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3: Mehrere Integrale


Mehrfachintegrale sind eine Verallgemeinerung des bestimmten Integrals auf Funktionen von mehr als einer Variablen.

  • 3.1: Doppelte und iterierte Integrale über Rechtecken
    Daraus können wir schließen, dass das Integral eine Akkumulationsfunktion ist, da es eine unendliche Anzahl von Streifen in einem bestimmten Bereich akkumuliert, um die Fläche zu berechnen. Ebenso ist das Doppelintegral auch eine Funktion der Akkumulation. Es akkumuliert unendlich viele kleine 3D-Streifen, um das Volumen von 3D-Objekten zu berechnen.
  • 3.2: Fläche durch Doppelintegration
    In diesem Abschnitt lernen wir, die Fläche eines begrenzten Bereichs mit Doppelintegralen zu berechnen, und mit diesen Berechnungen können wir den Mittelwert einer Funktion zweier Variablen ermitteln.
  • 3.3: Doppelte Integrale über allgemeine Regionen
    In 15.1 bemerken wir, dass alle Basen der Objekte rechteckig sind. In 15.2 ist die Fläche unter diesen Objekten nicht rechteckig. Die Akkumulationsmethode funktioniert jedoch immer noch.
  • 3.4: Doppelintegrale in Polarform
    Hat der Bereich die Eigenschaften eines Kreises oder einer Niere, dann ist es viel einfacher, das Integral mit Polarkoordinaten zu lösen.
  • 3.5: Dreifachintegrale in rechteckigen Koordinaten
    So wie ein einzelnes Integral einen eindimensionalen Bereich (eine Linie) und ein Doppelintegral einen zweidimensionalen Bereich (eine Fläche) hat, hat ein Tripelintegral einen dreidimensionalen Bereich (ein Volumen). Da außerdem ein einfaches Integral einen Wert von 2D und ein Doppelintegral einen Wert von 3D erzeugt, erzeugt ein Dreifachintegral einen Wert mit einer höheren Dimension als 3D, nämlich 4D.
  • 3.6: Dreifachintegrale in Zylinder- und Kugelkoordinaten
    Manchmal müssen Sie möglicherweise das Volumen von Formen mit zylindrischer, konischer oder kugelförmiger Form berechnen. Anstatt solche Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten auszuwerten, können Sie die Integrale vereinfachen, indem Sie die Koordinaten in Zylinder- oder Kugelkoordinaten transformieren. Für dieses Thema werden wir lernen, wie man solche Transformationen durchführt und dann die Tripelintegrale auswertet.
  • 3.7: Momente und Massenschwerpunkte
    Dieser Abschnitt zeigt, wie die Massen und Momente von zwei- und dreidimensionalen Objekten in kartesischen (x,y,z)-Koordinaten berechnet werden.
  • 3.8: Jakobiner
    Das Ziel dieses Abschnitts ist es, den "zusätzlichen Faktor" für eine allgemeinere Transformation zu finden. Wir nennen diesen "Zusatzfaktor" den Jacobi der Transformation. Wir können es finden, indem wir die Determinante der Zwei-mal-Zwei-Matrix der partiellen Ableitungen bilden.
  • 3.9: Substitutionen in mehreren Integralen
    Dieser Abschnitt behandelt die Translation eines Graphen von der kartesischen xy-Ebene in die kartesische uv-Ebene und definiert die Jacobi-Ebene. Der Jacobi-Wert misst, wie stark sich das Volumen an einem bestimmten Punkt bei der Transformation von einem Koordinatensystem in ein anderes ändert.

3. Doppelintegrale und Linienintegrale in der Ebene

Diese Einheit beginnt unser Studium der Integration von Funktionen mehrerer Variablen. Um die Visualisierungsschwierigkeiten so gering wie möglich zu halten, betrachten wir nur Funktionen von zwei Variablen. (Wir werden uns in der nächsten Einheit Funktionen von drei Variablen ansehen.)

Unsere Hauptuntersuchungsobjekte werden zwei Arten von Integralen sein:

  1. Doppelintegrale, das sind Integrale über planaren Bereichen.
  2. Linien- oder Pfadintegrale, die Integrale über Kurven sind.

Alle Integrale kann man sich als Summe vorstellen, technisch gesehen ein Grenzwert von Riemann-Summen, und das wird keine Ausnahme sein. Wenn Sie sich vergewissern, dass Sie diese einfache Idee beherrschen, werden Sie feststellen, dass die Anwendungen und Beweise für diese Integrale einfach sind.

Wir schließen die Einheit ab, indem wir den Satz von Green lernen, der die beiden Arten von Integralen in Beziehung setzt und eine Verallgemeinerung des Fundamentalsatzes der Infinitesimalrechnung ist. Auf dem Weg werden wir die Konzepte der Arbeit und des zweidimensionalen Flusses sowie zwei Arten von Ableitungen von vektorwertigen Funktionen zweier Variablen einführen, die Kräuselung und die Divergenz.


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Verwenden Sie die Mittelpunktsregel, um das Volumen unter der Kurve anzunähern.

Wenn wir die erhaltenen Werte in die Mittelpunktsregelformel einsetzen, erhalten wir

. int_0^4int_0^2x+y^2+2 dx dyapproxsum^2_sum^2_fleft(overline,overline echts)Delta.

Beachten Sie das Doppelintegral auf der linken Seite der Gleichung. Wir haben es in ein iteriertes Integral umgewandelt (wo wir jeweils in Bezug auf eine Variable integrieren können), indem wir die . x. -Intervall zum inneren Integral und die . y. -Intervall zum äußeren Integral. Da wir die Integrationsgrenzen für . x. auf das innere Intervall, das heißt, wir müssen auch . dx. innen vor. dy. was an zweiter Stelle steht, da die Integrationsgrenzen für . y. sind außenintegral.

Wir könnten dieses iterierte Integral auswerten, um zu finden genau Volumen unter der Kurve über dem Rechteck. R=[0,2] imes[0,4]. aber wir wurden gebeten, die Mittelpunktsregel zu verwenden, um ungefähr Volumen, also verwenden wir stattdessen die rechte Seite der Formel.

Wir müssen das Rechteck definieren. R. dann teilen Sie es in kleinere Rechtecke basierend auf . m. und . n. und dann den Mittelpunkt jedes Rechtecks ​​finden, damit wir die Mittelpunkte in unsere Funktion einfügen können. f(x,y)=x+y^2+2. Setzen Sie dann die Summe der Ergebnisse in die Näherungsformel für ein. fleft(overline,overlineRechts).

Das Rechteck. R=[0,2] imes[0,4]. bedeutet, dass wir über die integrieren wollen. x. -Intervall. [0,2]. und über die . y. -Intervall. [0,4].


CLP-3 Multivariabler Calculus

Doppelintegrale sind nicht nur für die Berechnung von Flächen und Volumina nützlich. Hier sind einige andere Anwendungen, die zu Doppelintegralen führen.

Unterabschnitt 3.3.1 Durchschnitte

In Abschnitt 2.2 des CLP-2-Textes haben wir den Mittelwert einer Funktion einer Variablen definiert. Wir werden diese Diskussion nun auf Funktionen von zwei Variablen erweitern. Zunächst erinnern wir uns an die Definition des Mittelwertes einer endlichen Menge von Zahlen.

Definition 3.3.1.

Der Durchschnitt (Mittelwert) einer Menge von (n) Zahlen (f_1 ext<,>) (f_2 ext<,>) (cdots ext<,>) (f_n ) ist

Die Notationen (ar f) und (llt f gt) werden beide häufig verwendet, um den Durchschnitt darzustellen.

Nehmen wir nun an, wir wollen den Durchschnitt einer Funktion (f(x,y)) mit ((x,y)) nehmen, die kontinuierlich über eine Region (cR) im (xy) -Flugzeug. Ein natürlicher Ansatz zur Definition dessen, was wir unter dem Durchschnittswert von (f) über (cR) verstehen, ist

  • Fixiere zuerst eine beliebige natürliche Zahl (n ext<.>)
  • Unterteile die Region (cR) in winzige (ungefähre) Quadrate mit jeweils der Breite (De x=frac<1>) und Höhe (De y =frac<1> ext<.>) Dies kann zum Beispiel durch Unterteilen vertikaler Streifen in winzige Quadrate erfolgen, wie in Beispiel 3.1.11.
  • Benennen Sie die Quadrate (in beliebiger Reihenfolge) (R_1 ext<,>) (R_2 ext<,>) (cdots ext<,>) (R_N ext<,>) wobei (N) die Gesamtzahl der Quadrate ist.
  • Wähle für jeden (1le ile N ext<,>) einen Punkt im Quadrat (i) und nenne ihn ((x_i^*,y_i^*) ext<.> ) Also ((x_i^*,y_i^*)in R_i ext<.>)
  • Der Durchschnittswert von (f) an den ausgewählten Punkten ist

Sobald wir die Riemann-Summen haben, ist klar, was als nächstes zu tun ist. Mit dem Grenzwert (n ightarrowinfty ext<,>) erhalten wir genau (frac,dee> ,dee> ext<.>) Deshalb definieren wir

Definition 3.3.2.

Sei (f(x,y)) eine integrierbare Funktion, die auf dem Gebiet (cR) in der (xy)-Ebene definiert ist. Der Durchschnittswert von (f) auf (cR) ist

Beispiel 3.3.3 . Durchschnitt.

Sei (a gt 0 ext<.>) Ein Berg, nenne ihn Half Dome 1 , hat die Höhe (z(x,y)=sqrt) über jedem Punkt ((x,y)) in der Basisregion (cR=Set<(x,y)> ext<.>) Ermitteln Sie seine durchschnittliche Höhe.


3: Mehrere Integrale

Die Integration einer Funktion von drei Variablen, w=f(x,y,z), über einen dreidimensionalen Bereich R im xyz-Raum wird als Tripelintegral bezeichnet und heißt

Diese Seite enthält die folgenden Abschnitte:

Angenommen, R ist die Box mit a<=x<=b, c<=y<=d und r<=z<=s.

Das Tripelintegral ist gegeben durch

Um das iterierte Integral links zu berechnen, integriert man zuerst nach z, dann nach y, dann nach x. Wenn man in Bezug auf eine Variable integriert, werden alle anderen Variablen als konstant angenommen. Für einen kastenförmigen Bereich ist das Integral unabhängig von der Integrationsordnung, vorausgesetzt, f(x,y,z) ist stetig. Daher gibt es insgesamt 6 Möglichkeiten, die Integrationen zu bestellen. Zum Beispiel können wir bezüglich x integrieren, dann z, dann y. In diesem Fall haben wir

Betrachten Sie das folgende Beispiel:

Integrieren in Bezug auf z, behandeln x und y als Konstanten, erhalten wir

Beachten Sie, dass z vollständig aus dem Ausdruck auf der rechten Seite verschwunden ist. Das mittlere Integral bezieht sich auf y und x wird als Konstante behandelt. Wir haben

Beachten Sie, dass y aus dem Ausdruck auf der rechten Seite verschwunden ist. Das äußere Integral bezieht sich auf x. Wir haben

Sie sollten überprüfen, ob die gleiche Antwort erhalten wird, wenn die Integrationsreihenfolge geändert wird.

Um ein besseres Verständnis von Tripelintegralen zu erhalten, betrachten wir das folgende Beispiel, bei dem das Tripelintegral bei der Berechnung der Masse entsteht. Angenommen, die Region R im xyz-Raum entspricht einem Objekt und f(x,y,z) ist die Dichte pro Volumeneinheit am Punkt (x,y,z). Wenn die Dichte konstant ist, ist die Masse des Objekts das Produkt aus Dichte und Volumen von R. Wenn die Dichte mit der Position variiert, können wir diese allgemeine Formel nicht anwenden.

Wir können die Masse berechnen, indem wir das R in einen Haufen infinitesimaler Kästchen zerlegen. Betrachten Sie die Box zwischen x und x+dx, y und y+dy und z und z+dz. Hier sind dx, dy und dz infinitesimale Zahlen. In dieser kleinen Box ist die Dichte im Wesentlichen konstant und gleich f(x,y,z). Die Masse der kleinen Kiste ist das Produkt aus Dichte und Volumen. Das Volumen der Box ist dxdydz. Daher ist die Masse der kleinen Box f(x,y,z)dxdydz. Das Tripelintegral gibt die Gesamtmasse des Objekts an und ist gleich der Summe der Massen aller infinitesimalen Kästchen in R.

Tripelintegrale entstehen auch bei der Berechnung von

  • Volumen (wenn f(x,y,z)=1, dann ist das Tripelintegral gleich dem Volumen von R)
  • Ein 3D-Objekt erzwingen
  • Durchschnitt einer Funktion über eine 3D-Region
  • Massenschwerpunkt und Trägheitsmoment

Wir möchten Tripelintegrale für allgemeinere Bereiche integrieren können. Allgemeine Regionen werden in drei Typen eingeteilt. Angenommen, der Bereich R ist so, dass g_1(x,y)<=z<=g_2(x,y) ist, wobei (x,y) im Bereich D in der xy-Ebene liegt, wie in der Abbildung gezeigt:

Die Region D ist die Projektion von R auf die xy-Ebene. Das Tripelintegral ist gegeben durch

ist bezüglich z. Das Ergebnis ist eine Funktion von x und y. Der Rest der Rechnung

ist ein Doppelintegral über den Bereich D in der xy-Ebene.

Ist der Bereich R so definiert, dass g_1(x,z)<=y<=g_2(x,z), (x,z) im Bereich D in der xz-Ebene liegt, dann

Das innere Integral bezieht sich auf y. Der Rest der Berechnung beinhaltet ein Doppelintegral über den Bereich D in der xz-Ebene.

Nehmen wir schließlich an, dass R so ist, dass g_1(y,z)<=x<=g_2(y,z), wobei (y,z) in einem Gebiet D in der yz-Ebene liegt, dann

Das innere Integral ist bezüglich x. Der Rest der Berechnung beinhaltet ein Doppelintegral über den Bereich D in der yz-Ebene.

Betrachten Sie das Dreifachintegral

wobei R die tetraedrische Region ist, die von den Ebenen x=0, y=0, z=0 und x+y+z=2 begrenzt wird (siehe Abbildung unten).

Es gibt mehrere Möglichkeiten, das Integral zu berechnen. Wir können die Gleichung der Ebene x+y+z=2 umschreiben als z=2-x-y. Beachten Sie, dass 0<=z=<2-x-y. Daher haben wir

Das innere Integral ist (denken Sie daran, dass x und y Konstanten in dieser Integration sind)

Die Projektion des Bereichs R auf die xy-Ebene ist das in der folgenden Abbildung gezeigte Dreieck D:

Somit bleibt das Doppelintegral

Wir können das Doppelintegral auch auswerten, indem wir zuerst nach x und dann nach y integrieren. In diesem Fall


Stewart-Kalkül 7e-Lösungen Kapitel 15 Mehrfachintegrale Aufgabe 15.4

Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 1E

Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 2E

Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 3E


Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 4E

Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 5E

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Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 9E


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.

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Kapitel 15 Mehrere Integrale 15.4 41E






8.4: Doppel- und Dreifachintegrale

  • Beigetragen von Marcia Levitus
  • Associate Professor (Biodesign Institute) an der Arizona State University Ar

Wir können die Idee eines bestimmten Integrals auf weitere Dimensionen erweitern. Wenn (f(x,y)) über das Rechteck (R=[a,b] imes[c,d]) stetig ist, dann gilt:

Wenn (f(x,y)geq0), dann repräsentiert das Doppelintegral das Volumen (V) des Festkörpers, das über dem Rechteck (R) und unter der Oberfläche (z=f(x ,y)) (Abbildung (PageIndex<1>)).

Abbildung (PageIndex<1>): Geometrische Interpretation eines Doppelintegrals (CC BY-NC-SA Marcia Levitus)

Wir können das Doppelintegral von Gleichung ef . berechnen wie:

was bedeutet, dass wir zuerst berechnen

Konstanthalten von (x) und Integrieren in Bezug auf (y). Das Ergebnis ist eine Funktion, die nur (x) enthält und die wir zwischen (a) und (b) bezüglich (x) integrieren.

Lass &rsquos beispielsweise (int_<0>^<3>int_<1>^<2> . lösen). Wir beginnen mit der Lösung von (int_<1>^<2>) Halten von (x) konstant:

Nun integrieren wir diese Funktion von 0 bis 3 bezüglich (x):

Sie können natürlich zuerst von 0 nach 3 integrieren bezüglich (x) bei konstantem (y) und dann das Ergebnis bezüglich (y) von 1 nach 2 integrieren. Versuchen Sie es auf diese Weise und überprüfen Sie du bekommst das gleiche ergebnis.

Dreifachintegrale funktionieren auf die gleiche Weise. Wenn (f(x,y,z)) auf der rechteckigen Box (B=[a,b] imes[c,d] imes[r,s]) stetig ist, dann

Dieses iterierte Integral bedeutet, dass wir zuerst bezüglich (x) integrieren (wobei (y) und (z) fest bleiben), dann integrieren wir bezüglich (y) (bei (z) fest), und schließlich integrieren wir bezüglich (z). Es gibt fünf weitere mögliche Reihenfolgen, in die wir integrieren können, die alle den gleichen Wert haben.

Benötigen Sie eine Auffrischung zu Doppel- und Dreifachintegralen? Sehen Sie sich die Videos unten an, bevor Sie zu den Beispielen der physikalischen Chemie übergehen.

  • Beispiel 1: http://www.youtube.com/watch?v=RqD89-afGS0
  • Beispiel 2: http://www.youtube.com/watch?v=CPR0ZD0IYVE (siehe Beispiel, das um 3:45 Minuten beginnt und um 5:07 Minuten endet)

Dreifachintegrale werden in der physikalischen Chemie sehr häufig verwendet, um Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen zu normalisieren. In der Quantenmechanik wird beispielsweise das absolute Quadrat der Wellenfunktion (left | psi (x,y,z) ight |^2) interpretiert als a Wahrscheinlichkeitsdichte, die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Volumen (dx.dy.dz) befindet. Da die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden, gleich 1 ist, fordern wir:

Wir haben Wellenfunktionen bereits in Abschnitt 2.3 erwähnt, wo wir gezeigt haben, dass

[links | psi (x,y,z) ight |^2=psi^*(x,y,z) psi(x,y,z) onumber]

Die Normierungsbedingung kann daher auch geschrieben werden als

In der Quantenmechanik wird der niedrigste Energiezustand eines in einer dreidimensionalen Box eingeschlossenen Teilchens dargestellt durch

(psi (x,y,z)=0) sonst (außerhalb der Box).

Hier ist (A) eine Normierungskonstante und (a),(b) und (c) sind die Längen der Seiten der Box. Da die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen irgendwo im Raum zu finden, gleich 1 ist, fordern wir, dass

Finden Sie die Normalisierungskonstante (A) in Bezug auf (a,b,c) und andere Konstanten.


Beispiel

Beispielfrage: Berechnen Sie das folgende Doppelintegral:

Ein kurzer Blick auf dieses Integral zeigt a Problem: Das “inside” Integral (in Bezug auf x integrierend) erfordert, dass Sie die Stammfunktion von 1/&radic(x 3 + 1) finden. Da es keine Integrationsregel gibt, die dabei helfen kann, werden wir die Reihenfolge der Integration ändern, um eine Lösung zu finden.

Schritt 1: Schreiben Sie die Integrationsgrenzen als Ungleichungen:

Schritt 2: Finden Sie einen neuen Satz von Ungleichungen das die Region mit den Variablen in umgekehrter Reihenfolge beschreibt. Notiz: Dieser Schritt ist viel einfacher, wenn Sie ein Diagramm der Fläche zeichnen.

In der Menge der Ungleichungen aus Schritt 1 kam y an erster Stelle. So zuerst, Definiere die Region in Bezug auf x stattdessen.

Der schattierte Bereich wird nach links und rechts durch x-Werte zwischen 0 und 1 begrenzt. Grafisch mit Desmos.com.

Als Nächstes möchten Sie Definiere die Form in Bezug auf die y-Variable Dies ist der von oben und unten begrenzte Bereich.
Die Fläche wird unten durch die Linie y = 0 (also die x-Achse) und oben durch die Gleichung y = x 2 begrenzt, also:
(0 &le y &le x 2 ).

Die neue Menge von Ungleichungen, vorausgesetzt wir sind Umkehren der Integrationsreihenfolge, ist:
(0 &le x &le 1)
(0 &le y &le x 2 ).

Schritt 3: Schreiben Sie das neue Integral mit den Ungleichungen aus Schritt 2. Vergessen Sie nicht, “dx” und “dy” umzukehren.

Schritt 4: Integrieren Sie wie gewohnt. Für dieses Doppelintegral müssen Sie zweimal integrieren: einmal in Bezug auf y, dann in Bezug auf x.


Änderung von Variablen in mehreren Integralen

Die Substitution (oder Änderung von Variablen) ist eine leistungsfähige Technik zur Bewertung von Integralen in der Einzelvariablenrechnung. Für den Umgang mit mehreren Integralen steht eine äquivalente Transformation zur Verfügung. Die Idee ist, die ursprünglichen Integrationsvariablen durch die neuen Variablen zu ersetzen. Auf diese Weise werden der Integrand und die Integrationsgrenzen geändert. Wenn wir das Glück haben, eine bequeme Variablenänderung zu finden, können wir den Integranden oder die Schranken erheblich vereinfachen.

Änderung der Variablenformel

Zweidimensionale Bilder sind am einfachsten zu zeichnen, daher beginnen wir mit Funktionen von zwei Variablen. Unsere erste Aufgabe besteht darin, sich mit Transformationen zweidimensionaler Bereiche vertraut zu machen.

Transformationen in ( mathbb R^2 )

Angenommen, ( S ) sei eine Region in ( mathbb R^2 ). Wir wollen untersuchen, wie diese Region in eine andere Region ( T ) umgewandelt werden kann.

Dies lässt sich am einfachsten anhand eines Beispiels erklären. Sei ( S=[0,2] imes[0,2]). Betrachten Sie die Funktionen ( u:S o mathbb R ) und ( v:S omathbb R ) wie folgt definiert: egin u(x,y)&=&x+2y v(x,y)&=&x-y.end Jedem Punkt ((x,y)in S) ((S) ist im linken Diagramm blau eingefärbt) können wir einen neuen grünen Punkt mit den Koordinaten ((u(x,y), v(x,y))). Auf diese Weise erhalten wir einen grünen Bereich ( T ).

Die Abbildung ( (x,y)mapsto (u(x,y),v(x,y)) ) ist eins zu eins und auf, daher eine Bijektion (Sie können diese Terme im Abschnitt Funktionen). Wir können auch die inverse Transformation schreiben, die jeden Punkt ( (u,v)in T ) auf den Punkt ( (x(u,v),y(u,v)) ) auf folgende Weise abbildet : Start x(u,v)&=&frac3 y(u,v)&=&frac3. end

Änderung von Variablen in Doppelintegralen

Nehmen Sie an, dass ( ​​Ssubseteq mathbb R^2 ) eine Region in der Ebene ist. Sei ( Tsubseteqmathbb R^2 ) ein weiterer Bereich und es gebe stetig differenzierbare Funktionen ( X:T omathbb R) und ( Y:T omathbb R), so dass die Abbildung ( Phi(u,v)= (X(u,v),Y(u,v)) ) eine Bijektion zwischen ( T ) und ( S ) ist.

Wir lassen den Beweis weg - Sie werden in der Infinitesimalrechnung ganz gut zurechtkommen, ohne diesen Beweis zu kennen.

Die Transformation ((x,y)mapsto (2x+3y,x-3y)) ist linear, und das Bild des ursprünglichen Parallelogramms muss ebenfalls ein Parallelogramm sein. Der Scheitel ( (0,0) ) wird auf den Scheitel ( (0,0) ) des neuen Parallelogramms abgebildet. Ebenso wird ( left(1,frac13 ight) ) auf ( (3,0) ), ( left(frac43,frac19 ight)mapsto (3,1) ), und ( left(frac13,-frac29 ight)mapsto (0,1) ).

Um den Jacobi-Wert zu finden, müssen wir (x) und (y) durch (u) und (v) ausdrücken. Wir tun dies, indem wir das System ( u=x+3y ), ( v=y ) lösen und erhalten:

Bezeichne mit ( E ) das Parallelogramm mit den Ecken ( (0,0) ), ( (3,0) ), ( (3,1) ) und ( (0,1) ). Wir haben eginiint_D e^<2x+3y>cdot cos(x-3y),dxdy&=&iint_E e^ucdot cos v cdotleft|-frac19 ight|,dudv=frac19 iint_Ee^ucos v,dudv &=&frac19int_0^1int_0^3e^ucos v,dudv=frac19 int_0^1left.left(cos v cdot e^u ight) ight|_^,dv &=&frac19int_0^1 left(e^3-1 ight)cdot cos v,dv=frac9cdot left.sin v ight|_^ &=&frac<9>.end

Änderung von Variablen in Tripelintegralen

Nehmen Sie an, dass ( ​​S, Tsubseteq mathbb R^3 ) zwei Bereiche im Raum sind. Angenommen, es gibt stetig differenzierbare Funktionen ( X:T omathbb R), ( Y:T omathbb R) und ( Z:T omathbb R), so dass die Abbildung ( Phi:T o S ) definiert als ( Phi(u,v,w)= (X(u,v,w),Y(u,v,w),Z(u,v ,w)) ) ist eine Bijektion.

Ausgelassen. Siehe jedes echte Analyse-Lehrbuch.

Polare, zylindrische und sphärische Substitutionen

Wir werden nun sehr wichtige Substitutionen untersuchen, die verwendet werden, um Integrationen über kreisförmige, sphärische, zylindrische und elliptische Bereiche zu vereinfachen. Eine davon ist auf Doppelintegrale anwendbar und wird als Polaränderung von Variablen bezeichnet und die anderen beiden, zylindrisch und sphärisch, werden in Dreifachintegralen verwendet.

Polare Substitution

Die folgende Variablenänderung wird als polare Substitution bezeichnet: egin x&=&rcos heta y&=&rsin heta. Ende Der Jacobi-Wert für die polare Substitution ist gleich: [ frac=detleft|egin cos heta&-rsin heta sin heta&rcos hetaend ight|=rcos^2 heta+rsin^2 heta=r.]

Die Variablen ( r ) und ( heta ) haben die geometrische Bedeutung im ( xy )-Koordinatensystem. Der Abstand zwischen ((x,y)) und dem Ursprung ist genau (r), während ( heta) der Winkel zwischen der (x)-Achse und der Verbindungslinie von ((x ,y) ) mit ( (0,0) ).

Lassen Sie uns die folgende Substitution verwenden: egin x&=&rcos heta y&=&rsin heta 0leq &r&leq 3 0leq & heta &< 2pi. Ende Die Transformation ( (r, heta)mapsto (rcos heta,rsin heta)) ist eine Bijektion zwischen dem Rechteck ( [0,3] imes[0,2pi] ) in der ( (r, heta))-Ebene und der Scheibe vom Radius ( 3 ).

Da ( x^2+y^2=r^2cos^2 heta+r^2sin^2 heta=r^2) wird das Integral zu: egin iint_D cosleft(x^2+y^2 ight),dxdy&=&int_0^<2pi>int_0^3 cosleft(r^2 ight) cdot r, drd heta. Ende Für das Integral ( int_0^3cosleft(r^2 ight)r,dr) verwenden wir die Substitution ( r^2=u). Dann haben wir ( r=sqrt u) und ( dr=frac1<2sqrt u>,du). Die Integrationsgrenzen werden ( 0leq uleq 9 ), und das Integral ist [ int_0^3cos(r^2)r,dr=int_0^9cos ucdot sqrt ucdot frac1<2sqrt u>,du=frac12int_0^9cos u,du=frac2.] Also [ iint_D cosleft( x^2+y^2 ight),dxdy= int_0^<2pi>frac2,d heta= sin 9cdot pi.]

Bei Ellipsen wird häufig die modifizierte polare Substitution verwendet. Wenn die Ellipsengleichung ( frac+frak=1 ), wird die folgende Substitution verwendet, um sein Inneres zu beschreiben: egin x&=&arcos heta y&=&brsin heta 0leq&r&leq 1 0leq& heta&leq 2pi. Ende

Lassen Sie uns die folgende Substitution verwenden: egin x&=&rcos heta y&=&rsin heta z&=&z 0leq &r&leq 2 0leq & heta &< frac4 0 leq&z&leq 4-r^2. Ende Die Transformation ( (r, heta,z)mapsto (rcos heta,rsin heta,z)) ist eine Bijektion zwischen dem Festkörper und dem Festkörper (B) definiert als: [ B =left<(r, heta,z):0leq rleq 2, 0leq hetaleq frac4, 0leq z leq 4-r^2 ight >] im ( (r, heta,z))-Raum und dem Festkörper ( D ) aus der Problemformulierung.

Da ( x^2+y^2=r^2cos^2 heta+r^2sin^2 heta=r^2) wird das Integral zu: egin iiiint_D e^,dxdydz&=&int_0^<2>int_0^4>int_0^ <4-r^2>e^ cdot r,dzd heta dr &=&int_0^<2>int_0^4> e^ cdot r(4-r^2),d heta dr &=&frac4cdotint_0^2 r(4-r^2)e^,DR. Ende Im letzten Integral verwenden wir die Substitution ( r^2=u). Dann haben wir ( r=sqrt u) und ( dr=frac1<2sqrt u>,du). Die Integrationsgrenzen werden ( 0leq uleq 4 ), und das Integral ist [ int_0^2 r(4-r^2)e^,dr=int_0^4sqrt ucdot(4-u)cdot e^ucdotfrac1<2sqrt u>,du=frac12int_0^44e^u,du- frac12int_0^4ue^u,du.] Der erste Term auf der rechten Seite ist gleich ( 2left(e^4-1 ight)), und für den zweiten verwenden wir die Integration nach Teilen. Wir nehmen ( f=u ), ( dg=e^udu ), was uns ( g=e^u ) ergibt und das Integral wird: [ int_0^4ue^u,du= left.ue^u ight|_0^4-int_0^4e^u,du=4e^4-e^4+1.] Also [ int_0^2r(4-r^2)e^,dr=2e^4-2-2e^4+frac2-frac12=frac2,] also [ iiiint_D e^,dxdydz= frac8. ]

Sphärische Substitution

Sphärische Substitution bedeutet das Ersetzen der ursprünglichen Variablen ((x,y,z)) durch die Variablen (( ho, heta,phi)), wobei ( ho) der Abstand der Punkte ( (x,y,z) ) vom Ursprung ( (0,0,0) ) ( heta ) ist der Winkel, den die Verbindungslinie von ( (0,0,0) ) und ( (x,y,0) ) bildet mit der ( x )-Achse, und ( phi ) ist der Winkel zwischen der ( z )-Achse und der Verbindungslinie ( (x,y ,z) ) mit ( (0,0,0) ). Mathematisch lauten die Gleichungen: egin x&=& hocos hetasinphi y&=& hosin hetasinphi z&=& hocosphi. Ende Wir können den Jacobi-Wert finden, indem wir die entsprechende Determinante berechnen: egin frac&=&detleft|egin cos hetasinphi &- hosin hetasinphi & hocos hetacosphi sin hetasinphi& hocos hetasin phi& hosin hetacosphi cosphi&0&- hosinphiend echts| &=&- ho^2cos^2 hetasin^3phi- ho^2sin^2 hetasinphicos^2phi- ho^2cos ^2 hetasinphicos^2phi- ho^2sin^2 hetasin^3phi &=&- ho^2sin^3phi- ho ^2sinphicos^2phi=- ho^2sinphi .end Da wir bei der Auswertung des Integrals den Absolutwert des Jacobi-Wertes verwenden und (phiinleft(0,frac2 ight)) ist es ausreichend und bequemer sich daran zu erinnern, dass [ left|frac ight|= ho^2sinphi.]

Lassen Sie uns die folgende Substitution verwenden: egin x&=& hocos hetasinphi y&=& hosin hetasinphi z&=& hocosphi 0leq & ho&leq 3 0leq & heta &< frac4 0leq&phi&leq frac2. Ende Die Auswertung des Integrals ist jetzt einfach, da es ein iteriertes Integral in den Variablen ( ho), ( heta) und (phi) wird. Start iiiint_D e^>,dV&=& int_0^<3>int_0^4>int_0^2> e^< ho>cdot ho^2cdot sinphi,dphi d heta d ho =int_0^3int_0^4>e^< ho>cdot ho^2cdot left. left(-cosphi ight) ight|_^2>,d heta d ho &=&int_0^3 int_0^4>e^< ho>cdot ho^2cdot 1,d heta d ho=frac4cdotint_0^3 rho^2e^< ho>,d ho.end Im letzten Integral können wir eine partielle Integration mit Funktionen ( u= ho^2 ), ( d v=e^< ho>,d ho ) verwenden. Dann gilt ( du=2 ho,d ho) und wir können ( v=e^ < ho>) nehmen. Das Integral wird zu: egin int_0^3e^< ho> ho^2,d ho=left. ho^2e^< ho> ight|_0^3-2int_0^3 ho e^< ho >,d ho &=& 9e^3-left.2 ho e^< ho> ight|0^<3>+2int_0^3e^< ho>,d ho= 9e^3-6e^3+2e^3-2=5e^3-2. Ende Das Endergebnis ist also: egin iiint_D e^>,dV&=&frac4. Ende


So funktioniert der Doppelintegralrechner

Der Rechner auf dieser Seite berechnet Ihr Doppelintegral symbolisch mithilfe eines Computeralgebrasystems. Bei der symbolischen Integration verwendet der Computer Algebra und Integralregeln, um die Stammfunktion der Funktion zu bilden, bevor er den fundamentalen Satz der Analysis anwendet. Im Wesentlichen folgt die symbolische Integration den gleichen Schritten wie ein Mensch mit Papier und Bleistift. Es hat die Fähigkeit, eine nahezu perfekte Lösungsgenauigkeit zu erreichen. Der Rechner auf dieser Seite ist bis auf die 5. Dezimalstelle genau!

Die Alternative zur symbolischen Integration zur Lösung von Integralen heißt numerische Methoden/Integration. Eine numerische Routine führt eine relativ kleine, angenäherte Version des Problems so oft wie nötig aus, um zu einer genauen Lösung zu konvergieren. Im Allgemeinen können numerische Routinen eine größere Bandbreite von Problemen lösen, können jedoch länger dauern und möglicherweise weniger genau sein.


Schau das Video: schriftliche Addition Teil 3 mehrere Überträge 1 (Januar 2022).