Artikel

2.3: Dreiecke und Vierecke - Mathematik

2.3: Dreiecke und Vierecke - Mathematik



We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

Denken / Paaren / Teilen

Folgen Sie diesen Anweisungen auf eigene Faust:

  • Zeichnen Sie ein beliebiges Dreieck auf Ihr Papier.
  • Zeichnen Sie ein zweites Dreieck, das sich von Ihrem ersten unterscheidet. Schreiben Sie ein oder zwei Sätze auf, um zu sagen, wie es anders ist.
  • Zeichnen Sie ein drittes Dreieck, das sich von Ihren beiden anderen unterscheidet. Beschreiben Sie, wie es anders ist.
  • Zeichne zwei weitere Dreiecke, die sich von allen vorherigen unterscheiden.

Vergleichen Sie Ihre Dreiecke und Beschreibungen mit einem Partner. Um „andere“ Dreiecke zu erstellen, müssen Sie einige Merkmale des Dreiecks ändern. Erstellen Sie eine Liste der Funktionen, die Sie oder Ihr Partner geändert haben.

Dreiecke werden nach verschiedenen Eigenschaften klassifiziert. Beim Geometrielernen geht es nicht darum, viele Vokabeln zu lernen, aber es ist nützlich, die richtigen Begriffe für Objekte zu verwenden, damit wir klar kommunizieren können. Hier ist ein kurzes Wörterbuch einiger Arten von Dreiecken.

Einteilung nach Seiten

maßstabsgetreugleichschenkliggleichseitig
alle seiten haben unterschiedliche längenzwei Seiten haben die gleiche Längealle drei Seiten haben die gleiche Länge

Klassifizierung nach Winkeln

akutstumpf
alle Innenwinkel messen weniger als 90°ein Innenwinkel misst mehr als 90°
Rechtsgleichwinklig
ein Innenwinkel misst genau 90°alle Innenwinkel haben das gleiche Maß

Denken Sie daran, dass „Geometrie die Kunst ist, aus schlechten Zeichnungen gute Argumente zu ziehen“. Das bedeutet, dass Sie Ihren Augen nicht immer trauen können. Wenn Sie sich ein Bild eines Dreiecks ansehen und eine Seite länger aussieht als eine andere, kann dies nur bedeuten, dass die Zeichnung etwas nachlässig gemacht wurde.

Notation: Häkchen

Mathematiker schreiben entweder Messungen auf oder verwenden Häkchen, um anzuzeigen, wann Seiten und Winkel gleich sein sollen.

Wenn zwei Seiten das gleiche Maß oder die gleiche Anzahl von Teilstrichen haben, müssen Sie davon ausgehen, dass sie gleich sind und das Problem entsprechend lösen. auch wenn es in deinen augen nicht so aussieht.

Beispiele dafür können Sie in einigen der obigen Bilder sehen. Ein weiteres Beispiel ist das kleine Quadrat, das verwendet wird, um einen rechten Winkel im Bild des rechtwinkligen Dreiecks anzuzeigen.

Allein

Bearbeite die folgenden Übungen alleine oder mit einem Partner.

1. Welche Seiten sind im Bild unten gleich lang (auch wenn es in der Zeichnung nicht so aussieht)?

2. Welche Winkel im Bild unten haben das gleiche Maß (auch wenn es in der Zeichnung nicht so aussieht)?

3. Hier ist ein skalenförmiges Dreieck. Skizzieren Sie zwei weitere skalenförmige Dreiecke, von denen sich jedes in irgendeiner Weise von dem hier gezeigten unterscheidet.

4. Hier ist ein spitzes Dreieck. Skizzieren Sie zwei weitere spitze Dreiecke, von denen sich jedes in irgendeiner Weise von dem hier gezeigten unterscheidet.

5. Hier ist ein stumpfes Dreieck. Skizzieren Sie zwei weitere stumpfe Dreiecke, von denen sich jedes in irgendeiner Weise von dem hier gezeigten unterscheidet.

6. Hier ist ein rechtwinkliges Dreieck. Skizzieren Sie zwei weitere rechtwinklige Dreiecke, von denen sich jedes in irgendeiner Weise von dem hier gezeigten unterscheidet. Geben Sie unbedingt an, welcher Winkel 90° beträgt.

7. Hier ist ein gleichschenkliges Dreieck. Skizzieren Sie zwei weitere gleichschenklige Dreiecke, von denen sich jedes in irgendeiner Weise von dem hier gezeigten unterscheidet. Verwenden Sie Häkchen, um anzugeben, welche Seiten gleich sind.

Winkelsumme

Denken / Paaren / Teilen

Inzwischen haben Sie mehrere verschiedene Dreiecke auf Ihr Papier gezeichnet. Wählen Sie eines Ihrer Dreiecke und folgen Sie diesen Anweisungen:

  • Schneiden Sie das Dreieck mit einer Schere aus.
  • Reißen Sie die Ecken ab (nicht abschneiden) und legen Sie die drei Scheitelpunkte zusammen. Sie sollten etwas haben, das ein bisschen wie dieses Bild aussieht:

Was fällt ihnen auf? Was sagt das über die Winkel in einem Dreieck aus?

Sie erinnern sich vielleicht daran, dass die Summe der Winkel in jedem Dreieck 180° beträgt. In Ihrer Klasse haben Sie jetzt viele Beispiele für Dreiecke, bei denen die Summe der Winkel 180° zu sein scheint. Aber denken Sie daran, unsere Zeichnungen sind nicht exakt. Wie können wir sicher sein, dass unsere Augen uns nicht täuschen? Wie können wir sicher sein, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck nicht 181° oder 178° beträgt, sondern in jedem Fall auf der Nase wirklich 180° beträgt?

Denken / Paaren / Teilen

Was würde Sie zweifelsfrei davon überzeugen, dass die Summe der Winkel in jedem Dreieck 180° beträgt? Würde es ausreichen, viele Fälle zu testen? Wie viele sind genug? Könnten Sie jemals jedes mögliche Dreieck testen?

Geschichte: Euklids Axiome

Geometrielehrer an Gymnasien beweisen oft, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck 180 ° beträgt, wobei sie normalerweise einige Fakten über parallele Linien verwenden. Aber (vielleicht überraschend?) ist es genauso gut, dies als eine Axiom, als gegebene Tatsache darüber, wie Geometrie funktioniert, und gehen von dort aus. Vielleicht ist dies weniger befriedigend, als es durch eine andere Aussage zu beweisen, und wenn Sie neugierig sind, können Sie sicherlich einen Beweis finden oder Ihr Lehrer kann einen mit Ihnen teilen.

Notiz

Um 300 v. Chr., Euklid[1] war der erste Mathematiker (soweit wir wissen), der versuchte, sorgfältige Axiome aufzuschreiben und dann aus diesen Axiomen rigorose Beweise für mathematische Wahrheiten aufzubauen.

Euklid

Euklid hatte fünf Axiome für die Geometrie, von denen die ersten vier Mathematikern ziemlich offensichtlich erschienen. Die Leute hielten sie für vernünftige Annahmen, um geometrische Wahrheiten aufzubauen:

  1. Bei zwei Punkten können Sie diese mit einem geraden Liniensegment verbinden.
  2. Ein gegebenes Liniensegment können Sie beliebig in beide Richtungen verlängern und so eine Linie bilden.
  3. Bei einem Liniensegment können Sie einen Kreis mit diesem Segment als Radius zeichnen.
  4. Alle rechten Winkel sind kongruent.

Das fünfte Postulat störte die Leute etwas mehr. Es wurde ursprünglich in blumigerer Sprache formuliert, aber es entsprach dieser Aussage:

  1. Die Winkelsumme in einem Dreieck beträgt 180°.

Es ist leicht zu verstehen, warum dieses fünfte Axiom in der Mathematik so viel Aufruhr verursacht hat. Es schien viel weniger offensichtlich als die anderen vier, und Mathematiker hatten das Gefühl, dass sie irgendwie betrügen würden, wenn sie es nur annahmen, anstatt zu beweisen, dass es wahr sein musste. Viele Mathematiker haben viele, viele Jahre damit verbracht, dieses fünfte Axiom von den anderen Axiomen zu beweisen, aber es gelang ihnen nicht. Und das aus gutem Grund: Es gibt andere Arten von Geometrien, bei denen die ersten vier Axiome wahr sind, das fünfte jedoch nicht!

Wenn Sie beispielsweise Geometrie auf einer Kugel – wie einem Basketball oder noch wichtiger auf der Erdoberfläche – und nicht auf einer flachen Ebene erstellen, sind die ersten vier Axiome wahr. Aber Dreiecke sind auf der Erdoberfläche etwas seltsam. Jedes Dreieck, das Sie auf die Erdoberfläche zeichnen können, hat streng genommen eine Winkelsumme größer als 180°. Tatsächlich können Sie auf der Erde ein Dreieck mit drei rechten Winkeln zeichnen[2], was eine Winkelsumme von 270° ergibt.

Dreieck mit drei rechten Winkeln auf einer Kugel.

Auf einer Kugel wie der Erde ist die Winkelsumme nicht unter allen Dreiecken konstant. Größere Dreiecke haben größere Winkelsummen und kleinere Dreiecke haben kleinere Winkelsummen, aber selbst winzige Dreiecke haben Winkelsummen, die größer als 180° sind.

Die Geometrie, die du in der Schule lernst, heißt Euklidische Geometrie; es ist die Geometrie einer flachen Ebene, einer flachen Welt. Es ist eine ziemlich gute Annäherung für das kleine Stück Erde, das wir zu einem bestimmten Zeitpunkt sehen, aber es ist nicht die einzige Geometrie da draußen!

Dreiecksungleichung

Machen Sie eine Kopie dieser Papierstreifen und schneiden Sie sie aus. Sie haben Längen von 1 Einheit bis 6 Einheiten. Vielleicht möchten Sie die Streifen färben, Zahlen darauf schreiben oder etwas tun, das es Ihnen leicht macht, die unterschiedlichen Längen im Auge zu behalten.

Aufgabe 3

Wiederholen Sie den folgenden Vorgang mehrmals (mindestens 10) und verfolgen Sie die Ergebnisse (eine Tabelle wurde für Sie gestartet).

  • Wählen Sie drei Papierstreifen aus. (Die Längen müssen nicht alle unterschiedlich sein; deshalb haben Sie von jeder Länge mehrere Kopien.)
  • Versuchen Sie, aus diesen drei Streifen ein Dreieck zu bilden, und entscheiden Sie, ob Sie dies für möglich halten oder nicht. (Überlappen Sie die Streifen nicht, schneiden Sie sie nicht oder falten Sie sie nicht. Die Länge der Streifen sollte der Länge der Seiten des Dreiecks entsprechen.)
Länge 1Länge 2Länge 3Dreieck?
432Jawohl
421Nein
422??

Ihr Ziel ist es, ein Regel, die beschreibt, wann drei Längen ein Dreieck ergeben und wann nicht. Schreiben Sie die Regel mit Ihren eigenen Worten auf.

Denken / Paaren / Teilen

Vergleichen Sie Ihre Regel mit anderen Schülern. Verwenden Sie dann Ihre Regel, um die folgenden Fragen zu beantworten. Denken Sie daran, dass das Ziel nicht darin besteht, das Dreieck zu bauen, sondern das Ergebnis vorhersagen basierend auf deiner Regel.

  • Angenommen, Sie sollen ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 40 Einheiten, 40 Einheiten und 100 Einheiten bilden. Glaubst du, du könntest es schaffen? Erkläre deine Antwort.
  • Angenommen, Sie sollen ein Dreieck mit einer Seitenlänge von 2,5 Einheiten, 2,6 Einheiten und 5 Einheiten bilden. Glaubst du, du könntest es schaffen? Erkläre deine Antwort.

Sie haben sich wahrscheinlich eine Version dieser Aussage ausgedacht:

Satz: Dreiecksungleichung

Die Summe der Längen zweier Seiten in einem Dreieck ist größer als die Länge der dritten Seite.

Natürlich wissen wir, dass wir in der Geometrie unseren Augen nicht trauen sollten. Sie müssen nach einem suchen Erläuterung. Warum ist Ihre Aussage sinnvoll?

Denken Sie daran, dass „Geometrie die Kunst ist, aus schlechten Zeichnungen gute Argumente zu ziehen“. Unsere Materialien waren nicht sehr genau. Wie können wir also sicher sein, dass diese Regel, die wir aufgestellt haben, richtig ist?

Nun, in diesem Fall ist die Regel wirklich genau die gleiche wie das Sprichwort „Der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten ist eine gerade Linie“. Genau das meinen wir mit den Worten gerade Linie in der Geometrie.

SSS-Kongruenz

Wir sagen, dass zwei Dreiecke (oder zwei beliebige geometrische Objekte) kongruent wenn sie genau die gleiche Form und die gleiche Größe haben. Das bedeutet, dass sie sich genau überlappen würden, wenn Sie einen von ihnen aufheben und zum Ablegen auf den anderen verschieben könnten.

Aufgabe 4

Wiederholen Sie den folgenden Vorgang mehrmals und verfolgen Sie die Ergebnisse.

  • Wählen Sie drei Papierstreifen aus, die definitiv ein Dreieck bilden.
  • Versuche zwei zu machen unterschiedlich (nicht deckungsgleiche) Dreiecke mit den gleichen drei Papierstreifen. Notieren Sie, wenn Sie dazu in der Lage waren.

Aufgabe 5

Wiederholen Sie den folgenden Vorgang mehrmals und verfolgen Sie die Ergebnisse.

  • Wählen Sie vier Papierstreifen aus und bilden Sie daraus ein Viereck. (Wenn Ihre vier Streifen kein Viereck bilden, wählen Sie weitere vier Streifen aus.)
  • Versuche zwei zu machen unterschiedlich (nicht kongruente) Vierecke mit den gleichen vier Papierstreifen. Notieren Sie, wenn Sie dazu in der Lage waren.

Denken / Paaren / Teilen

Was fällt Ihnen bei den Aufgaben 4 und 5 auf? Können Sie eine allgemeine Aussage treffen, um zu beschreiben, was vor sich geht? Können Sie erklären, warum Ihre Aussage Sinn macht?

Sie haben sich wahrscheinlich eine Version dieser Aussage ausgedacht:

Satz: SSS (Seite-Seite-Seite) Kongruenz

Haben zwei Dreiecke die gleiche Seitenlänge, dann sind die Dreiecke deckungsgleich.

Dies gilt ganz sicher nicht für Vierecke. Wenn Sie beispielsweise vier gleich lange Streifen wählen, können Sie ein Quadrat bilden:

Sie können dieses Quadrat aber auch in eine nicht-quadratische Raute zerquetschen. (Versuch es!)

Wenn Sie nicht vier gleich lange Längen wählen, können Sie zusätzlich zum „Queren“ der Form die Seiten neu anordnen, um verschiedene (nicht deckungsgleiche) Formen zu erhalten. (Versuch es!)

Diese beiden Vierecke haben die gleichen vier Seitenlängen in der gleichen Reihenfolge.

Diese beiden Vierecke haben die gleichen vier Seitenlängen wie die beiden oben, aber die Seiten sind in einer anderen Reihenfolge.

Aber das kann mit Dreiecken nicht passieren. Warum nicht? Nun, sicherlich können Sie die drei Seiten nicht neu anordnen. Das wäre genauso, als würde man das Dreieck drehen oder umdrehen, aber keine neue Form erstellen.

Warum können die Dreiecke nicht „quetschen“ wie ein Viereck (und andere Formen)? Hier ist eine Möglichkeit, es zu verstehen. Stellen Sie sich vor, Sie wählen zwei Ihrer drei Längen aus und legen sie an einer Ecke klappbar übereinander.

Dies zeigt ein längeres lila gestricheltes Segment und ein kürzeres grünes Segment. Die beiden Segmente sind am roten Punkt links angelenkt.

Stellen Sie sich nun vor, das Scharnier nach und nach zu öffnen.

Wenn sich das Scharnier öffnet, werden die beiden Endpunkte ohne Scharnier immer weiter auseinander. Was auch immer Ihre dritte Länge ist (vorausgesetzt, Sie können mit Ihren drei Längen tatsächlich ein Dreieck bilden), es gibt genau eine Stelle des Scharniers, wo es gerade genau passt, um das Dreieck zu schließen. Keine andere Position wird funktionieren.


  1. Porträt von Euklid aus Wikimedia Commons, lizenziert unter der Creative Commons Namensnennung 4.0 International Lizenz.
  2. Bild von Coyau / Wikimedia Commons, über Wikimedia Commons, lizenziert unter Creative Commons Namensnennung – Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Unportiert.


Schau das Video: Trekanter, firkanter og vinkler i geogebra (August 2022).