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6.3: Der Umkehrfunktionssatz


6.3: Der Umkehrfunktionssatz

Transformationen und der Umkehrfunktionssatz

In diesem Abschnitt interessieren uns die Funktionen $ff:U o V$, wobei $U$ und $V$ offene Teilmengen von $R^n$ sind. Solche Funktionen (die wir Transformationen nennen werden) lassen sich am besten mit Vorher- und Nachher-Skizzen visualisieren, insbesondere wenn $n=2$ ist.

Wir interessieren uns besonders für Funktionen $ff:U o V$ wie oben, so dass

  • $ff$ ist eine Bijektion (also sowohl eins zu eins als auch auf). Dies impliziert, dass $ff^<-1>:V o U$ existiert.
  • Sowohl $ff$ als auch $ff^<-1>$ sind von der Klasse $C^1$.
    Eine solche Transformation $ff$ kann als Koordinatenänderung angesehen werden.

Das Umkehrfunktionssatz, die unten diskutiert wird, kann uns helfen, solche Funktionen (zumindest lokal) zu identifizieren.

So visualisieren Sie eine Transformation

Eine gute Möglichkeit, eine Transformation $ff$ in $2$-Dimensionen zu visualisieren, besteht darin, Bilderpaare zu zeichnen, die

  • links eine Sammlung von Linien oder Kurven in der $x-y$-Ebene oder einer anderen Referenzebene (wie in einem Beispiel unten in der $r- heta$-Ebene).
  • rechts das Bild über die Transformation $ff$ dieser Linien oder Kurven.

Somit ist das linke Bild *vor $ff$ und das rechte Bild zeigt "after $ff$.

Beispiel 1. Das Bild unten rechts zeigt beispielsweise, wie das kartesische Gitter ( vorher , links) durch die lineare Abbildung $ff(x,y) = inom<2y-x> . transformiert wird$ (nach rechts).

$qquad$

Die blauen Linien werden in schräge Linien umgewandelt, parametrisiert durch $inom<2c-x>$, wobei $c$ konstant ist und $x$ variiert, und die roten Linien werden in schräge Linien umgewandelt, die durch $inom<2y-c> . parametrisiert sind$, wobei $c$ konstant ist und $y$ variiert.

Beispiel 2. Unten sind zwei Abbildungen, die die Funktion $ff(x,y) = (x^2-y^2, 2xy)$ veranschaulichen. Wir werden uns dies als eine Abbildung von der $x-y$-Ebene auf die $u-v$-Ebene vorstellen, wobei $u = x^2-y^2$ und $v=2xy$ ist.

$qquadqquad$

Links ein reguläres Gitter in der $x-y$-Ebene. (das heißt die $x-y$-Ebene Vor Anwenden von $ff$
Rechts das Bild in der $u-v$-Ebene, wobei rote Kurven Bilder von vertikalen Linien und blaue Kurven Bilder von horizontalen Linien sind. Das wird aus der $x-y$-Ebene nach dem Anwenden von $ff$

$qquadqquad$ -->

Zweitens können wir uns als andere Betrachtungsweise derselben Funktion auch ein regelmäßiges Gitter in der $u-v$-Ebene vorstellen (nach dem, noch rechts) und die entsprechenden Kurven in der $x-y$-Ebene (Vor, links).

$qquadqquad$

Beachten Sie, dass die blauen Kurven auf der linken Seite exakt ebene Mengen von $u(x,y) = x^2-y^2$ sind, die Mengen in der $uv$-Ebene entsprechen, in der $u$ konstant ist (die vertikalen Linien blau rechts) und die roten Kurven sind Level-Sets von $v(x,y) = 2xy$, entsprechend den horizontalen roten Linien links.

Ein interessantes Merkmal dieser Funktion ist, dass in beiden Bildern die geschwungenen Linien immer im rechten Winkel zusammenzulaufen scheinen.

(Da $ff(x,y) = ff(-x,-y)$, entspricht jeder Punkt in der $uv$-Ebene zwei Punkten in der $xy$-Ebene. Also wenn wir wollten, in beiden Abbildungen oben , könnten wir die Hälfte der linken Bilder wegwerfen, zum Beispiel den Teil mit $x<0$, ohne die rechten Bilder zu ändern.)


Der Beweis:

Wir müssen zunächst zwei Lemmata zur linearen Algebra beweisen, die wir verwenden werden.

Lemma 1: Sei eine invertierbare lineare Abbildung on und eine lineare Abbildung von auf so dass . Dann ist auch invertierbar. bedeutet Operatornorm von .

Beweis 1: Aus Dreiecksungleichung.

Da Operatornormen nun die Eigenschaft haben, haben wir diese .

Darüber hinaus ist , so , also insgesamt , was genau dann Null ist, wenn , so invertierbar ist.

Lemma 2: Die Funktion ist stetig bezüglich der Operatornorm.

Beweis 2: Wenn also konstant ist, können wir so klein machen, wie wir wollen, und werden so klein sein, wie wir wollen.

Jetzt können wir mit dem eigentlichen Beweis beginnen.

Injektivitätsbeweis:

Seien Sie so, dass wir haben. Es ist möglich, a zu wählen, weil die Ableitungen stetig sind und die Operatornorm auch. Beachten Sie, dass dies nach Lemma 1 bedeutet, dass es invertierbar ist.

Lassen . Wir geben eine untere Schranke an, zeigen, dass sie positiv ist, also ist die Funktion auf injektiv.

Um dies zu tun, beweisen wir zunächst ein kleines Lemma, das uns helfen wird.

Beweis 3: Definiere durch . Beachte das . Beachten Sie auch, dass Bälle konvex sind, also ist der Ball für alle drin.

Also aus dem Fundamentalsatz der Infinitesimalrechnung:

das wollten wir zeigen.

Nehmen wir unseren Injektivitätsbeweis wieder auf. Sehen Sie das , und so erhalten wir bewegliche Seiten:

Impliziert also was , was den Injektivitätsbeweis abschließt.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass es möglich ist, ein kleines solches zu finden, das auf injektiv ist.

Surjektivitätsbeweis:

Wenn wir definieren, dann ist aus der Definition surjektiv.

Dies zeigt, dass die Umkehrung existiert, so dass und .

Was bleibt, ist zu beweisen, dass es stetig ist, dass sein Differential stetig ist, das offen ist und dass .

Stetigkeit des inversen Beweises:

Seien $x, x+h in U_a$ und $y = f(x), y+k = f(x+h) in V_b$.

Im Injektivitätsbeweis haben wir das gesehen.

Aber jetzt, da wir wissen, dass die Umkehrung existiert, haben wir und .

Insgesamt also , was die Stetigkeit von beweist, da beliebig klein gemacht werden kann, beliebig klein machend.

Bild ist offener Beweis:

Wir wollen beweisen, dass das offen ist.

Dies ist einfach, weil kontinuierlich ist, also von einer offenen Menge offen ist. Aber ist und ist offen, also ist offen.

Differenzierbarkeit des inversen Beweises:

Da auf differenzierbar ist, haben wir, dass wo ist, oder mit anderen Worten, wenn und dafür ausreichend klein sind.

Erinnern wir uns noch einmal daran, dass $k = f(x+h) – f(x)$ und die frühere Notation (aus dem Stetigkeitsteil) verwendet wird.

dann multipliziere mit und erhalte , wechsle die Seiten, um zu sehen

Wenn wir also zeigen, dass , haben wir gezeigt, dass differenzierbar von , also differenzierbar ist.

Aber wieder haben wir das aus dem Injektivitätsbeweis gesehen, also.

Und so ist sie mit abnehmender Zahl beliebig klein, also differenzierbar und ihre Ableitung ist !

Stetigkeit des Differentials des inversen Beweises:

Dies folgt leicht aus der Kettenregel. . Die rechte Seite ist eine Komposition aus drei Funktionen: , , und von denen wir bewiesen haben, dass sie anfangs im Teil der linearen Algebra stetig sind. Diese sind also alle kontinuierlich, also ist auch die Komposition kontinuierlich.


Ein Beweis des Umkehrfunktionssatzes

Verteiler

Der Umkehrfunktionssatz kann in Form von differenzierbaren Abbildungen zwischen differenzierbaren Mannigfaltigkeiten umformuliert werden. In diesem Zusammenhang besagt der Satz, dass für eine differenzierbare Abbildung F : M → N (der Klasse C 1 > ), falls das Differential von F < displaystyle F>,

ist ein Diffeomorphismus. Beachten Sie, dass dies impliziert, dass die Zusammenhangskomponenten von M und N mit p und F(p) haben die gleiche Dimension, wie bereits aus der Annahme unmittelbar impliziert, dass dFp ist ein Isomorphismus. Ist die Ableitung von F an allen Punkten p in M ​​ein Isomorphismus, dann ist die Abbildung F ein lokaler Diffeomorphismus.

Banach-Räume

Banach-Verteiler

Diese beiden Verallgemeinerungsrichtungen können im Umkehrfunktionssatz für Banachmannigfaltigkeiten kombiniert werden. [10]

Satz mit konstantem Rang

Wenn die Ableitung von F an einem Punkt p injektiv (bzw. surjektiv) ist, ist sie auch in einer Umgebung von p injektiv (bzw. surjektiv), und daher ist der Rang von F in dieser Umgebung konstant, und es gilt der Konstanten-Rangsatz .

Holomorphe Funktionen

Wenn eine holomorphe Funktion F aus einer offenen Menge U von C n ^!> in C n ^!> , und die Jacobi-Matrix komplexer Ableitungen in einem Punkt p invertierbar ist, dann ist F eine invertierbare Funktion in der Nähe von p . Dies folgt unmittelbar aus der reellen multivariablen Version des Theorems. Man kann auch zeigen, dass die Umkehrfunktion wieder holomorph ist. [12]

Polynomfunktionen

Wenn sie wahr wäre, wäre die Jacobi-Vermutung eine Variante des Umkehrfunktionssatzes für Polynome. Es besagt, dass, wenn eine vektorwertige Polynomfunktion eine Jacobi-Determinante hat, die ein invertierbares Polynom (dh eine Konstante ungleich Null) ist, sie eine Inverse hat, die ebenfalls eine Polynomfunktion ist. Es ist nicht bekannt, ob dies wahr oder falsch ist, selbst im Fall von zwei Variablen. Dies ist ein großes offenes Problem in der Theorie der Polynome.

Auswahl


Für $F(x,, y) = (x^2+y^2, xy)$ bezeichne $eginu = x^2+y^2, v = xy end$ Dann $egin u+2v=(x+y)^2, u-2v=(x-y)^2 end $ Auf der gegebenen Menge $ <(x, y): −x < y < x >$ haben wir $ x+y>0,x-y>0, quad J_F(x,, y)=2 (x^2-y^2) e<0>,$ daher ist $F$ invertierbar und $ egin x+y=sqrt, x-y=sqrt Ende$ Also $egin 2x=sqrt+sqrt, 2y=sqrt-sqrt. Ende$

Die Funktion $F:quadOmega o^2,qquad (x,y)mapsto (u,v):=(x^2+y^2,xy)$ hat eine Inverse für geeignet gewähltes $Omegasubset^2$ nicht wegen des Umkehrfunktionssatzes, sondern weil Sie diese Umkehrung explizit berechnen können, wie dies in M. Stochyks Antwort getan wurde. Beachten Sie, dass für die Formeln $F^<-1>:quad(u,v)mapsto (x,y)=left(+sqrtover2>,-sqrtover2> ight)$ Es war keine Überprüfung der Jacobi-Werte erforderlich. Außerdem haben wir ein klares Bild von der Domäne von $F^<-1>$, die dem gegebenen $Omega$ entspricht.

Der Umkehrfunktionssatz wird für theoretische Überlegungen benötigt und in Fällen, in denen die Umkehrfunktion $F^<-1>$ nicht durch bekannte Funktionen ausgedrückt werden kann. Es ist ein rein lokaler Satz: Gegeben einen Punkt $(x_0,y_0)$ mit $F(x_0,y_0)=:(u_0,v_0)$ garantiert er die Existenz eines "Fensters" $U$ mit Mittelpunkt $(x_0 ,y_0)$ so dass die Einschränkung $F_:=F estriktion U$ hat eine inverse $F^<-1>_: F(U) o U$ was wiederum differenzierbar ist. Die wesentliche technische Bedingung ist das Nichtverschwinden der Jacobilinie von $F$ bei $(x_0,y_0)$. Der Satz sagt Ihnen nicht, was der "maximale Bereich" dieser lokalen Inverse sein könnte.


Was versteht man unter dem Umkehrfunktionssatz in der algebraischen Geometrie?

Ich habe mehrmals gehört, dass der Umkehrfunktionssatz in der algebraischen Geometrie versagt. Jetzt merke ich, dass ich ziemlich verwirrt bin. Diese Frage hat zwei Teile. Der erste Teil fragt nach der korrekten Formulierung von synthetischen Umkehrfunktionssätzen. Die zweite bittet um Klarstellungen und Intuitionen zu Penons Papier.

Ausführliche Referenzen wären sehr willkommen - ich kenne nur Kocks zwei Texte, Lavedhommes Buch und Kosteckis Notizen zu SDG, und diese behandeln diese Dinge nicht, und ich kenne die Literatur zur algebraischen Geometrie nicht gut genug, um dieses Zeug zu finden.

Entschuldigung, wenn das alles zu elementar ist!

In Synthetische Geometrie von Mannigfaltigkeiten, schreibt Kock, dass der Umkehrfunktionssatz uns "von der infinitesimalen Invertibilität zur lokalen Invertibilität" führt, was moralisch richtig klingt.

  1. Für "lokale Invertibilität" fällt mir nur eine Interpretation ein - $f$ étale an einem Punkt $x$ impliziert ein offenes $U i x$, so dass $f|_U$ ein Isomorphismus ist.
  2. Für "unendliche Invertibilität" fallen mir zwei Möglichkeiten ein:
    • (2a) die übliche eindeutige Auftriebseigenschaft gegen infinitesimale Umgebungen
    • (2b) das Differential $operatorname_x!f$ ist in allen Punkten ein Isomorphismus.

Ich werde mich für die zweite Option entscheiden, indem ich versuche, die klassische Differentialgeometrie zu parallelisieren.

Kann ich nach Kocks Worten richtig die folgende Bedingung "einen Umkehrfunktionssatz" nennen?

Bedingung IFT1. (2b)$impliziert$(1).

Oder ist das die völlig falsche Idee?

Geht es bei der Henselschen Eigenschaft auch um die Implikation (2a)$implies$(1)?

Ich frage wegen folgendem Auszug aus Abschnitt 2.3 von Néron-Modelle, die zumindest für Schemata über Felder ähnlich erscheint.

Sei $R$ ein lokaler Ring mit maximalem Ideal $mathfrak m$ und Restkörper $k$. Sei $S$ das affine (lokale) Schema von $R$ und $s$ der abgeschlossene Punkt von $S$. Aus geometrischer Sicht lassen sich Henselsche und streng Henselsche Ringe über Schemata einführen, die bestimmten Aspekten des Umkehrfunktionssatzes genügen.

Definition 1. Das lokale Schema $S$ heißt Henselian wenn jede étale Abbildung $X o S$ ein lokaler Isomorphismus an allen Punkten von $X$ über $s$ mit trivialer Restfelderweiterung $k(x)=k(s)$ ist. Ist zusätzlich das Restfeld $k(s)$ trennbar abgeschlossen, heißt $S$ streng Henselian.

Außerdem ist für einen Morphismus $f:X o S$ für Schemata $f$ glatt bei $x$, wenn es étale-lokal eine Projektion ist, dh es gibt eine offene Umgebung $U i x$ mit $f|_U $ Faktoren durch einen étale Morphismus gefolgt von einer kanonischen Projektion von $mathbb A_S^n$. Das Ersetzen von smooth durch étale sieht aus wie ein impliziter Funktionssatz, und ich denke, genau das ist mit der Henselschen Eigenschaft über einem Körper gemeint. Ist das richtig oder ist im obigen Auszug ein anderer Begriff von "lokalem Isomorphismus" gemeint?

Dieser Aufsatz von Penon formuliert einen synthetischen Umkehrfunktionssatz und behauptet darüber hinaus, dass ein Morphismus äquidimensionaler Varietäten in mehreren äquivalenten Bedeutungen étale ist, wenn er der üblichen synthetischen Definition genügt – das Quadrat unten ist ein Pullback. $erforderlich Start TM @>>> TN @VVV @VVV M @>>> N end$

Ich lese kein Französisch und kann das von ihm beschriebene Pullback-Quadrat nicht verstehen, aber ich weiß, dass es sich nur um infinitesimale Objekte handelt. Daher scheint es, dass Penons Papier die "lokale Invertibilität" im Sinne von offenen Nachbarschaften unmöglich behandeln könnte. Wenn ja, was ist der Sinn des Papiers? Beachten Sie, dass dieser Begriff auch in diesem Aufsatz von Marta Bunge verwendet wird.

Hinzugefügt. Hier ist Penons These. Auch hier, soweit ich das beurteilen kann, gibt es keine Erwähnung von Nachbarschaften im lokalen Kontext.


Bedeutung

Versionstyp Bedeutung
spezifischer Punkt, benannte Funktionen (zweiseitig, endlich) Dies sagt uns, dass wenn eine Eins-Eins-Funktion an einem Punkt mit einer Ableitung ungleich null differenzierbar ist, dann ist differenzierbar an der Bild von diesem Punkt unter .
spezifischer Punkt, benannte Funktionen (zweiseitig, unendlich sensitiv) Dies sagt uns, dass wenn eine Eins-Eins-Funktion ist entweder an einem Punkt differenzierbar oder hat eine vertikale Tangente, dann ist entweder differenzierbar an der Bild von diesem Punkt oder hat eine vertikale Tangente. Darüber hinaus können wir die Möglichkeiten für mit den Möglichkeiten für unter Verwendung des Theorems.
spezifischer Punkt, benannte Funktionen (einseitige Version) Dies sagt uns, dass wenn eine Eins-Eins-Funktion an einem Punkt einseitig differenzierbar ist, dann ist die Umkehrfunktion an der einseitig differenzierbar Bild Punkt, an dem die Seite für eine ansteigende Funktion gleich bleibt und für eine abnehmende Funktion umgeschaltet wird.
generischer Punkt, benannte Funktionen (zweiseitig, endlich) Dies sagt uns, dass die Inverse einer differenzierbaren Eins-Eins-Funktion mit nirgendwo null Ableitung auch eine differenzierbare Eins-Eins-Funktion ist.
generischer Punkt, benannte Funktionen (zweiseitig, unendlich-sensitiv) Dies sagt uns, dass die Umkehrung einer Eins-Eins-Funktion, die differenzierbar ist oder an jedem Punkt eine vertikale Tangente hat, auch eine Eins-Eins-Funktion ist, die entweder differenzierbar ist oder an jedem Punkt eine vertikale Tangente hat.
generischer Punkt, benannte Funktionen (einseitig, unendlich sensitiv) Dies sagt uns, dass die Umkehrung einer Eins-Eins-Funktion, die einseitig differenzierbar ist oder eine (ein- oder zweiseitige) vertikale Tangente an jedem Punkt hat, auch eine Eins-Eins-Funktion ist, die einseitig differenzierbar ist oder eine ( eine oder zweiseitige) vertikale Tangente an jedem Punkt.

Beachten Sie zwei wichtige Vorbehalte:

  • Das Unterscheidbare von beim gibt uns Aufschluss über die Unterscheidbarkeit von , nicht bei , aber bei .
  • Die Gegenseitigkeit bedeutet, dass wir auf Null und Unendlich achten müssen. Die Inverse einer differenzierbaren Eins-Eins-Funktion muss also nicht differenzierbar sein überall auf seiner Domäne.

Bedeutung der rechnerischen Machbarkeit

Versionstyp Bedeutung
spezifischer Punkt, benannte Funktionen Betrachten Sie eine Eins-Eins-Funktion . Es ist möglich zu berechnen wenn wir den Wert von kennen wo .
spezifischer Punkt, benannte Funktionen (zweite Version) Betrachten Sie eine Eins-Eins-Funktion . Es ist möglich zu berechnen wenn wir das wissen allgemeiner Ausdruck Pro und der spezifische Wert .
generischer Punkt, benannte Funktionen Betrachten Sie eine Eins-Eins-Funktion . Es ist möglich, einen generischen Ausdruck für zu finden bezüglich und . Hinweis: [MEHR ANZEIGEN]
selbst darf keinen expliziten Ausdruck haben, selbst wenn tut dies, es sei denn, wir behandeln die Inversion selbst als einen gültigen Baustein zum Schreiben von Ausdrücken.

Bedeutung der Rechenergebnisse

Siehe den Abschnitt #Infinity-sensitive Versionen für einige der grundlegenden Berechnungsergebnisse in dieser Richtung.


In der Abbildung unten ist die blaue Kurve der Graph der Funktion y = x 2 − 4 x + 3 y = x^2 - 4x + 3 y = x 2 − 4 x + 3 , und die schwarze Linie ist y = xy = xy = x . Zeichnen Sie den Graphen der Umkehrung der blauen Kurve.

Bild

1) Da beide Achsen im gleichen Maßstab gezeichnet sind, können wir den Graphen einfach um y = x y = x y = x falten, um den roten Teil zu erhalten.

Bild

2) Jetzt verfolgen wir den Rest des Graphen, um den vollständigen Graphen der Inversen zu erhalten.

Bild

3) Die rote Kurve ist die Umkehrung der blauen Kurve. Beachten Sie, dass die Kurven Spiegelungen voneinander um die Linie y = x y = x y = x sind. Wir haben die Inverse der Funktion grafisch gefunden!


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Ableitungen von Umkehrfunktionen

Inverse Funktionen sind Funktionen, die sich gegenseitig “umkehren”.

Wir betrachten eine Funktion (fleft( x ight)), die auf einem Intervall (left( Rechts)). Wenn es einen Punkt gibt () in diesem Intervall mit (f’left( <> ight) e 0), dann ist auch die Umkehrfunktion (x = varphi left( y ight)) differenzierbar bei ( = flinks( <> ight)) und seine Ableitung ist gegeben durch

Beweisen wir diesen Satz (genannt Umkehrfunktionssatz).

Angenommen, die Variable (y) bekommt ein Inkrement (Delta y e 0) an der Stelle (.) Das entsprechende Inkrement der Variablen (x) an der Stelle () wird mit (Delta x) bezeichnet, wobei (Delta x e 0) wegen der strikten Monotonie von (y = fleft( x ight)) gilt. Das Verhältnis der Inkremente wird geschrieben als

Angenommen, (Delta y o 0). Dann ist (Updelta x o 0), da die Umkehrfunktion (x=varphileft(y ight)) stetig ist bei (). Im Grenzfall, wenn (Delta x o 0), wird die rechte Seite der Beziehung

In diesem Fall nähert sich auch die linke Seite einem Grenzwert, der per Definition gleich der Ableitung der Umkehrfunktion ist:

dh die Ableitung der Umkehrfunktion ist die Umkehrung der Ableitung der ursprünglichen Funktion.

Bestimmen Sie in den folgenden Beispielen die Ableitung der Funktion (y = fleft( x ight)) mithilfe der Ableitung der Umkehrfunktion (x = varphi left( y ight).)


Schau das Video: Ableitung der Umkehrfunktion, Beispiel 1. Mathe by Daniel Jung (Januar 2022).