Artikel

5.E: Folgen und Reihen (Übungen) - Mathematik


9.1: Sequenzen

Finden Sie in den Übungen 1 - 4 die ersten sechs Terme jeder Folge, beginnend mit ( n=1).

1) (a_n=1+(−1)^n) für ( n≥1)

Antworten
( a_n=0) wenn ( n) ungerade und ( a_n=2) wenn ( n) gerade ist

2) ( a_n=n^2−1) für ( n≥1)

3) ( a_1=1) und ( a_n=a_{n−1}+n) für ( n≥2)

Antworten
( {a_n}={1,3,6,10,15,21,…})

4) ( a_1=1, a_2=1) und ( a_n+2=a_n+a_{n+1}) für ( n≥1)

5) Finden Sie eine explizite Formel für ( a_n) mit ( a_1=1) und ( a_n=a_{n−1}+n) für ( n≥2).

Antworten
( a_n=dfrac{n(n+1)}{2})

6) Finden Sie eine Formel ( a_n) für den (n^{ ext{th}})-Term der arithmetischen Folge, deren erster Term ( a_1=1) ist, so dass ( ​​a_{n−1 }−a_n=17) für ( n≥1).

7) Finden Sie eine Formel ( a_n) für den (n^{ ext{th}})-Term der arithmetischen Folge, deren erster Term ( a_1=−3) ist, so dass ( ​​a_{n− 1}−a_n=4) für ( n≥1).

Antworten
(a_n=4n−7)

8) Finden Sie eine Formel ( a_n) für den (n^{ ext{th}})-Term der geometrischen Folge, deren erster Term ( a_1=1) ist, so dass ( ​​dfrac{a_{ n+1}}{a_n}=10) für ( n≥1).

9) Finden Sie eine Formel ( a_n) für den (n^{ ext{th}})-Term der geometrischen Folge, deren erster Term ( a_1=3) ist, so dass ( ​​dfrac{a_{ n+1}}{a_n}=1/10) für ( n≥1).

Antworten
( a_n=3.10^{1−n}=30.10^{−n})

10) Finden Sie eine explizite Formel für den (n^{ ext{th}})-Term der Folge, deren erste Terme ( {0,3,8,15,24,35,48,63,80 ,99,…}.) (Hinweis: Fügen Sie zuerst jedem Begriff einen hinzu.)

11) Finden Sie eine explizite Formel für den (n^{ ext{th}})-Term der Folge mit ( a_1=0) und ( a_n=2a_{n−1}+1) für ( n≥2).

Antworten
( a_n=2^n−1)

Finden Sie in den Übungen 12 und 13 eine Formel für den allgemeinen Term ( a_n) jeder der folgenden Folgen.

12) ( {1,0,−1,0,1,0,−1,0,…}) (Hinweis: Finden Sie heraus, wo (sin x) diese Werte annimmt)

13) ( {1,−1/3,1/5,−1/7,…})

Antworten
( a_n=dfrac{(−1)^{n−1}}{2n−1})

Finden Sie in den Übungen 14-18 eine Funktion ( f(n)), die den (n^{ ext{th}})-Term ( a_n) der folgenden rekursiv definierten Folgen als ( a_n =f(n)).

14) ( a_1=1) und ( a_{n+1}=−a_n) für ( n≥1)

15) ( a_1=2) und ( a_{n+1}=2a_n) für ( n≥1)

Antworten
( f(n)=2^n)

16) ( a_1=1) und ( a_{n+1}=(n+1)a_n) für ( n≥1)

17) ( a_1=2) und ( a_{n+1}=(n+1)a_n/2) für ( n≥1)

Antworten
(f(n)=dfrac{n!}{2^{n-2}})

18) ( a_1=1) und ( a_{n+1}=a_n/2^n) für ( n≥1)

Zeichnen Sie in den Übungen 19 - 22 die ersten ( N)-Terme der gegebenen Folge. Geben Sie an, ob die grafischen Beweise darauf hindeuten, dass die Folge konvergiert oder divergiert.

19) [T] ( a_1=1, a_2=2), und für ( n≥2, a_n=frac{1}{2}(a_{n−1}+a_{n−2}) ); (N=30)

Antworten

Terme oszillieren über und unter ( 5/3) und scheinen gegen ( 5/3) zu konvergieren.

20) [T] ( a_1=1, a_2=2, a_3=3) und für ( n≥4, a_n=frac{1}{3}(a_{n−1}+a_{n− 2}+a_{n−3}), N=30)

21) [T] ( a_1=1, a_2=2) und für ( n≥3, a_n=sqrt{a_{n−1}a_{n−2}}; N=30)

Antworten

Terme schwingen über und unter ( y≈1.57..) und scheinen gegen einen Grenzwert zu konvergieren.

22) [T] ( a_1=1, a_2=2, a_3=3), und für ( n≥4, a_n=sqrt{a_{n−1}a_{n−2}a_{n− 3}}; N=30)

Nehmen Sie in den Übungen 23 - 16 an, dass (displaystyle lim_{n→∞}a_n=1, ) (displaystyle lim_{n→∞}b_n=−1) und ( 0<−b_n

Bewerten Sie anhand dieser Informationen jeden der folgenden Grenzwerte, geben Sie an, dass der Grenzwert nicht vorhanden ist, oder geben Sie an, dass nicht genügend Informationen vorliegen, um festzustellen, ob der Grenzwert vorhanden ist.

23) (displaystyle lim_{n→∞}3a_n−4b_n)

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}3a_n−4b_n quad = quad 7)

24) (displaystyle lim_{n→∞}frac{1}{2}b_n−frac{1}{2}a_n)

25) (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n+b_n}{a_n−b_n})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n+b_n}{a_n−b_n} quad = quad 0)

26) (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_n−b_n}{a_n+b_n})

Finden Sie in den Übungen 27 - 30 den Grenzwert jeder der folgenden Sequenzen und verwenden Sie gegebenenfalls die Regel von L’Hôpital.

27) ( dfrac{n^2}{2^n})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞} dfrac{n^2}{2^n} quad = quad 0)

28) ( dfrac{(n−1)^2}{(n+1)^2})

29) ( dfrac{sqrt{n}}{sqrt{n+1}})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞} dfrac{sqrt{n}}{sqrt{n+1}} quad = quad 1 )

30) ( n^{1/n}) (Hinweis: ( n^{1/n}=e^{frac{1}{n}ln n}))

Geben Sie in den Übungen 31 - 37 an, ob jede Folge beschränkt ist und ob sie schließlich monoton, steigend oder fallend ist.

31) ( n/2^n, n≥2)

Antworten
beschränkt, fallend für ( n≥1)

32) ( ln(1+dfrac{1}{n}))

33) ( sin n)

Antworten
begrenzt, nicht monoton

34) ( cos(n^2))

35) ( n^{1/n}, quad n≥3)

Antworten
begrenzt, abnehmend

36) ( n^{−1/n}, quad n≥3)

37) ( an n)

Antworten
nicht monoton, nicht begrenzt

Bestimmen Sie in den Übungen 38 - 39, ob die gegebene Sequenz eine Grenze hat. Wenn dies der Fall ist, finden Sie die Grenze.

38) ( a_1=sqrt{2}, a_2=sqrt{2sqrt{2}}. a_3=sqrt{2sqrt{2sqrt{2}}}) usw.

39) ( a_1=3, a_n=sqrt{2a_{n−1}}, n=2,3,….)

Antworten
( a_n) ist abnehmend und nach unten durch (2) begrenzt. Der Grenzwert a muss ( ​​a=sqrt{2a}) erfüllen, also ( a=2), unabhängig vom Anfangswert.

Verwenden Sie das Squeeze-Theorem, um den Grenzwert jeder Sequenz in den Übungen 40 - 43 zu finden.

40) ( nsin(1/n))

41) ( dfrac{cos(1/n)−1}{1/n})

Antworten
(0)

42) ( a_n=dfrac{n!}{n^n})

43) ( a_n=sin n sin(1/n))

Antworten
( 0) da (|sin x|≤|x|) und ( |sin x|≤1) also ( −dfrac{1}{n}≤a_n≤dfrac{1 }{n})).

Zeichnen Sie für die Folgen in den Übungen 44 und 45 die ersten ( 25)-Terme der Folge und geben Sie an, ob die grafischen Beweise darauf hindeuten, dass die Folge konvergiert oder divergiert.

44) [T] ( a_n=sin n)

45) [T] ( a_n=cos n)

Antworten

Graph oszilliert und schlägt keine Begrenzung vor.

Bestimmen Sie in den Übungen 46 - 52 die Grenze der Sequenz oder zeigen Sie, dass die Sequenz divergiert. Wenn es konvergiert, finde seinen Grenzwert.

46) ( a_n=tan^{−1}(n^2))

47) ( a_n=(2n)^{1/n}−n^{1/n})

Antworten
( n^{1/n}→1) und ( 2^{1/n}→1,) also ( a_n→0)

48) ( a_n=dfrac{ln(n^2)}{ln(2n)})

49) ( a_n=left(1−frac{2}{n} ight)^n)

Antworten
Wegen ( (1+1/n)^n→e) gilt ( (1−2/n)^n≈(1+k)^{−2k}→e^{−2}) als ( k→∞.)

50) ( a_n=lnleft(dfrac{n+2}{n^2−3} ight))

51) ( a_n=dfrac{2^n+3^n}{4^n})

Antworten
( 2^n+3^n≤2⋅3^n) und ( 3^n/4^n→0) als ( n→∞), also ( a_n→0) als ( n→∞.)

52) ( a_n=dfrac{(1000)^n}{n!})

53) ( a_n=dfrac{(n!)^2}{(2n)!})

Antworten
( dfrac{a_{n+1}}{a_n}=n!/(n+1)(n+2)⋯(2n) =dfrac{1⋅2⋅3⋯n}{(n+1 )(n+2)⋯(2n)}<1/2^n). Insbesondere ( a_{n+1}/a_n≤1/2), also ( a_n→0) als ( n→∞).

Newtons Methode versucht, eine Lösung ( f(x)=0) anzunähern, die mit einer anfänglichen Näherung ( x_0) beginnt und sukzessive eine Folge ( x_{n+1}=x_n−dfrac{f(x_n )}{f′(x_n)}). Schreiben Sie für die gegebene Wahl von ( f) und ( x_0) die Formel für ( x_{n+1}) auf. Wenn die Folge zu konvergieren scheint, geben Sie eine exakte Formel für die Lösung (x) an, dann bestimmen Sie den Grenzwert (x) genau auf vier Dezimalstellen und den kleinsten (n) so dass (x_n) übereinstimmt) mit ( x) bis zu vier Dezimalstellen.

54) [T] ( f(x)=x^2−2, x_0=1)

55) [T] ( f(x)=(x−1)^2−2, x_0=2)

Antworten
( x_{n+1}=x_n−((x_n−1)^2−2)/2(x_n−1);
x=1+sqrt{2}, x≈2.4142, n=5)

56) [T] ( f(x)=e^x−2, x_0=1)

57) [T] ( f(x)=lnx−1, x_0=2)

Antworten
( x_{n+1}=x_n−x_n(ln(x_n)−1);
x=e, x≈2,7183, n=5)

58) [T] Angenommen, Sie beginnen mit einem Liter Essig und entfernen wiederholt (0.1L), ersetzen durch Wasser, mischen und wiederholen den Vorgang.

A. Finden Sie eine Formel für die Konzentration nach ( n) Schritten.

B. Nach wie vielen Schritten enthält die Mischung weniger als (10%) Essig?

59) [T] Ein See enthält anfangs ( 2000) Fische. Nehmen wir an, dass die Fischpopulation ohne Räuber oder andere Gründe für die Entfernung jeden Monat um (6%) zunimmt. Unter Berücksichtigung aller Ursachen gehen jedoch jeden Monat (150) Fische verloren.

A. Erklären Sie, warum die Fischpopulation nach ( n) Monaten durch ( P_n=1.06P_{n−1}−150) mit ( P_0=2000) modelliert wird.

B. Wie viele Fische sind nach einem Jahr im Teich?

Antworten
A. Ohne Verluste würde die Bevölkerung ( P_n=1.06P_{n−1}) gehorchen. Die Subtraktion von (150) berücksichtigt Fischverluste.
B. Nach ( 12) Monaten haben wir ( P_{12}≈1494.)

60) [T] Ein Bankkonto verdient (5%) Zinsen, die monatlich verzinst werden. Angenommen, ($1000) wird anfänglich auf das Konto eingezahlt, aber ($10) wird jeden Monat ausgezahlt.

A. Zeigen Sie, dass der Betrag auf dem Konto nach ( n) Monaten ( A_n=(1+.05/12)A_{n−1}−10; A_0=1000.)

B. Wie viel Geld wird nach ( 1) Jahr auf dem Konto sein?

C. Steigt oder sinkt die Menge?

D. Angenommen, statt ($10) wird jeden Monat ein fester Betrag (d) Dollar abgehoben. Finden Sie einen Wert von ( d), so dass der Betrag auf dem Konto nach jedem Monat ( $1000) bleibt.

e. Was passiert, wenn ( d) größer als dieser Betrag ist?

61) [T] Ein Student nimmt ein College-Darlehen in Höhe von (10.000 $) zu einem jährlichen Prozentsatz von (6%,) auf, das monatlich aufgezinst wird.

A. Wie viel schuldet der Student nach (12) Monaten, wenn der Student Zahlungen in Höhe von ($100) pro Monat leistet?

B. Nach wie vielen Monaten wird das Darlehen abbezahlt?

Antworten
A. Der Student schuldet ( $9383) nach ( 12) Monaten.
B. Das Darlehen wird nach (139) Monaten oder elfeinhalb Jahren vollständig zurückgezahlt.

62) [T] Betrachten Sie eine Reihe, die geometrisches Wachstum und arithmetische Abnahme kombiniert. Sei ( a_1=1). Fix ( a>1) und ( 0

63) [T] Die binäre Darstellung ( x=0.b_1b_2b_3...) einer Zahl ( x) zwischen ( 0) und ( 1) kann wie folgt definiert werden. Sei ( b_1=0) falls ( x<1/2) und ( b_1=1) falls ( 1/2≤x<1.) Sei ( x_1=2x−b_1). Sei ( b_2=0) falls ( x_1<1/2) und ( b_2=1) falls ( 1/2≤x<1). Sei ( x_2=2x_1−b_2) und allgemein ( x_n=2x_{n−1}−b_n) und ( b_{n−}1=0) falls ( x_n<1/2 ) und ( b_{n−1}=1) falls ( 1/2≤x_n<1). Finden Sie die binäre Expansion von ( 1/3).

Antworten
( b_1=0, x_1=2/3, b_2=1, x_2=4/3−1=1/3,), sodass sich das Muster wiederholt, und ( 1/3=0.010101….)

64) [T] Um eine Näherung für ( π) zu finden, setze ( a_0=sqrt{2+1}, a_1=sqrt{2+a_0}) und allgemein ( a_{ n+1}=sqrt{2+a_n}). Schließlich setze ( p_n=3,2^nsqrt{2−a_n}). Finden Sie die ersten zehn Terme von ( p_n) und vergleichen Sie die Werte mit ( π).

Gehen Sie für die folgenden beiden Übungen davon aus, dass Sie Zugriff auf ein Computerprogramm oder eine Internetquelle haben, die eine Liste mit Nullen und Einsen beliebiger Länge generieren können. Pseudozufallszahlengeneratoren (PRNGs) spielen eine wichtige Rolle bei der Simulation von Zufallsrauschen in physikalischen Systemen, indem sie Folgen von Nullen und Einsen erzeugen, die wie das Ergebnis eines wiederholten Münzwurfs erscheinen. Eine der einfachsten Arten von PRNGs definiert rekursiv eine zufällig aussehende Folge von ( N) ganzen Zahlen ( a_1,a_2,…,a_N) durch Festlegen von zwei speziellen ganzen Zahlen ( (K) und ( M) und sei ( a_{n+1}) der Rest nach der Division von ( K.a_n) in ( M), dann entsteht eine Bitfolge von Nullen und Einsen, deren (n^{ ext{th} }) Term ( b_n) ist gleich Eins, wenn ( a_n) ungerade ist und gleich Null, wenn ( a_n) gerade ist Wenn die Bits ( b_n) pseudozufällig sind, dann ist das Verhalten ihres Durchschnitts ((b_1+b_2+⋯+b_N)/N) sollte dem Verhalten von Durchschnittswerten von wirklich zufällig erzeugten Bits ähnlich sein.

65) [T] Beginnend mit ( K=16.807) und ( M=2.147.483.647), unter Verwendung von zehn verschiedenen Startwerten von ( a_1), berechne Bitfolgen ( b_n) bis zu ( n= 1000,) und vergleichen ihre Mittelwerte mit zehn solcher Sequenzen, die von einem Zufallsbitgenerator erzeugt wurden.

Antworten
Für die Startwerte ( a_1=1, a_2=2,…, a_1=10,) lauten die entsprechenden Bitmittelwerte, die nach der angegebenen Methode berechnet werden 0,5040,) und ( 0,4840). Hier ist ein Beispiel von zehn entsprechenden Durchschnitten von Strings von (1000) Bits, die von einem Zufallszahlengenerator erzeugt wurden: ( 0.4880, 0.4870, 0.5150, 0.5490, 0.5130, 0.5180, 0.4860, 0.5030, 0.5050, 0.4980.) Es gibt kein wirkliches Muster in beiden Arten von Durchschnitt. Die durch Zufallszahlen erzeugten Mittelwerte liegen zwischen ( 0,4860) und ( 0,5490), einem Bereich von ( 0,0630), während die berechneten PRNG-Bit-Mittelwerte zwischen ( 0,4680) und ( 0,5220) liegen. ein Bereich von ( 0.0540.)

66) [T] Finde die ersten ( 1000) Ziffern von ( π) entweder mit einem Computerprogramm oder einer Internet-Ressource. Erstellen Sie eine Bitfolge ( b_n), indem Sie ( b_n=1) lassen, wenn die (n^{ ext{th}})-Ziffer von ( π) ungerade ist und ( b_n=0) wenn die (n^{ ext{th}})-Ziffer von ( π) gerade ist. Berechne den Mittelwert von ( b_n) und den Mittelwert von ( d_n=|b_{n+1}−b_n|, n=1,...,999.) Ist die Folge ( b_n) zufällig erscheinen? Erscheinen die Unterschiede zwischen aufeinanderfolgenden Elementen von (b_n) zufällig?

9.2: Unendliche Reihe

Verwenden Sie in den Übungen 1 - 4 die Sigma-Notation, um jeden Ausdruck als unendliche Reihe zu schreiben.

1) (1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+⋯)

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n})

2) ( 1−1+1−1+⋯)

3) ( 1−frac{1}{2}+frac{1}{3}−frac{1}{4}+...)

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^{n−1}}{n})

4) (sin 1+sinfrac{1}{2}+sinfrac{1}{3}+sinfrac{1}{4}+⋯)

Berechnen Sie in den Aufgaben 5 - 8 die ersten vier Teilsummen ( S_1,…,S_4) für die Reihe mit ( n^{ ext{th}}) Term ( a_n) beginnend mit ( n= 1) wie folgt.

5) (a_n=n)

Antworten
( 1,3,6,10)

6) (a_n=1/n)

7) ( a_n=sinfrac{nπ}{2})

Antworten
( 1,1,0,0)

8) ( a_n=(−1)^n)

Berechnen Sie in den Aufgaben 9 - 12 den allgemeinen Term ( a_n) der Reihe mit der gegebenen Partialsumme ( S_n). Wenn die Folge von Partialsummen konvergiert, bestimme ihren Grenzwert ( S).

9) ( S_n=1−frac{1}{n}, quad n≥2)

Antworten
( a_n=S_n−S_{n−1}=dfrac{1}{n−1}−dfrac{1}{n}.) Da (displaystyle S = lim_{n oinfty } S_n = lim_{n oinfty} left(1−frac{1}{n} ight) = 1,) konvergiert die Reihe gegen ( S=1.)

10) ( S_n=dfrac{n(n+1)}{2}, quad n≥1)

11) ( S_n=sqrt{n},quad n≥2)

Antworten
( a_n=S_n−S_{n−1}=sqrt{n}−sqrt{n−1}=dfrac{1}{sqrt{n−1}+sqrt{n}}.)
Die Reihe divergiert, weil die Teilsummen unbeschränkt sind.
Das heißt (displaystyle lim_{n oinfty} S_n = lim_{n oinfty} sqrt{n} = infty.)

12) ( S_n=2−dfrac{n+2}{2^n},quad n≥1)

Verwenden Sie für jede Reihe in den Übungen 13 - 16 die Folge der Teilsummen, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert oder divergiert.

13) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n}{n+2})

Antworten
( S_1=1/3,)
( S_2=1/3+2/4>1/3+1/3=2/3,)
(S_3=1/3+2/4+3/5>3⋅(1/3)=1.)
Im Allgemeinen gilt ( S_k>k/3,), sodass die Reihe divergiert.
Beachten Sie, dass der (n^{ ext{th}})-Termtest auf Divergenz auch verwendet werden könnte, um zu beweisen, dass diese Reihe divergiert.

14) (displaystyle sum_{n=1}^∞(1−(−1)^n)))

15) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{(n+1)(n+2)}) (Hinweis: Verwenden Sie eine Partialbruchzerlegung wie die für (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n(n+1)}.))

Antworten

( S_1=1/(2cdot 3)=1/6=2/3−1/2,)

( S_2=1/(2cdot 3)+1/(3cdot 4)=2/12+1/12=1/4=3/4−1/2,)

( S_3=1/(2cdot 3)+1/(3cdot 4)+1/(4cdot 5)=10/60+5/60+3/60=3/10=4/5 −1/2,)

( S_4=1/(2cdot 3)+1/(3cdot 4)+1/(4cdot 5)+1/(5cdot 6)=10/60+5/60+3/ 60+2/60=1/3=5/6−1/2.)

Das Muster ist ( S_k=dfrac{k+1}{k+2}−dfrac{1}{2}.)
Dann ist (displaystyle lim_{n oinfty} S_n = lim_{n oinfty} left( dfrac{k+1}{k+2}−dfrac{1}{2} rechts) = dfrac{1}{2},), also konvergiert die Reihe gegen ( 1/2.)

16) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{2n+1}) (Hinweis: Folgen Sie der Argumentation für (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{ 1}{n}.))

Angenommen, (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=1), (displaystyle sum_{n=1}^∞b_n=−1), ( a_1=2) , und ( b_1=−3). Verwenden Sie diese Informationen, um die Summe der angegebenen Reihen in den Übungen 17 - 20 zu ermitteln.

17) (displaystyle sum_{n=1}^∞(a_n+b_n))

Antworten
( displaystyle sum_{n=1}^∞(a_n+b_n) quad = quad sum_{n=1}^∞ a_n + sum_{n=1}^∞ b_n quad = quad 1 + (-1) quad = quad 0)

18) (displaystyle sum_{n=1}^∞(a_n−2b_n))

19) (displaystyle sum_{n=2}^∞(a_n−b_n))

Antworten
(displaystyle sum_{n=2}^∞(a_n−b_n) quad = quad sum_{n=2}^∞ a_n - sum_{n=2}^∞ b_n quad = quad left(sum_{n=1}^∞ a_n - a_1 ight) - left(sum_{n=1}^∞ b_n -b_1 ight) quad = quad (1 - 2) - (-1 - (-3)) = -1 - 2 quad = quad -3)

20) (displaystyle sum_{n=1}^∞(3a_{n+1}−4b_{n+1}))

Geben Sie in den Aufgaben 21 - 26 an, ob die gegebene Reihe konvergiert oder divergiert und erklären Sie warum.

21) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n+1000}) (Hinweis: Umschreiben mit Indexänderung.)

Antworten
Die Reihe divergiert, (displaystyle sum_{n=1001}^∞frac{1}{n})

22) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n+10^{80}}) (Hinweis: Umschreiben mit Indexänderung.)

23) ( 1+frac{1}{10}+frac{1}{100}+frac{1}{1000}+⋯)

Antworten
Dies ist eine konvergente geometrische Reihe, da ( r=frac{1}{10}<1)

24) ( 1+frac{e}{π}+frac{e^2}{π^2}+frac{e^3}{π^3}+⋯)

25) ( 1+frac{π}{e^2}+frac{π^2}{e^4}+frac{π^3}{e^6}+frac{π^4} {e^8}+⋯)

Antworten
Dies ist eine konvergente geometrische Reihe, da ( r=π/e^2<1)

26) ( 1−sqrt{frac{π}{3}}+sqrt{frac{π^2}{9}}−sqrt{frac{π^3}{27}}+⋯ )

Schreiben Sie für jedes ( a_n) in den Übungen 27 - 30 seine Summe als geometrische Reihe der Form (displaystyle sum_{n=1}^∞ar^n). Geben Sie an, ob die Reihe konvergiert und wenn ja, ermitteln Sie den genauen Wert ihrer Summe.

27) ( a_1=−1) und ( dfrac{a_n}{a_{n+1}}=−5) für ( n≥1.)

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞5⋅(−1/5)^n), konvergiert gegen ( −5/6)

28) ( a_1=2) und ( dfrac{a_n}{a_{n+1}}=1/2) für ( n≥1.)

29) ( a_1=10) und ( dfrac{a_n}{a_{n+1}}=10) für ( n≥1).

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞100⋅(1/10)^n,) konvergiert gegen (frac{100}{9})

30) ( a_1=frac{1}{10}) und ( a_n/a_{n+1}=−10) für ( n≥1).

Verwenden Sie in den Übungen 31 - 34 die Identität (displaystyle frac{1}{1−y}=sum_{n=0}^∞y^n) (das gilt für (|y| < 1 )) um jede Funktion als geometrische Reihe im angegebenen Term auszudrücken.

31) ( dfrac{x}{1+x}) in (x)

Antworten
(displaystyle xsum_{n=0}^∞(−x)^n=sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}x^n)

32) ( dfrac{sqrt{x}}{1−x^{3/2}}) in ( sqrt{x})

33) ( dfrac{1}{1+sin^2x}) in (sin x)

Antworten
(displaystyle sum_{n=0}^∞(−1)^nsin^{2n}(x))

34) ( sec^2 x) in (sin x)

Bewerten Sie in den Übungen 35 - 38 die Teleskopreihe oder geben Sie an, ob die Reihe divergiert.

35) (displaystyle sum_{n=1}^∞2^{1/n}−2^{1/(n+1)})

Antworten
( S_k=2−2^{1/(k+1)}→1) als (k→∞.)

36) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^{13}}−frac{1}{(n+1)^{13}})

37) (displaystyle sum_{n=1}^∞(sqrt{n}−sqrt{n+1}))

Antworten
( S_k=1−sqrt{k+1}) divergiert

38) (displaystyle sum_{n=1}^∞(sin n−sin(n+1)))

Drücken Sie jede Reihe in den Übungen 39 - 42 als Teleskopsumme aus und berechnen Sie ihre (n^{ ext{th}})-Teilsumme.

39) (displaystyle sum_{n=1}^∞lnleft(frac{n}{n+1} ight))

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞[ln n−ln(n+1)],)
(S_k=−ln(k+1))

40) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2n+1}{(n^2+n)^2}) (Hinweis: Nenner faktorisieren und Partialbrüche verwenden.)

41) (displaystyle sum_{n=2}^∞frac{lnleft(1+frac{1}{n} ight)}{(ln n)ln(n+1) })

Antworten
( a_n=frac{1}{ln n}−frac{1}{ln(n+1)}) und ( S_k=frac{1}{ln(2)}− frac{1}{ln(k+1)}→frac{1}{ln(2)})

42) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(n+2)}{n(n+1)2^{n+1}}) (Hinweis: Siehe ( 1/ (n2^n)).

Eine allgemeine Teleskopserie ist eine, bei der sich alle bis auf die ersten Terme nach der Summierung einer gegebenen Anzahl aufeinanderfolgender Terme aufheben.

43) Sei ( a_n=f(n)−2f(n+1)+f(n+2),) wobei ( f(n)→0) als ( n→∞.) Finde (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

Antworten
(displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=f(1)−f(2))

44) ( a_n=f(n)−f(n+1)−f(n+2)+f(n+3),) wobei ( f(n)→0) als ( n →∞). Finde (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

45) Angenommen, ( a_n=c_0f(n)+c_1f(n+1)+c_2f(n+2)+c_3f(n+3)+c_4f(n+4),) wobei ( f(n) →0) als ( n→∞). Finden Sie eine Bedingung für die Koeffizienten ( c_0,…,c_4), die dies zu einer allgemeinen Teleskopreihe machen.

Antworten
( c_0+c_1+c_2+c_3+c_4=0)

46) Bewerte (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n(n+1)(n+2)}) (Hinweis: (displaystyle frac{1}{n (n+1)(n+2)}=frac{1}{2n}−frac{1}{n+1}+frac{1}{2(n+2)}))

47) Bewerte (displaystyle sum_{n=2}^∞frac{2}{n^3−n}.)

Antworten
(displaystyle frac{2}{n^3−1}=frac{1}{n−1}−frac{2}{n}+frac{1}{n+1},)
(S_n=(1−1+1/3)+(1/2−2/3+1/4) +(1/3−2/4+1/5)+(1/4−2/5 +1/6)+⋯=1/2)

48) Finden Sie eine Formel für (displaystyle sum_{n=1}^∞left(frac{1}{n(n+N)} ight)), wobei ( N) eine positive ganze Zahl . ist .

49) [T] Definiere eine Folge (displaystyle t_k=sum_{n=1}^{k−1}(1/k)−ln k). Verwenden Sie den Graphen von ( 1/x), um zu überprüfen, dass ( ​​t_k) zunimmt. Zeichnen Sie ( t_k) für ( k=1…100) und geben Sie an, ob die Folge konvergiert.

Antworten

( t_k) konvergiert gegen ( 0.57721…t_k) ist eine Summe von Rechtecken der Höhe ( 1/k) über dem Intervall ( [k,k+1]), die über dem Graphen von ( 1/x).

50) [T] Angenommen, ( N) gleiche gleichförmige rechteckige Blöcke werden übereinander gestapelt, wobei ein gewisser Überhang möglich ist. Das archimedische Hebelgesetz besagt, dass der Stapel von ( N) Blöcken stabil ist, solange der Massenschwerpunkt der oberen ( (N−1)) Blöcke am Rand des unteren Blocks liegt. Sei ( x) die Position der Kante des unteren Blocks und stelle dir seine Position relativ zur Mitte des vorletzten Blocks vor. Dies impliziert, dass ( ​​(N−1)x=left(frac{1}{2}−x ight)) oder ( x=1/(2N)). Verwenden Sie diesen Ausdruck, um den maximalen Überhang (die Position der Kante des oberen Blocks über der Kante des unteren Blocks) zu berechnen. Siehe folgende Abbildung.

Jede der folgenden unendlichen Reihen konvergiert gegen das gegebene Vielfache von ( π) oder ( 1/π).

Finden Sie in jedem Fall den Minimalwert von ( N), so dass die ( Nth)-Teilsumme der Reihe die linke Seite auf die angegebene Anzahl von Nachkommastellen genau approximiert, und geben Sie den gewünschten Näherungswert an. Bis zu ( 15) Dezimalstellen, ( π=3.141592653589793....)

51) [T] (displaystyle π=−3+sum_{n=1}^∞frac{n2^nn!^2}{(2n)!},) Fehler ( <0,0001)

Antworten
(N=22,)
(S_N=6.1415)

52) [T] (displaystyle frac{π}{2}=sum_{k=0}^∞frac{k!}{(2k+1)!!}=sum_{k=0} ^∞frac{2^kk!^2}{(2k+1)!},) Fehler ( <10^{−4})

53) [T] (displaystyle frac{9801}{2π}=frac{4}{9801}sum_{k=0}^∞frac{(4k)!(1103+26390k)}{( k!)^4396^{4k}},) Fehler ( <10^{−12})

Antworten
( N=3,)
(S_N=1.559877597243667...)

54) [T] (displaystyle frac{1}{12π}=sum_{k=0}^∞frac{(−1)^k(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k) !(k!)^3640320^{3k+3/2}}), Fehler ( <10^{−15})

55) [T] Eine faire Münze ist eine, die die Wahrscheinlichkeit ( 1/2) hat, Kopf zu treffen, wenn sie geworfen wird.

A. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze ( n) Mal hintereinander auftaucht?

B. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine Münze nach einer geraden Anzahl von Münzwürfen zum ersten Mal Kopf erscheint.

Antworten
A. Die Wahrscheinlichkeit einer gegebenen geordneten Folge von Ergebnissen für ( n) Münzwürfe ist ( 1/2^n).
B. Die Wahrscheinlichkeit, beim ( n)-ten Flip zum ersten Mal Kopf zu treffen, ist die Wahrscheinlichkeit der Folge ( TT…TH), die ( 1/2^n) ist. Die Wahrscheinlichkeit, bei einem geraden Flip zum ersten Mal Kopf zu treffen, ist (displaystyle sum_{n=1}^∞1/2^{2n}) oder ( 1/3).

56) [T] Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze dreimal geworfen wird, bevor Kopf erscheint.

57) [T] Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine faire Münze nach einer geraden Anzahl von Würfen zum zweiten Mal Kopf erscheint.

Antworten
(5/9)

58) [T] Finden Sie eine Reihe, die die Wahrscheinlichkeit ausdrückt, dass eine faire Münze bei einem Vielfachen von drei Würfen zum zweiten Mal Kopf erscheint.

59) [T] Die erwartete Häufigkeit, mit der eine faire Münze mit Kopf erscheint, ist definiert als die Summe über ( n=1,2,…) von ( n) mal der Wahrscheinlichkeit, dass die Münze auftaucht geht genau ( n) mal hintereinander oder ( dfrac{n}{2^{n+1}}). Berechnen Sie die erwartete Anzahl aufeinanderfolgender Male, die eine faire Münze mit Kopf ergibt.

Antworten
(displaystyle E=sum_{n=1}^∞frac{n}{2^{n+1}}=1,) wie durch Summation nach Teilen gezeigt werden kann

60) [T] Eine Person zahlt zu Beginn jedes Quartals ($10) auf ein Bankkonto ein, das (4%) jährliche Zinsen erhält, die vierteljährlich (viermal im Jahr) verzinst werden.

A. Zeigen Sie, dass die nach ( n) Quartalen akkumulierten Zinsen ( $10(frac{1.01^{n+1}−1}{0.01}−n).)

B. Finden Sie die ersten acht Terme der Folge.

C. Wie viel Zinsen haben sich nach ( 2) Jahren angesammelt?

61) [T] Angenommen, die Menge eines Medikaments im System eines Patienten nimmt jede Stunde um einen multiplikativen Faktor (r<1) ab. Angenommen, alle ( N) Stunden wird eine neue Dosis verabreicht. Finden Sie einen Ausdruck, der die Menge ( A(n)) im System des Patienten nach ( n) Stunden für jedes ( n) in Bezug auf die Dosis ( d) und das Verhältnis ( r ). (Hinweis: Schreiben Sie ( n=mN+k), wobei ( 0≤k

Antworten
Der Teil der ersten Dosis nach ( n) Stunden ist ( dr^n), der Teil der zweiten Dosis ist ( dr^{n−N}) und im Allgemeinen der Rest von die ( m^{ ext{th}}) Dosis ist ( dr^{n−mN}), also (displaystyle A(n)=sum_{l=0}^mdr^{n −lN}=sum_{l=0}^mdr^{k+(m−l)N}=sum_{q=0}^mdr^{k+qN}=dr^ksum_{q=0} ^mr^{Nq}=dr^kfrac{1−r^{(m+1)N}}{1−r^N},; ext{wo},n=k+mN. )

62) [T] Ein bestimmtes Medikament ist für einen durchschnittlichen Patienten nur wirksam, wenn es mindestens ( 1) mg pro kg im System des Patienten enthält, während es nur sicher ist, wenn höchstens ( 2) mg pro kg vorhanden sind kg in einem durchschnittlichen Patientensystem. Angenommen, die Menge im System eines Patienten verringert sich jede Stunde nach Verabreichung einer Dosis um einen multiplikativen Faktor von (0,9). Finden Sie das maximale Intervall ( N) von Stunden zwischen den Dosen und den entsprechenden Dosisbereich ( d) (in mg/kg) für dieses ( N), das eine sichere und wirksame Anwendung des Arzneimittels ermöglicht die langfristige.

63) Angenommen, ( a_n≥0) sei eine Zahlenfolge. Erklären Sie, warum die Folge der Teilsummen von ( a_n) ansteigt.

Antworten
( S_{N+1}=a_{N+1}+S_N≥S_N)

64) [T] Angenommen ( a_n) sei eine Folge positiver Zahlen und die Folge ( S_n) von Partialsummen von ( a_n) sei nach oben beschränkt. Erklären Sie, warum (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert. Bleibt die Schlussfolgerung wahr, wenn wir die Hypothese ( a_n≥0) entfernen?

65) [T] Angenommen ( a_1=S_1=1) und für gegebene Zahlen ( S>1) und ( 0

Antworten
Da ( S>1, a_2>0,) und da ( k<1, S_2=1+a_2<1+(S−1)=S). Wenn ( S_n>S) für einige ( n) gilt, dann gibt es ein kleinstes ( n). Für dieses ( n, S>S_{n−1}), also ( S_n=S_{n−1}+k(S−S_{n−1})=kS+(1−k)S_{n −1}0) für alle ( n), also ist ( S_n) wachsend und durch ( S) beschränkt. Sei (displaystyle S_∗=lim S_n). Wenn ( S_∗0), aber wir können n finden mit ( S_∗−S_n<δ/2), was impliziert, dass ( S_{n+1}=S_n+k(S−S_n) >S_∗+δ/2), im Widerspruch dazu, dass Sn zu ( S_∗) wächst. Also ( S_n→S.)

66) [T] Eine Version von von Bertalanffy Wachstum kann verwendet werden, um das Alter eines Individuums in einer homogenen Art aus seiner Länge abzuschätzen, wenn die jährliche Zunahme im Jahr ( n+1) ( a_{n+1}=k(S−S_n)) erfüllt, mit ( S_n) als Länge im Jahr ( n, S) als Grenzlänge und ( k) als relative Wachstumskonstante. Falls ( S_1=3, S=9,) und ( k=1/2,) den kleinsten Wert von n numerisch schätzen, so dass ( ​​S_n≥8). Beachten Sie, dass ( ​​S_{n+1}=S_n+a_{n+1}.) Finden Sie das entsprechende ( n), wenn ( k=1/4.)

67) [T] Angenommen (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) ist eine konvergente Reihe positiver Terme. Erkläre, warum (displaystyle lim_{N→∞}sum_{n=N+1}^∞a_n=0.)

Antworten
Seien (displaystyle S_k=sum_{n=1}^ka_n) und ( S_k→L). Dann wird ( S_k) schließlich beliebig nahe an ( L), was bedeutet, dass (displaystyle L−S_N=sum_{n=N+1}^∞a_n) beliebig klein wird, da ( N→ .)

68) [T] Ermitteln Sie die Länge des gestrichelten Zick-Zack-Pfades in der folgenden Abbildung.

69) [T] Ermitteln Sie die Gesamtlänge des gestrichelten Pfads in der folgenden Abbildung.

Antworten
(displaystyle L=left(1+frac{1}{2} ight)sum_{n=1}^∞frac{1}{2^n}=frac{3}{2} ).

70) [T] Die Sierpinski-Dreieck erhält man aus einem Dreieck, indem man im ersten Schritt das mittlere Viertel löscht, im zweiten Schritt die mittleren Viertel der verbleibenden drei kongruenten Dreiecke löscht und im Allgemeinen in jedem nachfolgenden Schritt die mittleren Viertel der verbleibenden Dreiecke löscht. Unter der Annahme, dass das ursprüngliche Dreieck in der Abbildung dargestellt ist, ermitteln Sie die Flächen der verbleibenden Teile des ursprünglichen Dreiecks nach ( N) Schritten und ermitteln Sie die Gesamtlänge aller Randdreiecke nach ( N) Schritten.

71) [T] Die Sierpinski-Dichtung wird erhalten, indem das Einheitsquadrat in neun gleiche Teilquadrate geteilt wird, das mittlere Quadrat entfernt und dann in jeder Phase dasselbe mit den verbleibenden Teilquadraten durchgeführt wird.Die Abbildung zeigt den verbleibenden Satz nach vier Iterationen. Berechnen Sie die nach (N) Stufen entfernte Gesamtfläche und berechnen Sie die Länge des Gesamtumfangs der verbleibenden Menge nach (N) Stufen.

Antworten
In Stufe eins wird ein Flächenquadrat ( 1/9) entfernt, in Stufe ( 2) entfernt man ( 8) Flächenquadrate ( 1/9^2), in Stufe drei entfernt man ( 8^2) Flächenquadrate ( 1/9^3) und so weiter. Die gesamte entfernte Fläche nach (N)-Stufen ist (displaystyle sum_{n=0}^{N−1}frac{8^N}{9^{N+1}}=frac{1 }{8}cdotfrac{1−(8/9)^N}{1−8/9}→1) als (N→∞.) Der Gesamtumfang ist (displaystyle 4+4 sum_{n=0}^∞frac{8^N}{3^{N+1}}→∞.)

9.3: Die Divergenz- und Integraltests

Wenn der Divergenztest zutrifft, geben Sie für jede Sequenz in den Aufgaben 1 - 14 entweder an, dass (displaystyle lim_{n→∞}a_n) nicht existiert, oder finden Sie (displaystyle lim_{n→∞}a_n ). Falls der Divergenztest nicht zutrifft, geben Sie an, warum.

1) ( a_n=dfrac{n}{n+2})

2) ( a_n=dfrac{n}{5n^2−3})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=0). Der Divergenztest gilt nicht.

3) ( a_n=dfrac{n}{sqrt{3n^2+2n+1}})

4) ( a_n=dfrac{(2n+1)(n−1)}{(n+1)^2})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=2). Die Reihe divergiert also durch den (n^{ ext{th}})-Term Test auf Divergenz.

5) ( a_n=dfrac{(2n+1)^{2n}}{(3n^2+1)^n})

6) ( a_n=dfrac{2^n}{3^{n/2}})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=∞) (existiert nicht). Die Reihe divergiert also durch den (n^{ ext{th}})-Term Test auf Divergenz.

7) ( a_n=dfrac{2^n+3^n}{10^{n/2}})

8) ( a_n=e^{−2/n})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=1.) Also divergiert die Reihe durch den (n^{ ext{th}})-Term Test auf Divergenz.

9) ( a_n=cos n)

10) (a_n= an n)

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n) existiert nicht. Die Reihe divergiert also durch den (n^{ ext{th}})-Term Test auf Divergenz.

11) ( a_n=dfrac{1−cos^2(1/n)}{sin^2(2/n)})

12) ( a_n=left(1−dfrac{1}{n} ight)^{2n})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=1/e^2.) Also divergiert die Reihe durch den (n^{ ext{th}})-Term Test auf Divergenz.

13) ( a_n=dfrac{ln n}{n})

14) ( a_n=dfrac{(ln n)^2}{sqrt{n}})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=0.) Der Divergenztest gilt nicht.

Geben Sie in den Aufgaben 15 - 20 an, ob die gegebene (p)-Reihe konvergiert.

15) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt{n}})

16) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{nsqrt{n}})

Antworten
Die Reihe konvergiert, da ( p=3/2>1).

17) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt[3]{n^2}})

18) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt[3]{n^4}})

Antworten
Die Reihe konvergiert, da ( p=4/3>1.)

19) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n^e}{n^π})

20) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n^π}{n^{2e}})

Antworten
Die Reihe konvergiert, da ( p=2e−π>1.)

Verwenden Sie in den Übungen 21 - 27 den Integraltest, um festzustellen, ob die folgenden Summen konvergieren.

21) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt{n+5}})

22) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{sqrt[3]{n+5}})

Antworten
Die Reihe divergiert durch den Integraltest, da gezeigt werden kann, dass (displaystyle ∫^∞_1frac{dx}{(x+5)^{1/3}}) divergiert.

23) (displaystyle sum_{n=2}^∞frac{1}{nln n})

24) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n}{1+n^2})

Antworten
Die Reihe divergiert durch den Integraltest, da gezeigt werden kann, dass (displaystyle ∫^∞_1frac{x}{1+x^2},dx) divergiert.

25) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{e^n}{1+e^{2n}})

26) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2n}{1+n^4})

Antworten
Die Reihe konvergiert durch den Integraltest, da (displaystyle ∫^∞_1frac{2x}{1+x^4},dx) konvergiert.

27) (displaystyle sum_{n=2}^∞frac{1}{nln^2n})

Drücken Sie die Summen in den Aufgaben 28 - 31 als (p)-Reihen aus und bestimmen Sie, ob jede konvergiert.

28) (displaystyle sum_{n=1}^∞2^{−ln n}) (Hinweis: ( 2^{−ln n}=1/n^{ln 2}.) )

Antworten
( 2^{−ln n}=1/n^{ln 2}.) Wegen (p=ln 2<1) divergiert diese Reihe durch den ( p)-Reihentest.

29) (displaystyle sum_{n=1}^∞3^{−ln n}) (Hinweis: ( 3^{−ln n}=1/n^{ln 3}.) )

30) (displaystyle sum_{n=1}^n2^{−2ln n})

Antworten
( 2^{−2ln n}=1/n^{2ln 2}.) Da (p = 2ln 2−1<1) divergiert diese Reihe um ( p )-Serientest.

31) (displaystyle sum_{n=1}^∞n3^{−2ln n})

Verwenden Sie in den Übungen 32 - 35 die Schätzung (displaystyle R_N≤∫^∞_Nf(t),dt), um eine Schranke für den Rest (displaystyle R_N=sum_{n=1}^∞a_n −sum_{n=1}^Na_n) wobei ( a_n=f(n).)

32) (displaystyle sum_{n=1}^{1000}frac{1}{n^2})

Antworten
(displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}frac{dt}{t^2}=lim_{b o ∞}−frac{1}{t}igg|^b_{ 1000}=lim_{b o ∞}left(−frac{1}{b}+frac{1}{1000} ight)=0,001)

33) (displaystyle sum_{n=1}^{1000}frac{1}{n^3})

34) (displaystyle sum_{n=1}^{1000}frac{1}{1+n^2})

Antworten
(displaystyle R_{1000}≤∫^∞_{1000}frac{dt}{1+t^2}=lim_{b o ∞} left( an^{−1}b− tan^{−1}(1000) ight)=π/2− an^{−1}(1000)≈0.000999)

35) (displaystyle sum_{n=1}^{100}frac{n}{2^n})

[T] Bestimme in den Übungen 36 - 40 den Minimalwert von ( N), so dass die Restschätzung (displaystyle ∫^∞_{N+1}f(x),dx

36) ( a_n=dfrac{1}{n^2},) Fehler ( <10^{−4})

Antworten
(displaystyle R_N<∫^∞_Nfrac{dx}{x^2}=1/N,; ext{for};N>10^4)

37) ( a_n=dfrac{1}{n^{1.1}},) Fehler ( <10^{−4})

38) ( a_n=dfrac{1}{n^{1.01}},) Fehler ( <10^{−4})

Antworten
(displaystyle R_N<∫^∞_Nfrac{dx}{x^{1.01}}=100N^{−0.01},; ext{for};N>10^{600})

39) ( a_n=dfrac{1}{nln^2n},) Fehler ( <10^{−3})

40) ( a_n=dfrac{1}{1+n^2},) Fehler ( <10^{−3})

Antworten
(displaystyle R_N<∫^∞_Nfrac{dx}{1+x^2}=π/2− an^{−1}(N),; ext{for};N> tan(π/2−10^{−3})≈1000)

Finden Sie in den Übungen 41 - 45 einen Wert von ( N), so dass ( ​​R_N) kleiner als der gewünschte Fehler ist. Berechnen Sie die entsprechende Summe (displaystyle sum_{n=1}^Na_n) und vergleichen Sie sie mit der gegebenen Schätzung der unendlichen Reihe.

41) ( a_n=dfrac{1}{n^{11}},) Fehler ( displaystyle <10^{−4}, sum_{n=1}^∞frac{1}{n ^{11}}=1.000494…)

42) ( a_n=dfrac{1}{e^n},) Fehler (displaystyle <10^{−5}, sum_{n=1}^∞frac{1}{e^n }=frac{1}{e−1}=0.581976…)

Antworten
(displaystyle R_N<∫^∞_Nfrac{dx}{e^x}=e^{−N},; ext{for};N>5ln(10),) okay wenn (displaystyle N=12;sum_{n=1}^{12}e^{−n}=0.581973....) Schätzung stimmt mit ( 1/(e−1)) auf fünf Dezimalstellen überein setzt.

43) ( a_n=dfrac{1}{e^{n^2}},) Fehler (displaystyle <10^{−5}, sum_{n=1}^∞dfrac{1} {e^{n^2}}=0.40488139857…)

44) ( a_n=dfrac{1}{n^4},) Fehler (displaystyle <10^{−4}, sum_{n=1}^∞dfrac{1}{n^4 }=frac{π^4}{90}=1,08232...)

Antworten
(displaystyle R_N<∫^∞_Ndfrac{dx}{x^4}=4/N^3,; ext{for};N>(4.10^4)^{1/3}, ) okay, wenn ( N=35); (displaystyle sum_{n=1}^{35}dfrac{1}{n^4}=1,08231….) Die Schätzung stimmt mit der Summe auf vier Dezimalstellen überein.

45) ( a_n=dfrac{1}{n^6}), Fehler (displaystyle <10^{−6}, sum_{n=1}^∞frac{1}{n^6 }=frac{π^6}{945}=1.01734306...,)

46) Bestimme den Grenzwert als ( n→∞) von ( dfrac{1}{n}+dfrac{1}{n+1}+⋯+dfrac{1}{2n}). (Hinweis: Vergleiche mit (displaystyle ∫^{2n}_nfrac{1}{t},dt.))

Antworten
( ln(2))

47) Bestimme den Grenzwert als ( n→∞) von ( dfrac{1}{n}+dfrac{1}{n+1}+⋯+dfrac{1}{3n})

Die nächsten Übungen sollen ein Gefühl für Anwendungen vermitteln, bei denen Teilsummen der harmonischen Reihe entstehen.

48) Bei bestimmten Wahrscheinlichkeitsanwendungen, wie dem sogenannten Watterson-Schätzer zur Vorhersage von Mutationsraten in der Populationsgenetik, ist es wichtig, eine genaue Schätzung der Zahl ( H_k=(1+frac{1}{2} +frac{1}{3}+⋯+frac{1}{k})). Denken Sie daran, dass ( ​​T_k=H_k−ln k) abnimmt. Berechne (displaystyle T=lim_{k→∞}T_k) auf vier Dezimalstellen. (Hinweis: (displaystyle frac{1}{k+1}<∫^{k+1}_kfrac{1}{x},dx).)

Antworten
( T=0.5772...)

49) [T] Vollständige Bemusterung mit Austausch, manchmal auch als bezeichnet Problem des Gutscheinsammlers, wird wie folgt formuliert: Angenommen, Sie haben ( N) eindeutige Elemente in einem Behälter. Bei jedem Schritt wird ein Artikel zufällig ausgewählt, identifiziert und zurück in den Behälter gelegt. Das Problem fragt, wie viele Schritte ( E(N)) erwartet werden müssen, um jedes eindeutige Element mindestens einmal zu zeichnen. Es stellt sich heraus, dass ( ​​E(N)=N.H_N=N(1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+⋯+frac{1}{N})) . Finden Sie ( E(N)) für ( N=10,20,) und ( 50).

50) [T] Der einfachste Weg, Karten zu mischen, besteht darin, die oberste Karte zu nehmen und sie an einer zufälligen Stelle in das Deck einzufügen, die als zufällige obere Einfügung bezeichnet wird, und dann zu wiederholen. Wir betrachten ein Deck als zufällig gemischt, sobald genügend obere zufällige Einfügungen vorgenommen wurden, sodass die ursprünglich unterste Karte oben angekommen ist und dann zufällig eingefügt wurde. Wenn das Deck ( n) Karten hat, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Einfügung unter der Karte zuerst unten liegt (nennen Sie diese Karte ( B)) ( 1/n). Daher ist die erwartete Anzahl der oberen zufälligen Einfügungen, bevor (B) nicht mehr unten ist, (n). Sobald eine Karte unter (B) liegt, gibt es zwei Stellen unter (B) und die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig eingeworfene Karte unter (B) fällt, ist (2/n). Die erwartete Anzahl der oberen zufälligen Einfügungen, bevor dies geschieht, ist ( n/2). Die beiden Karten unter (B) befinden sich nun in zufälliger Reihenfolge. Fahren Sie auf diese Weise fort und finden Sie eine Formel für die erwartete Anzahl der oberen zufälligen Einfügungen, die erforderlich sind, um das Deck als zufällig gemischt zu betrachten.

Antworten
Die erwartete Anzahl von zufälligen Einfügungen, um ( B) nach oben zu bringen, ist ( n+n/2+n/3+⋯+n/(n−1).) Dann bringt eine weitere Einfügung ( B ) willkürlich wieder rein. Daher ist die erwartete Anzahl von Mischvorgängen, um das Deck zu randomisieren, ( n(1+1/2+⋯+1/n).)

51) Angenommen, ein Roller kann mit vollem Kraftstofftank ( 100) km zurücklegen. Angenommen, dass Kraftstoff von einem Roller auf einen anderen umgefüllt, aber nur im Tank mitgeführt werden kann, stellen Sie ein Verfahren vor, das es einem der Roller ermöglicht, ( 100H_N) km zu fahren, wobei ( H_N=1+1/2+ ⋯+1/N.)

52) Zeigen Sie, dass für die Restabschätzung auf ( [N,∞)) ausreicht, dass ( ​​f(x)) auf ( [N,∞) abnimmt, aber ( f ) muss auf ( [1,∞) nicht abnehmen.)

Antworten
Setze ( b_n=a_{n+N}) und ( g(t)=f(t+N)) so, dass ( ​​f) auf ( [t,∞).)

53) [T] Verwenden Sie die Restabschätzung und Integration in Teilen, um (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n}{e^n}) innerhalb eines Fehlers kleiner als (0,0001. )

54) Konvergiert (displaystyle sum_{n=2}^∞frac{1}{n(ln n)^p}) wenn (p) groß genug ist? Wenn ja, für welches (p)?

Antworten
Die Reihe konvergiert für ( p>1) durch einen Integraltest unter Verwendung einer Variablenänderung.

55) [T] Angenommen, ein Computer kann eine Million Terme pro Sekunde der divergenten Reihe (displaystyle sum_{n=1}^Nfrac{1}{n}) summieren. Verwenden Sie den Integraltest, um abzuschätzen, wie viele Sekunden es dauert, genug Terme zu addieren, damit die Teilsumme ( 100) überschreitet.

56) [T] Ein schneller Computer kann eine Million Terme pro Sekunde der divergenten Reihe (displaystyle sum_{n=2}^Nfrac{1}{nln n}) summieren. Verwenden Sie den Integraltest, um abzuschätzen, wie viele Sekunden es dauert, genug Terme zu addieren, damit die Teilsumme ( 100.) überschreitet.

Antworten
( N=e^{e^{100}}≈e^{10^{43}}) Terme werden benötigt.

9.4: Vergleichstests

Verwenden Sie den Vergleichstest, um zu bestimmen, ob jede Reihe in den Übungen 1 - 13 konvergiert oder divergiert.

1) (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) wobei (a_n=dfrac{2}{n(n+1)})

2) (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) wobei (a_n=dfrac{1}{n(n+1/2)})

Antworten
Konvergiert durch Vergleich mit (dfrac{1}{n^2}).

3) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{2(n+1)})

4) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{2n−1})

Antworten
Divergiert durch Vergleich mit harmonischen Reihen, da (2n−1≥n.)

5) (displaystyle sum^∞_{n=2}frac{1}{(nln n)^2})

6) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n!}{(n+2)!})

Antworten
(a_n=1/(n+1)(n+2)<1/n^2.) Konvergiert im Vergleich zur (p)-Reihe, (p=2>1).

7) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n!})

8) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{sin(1/n)}{n})

Antworten
(sin(1/n)≤1/n,) konvergiert also im Vergleich zur (p)-Reihe, (p=2>1).

9) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{sin^2n}{n^2})

10) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{sin(1/n)}{sqrt{n}})

Antworten
(sin(1/n)≤1,) konvergiert also im Vergleich zur (p)-Reihe, (p=3/2>1.)

11) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^{1.2}−1}{n^{2.3}+1})

12) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{sqrt{n+1}−sqrt{n}}{n})

Antworten
Da (sqrt{n+1}−sqrt{n}=1/(sqrt{n+1}+sqrt{n})≤2/sqrt{n},) konvergiert im Vergleich zu (p)-Reihe für (p=1.5>1).

13) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{sqrt[4]{n}}{sqrt[3]{n^4+n^2}})

Verwenden Sie den Grenzwertvergleichstest, um festzustellen, ob jede Reihe in den Übungen 14 - 28 konvergiert oder divergiert.

14) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(frac{ln n}{n} ight)^2)

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe für (p>1).

15) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(frac{ln n}{n^{0,6}} ight)^2)

16) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{lnleft(1+frac{1}{n} ight)}{n})

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe, (p=2>1.)

17) (displaystyle sum^∞_{n=1}lnleft(1+frac{1}{n^2} ight))

18) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{4^n−3^n})

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (4^{−n}).

19) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n^2−nsin n})

20) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{e^{(1.1)n}−3^n})

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (1/e^{1.1n}).

21) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{e^{(1.01)n}−3^n})

22) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n^{1+1/n}})

Antworten
Divergiert durch Grenzwertvergleich mit harmonischen Reihen.

23) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{2^{1+1/n}}{n^{1+1/n}})

24) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(frac{1}{n}−sinleft(frac{1}{n} ight) ight))

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe, (p=3>1).

25) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(1−cosleft(frac{1}{n} ight) ight))

26) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n}left( an^{−1}n−frac{π}{2} ight))

Antworten
Konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe, (p=3>1).

27) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(1−frac{1}{n} ight)^{nn}) (Hinweis:(left(1−dfrac {1}{n} echts)^n→1/e.))

28) (displaystyle sum^∞_{n=1}left(1−e^{−1/n} ight)) (Hinweis:(1/e≈(1−1/n) ^n,) also (1−e^{−1/n}≈1/n.))

Antworten
Divergiert durch Grenzwertvergleich mit (1/n).

29) Konvergiert (displaystyle sum^∞_{n=2}frac{1}{(ln n)^p}) wenn (p) groß genug ist? Wenn ja, für welche (p?)

30) Konvergiert (displaystyle sum^∞_{n=1}left(frac{(ln n)}{n} ight)^p) wenn (p) groß genug ist? Wenn ja, für welche (p?)

Antworten
Konvergiert für (p>1) im Vergleich mit einer (p)-Reihe für etwas kleineres (p).

31) Für welches (p) konvergiert die Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}2^{pn}/3^n)?

32) Für welches (p>0) konvergiert die Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^p}{2^n})?

Antworten
Konvergiert für alle (p>0).

33) Für welches (r>0) konvergiert die Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{r^{n^2}}{2^n})?

34) Für welches (r>0) konvergiert die Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{2^n}{r^{n^2}})?

Antworten
Konvergiert für alle (r>1). Wenn (r>1) dann (r^n>4), sagen wir einmal (n>ln(2)/ln(r)) und dann konvergiert die Reihe durch Grenzwertvergleich mit einem geometrischen Reihe mit Verhältnis (1/2).

35) Finden Sie alle Werte von (p) und (q) mit (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{n^p}{(n!)^q}) konvergiert.

36) Konvergiert oder divergiert (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{sin^2(nr/2)}{n})? Erklären.

Antworten
Der Zähler ist gleich (1), wenn (n) ungerade ist und (0), wenn (n) gerade ist, also kann die Reihe umgeschrieben werden (displaystyle sum^∞_{n =1}frac{1}{2n+1},), die durch Grenzwertvergleich mit der harmonischen Reihe divergiert.

37) Erklären Sie, warum für jedes (n) mindestens eines von ({|sin n|,|sin(n+1)|,...,|sin(n+6)|} ) ist größer als (1/2). Verwenden Sie diese Beziehung, um die Konvergenz von (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{|sin n|}{sqrt{n}}) zu testen.

38) Angenommen (a_n≥0) und (b_n≥0) und (displaystyle sum_{n=1}^∞a^2_n) und (displaystyle sum_{n=1 }^∞b^2_n) konvergieren. Beweisen Sie, dass (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n) konvergiert und (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n≤frac{1}{2}left(sum_{n =1}^∞a^2_n+sum_{n=1}^∞b^2_n ight)).

Antworten
((a−b)^2=a^2−2ab+b^2) oder (a^2+b^2≥2ab), also folgt Konvergenz aus dem Vergleich von (2a_nb_n) mit ( a^2_n+b^2_n.) Da die Partialsummen links von denen rechts begrenzt sind, gilt die Ungleichung für die unendliche Reihe.

39) Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞2^{−lnln n})? (Hinweis: Schreiben Sie (2^{lnln n}) als Potenz von (ln n).)

40) Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞(ln n)^{−ln n})? (Hinweis: Verwenden Sie (t=e^{ln(t)}), um mit einer (p)−Reihe zu vergleichen.)

Antworten
((ln n)^{−ln n}=e^{−ln(n)lnln(n)}.) Ist (n) ausreichend groß, dann gilt (ln ln n>2,) also ((ln n)^{−ln n}<1/n^2), und die Reihe konvergiert im Vergleich zu einer (p)−Reihe.

41) Konvergiert (displaystyle sum_{n=2}^∞(ln n)^{−lnln n})? (Hinweis: Vergleiche (a_n) mit (1/n).)

42) Zeigen Sie, dass, wenn (a_n≥0) und (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergieren, dann (displaystyle sum_{n=1}^∞a^2_n) konvergiert. Wenn (displaystyle sum_{n=1}^∞a^2_n) konvergiert, konvergiert dann notwendigerweise (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n)?

Antworten
(a_n→0,) also (a^2_n≤|a_n|) für große (n). Die Konvergenz folgt aus dem Grenzwertvergleich. (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2}) konvergiert, aber (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n} ) nicht, also bedeutet die Tatsache, dass (displaystyle sum_{n=1}^∞a^2_n) konvergiert, nicht, dass (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert.

43) Angenommen, (a_n>0) für alle (n) und (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert. Angenommen, (b_n) ist eine beliebige Folge von Nullen und Einsen. Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n) notwendigerweise?

44) Angenommen, (a_n>0) für alle (n) und (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) divergiert. Angenommen, (b_n) ist eine beliebige Folge von Nullen und Einsen mit unendlich vielen Termen gleich Eins. Divergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n) notwendigerweise?

Antworten

Nein. (displaystyle sum_{n=1}^∞1/n) divergiert. Sei (b_k=0) außer (k=n^2) für einige (n). Dann konvergiert (displaystyle sum_kb_k/k=sum1/k^2).

45) Vervollständigen Sie die Details des folgenden Arguments: Wenn (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n}) gegen eine endliche Summe (s) konvergiert, dann gilt (dfrac {1}{2}s=dfrac{1}{2}+dfrac{1}{4}+dfrac{1}{6}+⋯) und (s−dfrac{1}{2 }s=1+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{5}+⋯.) Warum führt dies zu einem Widerspruch?

46) Zeigen Sie, dass wenn (a_n≥0) und (displaystyle sum_{n=1}^∞a^2_n) konvergieren, dann (displaystyle sum_{n=1}^∞sin^ 2(a_n)) konvergiert.

Antworten
(|sin t|≤|t|,) also folgt das Ergebnis aus dem Vergleichstest.

47) Angenommen, (a_n/b_n→0) im Vergleichstest, wobei (a_n≥0) und (b_n≥0) gilt. Beweisen Sie, dass, wenn (displaystyle sum b_n) konvergiert, dann (displaystyle sum a_n) konvergiert.

48) Sei (b_n) eine unendliche Folge von Nullen und Einsen. Was ist der größtmögliche Wert von (displaystyle x=sum_{n=1}^∞b_n/2^n)?

Antworten
Durch den Vergleichstest ist (displaystyle x=sum_{n=1}^∞b_n/2^n≤sum_{n=1}^∞1/2^n=1.)

49) Sei (d_n) eine unendliche Ziffernfolge, was bedeutet, dass (d_n) Werte in ({0,1,…,9}) annimmt. Was ist der größtmögliche Wert von (displaystyle x=sum_{n=1}^∞d_n/10^n), der konvergiert?

50) Erkläre warum, wenn (x>1/2,) dann (x) nicht geschrieben werden kann (displaystyle x=sum_{n=2}^∞frac{b_n}{2^n} quad (b_n=0; ext{oder};1,;b_1=0).)

Antworten
Wenn (b_1=0,) dann im Vergleich (displaystyle x≤sum_{n=2}^∞1/2^n=1/2.)

51) [T] Evelyn hat eine perfekt ausbalancierte Waage, eine unbegrenzte Anzahl von (1)-kg-Gewichten und jeweils ein (1/2)-kg, (1/4)-kg, (1/8)-kg, usw. Gewichte. Sie möchte einen Meteoriten unbestimmten Ursprungs mit beliebiger Genauigkeit wiegen. Angenommen, die Waage ist groß genug, kann sie das tun? Was hat das mit unendlichen Reihen zu tun?

52) [T] Robert möchte seine Körpermasse mit beliebiger Genauigkeit wissen. Er hat eine große Waage, die perfekt funktioniert, eine unbegrenzte Sammlung von (1)-kg-Gewichten und jeweils neun von (0.1)-kg, (0.01)-kg, (0.001)-kg , und so weiter Gewichte. Angenommen, die Skala ist groß genug, kann er das tun? Was hat das mit unendlichen Reihen zu tun?

Antworten
Jawohl. Fügen Sie weiterhin (1)-kg-Gewichte hinzu, bis die Waage mit den Gewichten zur Seite kippt. Wenn es perfekt ausbalanciert ist, während Robert auf der anderen Seite steht, hör auf. Entfernen Sie andernfalls eines der (1)-kg-Gewichte und fügen Sie (0.1)-kg-Gewichte nacheinander hinzu. Wenn es nach dem Hinzufügen einiger davon ausgeglichen ist, hören Sie auf. Andernfalls, wenn es zu den Gewichten kippt, entfernen Sie das letzte (0.1)-kg-Gewicht. Beginnen Sie mit dem Hinzufügen von (0.01)-kg-Gewichten. Wenn es ausgeglichen ist, hör auf. Wenn es mit den Gewichten zur Seite kippt, entfernen Sie das letzte hinzugefügte (0,01)-kg-Gewicht. Fahren Sie auf diese Weise für die (0,001)-kg-Gewichte usw. fort. Nach endlich vielen Schritten hat man eine endliche Reihe der Form (displaystyle A+sum_{n=1}^Ns_n/10^n) wobei (A) die Anzahl der vollen kg-Gewichte und (d_n) ist die Anzahl der hinzugefügten (1/10^n)-kg-Gewichte. Wenn diese Reihe in einem bestimmten Zustand Roberts genaues Gewicht hat, wird der Prozess gestoppt. Andernfalls stellt sie die (N^{ ext{th}})-Partialsumme einer unendlichen Reihe dar, die Roberts genaues Gewicht angibt, und der Fehler dieser Summe beträgt höchstens (1/10^N).

53) Die Reihe (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{2n}) ist die Hälfte der harmonischen Reihe und divergiert daher. Sie wird aus der harmonischen Reihe erhalten, indem alle Terme gestrichen werden, in denen (n) ungerade ist. Sei (m>1) fest. Zeigen Sie allgemeiner, dass das Löschen aller Terme (1/n) mit (n=mk) für eine ganze Zahl (k) ebenfalls zu einer divergenten Reihe führt.

54) Angesichts der vorherigen Übung mag es überraschen, dass eine Unterreihe der harmonischen Reihe, in der etwa jeder fünfte Term gestrichen wird, konvergiert. Eine abgereicherte harmonische Reihe ist eine Reihe, die aus (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n}) durch Entfernen eines beliebigen Termes (1/n) erhalten wird, wenn eine gegebene Ziffer, sagen wir (9), erscheint in der Dezimalentwicklung von (n). Argumentieren Sie, dass diese verarmte harmonische Reihe konvergiert, indem Sie die folgenden Fragen beantworten.

A. Wie viele ganze Zahlen (n) haben (d)-Ziffern?

B. Wie viele (d)-stellige ganze Zahlen (h(d)). enthalten nicht (9) als eine oder mehrere ihrer Ziffern?

C. Was ist die kleinste (d)-stellige Zahl (m(d))?

D. Erklären Sie, warum die gelöschte harmonische Reihe durch (displaystyle sum_{d=1}^∞frac{h(d)}{m(d)}) beschränkt ist.

e. Zeigen Sie, dass (displaystyle sum_{d=1}^∞frac{h(d)}{m(d)}) konvergiert.

Antworten
A. (10^d−10^{d−1}<10^d)
B. (h(d)<9^d)
C. (m(d)=10^{d−1}+1)
D. Gruppieren Sie die Terme der gelöschten harmonischen Reihe nach der Anzahl der Stellen. (h(d)) begrenzt die Anzahl der Terme, und jeder Term ist höchstens (frac{1}{m(d)}.)
Dann (displaystyle sum_{d=1}^∞h(d)/m(d)≤sum_{d=1}^∞9^d/(10)^{d−1}≤90) . Man kann tatsächlich einen Vergleich verwenden, um den Wert kleiner als (80) zu schätzen. Der tatsächliche Wert ist kleiner als (23).

55) Angenommen, eine Zahlenfolge (a_n>0) hat die Eigenschaft (a_1=1) und (a_{n+1}=dfrac{1}{n+1}S_n), wobei (S_n=a_1+⋯+a_n). Können Sie feststellen, ob (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert? (Hinweis: (S_n) ist monoton.)

56) Angenommen, eine Zahlenfolge (a_n>0) hat die Eigenschaft (a_1=1) und (a_{n+1}=dfrac{1}{(n+1)^2} S_n), wobei (S_n=a_1+⋯+a_n). Können Sie feststellen, ob (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert? (Hinweis: (S_2=a_2+a_1=a_2+S_1=a_2+1=1+1/4=(1+1/4)S_1, S_3=dfrac{1}{3^2}S_2+S_2= (1+1/9)S_2=(1+1/9)(1+1/4)S_1), usw. Betrachten Sie (ln(S_n)) und verwenden Sie (ln(1+ t)≤t, t>0.))

Antworten
Fortsetzung des Hinweises ergibt (S_N=(1+1/N^2)(1+1/(N−1)^2…(1+1/4)).) Dann gilt (ln(S_N)= ln(1+1/N^2)+ln(1+1/(N−1)^2)+⋯+ln(1+1/4).) Da (ln(1+ t)) ist durch eine Konstante mal (t) beschränkt, wenn (0

9.5: Abwechselnde Serien

Geben Sie in den Aufgaben 1 - 30 an, ob jede der folgenden Reihen absolut, bedingt oder gar nicht konvergiert.

1) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{n}{n+3})

2) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{sqrt{n}+1}{sqrt{n}+3})

Antworten
Diese Reihe divergiert durch den Divergenztest. Begriffe tendieren nicht gegen Null.

3) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{1}{sqrt{n+3}})

4) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{sqrt{n+3}}{n})

Antworten
Konvergiert bedingt durch alternierenden Reihentest, da (sqrt{n+3}/n) abnimmt und sein Grenzwert 0 ist. Konvergiert nicht absolut im Vergleich zur (p)-Reihe, (p=1/ 2).

5) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{1}{n!})

6) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{3^n}{n!})

Antworten
Konvergiert absolut durch Grenzwertvergleich zB gegen (3^n/4^n,).

7) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}left(frac{n−1}{n} ight)^n)

8) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}left(frac{n+1}{n} ight)^n)

Antworten
Divergiert durch Divergenztest seit (displaystyle lim_{n→∞}|a_n|=e) und nicht (0).

9) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}sin^2n)

10) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}cos^2n)

Antworten
Divergiert durch den Divergenztest, da seine Terme nicht gegen Null tendieren. Die Grenze der Folge seiner Terme existiert nicht.

11) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}sin^2(1/n))

12) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}cos^2(1/n))

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}cos^2(1/n)=1.) Divergiert durch Divergenztest.

13) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}ln(1/n))

14) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}ln(1+frac{1}{n}))

Antworten
Konvergiert durch alternierenden Serientest.

15) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{n^2}{1+n^4})

16) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}frac{n^e}{1+n^π})

Antworten
Konvergiert bedingt durch alternierenden Serientest. Konvergiert nicht absolut durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe, (p=π−e)

Lösung:

17) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}2^{1/n})

18) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}n^{1/n})

Antworten
Divergiert; Terme tendieren nicht gegen Null.

19) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^n(1−n^{1/n})) (Hinweis: (n^{1/n}≈1+ ln(n)/n) für große (n).)

20) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}nleft(1−cosleft(frac{1}{n} ight) ight )) (Hinweis: (cos(1/n)≈1−1/n^2) für große (n).)

Antworten
Konvergiert durch alternierenden Serientest. Konvergiert nicht absolut durch Grenzwertvergleich mit harmonischen Reihen.

21) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}(sqrt{n+1}−sqrt{n})) (Hinweis: Rationalisiere den Zähler. )

22) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}left(frac{1}{sqrt{n}}−frac{1}{sqrt {n+1}} ight)) (Hinweis: Multiplizieren Sie, dann rationalisieren Sie den Zähler.)

Antworten
Konvergiert absolut durch Grenzwertvergleich mit (p)-Reihe, (p=3/2), nach Anwendung des Hinweises.

23) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}(ln(n+1)−ln n))

24) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}n( an^{−1}(n+1)− an^{−1}n) ) (Hinweis: Verwenden Sie den Mittelwertsatz.)

Antworten
Konvergiert durch alternierenden Reihentest, da ( n( an^{−1}(n+1)− an^{−1}n)) für große (n) auf Null abnimmt. Konvergiert nicht absolut durch Grenzwertvergleich mit harmonischen Reihen nach Hinweis.

25) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}((n+1)^2−n^2))

26) (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}left(frac{1}{n}−frac{1}{n+1} ight ))

Antworten
Konvergiert absolut, da ( a_n=dfrac{1}{n}−dfrac{1}{n+1}) Terme einer Teleskopreihe sind.

27) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{cos(nπ)}{n})

28) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{cos(nπ)}{n^{1/n}})

Antworten
Begriffe tendieren nicht gegen Null. Reihe divergiert durch Divergenztest.

29) (displaystyle sum^∞_{n=1}frac{1}{n}sin(frac{nπ}{2}))

30) (displaystyle sum^∞_{n=1}sin(nπ/2)sin(1/n))

Antworten
Konvergiert durch alternierenden Serientest.Konvergiert nicht absolut durch Grenzwertvergleich mit harmonischen Reihen.

Verwenden Sie in den Übungen 31 - 36 die Schätzung (|R_N|≤b_{N+1}), um einen Wert von (N) zu finden, der garantiert, dass die Summe der ersten (N) Terme der alternierenden Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}(−1)^{n+1}b_n) unterscheidet sich von der unendlichen Summe höchstens um den angegebenen Fehler. Berechnen Sie die Teilsumme (S_N) für dieses (N).

31) [T] (b_n=1/n,) Fehler ( <10^{−5})

32) [T] (b_n=1/ln(n), n≥2,) Fehler (<10^{−1})

Antworten
( ln(N+1)>10, N+1>e^{10}, N≥22026; S_{22026}=0.0257…)

33) [T] (b_n=1/sqrt{n},) Fehler (<10^{−3})

34) [T] (b_n=1/2^n), Fehler (<10^{−6})

Antworten
(2^{N+1}>10^6) oder (N+1>6ln(10)/ln(2)=19.93.) oder (N≥19; S_{19} =0,333333969…)

35) [T] (b_n=ln(1+dfrac{1}{n}),) Fehler ( <10^{−3})

36) [T] (b_n=1/n^2,) Fehler (<10^{−6})

Antworten
((N+1)^2>10^6) oder (N>999; S_{1000}≈0.822466.)

Geben Sie für die Aufgaben 37 - 45 an, ob jede der folgenden Aussagen richtig oder falsch ist. Wenn die Aussage falsch ist, geben Sie ein Beispiel an, in dem sie falsch ist.

37) Wenn ( b_n≥0) abnimmt und (displaystyle lim_{n→∞}b_n=0), dann ist (displaystyle sum_{n=1}^∞(b_{2n−1 }−b_{2n})) konvergiert absolut.

38) Wenn ( b_n≥0) abnimmt, dann konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞(b_{2n−1}−b_{2n})) absolut.

Antworten
Wahr. (b_n) braucht nicht gegen Null zu gehen, denn wenn (displaystyle c_n=b_n−lim b_n), dann (c_{2n−1}−c_{2n}=b_{2n−1}−b_{ 2n}.)

39) Wenn ( b_n≥0) und (displaystyle lim_{n→∞}b_n=0) dann (displaystyle sum_{n=1}^∞(frac{1}{2} (b_{3n−2}+b_{3n−1})−b_{3n})) konvergiert.

40) Wenn (b_n≥0) abnimmt und (displaystyle sum_{n=1}^∞(b_{3n−2}+b_{3n−1}−b_{3n})) konvergiert, dann (displaystyle sum_{n=1}^∞b_{3n−2}) konvergiert.

Antworten
Wahr. (b_{3n−1}−b_{3n}≥0,) also Konvergenz von (displaystyle sum b_{3n−2}) folgt aus dem Vergleichstest.

41) Wenn (b_n≥0) abnimmt und (displaystyle sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}b_n) bedingt aber nicht absolut konvergiert, dann ist (b_n ) geht nicht gegen Null.

42) Sei (a^+_n=a_n) falls (a_n≥0) und ( a^−_n=−a_n) falls (a_n<0). (Auch ( a^+_n=0) wenn (a_n<0) und (a^−_n=0) wenn (a_n≥0).) Wenn (displaystyle sum_{ n=1}^∞a_n) konvergiert bedingt aber nicht absolut, dann weder (displaystyle sum_{n=1}^∞a^+_n) noch (displaystyle sum_{n=1}^∞ a^−_n) konvergieren.

Antworten
Wahr. Wenn einer konvergiert, muss auch der andere konvergieren, was absolute Konvergenz impliziert.

43) Angenommen, (a_n) ist eine Folge positiver reeller Zahlen und (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert.

44) Angenommen (b_n) ist eine beliebige Folge von Einsen und Minus-Einsen. Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n) notwendigerweise?

45) Angenommen, (a_n) ist eine Folge, so dass (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n) für jede mögliche Folge (b_n) von Nullen und Einsen konvergiert. Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) absolut?

Antworten
Jawohl. Nehmen Sie (b_n=1) wenn (a_n≥0) und (b_n=0) wenn (a_n<0). Dann konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_nb_n=sum_{n:a_n≥0}a_n). In ähnlicher Weise kann man (displaystyle sum_{n:a_n<0}a_n) konvergieren. Da beide Reihen konvergieren, muss die Reihe absolut konvergieren.

In den Übungen 46 - 49 erfüllen die Reihen nicht die Hypothesen des alternierenden Reihentests wie angegeben. Geben Sie jeweils an, welche Hypothese nicht erfüllt ist. Geben Sie an, ob die Reihe absolut konvergiert.

46) (displaystyle sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}frac{sin^2n}{n})

47) (displaystyle sum_{n=1}^∞(−1)^{n+1}frac{cos^2n}{n})

Antworten
Nicht abnehmend. Konvergiert nicht absolut.

48) (displaystyle 1+frac{1}{2}−frac{1}{3}−frac{1}{4}+frac{1}{5}+frac{1}{ 6}−frac{1}{7}−frac{1}{8}+⋯)

49) (displaystyle 1+frac{1}{2}−frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}−frac{1}{ 6}+frac{1}{7}+frac{1}{8}−frac{1}{9}+⋯)

Antworten
Nicht abwechselnd. Kann ausgedrückt werden als (displaystyle sum_{n=1}^∞left(frac{1}{3n−2}+frac{1}{3n−1}−frac{1}{3n} ight),), die gegenüber (displaystyle sum_{n=1}^}frac{1}{3n−2} divergiert.)

50) Zeigen Sie, dass die alternierende Reihe (displaystyle 1−frac{1}{2}+frac{1}{2}−frac{1}{4}+frac{1}{3}− frac{1}{6}+frac{1}{4}−frac{1}{8}+⋯) konvergiert nicht. Welche Hypothese des alternierenden Serientests ist nicht erfüllt?

51) Angenommen, (displaystyle sum a_n) konvergiert absolut. Zeigen Sie, dass auch die Reihe der positiven Terme (a_n) konvergiert.

Antworten
Sei (a^+_n=a_n) falls (a_n≥0) und (a^+_n=0) falls ( a_n<0). Dann ist (a^+_n≤|a_n|) für alle (n) also die Folge der Teilsummen von ( a^+_n) aufsteigend und nach oben begrenzt durch die Folge der Teilsummen von ( | a_n|), die konvergiert; daher konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a^+_n).

52) Zeigen Sie, dass die alternierende Reihe (displaystyle frac{2}{3}−frac{3}{5}+frac{4}{7}−frac{5}{9}+⋯) konvergiert nicht. Welche Hypothese des alternierenden Serientests ist nicht erfüllt?

53) Die Formel (displaystyle cos =1−frac{θ^2}{2!}+frac{θ^4}{4!}−frac{θ^6}{6!}+ ⋯) wird im nächsten Kapitel hergeleitet. Verwenden Sie den Rest (|R_N|≤b_{N+1}), um eine Schranke für den Fehler beim Schätzen von (cos θ) durch die fünfte Teilsumme (1−θ^2/2!+θ ^4/4!−θ^6/6!+θ^8/8!) für (θ=1, θ=π/6,) und (θ=π.)

Antworten
Für (N=5) gilt (∣R_N∣b_6=θ^{10}/10!). Wenn (θ=1, R_5≤1/10!≈2,75×10^{−7}). Wenn (θ=π/6,) (R_5≤(π/6)^{10}/10!≈4,26×10^{−10}). Wenn (θ=π, R_5≤π^{10}/10!=0.0258.)

54) Die Formel (sin θ=θ−dfrac{θ^3}{3!}+dfrac{θ^5}{5!}−dfrac{θ^7}{7!}+⋯ ) wird im nächsten Kapitel abgeleitet. Verwenden Sie den Rest (|R_N|≤b_{N+1}), um eine Schranke für den Fehler beim Schätzen von (sin θ) durch die fünfte Teilsumme (θ−θ^3/3!+θ .) zu finden ^5/5!−θ^7/7!+θ^9/9!) für (θ=1, θ=π/6,) und (θ=π.)

55) Wie viele Terme in (cos θ=1−dfrac{θ^2}{2!}+dfrac{θ^4}{4!}−dfrac{θ^6}{6!}+ ⋯) werden benötigt, um (cos 1) auf einen Fehler von höchstens (0,00001) genau zu approximieren?

Antworten
Sei ( b_n=1/(2n−2)!.) Dann gilt (R_N≤1/(2N)!<0,00001) wenn ((2N)!>10^5) oder (N=5 ) und (displaystyle 1−frac{1}{2!}+frac{1}{4!}−frac{1}{6!}+frac{1}{8!}=0.540325 …), während (cos 1=0.5403023…)

56) Wie viele Terme in (sin θ=θ−dfrac{θ^3}{3!}+dfrac{θ^5}{5!}−dfrac{θ^7}{7!}+ ⋯) werden benötigt, um (sin 1) genau auf einen Fehler von höchstens (0,00001?)

57) Manchmal konvergiert die alternierende Reihe (displaystyle sum_{n=1}^∞(−1)^{n−1}b_n) gegen einen bestimmten Bruchteil einer absolut konvergenten Reihe (displaystyle sum_{n =1}^∞b_n) schneller. Gegeben sei (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2}=frac{π^2}{6}), finde (displaystyle S=1−frac {1}{2^2}+frac{1}{3^2}−frac{1}{4^2}+⋯). Welche der Reihen (displaystyle 6sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2}) und (displaystyle Ssum_{n=1}^∞frac{(− 1)^{n−1}}{n^2}) eine bessere Schätzung von (π^2) mit (1000)-Termen liefert?

Antworten
Sei (displaystyle T=sumfrac{1}{n^2}.) Dann (T−S=dfrac{1}{2}T), also (S=T/2 ). (displaystyle sqrt{6×sum_{n=1}^{1000}1/n^2}=3.140638…; sqrt{frac{1}{2}×sum_{n=1}^ {1000}(−1)^{n−1}/n^2}=3.141591…;π=3.141592….) Die alternierende Reihe ist genauer für (1000) Terme.

Die alternierenden Reihen in den Übungen 58 & 59 konvergieren gegen gegebene Vielfache von (π). Finden Sie den Wert von (N), der durch die Restabschätzung vorhergesagt wird, so dass die (N^{ ext{th}})-Teilsumme der Reihe die linke Seite innerhalb des gegebenen Fehlers genau approximiert. Finden Sie das Minimum (N), für das die Fehlerschranke gilt, und geben Sie jeweils den gewünschten Näherungswert an. Bis zu (15) Dezimalstellen, ( π=3.141592653589793….)

58) [T] (displaystyle frac{π}{4}=sum_{n=0}^∞frac{(−1)^n}{2n+1},) Fehler (<0,0001 )

59) [T] (displaystyle frac{π}{sqrt{12}}=sum_{k=0}^∞frac{(−3)^{−k}}{2k+1}, ) Fehler (<0,0001)

Antworten
(N=6, S_N=0,9068)

60) [T] Die Reihe (displaystyle sum_{n=0}^∞frac{sin(x+πn)}{x+πn}) spielt eine wichtige Rolle in der Signalverarbeitung. Zeigen Sie, dass (displaystyle sum_{n=0}^∞frac{sin(x+πn)}{x+πn}) immer dann konvergiert, wenn (0

61) [T] Wenn (displaystyle sum_{n=1}^N(−1)^{n−1}frac{1}{n}→ln2,) was ist (displaystyle 1+ frac{1}{3}+frac{1}{5}−frac{1}{2}−frac{1}{4}−frac{1}{6}+frac{1} {7}+frac{1}{9}+frac{1}{11}−frac{1}{8}−frac{1}{10}−frac{1}{12}+⋯ ?)

Antworten
(ln(2).) Die (n^{ ext{th}})-Partialsumme ist die gleiche wie bei der alternierenden harmonischen Reihe.

62) [T] Zeichnen Sie die Reihe (displaystyle sum_{n=1}^{100}frac{cos(2πnx)}{n}) für (0≤x<1). Erklären Sie, warum (displaystyle sum_{n=1}^{100}frac{cos(2πnx)}{n}) bei (x=0,1) divergiert. Wie verhält sich die Reihe für andere (x)?

63) [T] Zeichnen Sie die Reihe (displaystyle sum_{n=1}^{100}frac{sin(2πnx)}{n}) für (0≤x<1) und kommentieren Sie sein Verhalten

Antworten

Die Reihe springt in der Nähe der Endpunkte schnell. Für (x) weg von den Endpunkten sieht der Graph aus wie ( π(1/2−x)).

64) [T] Zeichnen Sie die Reihe (displaystyle sum_{n=1}^{100}frac{cos(2πnx)}{n^2}) für ( 0≤x<1) und beschreiben seine Grafik.

65) [T] Die alternierende harmonische Reihe konvergiert wegen der Aufhebung zwischen ihren Termen. Seine Summe ist bekannt, da die Aufhebung explizit beschrieben werden kann. Eine zufällige harmonische Reihe hat die Form (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{S_n}{n}), wobei (s_n) eine zufällig erzeugte Folge von (±1's ), bei der die Werte (±1) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auftreten. Verwenden Sie einen Zufallszahlengenerator, um (1000) zufällige (±1's) zu erzeugen und zeichnen Sie die Teilsummen (displaystyle S_N=sum_{n=1}^Nfrac{s_n}{n}) von Ihre zufällige harmonische Folge für (N=1) bis (1000). Vergleichen Sie mit einem Diagramm der ersten (1000) Teilsummen der harmonischen Reihe.

Antworten

Hier ist ein typisches Ergebnis. Die obere Kurve besteht aus Teilsummen der harmonischen Reihe. Die untere Kurve zeigt Teilsummen einer zufälligen harmonischen Reihe.

66) [T] Schätzungen von (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2}) können beschleunigt werden, indem man seine Teilsummen schreibt als (displaystyle sum_{n= 1}^Nfrac{1}{n^2}=sum_{n=1}^Nfrac{1}{n(n+1)}+sum_{n=1}^Nfrac{ 1}{n^2(n+1)}) und daran erinnernd, dass (displaystyle sum_{n=1}^Nfrac{1}{n(n+1)}=1−frac{1 }{N+1}) konvergiert gegen eins als ( N→∞.) Vergleiche die Schätzung von (π^2/6) mit den Summen (displaystyle sum_{n=1}^{1000 }frac{1}{n^2}) mit der Schätzung unter Verwendung von (displaystyle 1+sum_{n=1}^{1000}frac{1}{n^2(n+1)} ).

67) [T] Die Euler-Transformation schreibt (displaystyle S=sum_{n=0}^∞(−1)^nb_n) um als (displaystyle S=sum_{n=0}^∞(−1)^n2^{−n −1}sum_{m=0}^n(^n_m)b_{n−m}). Für die alternierende harmonische Reihe hat sie die Form (displaystyle ln(2)=sum_{n=1}^∞frac{(−1)^{n−1}}{n}=sum_{ n=1}^∞frac{1}{n2^n}). Berechnen Sie Teilsummen von (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n2^n}), bis sie sich (ln(2)) auf (0,0001) genau annähern. Wie viele Begriffe werden benötigt? Vergleichen Sie diese Antwort mit der Anzahl der Terme der alternierenden harmonischen Reihe, die benötigt werden, um (ln(2)) zu schätzen.

Antworten
Durch den alternierenden Reihentest, (|S_n−S|≤b_{n+1},), braucht man also (10^4) Terme der alternierenden harmonischen Reihe, um (ln(2)) abzuschätzen bis auf (0,0001). Die ersten (10) Teilsummen der Reihe (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n2^n}) sind (bis zu vier Dezimalstellen) ( 0.5000,0.6250, 0.6667,0.6823,0.6885,0.6911,0.6923,0.6928,0.6930,0.6931) und die zehnte Teilsumme liegt innerhalb von (0.0001) von (ln(2)=0.6931….)

68) [T] Im Text wurde festgestellt, dass eine bedingt konvergente Reihe so umgeordnet werden kann, dass sie gegen eine beliebige Zahl konvergiert. Hier ist eine etwas einfachere, aber ähnliche Tatsache. Wenn (a_n≥0) so ist, dass (a_n→0) als (n→∞) aber (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) divergiert, dann gilt für eine beliebige Zahl (A) gibt es eine Folge (s_n) von ( ±1's) mit (displaystyle sum_{n=1}^∞a_ns_n→A.) Zeigen Sie dies für (A>0 ) wie folgt.

A. Definiere (s_n) rekursiv durch ( s_n=1), falls (displaystyle S_{n−1}=sum_{k=1}^{n−1}a_ks_k

B. Erklären Sie, warum schließlich (S_n≥A,) und für jedes (m) größer als dieses (n), (A−a_m≤S_m≤A+a_m) gilt.

C. Erklären Sie, warum dies impliziert, dass ( ​​S_n→A) als ( n→∞.)

9.6: Verhältnis- und Wurzeltests

Verwenden Sie in den Übungen 1 - 11 den Verhältnistest, um zu bestimmen, ob jede Reihe (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) konvergiert oder divergiert. Geben Sie an, ob der Verhältnistest nicht schlüssig ist.

1) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n!})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty}frac{a_{n+1}}{a_n}=0.) Konvergiert nach dem Verhältnistest.

2) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{10^n}{n!})

3) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n^2}{2^n})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n}=lim_{n o infty}frac{1}{2}left(frac{ n+1}{n} ight)^2=frac{1}{2}<1.) Konvergiert nach dem Verhältnistest.

4) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n^{10}}{2^n})

5) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(n!)^3}{(3n!)})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{1}{27}<1.) Konvergiert nach dem Verhältnistest.

6) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2^{3n}(n!)^3}{(3n!)})

7) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(2n)!}{n^{2n}})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n}=frac{4}{e^2}<1.) Konvergiert nach dem Verhältnistest.

8) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(2n)!}{(2n)^n})

9) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n!}{(n/e)^n})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} frac{a_{n+1}}{a_n}=1.) Verhältnistest ist nicht schlüssig.

10) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(2n)!}{(n/e)^{2n}})

11) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(2^nn!)^2}{(2n)^{2n}})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} frac{a_n}{a_{n+1}}=frac{1}{e^2}<1.) Konvergiert nach dem Verhältnistest.

Verwenden Sie in den Übungen 12 - 21 den Wurzeltest, um zu bestimmen, ob (displaystyle sum^∞_{n=1}a_n) konvergiert, wobei (a_n) wie folgt lautet.

12) (displaystyle a_k=left(frac{k−1}{2k+3} ight)^k)

13) (displaystyle a_k=left(frac{2k^2−1}{k^2+3} ight)^k)

Antworten
(displaystyle lim_{k o infty} (a_k)^{1/k}=2>1.) Divergiert durch den Wurzeltest.

14) (displaystyle a_n=frac{(ln n)^{2n}}{n^n})

15) (displaystyle a_n=n/2^n)

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} (a_n)^{1/n}=1/2<1.) Konvergiert durch den Wurzeltest.

16) (displaystyle a_n=n/e^n)

17) (displaystyle a_k=frac{k^e}{e^k})

Antworten
(displaystyle lim_{k o infty} (a_k)^{1/k}=1/e<1.) Konvergiert durch den Wurzeltest.

18) (displaystyle a_k=frac{π^k}{k^π})

19) (displaystyle a_n=left(frac{1}{e}+frac{1}{n} ight)^n)

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} a^{1/n}_n=lim_{n o infty} frac{1}{e}+frac{1}{n}= frac{1}{e}<1.) Konvergiert durch den Wurzeltest.

20) (displaystyle a_k=frac{1}{(1+ln k)^k})

21) (displaystyle a_n=frac{(ln(1+ln n))^n}{(ln n)^n})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} a^{1/n}_n= lim_{n o infty} frac{(ln(1+ln n))}{(ln n)}=0) nach der Regel von L'Hôpital. Konvergiert durch den Wurzeltest.

Verwenden Sie in den Übungen 22 - 28 entweder den Verhältnistest oder den Wurzeltest, um zu bestimmen, ob die Reihe (displaystyle sum_{k=1}^∞a_k) mit gegebenen Termen (a_k) konvergiert oder Zustand wenn der Test nicht schlüssig ist.

22) (displaystyle a_k=frac{k!}{1⋅3⋅5⋯(2k−1)})

23) (displaystyle a_k=frac{2⋅4⋅6⋯2k}{(2k)!})

Antworten
(displaystyle lim_{k o infty} frac{a_{k+1}}{a_k}= lim_{k o infty} frac{1}{2k+1}=0. ) Konvergiert durch den Verhältnistest.

24) (displaystyle a_k=frac{1⋅4⋅7⋯(3k−2)}{3^kk!})

25) (displaystyle a_n=left(1−frac{1}{n} ight)^{n^2})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} (a_n)^{1/n}=1/e.) Konvergiert durch den Wurzeltest.

26) (displaystyle a_k=left(frac{1}{k+1}+frac{1}{k+2}+⋯+frac{1}{2k} ight)^k) (Hinweis: Vergleiche (a^{1/k}_k) mit (displaystyle ∫^{2k}_kfrac{dt}{t}).)

27) (displaystyle a_k=left(frac{1}{k+1}+frac{1}{k+2}+⋯+frac{1}{3k} ight)^k)

Antworten
(displaystyle lim_{k o infty} a^{1/k}_k=ln(3)>1.) Divergiert durch den Wurzeltest.

28) (displaystyle a_n=left(n^{1/n}−1 ight)^n)

Verwenden Sie in den Übungen 29 - 30 den Verhältnistest, um zu bestimmen, ob (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert, oder geben Sie an, ob der Verhältnistest nicht schlüssig ist.

29) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{3^{n^2}}{2^{n^3}})

Antworten
(displaystyle lim_{n o infty} left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|= lim_{n o infty} frac{3^{2n+ 1}}{2^{3n^2+3n+1}}=0.) Konvergiert durch den Verhältnistest.

30) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2^{n^2}}{n^nn!})

Verwenden Sie in Übung 31 die Wurzel- und Grenzwertvergleichstests, um zu bestimmen, ob (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert.

31) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{x^n_n}) wobei (x_{n+1}=frac{1}{2}x_n+dfrac{1 }{x_n}, x_1=1) (Hinweis: Bestimme den Grenzwert von ({x_n}).)

Antworten
Konvergiert durch den Wurzeltest und den Grenzwertvergleichstest seit (displaystyle lim_{n o infty} x_n=sqrt{2}).

Verwenden Sie in den Übungen 32 - 43 einen geeigneten Test, um zu bestimmen, ob die Reihe konvergiert.

32) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n+1}{n^3+n^2+n+1})

33) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^{n+1}(n+1)}{n^3+3n^2+3n+1})

Antworten
Konvergiert absolut durch Grenzwertvergleich mit (p)−Reihe, (p=2.)

34) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(n+1)^2}{n^3+(1.1)^n})

35) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(n−1)^n}{(n+1)^n})

Antworten
(displaystyle lim_{n→∞}a_n=1/e^2≠0). Serie divergiert durch den Divergenztest.

36) (displaystyle a_n=left(1+frac{1}{n^2} ight)^n) (Hinweis: ((1+dfrac{1}{n^2})^ {n^2}≈e.))

37) (displaystyle a_k=1/2^{sin^2k})

Antworten
Terme streben nicht gegen Null: (a_k≥1/2,) da (sin^2x≤1.)

38) (displaystyle a_k=2^{−sin(1/k)})

39) (displaystyle a_n=1/(^{n+2}_n)) wobei ((^n_k)=frac{n!}{k!(n−k)!})

Antworten
(a_n=dfrac{2}{(n+1)(n+2)},), die im Vergleich zu konvergiert (p)−Reihe für (p=2).

40) (displaystyle a_k=1/(^{2k}_k))

41) (displaystyle a_k=2^k/(^{3k}_k))

Antworten
(a_k=dfrac{2^k1⋅2⋯k}{(2k+1)(2k+2)⋯3k}≤(2/3)^k) konvergiert durch Vergleich mit geometrischen Reihen.

42) (displaystyle a_k=left(frac{k}{k+ln k} ight)^k) (Hinweis: (a_k=left(1+dfrac{ln k}{k } ight)^{−(k/ln k)ln k}≈e^{−ln k}).)

43) (displaystyle a_k=left(frac{k}{k+ln k} ight)^{2k}) (Hinweis: (a_k=left(1+dfrac{ln k} {k} ight)^{−(k/lnk)lnk^2}.))

Antworten
(a_k≈e^{−ln k^2}=1/k^2.) Reihe konvergiert durch Grenzwertvergleich mit (p)−Reihe, (p=2.)

Die Reihen in den Übungen 44 - 47 konvergieren durch den Verhältnistest. Verwenden Sie die Summation nach Teilen, (displaystyle sum_{k=1}^na_k(b_{k+1}−b_k)=[a_{n+1}b_{n+1}−a_1b_1]−sum_{k =1}^nb_{k+1}(a_{k+1}−a_k),), um die Summe der gegebenen Reihe zu finden.

44) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{k}{2^k}) (Hinweis: Nimm (a_k=k) und (b_k=2^{1−k} ).)

45) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{k}{c^k},) wobei (c>1) (Hinweis: Nimm (a_k=k) und ( b_k=c^{1−k}/(c−1)).)

Antworten
Wenn (b_k=c^{1−k}/(c−1)) und (a_k=k), dann (b_{k+1}−b_k=−c^{−k}) und (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{k}{c^k}=a_1b_1+frac{1}{c−1}sum_{k=1}^∞c^{−k }=frac{c}{(c−1)^2}.)

46) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{n^2}{2^n})

47) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(n+1)^2}{2^n})

Antworten
(displaystyle 6+4+1=11)

Der Term (k^{ ext{th}}) jeder der folgenden Reihen hat einen Faktor (x^k). Bestimmen Sie den Bereich von (x), für den der Verhältnistest impliziert, dass die Reihe konvergiert.

48) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{x^k}{k^2})

49) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{x^{2k}}{k^2})

Antworten
( |x|≤1)

50) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{x^{2k}}{3^k})

51) (displaystyle sum_{k=1}^∞frac{x^k}{k!})

Antworten
( |x|<∞)

52) Gibt es eine Zahl (p) so dass (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2^n}{n^p}) konvergiert?

53) Sei ( 0

Antworten
Alle reellen Zahlen (p) nach dem Verhältnistest.

54) Angenommen (displaystyle lim_{n→∞}left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|=p.) Für welche Werte von (p) muss (displaystyle sum_{n=1}^∞2^na_n) konvergieren?

55) Angenommen (displaystyle lim_{n→∞}left|frac{a_{n+1}}{a_n} ight|=p.) Für welche Werte von (r>0) Konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞r^na_n) garantiert?

Antworten
(r<1/p)

56) Angenommen, (left|dfrac{a_{n+1}}{a_n} ight|≤(n+1)^p) für alle (n=1,2,…) wobei (p) ist eine feste reelle Zahl. Für welche Werte von (p) konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞n!a_n) garantiert?

57) Für welche Werte von (r>0), falls überhaupt, konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞r^{sqrt{n}})? (Hinweis: (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n=sum_{k=1}^∞sum_{n=k^2}^{(k+1)^2−1}a_n.) )

Antworten
(0

58) Angenommen, ( left|dfrac{a_{n+2}}{a_n} ight|≤r<1) für alle (n). Können Sie daraus schließen, dass (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert?

59) Sei (a_n=2^{−[n/2]}) wobei ([x]) die größte ganze Zahl kleiner oder gleich (x) ist. Bestimmen Sie, ob (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) konvergiert und begründen Sie Ihre Antwort.

Antworten
Man hat (displaystyle a_1=1, a_2=a_3=1/2,…a_{2n}=a_{2n+1}=1/2^n). Der Verhältnistest gilt nicht, da (displaystyle a_{n+1}/a_n=1) falls (displaystyle n) gerade ist. Allerdings ist (displaystyle a_{n+2}/a_n=1/2,) so, dass die Reihe gemäß der vorherigen Übung konvergiert. Natürlich ist die Reihe nur eine duplizierte geometrische Reihe.

Folgende Fortgeschrittene Übungen Verwenden Sie einen verallgemeinerten Quotiententest, um die Konvergenz einiger Reihen zu bestimmen, die in bestimmten Anwendungen auftreten, wenn die Tests in diesem Kapitel, einschließlich des Quotienten- und Wurzeltests, nicht ausreichen, um ihre Konvergenz zu bestimmen. Der Test besagt, dass, wenn (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_{2n}}{a_n}<1/2), (displaystyle sum a_n) konvergiert, während ( displaystyle lim_{n→∞}frac{a_{2n+1}}{a_n}>1/2), dann divergiert (displaystyle sum a_n).

60) Sei (displaystyle a_n=frac{1}{4}frac{3}{6}frac{5}{8}⋯frac{2n−1}{2n+2}=frac{ 1⋅3⋅5⋯(2n−1)}{2^n(n+1)!}). Erklären Sie, warum der Verhältnistest die Konvergenz von (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n) nicht bestimmen kann. Verwenden Sie die Tatsache, dass (displaystyle 1−1/(4k)) zunimmt (displaystyle k), um (displaystyle lim_{n→∞}frac{a_{2n}}{a_n} abzuschätzen ).

61) Sei (displaystyle a_n=frac{1}{1+x}frac{2}{2+x}⋯frac{n}{n+x}frac{1}{n}= frac{(n−1)!}{(1+x)(2+x)⋯(n+x).}) Zeigen Sie, dass (a_{2n}/a_n≤e^{−x/2}/ 2). Für welches (x>0) impliziert der verallgemeinerte Verhältnistest die Konvergenz von (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n)? (Hinweis: Schreiben Sie (2a_{2n}/a_n) als Produkt von (n) Faktoren, die jeweils kleiner sind als (1/(1+x/(2n)).))

Antworten
(displaystyle a_{2n}/a_n=frac{1}{2}⋅frac{n+1}{n+1+x}frac{n+2}{n+2+x}⋯ frac{2n}{2n+x}.) Der Kehrwert des Faktors (displaystyle kth) ist (displaystyle (n+k+x)/(n+k)>1+x/(2n) ) also ist das Produkt kleiner als (displaystyle (1+x/(2n))^{−n}≈e^{−x/2}.) Somit gilt für (displaystyle x>0, frac {a_{2n}}{a_n}≤frac{1}{2}e^{−x/2}). Die Reihe konvergiert für (displaystyle x>0).

62) Sei (a_n=dfrac{n^{ln n}}{(ln n)^n}.) Zeigen Sie, dass ( ​​dfrac{a_{2n}}{a_n}→0) as (n→∞.)

Übungen zur Kapitelüberprüfung

Richtig oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort mit einem Beweis oder einem Gegenbeispiel.

1) Wenn (displaystyle lim_{n→∞}a_n=0,) dann konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

Lösung: falsch

2) Wenn (displaystyle lim_{n→∞}a_n≠0,) dann divergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

3) Wenn (displaystyle sum_{n=1}^∞|a_n|) konvergiert, dann konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞a_n).

Lösung: stimmt

4) Wenn (displaystyle sum_{n=1}^∞2^na_n) konvergiert, dann konvergiert (displaystyle sum_{n=1}^∞(−2)^na_n).

Ist die Folge beschränkt, monoton und konvergent oder divergent? Wenn es konvergent ist, finden Sie den Grenzwert.

5) (displaystyle a_n=frac{3+n^2}{1−n})

Lösung: unbeschränkt, nicht monoton, divergent

6) (displaystyle a_n=ln(frac{1}{n}))

7) (displaystyle a_n=frac{ln(n+1)}{sqrt{n+1}})

Lösung: beschränkt, monoton, konvergent, (displaystyle 0)

8) (displaystyle a_n=frac{2^{n+1}}{5^n})

9) (displaystyle a_n=frac{ln(cos n)}{n})

Lösung: unbeschränkt, nicht monoton, divergent

Ist die Reihe konvergent oder divergent?

10) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{n^2+5n+4})

11) (displaystyle sum_{n=1}^∞ln(frac{n+1}{n}))

Lösung: divergiert

12) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2^n}{n^4})

13) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{e^n}{n!})

Lösung: konvergiert

14) (displaystyle sum_{n=1}^∞n^{−(n+1/n)})

Ist die Reihe konvergent oder divergent? Wenn konvergent, ist es absolut konvergent?

15) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^n}{sqrt{n}})

Lösung: konvergiert, aber nicht absolut

16) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^nn!}{3^n})

17) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{(−1)^nn!}{n^n})

Lösung: konvergiert absolut

18) (displaystyle sum_{n=1}^∞sin(frac{nπ}{2}))

19) (displaystyle sum_{n=1}^∞cos(πn)e^{−n})

Lösung: konvergiert absolut

Auswerten

20) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{2^{n+4}}{7^n})

21) (displaystyle sum_{n=1}^∞frac{1}{(n+1)(n+2)})

Lösung: (displaystyle frac{1}{2})

22) Eine Legende aus Indien erzählt, dass ein Mathematiker Schach für einen König erfunden hat. Der König genoss das Spiel so sehr, dass er dem Mathematiker erlaubte, jede Zahlung zu verlangen. Der Mathematiker verlangte ein Reiskorn für das erste Feld auf dem Schachbrett, zwei Reiskörner für das zweite Feld auf dem Schachbrett und so weiter. Finden Sie einen genauen Ausdruck für die vom Mathematiker geforderte Gesamtzahlung (in Reiskörnern). Angenommen, es gibt (displaystyle 30.000) Reiskörner in (displaystyle 1) Pfund und (displaystyle 2000) Pfund in (displaystyle 1) Tonne, wie viele Tonnen Reis hat der Mathematiker versuchen zu erhalten?

Die folgenden Probleme betrachten ein einfaches Populationsmodell der Stubenfliege, das durch die rekursive Formel (displaystyle x_{n+1}=bx_n) dargestellt werden kann, wobei (displaystyle x_n) die Population der Stubenfliegen bei Generation . ist (displaystyle n) und (displaystyle b) ist die durchschnittliche Anzahl von Nachkommen pro Stubenfliege, die bis zur nächsten Generation überleben. Angenommen eine Startpopulation (displaystyle x_0).

23) Finde (displaystyle lim_{n→∞}x_n), falls (displaystyle b>1, b<1), und (displaystyle b=1.)

Lösung: (displaystyle ∞, 0, x_0)

24) Finden Sie einen Ausdruck für (displaystyle S_n=sum_{i=0}^nx_i) in Form von (displaystyle b) und (displaystyle x_0). Was stellt es physikalisch dar?

25) Wenn (displaystyle b=frac{3}{4}) und (displaystyle x_0=100), finden Sie (displaystyle S_{10}) und (displaystyle lim_{n →∞}S_n)

Lösung: (displaystyle S_{10}≈383, lim_{n→∞}S_n=400)

26) Für welche Werte von (displaystyle b) wird die Reihe konvergieren und divergieren? Worauf konvergiert die Reihe?


Folge und Reihe und mathematische Induktion.

Sie sind nicht wahr, weil P(1), P(2), P(3) alle gerade Zahlen sind.

Hier ist P(n): n 3 + n ist durch 2 teilbar.

Sie sind wahr, weil P(1) und P(2) durch 2 teilbar sind.

P(2): 2 2 = 4 > 2 und P(3): 3 2 = 9 > 2.

Daher ist P(1) falsch und P(2), P(3) sind wahr.

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h. P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 1 + 2 + 3 + &hellip + m + (m + 1)

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h.P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

P(m) : 1 + 3 + 5 + &hellip + 2m &ndash 1 = m 2 .

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 1 + 3 + 5 + &hellip + 2m &ndash 1 + (2(m + 1) &ndash 1)

= P(m) + 2m + 1 = m 2 + 2m + 1 [P(m) = m 2 ]

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

P(n) : 1 + 3 + 5 + &hellip + (2n &ndash 1) = n 2 .

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h. P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 2 + 4 + 6 + &hellip + 2m + 2 (m + 1) = P (m) + 2 (m + 1)

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h. P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 2 + 5 + 8 + &hellip + (3m &ndash 1) + (3(m + 1) &ndash 1)

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

P(n): 1 2 + 3 2 + 5 2 + &hellip. + (2n &ndash 1) 2 = $frac<<< m>links( <2< m> - 1> echts)links( <2< m> + 1> ight)>><3>$.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h. P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

P(m) : 1 2 + 3 2 + 5 2 + &hellip + (2m &ndash 1) 2 = $frac<<< m>links( <2< m> - 1> echts)links( <2< m> + 1> ight)>><3>$.

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 1 2 + 3 2 + 5 2 + &hellip + (2m &ndash 1) 2 + (2(m + 1) + 1) 2

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

P(n) : 1 2 + 3 2 + 5 2 + (2n &ndash 1) 2 = $frac<<2< m>links( <2< m> - 1> echts)links( <2< m> + 1> ight)>><3>$.

Hier sei P(n) die gegebene Aussage.

So. L.H.S. = R.H.S. d.h. P(1) ist wahr,

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P (m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P (m + 1): 1 3 + 2 3 + 3 3 + &hellip + m 3 + (m + 1) 3 .

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Hier sei P(n) die gegebene Aussage:

P(n) = 1,2 + 2,3 + 3,4 + &hellip + n.(n + 1) = $frac<<< m>links( << m> + 1> echts)links( << m> + 2> ight)>><3>$.

Also, LHS = RHS, d.h. P(1) ist wahr.

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P(m + 1) 1,2 + 2,3 + 3,4 + &hellip + m.(m + 1) + (m + 1).(m + 1 + 1)

= $frac<1><3>$m(m + 1)(m + 2) + (m + 1)(m + 2) [P(m) wird verwendet]

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

P(n) = 1,2 + 2,3 + 3,4 + &hellip + n.(n + 1) = $frac<<< m>links( << m> + 1> echts)links( << m> + 2> ight)>><3>$.

Hier sei P(n) die gegebene Aussage:

Also, LHS = RHS, d.h. P(1) ist wahr.

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Hier sei P(n) die gegebene Aussage:

Also, LHS = RHS, d.h. P(1) ist wahr.

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(n) : 2 + 2 2 + 2 3 + &hellip. + 2n = 2.(2n &ndash 1).

L.H.S. = P(1) = 2, RHS = 2(2 1 &ndash 1) = 2 * 1 = 2.

LHS = RHS, d. h. P(1) ist wahr.

Sei P(m): 2 + 2 2 + 2 3 + &hellip + 2 m = 2(2 m &ndash 1).

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist, wenn P(m) wahr ist.

Also, P(m + 1): 2 + 2 2 + 2 3 + &hellip. + 2 m + 2 m + 1 .

= P(m) + 2 m+1 = 2(2 m &ndash 1) + 2 m+1 [P(m) = 2(2 m &ndash 1)]

= 2(2 m &ndash 1) + 2 m 0,2 = 2(2 m &ndash 1 + 2 m).

Somit gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N und wir haben

P(n): 2 + 2 2 + 2 3 + &hellip. + 2n = 2(2n &ndash 1).

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(n) : n 2 + n ist eine gerade Zahl.

P(1) : 1 2 + 1 = 2 ist eine gerade Zahl.

Sei P(m) wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

P(m) : m 2 + m ist eine gerade Zahl.

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist, wenn P(m) gerade ist.

= (m 2 + 2 m + 1 + m + 1) = (m 2 + m) + (2 m + 2)

Also ist P(m + 1) = (m 2 + m) + 2(m + 1) eine gerade Zahl, wobei P(m) eine gerade Zahl ist, weil m 2 + m gerade gegeben ist und 2(m + 1 ) ist eine gerade Zahl, weil es das Vielfache von 2 ist und die Verwendung von zwei geraden Zahlen gerade ist.

Somit gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N und wir haben

P(n): n 2 + n ist eine gerade Zahl.

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(n) : n 3 + 2n ist durch 3 teilbar.

P(1) : 1 3 + 2,1 = 3 ist durch 3 teilbar.

Sei P(m) für alle m ԑ N wahr. Dann gilt

P(m) : m 3 + 2m ist durch 3 teilbar.

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) durch 3 teilbar ist, wenn P(m) durch 3 teilbar ist.

= m 3 + 3 m 2 + 3 m + 1 + 2 m + 2 = m 3 + 2 m + 3 m 2 + 3 m + 3

Also ist P(m + 1) = m 3 + 2m + 3(m 2 + m + 1) durch 3 teilbar, d.h. P(m + 1) ist wahr.

Daher gilt nach dem Prinzip der mathematischen Induktion P(n) für alle &ldquon&rdquo, wir haben

P(n): n 3 + 2n ist durch 3 teilbar.

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(n) : n(n + 1)(n + 2) ist ein Vielfaches von 6.

P(1) : 1(1 + 1)(1 + 2) = 2 * 3 = 6 ist ein Vielfaches von 6.

Sei P(m) für alle m ԑ N wahr. Dann gilt

P(m) : m(m + 1)(m + 2)(m + 3) ist ein Vielfaches von 6.

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) ein Vielfaches von 6 ist und P(m) ein Vielfaches von 6.

Nun, P(m + 1): (m + 1) (m + 2) (m + 3) = m 3 + 6m 2 + 11m + 6.

= m 3 + 3 m 2 + 2 m + 3 m 2 + 9 m + 6.

Also, P(m + 1) = P(m) + 3(m 2 + 3m + 2) [P(m) = m(m + 1)(m + 2) = m 3 + 3m 2 + 2m]

Also ist P(m + 1) = P(m) + 3(m + 1)(m + 2) ein Vielfaches von 6.

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N, die wir haben,

P(n): n(n+1)(n+2) ist ein Vielfaches von 6.

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(n) : 3 2n &ndash 1 ist durch 8 teilbar.

P(1) : 3 2.1 &ndash 1 = 3 2 &ndash 1 = 9 &ndash 1 = 8 ist durch 8 teilbar.

Sei P(m) für alle m ԑ N wahr. Dann gilt

P(m) : 3 2m &ndash 1 ist durch 8 teilbar.

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) durch 8 teilbar ist und P(m) durch 8 teilbar ist.

Nun, P(m + 1): 3 2(m+1) &ndash 1 = 3 2m + 2 &ndash 1 = 3 2m .3 2 &ndash 1.

= 3 2m 0,9 &ndash 1 = 3 2m 0,9 &ndash 9 + 9 &ndash 1 = 9(3 2m &ndash 1) + 8.

P(m) + 8 ist durch 8 teilbar Weil P(m) durch 8 teilbar ist und 8 durch teilbar ist.

Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für n,

P(n): 3 2n &ndash 1 ist durch 8 teilbar.

Sei hier P(n) die gegebene Aussage.

P(1) : x 1 &ndash y 1 was durch (x &ndash y) teilbar ist.

Nehmen wir an, P(m) sei wahr für alle m ԑ N. Dann gilt

P(m) :x m &ndash y m ist teilbar durch (x &ndash y).

Nun müssen wir beweisen, dass P(m + 1) wahr ist und P(m) wahr ist.

Nun, P(m + 1): x m+1 &ndash y m+1 = x m+1 &ndash xy m + xy m &ndash y m+1 .

Da x(x m &ndash y m ) durch (x &ndash y) teilbar ist und der Term y m (x &ndash y) auch durch (x &ndash y) teilbar ist.

Also ist x(x m &ndash y m ) + y m (x &ndash y) die Summe der beiden Terme, die durch (x &ndash y) teilbar sind, ist auch ly x &ndash y teilbar.

Die Beziehung zeigt, dass P(m+1) immer dann wahr ist, wenn P(m) wahr ist. Daher gilt nach dem mathematischen Induktionsprinzip P(n) für alle n ԑ N.


Die Entscheidung für Mathematik im Hochschulbereich kann eintönig sein, wenn die Konzepte und Methoden nicht richtig verstanden werden. Neben dem Studium der Kapitel sollten die Studierenden auch genügend Zeit investieren, um diese Techniken zu üben, knifflige Fragen zu lösen und ihren Fortschritt zu überprüfen.

Klasse 11 Mathematik Kapitel 9 enthält interessante Themen wie arithmetische Progression, geometrische Progression, die Korrelation zwischen ihnen usw. Um diese Themen fest in den Griff zu bekommen, sollten Sie auch NCERT-Lösungen üben.

Da das Kapitel viele Übungsfragen enthält, die auf jedem Abschnitt basieren, helfen Ihnen Class 11 Maths NCERT Solutions Chapter 9 Sequences and Series perfekt dabei. Diese Lösungen werden von Fachexperten genau gelöst, die auch einen einfachen Ansatz beibehalten haben, um die Konzepte klarer zu machen. Der Schüler kann sich auch auf die auf der vedantu-Website verfügbaren Lösungen für Physik 11 und Chemie 11 beziehen.


Klasse: 11.
Untertan: Mathematik
Kapitel : Ch-10 Sequenzen und Serien von Abschnitt -A
Planke ISC
Schriftsteller ML Aggarwal
Veröffentlichungen APC Arya-Publikationen 2020-21

-: Themen auswählen :-

ML Aggarwal Sequences and Series ISC Class-11 Maths Understanding Ch-10

Sequenzen und Serien

Die verschiedenen Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge vorkommen, werden als Terme bezeichnet. Die Terme einer Folge werden bezeichnet mit

Wenn eine Folge eine endliche Anzahl von Termen hat, wird sie als endliche Folge bezeichnet. Eine Folge wird als unendlich bezeichnet, wenn sie keine bestimmte Anzahl von Termen hat. Der n-te Term eines AP ist gegeben durch

Zwischen zwei beliebigen Zahlen ‚a‘ und ‚b‘ können n Zahlen eingefügt werden, sodass die resultierende Folge eine arithmetische Progression ist. EIN1 , EIN2 , EIN3 ,……, EINn seien n Zahlen zwischen a und b mit a, A1 , EIN2 , EIN3 ,……, EINn , b ist in A.P.

Hier ist a der 1. Term und b der (n+2)-te Term. Deswegen,

b = a + d[(n + 2) – 1] = a + d (n + 1).

Daher gemeinsame Differenz (d) = (b-a)/(n+1)

Der n-te Term einer geometrischen Folge ist gegeben durch an = ar n-1

Summe des n-ten Termes:

wobei n = Anzahl der Terme, a = erster Term und d = gemeinsame Differenz

Reihenfolge
Eine Folge von Zahlen, die nach einer bestimmten Regel in einer bestimmten Reihenfolge angeordnet sind, wird als Folge bezeichnet. Eine Folge ist entweder endlich oder unendlich, abhängig von der Anzahl der Terme in einer Folge.

Serie
Wenn eine1, ein2, ein3,…… einn eine Folge ist, dann ist der Ausdruck a1 + a2 + a3 + a4 + … + an heißt Reihe.

Fortschreiten
Eine Sequenz, deren Begriffe bestimmten Mustern folgen, wird häufiger als Progression bezeichnet.

Arithmetische Progression (AP)
Eine Folge, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender Terme konstant ist, wird als arithmetische Progression (AP) bezeichnet.

Eigenschaften der arithmetischen Progression (AP)

Wenn eine Folge eine A.P. ist, dann ist ihr n-ter Term ein linearer Ausdruck in n, d.h. ihr n-ter Term ist gegeben durch An + B, wobei A und S konstant sind und A eine gemeinsame Differenz ist.

n-ter Begriff eines AP : Wenn a der erste Term ist, d die gemeinsame Differenz und l der letzte Term eines AP ist, dann

  • n-ter Term ist gegeben durch an = a + (n – 1)d.
  • n-te Term eines AP aus dem letzten Term ist a’n =an – (n – 1)d.
  • einn + ein’n = konstant
  • Gemeinsame Differenz eines AP, d. h. d = an - einn-1,∀n > 1.

Wenn eine Konstante von jedem Term eines AR addiert oder subtrahiert wird, dann ist die resultierende Sequenz ein AP mit dem gleichen gemeinsamen Unterschied.

Wenn jeder Term eines AP mit einer von Null verschiedenen Konstanten multipliziert oder dividiert wird, dann ist die resultierende Folge ebenfalls ein AP.

Wenn a, b und c drei aufeinanderfolgende Terme eines A.P sind, dann gilt 2b = a + c.

Beliebige drei Terme eines AP können als (a – d), a, (a + d) und alle vier Terme eines AP als (a – 3d), (a – d), (a + d .) ), (a + 3d)

Exe-10.1

ML Aggarwal Sequences and Series ISC Class-11 Maths Understanding Ch-10

Frage 1:

Geben Sie ein Beispiel für eine Sequenz, die keine Progression ist.

Frage 2:

Frage 3:

Frage 12:

Der erste Term einer Sequenz ist 1 und der (n + 1)-te Term wird durch Addition des …………………….. Terms der Sequenz erhalten.


3 Antworten 3

Die Ableitung von $A$ nach $x$ ist

Außerdem kann der erste Term in $B(x)$ umgeschrieben werden als

Mit den beiden neuen Beziehungen erhalten wir

Das Gleiche kompakt schreiben

Dann hilft eine andere Beziehung. Einsetzen von $f^2(x,n+1)=f(x,n)+frac<1><2>$ in der letzten Gleichung ergibt

Betrachten Sie nun die erste und die letzte Summe zusammen und die Summen in der Mitte zusammen zu haben

Die iterative Relation gibt

Um nun die Konstante $c$ zu finden, fällt Ihnen vielleicht ein Trick auf

Hier ist der vollständige Beweis. Ich wollte dies schon einmal posten, musste aber warten, bis alle engen Wähler ihre Stimmen zurücknahmen, nachdem sie versucht hatten, diese Frage zu speichern.

Zunächst einmal -- ich denke, der Schlüsselschritt im Beweis wird etwas klarer, indem die iterierte Funktionsnotation für die Frage anstelle der anderen verwendet wird, die jetzt verwendet wurde -- also beginnen wir zunächst mit einer Umformulierung wie folgt : Sei $f(x) = sqrt<2>>$. Dann ist $x_n = f^n(x)$ und wir wollen beweisen, dass

wobei die Linke divergent ist, aber unter Verwendung der Cesaro-Summierbarkeit (daher die Pseudogleichheit) neu interpretiert, d. h. dass

Ersetzen Sie dazu zunächst $x_l$ durch die entsprechenden iterierten Funktionen $f^l(x)$:

Nun stellen wir fest, dass per Definition iterierter Funktionen $f^l(x) = f(f^(x))$ und das erlaubt uns, $[f^l(x)]^4$ wie folgt zu erweitern:

Wir stecken dies jetzt wieder in die vorherige Serie, um zu erhalten

Somit haben wir die Serie jetzt in Teleskopform und sie teleskopiert bis auf

Nun natürlich $f^<-1>(x) = x^2 - frac<1><2>$ so

$ C_n(x) = frac<1> Summe_^ left(-x^2 + frac<1> <2>- [k mod 2 = 1] frac<3><4> ight) $

Daraus werden dann drei separate Cesaro-Mittel

$ C_n(x) = left(frac<1> Summe_^ (-x^2) echts) + left(frac<1> Summe_^ frac<1><2> ight) - left(frac<1> Summe_^ [k mod 2 = 1] frac<3><4> ight) $

Jetzt nehmen wir den Grenzwert als $n ightarrow infty$. Die ersten beiden Mittelwerte sind Mittelwerte identischer Zahlen, sie entsprechen also jeweils $-x^2$ und $frac<1><2>$. Der letzte ist wie der Mittelwert von Grandis Reihe, der das Limit $frac<1><2>$ hat, also das Limit $frac<3><8>$. Die endgültige Cesaro-Summe ist also

Update 18.10.2017: In der vorherigen Version meiner Antwort hatte ich angenommen, dass die Reihe bei $x_0$ anstelle von $-x_1$ beginnt, wie es in der Frage definiert wurde. Ich habe nun meine Ergebnisse und Matrizen entsprechend angepasst.

Geben Sie Beispiele für Fragen in den Kommentaren.
Ich habe Pari/GP verwendet, darin ist eine Cesaro-Summen-kompatible Prozedur sumalt() Damit habe ich die folgende Tabelle erhalten:

Die Unterschiede liegen in den Ziffern in der Nähe von Software-epsilon

[Aktualisieren] Es gibt noch einige weitere Beispiele für interessante Summen, siehe folgende Antwort in einem anderen MSE-Thread

Es gibt auch ein empirisches/heuristisches/vermutetes Ergebnis mit meinem zuvor diskutierten Matrix-Ansatz, der Carleman-Matrizen verwendet und für die Summation der alternierenden Iterationsreihen – wenn dies möglich ist – die Neumann-Reihen dieser Carleman-Matrix.
Meine Pari/GP-Tools geben mir folgendes

Mit einem Vektor $small V(x)=[1,x,x^2,x^3. ]$ Wir können dann die Serie auswerten, indem wir das Punktprodukt machen

Hier haben die Reihen, die bei ungeraden Indizes ($small f(x),f(x)^3,f(x)^5$) auftreten, den Konvergenzradius $small ho<=1$
Beachten Sie, dass in der fünften Spalte (=bei Spalte mit Index 4) wir bekommen die 4Potenz der Funktion: $small f(x)^4$ was uns im Folgenden natürlich für unser Problem interessieren soll.

Jetzt versuchen wir eine aussagekräftige Matrix zu bekommen EIN durch die Neumann-Reihe, die die alternierenden geometrischen Reihen für Matrizen interpretiert (soweit dies überhaupt möglich ist). Da Ihre Reihe bei $x_1$ und nicht bei $x_0$ beginnt, lasse ich den ersten Term weg, der die Identitätsmatrix $F^0$ wäre:

$small A = - F+ F^2 - F^3 . = F*(I + F)^ <-1>$

Diese Matrix-Inversion muss in solchen Fällen mit großer Sorgfalt durchgeführt werden, da ich hier LDU-Zerlegung, (exakte(!)) Inversion der Komponenten und Konstruktion der Inversen aus dem Produkt der Inversen der L,D,U-Komponenten verwende Eulersummation, wenn Konvergenzen in den Skalarprodukten schlecht sind. Aber auch das naive Inversionsverfahren in Pari/GP liefert eine scheinbar sinnvolle Näherungslösung:

Die Skalarprodukte mit einem $V(x)$-Vektor sollten ungefähr ergeben: $ V(x) cdot_ A = [ a_0 , a_1(x), a_2(x) , a_3(x), a_4( x), . ] $ Das $$ bedeutet hier, dass es sich möglicherweise um eine Eulersummation handelt, sofern die auftretenden Summationen nicht oder nur schlecht konvergieren.

Aber wir haben zwei interessante Spalten hier: Sie haben nur endlich viele Einträge, so dass die alternierenden Reihen für diese Exponenten durch endliche Polynome berechenbar sind:

Der Wert für $small a_0$ entspricht der Auswertung von $small -1+1-1 ldots$ durch Eulersummation und die Werte für $small a_4(x)$ entsprechen den Ergebnissen der Reihensummierung $ klein -x_1^4 + x_2^4 - . + . $

Solche Heuristiken der Neumann-Matrizen finden sich an vielen Stellen in Tetraden- und Iterationsreihen, aber ich hatte nie Zeit und Energie, mich hinzusetzen und die formalen Beweise für diese abgeschlossenen Eigenschaften zu führen.


Zahlenreihen Praxis und Tutorials

Bei Zahlenreihen wird eine Reihe von Zahlen angegeben und die Schüler müssen entweder die fehlenden Zahlen oder die folgende Zahl berechnen.

Beispiele für Zahlenreihen

Betrachten Sie die folgende Reihe: 26, 21, , 11, 6. Was ist die fehlende Zahl?

Wenn wir uns die Reihenfolge genau ansehen, können wir sofort sehen, dass jede Zahl 5 weniger ist als die vorherige Zahl, also die fehlende Zahl 16 ist.

Wir können diese Sequenz in mathematischer Notation umschreiben als a1, ein2, ein3,… einn, wobei n eine ganze Zahl ist und an heißt sein n-ter Term. Und wir können die Folge in Form einer Formel schreiben, wobei eine ganze Zahl anstelle der Variablen in der Formel eingesetzt wird und die Terme erhalten werden.

Betrachten wir zum Beispiel die Sequenz 5,10,15,20,…

  • Hier einn = 5n. Die Formel an = 5n.
  • Der n-te Term einer Folge kann gefunden werden, indem man n in die explizite Formel für die Folge einsetzt. Wenn wir zum Beispiel die 100. Zahl in dieser Folge finden wollten, würden wir n=100 in der Formel einsetzen und erhalten 500.

Arten von Zahlenfolgeproblemen

1. Einfache Addition oder Subtraktion – Jede Zahl in der Sequenz wird durch Hinzufügen einer Zahl zur vorherigen Zahl erhalten.

Jede Zahl in der Folge erhält man, indem man 3 zur vorherigen Zahl addiert, was wir schreiben könnten als, an+1 = an + 3.

2. Einfache Multiplikation – jede Zahl in der Folge wird durch Multiplizieren der vorherigen Zahl mit einer ganzen Zahl oder einem Bruch erhalten.

Jede Zahl in der ersten Folge erhält man, indem man die vorherige Zahl mit 3 multipliziert, was wir schreiben könnten als, an+1 = an X3.

Im zweiten Beispiel ist jede Zahl in der Reihe die vorherige Zahl geteilt durch 2 oder multipliziert mit ½ oder an+1 = an X 1/2.

3. Primzahlen – jede Zahl in der Folge ist eine Primzahl.

4. Operationen an den vorherigen beiden Zahlen

Hier wird die Sequenz erstellt, indem die vorherigen 2 Zahlen addiert werden.

5. Exponenten

Die Zahlenfolge wird durch jede Zahl im Quadrat oder in der Kubik erstellt.

3, 9, 81, 6561, wobei jede Zahl quadriert wird.

6. Sequenzen kombinieren

2, 7, 13, 20, 28, 37

Hier beginnt die Sequenz mit 2, und jedes Element wird zu einer anderen Sequenz hinzugefügt, die mit 5 beginnt. Also 2 + 5 = 7, 7 + 6 = 13, 13 + 7 = 20 und so weiter.

Eine Variation ist eine Sequenz mit einem sich wiederholenden Element. Beispielsweise,

Hier ist die Reihenfolge für jedes n, +1, +1, +1, +2, +2, +2, +3, +3,

7. Brüche

Beispielsweise,

16/4, 4/2, 2/2, ½, ?

Brüche sollen oft verwirren. Wenn Brüche keine offensichtliche Beziehung haben, reduzieren Sie sie auf die niedrigsten Terme oder auf ganze Zahlen. Reduziert man diese auf ganze Zahlen, erhält man,

Wir können sofort sehen, dass die Zahlen die Hälfte der vorherigen Zahl sind, also ist die nächste in der Reihe ¼.

In diesem Beispiel ist die Antwort ein Bruch. Möglicherweise müssen Sie jedoch Brüche reduzieren, um die Beziehung zu sehen, und dann zurückwandeln, um die Antwort in der richtigen Form zu erhalten.

Strategie zur Beantwortung von Fragen zu Zahlenreihen

Hier ist eine schnelle Methode, mit der Sie die Nummer beantworten können
Serie.

Schritt 1 – Schauen Sie sich die Serie schnell an und sehen Sie, ob Sie das Muster sofort erkennen können. Suchen Sie zuerst nach offensichtlichen Unterschieden – 2X, 5X, 1/2, 1/4 usw.

Schritt 2 – Beginnen Sie mit der Analyse. Wenn Sie keine offensichtliche Antwort finden, machen Sie sich an die Arbeit.
Nehmen Sie den Unterschied zwischen den ersten 2 Zahlen und den Unterschied zwischen den zweiten 2 Zahlen.

Kein klares Muster mit einer einfachen Analyse. Es gibt keinen Zusatz,
Subtraktion, Multiplikation, Division, Bruch oder Exponent
Verhältnis.

Die Relation muss eine höhere Ordnung oder eine zweite Reihe sein.

Betrachten Sie als nächstes die Beziehung zwischen der 1. Zahl und der
2. und 1. und 3. Wir sehen das,

1. + 3 = 5, 1. + 4 = 6. Das war's! Die Zahl 2 wird hinzugefügt
in die Folge 3, 4, 5, 6, also ist die nächste Zahl 2 +
7 = 9.

Fragen zum Üben

1. Betrachten Sie die folgende Reihe: 6, 12, 24, 48. Welche Zahl sollte? kommt als nächstes?
A. 48
B. 64
C. 60
D. 96

2. Betrachten Sie die folgenden Serien: 5, 6, 11, 17. Welche Zahl sollte kommt als nächstes?
A. 28
B. 34
C. 36
D. 27

3. Betrachten Sie die folgenden Serien: 26, 21, …, 11, 6. Was fehlt? Nummer?
A. 27
B. 23
C. 16
D. 29

4. Betrachten Sie die folgende Reihe:23, …, 31, 37. Was fehlt? Nummer?
A. 19
B. 27
C. 29
D. 30

5. Betrachten Sie die folgenden Serien: 3, 6, 11, 18. Welche Zahl sollte? kommt als nächstes?
A. 30
B. 27
C. 22
D. 29

6. Betrachten Sie die folgenden Reihen: 26, 24, 20, 14. Welche Zahl sollte? kommt als nächstes?
A. 6
B. 18
C. 12
D. 8

7. Betrachten Sie die folgenden Reihen: 6, 8, 4, 10, 18, 22. Welche Zahl soll als nächstes kommen?
A. 34
B. 32
C. 24
D. 26

8. Betrachten Sie die folgenden Reihen: L, O, R, …, X. Was fehlt? Buchstabe?
A. S
B. U
C. T
D. m

9. Betrachten Sie die folgenden Serien: X, Z, B, D. Welcher Buchstabe sollte? kommt als nächstes?
A. E
B. F
C. g
D. h

10. Betrachten Sie die folgende Reihe: 25, 33, 41, 49. Welche Zahl soll als nächstes kommen?
A. 51
B. 55
C. 59
D. 57

Lösungsschlüssel

1. D
Die Zahlen verdoppeln sich jedes Mal.

2. A
Jede Zahl ist die Summe der beiden vorherigen Zahlen.

3. C
Die Zahlen verringern sich jedes Mal um 5.

4. C
Die Zahlen sind Primzahlen (nur durch 1 und sich selbst teilbar).

5. B
Das Intervall, beginnend mit 3, erhöht sich jedes Mal um 2.

6. A
Das Intervall, beginnend mit 2, erhöht sich um 2 und wird jedes Mal subtrahiert.

7. B
Jede Zahl ist die Summe der vorherigen und der Zahl 2 Stellen zum
links.

8. B
Zwischen jedem fehlen zwei Buchstaben, also ist U der nächste.

9. B
Verpassen Sie jedes Mal einen Buchstaben und schleifen Sie zurück, also ist F als nächstes dran.


Geometrische Sequenzen

So wie ich gerne erzähle, ob eine Sequenz ist geometrisch ist zu sehen, ob“zweiter Term /(geteilt durch) erster Term„gleich“dritte Amtszeit/zweite Amtszeit„gleich“vierte Amtszeit / dritte Amtszeit", usw. Wenn wir dann diese Zahl haben, die immer gleich ist, haben wir die gemeinsames Verhältnis!

Möglicherweise werden Sie aufgefordert, die zu finden Geometrie bedeutet in einer geometrischen Folge sind sie in diesem Zusammenhang Mittelglieder in der Folge. Zum Beispiel die geometrischen Mittel zwischen 1 und 8 (mit einem gemeinsamen Verhältnis „(r)“ von 2 ) sind 2 und 4 , da (1 imes 2=underline<2> imes 2=underline<4> imes 2=8).

Geometrische Sequenzen sind so etwas wie Exponentialfunktionen (mit dem gemeinsamen Verhältnis wie einer exponentiellen Basis), außer dass Sequenzen im Allgemeinen diskret (nur Punkte) statt kontinuierlich (eine ganze Linie) sind.


Warum Sequenzen und Serien

Beginnen wir mit einer alten Geschichte.

Es gab einen Betrüger, der Schachbretter für den Kaiser herstellte. Der Handwerker war sowohl in seiner Arbeit als auch mit seinem Verstand gut. Er wusste, dass der Kaiser Schach liebte. Also schmiedet er einen Plan, um den Kaiser auszutricksen, um ihm ein großes Vermögen zu geben. Als der Handwerker sein Schachbrett bei Hofe vorstellte, war der Kaiser so beeindruckt von dem Schachbrett, dass er dem Handwerker sagte:

Knacken Sie JEE 2021 mit dem JEE/NEET-Online-Vorbereitungsprogramm

"Eure Hoheit, ich will kein Geld dafür. Oder Juwelen. mein wunsch war einfach. Alles, was ich will, ist ein bisschen Reis."

Der Kaiser stimmte zu, erstaunt, dass der Mann eine so kleine Belohnung verlangt hatte

"Ich habe Reis. Wie viel Reis?"

"Alles, was ich will", sagte der Handwerker, "dass du ein einzelnes Reiskorn auf das erste Feld legst, zwei Körner auf das zweite Feld, vier auf das dritte Feld, acht auf das vierte Feld und so weiter und so weiter alle 64 Quadrate, wobei jedes Quadrat die doppelte Anzahl von Körnern hat wie das Quadrat davor."

"Nun, das kann ich", sagte der Kaiser, ohne viel nachzudenken. Und er befahl seinem Schatzmeister, den Handwerker für das Schachbrett zu bezahlen.

Nun, das stellte sich als mehr als schwierig heraus. Die ersten Felder auf dem Brett kosten den Kaiser 1 Korn, dann 2, dann 4 . am Ende der ersten Reihe war er bis zu 128 Grain.

In der zweiten Reihe gerieten die Dinge außer Kontrolle. Bis zum 21. Platz schuldete er über eine Million Reiskörner, bis zum 41. waren es über eine Billion Reiskörner - mehr Reis, als er, seine Untertanen oder irgendein Kaiser auf der Welt sich leisten konnten.

Schließlich war er der Kaiser. Er wusste, wie man mit solchen Situationen umgeht

»Ich werde dich bezahlen«, sagte er dem Handwerker. "Aber bevor Sie die Reiskörner erhalten, möchte ich, dass Sie jedes einzelne Korn zählen, das ich Ihnen gebe, um sicherzugehen, dass Sie das bekommen, wonach Sie gefragt haben."

„Oh, das wird nicht nötig sein“, sagte der Handwerker.

"Oh, es ist notwendig", sagte der Kaiser. "Ich möchte dich nicht betrügen."

Also sagst du mir jetzt: Wie hoch wird die Gesamtzahl der Körner sein? Wie viel Zeit benötigt der Handwerker, um die Zählung abzuschließen? Wird die Menge an Reis, die Handwerker fragten, auf unserem Planeten verfügbar sein?

Nun, alle Antworten auf diese Fragen werden Sie beim Studium von Sequenzen und Serien finden.


Finden Sie die sunt bis n-Terme jeder der Reihen in den Aufgaben 1 bis 7.

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 1.
1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 4 + 4 x 5 + ………
Lösung:
In der gegebenen Reihe gibt es eine Summe des Vielfachen der entsprechenden Terme von zwei A.P’en. Die beiden A.P’s sind

Ü. 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 2.
1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 + 3 x 4 x 5 + ……
Lösung:
In der gegebenen Reihe gibt es eine Summe des Vielfachen der entsprechenden Terme von zwei A.P’en. Die drei A.P’s sind

Ü. 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 3.
3 x 1 2 + 5 x 2 2 + 7 x 3 2 + …..
Lösung:
In der gegebenen Reihe gibt es die Summe des Vielfachen der entsprechenden Terme von zwei A.P’s. Die beiden A.P’s sind
(i) 3, 5, 7, …………… und
(ii) 1 2 , 2 2 , 3 2 , ………………….
Nun ist der n-te Term der Summe an = (n-ter Term der vom ersten AP gebildeten Folge) x (n-ter Term der vom zweiten AP gebildeten Folge) = (2 n + 1) xn 2 = 2n 3 + n 2 Folglich , die Summe zu n Termen ist,

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 4.
…….
Lösung:
In der gegebenen Reihe gibt es die Summe des Vielfachen der entsprechenden Terme von zwei A.P’s. Die beiden A.P’s sind

Ü 9.4 Klasse 11 Mathe Frage 5.
5 2 + 6 2 + 7 2 + ………….. + 20 2
Lösung:
Die gegebene Reihe kann wie folgt geschrieben werden

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 6.
3 x 8 + 6 x 11 + 9 x 25 + ………….
Lösung:
In der gegebenen Reihe gibt es die Summe des Vielfachen der entsprechenden Terme von zwei A.P/s. Die beiden A.P/s sind
(i) 3, 6, 9, ………….. und
(ii) 8, 11, 14, ……………….
Nun ist der n-te Term der Summe an = (n-ter Term der vom ersten A.P. gebildeten Folge) x (n-ter Term der vom zweiten A.P. gebildeten Folge)

Ü 9.4 Klasse 11 Mathe Frage 7.
1 2 + (1 2 + 2 2 ) + (1 2 + 2 2 + 3 2 ) + ………….
Lösung:
In der angegebenen Serie
einn = 1 2 + 2 2 + …………….. + n 2

Finden Sie die Summe von n Termen der Reihe in den Aufgaben 8 bis 10, deren n-te Terme gegeben sind durch

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 8.
n(n+1)(n+4)
Lösung:
Wir haben

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 9.
n 2 + 2 n
Lösung:
Wir haben einn = n 2 + 2 n
Somit ist die Summe von n Termen

Ü 9.4 Klasse 11 Mathematik Frage 10.
(2n – 1) 2
Lösung:
Wir haben

Wir hoffen, dass Ihnen die NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 9 Sequenzen und Serie Ex 9.4 helfen. Wenn Sie Fragen zu NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 9 Sequences und Series Ex 9.4 haben, hinterlassen Sie unten einen Kommentar und wir werden uns so schnell wie möglich bei Ihnen melden.


Sind Sie auf der Suche nach etwas bestimmten? Eine Übung zur Ergänzung des Themas, das Sie gerade in der Schule studieren, vielleicht. Navigieren Sie mithilfe unserer Mathe-Karte, um nach Themen gruppierte Übungen, Rätsel und Starter für den Mathematikunterricht zu finden.

Wenn Sie diese Aktivität nützlich fanden, vergessen Sie nicht, sie in Ihrem Arbeitsplan oder Lernmanagementsystem festzuhalten. Die kurze URL, die kopiert und eingefügt werden kann, lautet wie folgt:

Wenn Sie Google Classroom verwenden, müssen Sie alternativ nur auf das grüne Symbol unten klicken, um diese Aktivität zu einem Ihrer Kurse hinzuzufügen.

Es lohnt sich, daran zu denken, dass es Spiegelseiten auf Transum.com und Transum.info gibt, die die meisten Ressourcen enthalten, die hier auf Transum.org verfügbar sind, falls Transum.org aus irgendeinem Grund offline gehen sollte.

Wenn Sie planen, Technologie in Ihrem Unterricht einzusetzen, haben Sie immer einen Plan B!

Haben Sie Anmerkungen? Es ist immer nützlich, Feedback zu erhalten und hilft dabei, diese kostenlose Ressource für diejenigen, die überall auf der Welt Mathematik lernen, noch nützlicher zu machen. Klicken Sie hier, um Ihre Kommentare einzugeben.


Schau das Video: Folgen und Reihen in 12+ Minuten (Januar 2022).