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16.8: Satz von Stokes - Mathematik


Bisher haben wir nur solche Linienintegrale besprochen, die entlang von Kurven in (mathbb{R}^ 2) verlaufen. Aber die in den Abschnitten 4.1 und 4.2 behandelten Definitionen und Eigenschaften lassen sich leicht auf Funktionen von drei Variablen erweitern, so dass wir nun Linienintegrale entlang von Kurven in (mathbb{R}^ 3) diskutieren können.

Definition (PageIndex{1}): Linienintegrale

Für eine reellwertige Funktion (f(x, y, z)) und eine Kurve (C) in (mathbb{R}^ 3), parametrisiert durch (x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b), die Linienintegral von (f (x, y, z) extbf{ entlang }C) bezüglich Bogenlänge (s) ist

[int_C f (x, y, z),ds = int_a^bf (x(t), y(t), z(t))sqrt{x ′ (t)^2 + y ′ ( t)^2 + z ′ (t)^2},dt.label{Gl4.34}]

Das Linienintegral von (f (x, y, z)) entlang (C) in Gedenken an (x) ist

[int_C f (x, y, z),dx =int_a^bf (x(t), y(t), z(t)) x ′ (t),dt.label{Gl4. 35}]

Das Linienintegral von (f (x, y, z)) entlang (C) in Gedenken an (y) ist

[int_C f (x, y, z),dy =int_a^bf (x(t), y(t), z(t)) y ′ (t),dt .label{Gl4. 36}]

Das Linienintegral von (f (x, y, z)) entlang (C) in Gedenken an (z) ist

[int_C f (x, y, z),dz =int_a^bf (x(t), y(t), z(t)) z ′ (t),dt .label{Gl4. 37}]

Ähnlich wie im Fall mit zwei Variablen, wenn (f (x, y, z) ≥ 0), dann kann das Geradenintegral (int_C f (x, y, z),ds) als Gesamtfläche des „Lattenzauns“ der Höhe (f(x,y,z)) an jedem Punkt entlang der Kurve (C) in (mathbb{R}^ 3).

Vektorfelder in (mathbb{R}^ 3) sind ähnlich definiert wie in (mathbb{R}^ 2), was uns erlaubt, das Linienintegral eines Vektorfeldes entlang einer Kurve zu definieren define in (mathbb{R}^3).

Definition (PageIndex{2})

Für ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z) extbf{i}+Q(x, y, z) extbf{j}+R(x , y, z) extbf{k}) und eine Kurve (C) in (mathbb{R}^ 3) mit einer glatten Parametrisierung (x = x(t), y = y(t ), z = z(t), a ≤ t ≤ b), die Linienintegral von (f) entlang (C) ist

[egin{align} int_C extbf{f} cdot d extbf{r} &=int_C P(x, y, z),dx +int_C Q(x, y, z), dy + int_C R(x, y, z),dz label{Gl.4.38} [4pt] &=int_a^b extbf{f}(x(t), y(t), z (t))cdot extbf{r} ′ (t)dt ,label{Gl.4.39} [4pt] end{align}]

wobei ( extbf{r}(t) = x(t) extbf{i}+ y(t) extbf{j}+ z(t) extbf{k}) der Ortsvektor für Punkte auf ist (C).

Ähnlich wie im Fall mit zwei Variablen, wenn ( extbf{f}(x, y, z)) die Kraft darstellt, die auf ein Objekt an einem Punkt ((x, y, z)) ausgeübt wird, dann ist das Linienintegral (int_C extbf{f}cdot d extbf{r}) stellt die Arbeit dar, die diese Kraft bei der Bewegung des Objekts entlang der Kurve (C) in (mathbb{R}^ 3) leistet. .

Einige der wichtigsten Ergebnisse, die wir für Linienintegrale in (mathbb{R}^ 3) benötigen, werden im Folgenden ohne Beweis angegeben (die Beweise ähneln ihren Äquivalenten mit zwei Variablen).

Satz (PageIndex{1})

Für ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z) extbf{i} +Q(x, y, z) extbf{j} + R(x , y, z) extbf{k}) und eine Kurve (C) mit einer glatten Parametrisierung (x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b) und Ortsvektor ( extbf{r}(t) = x(t) extbf{i}+ y(t) extbf{j}+ z(t) extbf{k}),

[int_C extbf{f}cdot d extbf{r} = int_C extbf{f}cdot extbf{T},ds,label{Gl.4.40}]

wobei ( extbf{T}(t) = dfrac{ extbf{r} ′ (t)}{ lVert extbf{r} ′ (t) Vert }) der Einheitstangensvektor an ( C) bei ((x(t), y(t), z(t))).

Satz (PageIndex{2}): Kettenregel

Ist (w = f (x, y, z)) eine stetig differenzierbare Funktion von (x, y, ext{ und }z, ext{ und }x = x(t), y = y( t) ext{ und }z = z(t)) sind differenzierbare Funktionen von (t, ext{ dann }w) ist eine differenzierbare Funktion von (t), und

[dfrac{dw}{ dt} = dfrac{∂w}{ ∂x}dfrac{ dx}{ dt} + dfrac{∂w}{ ∂y}dfrac{ dy}{ dt} + dfrac{∂w }{∂z}dfrac{ dz}{ dt}.label{Gl4.41}]

Auch wenn (x = x(t_1 ,t_2), y = y(t_1 ,t_2) ext{ und }z = z(t_1 ,t_2)) stetig differenzierbare Funktionen von ((t_1 ,t_2) sind ), dann

[dfrac{∂w}{ t_1} = dfrac{∂w}{ ∂x}dfrac{ x}{ ∂t_1} + dfrac{∂w}{ ∂y}dfrac{ ∂y} { t_1} +dfrac{∂w}{ ∂z}dfrac{ z}{ ∂t_1} label{Gl.4.42}]

und

[dfrac{∂w}{ t_2} = dfrac{∂w}{ ∂x}dfrac{ ∂x}{ ∂t_2} + dfrac{∂w}{ ∂y}dfrac{ ∂y} { t_2} +dfrac{∂w}{ ∂z}dfrac{ z}{ ∂t_2} label{Gl.4.43}]

Satz (PageIndex{3}): Potential

Sei ( extbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z) extbf{i} + Q(x, y, z) extbf{j} + R(x, y, z) extbf{k}) sei ein Vektorfeld in einem Körper (S), mit (P, Q ext{ und }R) stetig differenzierbaren Funktionen auf (S). Sei (C) eine glatte Kurve in (S), parametrisiert durch (x = x(t), y = y(t), z = z(t), a ≤ t ≤ b). Angenommen, es gibt eine reellwertige Funktion (F(x, y, z)) mit (∇F = extbf{f} ext{ auf }S). Dann

[int_C extbf{f}cdot d extbf{r} = F(B) − F(A) ,label{Gl.4.44}]

wobei (A = (x(a), y(a), z(a)) ext{ und }B = (x(b), y(b), z(b))) die Endpunkte von sind (C).

Logische Folge

Wenn ein Vektorfeld ( extbf{f}) hat ein Potential in einem Festkörper (S), dann (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = 0) für jede geschlossene Kurve (C) in (S) (dh (oint_C ∇Fcdot d extbf{r} = 0) für jede reellwertige Funktion (F(x, y, z))).

Beispiel (PageIndex{1})

Sei (f (x, y, z) = z) und sei (C) die Kurve in (mathbb{R}^ 3) parametrisiert durch

[ onumber x = tsin t ,quad y = t cos t ,quad z = t ,quad 0 ≤ t ≤ 8π .]

Bewerte (int_C f (x, y, z),ds). (Anmerkung: (C) heißt a konische Helix. Siehe Abbildung 4.5.1).

Lösung

Da (x (t) = sin t+ t cos t, y ′ (t) = cos t− tsin t, ext{ und }z ′ (t) = 1), gilt

[ onumber egin{align}x ′ (t)^ 2 + y ′ (t)^ 2 + z ′ (t)^ 2 &= (sin^2 t+2tsin t cos t+ t^ 2 cos^2 t)+(cos^2 t−2tsin t cos t+ t^ 2 sin^2 t)+1 [4pt] onumber &=t^ 2 (sin^2 t+cos^2 t)+sin^2 t+cos^2 t+1 [4pt] onumber &=t^2 +2, [4pt] end{align}]

da (f (x(t), y(t), z(t)) = z(t) = t) entlang der Kurve (C), dann

[ onumber egin{align} int_C f (x, y, z),ds &= int_0^{8pi} f (x(t), y(t), z(t)) sqrt{x ′ (t)^ 2 + y ′ (t)^ 2 + z ′ (t)^ 2},dt [4pt] onumber &=int_0^{8pi} tsqrt{ t^2+2},dt [4pt] onumber &= left ( dfrac{1}{3} (t^ 2 +2)^{3/2} ight ) Big |_0^ {8pi} = dfrac{1}{3} left ( (64π^ 2 +2)^{3/2} −2 sqrt{ 2} ight ). [4pt] end{ausrichten}]

Beispiel (PageIndex{2})

Sei ( extbf{f}(x, y, z) = x extbf{i} + y extbf{j}+ 2z extbf{k}) ein Vektorfeld in (mathbb{R} ^ 3). Berechnen Sie mit der gleichen Kurve (C) aus Beispiel 4.12 (int_C extbf{f}cdot d extbf{r}).

Lösung:

Es ist leicht zu erkennen, dass (F(x, y, z) = dfrac{x^ 2}{ 2} + dfrac{y^ 2}{ 2} + z^ 2) ein Potential für ( extbf{f}(x, y, z)) (dh (∇F = extbf{f})).

Nach Satz 4.12 wissen wir also, dass

[ onumberegin{align} int_C extbf{f}cdot d extbf{r} &=F(B) − F(A) , ext{ wobei }A = (x(0), y (0), z(0)) ext{ und }B = (x(8π), y(8π), z(8π)), ext{ so} [4pt] onumber &=F(8π sin 8π,8πcos 8π,8π) − F(0sin 0,0cos 0,0) [4pt] onumber &=F(0,8π,8π) − F(0,0, 0) [4pt] onumber &= 0+ dfrac{(8π)^ 2}{ 2} +(8π)^ 2 −(0+0+0) = 96π^ 2 . [4pt] end{ausrichten}]

Wir diskutieren nun eine Verallgemeinerung des Satzes von Green in (mathbb{R}^ 2) auf orientierbar Flächen in (mathbb{R}^ 3), genannt Satz von Stokes. Eine Fläche (Σ) in (mathbb{R}^ 3) ist orientierbar wenn es ein stetiges Vektorfeld gibt n in (mathbb{R}^ 3) so dass n ungleich Null und senkrecht zu (Σ) (d. h. senkrecht zur Tangentialebene) an jedem Punkt von (Σ). Wir sagen, dass so ein n ist ein normales Vektorfeld.

Zum Beispiel ist die Einheitskugel (x^ 2+y^ 2+z^ 2 = 1) orientierbar, da das stetige Vektorfeld ( extbf{N}(x, y, z) = x extbf{ i}+y extbf{j}+z extbf{k}) ist an jedem Punkt ungleich Null und senkrecht zur Kugel. Tatsächlich ist (− extbf{N}(x, y, z)) ein weiteres normales Vektorfeld (siehe Abbildung 4.5.2). Wir sehen in diesem Fall, dass ( extbf{N}(x, y, z)) ein nach außen gerichteter Normalenvektor ist und (− extbf{N}(x, y, z)) ist ein innere normaler Vektor. Diese „äußeren“ und „inneren“ Normalenvektorfelder auf der Kugel entsprechen einer „äußeren“ bzw. „inneren“ Seite der Kugel. Das heißt, wir sagen, die Kugel ist a zweiseitig Oberfläche. „zweiseitig“ bedeutet grob „orientierbar“. Andere Beispiele für zweiseitige und daher orientierbare Oberflächen sind Zylinder, Paraboloide, Ellipsoide und Ebenen.

Sie fragen sich vielleicht, welche Art von Oberfläche wäre? nicht haben zwei Seiten. Ein Beispiel ist das Möbiusband, die konstruiert wird, indem man ein dünnes Rechteck nimmt und seine Enden an den gegenüberliegenden Ecken verbindet, was zu einem „verdrehten“ Streifen führt (siehe Abbildung 4.5.3).

Wenn Sie sich vorstellen, entlang einer Linie entlang der Mitte des Möbiusstreifens zu gehen, wie in Abbildung 4.5.3(b), dann kommen Sie wieder an der gleichen Stelle an, von der aus Sie gestartet sind, aber kopfüber! Das ist Dein Orientierung geändert, obwohl Ihre Bewegung entlang dieser Mittellinie kontinuierlich war. Wenn Sie sich Ihre vertikale Richtung als ein normales Vektorfeld entlang des Streifens vorstellen, gibt es an Ihrem Ausgangspunkt (und tatsächlich an jedem Punkt) eine Diskontinuität, da Ihre vertikale Richtung dort zwei verschiedene Werte annimmt. Die Möbiusleiste hat nur eine Seite, und ist daher nicht orientierbar.

Wählen Sie für eine orientierbare Fläche (Σ) mit einer Randkurve (C) einen Einheitsnormalenvektor n wenn Sie (C) mit dem Kopf in Richtung n, dann wäre die Oberfläche auf der linken Seite. Wir sagen in dieser Situation, dass n ist ein positiver Einheitsnormalenvektor und dass (C) durchlaufen wird n-positiv. Wir können nun den Satz von Stokes formulieren:

Satz (PageIndex{4}): Satz von Stoke

Sei (Σ) eine orientierbare Fläche in (mathbb{R}^ 3), deren Rand eine einfache geschlossene Kurve (C) ist, und sei ( extbf{f}(x, y, z ) = P(x, y, z) extbf{i} +Q(x, y, z) extbf{j} + R(x, y, z) extbf{k}) sei ein glattes Vektorfeld definiert auf einer Teilmenge von (mathbb{R}^ 3), die (Σ) enthält. Dann

[oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n},dσ , label{Gl4. 45}]

wo

[ ext{curl} extbf{f} = left ( dfrac{∂R}{ ∂y}-dfrac{∂Q}{ ∂z} ight ) extbf{i} + left ( dfrac{∂P}{ z} - dfrac{∂R}{ ∂x} ight) extbf{j} + left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} -dfrac{∂P}{ ∂y} ight) extbf{k},label{Gl.4.46}]

n ist ein positiver Einheitsnormalenvektor über (Σ), und (C) wird durchlaufen n-positiv.

Nachweisen: Da der allgemeine Fall den Rahmen dieses Textes sprengen würde, werden wir den Satz nur für den Spezialfall beweisen, in dem (Σ) der Graph von (z = z(x, y)) für ein glattes reellwertiges . ist Funktion (z(x, y), ext{ mit }(x, y)), die über eine Region (D) in (mathbb{R}^ 2) variiert.

Wenn wir (Σ) auf die (xy)-Ebene projizieren, sehen wir, dass die geschlossene Kurve (C) (die Randkurve von (Σ)) auf eine geschlossene Kurve (C_D) projiziert, die die Randkurve von (D) (siehe Abbildung 4.5.4). Unter der Annahme, dass (C) eine glatte Parametrisierung hat, hat seine Projektion (C_D) in der (x y)-Ebene ebenfalls eine glatte Parametrisierung, sagen wir

[ onumber C_D, :, x = x(t) , y = y(t) , a ≤ t ≤ b ,]

und so kann (C) parametrisiert werden (in (mathbb{R}^ 3) ) als

[ onumber C ,:, x = x(t) ,, y = y(t) ,, z = z(x(t), y(t)) ,, a ≤ t ≤ b ,]

da die Kurve (C) Teil der Fläche (z = z(x, y)) ist. Nun wissen wir nach der Kettenregel (Satz 4.4 in Abschnitt 4.2) für (z = z(x(t), y(t)) ext{ als Funktion von }t), dass

[ onumber z (t) = dfrac{∂z}{ ∂x} x ′ (t) + dfrac{∂z}{ ∂y} y ′ (t) ,]

und so

[ onumber egin{align} oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} &= int_C P(x, y, z),dx+Q(x, y, z), d y+ R(x, y, z),dz [4pt] onumber &=int_a^b left ( P x′ (t)+Q y′ (t)+ R left ( dfrac{ z}{ ∂x} x (t)+ dfrac{∂z}{ ∂y} y ′ (t) ight ) ight ) ,dt [4pt] onumber &=int_a^b left ( left ( P + R dfrac{∂z}{ ∂x} ight ) x ′ (t)+ left ( Q + R dfrac{∂z}{ ∂y} ight ) y ′ ( t) ight ) ,dt [4pt] onumber &=int_{C_D} ilde P (x, y),dx+ ilde Q (x, y),dy , [4pt] end{ausrichten}]

wo

[ onumber egin{align} & ilde P (x, y) = P(x, y, z(x, y)) + R(x, y, z(x, y)) dfrac{∂ z}{ ∂x} (x, y) , ext{ und} [4pt] onumber & ilde Q (x, y) = Q(x, y, z(x, y)) + R( x, y, z(x, y)) dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y) [4pt] end{align}]

für ((x, y) ext{ in }D). Somit gilt nach dem Satz von Green, angewendet auf den Bereich (D),

[oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_D left ( dfrac{∂ ilde Q}{ ∂x} − dfrac{∂ ilde P}{ ∂y} ight) ,dA.label{Gl.4.47}]

Daher,

[ onumber egin{align} dfrac{∂ ilde Q}{ ∂x} &= dfrac{∂}{ ∂x} left ( Q(x, y, z(x, y))+ R (x, y, z(x, y)) dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y) ight ), ext{ also nach der Produktregel erhalten wir} [4pt] onumber & = dfrac{∂}{ x} (Q(x, y, z(x, y)))+left (dfrac{∂}{ ∂x} R(x, y, z(x, y) ) ight ) dfrac{∂z}{ ∂y} (x, y)+R(x, y, z(x, y)) dfrac{∂}{ ∂x} left ( dfrac{∂z }{ ∂y} (x, y) ight ) [4pt] end{align}]

Nun gilt nach Gleichung ef{Gl.4.42} in Satz 4.11

[ onumber egin{align} dfrac{∂}{ ∂x} (Q(x, y, z(x, y)))&= dfrac{∂Q}{ ∂x}dfrac{ ∂x }{ x}+dfrac{∂Q}{ ∂y}dfrac{ ∂y}{ ∂x}+dfrac{∂Q}{ ∂z}dfrac{ ∂z}{ ∂x} [ 4pt] onumber &= dfrac{∂Q}{ ∂x} cdot 1 + dfrac{∂Q}{ ∂y} cdot 0 + dfrac{∂Q}{ ∂z}dfrac{ ∂z} { ∂x} [4pt] onumber &= dfrac{∂Q}{ x} + dfrac{∂Q}{∂z}dfrac{ ∂z}{ ∂x} . [4pt] end{ausrichten}]

Ähnlich,

[ onumber dfrac{∂}{ ∂x} (R(x, y, z(x, y))) = dfrac{∂R}{ ∂x} + dfrac{∂R}{ ∂z} dfrac{ z}{ ∂x} .]

Daher,

[ onumber egin{align}dfrac{∂ ilde Q}{ ∂x} &=dfrac{∂Q}{ ∂x} + dfrac{∂Q}{ ∂z}dfrac{ ∂z} { ∂x} + left ( dfrac{∂R}{ ∂x} + dfrac{∂R}{ z}dfrac{ z}{ ∂x} ight ) dfrac{∂z }{∂ y}+R(x, y, z(x, y)) dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} [4pt] onumber &=dfrac{∂Q}{ ∂x} + dfrac{∂Q}{ z}dfrac{ z}{ ∂x} + dfrac{∂R}{ ∂x}dfrac{ z}{ ∂y}+dfrac{∂R}{ ∂ z}dfrac{ z}{ ∂x}dfrac{ z}{ ∂y} + R dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} . [4pt] end{ausrichten}]

Auf ähnliche Weise können wir berechnen

[ onumber dfrac{∂ ilde P}{ ∂y} = dfrac{∂P}{ ∂y} + dfrac{∂P}{ ∂z}dfrac{ ∂z}{ ∂y} + dfrac{∂R}{ y}dfrac{ z}{ ∂x} + dfrac{∂R}{ z}dfrac{ ∂z}{ ∂y}dfrac{ z}{ ∂x} +Rdfrac{∂^2 z}{ ∂y∂x} .]

Subtrahieren ergibt also

[dfrac{∂ ilde Q}{ ∂x} - dfrac{∂ ilde P}{ ∂y} = left ( dfrac{∂Q}{ ∂z} − dfrac{∂R}{ ∂ y} ight ) dfrac{∂z}{ ∂x} + left ( dfrac{∂R}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂z} ight ) dfrac{∂z}{ ∂y} + left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) label{Gl.4.48}]

da (dfrac{∂^2 z}{ ∂x∂y} = dfrac{∂^2 z}{ ∂y∂x}) durch die Glätte von (z = z(x, y)) . Daher gilt nach Gleichung ef{Gl.4.47},

[oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iint_D left ( - left (dfrac{∂R}{ ∂y} − dfrac{∂Q}{ ∂z} ight ) dfrac{∂z}{ ∂x} - left ( dfrac{∂P}{ ∂z} − dfrac{∂R}{ ∂x} ight ) dfrac{∂z}{ ∂y} + left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) ight ) ,dA label{Gl.4.49}]

nach Herausziehen von a −1 aus den Termen in den ersten beiden Produkten in Gleichung ef{Gl.4.48}.

Erinnern Sie sich nun aus Abschnitt 2.3 (siehe S.76), dass der Vektor ( extbf{N} = − dfrac{∂z}{ ∂x} extbf{ i}− dfrac{∂z}{ ∂y} extbf{j}+ extbf{k}) steht senkrecht zur Tangentenebene an die Fläche (z = z(x, y)) an jedem Punkt von (Σ). Daher,

[ onumber extbf{n} = dfrac{ extbf{N}}{lVert extbf{N} Vert} = dfrac{− dfrac{∂z}{ ∂x} extbf{ i} − dfrac{∂z}{ ∂y} extbf{j}+ extbf{k}}{sqrt{1+left ( dfrac{∂z}{ ∂x} ight ) ^2+left ( dfrac{∂z}{ ∂y} ight )^2}}]

tatsächlich ein positiver Einheitsnormalenvektor zu (Σ) ist (siehe Abbildung 4.5.4). Mit der Parametrisierung ( extbf{r}(x, y) = x extbf{i} + y extbf{j} + z(x, y) extbf{k}, ext{ für }( x, y) ext{ in }D), der Fläche (Σ), gilt (dfrac{∂ extbf{r}}{ ∂x} = extbf{i} + dfrac{ ∂z}{ ∂x} extbf{k}) und (dfrac{∂ extbf{r}}{ ∂y} = extbf{j}+ dfrac{∂z}{ ∂y} extbf {k}), also (lVert dfrac{ extbf{r}}{ ∂x} imes dfrac{∂ extbf{r}}{ ∂y} Vert = sqrt{ 1+ left ( dfrac{∂z}{ ∂x} ight )^2 + left ( dfrac{∂z}{ ∂y} ight )^2}). Wir sehen also, dass die Verwendung von Gleichung ef{Eq4.46} für curl F, wir haben

[ onumber egin{align} iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n} ,dσ &=iintlimits_D ( ext{curl } extbf{ f}) Big lVert dfrac{∂ extbf{r}}{ x} imes dfrac{∂ extbf{r}}{ ∂y} Big Vert, dA [4pt] nonumber &=iintlimits_D left ( left ( dfrac{∂R}{ ∂y} − dfrac{∂Q}{ ∂z} ight ) extbf{i} + left ( dfrac{∂ P}{ z} − dfrac{∂R}{ ∂x} ight) extbf{j} + left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) extbf{k} ight ) cdot left ( -dfrac{∂z}{ ∂x} extbf{i}− dfrac{∂z}{ ∂y} extbf{j}+ textbf{k} ight ) ,dA [4pt] onumber &=iintlimits_D left ( - left ( dfrac{∂R}{ ∂y} − dfrac{∂Q}{ ∂z } ight ), dfrac{∂z}{ ∂x} - left ( dfrac{∂P}{ ∂z} − dfrac{∂R}{ ∂x} ight ) , dfrac{∂ z}{ ∂y} + left ( dfrac{∂Q}{ ∂x} − dfrac{∂P}{ ∂y} ight ) ight ) , dA, [4pt] end{align }]

was beim Vergleich mit Gleichung ef{Eq4.49} den Satz beweist.

( ag{( extbf{QED})})

Anmerkung: Die Bedingung im Satz von Stokes, dass die Fläche (Σ) einen (stetig variierenden) positiven Einheitsnormalenvektor n und eine Randkurve (C) durchlaufen n-positiv kann genauer wie folgt ausgedrückt werden: wenn ( extbf{r}(t)) der Ortsvektor für (C) ist und ( extbf{T}(t) = extbf{r} ′ (t)/ Vert extbf{r} ′ (t) Vert) ist der Einheitstangensvektor an (C), dann sind die Vektoren T, n, T (mal) n ein rechtshändiges System bilden.

Außerdem sollte beachtet werden, dass der Satz von Stokes auch dann gilt, wenn die Randkurve (C) stückweise glatt ist.

Beispiel (PageIndex{3})

Verifiziere den Satz von Stokes für ( extbf{f}(x, y, z) = z extbf{i} + x extbf{j} + y extbf{k}), wenn (Σ) der Paraboloid (z = x^ 2 + y^ 2) mit (z ≤ 1) (siehe Abbildung 4.5.5).

Lösung:

Der positive Einheitsnormalenvektor zur Oberfläche (z = z(x, y) = x^ 2 + y^ 2) ist

[ onumber extbf{n} = dfrac{−dfrac{∂z}{ ∂x} extbf{i}− dfrac{∂z}{ ∂y} extbf{j}+ extbf{k }}{sqrt{1+ left ( dfrac{∂z}{ ∂x} ight )^2+left ( dfrac{∂z}{ ∂y} ight )^2}}= dfrac {−2x extbf{i}−2y extbf{j}+ extbf{k}}{sqrt{1+4x^2 +4y^2}},]

und locken F = (1−0)ich+(1−0)J+(1−0)k = ich+J+k, so

[ onumber ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n} = (−2x−2y+1)/sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2} .]

Da (Σ) parametrisiert werden kann als ( extbf{r}(x, y) = x extbf{i} + y extbf{j} + (x^ 2 + y^ 2 ) extbf{k } ext{ für }(x, y) ext{ im Bereich }D = {(x, y) : x^ 2 + y^ 2 ≤ 1}), dann

[ onumber egin{align} iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n},dσ &=iintlimits_D ( ext{curl } extbf{ f}) Big lVert dfrac{∂ extbf{r}}{ x} imes dfrac{∂ extbf{r}}{ ∂y} Big Vert, dA [4pt] nonumber &= iintlimits_D dfrac{−2x−2y+1}{sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2}}sqrt{1+4x^ 2 +4y^ 2}, d A [4pt] onumber &= iintlimits_D (−2x−2y+1),d A, ext{ also Wechsel zu Polarkoordinaten ergibt} [4pt] onumber &=int_0^{2 pi} int_0^1 (−2r cos θ −2r sin θ +1),r ,dr, dθ [4pt] onumber &=int_0^{2pi} int_0^1 (−2r^ 2 cos θ −2r^ 2 sin θ + r),dr,dθ [4pt] onumber &=int_0^{2pi} left (−dfrac{2r^ 3}{ 3} cos − dfrac{2r^ 3}{ 3} sin θ + dfrac{r^ 2}{ 2} Big |_{r=0}^{r=1} ight ) ,dθ [4pt] onumber &= int_0^{2pi} left ( − dfrac{2}{ 3} cos θ − dfrac{2}{ 3} sin θ + dfrac{1}{ 2} ight) , dθ [4pt] onumber &= − dfrac{2}{ 3} sin θ +dfrac{2}{ 3} cos θ + dfrac{ 1}{ 2} Groß |_0^{2pi} = pi . [4pt] end{ausrichten}]

Die Randkurve (C) ist der in der Ebene (z = 1) liegende Einheitskreis (x^ 2 + y^ 2 = 1) (siehe Bild 4.5.5), der parametrisiert werden kann als (x = cos t, y = sin t, z = 1 ext{ für }0 ≤ t ≤ 2π). So

[ onumberegin{align} oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} &= int_0^{2pi} ((1)(−sin t)+(cos t) (cos t)+(sin t)(0)),dt [4pt] onumber &= int_0^{2pi} left ( −sin t+ dfrac{1+cos 2t }{ 2} ight ) ,dt quad left ( ext{hier haben wir } cos^2 t = dfrac{1+cos 2t}{ 2} ight ) [4pt] onumber &= cos t+ dfrac{t}{ 2} + dfrac{sin 2t}{ 4}Big |_0^{2pi} = π . [4pt] end{ausrichten}]

Wir sehen also, dass (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} =iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n}dσ), als vorhergesagt durch den Satz von Stokes.

Das Linienintegral im vorherigen Beispiel war viel einfacher zu berechnen als das Flächenintegral, aber dies wird nicht immer der Fall sein.

Beispiel (PageIndex{4})

Sei (Σ) das elliptische Paraboloid (z =dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{y^ 2}{ 9} ext{ für }z ≤ 1), und sei ( C) sei seine Randkurve. Berechne ( oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} ext{ für } extbf{f}(x, y, z) = (9xz + 2y) extbf{i} + (2x + y^ 2 ) extbf{j} + (−2y^ 2 + 2z) extbf{k}), wobei (C) gegen den Uhrzeigersinn durchquert wird

Lösung

Die Fläche ist ähnlich der in Beispiel (PageIndex{3}), nur dass die Randkurve (C) jetzt die Ellipse (dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{y^ . ist 2}{ 9} = 1) in der Ebene (z = 1) liegend. In diesem Fall ist es einfacher, den Satz von Stokes zu verwenden, als das Linienintegral direkt zu berechnen. Wie in Beispiel 4.14 gilt an jedem Punkt ((x, y, z(x, y))) auf der Oberfläche (z = z(x, y) = dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{y^ 2}{ 9}) der Vektor

[ onumber extbf{n} = dfrac{-dfrac{∂z}{ ∂x} extbf{i}− dfrac{∂z}{ ∂y} extbf{j}+ extbf{k }}{sqrt{1 + left ( dfrac{∂z}{ ∂x} ight )^2 + left ( dfrac{∂z}{ ∂y} ight )^2}}=dfrac {− dfrac{x}{ 2} extbf{i}− dfrac{2y}{ 9} extbf{j}+ extbf{k}}{sqrt{1+ dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{4y^ 2}{ 9}}},]

ein positiver Einheitsnormalenvektor zu (Σ) ist. Und das Berechnen der Locke von F gibt

[ onumber ext{curl} extbf{f} = (−4y−0) extbf{i} + (9x−0) extbf{j} + (2−2) extbf{k} = − 4y extbf{i} + 9x extbf{j} + 0 extbf{k} ,]

so

[ onumber ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n} = dfrac{(−4y)(− dfrac{x}{ 2} )+(9x)(− dfrac {2y}{ 9} )+(0)(1)}{sqrt{1+ dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{4y^ 2}{ 9}}} = dfrac{2x y −2x y+0}{sqrt{1+ dfrac{x^ 2}{ 4} + dfrac{4y^ 2}{ 9}}} = 0,]

und so nach dem Satz von Stokes

[ onumber oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f})cdot extbf{n},dσ = iint Grenzen_Σ 0, dσ = 0.]

In physikalischen Anwendungen wird für eine einfache geschlossene Kurve (C) das Linienintegral (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r}) oft als Verkehr von F um (C). Zum Beispiel, wenn E das elektrostatische Feld aufgrund einer Punktladung darstellt, dann ergibt sich, dass curl ( extbf{E}= extbf{0}), was bedeutet, dass die Zirkulation (oint_C extbf{E}cdot d textbf{r} = 0) nach dem Satz von Stokes. Vektorfelder, die null Curl haben, werden oft als bezeichnet drehungsfrei Felder.

Tatsächlich wurde der Begriff Curl von dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell aus dem 19. In der Physik wird die Locke als Maß für interpretiert Umlaufdichte. Dies wird am besten durch die Verwendung einer anderen Definition von curl angezeigt F was äquivalent zu der durch Gleichung ef{Gl.4.46} gegebenen Definition ist. Für einen Punkt ((x, y, z) ext{ in }mathbb{R}^ 3),

[ extbf{n}cdot ( ext{curl} extbf{f}(x, y, z) = limlimits_{S o 0} dfrac{1}{S}oint_C extbf {f}cdot d extbf{r},label{Gl.4,50}]

wobei (S) die Oberfläche einer Fläche (Σ) ist, die den Punkt ((x, y, z)) enthält und mit einer einfachen geschlossenen Randkurve (C) und positivem Einheitsnormalenvektor n bei ((x, y, z)). Stellen Sie sich im Grenzfall vor, dass die Kurve (C) auf den Punkt ((x, y, z)) schrumpft, wodurch (Σ), die von ihr begrenzte Fläche, immer kleiner wird. Dieses Verhältnis von Zirkulation zu Oberfläche im Grenzbereich macht die Kräuselung zu einem groben Maß für die Zirkulationsdichte (d. h. Zirkulation pro Flächeneinheit).

Eine Vorstellung davon, wie die Windung eines Vektorfeldes mit der Drehung zusammenhängt, ist in Abbildung 4.5.6 gezeigt. Angenommen, wir haben ein Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z)), das in jedem Punkt ((x, y, z)) immer parallel zur (xy)-Ebene ist und dass die Vektoren umso größer werden, je weiter der Punkt ((x, y, z)) von der (y)-Achse entfernt ist. Zum Beispiel ( extbf{f}(x, y, z) = (1+ x^ 2 ) extbf{j}). Stellen Sie sich das Vektorfeld als Darstellung der Wasserströmung vor und stellen Sie sich vor, wie in Abbildung 4.5.6 zwei Räder mit Paddeln in diese Wasserströmung fallen zu lassen. Da die Strömung stärker ist (d. h. der Betrag von F größer ist), wenn Sie sich von der (y)-Achse wegbewegen, dann würde sich ein solches Rad gegen den Uhrzeigersinn drehen, wenn es rechts von der (y)-Achse fallengelassen würde, und es würde sich im Uhrzeigersinn drehen, wenn es fallengelassen würde links von der (y)-Achse. In beiden Fällen wäre die curl ungleich null (curl ( extbf{f}(x, y, z) = 2x extbf{k}) in unserem Beispiel) und würde der Regel der rechten Hand gehorchen, also curl ( extbf{f}(x, y, z)) zeigt in Richtung Ihres Daumens, während Sie Ihre rechte Hand in Richtung der Drehung des Rades fassen. Die Krümmung zeigt also nach außen (in die positive (z)-Richtung) wenn (x > 0) und nach innen (in die negative (z)-Richtung), wenn (x < 0). Beachten Sie, dass, wenn alle Vektoren die gleiche Richtung haben und die gleiche Größe, dann würden sich die Räder nicht drehen und es würde daher keine Wellung geben (weshalb solche Felder als drehungsfrei bezeichnet werden, was bedeutet, dass keine Drehung erfolgt).

Schließlich wissen wir nach dem Satz von Stokes, dass wenn (C) eine einfache geschlossene Kurve in einem festen Bereich (S) in (mathbb{R}^ 3) ist und wenn ( extbf{f }(x, y, z)) ist ein glattes Vektorfeld mit curl ( extbf{f} = 0 ext{ in }S), dann

[ onumber oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = iintlimits_Σ ( ext{curl} extbf{f}cdot extbf{n},dσ = iintlimits_Σ extbf{0}cdot extbf{n}, dσ = iintlimits_Σ 0,dσ = 0,]

wobei (Σ) eine beliebige orientierbare Fläche innerhalb von (S) ist, deren Rand (C) ist (eine solche Fläche wird manchmal a . genannt Abdeckfläche für (C)). So ähnlich wie im Fall mit zwei Variablen haben wir eine dreidimensionale Version eines Ergebnisses aus Abschnitt 4.3 für feste Gebiete in (mathbb{R}^ 3), die einfach verbunden (d. h. Bereiche ohne Löcher):

Die folgenden Aussagen sind äquivalent für einen einfach zusammenhängenden festen Bereich (S) in (mathbb{R}^ 3) :

  1. ( extbf{f}(x, y, z) = P(x, y, z) extbf{i}+Q(x, y, z) extbf{j}+ R(x, y, z ) extbf{k}) hat ein glattes Potential (F(x, y, z) ext{ in }S)
  2. (int_C extbf{f}cdot d extbf{r}) ist unabhängig vom Pfad für jede Kurve (C) in (S)
  3. (oint_C extbf{f}cdot d extbf{r} = 0) für jede einfache geschlossene Kurve (C) in (S)
  4. (dfrac{∂R}{ ∂y} = dfrac{∂Q}{ ∂z} , dfrac{∂P}{ ∂z} = dfrac{∂R}{ ∂x} , ext{ und }dfrac{∂Q}{ ∂x} = dfrac{∂P}{ ∂y}) in (S) (dh curl ( extbf{f} = extbf{0} ext{ in }S))

Teil (d) ist auch eine Art zu sagen, dass die Differentialform (P ,dx+Q ,d y+ ​​R, dz) exakt ist.

Beispiel (PageIndex{5})

Bestimme, ob das Vektorfeld ( extbf{f}(x, y, z) = x yz extbf{i}+xz extbf{j}+xy extbf{k}) ein Potential in ( mathbb{R}^ 3).

Lösung

Da (mathbb{R}^ 3) einfach zusammenhängend ist, müssen wir nur prüfen, ob curl F = 0 durch (mathbb{R}^ 3), d. h.

[ onumber dfrac{∂R}{ ∂y} = dfrac{∂Q}{ ∂z} ,quad dfrac{∂P}{ ∂z} = dfrac{∂R}{ ∂x} , quad ext{und }dfrac{∂Q}{ ∂x} = dfrac{∂P}{ ∂y} ]

durch (mathbb{R}^ 3), wobei (P(x, y, z) = x yz, Q(x, y, z) = xz, ext{ und }R(x, y, z) = xy). Aber das sehen wir

[ onumber dfrac{∂P}{ ∂z} = xy ,, dfrac{∂R}{ ∂x} = y quad Rightarrow quad dfrac{∂P}{ ∂z} eq dfrac{∂R}{ ∂x} ext{ für einige }(x, y, z) ext{ in }mathbb{R}^ 3 .]

Also hat (f(x, y, z)) kein Potential in (mathbb{R}^ 3).


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