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4: Brüche und ganze Zahlen - Mathematik


4: Brüche und ganze Zahlen - Mathematik

Ganzzahlen

Das ?Satz aller ganzen Zahlen? wird oft so dargestellt:

Die Punkte an jedem Ende des Satzes bedeuten, dass Sie in beide Richtungen zählen können. Das Set kann auch als a . dargestellt werden Zahlenreihe:

Die Pfeile an jedem Ende des Zahlenstrahls bedeuten, dass Sie in beide Richtungen zählen können.

Ist es eine ganze Zahl?

Ganzzahlen sind ganze Zahlen und ihre negativen Gegensätze. Daher können diese Zahlen niemals ganze Zahlen sein:

Addieren und Subtrahieren von ganzen Zahlen

Der Blick auf einen Zahlenstrahl kann Ihnen helfen, wenn Sie ganze Zahlen addieren oder subtrahieren müssen.

Ob Sie zwei ganze Zahlen addieren oder subtrahieren, Beginnen Sie mit dem Zahlenstrahl, um die erste Zahl zu finden. Legen Sie Ihren Finger darauf. Nehmen wir an, die erste Zahl ist 3.

    Dann, wenn du es bist Hinzufügen einer positiven Zahl, Bewegen Sie Ihren Finger um so viele Stellen nach rechts, wie der Wert dieser Zahl ist. Wenn Sie beispielsweise 4 hinzufügen, bewegen Sie Ihren Finger um 4 Stellen nach rechts.

Hier sind zwei Regeln, die man sich merken sollte:

    Das Addieren einer negativen Zahl ist wie das Subtrahieren einer positiven Zahl.

Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen

wenn du zwei positive Zahlen multiplizieren oder dividieren, das Ergebnis wird positiv sein.

wenn du eine positive Zahl mit einer negativen Zahl multiplizieren oder dividieren, das Ergebnis wird negativ sein.

wenn du zwei negative Zahlen multiplizieren oder dividieren, das Ergebnis wird positiv sein? Die beiden Negativen heben sich gegenseitig auf.

Integer-Regeln: Ein Video



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4: Brüche und ganze Zahlen - Mathematik

In dieser Einheit werden wir die Division verwenden, um Einheitssätze und Verhältnisse in proportionalen Beziehungen zu finden. Wir schätzen und lösen Anwendungsprobleme mit proportionalen Zusammenhängen. Wir werden kritische Attribute verwenden, um Symmetrie zu definieren und Verhältnis und Proportionen in maßstabsgetreuen Zeichnungen und maßstabsgetreuen Modellen zu verwenden.

In dieser Einheit lernen wir:

1) Ein Einheitssatz ist ein Satz, dessen Nenner 1 ist, wenn er als Bruch geschrieben wird.
2) Eine durchschnittliche Geschwindigkeit ist das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Zeit. Das Verhältnis ist eine Rate, da die zu vergleichenden Einheiten unterschiedlich sind.
3) Wenn zwei Verhältnisse äquivalent sind, nennt man sie proportional, oder im Verhältnis.
4) Sie können ein äquivalentes Verhältnis finden, indem Sie beide Terme eines Verhältnisses mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren.
5) Sie können Kreuzprodukte verwenden, um Proportionen mit Variablen zu lösen.
6) Ähnliche Figuren sind Figuren, die die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben.
7) Die indirekte Messung ist eine Methode, bei der Proportionen verwendet werden, um eine unbekannte Länge oder Entfernung in ähnlichen Figuren zu finden.
8) Sie können die Längen verwenden oder Höhen, um den Skalierungsfaktor zu finden.
9) Waagen können die gleichen Einheiten oder unterschiedliche Einheiten verwenden.
10) Sowohl maßstabsgetreue Zeichnungen als auch maßstabsgetreue Modelle können kleiner oder größer als die Objekte sein, die sie darstellen.


Arithmetik - Lektionen und Ressourcen

Benötigen Sie Hilfe beim Erlernen oder Lehren von Arithmetik und grundlegenden Operationen mit Zahlen? Oder möchten Sie Ihre mathematischen Grundkenntnisse auffrischen, um sich auf ein anderes Studium vorzubereiten?

Beliebte Themen in Arithmetik
Zahlen Brüche Dezimalstellen
Ganzzahlen Wortprobleme Mathe-Arbeitsblätter

Arithmetik ist wahrscheinlich eines der ersten Fächer, die Sie in der Schule gelernt haben. Es befasst sich mit Zahlen und numerischer Berechnung. Es ist die Grundlage für das Studium anderer Zweige der Mathematik.

Zu den Themen der Arithmetik gehören ganze Zahlen, Stellenwerte, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Faktorisierung, Brüche, Dezimalzahlen, Exponenten, wissenschaftliche Notationen, Prozente, ganze Zahlen, Proportionen und Wortaufgaben.

Kostenlose Arithmetik-Arbeitsblätter sind verfügbar, um einige der folgenden Themen zu üben, zum Beispiel Zahlen, Stellenwerte, Geld, Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, PEMDAS, Brüche, Dezimalzahlen und Prozente.

Arithmetische Themen

Für weitere Übungen zum Subtrahieren, Multiplizieren und Dividieren können Sie unsere interaktive Mathe-Zone besuchen, in der Sie Arbeitsblätter nach Ihren Bedürfnissen erstellen und online benoten lassen können.


4: Brüche und ganze Zahlen - Mathematik

In dieser Einheit werden wir die Division verwenden, um Einheitssätze und Verhältnisse in proportionalen Beziehungen zu finden. Wir schätzen und lösen Anwendungsprobleme mit proportionalen Zusammenhängen. Wir werden kritische Attribute verwenden, um Symmetrie zu definieren und Verhältnis und Proportionen in maßstabsgetreuen Zeichnungen und maßstabsgetreuen Modellen zu verwenden.

In dieser Einheit lernen wir:

1) Ein Einheitssatz ist ein Satz, dessen Nenner 1 ist, wenn er als Bruch geschrieben wird.
2) Eine durchschnittliche Geschwindigkeit ist das Verhältnis der zurückgelegten Strecke zur Zeit. Das Verhältnis ist eine Rate, da die zu vergleichenden Einheiten unterschiedlich sind.
3) Wenn zwei Verhältnisse äquivalent sind, nennt man sie proportional, oder im Verhältnis.
4) Sie können ein äquivalentes Verhältnis finden, indem Sie beide Terme eines Verhältnisses mit derselben Zahl multiplizieren oder dividieren.
5) Sie können Kreuzprodukte verwenden, um Proportionen mit Variablen zu lösen.
6) Ähnliche Figuren sind Figuren, die die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben.
7) Die indirekte Messung ist eine Methode, bei der Proportionen verwendet werden, um eine unbekannte Länge oder Entfernung in ähnlichen Figuren zu finden.
8) Sie können die Längen verwenden oder Höhen, um den Skalierungsfaktor zu finden.
9) Waagen können die gleichen Einheiten oder unterschiedliche Einheiten verwenden.
10) Sowohl maßstabsgetreue Zeichnungen als auch maßstabsgetreue Modelle können kleiner oder größer als die Objekte sein, die sie darstellen.


Erkunden Sie die Fraktionsarbeitsblätter im Detail

Öffnen Sie die Tür zum Verständnis von Brüchen für die frühen Lernenden vom Kindergarten bis zur 3. Klasse mit unseren Hälften, Dritteln und Vierteln! Kinderfreundliche Illustrationen, spannende Übungen und praktische Aktivitäten ermöglichen es Kindern, alles über Hälften, Drittel und Viertel aufzusaugen.

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Was ist einfacher zu interpretieren, 1 1/4 oder 5/4? Einige Schüler finden es vielleicht schwieriger, mit gemischten Zahlen zu arbeiten als unechte Brüche, für andere werden unechte Brüche einfacher. Bereiten Sie die Konvertierung zwischen den beiden mit diesen PDF-Arbeitsblättern vor!

Interaktive Arbeitsblätter, die Bruchstreifen, Tortenmodell, visuelle Grafiken und mehr verwenden.

Diese Brucharbeitsblätter auf dem Zahlenstrahl helfen Kindern, die Brüche visuell zu verstehen.

Addiere gleiche, ungleiche, richtige, unechte und gemischte Brüche. Sonderfraktionen wie Einheits- und Kehrwertbruch enthalten.

Kostenlose Subtraktionsarbeitsblätter enthalten alle Arten von Brüchen, die mit verschiedenen Fähigkeitsstufen erstellt werden.

Unterscheiden Sie das Multiplizieren von Brüchen mit ganzen Zahlen durch wiederholte Addition, Arrays, Zahlengeradenmodelle, gleiche Gruppen und Flächenmodelle, das Multiplizieren von zwei und drei Brüchen, das Multiplizieren von Brüchen mit gemischten Zahlen usw. lösen eine Reihe von Bruchmultiplikationswortaufgaben.

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Lernen Sie, wie Brüche im wirklichen Leben angewendet und verwendet werden, indem Sie diese Wortaufgaben üben.

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Was ist größer, 1 2/5 oder 2 5/6? Vergleichen Sie solche gemischten Zahlen sofort und fehlerfrei mit einer hingebungsvollen Übung unserer Arbeitsblätter zum Vergleich von gemischten Zahlen!

Ordne die Brüche entweder aufsteigend oder absteigend an.

Runde die Brüche auf die nächste ganze Zahl oder auf die nächste Hälfte. Zahlenzeilen sind ebenfalls enthalten.


Zahlen darstellen und vergleichen (N)

Teil A (Lektionen 1–7)
Zu den Themen gehören das Darstellen und Vergleichen positiver rationaler Zahlen (Ganzzahlen, Brüche und Dezimalzahlen), das Finden von Vielfachen und Faktoren positiver Ganzzahlen sowie das Bestimmen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (LCM) und des größten gemeinsamen Faktors (GCF) eines Paares positiver Ganzzahlen.

Teil B (Lektionen 8-12)
Zu den Themen gehören die Darstellung negativer Brüche und negativer Dezimalzahlen, das Vergleichen der Werte von zwei beliebigen rationalen Zahlen, die exponentielle Notation und die Verwendung von Faktorbäumen und Primfaktorzerlegungen, um den LCM oder den GCF eines Paares positiver Ganzzahlen zu ermitteln.

In dieser Lektion werden drei verschiedene Zahlensysteme untersucht: ganze Zahlen, ganze Zahlen und rationale Zahlen. Verbindungen zwischen verschiedenen Zahlensystemen werden hervorgehoben, um die Grundlage für Vergleiche und Operationen zu schaffen.

Mathematiker verwenden häufig den Zahlenstrahl, um Probleme zu lösen. In dieser Lektion überprüfen wir den Zahlenstrahl und konzentrieren uns auf das Zeichnen von Brüchen.

In der Mathematik sind Symbole für die Kommunikation wichtig. In dieser Lektion gehen wir auf die Symbole „größer als“ und „kleiner als“ ein. Darüber hinaus stellen wir zwei Techniken vor, die verwendet werden, um Brüche zu vergleichen.

Rationale Zahlen können als Brüche oder Dezimalzahlen geschrieben werden. In dieser Lektion besprechen wir die Zusammenhänge zwischen Bruchdarstellungen und Dezimaldarstellungen, insbesondere beim Zeichnen von Zahlen auf dem Zahlenstrahl.

In dieser Lektion sehen wir uns an, wie eine Liste von Vielfachen einer ganzen Zahl erstellt wird. Mit unseren Listen identifizieren wir gemeinsame Vielfache von zwei ganzen Zahlen und achten dabei besonders auf das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM).

Faktoren, wie Vielfache, haben mit Multiplikation zu tun. In dieser Lektion lösen wir Probleme, indem wir Faktoren von positiven ganzen Zahlen identifizieren.

Als Erweiterung der Lektion zu den Faktoren vergleichen wir die Faktoren von zwei positiven ganzen Zahlen, um insbesondere gemeinsame Faktoren zu finden. Wir sind oft daran interessiert, den größten gemeinsamen Faktor (GCF) zu identifizieren. Wir schließen mit der Lösung von Wortaufgaben, bei denen wir Faktoren auf verschiedene Kontexte anwenden müssen.

Bruchteile können positiv oder negativ sein. Ähnlich wie negative ganze Zahlen liegen negative Brüche links von Null auf dem Zahlenstrahl. In dieser Lektion zeichnen wir negative Brüche auf dem Zahlenstrahl auf, um uns zu helfen, die Werte dieser Zahlen zu verstehen und zu vergleichen.

Rationale Zahlen können als Brüche oder Dezimalzahlen geschrieben werden. In dieser Lektion vergleichen wir negative Dezimalzahlen, indem wir sie auf dem Zahlenstrahl darstellen. Wir vergleichen dann negative Brüche mit negativen Dezimalzahlen. Die dezimalen Äquivalente gebräuchlicher Brüche werden ermittelt und Strategien zur Umrechnung eines Bruchs in eine Dezimalzahl aufgezeigt. Schließlich lernen wir, wie man zwei beliebige rationale Zahlen vergleicht.

In dieser Lektion lernen wir, wiederholte Multiplikationen in Exponentialschreibweise darzustellen. Die Exponentialschreibweise wird dann verwendet, um ganze Zahlen in erweiterter Form mit Zehnerpotenzen darzustellen. Quadratzahlen und Würfelzahlen werden untersucht.

In dieser Lektion betrachten wir Primzahlen und zusammengesetzte Zahlen. Wir lernen, eine zusammengesetzte Zahl als Produkt ihrer Primfaktoren mit einem Faktorbaum darzustellen.

Primfaktorzerlegungen können verwendet werden, um den größten gemeinsamen Faktor (GCF) und das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) eines Paares von positiven ganzen Zahlen zu bestimmen. Wir untersuchen, wie dies möglich ist, und verwenden diese Strategien, um Textaufgaben zu lösen.

Operationen (N)

Teil A (Lektionen 1-1)
Zu den Themen gehören das Addieren und Subtrahieren von rationalen Zahlen, das Multiplizieren und Dividieren einer ganzen Zahl mit einer positiven rationalen Zahl sowie das Auswerten von Ausdrücken anhand der Reihenfolge der Operationen.

Teil B (Lektionen 12–19)
Zu den Themen gehören das Multiplizieren und Dividieren von ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen, die Approximation von Quadratwurzeln von positiven ganzen Zahlen und das Auswerten von Ausdrücken, die Exponenten enthalten, unter Verwendung der Reihenfolge der Operationen.

Wir beginnen unsere Diskussion über die Addition, indem wir untersuchen, wie Zahlenlinien verwendet werden können, um die Addition darzustellen. In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf die Addition von ganzen Zahlen, insbesondere darauf, wie positive und negative Zahlen mithilfe eines Zahlenstrahls addiert werden können.

Wir können ganze Zahlen addieren, ohne einen Taschenrechner oder einen Zahlenstrahl zu verwenden. In dieser Lektion erweitern wir unsere vorherige Diskussion über die ganzzahlige Addition und untersuchen Strategien für die mentale Durchführung ganzer Additionen.

In dieser Lektion werden äquivalente Brüche untersucht, um darauf vorzubereiten, wann Brüche addiert und subtrahiert werden müssen. Bei der Suche nach äquivalenten Brüchen haben Sie die Möglichkeit, das Finden gemeinsamer Vielfacher, die Verwendung von unechten Brüchen und gemischten Zahlen, das Zeichnen auf der Zahlengeraden und den Vergleich rationaler Zahlen zu üben.

In dieser Lektion bauen wir auf unserem Verständnis der Addition auf, um rationale Zahlen einzubeziehen. Dazu besuchen wir die Zahlengerade und integrieren unsere Strategien zum Zeichnen rationaler Zahlen, um ihre Summe zu finden.

In dieser Lektion werden Strategien für die Addition von Brüchen ohne Verwendung eines Zahlenstrahls vorgestellt. Wir verwenden Zahlengeraden als Motivation, um einen gemeinsamen Nenner zu finden, dann gehen wir dazu über, Brüche ohne visuelle Hilfsmittel zu addieren.

Wir beginnen unsere Diskussion der Subtraktion, indem wir uns auf die ganzen Zahlen konzentrieren. In dieser Lektion überprüfen wir die Operation der Subtraktion, zeigen die Subtraktion auf dem Zahlenstrahl und lernen, wie man ganze Zahlen mit und ohne Zahlenstrahl subtrahiert.

In Fortsetzung unserer Diskussion über die Subtraktion untersuchen wir in dieser Lektion Strategien zum Subtrahieren von Brüchen. Unser Ziel ist es, äquivalente Brüche zu verwenden, um Subtraktionsprobleme ohne die Verwendung eines Taschenrechners oder des Zahlenstrahls zu lösen.

In dieser Lektion werden Strategien zum Multiplizieren ganzer Zahlen mit Brüchen und Dezimalzahlen untersucht. Wir lösen Beispiele und heben Regeln hervor, um Berechnungen ohne Taschenrechner durchzuführen.

Multiplikation ist die Operation, die zum Skalieren oder Ändern der Größe einer Menge verwendet wird. In dieser Lektion untersuchen wir Skalierungsfaktoren und diskutieren, warum wir über Multiplikation in Bezug auf Skalierung nachdenken müssen.

In dieser Lektion lernen wir, wie man Berechnungen löst, bei denen ganze Zahlen durch Brüche und Dezimalzahlen geteilt werden. Anhand von Beispielen zeigen wir Regeln für die Durchführung dieser Berechnungen ohne Taschenrechner auf.

Die Reihenfolge der Operationen wird überprüft und verwendet, um Berechnungen mit ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen durchzuführen. Darüber hinaus untersuchen wir die Bedeutung von Klammern, wenn sie benötigt werden und wann sie aus einem Ausdruck entfernt werden können. Wir schließen mit der Verwendung der Verteilungseigenschaft, um die Berechnungen zu vereinfachen.

In dieser Lektion lernen wir, wie man ganze Zahlen im Kopf multipliziert. Insbesondere untersuchen wir, wie sich das Vorzeichen jeder ganzen Zahl in einem Produkt auf das Vorzeichen des Produkts auswirkt.

Die Division ist die entgegengesetzte Operation der Multiplikation, und daher werden die Strategien, die wir zum Dividieren ganzer Zahlen lernen, denen ähnlich, die wir bei der Multiplikation ganzer Zahlen verwendet haben. In dieser Lektion untersuchen wir, wie sich die Vorzeichen von Dividende und Divisor auf das Vorzeichen des Quotienten auswirken.

Wir beginnen diese Lektion, indem wir uns ansehen, wie man einen Bruch mit einer ganzen Zahl multipliziert. Dann erweitern wir unser Verständnis um die Multiplikation von zwei beliebigen Brüchen. Darüber hinaus liegt ein gewisser Fokus auf der Schätzung der Werte von Produkten.

In dieser Lektion lernen wir, wie man eine ganze Zahl durch einen Bruch teilt. Wir untersuchen dann, wie wir diese Strategie anpassen können, um einen Bruch durch einen anderen Bruch zu dividieren, ohne einen Taschenrechner zu verwenden.

Wir beginnen diese Lektion, indem wir die Multiplikation von Dezimalzahlen mit Zehnerpotenzen untersuchen, einschließlich einer Diskussion der wissenschaftlichen Notation. Anschließend lernen wir, wie man zwei Dezimalzahlen multipliziert, indem man erstens die Zahlen in Brüche umwandelt und zweitens mit den Dezimalzahlen selbst arbeitet.

In dieser Lektion entwickeln wir Strategien zur Auswertung von Divisionsausdrücken, die ganze Zahlen und Dezimalzahlen beinhalten. Wir erweitern diese Strategien auch, um die Division mit zwei Dezimalzahlen zu diskutieren.

Diese Lektion konzentriert sich auf die Beziehung zwischen dem Quadrieren einer Zahl und dem Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl. Wir diskutieren perfekte Quadrate und untersuchen, wie man die Quadratwurzel einer positiven ganzen Zahl, die kein perfektes Quadrat ist, approximiert.

In dieser Lektion gehen wir noch einmal auf die Reihenfolge der Operationen für die Arithmetik ein. Wir lösen Probleme mit ganzen Zahlen, Brüchen und Dezimalzahlen, wobei wir den Exponenten besondere Aufmerksamkeit schenken.

Verhältnisse, Raten und Proportionen (N)

Teil A (Lektionen 1–5)
Zu den Themen gehören das Schreiben und Interpretieren von Verhältnissen, das Finden äquivalenter Verhältnisse, die Umrechnung zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozenten, die Umrechnung zwischen Maßeinheiten und das Lösen von Problemen mit Einheitsraten.

Teil B (Lektionen 6–10)
Zu den Themen gehören das Erkennen proportionaler Situationen in Textaufgaben, Tabellen und Grafiken verbindende Einheiten beziehen sich auf proportionale Beziehungen und deren Darstellungen in Tabellen, Grafiken und Gleichungen sowie gebrochene Prozentsätze und Prozentsätze größer als 100 Prozent.

In dieser Lektion wird die Bedeutung eines Verhältnisses besprochen und erklärt, wie man Verhältniswerte schreibt und interpretiert. Wir schließen mit der Lösung von Problemen, bei denen ein Verhältnis auf große Mengen angewendet werden muss.

Wir beginnen unsere Diskussion über äquivalente Verhältnisse mit Diagrammen und untersuchen, wie zwei Verhältnisse die gleiche Beziehung zwischen zwei Größen darstellen können. Dann entwickeln wir Strategien, um äquivalente Verhältnisse numerisch zu finden. Diese Lektion endet mit der Lösung von Verhältnisproblemen.

In dieser Lektion definieren wir einen Prozentwert und untersuchen die Beziehungen zwischen Brüchen, Dezimalzahlen und Prozentzahlen. Wir schließen mit der Lösung einiger Wortaufgaben mit Prozentangaben.

In dieser Lektion werden Strategien zum Umrechnen zwischen verschiedenen metrischen Einheiten für Länge, Masse und Kapazität untersucht. Anschließend wenden wir diese Strategien an, um zwischen Zeit- und Flächeneinheiten umzurechnen.

In dieser Lektion lernen wir Raten kennen, bei denen es sich um Vergleiche zweier Messungen mit unterschiedlichen Einheiten handelt. Wir konzentrieren uns darauf, wie Einheitssätze geschrieben werden und wie Einheitssätze verwendet werden können, um Wortprobleme zu lösen. Ebenfalls enthalten sind einige Beispiele zur Umrechnung eines Kurses in verschiedene Einheiten.

In dieser Lektion untersuchen wir den Begriff der Proportionalität anhand von Beispielen wie Bildvergrößerung und Farbmischung. Wir erforschen proportionale Beziehungen zwischen zwei Größen und lernen, zu erkennen, wann eine Situation proportional ist und wann nicht.

In dieser Lektion untersuchen wir, wie man eine proportionale Beziehung zwischen zwei Größen erkennt, wenn die Daten in einer Tabelle oder einem Diagramm angezeigt werden.

Das Verhältnis zwischen anteiligen Mengen wird oft in Form eines Einheitssatzes angegeben. In dieser Lektion untersuchen wir, wie sich diese Einheitsrate in einer Gleichung, einer Tabelle oder einem Diagramm manifestiert, das die Beziehung zwischen den beiden Größen darstellt.

In dieser Lektion besprechen wir Bruchteile von Prozent und Prozente größer als 100 Prozent. Ein gewisser Fokus wird darauf gelegt, wo Prozentsätze im Alltag vorkommen und wie Schätzungen bei der Arbeit mit Prozentsätzen hilfreich sein können.

Proportionale Situationen können auf viele Arten dargestellt werden, einschließlich: Einheitssätze, Tabellen, Grafiken oder Gleichungen. In dieser Lektion üben wir den Vergleich proportionaler Beziehungen, die auf unterschiedliche Weise dargestellt werden.

Halbierende und Eigenschaften von Formen (G)

Teil A (Lektionen 1–6)
Zu den Themen gehören Konstruktionen von Winkelhalbierenden und Mittelsenkrechten sowie die verschiedenen Eigenschaften von Dreiecken, Vierecken und allgemeineren Polygonen. Insbesondere werden verschiedene Polygone basierend auf ihren Seitenlängen und Winkelmaßen klassifiziert.

Teil B (Lektionen 7–10)
Zu den Themen gehören vierseitige Diagonalen, Kreisterminologie und -konstruktion sowie Anwendungen von Kreisen in der realen Welt.

Diese Lektion führt in die Terminologie und Notation grundlegender geometrischer Objekte ein, wobei der Schwerpunkt auf der schriftlichen und mündlichen Kommunikation liegt.

Wir überprüfen, wie Dreiecke nach Seitenlängen und Winkelmaßen klassifiziert werden. Anschließend untersuchen wir die Seitenwinkelbeziehung in Dreiecken. Diese Lektion endet mit einer Anwendung von Dreieckseigenschaften, um einen 60-Grad-Winkel mit einem Kompass zu konstruieren.

Ein Zirkel und ein Lineal können verwendet werden, um einen Winkel perfekt zu halbieren, ohne jemals eine Messung durchzuführen. In dieser Lektion besprechen wir die Eigenschaften von Winkelhalbierenden und wie man diese Eigenschaften verwendet, um eine Winkelhalbierende eines bestimmten Winkels nur mit einem Zirkel und einem Lineal zu konstruieren. Wir erweitern unsere Diskussion auf Dreiecke und untersuchen die Beziehung der drei Winkelhalbierenden in jedem Dreieck.

In Fortsetzung unserer Diskussion über Konstruktionen betrachten wir die Eigenschaften von Mittelsenkrechten und wie man diese Eigenschaften verwendet, um eine Mittelsenkrechte eines gegebenen Liniensegments nur mit einem Zirkel und einem Lineal zu konstruieren. Wir erweitern unsere Diskussion auf Dreiecke und untersuchen die Beziehung der drei Mittelsenkrechten in jedem Dreieck.

In dieser Lektion betrachten wir die Eigenschaften von sechs speziellen Vierecken. Wir untersuchen die Ähnlichkeiten und Unterschiede zwischen den einzelnen und verwenden ein Diagramm, um alle von uns diskutierten Beziehungen darzustellen.

Ausgehend von Vierecken diskutieren wir in dieser Lektion die Eigenschaften allgemeiner Polygone. Insbesondere untersuchen wir die Summe der Innenwinkel in einem Polygon und wie Polygone mit Prismen verbunden sind. Diese Lektion endet mit einer Erweiterung, die untersucht, wie Prismen geschnitten werden können, um verschiedene polygonale Flächen zu erzeugen.

In dieser Lektion untersuchen wir verschiedene Eigenschaften der Diagonalen in Vierecken. Insbesondere betrachten wir, wann sich die Diagonalen halbieren, senkrecht aufeinander stehen oder gleich lang sind. Diese Eigenschaften verwenden wir dann, um Vierecke zu klassifizieren.

Diese Lektion beginnt mit einer Diskussion darüber, wie man einen Kreis beschreibt. Da sich Kreise stark von Polygonen unterscheiden, führen wir eine neue Terminologie für das Studium von Kreisen ein. Insbesondere definieren wir Mittelpunkt, Radius, Durchmesser und Umfang eines Kreises. Wir untersuchen auch, wie man Polygone verwendet, um den Umfang und die von einem Kreis eingeschlossene Fläche abzuschätzen.

In dieser Lektion besprechen wir Strategien zum Zeichnen genauer Kreise. Konkret betrachten wir das Zeichnen von Kreisen, wenn ein Mittelpunkt und ein Radius, ein Mittelpunkt und ein Punkt, die auf dem Kreis liegen müssen, sowie zwei oder mehr Punkte, die alle auf dem Kreis liegen müssen, gegeben sind. Wir diskutieren, wo größere Kreise in der realen Welt auftreten und mit welchen Werkzeugen und Strategien sie erstellt werden können.

In dieser Lektion nehmen wir die Anwendung von Kreisen jenseits des Rads und diskutieren die Rolle von Kreisen bei der Konstruktion von Kreisverkehren, die Verwendung von Kreisen bei der Konstruktion von Strukturen und die Interaktion von Kreisen mit unterschiedlichen Durchmessern in Maschinen, die Zahnräder verwenden.

Fläche, Volumen und Winkel (G)

Teil A (Lektionen 1–5)
Zu den Themen gehören die Berechnung der Fläche von Parallelogrammen, Dreiecken, Trapezen und zusammengesetzten Formen, die Berechnung der Oberfläche, des Volumens und der Kapazität von Prismen und die Darstellung von 3D-Objekten auf unterschiedliche Weise.

Teil B (Lektionen 6–10)
Zu den Themen gehören die Berechnung des Umfangs und der Fläche von Kreisen, die Berechnung des Volumens und der Oberfläche von Zylindern und die Eigenschaften von Winkeln, die durch sich schneidende Linien einschließlich paralleler Linien und Transversalen gebildet werden.

In dieser Lektion werden die Definition der Fläche und die Berechnung der Fläche eines Rechtecks ​​erläutert. Anschließend entwickeln und wenden wir die Formeln zur Bestimmung der Flächen von Parallelogrammen, Dreiecken und Trapezen an.

In Fortsetzung unserer Diskussion über die Fläche untersuchen wir, wie die Fläche zusammengesetzter Formen zerlegt und berechnet wird.

In dieser Lektion lernen wir, wie man die Oberfläche eines 3D-Volumenkörpers mit einem Netz visualisiert. Anschließend berechnen wir die Oberfläche von Prismen und lösen Wortaufgaben mit Oberflächeninhalt.

In dieser Lektion entwickeln und wenden wir die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Prismas an. Wir setzen Volumen und Kapazität in Beziehung und untersuchen, wie zwischen Volumeneinheiten umgerechnet werden kann.

Wir beenden unsere Diskussion über Prismen und zusammengesetzte Körper, indem wir lernen, wie man sie auf dreieckigem Punktpapier zeichnet. Außerdem lernen wir, verschiedene 2D-Ansichten eines 3D-Objekts zu erkennen und zu skizzieren.

In dieser Lektion überprüfen wir den Umfang und die Fläche von Kreisen. Wir entwickeln und wenden dann die Formeln zur Berechnung des Umfangs und der Fläche eines Kreises bei gegebenem Radius (oder Durchmesser) des Kreises an.

Wir beginnen unsere Diskussion über Zylinder, indem wir Zylinder mit Prismen vergleichen. Wir entwickeln und wenden die Formel zur Bestimmung des Volumens eines Zylinders an und lösen Textaufgaben zum Volumen oder zum Fassungsvermögen eines Zylinders.

In Fortsetzung unserer Diskussion über Zylinder untersuchen wir in dieser Lektion das Netz eines Zylinders und verwenden das Netz, um eine Formel für die Oberfläche eines Zylinders zu entwickeln. Anschließend berechnen wir die Oberfläche von Zylindern und lösen Textaufgaben mit Oberflächenbereich.

In dieser Lektion beginnen wir unsere Diskussion über sich schneidende Linien, indem wir die Eigenschaften von Winkeln untersuchen, die von zwei sich schneidenden Linien gebildet werden. Wir definieren ergänzende, komplementäre und entgegengesetzte Winkel und verwenden Winkelbeziehungen, um unbekannte Winkel in einem Diagramm zu finden.

In Fortsetzung unserer Diskussion über sich schneidende Linien untersuchen wir in dieser Lektion die Winkel, die von parallelen Linien und Transversalen gebildet werden. Wir definieren entsprechende, alternative und co-innere Winkel und verwenden Winkelbeziehungen, um in einem Diagramm nach unbekannten Winkeln aufzulösen.

Transformationen von Formen (G)

Teil A (Lektionen 1–7)
Zu den Themen gehören die Kongruenz von Polygonen, Dreieckskongruenzregeln, das Zeichnen von Punkten auf der kartesischen Ebene, das Bild eines Polygons auf der kartesischen Ebene unter Translationen, Reflexionen und/oder Drehungen auf der kartesischen Ebene und Tessellationen.

Teil B (Lektionen 8-11)
Zu den Themen gehören Ähnlichkeit von Polygonen, Dreiecksähnlichkeitsregeln, Dehnungen von Polygonen und indirekte Messungen.

In dieser Lektion überprüfen wir die Definition der Kongruenz und gleichen die Seiten und Winkel von zwei kongruenten Polygonen ab. Wir werfen auch einen Blick auf Umfang und Fläche kongruenter Polygone.

In Fortsetzung unserer Diskussion über Kongruenz untersuchen wir in dieser Lektion Kongruenzregeln für Dreiecke. Unser Ziel ist es zu zeigen, dass zwei Dreiecke kongruent sind, indem wir nur drei entsprechende Teile zusammenbringen.

In dieser Lektion wird die kartesische Ebene eingeführt. Wir untersuchen, wie das kartesische Koordinatensystem konstruiert wird, wie Punkte auf der kartesischen Ebene aufgetragen werden und wie die vertikalen/horizontalen Abstände zwischen zwei Punkten auf der kartesischen Ebene untersucht werden.

In dieser Lektion beginnen wir unsere Diskussion über Transformationen, indem wir die Übersetzungen von Polygonen untersuchen. Wir lernen, das Bild eines Polygons unter einer Übersetzung zu zeichnen und beziehen die Definition der Kongruenz auf Übersetzungen.

Wir setzen unsere Diskussion über Transformationen fort und untersuchen nun Reflexionen von Polygonen. In dieser Lektion lernen wir, das Bild eines Polygons unter einer Spiegelung an der kartesischen Ebene grafisch darzustellen und erklären, wie das Bild zum ursprünglichen Polygon kongruent ist.

In dieser Lektion lernen wir, wie man das Bild eines Polygons unter einer Drehung grafisch darstellt. Wir kombinieren auch alle drei Transformationen und zeichnen das Bild eines Polygons unter einer Translation, Reflexion und Rotation auf der kartesischen Ebene.

Diese Lektion beschäftigt sich mit der Kunst der Tessellationen. Wir definieren eine Tesselation und untersuchen, welche Polygone die Ebene tesselieren können. Dann untersuchen wir mithilfe von Polygonen, von denen wir wissen, dass sie die Ebene tessellieren, wie man interessante Designs erstellt, die tessellieren.

In der Geometrie wird das Wort „ähnlich“ verwendet, um anzuzeigen, wenn zwei Objekte die gleiche Form, aber nicht unbedingt die gleiche Größe haben. In dieser Lektion lernen wir die genaue Definition ähnlicher Polygone, untersuchen den Skalierungsfaktor zwischen zwei ähnlichen Polygonen und lernen, wie Sie den Skalierungsfaktor verwenden, um Probleme zu lösen.

Jedes Dreieck hat drei Winkel und drei Seiten, aber es stellt sich heraus, dass wir nicht die Maße jedes einzelnen kennen müssen, um die Form des Dreiecks zu bestimmen. In dieser Lektion untersuchen wir die Mindestbedingungen, die erforderlich sind, um zu überprüfen, ob zwei Dreiecke ähnlich sind. Wir lernen die Ähnlichkeitsregeln Winkel-Winkel, Seite-Seite-Seite und Seite-Winkel-Seite und üben die Konstruktion ähnlicher Dreiecke.

In dieser Lektion erfahren Sie, wie Sie ähnliche Polygone zeichnen, ohne Winkel zu messen. Dies kann durch Ausführen einer bestimmten Art von Transformation erfolgen: einer Dilatation.

Indirekte Messungen ermöglichen es uns, unbekannte Längen zu finden, ohne tatsächlich Liniensegmente zu messen. In dieser Lektion untersuchen wir, wie die Dreiecksähnlichkeitsregeln verwendet werden, um indirekte Messungen in verschiedenen Szenarien durchzuführen.

Muster darstellen (A)

Teil A (Lektionen 1–6)
Zu den Themen gehören die Darstellung von Sequenzen mithilfe von Tabellen, allgemeinen Begriffen und Grafiken, die Beschreibung von Mustern mithilfe von Variablen und Ausdrücken, das Erweitern von Sequenzen und das Lösen von Problemen mit unbekannten Größen.

Teil B (Lektionen 7-11)
Zu den Themen gehören äquivalente Ausdrücke für den allgemeinen Begriff einer Sequenz, das Beschreiben von Beziehungen und Mustern mithilfe von Gleichungen sowie abnehmende und natürlich vorkommende Sequenzen.

Wir beginnen unsere Diskussion der Musterbildung mit der Untersuchung von Zahlen- und Bildsequenzen. In dieser Lektion konzentrieren wir uns auf die Angabe der Musterregel, die beschreibt, wie der nächste Term in einer Sequenz generiert wird.

In dieser Lektion wird die Beziehung zwischen der Termnummer und dem Termwert untersucht, d. h. die Beziehung zwischen einem Term in einer Sequenz und seiner Position in dieser Sequenz. Dann verwenden wir den allgemeinen Term, um den Wert eines Termes in einer Folge mit seiner Termnummer zu ermitteln.

Wir finden weiterhin den allgemeinen Begriff der Folgen, wobei wir uns darauf konzentrieren, wie man eine Variable verwendet, um eine unbekannte Größe darzustellen. Diese Lektion endet mit einer Diskussion über die Ersetzung, in der wir Ausdrücke bewerten, indem wir eine Variable im allgemeinen Begriff durch eine Zahl ersetzen.

In dieser Lektion begegnen wir Sequenzen, die eine andere Art von Beziehung haben als die, die wir zuvor gesehen haben. Sie werden weiter üben, den Oberbegriff einer Sequenz zu finden und die Lektion mit einigen Anwendungsproblemen abschließen.

In dieser Lektion untersuchen wir, wie eine Sequenz grafisch dargestellt wird. Bei einer in einem Graphen dargestellten Folge verwenden wir dann den Graphen, um die Termzahl zu bestimmen, die einem gegebenen Term in der Folge entspricht. Schließlich üben Sie, wie Sie den allgemeinen Term einer Folge anhand ihres Graphen finden.

In dieser Lektion verbinden wir die verschiedenen Sequenzen, die wir bisher studiert haben. Wir verwenden weiterhin Tabellen, Grafiken und allgemeine Begriffe, um die Muster zu untersuchen, die Sequenzen darstellen.

In dieser Lektion sehen wir uns an, wie eine Sequenz mithilfe einer Tabelle, eines allgemeinen Begriffs oder eines Diagramms dargestellt wird. Der Schwerpunkt liegt auf der Bestimmung, welche dieser drei Darstellungen in einer bestimmten Problemlösungssituation am besten geeignet ist.

In dieser Lektion analysieren wir verschiedene Muster, die dieselbe Zahlenfolge erzeugen. Wir generieren verschiedene Ausdrücke, um die unterschiedlichen Interpretationen eines Musters darzustellen, und lernen, zu bestimmen, ob zwei Ausdrücke äquivalent sind.

In dieser Lektion lernen wir den Unterschied zwischen einem Ausdruck und einer Gleichung kennen und untersuchen, wie jeder bei der Beschreibung von Mustern verwendet werden kann. In particular, we use expressions for the general term of a sequence to form equations to represent relationships in sequences.

In this lesson, we define and explore decreasing sequences. You are challenged to consider how strategies for finding the general terms of increasing sequences can be used to write an equation representing a decreasing sequence. We also examine how some sequences of numbers that arise from physical situations cannot continue forever due to real-world boundaries.

In this lesson, we look beyond the typical sequences discussed in this unit and explore more naturally occurring sequences. The examples focus on popular puzzles and real-life growth and depreciation scenarios. We conclude by discussing, through an example, how apparent patterns can sometimes be deceiving.

Equations and the Pythagorean Theorem (A)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include using variables in expressions and equations, identifying and exploring linear relationships, and solving equations by inspection, trial and error, and using visual models.

Part B (Lessons 6–10)
Topics include solving equations using algebraic techniques, comparing the differences between evaluating an expression and solving an equation, exploring equations with multiple variables, and the Pythagorean Theorem.

In this lesson, we review variables and expressions. We discuss common notation for operations in algebra and practice translating English phrases to mathematical expressions.

In this lesson, we explore linear relationships between two quantities. We learn how to identify a linear relationship represented in a graph, in a table of values, or in an equation.

In this lesson, we use expressions and equations to model and solve real-world problems.

In this lesson, we use graphs and a visual model of weights on a scale to help solve equations. We also practise solving simple equations by inspection.

In this lesson, we practise solving equations by trial and error. These methods are applied to solve word problems and to solve equations that have fractional solutions.

In this lesson, we visualize equations using weights and a balanced scale. We solve equations with one operation using algebraic techniques and learn how to verify a solution of an equation.

We continue to solve equations using algebra by extending our strategies to solve equations with more than one operation.

This lesson explores the forwards and backwards movement through a math machine, and makes connections to the differences between evaluating an expression and solving an equation.

In this lesson, we find solutions to equations with two or more unknown quantities using trial and error and algebra.

In this lesson, we investigate the relationship between the side lengths of a right triangle. We will develop the Pythagorean Theorem and use it to solve for the missing side length of a right triangle.

Data Collection and Graphs (D)

Part A (Lessons 1–5)
Topics include different types of data population, sample and census bias in data collection arising from question wording, accepted answers and choice of sample group frequency and relative frequency tables and graphs reading and creating circle graphs choosing an appropriate graph type for a data set bias in data representation arising from the chosen graph type, graph structure and shape, and axis labels and scales.

Part B (Lessons 6–9)
Topics include organizing continuous data into stem-and-leaf plots and frequency tables with intervals as well as creating and reading histograms, and scatter plots.

In this lesson, we discuss different types of data including primary, secondary, categorical, and numerical data. We discuss the terms population, sample, and census and learn the difference between discrete and continuous numerical data.

In this lesson, we explore how data can be influenced by the wording of survey questions, the types of answers accepted in a survey, and the sample group that is being used in the survey to represent the population.

In this lesson, we learn how to organize data into frequency tables, calculate relative frequencies, and create and compare frequency and relative frequency graphs.

In this lesson, we focus on reading and creating circle graphs (or pie charts). We also discuss the appropriate graph types (circle, bar, or line) that can be used to display various data sets.

In this lesson, we explore how choices made while creating a graph can lead to a misrepresentation of the underlying data. In particular, we discuss how the type of graph, the structure and shape of the graph, or the axis labels and scales of the graph can potentially mislead the viewer.

In this lesson, we focus on working with continuous data sets. We explore different ways in which continuous data might be organized and graphed as well as discuss how to display paired data sets.

In this lesson, we study different ways to organize numerical data sets into intervals. We start by organizing data using stem-and-leaf plots and then exploring how frequency tables can be used if we divide the data into intervals. We discuss the advantages and disadvantages of these organization tools and practise choosing appropriate intervals for given data sets.

Standard bar graphs are not always an appropriate way to display a given numerical data set. A histogram is a similar type of graph in which numerical data are first grouped into ranges and then the frequency of each range is plotted using a bar. In this lesson, we discuss the features of a histogram and practise creating histograms from numerical data sets. We discuss what information might be gained or lost by presenting data in a histogram, and explore the effects of interval choice on the shape of the graph.

A scatter plot is a graph consisting of points which are formed using the values of two variable quantities. Scatter plots are used to display a relationship between the two variables in question. In this lesson, we discuss the features of a scatter plot and practise creating scatter plots from paired data sets. We discuss the roles that the two variables play in a scatter plot and explore what information might be revealed when we consider the shape formed by the data points as a whole.

Data Analysis (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include determining the mean, median, and mode of data sets studying the effects of adding data to a data set or removing data from a data set exploring the effect of outliers on the mean, median, and mode and practising drawing conclusions and making predictions from data in graphs.

Part B (Lessons 5–8)
Topics include interpreting data, histograms, and scatter plots and drawing conclusions from these graphs describing relationships between the two variables in a scatter plot estimating rates of change associated with scatter plots making predictions supported by the data in histograms and scatter plots and using appropriate measures of central tendency to compare two data sets.

It can be helpful to use a single value to summarize the information in a large data set. Measures of central tendency, like the mean, median, and mode, attempt to summarize data by measuring the middle (or centre) of a data set. In this lesson, we will learn how to determine the mean, median, and mode of different data sets and discuss how they can be used to analyze data.

In this lesson, we discuss the effects of adding data to (or removing data from) a data set. We focus on how this might affect the mean, median, and mode in different ways.

Some data sets contain outliers, which is data that is separated from the rest of the values in the data set. In this lesson, we discuss the effect of outliers on the mean, median, and mode of data sets, and explore different contexts in which one particular measure might be the most appropriate for summarizing the given data.

In this lesson, we practise interpreting the underlying data displayed in different graphs. We discuss the difference between statements that can be verified using the information in a graph and predictions that are supported by the trends in the graph but cannot be verified using the graph alone.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a histogram, and drawing conclusions supported by the histogram. We also explore how the interval size of a histogram can affect the conclusions drawn by someone who is analyzing the data in a histogram.

In this lesson, we practise identifying and interpreting information provided in a scatter plot, and drawing conclusions supported by the scatter plot. We explore how to identify and describe a general relationship that might exist between the two variables in a scatter plot.

Scatter plots are often used to identify and study a relationship between two variables. When the data points in a scatter plot seem to roughly follow the path of a line, we can use our knowledge of linear patterns to study the data and make predictions. In this lesson, we explore drawing lines that approximate the trend observed in a scatter plot, and estimating rates of change associated to scatter plots. We compare rates of change of different scatter plots and use them to make predictions.

In this lesson, we practise using measures of central tendency to compare two data sets, draw conclusions, and discuss factors that might influence which measure of central tendency is most appropriate for a particular comparison. We also explore how to compare data presented in histograms.

Probability (D)

Part A (Lessons 1–4)
Topics include random experiments, outcomes, and events calculating theoretical probabilities of single events comparing probabilities of different events independent events experimental probability and using probabilities to make predictions.

Part B (Lessons 5&ndash8)
Topics include comparing theoretical probabilities and experimental probabilities exploring how the number of trials impacts probability estimates complementary events setting up and running simulations using probability models and revisiting independent events.

A random experiment is an experiment where the set of possible outcomes is known but the actual outcome cannot be predicted with any certainty. Probability theory is the study of random experiments including different ways to measure the likelihood that a particular outcome or event will occur. In this lesson, we review the notion of probability and practise calculating theoretical probabilities of different events in various experiments.

Often random experiments include more than one object, for example, an experiment might include tossing a fair coin and rolling a standard die. In this lesson, we explore how to calculate the probability that two independent events occur, for example, the probability that a head is tossed and an even number is rolled. We define and identify independent events and use tables and tree diagrams to systematically list all outcomes of an experiment in order to calculate probabilities of various events.

Theoretical probability is a ratio that describes what we expect to happen in an experiment and experimental probability is a ratio that describes what actually happened during trials of an experiment. In this lesson, we calculate experimental probabilities of different events and explore how these compare to known theoretical probabilities. We also explore situations where experimentation is our only option for studying probabilities.

If you can determine the chances that a particular event will occur in an experiment, then you can use this information to make predictions involving this experiment. In this lesson, we use theoretical and experimental probabilities to make predictions. We discuss how reliable, or unreliable, our predictions might be and explore how we might design experiments in a way that makes our predictions as reliable as possible.

In this lesson, we compare theoretical probabilities to probability estimates found through experimentation, and explore how the number of trials performed in an experiment might impact probability estimates.

In this lesson, we define and explore the notion of complementary events. We learn how identifying complementary events can be helpful when calculating probabilities.

For many real-world situations involving probabilities, it can be difficult to collect data directly by running real experiments. In these situations, mathematicians often run simulations that resemble the real situation in terms of probabilities. In this lesson, we will learn how to choose appropriate models for simulations and practise running simulations to obtain probability estimates.

In this lesson, we review how to determine probabilities of independent events using lists, tables, and tree diagrams to display all possible outcomes. We also explore how to count the number of possible outcomes and favourable outcomes without explicitly writing them down. These skills can be helpful for experiments with too many outcomes to list efficiently.


Lesson 3-2: Add Integers

Apply and extend previous understandings of addition and subtraction to add and subtract rational numbers represent addition and subtraction on a horizontal or vertical number line diagram.

Describe situations in which opposite quantities combine to make 0. For

example, a hydrogen atom has 0 charge because its two constituents are

Understand p + q as the number located a distance |q| from p, in the positive or negative direction depending on whether q is positive or negative. Show that a number and its opposite have a sum of 0 (are additive inverses). Interpret sums of rational numbers by describing real- world contexts.

Understand subtraction of rational numbers as adding the additive inverse, p – q = p + (–q). Show that the distance between two rational numbers on the number line is the absolute value of their difference, and apply this principle in real-world contexts.

Apply properties of operations as strategies to add and subtract rational numbers.

Apply and extend previous understandings of multiplication and division and of fractions to multiply and divide rational numbers.

Understand that multiplication is extended from fractions to rational

numbers by requiring that operations continue to satisfy the properties of operations, particularly the distributive property, leading to products such as (–1)(–1) = 1 and the rules for multiplying signed numbers. Interpret products of rational numbers by describing real-world contexts.

Understand that integers can be divided, provided that the divisor is not zero, and every quotient of integers (with non-zero divisor) is a rational number. If p and q are integers, then –(p/q) = (–p)/q = p/(–q). Interpret quotients of rational numbers by describing real-world contexts.

Apply properties of operations as strategies to multiply and divide rational numbers.

Convert a rational number to a decimal using long division know that the decimal form of a rational number terminates in 0s or eventually repeats.

Solve real-world and mathematical problems involving the four operations with rational numbers.


The integer word is derived from the Latin word “Integer” which represents the whole. Integers are the positive, negative numbers, or zero. Integer values cannot be in decimals, fractions, percents, and we can perform various operations(arithmetic operations) like subtraction, addition, multiplication, division, etc. Examples of integers are 1,2,3,-4,-5, etc. Integers also include various sets like

Integers also include various sets like zero, whole numbers, natural numbers, additive inverses, etc. These are the subset of real numbers.
Example of integer set: -5,-3, -1, 0, 2, 5

Representation of Integers

As integers contain various numbers and sets and are the subset of real numbers, they are represented with the letter “Z”.

Types of numbers in Integers

  • Natural Numbers
  • Ganze Zahlen
  • Real Numbers
  • Rationale Zahlen
  • Irrationale Zahlen
  • Odd Numbers
  • Even Numbers

Integers Rules

  • The Sum of 2 positive integer numbers is an integer number
  • The Sum of 2 negative integer numbers is an integer number
  • Product of 2 positive integer numbers is an integer number
  • Product of 2 negative integer numbers is an integer number
  • Sum of an integer number and its inverse equals zero
  • Product of an integer number and its reciprocal equals 1

Addition of Integer Numbers

While adding 2 positive or negative integers(with the same sign), add the absolute values and note down the sum of those numbers with the sign provided with numbers.

While adding 2 integers with a different sign, subtract the absolute values and note down the difference of those numbers with the sign provided with numbers.

Subtraction of Integer Numbers

While subtracting we follow the rules of addition but change the 2nd number which is being subtracted.

Division and Multiplication of Integer Numbers

The rule is simple while dividing and multiplying 2 integer numbers.

  • If both the integers have the same sign, the result is positive.
  • If both the integers have a different sign, the result is negative.

Integer Properties

There are 7 properties of integers. The major properties are

1. Associative Property
2. Distributive Property
3. Closure Property
4. Commutative Property
5. Identity Property
6. Multiplicative Inverse Property
7. Additive Inverse Property

1. Associative Property

This property refers to grouping and rules can be applied for addition and multiplication.

Associative Property of Addition

Associative property enables the special feature of grouping the numbers in your own way and still, you get the same answer.

In the above example, if we consider the first equation you can solve it in either way i.e., First you take the difference of 4 and 2 and then add 3 to it or you can first add 2 and 3 and then subtract 4 from it. In both ways, you get a constant answer.

Associative Property of Multiplication

This property also refers to the same as the addition property. In whatever way you group numbers, you still get the same answer.

In the above example, you can solve it 2 ways and still find the same answer. First, you can multiply 2,4 and then multiply that with 3 or you can first multiply 4,3 and then multiply it with 4.

2. Distributive Property

The distributive property is used when the expression involving addition is then multiplied by a number. This property tells us that we can multiply first and then add or add first and multiply then. In both ways, the multiplication is distributed for all the terms in parentheses.

In the above example, we can first add 2 and 3, then multiply it with 4 or we can multiply 4 with 2 and 3 separately and then add it, still you get the same answer.

3. Closure Property

Closure property for addition or subtraction states that the sum or difference of any 2 integers will be an integer value.

a + b = integer
a x b = integer

The closure property for multiplication also states that the product of any two integer numbers is an integer number.

The closure property for division does not hold true that the division of two integers is an integer value.

(-3)/(-12)=1/4, which is not an integer

4. Commutative Property

The commutative property for addition states that when two integer numbers undergo swapping, the result remains unchanged.

a+b=b+a
a*b=b*a

The commutative property for multiplication also states the same that if two integers are swapped, the result remains unchanged.

The commutative property doesn’t hold true for subtraction.

5. Identity Property

Identity Property states that any number that is added with zero will give the same number. Zero is called additive identity.

a+0=a
a*1=a

The identity property for multiplication also states the same that the integer number multiplied by 1 will give the same number. 1 is called the additive identity.

6. Multiplicative Inverse Property

Consider “a” as an integer, then as per the multiplicative inverse property of integers,

Here, 1/a is the multiplicative inverse of integer a.

7. Additive Inverse Property

Consider “a” as an integer, then as per the additive inverse property of integers,

Here, “-a” is the additive inverse of the integer a

Applications of Integers in Real Life

Integers have many real-life applications. We use them in different situations to quantify things. For example, to check the temperature, positive numbers are used to indicate the temperature above zero and negative numbers are used to indicate the temperature below zero. Integers are also mainly used in real-life situations like hockey, football tournaments, rating for a movie, bank credits and debits, etc.

We have mentioned all the important information about Integers. Hope, the above-provided details will help you in your preparation. Stay tuned to our site to get instant updates on various mathematical concepts.