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7.4E: Übungen - Graphen und Eigenschaften logarithmischer Funktionen - Mathematik

7.4E: Übungen - Graphen und Eigenschaften logarithmischer Funktionen - Mathematik



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PROBLEMSATZ: GRAFIK UND EIGENSCHAFTEN VON LOGARITHMISCHEN FUNKTIONEN

Fragen 1 – 3: Für jede der folgenden Funktionen

  1. Skizzieren Sie einen einigermaßen genauen Graphen, der die Form des Funktionsgraphen zeigt
  2. Geben Sie die Domäne an
  3. Geben Sie die Reichweite an
  4. Geben Sie an, ob der Graph eine vertikale Asymptote oder eine horizontale Asymptote hat und schreiben Sie die Gleichung dieser Asymptote
  5. Hat der Graph einen x-Achsenabschnitt oder eine y-Achsen-Asymptote? Schreiben Sie die Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder des y-Achsenabschnitts.
  1. (y=lnx)
    1. Skizzieren Sie das Diagramm unten
  1. Domäne: ________
  2. Angebot: ________
  3. Ist die Asymptote horizontal oder vertikal? _________
    Gleichung der Asymptote: ________
  4. Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder y-Achsenabschnitts: ________
  1. (y=logx)
    1. Skizzieren Sie das Diagramm unten
  1. Domäne: ________
  2. Angebot: ________
  3. Ist die Asymptote horizontal oder vertikal? _________
    Gleichung der Asymptote: ________
  4. Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder y-Achsenabschnitts: ________
  1. (y=log_{0.8} x)
    1. Skizzieren Sie das Diagramm unten
  1. Domäne: ________
  2. Angebot: ________
  3. Ist die Asymptote horizontal oder vertikal? _________
    Gleichung der Asymptote: ________
  4. Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder y-Achsenabschnitts: ________

Fragen 4 - 5: Für das Umkehrfunktionspaar (y = e^x) und (y = ln x)

  1. Skizzieren Sie einen einigermaßen genauen Graphen, der die Form des Funktionsgraphen zeigt
  2. Geben Sie die Domäne an
  3. Geben Sie die Reichweite an
  4. Geben Sie an, ob der Graph eine vertikale Asymptote oder eine horizontale Asymptote hat und schreiben Sie die Gleichung dieser Asymptote
  5. Hat der Graph einen x-Achsenabschnitt oder eine y-Achsen-Asymptote? Schreiben Sie die Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder des y-Achsenabschnitts.
  1. (y=e^x)
    1. Skizzieren Sie das Diagramm unten
  1. Domäne: ________
  2. Angebot: ________
  3. Ist die Asymptote horizontal oder vertikal? _________
    Gleichung der Asymptote: ________
  4. Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder y-Achsenabschnitts: ________
  1. (y=lnx)
    1. Skizzieren Sie das Diagramm unten
  1. Domäne: ________
  2. Angebot: ________
  3. Ist die Asymptote horizontal oder vertikal? _________
    Gleichung der Asymptote: ________
  4. Koordinaten des x-Achsenabschnitts oder y-Achsenabschnitts: ________

Fragen 6-11: Ordne den Graphen der Funktion zu.

Wählen Sie die Funktion aus der Liste unten aus und schreiben Sie sie in die Linie unter dem Diagramm.

Hinweis: Um die Funktion und den Graphen abzugleichen, identifizieren Sie diese Eigenschaften von Graph und Funktion

  • Ist die Funktion zunehmend abnehmend?
  • Untersuchen Sie die Asymptote
  • Bestimmen Sie den x- oder y-Achsenabschnitt

[mathrm{y}=3left(2^{x} ight) quad y=5left(0,4^{x} ight) quad y=log_{2}(x) quad y=log_{1 / 2}(x) quad y=3 e^{-0,6 x} quad y=5 e^{0,3 x} onumber]

  1. Funktion: ________

  1. Funktion: ________

  1. Funktion: ________

  1. Funktion: ________

  1. Funktion: ________

  1. Funktion: ________


Schreiben einer Exponentialgleichung Schreiben Sie in den Übungen 7-10 die logarithmische Gleichung in Exponentialform. Zum Beispiel ist die Exponentialform von log, 25 = 2, 5 = 25. 7. log, 16 - 2 9. loga 12 - 1 8. log, t - -2 10. log4 -

Schreiben einer Exponentialgleichung in Übungen
7–10, schreiben Sie die logarithmische Gleichung in Exponential
Form. Zum Beispiel die Exponentialform von log5 25 = 2
ist 52 = 25.

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Schreiben einer Exponentialgleichung Schreiben Sie in den Übungen 7-10 die logarithmische Gleichung in Exponentialform. Zum Beispiel ist die Exponentialform von log, 25 = 2, 5 = 25. 7. log, 16 - 2 9. loga 12 - 1 8. log, t - -2 10. log4 -


EXPONENTIALFUNKTIONEN

Die Exponentialfunktion f mit der Basis a wird mit bezeichnet, wobei , und x eine beliebige reelle Zahl ist. Der Funktionswert ist positiv, da eine beliebige Potenz positive Basis positiv ist. Dies bedeutet, dass sich der Graph der Exponentialfunktion in den Quadranten I und II befindet.

Wenn beispielsweise die Basis 2 und x = 4 ist, ist der Funktionswert f(4) gleich 16. Ein entsprechender Punkt im Graphen von wäre (4, 16).

Für x >0, a >0 und gilt

Da x > 0 ist, befindet sich der Graph der obigen Funktion in den Quadranten I und IV.

Kommentare zu Logarithmische Funktionen

  • Die Exponentialgleichung könnte in Form einer logarithmischen Gleichung als geschrieben werden.
  • Die Exponentialgleichung kann als logarithmische Gleichung geschrieben werden.
  • Da Logarithmen nichts anderes als Exponenten sind, können Sie die Regeln der Exponenten mit Logarithmen verwenden.
  • Logarithmische Funktionen sind die Umkehrung von Exponentialfunktionen. Wenn beispielsweise (4, 16) ein Punkt im Graphen einer Exponentialfunktion ist, dann wäre (16, 4) der entsprechende Punkt im Graphen der inversen logarithmischen Funktion.

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Die nachfolgende Tabelle erläutert die Reichweite von y = log10 (x). 

Hier können wir denken, dass, wenn die Basis nicht 10 ist, was der Bereich der logarithmischen Funktionen sein könnte?

Welche Basis wir auch immer für die logarithmische Funktion haben, der Bereich ist immer

Für eine andere Basis als '10' können wir den Bereich einer logarithmischen Funktion auf die gleiche Weise definieren wie oben für die Basis '10' erklärt. 

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Graphische Funktionen

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Graphen logarithmischer Funktionen . Logarithmische Funktionen grafisch darstellen und skizzieren: eine Schritt-für-Schritt-Anleitung. Auch die Eigenschaften wie Domain, Range, vertikale Asymptoten und Achsenabschnitte der Graphen dieser Funktionen werden im Detail untersucht.
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7.4E: Übungen - Graphen und Eigenschaften logarithmischer Funktionen - Mathematik

Wie beim Sinus wissen wir nichts über Ableitungen, das es uns erlaubt, die Ableitungen der Exponential- und Logarithmusfunktionen zu berechnen, ohne auf die Grundlagen zurückzukommen. Lassen Sie uns noch einmal ein wenig mit der Definition arbeiten: $eqalign< a^x&=lim_ <>-a^xover Delta x>cr &=lim_ -a^xüber Delta x>cr &=lim_ a^x-1über Delta x>cr &=a^xlim_ -1over Delta x>cr >$ Hier gibt es zwei interessante Dinge zu beachten: Wie bei der Sinusfunktion bleibt ein Grenzwert, der $Delta x$ aber nicht $x$ betrifft, was bedeutet, dass was immer $ds lim_ (a^-1)/Updelta x$ ist, wir wissen, dass es eine Zahl ist, also eine Konstante. Das bedeutet, dass $ds a^x$ eine bemerkenswerte Eigenschaft hat: seine Ableitung ist eine Konstante mal sich selbst.

Wir haben zuvor bemerkt, dass die härteste Grenze, die wir berechnen würden, $ds lim_ ist.sin x/x=1$ haben wir jetzt eine Grenze, die hier nur ein bisschen zu schwer ist. Tatsächlich ist der schwierige Teil zu sehen, dass $ds lim_ (a^-1)/Delta x$ überhaupt existiert&mdash kommt dieser Bruch wirklich immer näher an einige feste Wert? Ja, das tut es, aber wir werden diese Tatsache nicht beweisen.

Wir können uns einige Beispiele ansehen. Betrachten Sie $ds (2^x-1)/x$ für einige kleine Werte von $x$: 1, .828427124$, .756828460$, .724061864$, .70838051$, .70070877$ wenn $x$ 1 . ist , 1 / 2 $, 1 / 4 $, 1 / 8 $, 1 / 16 $ bzw. 1 / 32 $. Es sieht so aus, als ob sich dies bei etwa 0,7 $ einpendelt, was sich als wahr herausstellt (aber das Limit liegt nicht genau bei 0,7 $). Betrachten Sie als nächstes $ds (3^x-1)/x$: $2$, $1.464101616$, $1.264296052$, $1.177621520$, $1.13720773$, $11.11768854$, bei den gleichen Werten von $x$. Es stellt sich heraus, dass dies im Limit etwa 1,1 $ beträgt. Zwei Beispiele legen kein Muster fest, aber wenn Sie mehr Beispiele machen, werden Sie feststellen, dass das Limit direkt mit dem Wert von $a$ variiert: größer $a$, größeres Limit kleiner $a$, kleineres Limit. Wie wir bereits sehen können, sind einige dieser Grenzen kleiner als 1 und andere größer als 1. Irgendwo zwischen $a=2$ und $a=3$ wird die Grenze genau 1 sein, der Wert, bei dem dies geschieht, heißt $e $, so dass $lim_ -1over Delta x>=1.$ Wie Sie aus unseren beiden Beispielen erraten können, liegt $e$ näher an 3 als an 2, und tatsächlich ist $eapprox 2,718$.

Nun sehen wir, dass die Funktion $ds e^x$ eine wirklich bemerkenswerte Eigenschaft hat: $eqalign< e^x&=lim_ <>-e^xover Delta x>cr &=lim_ -e^xover Delta x>cr &=lim_ e^x-1über Delta x>cr &=e^xlim_ -1over Delta x>cr &=e^xcr >$ Das heißt, $ds e^x$ ist seine eigene Ableitung, oder anders ausgedrückt, die Steigung von $ds e^x$ ist die gleich seiner Höhe oder gleich seiner zweiten Koordinate: Die Funktion $ds f(x)=e^x$ geht durch den Punkt $ds (z,e^z)$ und hat die Steigung $ds e^ z$ da, egal was $z$ ist. Manchmal ist es praktisch, die Funktion $ds e^x$ ohne Exponenten auszudrücken, da komplizierte Exponenten schwer zu lesen sein können. In solchen Fällen verwenden wir $exp(x)$, z. B. $ds exp(1+x^2)$ anstelle von $ds e^<1+x^2>$.

Was ist mit der Logarithmusfunktion? Auch dies ist schwierig, aber da die Kosinusfunktion einfacher war, sobald der Sinus erstellt wurde, ist der Logarithmus jetzt einfacher, da wir die Ableitung der Exponentialfunktion kennen. Beginnen wir mit $ds log_e x$, was, wie Sie wahrscheinlich wissen, oft mit $ln x$ abgekürzt wird und die Funktion "natürlicher Logarithmus" genannt wird.

Betrachten Sie die Beziehung zwischen den beiden Funktionen, nämlich dass sie invers sind, dass eine die andere "rückgängig macht". Grafisch bedeutet dies, dass sie den gleichen Graphen haben, außer dass eine durch die Linie $ . "umgedreht" oder "reflektiert" wird y=x$, wie in Abbildung 4.7.1 gezeigt.

Das bedeutet, dass auch die Steigungen dieser beiden Funktionen eng verwandt sind: Zum Beispiel ist die Steigung von $ds e^x$ $e$ bei $x=1$ am entsprechenden Punkt auf der $ln(x) $-Kurve muss die Steigung $1/e$ betragen, da "Anstieg" und "Lauf" vertauscht wurden. Da die Steigung von $ds e^x$ $e$ am Punkt $(1,e)$ ist, ist die Steigung von $ln(x)$ $1/e$ am Punkt $(e,1) $.

Allgemeiner wissen wir, dass die Steigung von $ds e^x$ $ds e^z$ im Punkt $ds (z,e^z)$ ist, also die Steigung von $ln(x)$ ist $ds 1/e^z$ bei $ds (e^z,z)$, wie in Abbildung 4.7.2 gezeigt. Mit anderen Worten, die Steigung von $ln x$ ist der Kehrwert der ersten Koordinate an einem beliebigen Punkt, was bedeutet, dass die Steigung von $ln x$ bei $(x,ln x)$ $1/x$ beträgt. Das Ergebnis ist: $ln x = <1over x>.$ Wir haben dies aus der Sicht der Graphen diskutiert, die leicht zu verstehen sind, aber normalerweise nicht als strenger Beweis angesehen werden&mdass es zu leicht ist, um von Bildern, die vernünftig erscheinen, in die Irre geführt zu werden aber das verpasst einen harten Punkt. Diese Ableitung ist möglich, ohne auf Bilder zurückzugreifen, und tatsächlich werden wir bald einen alternativen Ansatz sehen.

Beachten Sie, dass $ln x$ nur für $x>0$ definiert ist. Manchmal ist es nützlich, die Funktion $ln |x|$ zu betrachten, eine Funktion, die für $x ot=0$ definiert ist. Wenn $x Beispiel 4.7.1 Berechnen Sie die Ableitung von $ds f(x)=2^x$. $eqalign< 2^ &= (e^)^xcr &= e^cr &= left( xln 2 echts) e^cr &= (ln 2) e^=2^xln2cr >$

Beispiel 4.7.3 Berechnen Sie die Ableitung von $ds f(x)=x^x$. Auf den ersten Blick scheint dies eine neue Art von Funktion zu sein: Sie ist keine konstante Potenz von $x$ und es scheint keine Exponentialfunktion zu sein, da die Basis nicht konstant ist. Aber tatsächlich ist es nicht schwieriger als das vorherige Beispiel. $eqalign< x^x&=e^cr &=links(xln x echts)e^cr &=(x<1over x>+ln x)x^xcr &=(1+ln x)x^xcr >$

Beispiel 4.7.4 Denken Sie daran, dass wir die Potenzregel nicht begründet haben, außer wenn der Exponent eine positive oder negative ganze Zahl ist. Wir können die Exponentialfunktion verwenden, um andere Exponenten zu berücksichtigen. $eqalign< x^r&=e^cr &=links(rln x echts)e^cr &=(r<1over x>)x^rcr &=rx^cr >$


10.3 Logarithmische Funktionen auswerten und grafisch darstellen

Wir haben einige Zeit damit verbracht, die Umkehrung vieler Funktionen zu finden. Es funktioniert gut, einen Vorgang mit einem anderen Vorgang rückgängig zu machen. Subtrahieren macht die Addition rückgängig, Multiplikation macht die Division rückgängig, zieht die Quadratwurzel und macht die Quadratur rückgängig.

Als wir die Exponentialfunktion studiert haben, haben wir gesehen, dass sie eins zu eins ist, da ihre Graphen den Horizontallinientest bestehen. Dies bedeutet, dass eine Exponentialfunktion eine Umkehrfunktion hat. Wenn wir unsere algebraische Methode zum Auffinden einer Inversen ausprobieren, stoßen wir auf ein Problem.

Schreiben Sie mit y = f ( x ) um . Vertauschen Sie die Variablen x und y . f ( x ) = a x y = a x x = a y Auflösen nach y . Hoppla! Wir haben keine Möglichkeit, nach y aufzulösen! Schreiben Sie mit y = f ( x ) um . Vertauschen Sie die Variablen x und y . f ( x ) = a x y = a x x = a y Auflösen nach y . Hoppla! Wir haben keine Möglichkeit, nach y aufzulösen!

Dazu definieren wir die Logarithmusfunktion mit base ein die Umkehrung der Exponentialfunktion f(x) = a x sein. f(x) = ax. Wir verwenden die Notation f −1 ( x ) = log a x f −1 ( x ) = log a x und sagen, die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ist die logarithmische Funktion.


Beweise für logarithmische Eigenschaften

In diesen Lektionen werden wir uns die vier Eigenschaften von Logarithmen und ihre Beweise ansehen. Sie sind Produktregel, Quotientenregel, Potenzregel und Basisänderungsregel.

Sie können sich auch die Lektion zur Verwendung der Logarithmus-Eigenschaften ansehen.

Die folgende Tabelle gibt eine Zusammenfassung der Logarithmuseigenschaften. Scrollen Sie auf der Seite nach unten, um weitere Erklärungen und Beispiele zum Nachweis der logarithmischen Eigenschaften zu erhalten.


Die Logarithmuseigenschaften sind:

  1. Quotientenregel
    Der Logarithmus eines Quotienten ist der Logarithmus des Zählers minus dem Logarithmus des Nenners.

wobei x und y positiv sind und a > 0, a ≠ 1

Beweis für die Produktregel

Nachweisen:
Schritt 1:
Sei m = logein x und n = logein ja

Schritt 2:
Schreiben Sie in Exponentenform
x = a m und y = a n

Schritt 3:
x und y multiplizieren
x • y = a m • a n = a m+n

Schritt 4:
Protokoll aufnehmen ein von beiden Seiten und bewerten
Protokoll ein xy = log ein ein m+n
Protokoll ein xy = (m + n) log ein ein
Protokoll ein xy = m + n
Protokoll ein xy = logein x + logein ja

Beweis für die Quotientenregel

Nachweisen:
Schritt 1:
Sei m = logein x und n = logein ja

Schritt 2:
Schreiben Sie in Exponentenform
x = a m und y = a n

Schritt 3:
Teile x durch y
x ÷ y = am ÷ an n = am - n

Schritt 4:
Protokoll aufnehmen ein von beiden Seiten und bewerten
Protokoll ein (x ÷ y) = log ein ein m - nein
Protokoll ein (x ÷ y) = (m - n) log ein ein
Protokoll ein (x ÷ y) = m - n
Protokoll ein (x ÷ y) = logein x - logein ja

Beweis für die Machtregel

Nachweisen:
Schritt 1:
Sei m = logein x

Schritt 2:
Schreiben Sie in Exponentenform
x = ein m

Schritt 3:
Erhebe beide Seiten hoch n
x n = (am) n

Schritt 4:
Konvertieren Sie zurück in eine logarithmische Gleichung
Protokoll ein x n = mn

Schritt 5:
Ersatz für m = logein x
Protokoll ein x n = n logein x

Nachweis für die Änderung der Grundregel

Nachweisen:
Schritt 1:
Sei x = logein B

Schritt 2:
Schreiben Sie in Exponentenform
a x = b

Schritt 3:
Protokoll aufnehmen C von beiden Seiten und bewerten
Protokoll C a x = log C B
x log C a = log C B

Videos: Nachweis der Logarithmuseigenschaften
Proof of Product Rule: log A + log B = log AB

Beweis der Machtregel: Alog B = log B A und
Nachweis der Quotientenregel: log A - log B = log (A/B)

Nachweis der Basisregeländerung: logein B = logx B/ logx EIN

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7.4E: Übungen - Graphen und Eigenschaften logarithmischer Funktionen - Mathematik

Das Projekt „Improving Mathematics Education in Schools“ (TIMES)

Zahl und Algebra: Modul 31Jahre: 9-10

  • Kenntnis der Indexgesetze für positive ganzzahlige Potenzen.
  • Einrichtung mit der Arithmetik von ganzen Zahlen und Brüchen.
  • Einrichtung mit einfacher Algebra.
  • Vertrautheit mit dem Runden von Zahlen, die auf eine bestimmte Anzahl von Dezimalstellen korrekt sind.

Indizes bieten eine kompakte algebraische Notation für wiederholte Multiplikationen. Ist es zum Beispiel viel einfacher, 3 5 zu schreiben als 3 &mal 3 &mal 3 &mal 3 &mal 3.

Sobald die Indexnotation eingeführt ist, ergeben sich die Indexgesetze auf natürliche Weise, wenn numerische und algebraische Ausdrücke vereinfacht werden. So führt die Vereinfachung 2 5 &mal 2 3 = 2 8 schnell
nach der Regel a m × a n = a m + n , für alle positiven ganzen Zahlen m und n .

Wie so oft in der Mathematik ist es selbstverständlich, Fragen zu stellen wie:

  • Können wir dem Nullindex eine Bedeutung geben?
  • Können wir einem negativen Index eine Bedeutung geben?
  • Können wir einem rationalen oder gebrochenen Index eine Bedeutung geben?

Diese Fragen werden in diesem Modul behandelt.

In vielen Anwendungen der Mathematik können wir Zahlen als Potenzen einer bestimmten Basis ausdrücken. Wir können diese Frage umkehren und zum Beispiel fragen: „Welche Potenz von 2 ergibt 16? Unsere Aufmerksamkeit gilt dann dem Index selbst. Dies führt zum Begriff eines Logarithmus, der einfach ein anderer Name für einen Index ist.

Logarithmen werden an vielen Stellen verwendet:

  • Dezibel, die zur Messung des Schalldrucks verwendet werden, werden mit Logarithmen definiert
  • die Richter-Skala, die zur Messung der Erdbebenintensität verwendet wird, wird mit Logarithmen definiert
  • der pH-Wert in der Chemie, der verwendet wird, um den Säuregrad eines Stoffes zu bestimmen,
    wird auch unter Verwendung des Begriffs eines Logarithmus definiert.

Wenn zwei gemessene Größen durch eine Exponentialfunktion in Beziehung zu stehen scheinen, können die Parameter der Funktion mithilfe von Log-Plots geschätzt werden. Dies ist ein sehr nützliches Werkzeug in der experimentellen Wissenschaft.

Logarithmen können verwendet werden, um Gleichungen wie 2 x = 3 für x zu lösen.

In der höheren Mathematik ist die Fähigkeit zur Manipulation von Indizes unerlässlich, da sie sowohl in der Differential- als auch in der Integralrechnung ausgiebig verwendet werden. Um also eine Funktion wie zu differenzieren oder zu integrieren , muss es zunächst in die Indexform konvertiert werden.

Die Funktion in der Analysis, die ein Vielfaches ihrer eigenen Ableitung ist, ist eine Exponentialfunktion. Solche Funktionen werden verwendet, um Wachstumsraten in Biologie, Ökologie und Ökonomie sowie radioaktiven Zerfall in der Kernphysik zu modellieren.

Wir erinnern daran, dass eine Potenz das Produkt einer bestimmten Anzahl von Faktoren ist, die alle gleich sind. Zum Beispiel ist 3 7 eine Potenz, bei der die Zahl 3 als Basis und die Zahl 7 als Index oder Exponent bezeichnet wird.

Im Modul Vielfache, Faktoren und Potenzen wurden die folgenden Indexgesetze für positive ganzzahlige Exponenten aufgestellt. Also positive ganze Zahlen und und rationale Zahlen und haben wir:

1 Um Potenzen mit derselben Basis zu multiplizieren, addieren Sie die Indizes.
a m a n = a m + n .

2 Um Potenzen mit gleicher Basis zu teilen, subtrahieren Sie die Indizes.
= a m &minus n , (vorausgesetzt m > n .)
3 Um eine Potenz zu potenzieren, multiplizieren Sie die Indizes.
( a m ) n = a mn .
4 Eine Potenz eines Produkts ist das Produkt der Potenzen.
( ab ) m = a m b m .
5 Eine Potenz eines Quotienten ist der Quotient der Potenzen.
m = , (vorausgesetzt b &ne 0.)

Diese Gesetze gelten auch, wenn a und b reell sind.

Zeige, dass &Teilen = 6 ab 5 .

Wir versuchen nun, anderen Arten von Exponenten eine Bedeutung zu geben. Das Grundprinzip, das wir durchgehend verwenden, besteht darin, eine Bedeutung zu wählen, die mit den oben genannten Indexgesetzen übereinstimmt.

Deutlich = 1. Wendet man dagegen das Indexgesetz 2 an und ignoriert die Bedingung m > n ,
wir haben = 5 0 . Wenn die Indexgesetze in dieser Situation angewendet werden sollen, müssen wir 5 0 als 1 definieren.

Allgemeiner ausgedrückt, wenn a &ne 0 ist, definieren wir eine 0 = 1.

Beachten Sie, dass 0 0 nicht definiert ist. Es wird manchmal als unbestimmte Form bezeichnet.

(Die Erklärung dieses Begriffs ist, dass man Zahlenfolgen der Form ab finden kann, in denen sowohl a als auch b gegen 0 gehen, aber wo der Grenzwert der Folge nicht 1 ist und tatsächlich zu einer beliebigen Zahl gemacht werden kann, die wir wollen, durch eine geeignete Wahl von und Zum Beispiel die Terme der Folge

1, 0 , 0 , 0 ,…

sind alle gleich 1, während die Terme der Folge

0 1 , 0 , 0 , 0 , …

sind alle gleich 0. In jedem Fall nähert sich die Form der Terme 0 0 .

Eine ähnliche Situation ergibt sich mit und so der ausdruck wird auch oft als unbestimmte Form bezeichnet.

(3 a 2 b ) 0 = 1, vorausgesetzt, a und b sind nicht null.

Die Indexgesetze gelten auch für den Nullindex.

Wenn wir das Muster untersuchen, das sich bildet, wenn wir abnehmende Potenzen von 2 nehmen, sehen wir

2 4 = 16, 2 3 = 8, 2 2 = 2, 2 1 = 2, 2 0 = 1, 2 &minus1 = ?, 2 &minus2 = ?

Bei jedem Schritt, bei dem wir den Index verringern, wird die Zahl halbiert. Daher ist es sinnvoll zu definieren

2 &minus1 = .

Darüber hinaus definieren wir in Fortsetzung des Musters

2 &minus2 = = , 2 &minus3 = = , usw.

Diese Definitionen stehen im Einklang mit den Indexgesetzen.

Beispielsweise, = 2 3 &minus 4 = 2 &minus1 . Aber klar, = .

Ähnlich, = 2 2 &minus 4 = 2 &minus2 . aber klar, = = .

Wir können unsere Intuition bestätigen, indem wir und berücksichtigen.

Im Allgemeinen definieren wir für jede von Null verschiedene Zahl und positive ganze Zahl

ein &minus1 = und ein &minusn = .

Beachten Sie, dass alle früheren Indexgesetze auch für negative Indizes gelten.

ein 8 &minus2 B &minus3 C &Teilen &minus2

ein 8 &minus2 = B &minus3 = 3 =

C &Teilen &minus2 = &Teilen = &mal = a &minus4 b &minus7 =

  • &minus1 =
  • Wenn wir gebeten werden, einen Ausdruck mit Indizes zu vereinfachen, drücken wir unsere Antwort im Allgemeinen mit positiven Indizes aus.

Vereinfachen .


Für alle ganzen Zahlen m und n und von Null verschiedene Zahlen a und b gilt Folgendes.
Null-Exponent a 0 = 1
Negativer Exponent ein &minus =
Indexgesetz 1 Produkt der Leistung a m a n = a m + n
Indexgesetz 2 Quotient der Leistung a m &dividiere a n = = a m & minus n
Indexgesetz 3 Macht einer Macht ( a m ) n = a mn
Indexgesetz 4 Leistung eines Produkts ( ab ) n = a n b n
Indexgesetz 5 Potenz eines Quotienten n =

Wir erweitern nun unser Studium der Indizes um rationale oder gebrochene Exponenten. Können wir insbesondere 4 . eine Bedeutung geben? ?

Auch hier möchten wir, dass die etablierten Indexgesetze gelten. Wenn wir diesen Ausdruck quadrieren, möchten wir daher sagen:

4 2 = 4 &mal 2 = 4 1 = 4.

Damit definieren wir 4 sein = 2.

Allgemein definieren wir a = für jede positive Zahl a .

Beachten Sie, dass wir a . definiert haben die positive Quadratwurzel von Wir tun dies so, dass es nur einen Wert für a . gibt .

Mit einem ähnlichen Argument definieren wir aus Gründen der Konsistenz mit den Indexgesetzen a = ,
ein = , usw.

Im Allgemeinen definieren Sie für jede positive ganze Zahl n und eine positive Zahl a a = .

27 = 3, 16 = 2, ( a 6 ) = ein 4.

Unter der Annahme von Konsistenz mit dem Indexgesetz 3 können wir schreiben 8 2 = 8 &mal 2 = 8. Aber 8= = 2.
Also 8 = 4.

Die Notation 8 bedeutet "das Quadrat der Kubikwurzel von 8", das gleich 4 ist.

Beachten Sie, dass wir dies auch als „Würfelwurzel des Quadrats von 8“ hätten ausdrücken können, die natürlich auch gleich 4 ist, d. h.:

  • 8 = = = 4 oder,
  • 8 = () 2 = 2 2 = 4.

Im Allgemeinen, wenn eine positive Zahl und positive ganze Zahlen sind, definieren wir

ein = ein p oder .

In Worten, wir ziehen die q-te Wurzel von a und potenzieren sie mit p.

Finden ein 16 B

ein 16 = () 3 = 2 3 = 8 B = 3 = 3 = .

Negative Bruchindizes

Schließlich können wir die Indizes um negative rationale Faktoren erweitern. Beispielsweise,

8 &minus = 8 &minus1 = = .

ein = .

Zeigen Sie, dass: 32 &minus = , &Minus = , 2 x &minus 5 = .

Wir haben nun a x für jede positive reelle Zahl a und jede rationale Zahl x definiert.
Es bleibt zu prüfen, ob die Indexgesetze auch in diesem allgemeineren Fall gelten. Wir werden nicht auf die Details eingehen. Das folgende Beispiel skizziert, wie dies in einem bestimmten Fall geschehen könnte.

In dieser Übung müssen Sie beweisen, dass das erste Indexgesetz für negative ganzzahlige Exponenten und auch für gebrochene Exponenten gilt.

ein Durch Schreiben von &minus p a &minus q as &mal , zeige, dass a &minus p a &minus q = a &minus p &minus q as, wobei p , q positive ganze Zahlen sind.

B Indem Sie schreiben, dass a &mal a Als ein &mal a = m &mal n , zeige, dass a &mal a = a + .

Es ist möglich, ähnliche Beweise zu führen, dass die anderen Indexgesetze auch für negative ganze und rationale Exponenten gelten.

Die wissenschaftliche Notation oder Standardform ist eine bequeme Möglichkeit, sehr große oder sehr kleine Zahlen darzustellen. Es ermöglicht das einfache Aufzeichnen und Lesen der Zahlen.

Der Stern Sirius ist ungefähr 75 684 000 000 000 km von der Sonne entfernt. Wir können diese Zahl kompakter darstellen, indem wir den Dezimalpunkt direkt nach der ersten Ziffer ungleich Null verschieben und mit einer geeigneten Zehnerpotenz multiplizieren, um die ursprüngliche Zahl wiederherzustellen. Daher

75 684 000 000 000 = 7.5684 &mal 10 13 .

Wenn wir den Dezimalpunkt 13 Stellen nach rechts verschieben und die notwendigen Nullen einfügen, kommen wir wieder auf die Zahl zurück, mit der wir begonnen haben.

Ähnlich können wir mit sehr kleinen Zahlen mit negativen Indizes umgehen. Ein Angström (Å) ist beispielsweise eine Längeneinheit von 0,000 000 000 1 m, was dem ungefähren Durchmesser eines kleinen Atoms entspricht. Wir setzen den Dezimalpunkt direkt nach der ersten Ziffer ungleich Null und multiplizieren mit der entsprechenden Zehnerpotenz. Daher,

0,000 000 000 1 = 1 &mal 10 &minus10 . So beträgt zum Beispiel der Durchmesser eines Uranatoms 0,000 000 000 38 m, was wir als 3,8 x 10 &minus 10 m oder 3,8 Å schreiben können.

Die Indexgesetze können verwendet werden, um Operationen an Zahlen durchzuführen, die in wissenschaftlicher Notation geschrieben sind.

Vereinfachen Sie (3,14 &mal 10 &minus2 ) 3 &dividieren Sie (7.1 &mal 10 &minus8) und geben Sie Ihre Antwort auf eine Dezimalstelle richtig an.

(3,14 × 10 &minus2 ) 3 ÷ (7.1 × 10 &minus8 ) = (3.14 3 ÷ 7.1) × 10 2 &asymp 4,36044 × 10 2 &asymp 436,0 auf 1 Dezimalstelle korrekt. In diesem Fall könnten wir dies als Antwort belassen oder, falls erforderlich, als 4,36 × 10 2 schreiben.

Signifikante Zahlen in wissenschaftlicher Notation

Wissenschaftler und Ingenieure verwenden routinemäßig die wissenschaftliche Notation, um große und kleine Zahlen darzustellen. Da es sich bei allen Messungen ohnehin um Näherungswerte handelt, werden die Zahlen im Allgemeinen auf eine bestimmte Anzahl signifikanter Stellen gerundet. Somit könnte eine Zahl wie etwa 2,1789 × 10 7 als ungefähr 2,18 × 10 7 geschrieben werden. Dies entspricht dem Runden der Zahl 21 789 000 auf 21 800 000, also auf drei signifikante Stellen.

Eine gegebene Zahl kann mit unterschiedlichen Zahlen signifikanter Zahlen ausgedrückt werden. Zum Beispiel hat 3.1 2 signifikante Zahlen, 3.14 hat 3 signifikante Zahlen und so weiter. Um eine Zahl auf eine erforderliche Anzahl signifikanter Ziffern zu runden, schreiben Sie die Zahl zunächst in wissenschaftlicher Schreibweise und identifizieren Sie die letzte erforderliche signifikante Ziffer. Lassen Sie die Ziffer dann in Ruhe, wenn die nächste Ziffer 0, 1, 2, 3 oder 4 ist (in diesem Fall wird die ursprüngliche Zahl abgerundet) und erhöhen Sie die letzte Ziffer um eins, wenn die nächste Ziffer 5, 6, 7, 8 oder . ist 9 (in diesem Fall wird die ursprüngliche Zahl aufgerundet.)

Verwenden Sie einen Taschenrechner, um zu finden korrekt auf 4 signifikante Stellen.

Wir können den Rechner verwenden, um Näherungswerte von für verschiedene rationale Werte von 2 x zu finden. Wir stellen diese in eine Tabelle und können dann die geordneten Paare (x, 2 x) plotten, um einen Graphen von y = 2 x zu erzeugen.

Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Funktion y = 2 x und verwenden Sie sie, um ihren Graphen zu zeichnen.

Es folgt eine Tabelle mit ungefähren Werten:

x -3 &minus2,5 &minus2 &minus1,5 &minus1 &minus0,5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
ja 0.125 0.177 0.25 0.354 0.5 0.707 1 1.414 2 2.828 4 5.657 8

Beachten Sie, dass wir, obwohl wir „die Punkte verbunden“ haben, um eine glatte Kurve zu bilden, 2 x zu diesem Zeitpunkt keine Bedeutung gegeben haben, wenn eine irrationale Zahl ist. Wir können dieses Problem zum jetzigen Zeitpunkt nicht lösen.

Wir beachten die folgenden Merkmale des Graphen.

  • die Grafik nimmt zu.
  • die Werte steigen ziemlich schnell, wenn wir uns entlang der Achse bewegen.
  • auf der linken Seite nähert sich der Graph der Achse, erreicht sie jedoch nie.

Zeichnen Sie die Graphen von y = 3 x und y = 3 &minus x auf der Achsenmenge.

Eine Exponentialgleichung ist eine Gleichung, in der das Pronumeral als Index erscheint.
2 3 x = 64 ist beispielsweise eine Exponentialgleichung.

Wir können aus dem Graphen sehen, dass die Kurve y = 2 3 x und y = 64 die Gerade nur einmal zusammentreffen,
Es gibt also eine eindeutige Lösung der Exponentialgleichung.

Wir können die Gleichung wie folgt lösen:

ein 2 x = B 7 x = C 7 x = 1 D 81 x = 243

ein 2 x = B 7 x = C 7 x = 1 D 81 x = 243
seit, = 2 –3 seit, = 7 –3 seit, 7 0 = 1 seit, (3 4 ) x = 3 5
2 x = 2 –3 7 x = 7 –3 x = 0 4x = 5
x = –3 x = –3 x =

Wie lösen wir 2 x = 7? Die oben verwendete Methode funktioniert nicht ganz gleich, da wir nicht wissen, wie man 7 als Zweierpotenz ausdrückt.

Wir werden dieses Problem noch einmal aufgreifen, nachdem wir uns die Logarithmen angesehen haben.

Die Exponentialfunktion wird verwendet, um das Wachstum & abzüglich des allgemeinen Bevölkerungswachstums in der Biologie zu modellieren, aber dies kann auch das Wachstum von Geld über Zinseszinsen einschließen.

Angenommen, eine Kultur enthält anfangs 1000 Bakterien und diese Zahl verdoppelt sich
jede Stunde. Also nach

  • eine Stunde gibt es 1000 &mal 2 Bakterien
  • zwei Stunden gibt es 1000 &mal 2 &mal 2 = 1000 &mal 2 2 Bakterien
  • drei Stunden gibt es 1000 &mal 2 2 &mal 2 = 1000 &mal 2 3 Bakterien

Nach dem Muster, wenn nach Stunden Bakterien vorhanden sind, dann

N = 1000 &mal 2 t .

Dies ist ein Beispiel für exponentielles Wachstum.

Exponentialfunktionen können auch verwendet werden, um den radioaktiven Zerfall zu modellieren. Radioaktivität ist ein natürliches Phänomen, bei dem Atome eines Elements „zerfallen“, um Atome eines anderen Elements zu bilden, indem sie ein Teilchen wie ein Alphateilchen emittieren.

Eine Probe einer radioaktiven Substanz mit einer Anfangsmasse von 100 g zerfällt im Laufe der Zeit und halbiert sich stündlich. Finden Sie eine Formel für die Menge, M g, die nach Stunden vorhanden ist.

Nach 1 Stunde beträgt die Masse 100 &mal g.

Nach 2 Stunden ist die Masse 100 &mal &mal = 100 &mal 2gr.

Nach 3 Stunden ist die Masse 100 &mal 2 Mal = 100 &mal 3gr.

Nach diesem Muster gibt es

M = 100 &mal t g der radioaktiven Substanz nach Stunden.

Eine Tabelle wird unten erstellt und die Grafik wird gezeichnet.

T 0 1 2 3 4 5 6
m 100 50 25 12.5 6.25 3.13 1.56

Dies ist ein Beispiel für exponentiellen Zerfall.

Exponentialformeln haben die Form

P = A × B t , wobei A , B positive Konstanten sind. Ob

ein Vervollständigen Sie die Wertetabelle.

B Zeichnen Sie den Graphen von y gegen t.

C Finden Sie den Wert y , korrekt auf 2 Dezimalstellen, wenn:

ich t = 0,5 ii t = 2,5 iii t = 2.8

Es ist einfach, Werte von x zu finden, so dass 2 x = 2 oder 2 x = 4 oder 2 x = 32 ist. Andererseits, wie lösen wir die Gleichung 2 x = 10 ?

Probleme wie diese treten ganz natürlich auf, wenn wir mit exponentiellem Wachstum und Verfall zu tun haben.
Im obigen Beispiel haben wir die Formel für die Masse einer radioaktiven Substanz mit M = 100 &mal . angegeben tg.

Wenn wir die Frage stellen, wann ist die Masse beispielsweise 30 g, dann müssen wir lösen t = 0.3 um die Zeit zu finden.

So wie das Ziehen einer Quadratwurzel der umgekehrte Vorgang zum Quadrieren ist, ist das Ziehen eines Logarithmus der umgekehrte Vorgang zum Ziehen einer Potenz.

Wegen 2 3 = 8 sagen wir log 2 8 = 3. Das heißt, der Logarithmus ist der Index in der Gleichung
2 3 = 8. Wir lesen dies als „der Logarithmus von 8 zur Basis 2 ist 3.“.

Um den Logarithmus einer Zahl a zur Basis b zu bestimmen, stellen wir uns die Frage ‚Auf welche Potenz hebe ich b, um a zu erhalten?

Um zum Beispiel log 3 243 zu finden, erinnern wir uns daran, dass 243 = 3 5 also log 3 243 = 5 ist.

Ein Ansatz besteht darin, zu schreiben, log 8 4 = x und so 4 = 8 x . Da beide Zahlen Zweierpotenzen sind, können wir 2 2 = (2 3 ) x = 2 3 x schreiben.

Gleichsetzende Indizes, 3 x = 2, also x = .

Also log 8 4 = .

(In der Tat, 8 = () 2 = 2 2 = 4.)

Die Beziehung zwischen Logarithmen und Potenzen ist:

x = log a y bedeutet y = a x .

Die Zahl wird Basis genannt und muss eine positive Zahl sein. Da a x positiv ist, können wir nur den Logarithmus einer positiven Zahl finden. Wir gehen von nun an davon aus, dass beide positiv sind, aber auch negativ sein können.

ein log 2 32 = x B log 8 = x C 2 x = 5 . protokollieren
D Log x 16 = 2 e log 36 x = &minus F Log 7 x = 2

Hinweis: Die folgenden Identitäten veranschaulichen die umgekehrten Operationen von Potenzen und Logarithmen. Diese müssen von den Studierenden richtig verstanden werden.

2 log 2 x = x .

Allgemeiner ausgedrückt gilt für a > 0, x > 0,

a log a x = x .

In der anderen Richtung gilt für jedes x ,

log a 2 x = x .

log a a x = x .

Es ist wichtig, dass die Schüler diese beiden allgemeinen Identitäten richtig verstehen.

Logarithmen zur Basis 10

Sie werden feststellen, dass in allen obigen Beispielen die Werte der Logarithmen rationale Zahlen waren, die nicht allzu schwer zu finden waren.Angenommen, wir wollten den Wert von wissen
log 10 7? Wir suchen also eine Zahl x mit 7 = 10 x .

Wir können dem Graphen von y = 10 x entnehmen, dass eine solche Zahl zwischen 0 und 1 liegt.

Der Rechner kann einen ungefähren Wert dieser Zahl angeben. Im Modul Die reellen Zahlen wird gezeigt, dass Zahlen wie diese irrational sind.

Somit meldet der Rechner auf 4 Dezimalstellen log 10 7 &asymp 0,8451.

Angenommen, für den Rest dieses Abschnitts ist > 0.

seit einer 0 = 1 haben wir eine 1 = 0.

In ähnlicher Weise haben wir seit a 1 = a log a a = 1 .

Angenommen, x = a c und y = a d, so dass a x = c und a y = d loggen.

Dann /> xy = a c &mal a d
= ein c+d /> (nach Indexgesetz 1)
So log ein xy = log a a c+d
= c + d
= protokolliere ein x + protokolliere ein y

Gesetz 3 Wenn x und y positive Zahlen sind, dann log a = log a x &minus log a y.
Das heißt, der Logarithmus eines Quatienten ist die Differenz ihrer Logarithmen.

Angenommen, x = a c und y = a d, so dass a x = c und a y = d loggen.

Dann =
= ein c&minusd (nach Indexgesetz 2)
So einloggen = ein c&minusd protokollieren
= c &minus d
= protokolliere ein x + protokolliere ein y

Dies folgt aus Logarithmusgesetz 3 und Logarithmusgesetz 1.

loggen Sie sich ein = log a 1 &minus log a x (Logarithmusgesetz 3)
= 0 &minus log a x (Logarithmusgesetz 1)
= &minuslog ein x, wie erforderlich.

Dies folgt aus Logarithmusgesetz 3 und Logarithmusgesetz 1.

log a ( x n ) = log a (( a c ) n )
= log a ( a cn ) (nach Indexgesetz 3)
= n log a x, wie erforderlich.

Gegeben log 7 2 = &alpha , log 7 3 = &beta und log 7 5 = />, ausgedrückt in &alpha , &beta und />:

ein log 7 6 B log 7 6 C log 7

ein log 7 6 = log 7 (2 &mal 3) B log 7 6 = log 7 (3 &mal 25)
= log 7 2 + log 7 3 = log 7 3 + log 7 52
= &alpha + &beta = &beta + 2
C log 7 = log 7 15 &minus log 7 2
= log 7 (3 &mal 5) &minus log 7 2
= log 7 3 + log 7 5 &minus log 7 2
= &beta + &minus &alpha

ein log b x 2 + log b x 3 &minus log b x 4 B log k + log k

C log b ( x 2 &minus a 2 ) &minus log b ( x &minus a ), wenn x > a

Einige Taschenrechner sind in der Lage, den Logarithmus einer Zahl zu jeder positiven Basis zu berechnen. Dies ist jedoch nicht universell, und es gibt viele Gelegenheiten, bei denen wir von einer Basis zur anderen wechseln möchten.

Um zum Beispiel log 3 7 zu finden, können wir von der Basis 3 auf die Basis 10 wechseln, wo der Taschenrechner verwendet werden kann. Die Änderung der Basis ist auch in der Infinitesimalrechnung wichtig, wo Logarithmen zur Basis verwendet werden.

Die Änderung der Basisformel besagt, dass:

log b c =

Hier ist ein Beweis für dieses Ergebnis.

Sei x = log b c , dann c = b x .

Logarithmen zur Basis beider Seiten, dann

log a c = log a b x = x log a b (unter Verwendung von Logarithmusgesetz 5).

Daher x = . Das ist log b c = .

Berechne log 7 8 auf vier Dezimalstellen.

Ändern der Formularbasis 7 in die Basis 10.

log 7 8 =
&asym. 1.0686

Zur Kontrolle mit dem Taschenrechner 7 1.0686 &asymp 7.9997.

Wie bei Exponentialfunktionen können wir den Graphen von y = log 2 x zeichnen, indem wir eine Wertetabelle erstellen.

x 1 2 4 8 16
ja &minus4 &minus3 &minus2 &minus1 0 1 2 3 4

Wir beachten die folgenden Merkmale des Diagramms:

  • der Graph befindet sich rechts von der y-Achse, da nur Logarithmen positiver Zahlen definiert sind.
  • wenn sie klein wird, werden die y-Werte zu großen negativen Zahlen. Somit nähert sich der Graph der negativen Achse, berührt sie jedoch nicht. Wir sagen, dass die negative y-Achse
    eine Asymptote des Graphen.
  • der x-Achsenabschnitt ist (1, 0) da log 2 1 = 0.
  • der Graph hat keinen y-Achsenabschnitt.
  • da x große positive Werte annimmt, wird log 2 x groß.

Logarithmen und Exponentialfunktionen sind Inverse zueinander. Ihre Graphen sind Spiegelungen voneinander in der Linie y = x .

Dies wird in den folgenden Grafiken von y = log 3 x und y = 3 x veranschaulicht.

Verwenden Sie eine Tabelle, um auf demselben Diagramm die Graphen von y = log 2 x und y = log 3 x zu zeichnen. Was können Sie über die Graphen sagen, wenn x < 1 und x > 1 wann ?

Verwenden von Logarithmen zum Lösen von Exponentialgleichungen

Wir schließen dieses Modul mit einigen weiteren Anwendungen von Exponential- und Logarithmen ab.

Zu Beginn des Moduls haben wir die Frage nach der Lösung von 2 x = 7 gestellt. Wenn wir einen Taschenrechner haben, der Logarithmen zur Basis 2 findet, können wir diese Gleichung lösen, indem wir sie mit Logarithmen umschreiben,

Also x = log 2 7 &asymp 2.807 (korrekt auf 3 Dez.-Stellen.)

Wenn der Taschenrechner nur Logarithmen zur Basis 10 hat, können wir die Änderung der Basisform verwenden, um zu schreiben

log 2 7 = &asymp 2.807 (korrigiert auf 3 Dez.-Stellen.)

Alternativ können wir die Logarithmen zur Basis 10 beider Seiten nehmen und die Logarithmusgesetze verwenden.

2 x = 7

log 10 2 x = log 10 7

x log 10 2 = log 10 7 (unter Verwendung des Logarithmengesetzes)

Daher ist x = &asymp 2.807 (korrigiert auf 3 Dez.-Stellen.)

(Beachten Sie, dass dies der Änderung der Basis von 7 auf 10 entspricht.)

Die folgenden Zahlen überschreiten die Kapazität Ihres Rechners. Entscheiden Sie durch Logarithmen jeder Zahl zur Basis 10, welche größer ist, 10234 51 oder 10233 52 .

Eine Bakterienkultur hat zunächst eine Masse von einem Gramm und verdreifacht sich stündlich.
Wie lange dauert es, um eine Masse von 20 Gramm zu erreichen?

Sei y Gramm die Masse der Kultur nach t Stunden, dann y = 3 t .

Wenn y = 20 dann 20 = 3 t .
log 10 20 = log 10 3 t
log 10 20 = nicht log 10 3
T =
&asymptom 2.727 Stunden
&asymptom 2 Stunden 44 Minuten

Es dauert ungefähr 2 Stunden 44 Minuten, bis die Masse 20 Gramm erreicht.

Im Modul Verbraucherarithmetik die Zinseszinsformel

A n = P (1 + R ) n

wurde eingeführt, wobei A n der Betrag war, den eine Anfangsinvestition P nach n Zeiteinheiten wert ist, wenn sie mit einem Zinssatz R aufgezinst wird.

In vielen Anwendungen dieser Formel müssen wir den Wert von n finden. Dies kann mit Logarithmen erfolgen.

Am 1. Januar 2008 werden 50.000 USD zu 8 % pro Jahr investiert. Zinsen werden nur am 1. Januar eines jeden Jahres gezahlt. Nach wie vielen Jahren lohnt sich die Investition:

ein $75 000 B $100 000?

a a A n = P (1 + R ) n A n = 75 000, P = 50 000 und R = 0,08

Logarithmus von beiden Seiten.

log 10 = n log 10 (1.08) n

Am Ende des sechsten Jahres wird die Investition einen Wert von 50 000 USD (1,08) 5 = 73 343,72 USD haben.

Am Ende des fünften Jahres wird die Investition einen Wert von 50 000 USD (1,08) 5 = 73 466,40 USD haben.

Die Investition wird am Ende des sechsten Jahres mehr als 75.000 US-Dollar wert sein.
b A n = P (1 + R ) n

A n = 100 000, P = 50 000 und R = 0,08

Logarithmus von beiden Seiten.

Am Ende des zehnten Jahres wird sich die Investition lohnen
$50 000(1.08) 10 = $107 946.25.

Am Ende des neunten Jahres wird sich die Investition lohnen
$50 000(1.08) 10 = $99 950.23.

Die Investition wird am Ende des sechsten Jahres mehr als 100.000 US-Dollar wert sein.

Ein Betrag von 100.000 USD wird zu einem jährlichen Zinssatz von 6,25% angelegt. Wenn die Zinsen jährlich berechnet werden, wie lange dauert es, bis die Investition 150.000 USD erreicht hat? Was ist die Antwort, wenn die Zinsen monatlich gezahlt werden?

In diesem Modul haben wir die Bedeutung von a b auf alle rationalen Werte von b erweitert.
Es ist daher angebracht, zu fragen "Was ist mit einem Ausdruck wie 3" ?’

Kann dem eine Bedeutung beigemessen werden? Immerhin, wenn Sie dies in einen Taschenrechner eingeben, erhalten Sie eine Antwort &minus, aber was bedeutet die Antwort eigentlich? Der Rechner ist natürlich nur eine Näherung durch eine rationale Zahl. Wenn wir uns also nähern um 1.414 = , dies würde die Zahl 3 ergeben , die die in diesem Modul übliche Bedeutung hat. Sein Wert beträgt ungefähr 4,7277 (auf vier Dezimalstellen genau). Dies entspricht jedoch nicht 3 , aber es gibt uns einen Hinweis, wie wir dieser Zahl eine Bedeutung geben könnten.

Eine Möglichkeit, 3 . zu definieren ist, es sich als die Grenze einer Folge von Näherungen vorzustellen, von denen jede erhalten wird, indem man immer bessere Näherungen an und verfahren wie oben. Daher

3 1,4 &asym. 4,6555, 3 1,41 &asym. 4,7070, 3 1,414 &asym. 4,7277 und so weiter.

Dies ist natürlich nicht so befriedigend wie die Definitionen, die wir für rationale Potenzen gegeben haben.

Eine alternative, aber äquivalente Definition für reelle Potenzen kann nach Einführung der Exponentialfunktion und des natürlichen Logarithmus gegeben werden. Im Allgemeinen können wir für jede reelle Zahl b und positive reelle Zahl a a b als e b log a definieren, wobei der Logarithmus zur Basis e ist. Also, 3 = e log 3 &asymp 4.7288 auf 4 Dezimalstellen korrekt.) Beachten Sie, dass dies mit dem Logarithmusgesetz a log b = log a b und auch mit der inversen Beziehung zwischen Exponential- und Logarithmen e log x = x übereinstimmt.

Diese Definition wird auch für Exponenten mit komplexen Zahlen verwendet, aber dort wird die Situation komplizierter und sollte am besten bis zum Studium im Tertiärbereich belassen werden.

Der natürliche Logarithmus und die Zahl e

In der höheren Mathematik entsteht der sogenannte natürliche Logarithmus log e x , auch geschrieben als ln x oder einfach als log x , wenn wir versuchen, den Ausdruck zu integrieren .

Daher dt = log e x.

Die Basis dieses Logarithmus ist die irrationale Zahl e &asymp 2.71828.

Die Funktionen y = e x und y = log e x sind inverse Funktionen, so dass e log x = x für x > 0 und log e e x = x für alle reellen x gilt. Diese Funktionen sind von zentraler Bedeutung für das Verständnis des exponentiellen Wachstums (verwendet zur Modellierung von Populationen und Zinseszinsen) sowie des radioaktiven Zerfalls und anderer physikalischer Prozesse. So entstehen Chemie, Biologie, Wirtschaft, Finanzen und Statistik sowie Physik und Ingenieurwissenschaften.

Die Indexnotation ist vergleichsweise modern. Der griechische Schriftsteller Diophantus benutzte das Symbol, um das zu bezeichnen, was wir x 2 und K für x 3 nennen würden. In der mittelalterlichen Algebra wurden stattdessen Q und C verwendet. Selbst im 16. Jahrhundert schrieb man noch xxx für x 3, aber unsere moderne Schreibweise wird in Maclaurins Abhandlung über Algebra (1779) deutlich.

Obwohl Logarithmen konzeptionell in einigen der frühen indischen Mathematik implizit enthalten sind, war es John Napiers Buch Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio aus dem Jahr 1614, das das Konzept und den Namen offiziell einführte. (Das Wort ist eine Kombination aus den griechischen Wörtern logos und arithmos und bedeutet somit wörtlich Zahlenrechnung.

Bis zum Aufkommen des modernen Taschenrechners wurden Logarithmen ausgiebig verwendet, um bei komplizierten arithmetischen Berechnungen zu helfen. Diese Verwendung wurde in Schulen bis in die frühen 1980er Jahre fortgesetzt, als billige wissenschaftliche Taschenrechner verfügbar wurden.

Um zum Beispiel 23,14 x 0,4526 zu finden, wurde jede Zahl in ihre Logarithmusbasis 10 umgewandelt (dafür gab es Tabellen und Methoden). Diese wurden addiert und das Ergebnis mit sogenannten Anti-Logarithmus-Tabellen mit 10 potenziert, um die gewünschte Antwort zu erhalten. Diese Methode nutzte das Indexgesetz log 10 xy = log 10 x + log 10 y aus.

Um eine Division wie 23,14 ÷ 0,4526 durchzuführen, wurden die Logarithmen subtrahiert.

Um zum Beispiel zu finden, der Logarithmus zur Basis 10 von 463,2 wurde durch 5 geteilt und dann wurde die Tabelle der Anti-Logarithmen angewendet, um die Antwort zu finden. Dies nutzte das Ergebnis,
log 10 = log 10 a + log 10 ein.

Zusätzlich standen Logarithmustabellen der trigonometrischen Verhältnisse zur Verfügung, um trigonometrische Berechnungen zu unterstützen.

Logarithmen zur Basis 10 werden in der Chemie noch immer ausgiebig verwendet. Das Maß für den Säuregehalt einer Lösung wird als pH-Wert bezeichnet. Die Säure ist mit der molaren Konzentration gelöster Hydroniumionen (H 3 O + ) verbunden, und der pH-Wert einer Lösung ist das Negative des Logarithmus dieser Menge. Die moderne Definition wurde 1924 eingeführt. Ein pH-Wert von 7, was einer molaren Konzentration von 10 &minus7 entspricht, wird als neutral bezeichnet und ist der pH-Wert von Wasser. Je näher an 0, desto saurer ist eine Lösung, während ein pH-Wert näher an 14 uns anzeigt, dass die Lösung alkalisch ist.

Wenn eine Datensammlung aufgetragen wird und der Wissenschaftler vermutet, dass zwischen den beiden aufgetragenen Größen eine exponentielle Beziehung besteht, kann ein Log-Plot verwendet werden.
Wenn also die beiden Größen x , y durch y = a x + b verbunden sind, wobei a und b unbekannt sind, dann log10 y = x log 10 a + b log 10 a . Wenn man m = log 10 a und c = b log 10 a schreibt, wird die Gleichung zu y = mx + c, was eine Gerade mit der Steigung m und dem y-Achsenabschnitt c darstellt. Daher sollte das Auftragen von log 10 y gegen x ungefähr eine gerade Linie ergeben, und die Werte von m, c und damit a, b sind relativ einfach abzuschätzen. Dies ist eine sehr leistungsfähige und clevere Anwendung von Logarithmen, die in der experimentellen Wissenschaft weit verbreitet ist.

=

a a &minusp a &minusq = a &mal a = a = a &minus( p + q ) = a &minus p &minus q
b a &mal a = a &mal a = m &mal n = m + n = a = a +

ein Vervollständigen Sie die Wertetabelle.

T 0 1 2 3
ja 20 60 180 540

B

C Mit einem Taschenrechner,

ich Wenn t = 0,5, y = 34,64 ii Wenn t = 2,5, y = 311,77

iii Wenn t = 2,8, y = 433,48

ein log 2 32 = x , entspricht 2 x = 32, also x = 5.

B log 8 = x , entspricht 8 x = , also x = &minus2.

C log 2 x = 5, entspricht 2 5 = x , also x = 32.

D log x 16 = 2, entspricht x 2 = 16, also x = 4.

e log 36 x = &minus , entspricht 36 &minus = x , also x = .

F log 7 x = 2, entspricht 7 2 = x , also x = 49.

log b x 2 + log b x 3 &minus log b x 4

= 2log b x + 3log b x &minus 4log b x

log k + log k

= log k &mal

log b ( x 2 &minus a 2 ) &minus log b ( x &minus a )

= log b

= log b

log 3 x < log 2 x für x >1 und log 2 x < log 3 x für x < 1.

Das Projekt „Improving Mathematics Education in Schools“ (TIMES) 2009-2011 wurde vom australischen Ministerium für Bildung, Beschäftigung und Arbeitsbeziehungen finanziert.

Die hier geäußerten Ansichten sind die des Autors und geben nicht unbedingt die Ansichten des australischen Ministeriums für Bildung, Beschäftigung und Arbeitsbeziehungen wieder.


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  • Überprüfen Sie zu Beginn der Lektion die grundlegenden Eigenschaften nach Bedarf.
  • Halten Sie vor Beginn jedes Gruppenübungsblocks eine recht traditionelle Kurzvorlesung vor, die die Begründung des Schrittes betont und auf relevante Eigenschaften verweist und entsprechende Beispiele anführt. Alle Vorträge finden Sie hier sowie unter den unten stehenden Links. Lassen Sie die Schüler Notizen machen! Die von mir angebotenen Vorträge sind im PDF- und auch im MS-Word-Format - die MS-Word-Dateien können nach Ihren Wünschen geändert werden!
  • Lassen Sie die Schüler in ihre Gruppen aufteilen. Stellen Sie die Probleme dieser Seite (oder Ihre eigenen Variationen) Schritt für Schritt vor und lassen Sie die Schüler sich in ihren Gruppen gegenseitig helfen. Haben jeder Schüler machen die Probleme. Gehen Sie durch den Raum und helfen Sie den Schülern nach Bedarf. Rechtfertigung von Stress, insbesondere zu Beginn des Kurses, in dem grundlegende algebraische Fähigkeiten überprüft werden.
  • Bonusprobleme sind schön, um die Dinge zu beleben. Ich mache dies, indem ich der ersten Gruppe, die die richtige Antwort erhält, 1 Punkt zusätzliches Guthaben pro Mitglied zuteile. Und wenn eine falsche Antwort gegeben wird, wird diese Gruppe disqualifiziert. Es ist also eine spielähnliche Atmosphäre. Wenn Sie feststellen, dass einige Studenten im Voraus auf diese Site kommen, schreiben Sie mir eine E-Mail. und ich schicke Ihnen die Adresse, wo es alternative Videoprobleme gibt.
  • Als zusätzliche Zusatzleistung (oder nicht Zusatzleistung) können Sie am Ende der Gruppenarbeit eine Aufgabe im Wert von 1 Pkt. posten. Dieses Problem sollte ähnlich der Gruppenarbeit sein - so können aufmerksame Schüler ausgezeichnet werden!

HINWEIS ZUR BEGRÜNDUNG MIT EIGENSCHAFTEN: Ziel ist es, eine deduktive Problemlösungsmethode zu vermitteln, die als Grundlage für höhere Mathematik und/oder mathematische Beweise dient. Außerdem hilft diese Methode dabei, die Schüler mit wichtigen Eigenschaften vertraut zu machen. Hier ist ein Beispiel für eine abgeschlossene Gruppenübung.

Vorläufige Aktivitäten - Dies sind Eigenschaften und Vorgänge, die Sie vielleicht in den ersten Unterrichtsstunden überprüfen möchten. Sie sollten einige Beispiele ausführen, die diese Eigenschaften und Operationen veranschaulichen. Ich plane, diese in der ersten Woche zu behandeln, ohne die Schüler in Gruppen aufzuteilen.
Exponenten und Radikale
Factoring-Überprüfung
Rationale Ausdrücke

Gruppenaktivitäten Beachten Sie, dass Aktivitäten mit Filmen mit gekennzeichnet sind. Tätigkeiten, bei denen optional grafikfähige Taschenrechner eingesetzt werden können, sind mit gekennzeichnet.


Die Exponentialfunktion

Die Exponentialfunktion, geschrieben exp(x) oder e x , ist die Funktion, deren Ableitung gleich ihrer Gleichung ist. Mit anderen Worten:

Wegen dieser besonderen Eigenschaft ist die Exponentialfunktion in der Mathematik sehr wichtig und kommt häufig vor.
Wie die meisten Funktionen, denen Sie wahrscheinlich begegnen werden, hat die Exponentialfunktion eine inverse Funktion, die log . istex, oft geschrieben ln x (ausgesprochen 'log x').

Im Diagramm ist e x die rote Linie, lnx die grüne Linie und y = x die gelbe Linie. Beachten Sie, dass lnx und e x Spiegelungen voneinander in der Linie y = x sind.

Logarithmen sind eine andere Art, Indizes zu schreiben.

Wir wissen, dass 10 2 = 100
Daher loggen Sie sich ein10100 = 2

Sie können oft ln x und log x geschrieben sehen, ohne dass eine Basis angegeben ist. Es ist allgemein anerkannt, dass dies eine Abkürzung ist:

Protokoll10x = lgx oder logx (bei Taschenrechnern)

Denken Sie daran, dass e die Exponentialfunktion ist, gleich 2,71828…

Gesetze der Protokolle

Anhand der Eigenschaften von Indizes lässt sich zeigen, dass die folgenden Regeln für Logarithmen gelten:

Vereinfachen: log 2 + 2log 3 - log 6
= log 2 + log 3² - log 6
= log 2 + log 9 - log 6
= log (2 × 9) - log 6
= log 18 - log 6
= Baumstamm (18/6)
= log 3

Hinweis: Im obigen Beispiel habe ich nicht geschrieben, welche Basis jeder der Logarithmen hat. Dies liegt daran, dass es für die Gesetze der Logarithmen keine Rolle spielt, was die Basis ist, solange alle Logs auf derselben Basis liegen.

Ein weiteres wichtiges Protokollgesetz lautet wie folgt. Dies ist eine sehr nützliche Methode, um die Basis zu ändern (in dieser Formel ist die Basis tut Gegenstand!). Die meisten Taschenrechner können nur ln x und log berechnen10x (normalerweise nur als "log" auf der Schaltfläche geschrieben), sodass diese Formel sehr nützlich sein kann.

Der natürliche Logarithmus

ln x wird auch als natürlicher Logarithmus bezeichnet. Die Ableitung von ln x ist 1/x.
Daraus folgt, dass das Integral von 1/x ln x + c ist.

Gleichungen lösen

Wenn uns Gleichungen gegeben werden, die Exponentialfunktionen oder den natürlichen Logarithmus beinhalten, denken Sie daran, dass Sie den Exponentialwert beider Seiten der Gleichung nehmen können, um den Logarithmus zu entfernen, oder den natürlichen Logarithmus beider Seiten verwenden, um den Exponentialwert zu entfernen.

Dann ist ln(0.5) = ln(e x )
ln(0,5) = x

Logarithmen können verwendet werden, um Gleichungen der Form a x = b zu lösen, indem "Logarithmen von beiden Seiten genommen" werden.

Dann log(2 x ) = log(6) [wir dürfen so Logs von beiden Seiten nehmen]

x log(2) = log(6) [unter Verwendung eines der "Gesetze der Protokolle"]

Beachten Sie, dass wir nicht gesagt haben, was die Basis ist. Dies liegt daran, dass es keine Rolle spielt, solange beide gleich sind.