesetzte Ungleichungen

Wenn zwei Ungleichungen durch das Wort verbunden sind und oder das Wort oder, ein zusammengesetzte Ungleichung gebildet. Eine zusammengesetzte Ungleichung wie
-3 1. Zeichnen Sie dann die Lösungsmenge.
Lösung Wir haben

2x - 5 &le -7 oder 2x - 5 > 1.
2x &le -2 oder 2x > 6 5 . hinzufügen
x &le -1 oder x > 3. Teilen durch 2
Die Lösungsmenge ist oder x > 3>. Wir können die Lösung auch in Intervallnotation schreiben und das Symbol für die Union oder Einbeziehung beider Mengen: (-&infin -1] (3, &infin) Der Graph der Lösungsmenge ist unten gezeigt.

Zur Überprüfung zeichnen wir y1 = 2x - 5, y2 = -7 und y3 = 1. Beachten Sie, dass für oder x > 3>, y1 &le y2 oder ja1 > ja3.

Ungleichungen mit absolutem Wert

Ungleichungen enthalten manchmal Absolutwertnotationen. Die folgenden Eigenschaften werden verwendet, um sie zu lösen.
Für a > 0 und einen algebraischen Ausdruck X:
|X| a ist äquivalent zu X a.
Ähnliche Aussagen gelten für |X| &le a und |X| &ge a.


Mathematik PreCalculus Mathematik in Nebraska

Im vorherigen Abschnitt haben wir über linear gesprochen Gleichungen, das sind mathematische Aussagen, die angeben, dass zwei Ausdrücke gleich sind. Aber was ist, wenn wir Ausdrücke mit unterschiedlichen "Größen" vergleichen möchten?

In diesem Abschnitt werden Sie.

Lösungen für Ungleichungen mit einer Vielzahl von Darstellungen darstellen

Unterabschnitt Lineare Ungleichungen

Das Symbol (gt) heißt an und die Aussage (agt b) heißt an . Es gibt vier Ungleichungssymbole:

Ungleichungen, die die Symbole (gt) oder (lt) enthalten, heißen solche, die (ge) oder (le) enthalten.

Wenn eine Ungleichung eine oder mehrere Variablen enthält, ist eine dieser Ungleichungen jede Menge von Werten, die die Variablen ersetzen kann, um eine wahre Aussage zu erzeugen. Zum Beispiel ist (3) eine Lösung für (2x>2), da (2cdot3>2) eine wahre Aussage ist. (3) ist jedoch nicht die einzige Lösung! Tatsächlich ist jede Zahl größer als (1) eine Lösung. Während lineare Gleichungen genau eine, null oder unendlich viele Lösungen haben, können lineare Ungleichungen viel komplexere Lösungsmengen haben.

Das Lösen linearer Ungleichungen ist dem Lösen linearer Gleichungen sehr ähnlich. Der Hauptunterschied liegt im Multiplizieren und Dividieren: Wenn wir beide Seiten einer Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, muss die Richtung der Ungleichung umgekehrt werden. Wenn wir zum Beispiel beide Seiten der Ungleichung multiplizieren

Aufgrund dieser Eigenschaft müssen die Regeln zum Lösen linearer Gleichungen zum Lösen linearer Ungleichungen leicht überarbeitet werden.

So lösen Sie eine lineare Ungleichung

Wir können zu beiden Seiten einer Ungleichung dieselbe Zahl hinzufügen oder dieselbe Zahl von beiden Seiten einer Ungleichung subtrahieren, ohne ihre Lösungen zu ändern.

Wir können beide Seiten einer Ungleichung mit a . multiplizieren oder dividieren positiv Nummer.

Wenn wir beide Seiten einer Ungleichung mit a . multiplizieren oder dividieren Negativ Nummer, wir müssen die Richtung des Ungleichungssymbols umkehren.

Beispiel 53

Löse die Ungleichung (4 - 3x ge -17 ext<.>)

Verwenden Sie die obigen Regeln, um (x) auf einer Seite der Ungleichung zu isolieren.

Beachten Sie, dass wir die Richtung der Ungleichung umgekehrt haben, wenn wir durch (-3 ext<.>) geteilt haben. Jede Zahl kleiner oder gleich (7) ist eine Lösung der Ungleichung.

A beinhaltet zwei Ungleichungssymbole. Um eine zusammengesetzte Ungleichung zu lösen, verwenden wir die gleichen Schritte wie zuvor und wenden die Operationen auf alle drei "Seiten" der Ungleichungssymbole an.

Beispiel 54

Löse (4 le 3x + 10 le 16 ext<.>)

Wir isolieren (x), indem wir auf allen drei Seiten der Ungleichung die gleichen Operationen durchführen.

Die Lösungen sind alle Zahlen zwischen (-2) und (2 ext<,>) inklusive.

Achtung 55

Beachten Sie im vorherigen Beispiel, dass in einer zusammengesetzten Ungleichung beide Ungleichungssymbole in dieselbe "Richtung" weisen. Normalerweise würden Sie nichts wie (4lt x geq 8) oder (-3geq x leq 2 ext<.>) sehen.

Unterabschnitt Intervallnotation

Eine übliche Möglichkeit, Lösungen einer Ungleichung darzustellen, ist mit . Ein Intervall ist eine Menge, die aus allen reellen Zahlen zwischen zwei Zahlen (a) und (b ext<.>) besteht.

Die Menge (-2 le x le 2) enthält ihre Endpunkte (-2) und (2 ext<,>), also nennen wir sie a und bezeichnen sie mit ([-2 , 2]) (siehe Abbildung 56a). Die eckigen Klammern sagen uns, dass die Endpunkte im Intervall enthalten sind. Ein Intervall, das seine Endpunkte nicht enthält, wie (-2 lt x lt 2 ext<,>) heißt an und wir bezeichnen es mit runden Klammern, ((-2, 2)) (siehe Abbildung 56b).

Achtung 57

Verwechseln Sie nicht das offene Intervall ((-2, 2)) mit dem Punkt ((-2, 2) ext) Die Notation ist dieselbe, Sie müssen also aus dem Kontext heraus entscheiden, ob ein Intervall oder ein Punkt diskutiert wird.

Wir können auch diskutieren, wie zum Beispiel (xlt 3) und (xge -1 ext<,>) in Abbildung 58. Wir bezeichnen das Intervall (xlt 3) mit ((-infty, 3) ext<,>) und das Intervall (xge -1) mit ([-1, infty ) ext<.>) Das Symbol (infty ext<,>) für Unendlich stellt keine bestimmte reelle Zahl dar, sondern zeigt an, dass das Intervall ewig entlang der reellen Linie verläuft. Wir verwenden immer runde Klammern neben (pminfty) in unendlichen Abständen.

Schließlich können wir zwei oder mehr Intervalle zu einem größeren Satz kombinieren. Zum Beispiel ist die in Abbildung 59 gezeigte Menge aus (xlt -1) oder (xgt 2 ext<,>) die von zwei Intervallen und wird mit ((-infty, -2) cup (2,infty) ext<.>)

Viele Lösungen von Ungleichungen sind Intervalle oder Vereinigungen von Intervallen.

Beispiel 60

Schreiben Sie jede der Lösungsmengen mit Intervallnotation und zeichnen Sie die Lösungsmenge auf einem Zahlenstrahl.


Lösen von Systemen linearer Ungleichungen

Lösungen für ein System linearer Ungleichungen sind die geordneten Paare, die alle Ungleichungen im System lösen. Um diese Systeme zu lösen, zeichnen Sie daher die Lösungsmengen der Ungleichungen auf derselben Menge von Achsen und bestimmen Sie, wo sie sich schneiden. Diese Schnittmenge oder Überlappung definiert den Bereich gemeinsamer geordneter Paarlösungen.

Beispiel 1: Zeichnen Sie die Lösungsmenge: < − 2 x + y > − 4 3 x − 6 y ≥ 6 .

Lösung: Um den grafischen Prozess zu erleichtern, lösen wir zuerst nach ja.

Für die erste Ungleichung verwenden wir eine gestrichelte Grenze definiert durch y = 2 x − 4 und schattieren alle Punkte oberhalb der Linie. Für die zweite Ungleichung verwenden wir einen durch y = 1 2 x − 1 definierten festen Rand und schattieren alle darunter liegenden Punkte. Die Kreuzung ist abgedunkelt.

Jetzt präsentieren wir die Lösung, wobei nur der Schnittpunkt schattiert ist.

Beispiel 2: Zeichnen Sie die Lösungsmenge: < − 2 x + 3 y > 6 4 x − 6 y > 12 .

Lösung: Beginnen Sie damit, beide Ungleichungen nach aufzulösen ja.

Verwenden Sie für jede Grenze eine gestrichelte Linie. Für die erste Ungleichung schattieren Sie alle Punkte oberhalb der Grenze. Für die zweite Ungleichung schattieren Sie alle Punkte unterhalb der Grenze.

Wie Sie sehen, gibt es keinen Schnittpunkt dieser beiden schattierten Bereiche. Daher gibt es keine simultanen Lösungen.

Beispiel 3: Zeichnen Sie die Lösungsmenge: < y ≥ − 4 y < x + 3 y ≤ − 3 x + 3 .

Lösung: Der Schnittpunkt aller schattierten Bereiche bildet den dreieckigen Bereich, wie unten abgedunkelt dargestellt:

Nachdem wir alle drei Ungleichungen auf demselben Achsensatz grafisch dargestellt haben, stellen wir fest, dass der Schnittpunkt im abgebildeten Dreiecksbereich liegt.

Die Grafik legt nahe, dass (−1, 1) ein gemeinsamer Punkt ist. Setzen Sie diesen Punkt zur Kontrolle in die Ungleichungen ein und vergewissern Sie sich, dass er alle drei Bedingungen löst.

Schlüssel zum Mitnehmen

  • Um Systeme linearer Ungleichungen zu lösen, zeichnen Sie die Lösungsmengen jeder Ungleichung auf derselben Achsenmenge und bestimmen Sie, wo sie sich schneiden.

Themenübungen

Teil A: Systeme linearer Ungleichungen lösen

Bestimmen Sie, ob der gegebene Punkt eine Lösung des gegebenen linearen Gleichungssystems ist.


DISTANZ-RATE-ZEIT-PROBLEME

ZIELE

Nach Abschluss dieses Abschnitts sollten Sie in der Lage sein:

  1. Identifizieren Sie Distanz-Rate-Zeit-Probleme.
  2. Wenden Sie die Abstandsformel an, um Probleme in dieser Gruppe zu lösen.

Eine andere Formel, die häufig bei verbalen Problemen zu finden ist, ist

d = rt (Entfernung = Rate x Zeit),

das ist die Distanzformel für konstante Rate. Angesichts der Geschwindigkeit, mit der sich ein Objekt bewegt, und der Zeit, in der es sich mit dieser Geschwindigkeit bewegt, können wir die Entfernung ermitteln, die sich das Objekt bewegt.

Beispiel 1 Ein Auto fährt vier Stunden lang mit einer Geschwindigkeit von 55 Meilen pro Stunde. Wie weit fährt es?

Ersetzen Sie mit der Formel d = rt r = 55 und t = 4 und erhalten Sie

Somit beträgt die zurückgelegte Strecke 220 Meilen.

Wie weit würde das Auto in einer Stunde fahren? In zwei Stunden? In drei Stunden?

Wenn sowohl die Entfernung als auch die Geschwindigkeit angegeben sind, können wir die Zeit ermitteln.

Beispiel 2 Wie lange braucht ein Flugzeug mit einer Grundgeschwindigkeit von 530 Meilen pro Stunde für 2.120 Meilen?

In diesem Fall seien d = 2.120 und r = 530 in der Formel

Es dauert daher vier Stunden, um die Strecke zurückzulegen.

Überprüfen Sie immer, ob die Einheiten übereinstimmen. Das heißt, wenn die Geschwindigkeit in Meilen pro Stunde angegeben wird, muss die Entfernung auch in Meilen angegeben werden.

Wir können auch nach der Rate auflösen, wenn uns die Entfernung und die Zeit gegeben sind.

Beispiel 3 Eine Person ist 21 Meilen gelaufen Std. Wie hoch war der Durchschnittspreis der Person?

Wir setzen d = 21 und t = 3.5 in die Formel ein

Die durchschnittliche Geschwindigkeit der Person betrug sechs Meilen pro Stunde.

Eine Art von Entfernungsproblemen besteht darin, dass zwei Objekte vom selben Punkt weggehen und sich in dieselbe Richtung bewegen.

Sie können die Zeit auch in Bruchform belassen. Dann

Beispiel 4 Ein Bankräuber verlässt die Stadt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 Stundenkilometern in Richtung Norden. Zwei Stunden später fährt der Sheriff in einem Flugzeug ab, das mit 200 Stundenkilometern fliegt. Wie lange braucht der Sheriff, um den Räuber zu fassen?

In dieser Tabelle steht x für die Zeit, die der Sheriff braucht, um den Räuber zu fassen. Beachten Sie, dass der Abstand 120(x + 2) und 200x aus der Formel d = rt stammt.

Verwenden Sie eine Tabelle wie diese, wenn es sich um zwei oder mehr bewegliche Objekte handelt. Es ermöglicht einfache Vergleiche.

Die Gleichung ergibt sich aus der Tatsache, dass der Sheriff und der Räuber die gleiche Entfernung zurückgelegt haben, wenn der Sheriff den Räuber fängt. So,

Der Sheriff wird den Räuber in drei Stunden schnappen.

Beachten Sie, dass der Räuber, da der Sheriff zwei Stunden später gegangen ist, x + 2 Stunden auf der Flucht ist, als er erwischt wird.
Wenn der Sheriff den Räuber erwischt, haben beide die gleiche Entfernung zurückgelegt.

Kontrolle: Der Bankräuber ist fünf Stunden mit 120 km/h auf einer Strecke von 5(120) = 600 km gefahren.

The sheriff has traveled for three hours at 200 km/hr for a distance of 3(200) = 600 km.

Another type of distance problem involves two objects leaving from the same point and traveling in opposite directions.

Beispiel 5 Pamela and Sue start at the same point and walk in opposite directions. The rate at which they are moving away from one another is 11 mph. At the end of three hours Pamela stops and Sue continues to walk for another hour. At the end of that time Pamela has walked twice as far as Sue. How far apart are they?

We use the following table:

The problem tells us the time and lets us represent the distance. To represent the value for r we divide the distance by the time.

The sum of their rates is 11 mph.

Thus, they are 36 miles apart.

Check: Pamela's rate is Sue's rate is Their total rate is 11 mph. Also, Pamela's distance (24) is twice Sue's distance (12).

Again, check to make sure the answers agree with the original problem.

Still another type of distance problem involves two objects that leave from two different points and travel toward each other.

Beispiel 6 Juan and Steven started 36 miles apart and walked toward each other, meeting in three hours. If Juan walked two miles per hour faster than Steven, find the rate of each.

If we let x represent the rate at which Steven walked, then Juan's rate would be represented by x + 2.

First set up the following table:

We represent the distance as the product of the rate and time (d = rt).

The total distance they have traveled is 36 miles. So,

Juan's rate = 7 mph
Steven's rate = 5 mph.

Check: Juan's rate (7) is two miles per hour faster than Steven's (5). Also 3(7) + 3(5) = 21 + 15 = 36.

Within the class of problems using d = rt is a subclass of problems concerned with parallel and opposing forces.

Parallel forces travel in the same direction, and opposing forces travel in opposite directions.

The normal speed of the plane will be reduced by the speed of the wind.

Example 7 A plane, whose speed in still air is 550 mph, flies against a headwind of 50 mph. How long will it take to travel 1,500 miles?

We use the formula d = rt. The distance is 1,500 miles and the rate of the plane against the wind will be its still air speed (550 mph) reduced by the headwind (50 mph).

Thus, it will take three hours to travel the distance.
Check: 3(550 - 50) = 3(500) = 1,500

Example 8 Mike can row his boat from the hunting lodge upstream to the park in five hours. He can row back from the park to the lodge downstream in three hours. If Mike can row x kilometers per hour in still water, and if the stream is flowing at the rate of two kilometers per hour, how far is it from the lodge to the park?

In working the problem we assume that the rate of the stream will increase or decrease the rate of the boat by two kilometers per hour. Since x represents Mike's speed in still water, we obtain

Setting the distance upstream equal to the distance downstream, we obtain

Notice that x is not the solution to the problem but is Mike's rate of rowing in still water. However, the question asked is "What is the distance from the lodge to the park?" To answer this use either the distance upstream or downstream since they are the same. Using the upstream distance, we have

When Mike is rowing upstream, he is opposing the direction of the current. When he rows downstream, he is parallel to the stream's current.

See if you get the same answer using the distance downstream.


2.7: Solve Linear Inequalities

1. Solve the following inequality and give the solution in both inequality and interval notation.

[4left( ight) - 1 > 5 - 7left( <4 - z> ight)]

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We know that the process of solving a linear inequality is pretty much the same process as solving a linear equation. We do basic algebraic manipulations to get all the (z)’s on one side of the inequality and the numbers on the other side. Just remember that what you do to one side of the inequality you have to do to the other side as well. So, let’s go through the solution process for this linear inequality.

First, we should clear out the parenthesis on both sides and do any simplification that we can. Doing this gives,

[Start4z + 8 - 1 > 5 - 28 + 7z 4z + 7 > - 23 + 7zend] Show Step 2

We can now subtract 7(z) from both sides and subtract 7 to both sides to get,

Note that we could just have easily subtracted 4(z) from both sides and added 23 to both sides. Each will get the same result in the end.

For the final step we need to divide both sides by -3. Recall however that because we are dividing by a negative number we need to switch the direction of the inequality to get,

So, the inequality form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<>) and the interval notation form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black] < ight)>>) .


2.7: Solve Linear Inequalities

6. Solve the following inequality and give the solution in both inequality and interval notation.

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Just like with single inequalities solving these follow pretty much the same process as solving a linear equation. The only difference between this and a single inequality is that we now have three parts of the inequality and so we just need to remember that what we do to one part we need to do to all parts.

Also, recall that the main goal is to get the variable all by itself in the middle and all the numbers on the two outer parts of the inequality.

So, let’s start by subtracting (frac<1><6>) from all the parts. This gives,

Finally, all we need to do is multiply all three parts by -2 to get,

Don’t forget that because we were multiplying everything by a negative number we needed to switch the direction of the inequalities.

So, the inequality form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<< - frac<<23>> <3>le x < - frac<<11>><3>>>) (we flipped the inequality around to get the smaller number on the left as that is a more “standard” form). The interval notation form of the solution is ( equire box[2pt,border:1px solid black]<><3>, - frac<<11>><3>> ight)>>) .

For the interval notation form remember that the smaller number is always on the left (hence the reason for flipping the inequality form above!) and be careful with parenthesis and square brackets. We use parenthesis if we don’t include the number and square brackets if we do include the number.


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