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7.3: Permutationen und Kombinationen - Mathematik


Wir haben im letzten Abschnitt gesehen, dass bei der Arbeit mit Permutationen immer die Reihenfolge wichtig ist. Wenn wir 3 Personen aus einer Gruppe von 7 Personen für einen Ausschuss ohne zugewiesene Rollen auswählen würden, würde sich die Art des Problems ändern.
Wenn wir zum Beispiel 3 Personen aus einer Gruppe von 7 Personen auswählen würden, die in einem Ausschuss als Präsident, Vizepräsident und Schatzmeister tätig sind, wäre die Antwort (_{7} P_{3}=210) Aber - wenn wir 3 Personen aus einer Gruppe von 7 Personen ohne zugewiesene Rollen auswählen möchten, sind einige der Auswahlmöglichkeiten in der Permutation gleich.
In einer Permutation:
1. Platz: Alice 1. Platz: Bob 2. Platz: Bob (quad) 2. Platz: Charlie 3. Platz: Charlie (quad) 3. Platz: Alice
die beiden oben aufgeführten Auswahlmöglichkeiten würden als unterschiedlich angesehen und separat gezählt. In einer "Kombination", in der die Auswahlreihenfolge nicht wichtig ist und keine Rollen zugewiesen sind, müssen wir diese zusätzlichen Auswahlmöglichkeiten kompensieren.

Wenn wir 3 Personen aus einer Gruppe von 7 Personen für einen Ausschuss ohne zugewiesene Rollen auswählen, sollten wir berücksichtigen, dass jede Auswahl aus einer Permutation, die dieselben drei Personen umfasst, nur einmal gezählt werden sollte.
Wenn wir also die drei Personen auswählen, sollten wir überlegen, wie viele verschiedene Möglichkeiten es gibt, sie zu gruppieren, und dann diese zusätzlichen Optionen entfernen. In diesem Beispiel wählen wir drei Personen aus. Jede Dreiergruppe kann auf sechs verschiedene Arten angeordnet werden (3 !=3 * 2=6,), sodass jede unterschiedliche Dreiergruppe sechsmal gezählt wird.
Um die tatsächliche Anzahl der Auswahlmöglichkeiten zu finden, nehmen wir die Anzahl der möglichen Permutationen und dividieren durch 6, um die tatsächliche Antwort zu erhalten:
[
_{7} C_{3}=frac{7 P_{3}}{3 !}=frac{7 !}{4 ! * 3 !}
]
In einer Kombination, bei der die Reihenfolge nicht wichtig ist und keine Rollen zugewiesen sind, ist die Anzahl der Möglichkeiten wie folgt definiert:
[
_{n} C_{r}=frac{n !}{(n-r) ! * R !}
]
Eine Möglichkeit, sich den Unterschied zwischen einer Permutation und einer Kombination zu merken, ist, dass es bei einer Kombinationspizza keinen Unterschied macht, ob die Wurst vor der Peperoni oder ob die Zwiebeln zuerst aufgesetzt werden - also in einer Kombination ist die Reihenfolge nicht so wichtig!

ÜBUNGEN 7.3
Ermitteln Sie den Wert der folgenden Ausdrücke.
1) (quad_{10} C_{4})
2) (quad_{8} C_{3})
3) (quad_{10} C_{6})
4) (quad_{8} C_{5})
5) (quad_{15} C_{12})
6) (quad_{18} C_{2})
7) (quad_{n} C_{4})
8) (quad_{9} C_{r})
9) Wie viele Pizzen mit drei Belägen können zubereitet werden, wenn zwölf Beläge zur Auswahl stehen?
10) Wie viele Bridge-Hände mit 13 Karten sind bei einem Deck mit 52 Karten möglich?
11) Wie viele Pokerhände mit 5 Karten sind bei einem Deck mit 52 Karten möglich?
12) Wie viele verschiedene Bridge-Hände von 13 Karten sind möglich, wenn keine der Karten höher als 10 ist (d. h. keine Bildkarten)?
13) Wie viele verschiedene Pokerhände von 5 Karten sind möglich, wenn keine der Karten höher als (8 ?) ist
14) Wenn eine Person 10 verschiedene T-Shirts hat, wie viele Möglichkeiten gibt es, 4 für eine Reise auszuwählen?
15) Wenn eine Band 15 Songs geübt hat, wie viele Möglichkeiten gibt es für sie, 4 Songs auszuwählen, die sie bei einem Kampf der Bands spielen können? Wie viele verschiedene Aufführungen von vier Songs sind möglich?
16) 15 Jungen und 12 Mädchen sind auf einem Campingausflug. Auf wie viele Arten kann eine Gruppe von sieben Personen ausgewählt werden, um Brennholz zu sammeln:
(quad) a) ohne Bedingungen
(quad) b) die Gruppe besteht aus vier Mädchen und drei Jungen
(quad) c) die Gruppe besteht aus mindestens vier Mädchen
17) Eine Klasse von 25 Schülern besteht aus 15 Mädchen und 10 Jungen. Auf wie viele Arten kann ein Ausschuss von 8 Studierenden gewählt werden, wenn:
(quad) a) es gibt keine Einschränkungen
(quad) b) keine Männer sind im Ausschuss enthalten
(quad) c) keine weiblichen Mitglieder im Komitee
(quad) d) das Komitee muss aus 5 Jungen und 3 Mädchen bestehen
18) Aus einer Gruppe von 12 männlichen und 12 weiblichen Tennisspielern werden zwei Männer und zwei Frauen ausgewählt, die in einem Männer-gegen-Frauen-Doppelspiel antreten. Wie viele verschiedene Matches sind möglich?
19) In einer Tanzklasse der siebten Klasse gibt es 20 Mädchen und 17 Jungen.
(quad) a) Auf wie viele Arten können die Schüler zu Tanzpaaren bestehend aus einem Jungen und einem Mädchen gepaart werden?
(quad) b) Wie viele Möglichkeiten gibt es, eine Gruppe von 17 Jungen/Mädchen-Paaren zu bilden?
(quad) c) Wie viele Möglichkeiten gibt es, ohne Einschränkungen eine Gruppe von 18 Paaren zu bilden?


NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 7 Permutation und Kombinationen

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Permutation und Kombination – Klasse XI – Übung 7.3

3-stellige Zahlen müssen aus den Ziffern 1 bis 9 gebildet werden. Dabei kommt es auf die Reihenfolge der Ziffern an.

Daher wird es so viele 3-stellige Zahlen geben, wie es Permutationen von 9 verschiedenen Ziffern gibt, die 3 gleichzeitig genommen werden.

Daher erforderliche Anzahl von 3-stelligen Zahlen = 9 P3 = 9! /(9-3)! = 9! /6!

2: Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, bei denen keine Ziffer wiederholt wird?

Die Tausenderstelle der 4-stelligen Zahl ist mit einer der Ziffern von 1 bis 9 zu füllen, da die Ziffer 0 nicht enthalten sein darf.

Daher beträgt die Anzahl der Möglichkeiten, auf denen Tausende von Plätzen besetzt werden können, 9.

Die Hunderter-, Zehner- und Einerstelle können mit einer der Ziffern von 0 bis 9 gefüllt werden.

Allerdings können die Ziffern bei den 4-stelligen Zahlen nicht wiederholt werden und die Tausenderstelle ist bereits mit einer Ziffer belegt.

Die Hunderter-, Zehner- und Einerstelle sind mit den restlichen 9 Ziffern zu füllen.

Daher wird es so viele solcher 3-stelligen Zahlen geben, wie es Permutationen von 9 verschiedenen Ziffern gibt, die 3 gleichzeitig genommen werden.

Anzahl solcher 3-stelliger Zahlen = 9 P3 = 9! /(9-3)! = 9! /6!

Somit ist nach dem Multiplikationsprinzip die erforderliche Anzahl von 4-stelligen Zahlen 9 × 504 = 4536

  1. Wie viele 3-stellige gerade Zahlen können aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 6, 7 gebildet werden, wenn keine Ziffer wiederholt wird?

Dreistellige gerade Zahlen sind aus den angegebenen sechs Ziffern 1, 2, 3, 4, 6 und 7 zu bilden, ohne die Ziffern zu wiederholen.

Dann können Einheitenziffern auf 3 Arten mit einer der Ziffern 2, 4 oder 6 gefüllt werden. Da die Ziffern in den 3-stelligen Zahlen nicht wiederholt werden können und die Einheitenstelle bereits mit einer Ziffer belegt ist (die gerade ist), die Hunderter- und Zehnerstelle ist mit den restlichen 5 Ziffern zu füllen.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten, auf denen Hunderter- und Zehnerstellen mit den verbleibenden 5 Ziffern gefüllt werden können, die Permutation von 5 verschiedenen Ziffern, die jeweils 2 genommen werden.

Anzahl der Möglichkeiten, Hunderter- und Zehnerstellen zu füllen = 5 P2 = 5! /(5-2)! = 5! /3!

Somit ist nach dem Multiplikationsprinzip die erforderliche Anzahl von 3-stelligen Zahlen 3 x 20 = 60

4. Finden Sie die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 gebildet werden können, wenn keine Ziffer wiederholt wird. Wie viele davon werden gerade sein?

Vierstellige Zahlen sind aus den Ziffern 1, 2, 3, 4 und 5 zu bilden.

Es wird so viele 4-stellige Zahlen geben, wie es jeweils 4 Permutationen von 5 verschiedenen Ziffern gibt.

Daher erforderliche Anzahl von 4-stelligen Zahlen = 5 P4 = 5! /(5-4)! = 5! /1!

Unter den vierstelligen Zahlen, die aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 gebildet werden, enden gerade Zahlen entweder mit 2 oder 4.

Die Anzahl der Möglichkeiten, wie die Einheitenstelle mit Ziffern gefüllt wird, ist 2. Da die Ziffern nicht wiederholt werden und die Einheitenstelle bereits mit einer (gerade) Ziffer belegt ist, sind die restlichen Stellen mit den restlichen 4 Ziffern zu füllen.

Daher ist die Anzahl der Möglichkeiten, auf die die verbleibenden Stellen besetzt werden können, die Permutation von 4 verschiedenen Ziffern, die jeweils 3 genommen werden.

Anzahl der Möglichkeiten, die restlichen Plätze zu besetzen = 4 P3 = 4! /(4-3)! = 4! /1!

Somit ist nach dem Multiplikationsprinzip die erforderliche Anzahl von geraden Zahlen 24 × 2 = 48

  1. Auf wie viele Arten können wir aus einem Ausschuss von 8 Personen einen Vorsitzenden und einen stellvertretenden Vorsitzenden auswählen, wenn eine Person nicht mehr als eine Position bekleiden kann?

Aus einem Ausschuss von 8 Personen sind ein Vorsitzender und ein stellvertretender Vorsitzender so zu wählen, dass eine Person nicht mehrere Ämter bekleiden kann.

Hier ist die Anzahl der Möglichkeiten, einen Vorsitzenden und einen stellvertretenden Vorsitzenden zu wählen, die Permutation von 8 verschiedenen Objekten, die jeweils 2 genommen werden.

Somit benötigte Anzahl von Wegen = 8 P2 = 8! /(8-2)! = 8! /6! = 8x7x6! /6! = 8 x 7 = 56

(i) 5 PR = 2 6 Pr-1

  1. Wie viele Wörter mit oder ohne Bedeutung können aus allen Buchstaben des Wortes GLEICHUNG gebildet werden, wobei jeder Buchstabe genau einmal verwendet wird?

Wir haben 8 verschiedene Buchstaben im Wort GLEICHUNG.

Daher die Anzahl der Wörter, die aus allen Buchstaben des Wortes gebildet werden können GLEICHUNG, wobei jeder Buchstabe nur einmal verwendet wird, ist die Anzahl der Permutationen von 8 verschiedenen Objekten, die 8 gleichzeitig genommen werden, also 8 P8 = 8!

Somit ist die erforderliche Anzahl von Wörtern, die gebildet werden können = 8! = 40320

9: Wie viele Wörter mit oder ohne Bedeutung können aus den Buchstaben des Wortes MONTAG gebildet werden, wenn kein Buchstabe wiederholt wird, wenn

(i) 4 Buchstaben werden gleichzeitig verwendet,

(ii) alle Buchstaben gleichzeitig verwendet werden,

(iii) werden alle Buchstaben verwendet, aber der erste Buchstabe ist ein Vokal?

Das Wort MONDAY enthält 6 verschiedene Buchstaben.

(i) Die Anzahl von 4-Buchstaben-Wörtern kann aus den Buchstaben des Wortes MONDAY ohne Wiederholung der Buchstaben gebildet werden ist gleich der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, die 4 gleichzeitig genommen werden, was 6 P . ist4.

Somit ist die erforderliche Anzahl von Wörtern, die mit 4 Buchstaben gleichzeitig gebildet werden können,

(ii) Die Anzahl der Wörter, die gebildet werden können, indem alle Buchstaben des Wortes MONDAY gleichzeitig verwendet werden, ist gleich der Anzahl der Permutationen von 6 verschiedenen Objekten, die 6 gleichzeitig genommen werden, ist 6 P6 = 6! .

Somit ist die erforderliche Anzahl von Wörtern, die gebildet werden können, wenn alle Buchstaben gleichzeitig verwendet werden = 6! = 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720

(iii) In dem gegebenen Wort gibt es 2 verschiedene Vokale, die die rechte Stelle der gebildeten Wörter einnehmen müssen.

Dies kann nur auf 2 Arten erfolgen.

Da die Buchstaben nicht wiederholt werden können und die Stelle ganz rechts bereits mit einem Buchstaben (also einem Vokal) belegt ist, sind die restlichen 5 Stellen mit den restlichen 5 Buchstaben zu füllen.

Dies ist in 5 möglich! Wege.

Somit ist in diesem Fall die erforderliche Anzahl von Wörtern, die gebildet werden können, 5! × 2 = 120 × 2 = 240

10: In wie vielen der verschiedenen Permutationen der Buchstaben in MISSISSIPPI kommen die vier Ichs nicht zusammen?

In dem Wort MISSISSIPPI, I erscheint 4-mal, S erscheint 4-mal, P erscheint 2-mal und M erscheint nur einmal.

Daher Anzahl der unterschiedlichen Permutationen der Buchstaben im gegebenen Wort

11! /4!4!2! = 11x10x9x8x7x6x5x4! /4!x4x3x2x1x2x1

= 11x10x9x8x7x6x5 /4x3x2x1x2x1 = 34650

Es gibt 4 Is in dem gegebenen Wort.

Wenn sie zusammen auftreten, werden sie vorerst als ein einziges Objekt behandelt.

Dieses einzelne Objekt macht zusammen mit den verbleibenden 7 Objekten 8 Objekte aus.

Diese 8 Objekte, in denen sich 4 Ss und 2 Ps befinden, können in 8 angeordnet werden! /4!2! Wege, d. h. 840 Wege.

Anzahl der Anordnungen, bei denen alle Is zusammen auftreten = 840

Somit ist die Anzahl der unterschiedlichen Permutationen der Buchstaben in MISSISSIPPI in denen vier Is nicht zusammenkommen = 34650 – 840 = 33810

11.Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes PERMUTATIONEN angeordnet werden, wenn die

(i) Wörter beginnen mit P und enden mit S,

(ii) Vokale sind alle zusammen,

(iii) zwischen P und S stehen immer 4 Buchstaben?

In dem Wort PERMUTATIONEN, es gibt 2 Ts und alle anderen Buchstaben kommen nur einmal vor.

(i) Wenn P und S an den äußersten Enden fixiert sind (P am linken Ende und S am rechten Ende), dann bleiben 10 Buchstaben übrig.

Daher in diesem Fall erforderliche Anzahl von Anordnungen 10! /2! = 1814400

(ii) Es gibt 5 Vokale im gegebenen Wort, von denen jeder nur einmal vorkommt. Da sie immer zusammen auftreten müssen, werden sie vorerst als ein einziges Objekt behandelt.

Dieses einzelne Objekt macht zusammen mit den verbleibenden 7 Objekten 8 Objekte aus.

Diese 8 Objekte, in denen sich 2 Ts befinden, können in 8 angeordnet werden! /2!.

Entsprechend jeder dieser Anordnungen können die 5 verschiedenen Vokale in 5 arrangiert werden! Wege.

Daher nach dem Multiplikationsprinzip erforderliche Anzahl von Anordnungen in diesem Fall 8! /2! x5! = 2419200

(iii) Die Buchstaben müssen so angeordnet sein, dass zwischen P und S immer 4 Buchstaben stehen.

Daher sind die Orte von P und S gewissermaßen fest. Die restlichen 10 Buchstaben, in denen sich 2 Ts befinden, können in 10 angeordnet werden! /2! Wege

Auch die Buchstaben P und S können so platziert werden, dass zwischen ihnen 4 Buchstaben auf 2 x 7 = 14 Arten liegen

daher nach dem Multiplikationsprinzip die erforderliche Anzahl von Anordnungen in diesem Fall = 10! /2! x 14 = 25401600


Permutationen und die faktorielle Notation

Das Produkt aller positiven ganzen Zahlen, die kleiner oder gleich einer Zahl sind, wird beispielsweise mit „fakultär“ bezeichnet und gelesen. Das ist,

Als einfache Beispiele haben wir also

Per Definition haben wir das

Die Fakultätsfunktion hat eine Domäne gleich den nicht-negativen ganzen Zahlen. (Obwohl es sich im höheren Mathematikstudium als Möglichkeit herausstellt, die Fakultätsfunktion für negative ganze Zahlen und Bruchwerte zu betrachten). Diese Notation ist besonders praktisch, wenn man Anordnungen in Linien oder Kreisen betrachtet. Betrachten Sie das folgende Beispiel.

Beispiel 3

Auf wie viele Arten dürfen 6 Mädchen hintereinander sitzen?

Lösung 3

In diesem Fall können wir ein ähnliches Argument wie in Beispiel 2 durchgehen und herausfinden, dass die Antwort gleich ist

Im Allgemeinen gilt, dass beim Anordnen verschiedener Objekte in einer Reihe (Wiederholungen nicht zulässig) die Anzahl der Anordnungen oder Permutationen dieser Objekte durch gegeben ist. Wenn wir nun Objekte haben, die nicht alle verschieden sind, dann ist dies eine andere Sache, und tatsächlich gibt es eine Formel für einen solchen Fall. Die Formel ist unten angegeben.

Wenn es gibt Gegenstände, mit Gegenstände, die nicht unterscheidbar und von einer bestimmten Art sind und Gegenstände, die nicht unterscheidbar und von anderer Art sind und Objekte, die nicht unterscheidbar und von anderer Art sind und so weiter, haben wir, dass die Anzahl der Anordnungen solcher Objekte in einer Reihe gegeben ist durch:

Obwohl dies nicht sofort offensichtlich ist, besteht der Grund für die Division durch die Werte von und darin, alle Neuordnungen der ähnlichen Objekte untereinander zu eliminieren. Betrachten Sie das folgende Beispiel, das die Verwendung dieser Formel veranschaulicht.

Beispiel 4

Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes MAMMAL neu angeordnet werden?

Lösung 4

In diesem Beispiel stellen wir fest, dass es M und A gibt und dass wir insgesamt Buchstaben haben. Mit der obigen Formel haben wir, dass die Anzahl der Anordnungen der Buchstaben gegeben ist durch

Angenommen, wir möchten Objekte in einem Kreis anordnen. Der Unterschied zwischen diesem und dem obigen Fall ist das Fehlen eines definierten Start- und Endpunktes. Aus diesem Grund müssen wir eines der zu arrangierenden Objekte als unseren Referenzpunkt zuweisen und können dann die restlichen Objekte um das als Referenzpunkt gewählte Objekt anordnen. Wenn wir also ein Objekt (um als Referenzpunkt zu platzieren) aus der Gesamtheit der anzuordnenden Objekte entfernen, erhalten wir ein Objekt weniger und dann müssen diese Objekte wie in Beispiel 2 betrachtet werden

Wenn es gibt Objekte, alle verschieden, dann ist die Gesamtzahl der Möglichkeiten, wie diese Objekte um einen Kreis angeordnet werden können, gegeben durch .

Beispiel 5

Auf wie viele Arten können 5 Ehepaare an einem runden Tisch arrangiert werden?

Lösung 5

Da es 5 Ehepaare gibt, folgt daraus, dass es Personen gibt, die zu arrangieren sind. Somit ist die Gesamtzahl der Anordnungen gegeben durch

Nehmen wir nun an, wir haben Objekte unter denen, die ähnlich sind und andere, die ähnlich sind und so weiter. Die Anzahl der Anordnungen um einen Kreis ist nun durch die Gesamtzahl der Anordnungen dividiert durch die Anordnungen der ähnlichen Objekte selbst gegeben. Daher haben wir das

Wenn es gibt Objekte mit ähnlich und anders ähnlich und anders ähnlich usw. Daraus folgt, dass die Gesamtzahl der Anordnungen dieser Objekte in einem Kreis gegeben ist durch

Betrachten wir nun die Anordnung von Gegenständen an einer Halskette oder einem Schlüsselbund. Angenommen, wir möchten verschiedene Perlen auf einer Halskette anordnen. Die Gesamtzahl der Anordnungen ergibt sich aus der Gesamtzahl der unbeschränkten Anordnungen in einem Kreis geteilt durch . Die Aufteilung durch ist auf die Symmetrie der Halskette zurückzuführen, indem sie die Halskette umdrehen und genau die gleiche Permutation beobachten kann. Daher haben wir das

Gegeben Objekte, jedes verschieden, die Anzahl der Anordnungen dieser Objekte auf einer Halskette ist gegeben durch,

Wir haben bisher Anordnungen in Reihen und Kreisen betrachtet, da Ähnlichkeiten zwischen einigen der Objekte gegeben sind. Wir betrachten nun die Anzahl der Anordnungen von Objekten unter bestimmten Bedingungen. Denken Sie daran, dass eine Permutation eines Objekts einfach eine geordnete Auswahl oder eine Anordnung ist. Damit haben wir das,

Die Anzahl der Permutationen von Objekte auswählen auf einmal ist gegeben von

Beachten Sie, dass für die Formel wird

Wenn man also alle Objekte in der Menge auswählt, entspricht die Gesamtzahl der Permutationen einfach der Anordnung aller Objekte in einer Linie, was an dieser Stelle ziemlich offensichtlich sein sollte. Auch diese Formel geht davon aus, dass keine Wiederholungen erlaubt sind. Betrachten wir ein Beispiel, um die Verwendung dieser Formel zu veranschaulichen.

Beispiel 6

Finden Sie die Anzahl der Buchstabenanordnungen der Buchstaben des Wortes KOMPLEX.

Lösung 6

Da jeder Buchstabe verschieden ist, folgt daraus, dass die Gesamtzahl solcher Anordnungen gegeben ist durch

Wir werden nun einige Beispiele für Fragen betrachten, die unter bestimmten Bedingungen Permutationen beinhalten. Die Schüler haben in der Regel Schwierigkeiten, die damit verbundenen Techniken zu verstehen, da jede Frage für sich selbst angegangen werden muss. Solche Fragen meistert man am besten, indem man sich möglichst vielen Beispielen aussetzt.

Beispiel 7

Beim Pferderennen bezeichnet man als Trifecta die Auswahl der ersten drei Windhunde in einem Rennen in der richtigen Reihenfolge. Auf wie viele Arten kann dies bei 8 Pferden erfolgen?

Lösung 7

In dieser Frage wählen wir eine Gruppe von mit der Reihenfolge wichtig aus einer Menge von . Die Verwendung der Formel für Permutationen ergibt,

Beispiel 8

Auf wie viele Arten können 5 Mädchen und 3 Jungen hintereinander angeordnet werden, wenn:
a) müssen die Jungs nebeneinander sitzen?

b) die Jungen dürfen nicht nebeneinander sitzen?

Lösung 8

a) Wenn die Jungen nebeneinander sitzen müssen, können wir die Jungen als eine Einheit behandeln. Somit haben wir mit dieser Technik eine Gesamtzahl von zu permutierenden Objekten in einer Zeile mit einer Gesamtzahl von Permutationen gleich . Nun können die Jungen selbst innerhalb ihrer Einheit über sich selbst arrangiert werden, und dies kann auf verschiedene Weise geschehen. Somit ist nach dem grundlegenden Zählprinzip die Gesamtzahl der Möglichkeiten, sie auf diese Weise anzuordnen,

b) Nun, wenn die Jungs NICHT nebeneinander sitzen sollen, dann können wir einfach die ergänzende Veranstaltung.

Stellen Sie die Jungen dar, die nebeneinander sitzen, und stellen Sie die Jungen dar, die nicht nebeneinander sitzen.
Lassen Sie die Anzahl der Möglichkeiten darstellen, die auftreten können.

Wo ist die ergänzende Veranstaltung. Damit haben wir das

Notiz: Gehen Sie nicht in die übliche Falle, Fälle aufzulisten und dann jeweils die möglichen Arrangements zu zählen. Das ist sinnlos und mühsam. Schauen Sie nach Möglichkeit immer zuerst auf die ergänzende Veranstaltung.

Beispiel 9

Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes MEETING angeordnet werden, wenn Vokale und Konsonanten abwechselnde Plätze einnehmen?

Lösung 9

Da es 3 Vokale und 4 Konsonanten gibt, haben alle Arrangements die Form

wo C stellt einen Konsonanten dar und V stellt einen Vokal dar.

Nun können die Vokale selbst aufgrund der Tatsache, dass es zwei A gibt, auf ganz verschiedene Weise in ihren eigenen möglichen Positionen angeordnet werden, und wir müssen also in diesem Fall auf die Anordnungen der A selbst aufteilen. Die Konsonanten können in ihren zugewiesenen Positionen auf verschiedene Weise untereinander angeordnet werden. Somit ist die Gesamtzahl der Anordnungen gegeben durch

Das nächste Beispiel beinhaltet Wiederholungen.

Beispiel 10

Wie viele verschiedene Autokennzeichen gibt es, wenn jedes 3 Konsonanten des Alphabets gefolgt von 3 Ziffern enthält?

Lösung 10

Es sind sechs Stellen zu besetzen. An den ersten drei Stellen kann ein Konsonant vorkommen, was bedeutet, dass an jeder der ersten drei Stellen einer von 21 möglichen Buchstaben vorkommen kann. An den letzten drei Stellen dürfen je eine der 10 möglichen Zahlen in jede der Positionen gehen. Beachten Sie, dass in diesem Fall Wiederholungen erlaubt sind.

Wir betrachten nun eine Wahrscheinlichkeitsfrage mit Permutationen. Denken Sie daran, dass die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses gegeben ist durch

wobei der Stichprobenraum die Menge aller möglichen Ergebnisse ist.

Beispiel 11

Mr. und Mrs. Smith und Gäste sitzen um einen runden Esstisch. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die beiden Hosts zusammen sind.

Lösung 11

Um diese Frage zu lösen, müssen wir also die Gesamtzahl der Möglichkeiten finden, wie die Personen angeordnet werden können, und dies wird die Anzahl der Elemente im Probenraum. Wir müssen dann die Nr. Möglichkeiten, wie die Gastgeber zusammen sein können.

Um herauszufinden, auf wie viele Arten die Gastgeber zusammen sein können, betrachten wir sie einfach als eine Einheit, an der wir noch 7 Objekte übrig haben, und betrachten dann die möglichen Neuordnungen um den runden Esstisch. Denken Sie daran, dass das Paar auch untereinander arrangiert werden kann.

Somit haben wir, dass die Wahrscheinlichkeit, dass die Wirte zusammen sind, gegeben ist durch


Formeln bei der Arbeit

Um die Formeln bei der Arbeit zu sehen, schauen wir uns das erste Beispiel an. Die Anzahl der Permutationen einer Menge von drei Objekten, die jeweils zu zweit genommen werden, ist gegeben durch P(3,2) = 3!/(3 - 2)! = 6/1 = 6. Dies entspricht genau dem, was wir durch das Auflisten aller Permutationen erhalten haben.

Die Anzahl der Kombinationen eines Satzes von drei Objekten, die gleichzeitig zu zweit genommen werden, ist gegeben durch:

C(3,2) = 3!/[2!(3-2)!] = 6/2 = 3. Auch dies stimmt genau mit dem überein, was wir zuvor gesehen haben.

Die Formeln sparen definitiv Zeit, wenn wir aufgefordert werden, die Anzahl der Permutationen einer größeren Menge zu ermitteln. Zum Beispiel, wie viele Permutationen gibt es von einem Satz von zehn Objekten, die jeweils drei genommen werden? Es würde eine Weile dauern, alle Permutationen aufzulisten, aber mit den Formeln sehen wir, dass es Folgendes geben würde:

P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10!/7! = 10 x 9 x 8 = 720 Permutationen.


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Kombination

Grundlegendes Konzept

Kombination ist die Auswahl von rr-Objekten aus einer Menge von nn unterschiedlichen Objekten. In diesem Fall wird der Reihenfolge der Auswahl keine Bedeutung beigemessen. Jeder einzelne ausgewählte Satz von rr-Objekten bildet eine Kombination.

Da in jeder dieser Kombinationen die ausgewählten rr-Objekte auf r!r!eindeutige Weise untereinander geordnet werden können, würden wir, wenn wir alle Kombinationen auf diese Weise ordnen, die Permutation von rr aus nn verschiedenen Objekten erhalten. Somit ist die Anzahl der Kombinationen multipliziert mit r!r! gibt uns die Anzahl der Permutationen.
So,
Anzahl der Kombinationen,nCr=Anzahl der Permutationenr!nCr=Anzahl der Permutationenr!
=n!r!(n−r)!=n!r!(n−r)!

Frage 1: Auf wie viele Arten können Sie 3 Bücher aus 5 verfügbaren Büchern auswählen?

Lösung:
Die Anzahl der Möglichkeiten, 3 Bücher aus 5 Büchern auszuwählen, ist,
5C3=5!3!(5−3)!=5!3!2!=105C3=5!3!(5−3)!=5!3!2!=10


Fragen 2: Auf wie viele Arten können 4 Mitglieder aus 8 Mitgliedern ausgewählt werden, um einen Ausschuss zu bilden, so dass immer 1 Mitglied gewählt wird?

Lösung:
Wenn immer 1 Mitglied im Ausschuss ausgewählt wird, ändert sich das Kombinationswahlproblem in Auswahl (4−1)=3(4−1)=3 Mitglieder aus (8−1)=7(8−1)=7 Mitgliedern . Die erforderliche Anzahl von Wegen,
7C3=7!3!(7−3)!=7!3!4!=357C3=7!3!(7−3)!=7!3!4!=35

Frage 3: Auf wie viele Arten können 4 Mitglieder aus 8 Mitgliedern zu einem Ausschuss gewählt werden, so dass immer 2 Mitglieder ausgeschlossen sind?

Lösung:
Werden immer zwei Elemente ausgeschlossen, reduziert sich die Anzahl der zur Auswahl stehenden Elemente auf (8−2)=6(8−2)=6 und die erforderliche Anzahl an Kombinationen beträgt
6C4=6!4!(6−4)!=6!4!2!=156C4=6!4!(6−4)!=6!4!2!=15


Kombinationen, Ho!

Kombinationen sind einfach. Reihenfolge ist egal. Sie können es vermischen und es sieht gleich aus. Nehmen wir an, ich bin ein Geizhals und kann mir keine separaten Gold-, Silber- und Bronzemedaillen leisten. Eigentlich kann ich mir nur leere Blechdosen leisten.

Auf wie viele Arten kann ich 8 Personen 3 Blechdosen geben?

Nun, in diesem Fall spielt die Reihenfolge, in der wir die Leute auswählen, keine Rolle. Wenn ich Alice, Bob und dann Charlie eine Dose gebe, ist das dasselbe, als würde ich Charlie, Alice und dann Bob eine Dose geben. Auf jeden Fall sind sie gleichermaßen enttäuscht.

Dies wirft einen interessanten Punkt auf – wir haben hier einige Redundanzen. Alice Bob Charlie = Charlie Bob Alice. Lassen Sie uns für einen Moment herausfinden, auf wie viele Arten wir 3 Personen neu anordnen können.

Nun, wir haben 3 Möglichkeiten für die erste Person, 2 für die zweite und nur 1 für die letzte. Wir haben also $3 * 2 * 1$ Möglichkeiten, 3 Personen neu zu arrangieren.

Moment mal… das sieht ein bisschen nach einer Permutation aus! Du hast mich reingelegt!

Tatsächlich habe ich es getan. Wenn Sie N Personen haben und wissen möchten, wie viele Arrangements es gibt alle von ihnen sind es nur N Fakultäten oder N!

Wenn wir also 3 Blechdosen zu verschenken haben, sind es 3! oder 6 Variationen für jede Auswahl, die wir auswählen. Wenn wir herausfinden wollen, wie viele Kombinationen wir haben, wir einfach alle Permutationen erstellen und durch alle Redundanzen dividieren. In unserem Fall erhalten wir 336 Permutationen (von oben) und teilen durch die 6 Redundanzen für jede Permutation und erhalten 336/6 = 56.

was bedeutet „Finde alle Möglichkeiten, k Personen aus n auszuwählen, und dividiere durch die k! Varianten“. Wenn wir das ausschreiben, bekommen wir unsere Kombinationsformel, oder die Anzahl der Möglichkeiten, k Elemente aus einer Menge von n zu kombinieren:

Manchmal wird C(n,k) geschrieben als:


Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 1.
Wie viele 3-stellige Zahlen können mit den Ziffern 1 bis 9 gebildet werden, wenn keine Ziffer wiederholt wird?
Lösung.
Die Gesamtzahl der Ziffern ist 9. Wir müssen dreistellige Zahlen ohne Wiederholung bilden.
∴ Die erforderlichen 3-stelligen Zahlen = 9 P3

Ü 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 2.
Wie viele 4-stellige Zahlen gibt es, bei denen keine Ziffer wiederholt wird?
Lösung.
Die vierstelligen Zahlen werden aus den Ziffern 0 bis 9 gebildet. Bei vierstelligen Zahlen wird die 0 nicht an der Tausenderstelle verwendet, daher kann die Tausenderstelle auf 9 verschiedene Arten gefüllt werden. Nach dem Auffüllen der Tausenderstelle bleiben 9 Ziffern übrig. Die restlichen drei Plätze können auf 9P3-Wege besetzt werden.
Also die benötigten 4-stelligen Zahlen
= 9 x 9 P3
= 9 x 504 = 4536.

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 3.
Wie viele 3-stellige gerade Zahlen können aus den Ziffern 1, 2, 3, 4, 6, 7 gebildet werden, wenn keine Ziffer wiederholt wird?
Lösung.
Bei 3-stelligen geraden Zahlen kann die Einheitsstelle mit 2, 4, 6 gefüllt werden, d.h. auf 3 Arten. Dann können die restlichen zwei Stellen in 5 P . ausgefüllt werden2 Wege.
∴ Die erforderlichen 3-stelligen geraden Zahlen
= 3 x 5 P2
= 60

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 4.
Finden Sie die Anzahl der vierstelligen Zahlen, die mit den Ziffern 1, 2, 3, 4, 5 gebildet werden können, wenn keine Ziffer wiederholt wird. Wie viele davon werden gerade sein?
Lösung.
Die 4-stelligen Zahlen können aus den Ziffern 1 bis 5 in 5 P . gebildet werden4Wege.
∴ Die erforderlichen 4-stelligen Zahlen = 5 P4 = 120 Bei 4-stelligen geraden Zahlen kann die Einheitsstelle mit 2,4 gefüllt werden, d.h. auf 2 Arten. Dann können die restlichen drei Stellen in 4 P . ausgefüllt werden3 Wege.
∴ Die erforderlichen 4-stelligen geraden Zahlen
= 2 x 4 P3 = 2 x 24 = 48

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 5.
Auf wie viele Arten können wir aus einem Ausschuss von 8 Personen einen Vorsitzenden und einen stellvertretenden Vorsitzenden auswählen, wenn eine Person nicht mehr als eine Position bekleiden kann?
Lösung.
Aus einem Gremium von 8 Personen können wir einen Vorsitzenden und einen stellvertretenden Vorsitzenden wählen

Ü 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 6.
Finde n wenn n-1 P3: n P4 = 1 : 9.
Lösung.

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 7.
Finde r wenn
(i) 5 PR = 2 6 Pr-1
(ii) 5 PR = 6 Pr-1
Lösung.

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 8.
Wie viele Wörter mit oder ohne Bedeutung können aus allen Buchstaben des Wortes GLEICHUNG gebildet werden, wobei jeder Buchstabe genau einmal verwendet wird?
Lösung.
Anzahl der Buchstaben im Wort EQUATION = 8
∴ Anzahl der Wörter, die gebildet werden können
= 8 P8 = 8!
=40320

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 9.
Wie viele Wörter mit oder ohne Bedeutung können aus den Buchstaben des Wortes MONTAG gebildet werden, wenn kein Buchstabe wiederholt wird, wenn
(i) 4 Buchstaben werden gleichzeitig verwendet,
(ii) alle Buchstaben gleichzeitig verwendet werden,
(iii) werden alle Buchstaben verwendet, aber der erste Buchstabe ist ein Vokal?
Lösung.
Anzahl Buchstaben im Wort MONTAG = 6
(ich) Wenn 4 Buchstaben gleichzeitig verwendet werden.
Dann die erforderliche Anzahl von Wörtern
= 6 P4

(ii) Wenn alle Buchstaben gleichzeitig verwendet werden. Dann die erforderliche Anzahl von Wörtern
= 6 P6 = 6!
= 720

(iii) Alle Buchstaben werden verwendet, aber der erste Buchstabe ist ein Vokal.
Der erste Buchstabe kann also entweder A oder O sein.
Es gibt also 2 Möglichkeiten, den ersten Buchstaben zu füllen und die restlichen Stellen können in 5 P ausgefüllt werden5 Wege.
∴ Die erforderliche Anzahl von Wörtern
= 2 x 5 P5
= 2 x 5! =240.

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 10.
In wie vielen der verschiedenen Permutationen der Buchstaben in MISSISSIPPI kommen die vier Ichs nicht zusammen?
Lösung.
Es gibt 11 Buchstaben, von denen I 4 Mal erscheint, S 4 Mal erscheint, P 2 Mal erscheint & M 1 Mal erscheint.
∴ Die erforderliche Anzahl von Arrangements

= 10 x 10 x 9 x 7 x 5 = 34650 … (ich)
Wenn vier I’er zusammenkommen, behandeln wir sie als ein einziges Objekt. Dieses einzelne Objekt mit 7 verbleibenden Objekten macht 8 Objekte aus. Diese 8 Objekte mit 4S’s & 2P’s82
kann auf 840 Arten neu angeordnet werden … (ii)
Anzahl der Arrangements, wenn vier I’er nicht zusammenkommen = 34650 – 840 = 33810.

Ü. 7.3 Klasse 11 Mathematik Frage 11.
Auf wie viele Arten können die Buchstaben des Wortes PERMUTATIONEN angeordnet werden, wenn die
(i) Wörter beginnen mit P und enden mit S,
(ii) Vokale sind alle zusammen,
(iii) zwischen P und S stehen immer 4 Buchstaben?
Lösung.
Es gibt 12 Buchstaben, von denen T 2 mal vorkommt
(ich) Wenn Wörter mit P beginnen und mit S enden, müssen 10 Buchstaben angeordnet werden, von denen T 2 Mal vorkommt.
∴ Die erforderlichen Wörter =

(ii) Wenn Vokale zusammengenommen werden, d. h. E U A I O, behandeln wir sie als ein einziges Objekt. Dieses einzelne Objekt mit den verbleibenden 7 Objekten macht 8 Objekte aus, in denen es 2Ts gibt, die auf verschiedene Weise neu angeordnet werden können. Entsprechend jeder dieser Anordnungen lassen sich die 5 Vokale E, U, A, I, O in 5 umordnen! = 120 Wege. Daher ist nach dem Multiplikationsprinzip die erforderliche Anzahl von Anordnungen = 20160 x 120 = 2419200.

(iii) Wenn zwischen P und S immer 4 Buchstaben stehen
∴ P & S kann sein
1. & 6. Platz
2. & 7. Platz
3. & 8. Platz
4. & 9. Platz
5. & 10. Platz
6. & 11. Platz
7. & 12. Platz.
P & S werden also auf 7 Arten platziert und können in 7 x 2 arrangiert werden! = 14
Die restlichen 10 Buchstaben mit 2T’en können auf verschiedene Arten angeordnet werden.
∴ Die erforderliche Anzahl von Anordnungen = 14 x 1814400 = 25401600.

Wir hoffen, dass Ihnen die NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 7 Permutationen und Kombinationen Ex 7.3 helfen. Wenn Sie Fragen zu NCERT-Lösungen für Mathematik der Klasse 11 Kapitel 7 Permutationen und Kombinationen Ex 7.3 haben, hinterlassen Sie unten einen Kommentar und wir werden uns so schnell wie möglich bei Ihnen melden.


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Permutations- und Kombinationsklasse XI Kapitel 7

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Wenn ein Ereignis auf m verschiedene Weisen auftreten kann, worauf ein anderes Ereignis auf n verschiedene Weisen auftreten kann, worauf ein anderes Ereignis auf p verschiedene Weisen auftreten kann und so weiter. Dann ist die Gesamtzahl des Auftretens der Ereignisse in der angegebenen Reihenfolge m x n x p…………..

Permutationen, wenn Wiederholung erlaubt ist:

Die Anzahl der Permutationen von n verschiedenen Objekten gleichzeitig, wenn die Wiederholung von Objekten erlaubt ist, ist n n

F ) Wie viele positive Zahlen größer als 6000 und kleiner als 7000 sind durch 5 teilbar, wenn keine Ziffer wiederholt wird. [Ans 112]


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