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3.4E: Übungen - Mathematik


Finden Sie in den Aufgaben ((3.4E.1)) bis ((3.4E.6)) alle Lösungen.

Übung (PageIndex{1})

(displaystyle{y'={3x^2+2x+1über y-2}})

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Übung (PageIndex{2})

((sin x)(sin y)+(cos y)y'=0)

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Übung (PageIndex{3})

(xy'+y^2+y=0)

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Übung (PageIndex{4})

(y' ln |y|+x^2y= 0)

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Übung (PageIndex{5})

(displaystyle{(3y^3+3y cos y+1)y'+{(2x+1)yover 1+x^2}=0})

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Übung (PageIndex{6})

(x^2yy'=(y^2-1)^{3/2})

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Finden Sie in den Aufgaben ((3.4E.7)) bis ((3.4E.10)) alle Lösungen. Zeichnen Sie außerdem ein Richtungsfeld und einige Integralkurven auf dem angezeigten rechteckigen Bereich.

Übung (PageIndex{7})

(displaystyle{y'=x^2(1+y^2)}; ;{-1le xle1, -1le yle1})

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Übung (PageIndex{8})

( y'(1+x^2)+xy=0 ; {-2le xle2, -1le yle1})

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Übung (PageIndex{9})

(y'=(x-1)(y-1)(y-2); {-2le xle2, -3le yle3})

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Übung (PageIndex{10})

((y-1)^2y'=2x+3; ;{-2le xle2, -2le yle5})

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Lösen Sie in den Aufgaben ((3.5E.11)) bis ((3.5E.12)) das Anfangswertproblem.

Übung (PageIndex{11})

(displaystyle{y'={x^2+3x+2over y-2}, quad y(1)=4})

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Übung (PageIndex{12})

(y'+x(y^2+y)=0, quad y(2)=1)

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Lösen Sie in den Aufgaben ((3.5E.13)) bis ((3.5E.16)) das Anfangswertproblem und zeichnen Sie die Lösung.

Übung (PageIndex{13})

((3y^2+4y)y'+2x+cos x=0, quad y(0)=1)

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Übung (PageIndex{14})

(displaystyle{y'+{(y+1)(y-1)(y-2)over x+1}=0, quad y(1)=0})

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Übung (PageIndex{15})

(y'+2x(y+1)=0, quad y(0)=2)

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Übung (PageIndex{16})

(y'=2xy(1+y^2),quad y(0)=1)

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Lösen Sie in den Aufgaben ((3.4E.17)) bis ((3.4E.23)) das Anfangswertproblem und bestimmen Sie das Gültigkeitsintervall der Lösung.

Übung (PageIndex{17})

(y'(x^2+2)+ 4x(y^2+2y+1)=0, quad y(1)=-1)

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Übung (PageIndex{18})

(y'=-2x(y^2-3y+2), quad y(0)=3)

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Übung (PageIndex{19})

(displaystyle{y'={2xover 1+2y}, quad y(2)=0})

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Übung (PageIndex{20})

(y'=2y-y^2, quad y(0)=1)

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Übung (PageIndex{21})

(x+yy'=0, quad y(3) =-4)

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Übung (PageIndex{22})

(y'+x^2(y+1)(y-2)^2=0, quad y(4)=2)

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Übung (PageIndex{23})

((x+1)(x-2)y'+y=0, quad y(1)=-3)

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Übung (PageIndex{24})

Löse (displaystyle{y'={(1+y^2) over (1+x^2)}}) explizit.

Hinweis: Verwenden Sie die Identität (displaystyle{ an(A+B)={ an A+ an Bover1- an A an B}}).

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Übung (PageIndex{25})

Löse (displaystyle {y'sqrt{1-x^2}+sqrt{1-y^2}=0}) explizit.

Hinweis: Verwenden Sie die Identität (sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B).

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Übung (PageIndex{26})

Löse (displaystyle{y'={cos xoversin y},quad y (pi)={piover2}}) explizit.

Hinweis: Verwenden Sie die Identität (cos(x+pi/2)=-sin x) und die Periodizität des Kosinus.

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Übung (PageIndex{27})

Löse das Anfangswertproblem

egin{eqnarray*}
y'=ay-by^2,quad y(0)=y_0.
end{eqnarray*}

Diskutieren Sie das Verhalten der Lösung, wenn Teil (a) (y_0ge0); Teil (b) (y_0<0).

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Übung (PageIndex{28})

Die Population (P=P(t)) einer Art erfüllt die logistische Gleichung

egin{eqnarray*}
P'=aP(1-alphaP)
end{eqnarray*}

und (P(0)=P_0>0). Finden Sie (P) für (t>0) und finden Sie (lim_{t oinfty}P(t)).

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Übung (PageIndex{29})

Eine Epidemie breitet sich in einer Bevölkerung mit einer Geschwindigkeit aus, die proportional zum Produkt aus der Anzahl der bereits infizierten Personen und der Anzahl der anfälligen, aber noch nicht infizierten Personen ist. Wenn also (S) die Gesamtpopulation anfälliger Personen und (I=I(t)) die Anzahl der infizierten Personen zum Zeitpunkt (t) bezeichnet, dann

egin{eqnarray*}
Ich'=rI(S-I),
end{eqnarray*}

wobei (r) eine positive Konstante ist. Angenommen (I(0)=I_0), finden Sie (I(t)) für (t>0) und zeigen Sie, dass (lim_{t oinfty}I(t)= S).

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TBD.

Übung (PageIndex{30})

Das Ergebnis von Übung ((3.5E.29)) ist entmutigend: Wenn zuerst ein anfälliges Mitglied der Gruppe infiziert wird, dann sind auf lange Sicht alle anfälligen Mitglieder infiziert! Angenommen, die Krankheit breitet sich nach dem Modell von Übung ((3.5E.29)) aus, aber es gibt ein Medikament, das die infizierte Bevölkerung proportional zur Anzahl der infizierten Personen heilt. Die Gleichung für die Zahl der Infizierten lautet nun

egin{equation} label{eq:3.5E.1}
I'=rI(S-I)-qI
end{gleichung}

wobei (q) eine positive Konstante ist.

(a) Wähle (r) und (S) positiv. Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von eqref{eq:3.5E.1} auf geeigneten rechteckigen Gittern

egin{eqnarray*}
R={0le tle T, 0le I le d}
end{eqnarray*}

in der ((t,I))-Ebene verifizieren Sie, dass wenn (I) eine Lösung von eqref{eq:3.5E.1} mit (I(0)>0) ist, dann (lim_{t oinfty}I(t)=Sq/r) falls (q

(b) Um die experimentellen Ergebnisse von Teil (a) zu überprüfen, verwenden Sie die Trennung von Variablen, um eqref{eq:3.5E.1} mit der Anfangsbedingung (I(0)=I_0>0) zu lösen, und finden Sie ( lim_{t oinfty}I(t)).

Hinweis: Es sind drei Fälle zu berücksichtigen: part(i) (qrS); Teil(iii) (q=rS)

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Übung (PageIndex{31})

Betrachten Sie die Differentialgleichung

egin{equation} label{eq:3.5E.2}
y'=ay-by^2-q,
end{gleichung}

wobei (a), (b) positive Konstanten sind und (q) eine beliebige Konstante ist. Angenommen (y) bezeichnet eine Lösung dieser Gleichung, die die Anfangsbedingung (y(0)=y_0) erfüllt.

(a) Wähle (a) und (b) positiv und (q

egin{equation} label{eq:3.5E.3}
R={0le tle T,cle yle d}
end{gleichung}

in der ((t,y))-Ebene, entdecke, dass es Zahlen (y_1) und (y_2) mit (y_1y_1) dann (lim_{t oinfty}y(t)=y_2), und wenn (y_0

(b) Wähle (a) und (b) positiv und (q=a^2/4b). Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von eqref{eq:3.5E.2} auf geeigneten rechteckigen Gittern der Form eqref{eq:3.5E.3} finden Sie, dass es eine Zahl (y_1) gibt, so dass wenn ( y_0ge y_1) dann (lim_{t oinfty}y(t)=y_1), während wenn (y_0

(c) Wähle positive (a), (b) und (q>a^2/4b). Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von eqref{eq:3.5E.2} auf geeigneten rechteckigen Gittern der Form eqref{eq:3.5E.3} finden Sie heraus, dass (y_0) unabhängig von (y_0) (y (t)=-infty) für einen endlichen Wert von (t).

(d) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisexperimente analytisch. Beginnen Sie mit der Trennung von Variablen in eqref{eq:3.5E.2}, um . zu erhalten

egin{eqnarray*}
{y'over ay-by^2-q}=1.
end{eqnarray*}

Um zu entscheiden, was als nächstes zu tun ist, müssen Sie die quadratische Formel verwenden. Dies sollte Sie dazu bringen, zu verstehen, warum es drei Fälle gibt. Nimm es von dort!

Wegen seiner Rolle beim Übergang zwischen diesen drei Fällen heißt (q_0=a^2/4b) ({color{blau}{mbox{ Bifurkationswert}}) von (q) . Im Allgemeinen, wenn (q) ein Parameter in einer Differentialgleichung ist, heißt (q_0) ein Verzweigungswert von (q), wenn die Art der Lösungen der Gleichung mit (qq_0).

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Übung (PageIndex{32})

Durch Auftragen von Richtungsfeldern und Lösungen von [ y'=qy-y^3,]

überzeugen Sie sich davon, dass (q_0=0) ein Verzweigungswert von (q) für diese Gleichung ist. Erklären Sie, warum Sie diese Schlussfolgerung ziehen.

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noch offen,

Übung (PageIndex{33})

Angenommen, eine Krankheit breitet sich gemäß dem Modell von Übung 3.5E.29 aus, aber es gibt ein Medikament, das die infizierte Bevölkerung mit einer konstanten Rate von (q$)Individuen pro Zeiteinheit heilt, wobei (q>0).

Dann lautet die Gleichung für die Zahl der Infizierten [ I'=rI(S-I)-q.]

Angenommen (I(0)=I_0>0), verwenden Sie die Ergebnisse von Aufgabe 3.5E.31, um zu beschreiben, was als (t oinfty) passiert.

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TBD.

Übung (PageIndex{34})

Angenommen (p otequiv 0), geben Bedingungen an, unter denen die lineare Gleichung

[ y'+p(x)y=f(x) [ ist trennbar. Wenn die Gleichung diese Bedingungen erfüllt, löse sie durch Trennung der Variablen und nach der in entwickelten Methode

Abschnitt ~3.1.

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TBD.

Lösen Sie die Gleichungen in den Aufgaben ((3.5E.35)) bis ((3.5E.38)) durch Variation von Parametern gefolgt von Trennung der Variablen.

Übung (PageIndex{35})

( {y'+y={2xe^{-x}over1+ye^x}})

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Übung (PageIndex{36})

( {xy'-2y={x^6über y+x^2}})

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Übung (PageIndex{37})

( {y'-y}={(x+1)e^{4x}over(y+e^x)^2})

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Übung (PageIndex{38})

(y'-2y= {xe^{2x}over1-ye^{-2x}})

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Übung (PageIndex{39})

Verwenden Sie Variation von Parametern, um zu zeigen, dass die Lösungen der folgenden Gleichungen die Form (y=uy_1) haben, wobei (u) eine trennbare Gleichung (u'=g(x)p(u)) erfüllt . Finden Sie (y_1) und (g) für jede Gleichung.

  1. (xy'+y=h(x)p(xy))
  2. ( {xy'-y=h(x) pleft({yover x} ight)})
  3. (y'+y=h(x) p(e^xy))
  4. (xy'+ry=h(x) p(x^ry))
  5. ( {y'+{v'(x)over v(x)}y= h(x) pleft(v(x)y ight)})
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Big Ideas Math Algebra 2 Lösungen Kapitel 6 Exponentielle und logarithmische Funktionen

Möchten Sie in Algebra 2 Ch 6 Konzepte wie exponentielle Wachstums- und Abklingfunktionen, natürliche Basis e, Logarithmen und ihre Funktionen, Eigenschaften von Logarithmen usw. beherrschen? Dann ist der Zugriff auf diesen Leitfaden die perfekte Lösung für Ihre Anliegen. Big Ideas Math Algebra 2 Lösungen Kapitel 6 Exponentielle und logarithmische Funktionen damit Sie die Themen schnell verstehen und alle Ihre Themenfragen klären. Darüber hinaus werden die vorherrschenden BIM Algebra 2 Ch 6 Solutions von den Fachexperten nach den Richtlinien des aktuellen gemeinsamen Kerncurriculums verfasst. Laden Sie daher die Big Ideas Math Algebra 2 Ch 6 Exponential and Logarithmic Functions herunter und verbessern Sie Ihre mathematischen Fähigkeiten.


Aufgaben 7 (Exponentialfunktionen)

In der Formel (i=Ie^<-frac>) , (i=50,mathrm) , (I=150,mathrm) (Einheiten: miliAmperes), (R=60,Omega) (Einheiten: Ohm) und (L=0.3,mathrm) (Einheiten: Henry). Bestimmen Sie den entsprechenden Wert von (t) . (Erinnern Sie sich, dass für Einheiten (mathrm/Omega = mathrm) . Optionales Bit: Diese Formel beschreibt den Strom durch die Induktivität beim Entladen in einem RL-Kreis.)

Die momentane Ladung in einer kapazitiven Schaltung ist gegeben durch (q=Qleft(1-e^<-frac> echts)) . Berechnen Sie den Wert von (t) (Zeit), wenn (q=0.01,mathrm) , (Q=0.015,mathrm) (Einheiten: Coulomb), (C=0.0001,mathrm) (Einheiten: Farad) und (R=7000,Omega) (Einheiten: Ohm). (Erinnern Sie sich, dass für Einheiten (Omegacdotmathrm=mathrm) .)

Aus der Formel (v=Vleft(1-e^<-frac> ight)) , berechne den Wert von (C) (Kapazität, Einheiten: Farad), wenn (v=130,mathrm) , (V=440,mathrm) (Einheiten: Volt), (t=0.156,mathrm) (Einheiten: Sekunde) und (R=44000Omega) (Einheiten: Ohm). (Erinnern Sie sich, dass für Einheiten (Omegacdotmathrm=mathrm) . Optionales Bit: Diese Formel beschreibt die momentane Spannung über einem Kondensator beim Laden in einem RC-Glied.)

Zeichnen Sie die Funktion (y = 3e^<2x>) über den Bereich (x = -3) bis (x = 3) und bestimmen Sie aus dem Graphen den Wert von (y), wenn (x = 1,7) und der Wert von (x) bei (y = 3,3) .

Für Werte von (x) von (-0.5) bis (1.5) zeichnen Sie den Graphen, der durch die Gleichung (y = 10e^<2x>) dargestellt wird.

Gegeben sei die Formel (i=fracleft(1-e^<-frac> ight)) , zeichne die Kurve von (i) gegen (t) für (E=300) , (R=30) und (L=5) für den Bereich von (t) von (0) bis (0.8) . Schätzen Sie aus dem Diagramm den Wert von (t) ab, wenn (i=3,2) und berechnen Sie den Wert von (t) mithilfe der Formel, um die Genauigkeit des Diagramms zu überprüfen.

Die Formel (i = 2(1 - e^<-10t>)) repräsentiert die Beziehung zwischen dem Momentanstrom (i) (gemessen in Ampere) und der Zeit (t) (gemessen in Sekunden) in eine induktive Schaltung. Zeichne einen Graphen von (i) gegen (t) und nimm Werte von (t) von (0) bis (0,3) in Intervallen von (0,05) an. Bestimmen Sie aus dem Diagramm die Zeit, die der Strom benötigt, um von (1.0) auf (1.6,mathrm) zu steigen, und überprüfen Sie diesen Wert durch Berechnung.

Eine Spule hat einen Induktivitätswert von (L=2,2,mathrm) und einen Widerstand (R=15,Omega) . Es ist an eine Spannungsversorgung mit (E=12,mathrm) . Nach der Verbindung ist der aktuelle (i) gegeben durch (i=fracleft(1-e^<-frac> echts)) . Zeichnen Sie einen Graphen des Stroms gegen die Zeit ab dem Moment der Verbindung und für die ersten (0,8) Sekunden. Ermitteln Sie aus dem Diagramm die Zeit, die der Strom benötigt, um (50\%) seines Endwertes zu erreichen, und überprüfen Sie diesen Wert durch Berechnung.

Eine Spule mit Induktivität (L) und Widerstand (R) wird wie unten gezeigt angeschlossen. Der Schalter wird von Kontakt A zu Kontakt B bewegt, so dass der Strom (i) nach der Gleichung (i=Ileft(1-e^<-frac> echts)) . Zeichnen Sie den Graphen für diese Abnahme, in dem Sie (i) gegen (t) für eine Zeit von (300,mathrm .)) nachdem der Schalter bewegt wurde. Schätzen Sie aus dem Diagramm den fließenden Strom (158,mathrm) nach dem Umschalten.

Lösungen: 1. (i) (1151) (ii) (48,2) (iii) (442) (iv) (33,97) (v) (58,7) 2. (i) (3,2) (ii) (2,43) (iii) (3,99) (iv) (-1,4) (v) (4.12) 3. (5.1) 4. (5.5,mathrm) 5. (769,mathrm) 6. (0,00001,mathrm) 9. (t=64mal 10^<-3>) 10. (91,9 imes 10^<-3>,mathrm) 11. (0,1,mathrm) 12. (1,mathrm)


3.4E: Übungen - Mathematik

Mathe-Hinweise
Nützlich in einem einführenden Physikunterricht

Jason Harlow
Physik-Abteilung
Universität von Toronto

Die Sprache der Wissenschaft ist Mathematik. Die Berechnungen in physikalischen Situationen machen Sie mit den Konzepten vertraut, entwickeln Ihre Intuition und ermöglichen es Ihnen, Dinge selbst zu entdecken. Hier sind ein paar Hinweise, die Sie im Verlauf des Kurses nützlich finden könnten.

Stellen Sie sich vor, Ihr Lehrer fragt Sie nach der Höhe des CN Tower. Die Antwort "der CN Tower ist etwa 500 hoch" ergibt keinen Sinn. Eine richtige Aussage lautet: "Die Höhe des CN Tower beträgt ca. 500 Meter." In diesem Fall müssen Sie die Einheit der Distanz. Eine andere Entfernungseinheit ist der Kilometer oder 1000 Meter. So könnte die Aussage auch richtig formuliert sein: "Die Höhe des CN-Towers beträgt etwa einen halben Kilometer." Beides sind durchaus akzeptable Antworten. Fast jede Zahl hat Einheiten. Wenn wir Ihre Aufgabenstellungen und Tests markieren, ziehen wir Punkte ab, wenn wir numerische Endantworten mit fehlenden Einheiten sehen.

Arithmetik kann ein lustiges Spiel sein, aber ich denke, es ist viel besser, die Zahlen einfach in einen Taschenrechner einzugeben und sich auf die Physik und Mathematik zu konzentrieren. Sind Sie nicht einverstanden? Davon abgesehen sollten Sie nicht einfach allem blind vertrauen, was Ihr Taschenrechner Ihnen sagt. Es ist leicht, einen Tippfehler zu machen, und es ist gut, die Dinge noch einmal zu überprüfen. Sie sollten beim Aufschreiben immer über Ihre numerischen Antworten nachdenken und sich fragen: "Ist das sinnvoll?"

Falls Sie noch keinen besitzen, kaufen Sie bitte für diesen Kurs einen nicht-kommunikativen Taschenrechner. Es muss nicht schick oder teuer sein, aber es sollte zumindest einen "EE"- oder "EXP"-Knopf haben. Sie können keinen Laptop oder ein Telefon zu einem Test oder einer Prüfung mitbringen.


Gemeinsame momenterzeugende Funktion, Kovarianz und Korrelationskoeffizient von zwei Zufallsvariablen

Abstrakt

In diesem Kapitel verfolgen wir das Studium von zwei r.v.’s X und Y mit gemeinsamem p.d.f. fX, Y. Betrachten Sie zu diesem Zweck eine r.v. die eine Funktion der X und Y des r.v. ist, g ( X , Y ) und seinen Erwartungswert definieren. Eine spezielle Wahl von g ( X , Y ) ergibt das Gelenk m.g.f. der r.v.s X und Y , die im ersten Abschnitt einigermaßen untersucht werden. Eine andere Wahl von g ( X , Y ) ergibt die sogenannte Kovarianz der X und Y des r.v. sowie deren Korrelationskoeffizienten. Einige Eigenschaften dieser Größen werden im zweiten Abschnitt dieses Kapitels untersucht. Beweise für einige Ergebnisse und einige weitere Eigenschaften des Korrelationskoeffizienten werden in Abschnitt 8.3 diskutiert.


Redaktionelle Rezensionen

Von der Rückseite

Die Ingenieurmathematik ist das führende grundständige Lehrbuch für die Studiengänge Elektro- und Elektroniktechnik, System- und Nachrichtentechnik. Es richtet sich in erster Linie an die Jahrgänge 1 und 2.

· Integriert Ingenieurwissenschaften und Mathematik durch eine anwendungsorientierte Behandlung

· Entwickelt sorgfältig in einem einzigen umfassenden Band die Grundlagen und fortgeschrittenen mathematischen Techniken, die am besten für Studenten der Elektro-, Elektronik-, System- und Nachrichtentechnik geeignet sind, einschließlich: Algebra, Trigonometrie und Analysis sowie Mengenlehre, Folgen und Reihen, Boolesche Algebra, Logik und Differenzengleichungen

· Die Relevanz der Mathematik wird durch vielfältige Beispiele veranschaulicht und motiviert Schüler aller Leistungsstufen

· Klare, umfassende Erklärungen in einem zugänglichen und benutzerfreundlichen Stil

· Umfasst eine gründliche Behandlung der integralen Transformationsmethoden, die für den modernen, professionellen Ingenieur unerlässlich sind, insbesondere die Laplace-, Z- und Fourier-Transformationen

· Alle Themen werden mit einer großen Anzahl ausgearbeiteter Beispiele und Übungen mit Lösungen illustriert, die es den Studierenden ermöglichen, ihr Wissen zu üben, zu entwickeln und zu testen.

Die vierte Auflage wurde überarbeitet und enthält:

· neue Abschnitte zu den Anwendungen von Zahlenbasen, Summationsnotation, der Sinc-x-Funktion, Wellen, Polarkurven und der diskreten Kosinustransformation

· ein neues Feature für Engineering-Anwendungen, das eine umfangreiche Palette an Anwendungsbeispielen präsentiert, darunter Musiktechnologie, nachhaltiges Engineering und digitale Bildverarbeitung.


Anthony Croft ist Professor für Mathematikdidaktik an der Loughborough University.

Robert Davison war zuvor Qualitätsleiter an der Fakultät für Technologie der Universität De Montfort.

Martin Hargreaves ist Hauptdozent an der Fakultät für Technologie der Universität De Montfort

James Flint ist Senior Lecturer für Wireless Systems Engineering an der Loughborough University.


3.4E: Übungen - Mathematik

AUFGABE 3: Theoretische Gedanken

Auf dieser Seite sammeln wir Beobachtungen zu unserem Problem. Hier ist eine Liste von Dingen, die Sie sich ansehen sollten (nicht unbedingt in dieser Reihenfolge):

Mit dem Hilbert-Polynom ist das nicht schwer zu erkennen die Summe der Komponente e_i für den Aufspaltungstyp des erweiterten Tangentenbündels muss gleich dem Grad des Morphismus. Außerdem muss, wie wir im Unterricht bewiesen haben, die Summe der Komponente e_i für den Aufspaltungstyp des Kotangensbündels gleich -6d für einen Morphismus vom Grad d sein.

Wir werden auf dieser Seite klar geschriebene kurze Notizen hochladen, die verschiedene Themen ansprechen:

Hier ist eine R-bilineare Paarung H: E_X(φ) × Ω(φ) —> R:

Zusammenhang zwischen Spaltungsarten und (sehr) Freiheit: Sei f_1, …, f_5 der Aufspaltungstyp von E_X(φ). Dann haben wir:

Vollständige Lösung von Aufgabe 37 (aktualisiert). Übung 37 (-Rankeya)

Eine kleine Bemerkung (Dies sagt nichts Neues, aber ich möchte es nur aufzeichnen): Sei d der Grad des Morphismus φ. Wenn f_i = d, sagen wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit f_1, dann müssen wir f_2 + f_3 + f_4 + f_5 = 0 haben. Wenn also φ frei/sehr frei ist, dann f_2 = f_3 = f_4 = f_5 = 0. Das bedeutet 4e_2 = 4e_3 = 4e_4 = 4e_5 = -5d. Letztere Gleichheiten sind nur möglich, wenn 4|d. Wenn also d nicht durch 4 teilbar ist und einer der Werte f_i = d ist (was in unserem Fall häufig vorkommt), dann kann φ nicht frei sein.

Diese Beobachtung zeigt auch, dass es keinen sehr freien Morphismus geben kann, der die obige Bedingung (2) erfüllt und dessen Grad nicht durch 4 teilbar ist. Außerdem muss jeder freie Morphismus mit einem Grad, der nicht durch 4 teilbar ist, E-sehr frei sein.

Morphismen vom Grad d ≤ 4 Sei φ ein solcher Morphismus. Dann induziert die R-lineare Abbildung der abgestuften Module R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d) —–> R ak linear Karte (R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d)⊕ R(-d))_d ——> R_d. Dies ist eine k-lineare Abbildung von einem Vektorraum der Dimension 6 zu einem Vektorraum der Dimension d+1 ≤ 5. Daher muss sie einen von Null verschiedenen Kernel haben. Insbesondere für d ≤ 3 muss der Kernel mindestens die Dimension 2 haben (By Rank-Nullity). Es gibt also e_i, e_j (i == j) mit e_i = -d = e_j. Dann gilt f_i = d = f_j. Aber dann kann die Summe der f_k's nicht gleich d sein, ohne dass mindestens eines der f_k's kleiner als 0 ist. Für d 3 gibt es also keine freien oder sehr freien Morphismen.

Der Fall d = 4 ist interessanter. Wenn der Kern der k-linearen Abbildung (R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_4 ——> R_4 eine Dimension größer als 2 hat, dann ist der Morphismus nach einem ähnlichen Argument wie im Fall für d ≤ 3 weder frei noch sehr frei. Aber R_4 hat Dimension 5 über k. Wenn der Kern von (R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_4 ——> R_4 die Dimension 1 hat ( Beachten Sie, dass der Kernel immer eine positive Dimension hat), dann (R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_4 — —> R_4 ist surjektiv. Also, (R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_ <4+1>——> R_ < 4+1> ist eine surjektive k-lineare Abbildung von Lemma in der Klasse. Nun hat R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_ <4+1>Dimension 12, und R_ <4+1>hat Dimension 6. Der Kernel hat also die Dimension 6. Der Generator des vorherigen Kernels liefert 2 Generatoren dieses Kernels. Wir bekommen also 4 weitere Generatoren in diesem Kernel. Dies gibt uns insgesamt 5 Generatoren, und somit haben wir e_1 = e_2 = e_3 = e_4 = -4-1 und e_5 = -4. Also, f_1 = f_2 = f_3 = f_4 = 0 und f_5 = 4. Der Morphismus ist also frei, aber nicht sehr frei.

Dies zeigt uns, dass für d = 4 der Morphismus nie sehr frei ist.

Der Morphismus ist nicht frei, wenn ker(R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_4 ——> R_4) hat schwach ≥ 2.

Wenn ker(R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4)⊕ R(-4))_4 ——> R_4) Dim 1 hat, dann der Morphismus ist frei und hat den Aufspaltungstyp [0,0,0,0,4].

Beobachtung über die e_i's und f_i's Für mich ist das eher eine Beobachtung, die ich hier gerade aufnehme. Wenn andere Leute davon gut gebrauchen können, super!

Wir wissen, dass e_1 + e_2 + e_3 + e_4 + e_5 = -6d ist. Wir wissen auch, dass e_i ≤ -d ist, weil links von (R(-d)^6)_d nichts ist. So,

- Es kann kein e_i geben, so dass e_i < -2d ist. Denn wenn ja, sagen Sie wlog, dass e_1 < -2d ist. Dann gilt e_2 + … + e_5 = –6d – e_1 > –4d. Dies ist jedoch unmöglich, da e_i ≤ -d. Wir haben also immer -2d ≤ e_i ≤ -d. Dies impliziert, dass -3d f_i ≤ d.

Möglicher Beweis, dass es keine Morphismen freien Grades 5 gibt areEs gibt keine Morphismen des freien Grades 5


Primäre Mathematik

“Hallo, ich möchte Ihnen die Verbesserung meines Sohnes mit dem Singapore Math-Programm Dimensions Math PK–5 mitteilen. Er war in einer öffentlichen Schule, die wegen Covid geschlossen wurde. Mein Sohn hat das Jahr im 76. Perzentil begonnen und gerade im 99. Perzentil getestet.

Dein Programm funktioniert. Vielen Dank für die Bereitstellung eines robusten, effektiven Lehrplans, den Kinder zu Hause verwenden können.”

-Karen S., Heimlehrerin der 5. Klasse

“ Ich unterrichte die 3. Klasse. Wir LIEBEN Singapur Mathe und die Schüler und Eltern auch! In den 9 Jahren, seit wir zu Mathematik in Singapur gewechselt sind, sind die Fortschritte unserer Schüler sprunghaft angestiegen! Vielen Dank für ein wunderbares Produkt!!”

“Ich bin seit 44 Jahren Lehrer, und diese letzten 9 Jahre waren die produktivsten Jahre in Bezug auf Mathematikgewinne für unsere Schüler aller Zeiten!!”

“ Wir haben dieses Jahr mit Dimensions Math für K-3 begonnen und haben bereits großartige Ergebnisse erzielt! Die Videos sind fantastisch!!”

“Als Elternteil geht mein Sohn in die 2. Klasse und genießt die Mathematik in Singapur sehr. Ich war wirklich beeindruckt, dass er seine Multiplikations- und Divisionsfakten bereits kennt und mit all den erlernten Fähigkeiten neue Probleme angehen kann.”


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3.4E: Übungen - Mathematik

Einführung in die Physik I

Physik-Department, University of Toronto

Die Sprache der Wissenschaft ist Mathematik. Die Berechnungen in physikalischen Situationen machen Sie mit den Konzepten vertraut, entwickeln Ihre Intuition und ermöglichen es Ihnen, Dinge selbst zu entdecken. Hier sind ein paar Hinweise, die Sie im Verlauf des Kurses nützlich finden könnten.

Stellen Sie sich vor, Ihr Lehrer fragt Sie nach der Höhe des CN Tower. Die Antwort, "der CN Tower ist etwa 500 hoch" ergibt keinen Sinn. Eine richtige Aussage lautet: "Die Höhe des CN Tower beträgt ca. 500 Meter." In diesem Fall müssen Sie die Einheit der Distanz. Eine andere Entfernungseinheit ist der Kilometer oder 1000 Meter. So könnte die Aussage auch richtig formuliert sein: „Der CN Tower ist etwa einen halben Kilometer hoch.“ Beides sind durchaus akzeptable Antworten. Fast jede Zahl hat Einheiten. Wenn wir Ihre Aufgabenstellungen und Tests markieren, ziehen wir Punkte ab, wenn wir numerische Endantworten mit fehlenden Einheiten sehen.

Arithmetik kann ein lustiges Spiel sein, aber ich denke, es ist viel besser, die Zahlen einfach in einen Taschenrechner einzugeben und sich auf die Physik und Mathematik zu konzentrieren. Sind Sie nicht einverstanden? Davon abgesehen sollten Sie nicht einfach allem blind vertrauen, was Ihr Taschenrechner Ihnen sagt. Es ist leicht, einen Tippfehler zu machen, und es ist gut, die Dinge noch einmal zu überprüfen. Sie sollten beim Aufschreiben immer an Ihre numerischen Antworten denken und sich fragen: "Ist das sinnvoll?"

Falls Sie noch keinen besitzen, kaufen Sie bitte einen Taschenrechner für diesen Kurs. Es muss nicht schick oder teuer sein, aber es sollte zumindest einen "EE" oder "EXP" -Button haben.


Schau das Video: Integral of sine of natural logarithm, integration by parts (Januar 2022).