Artikel

Ableitung von arcsech


Ableitung von sech-1(x)

Wir nutzen die Tatsache aus der Definition der Umkehrung, dass

[ ext{sech}( ext{sech}^{-1} ;x) = x ]

und die Tatsache, dass

[ ext{sech}', x = - anh (x) ext{sech} (x) ]

Nehmen Sie nun die Ableitung beider Seiten (unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite), um zu erhalten

[ - anh ( ext{sech}^{-1} x) ext{sech}( ext{sech}^{-1}, x)( ext{sech}^{-1} , x)' = 1 ]

oder

[ -x , anh ( ext{sech}^{-1}x)( ext{sech}^{-1} ,x)' = 1 ag{1}]

Wir wissen das

[ cosh^2 x - sinh^2 x = 1]

Dividieren durch (cosh^2(x)) ergibt

[ 1 - anh^2 (x) = ext{sech}^2, x]

oder

[ anh x = sqrt{1- ext{sech}^2 ,x}]

damit

[ anh ( ext{sech}^{-1}, x) = sqrt{1- ext{sech}^{-1} , x} = sqrt{1-x^2} ]

Einsetzen in Gleichung 1 schließlich ergibt

[ -xsqrt{1-x^2} ( ext{sech}^{-1}, x) = 1]

[ ext{sech}^{-1} , x = dfrac{-1}{xsqrt{1-x^2}}]

Larry Green (Lake Tahoe Community College)


Atan2

Die Funktion atan2 ⁡ ( y , x ) (y,x)> erschien zuerst in der Programmiersprache Fortran (in IBMs Implementierung FORTRAN-IV 1961). Es war ursprünglich beabsichtigt, einen korrekten und eindeutigen Wert für den Winkel θ bei der Umrechnung von kartesischen Koordinaten (x, ja) zu Polarkoordinaten (R, θ) .

Äquivalent, atan2 ⁡ ( y , x ) (y,x)> ist das Argument (auch genannt Phase oder Winkel) der komplexen Zahl x + i y .

Dies gilt nur, wenn x >0 . Wann x < 0 , der aus dem obigen Ausdruck ersichtliche Winkel zeigt in die entgegengesetzte Richtung des korrekten Winkels, und ein Wert von π (oder 180°) muss entweder von θ addiert oder subtrahiert werden, um den kartesischen Punkt (x, ja) in den richtigen Quadranten der euklidischen Ebene. [1] Dies erfordert die Kenntnis der Vorzeichen von x und y getrennt, was bei der Division von y durch x verloren geht.

Da jedes ganzzahlige Vielfache von 2π kann ohne Änderung von x oder y zum Winkel θ addiert werden, was einen mehrdeutigen Wert für den zurückgegebenen Wert, den Hauptwert des Winkels, im (links offen, rechts geschlossen) Intervall (− .) impliziertπ, π] ist zurück gekommen. θ ist mit Vorzeichen versehen, wobei Winkel gegen den Uhrzeigersinn positiv und im Uhrzeigersinn negativ sind. Mit anderen Worten, atan2 ⁡ ( y , x ) (y,x)> liegt im geschlossenen Intervall [0, π] Wenn ja ≥ 0 , und im offenen Intervall (−π, 0) wenn ja < 0 .


Hintergrund und Kontext

    ArcSech ist die inverse hyperbolische Sekantenfunktion. Für eine reelle Zahl , ArcSec [ x ] repräsentiert das hyperbolische Winkelmaß so dass . ArcSech führt automatisch über Listen. Für bestimmte spezielle Argumente wertet ArcSech automatisch zu genauen Werten aus. Wenn als Argumente genaue numerische Ausdrücke angegeben werden, kann ArcSech mit beliebiger numerischer Genauigkeit ausgewertet werden. Zu den Operationen, die für die Bearbeitung symbolischer Ausdrücke mit ArcSech nützlich sind, gehören FunctionExpand, TrigToExp, TrigExpand, Simplify und FullSimplify. ArcSech ist für komplexe Argumente definiert von . ArcSech [ z ] hat Verzweigungsschnitt-Diskontinuitäten im Komplex Flugzeug. Verwandte mathematische Funktionen umfassen Sech, ArcCsch und ArcSec.

Komplexe inverse hyperbolische Funktionen

Für inverse hyperbolische Funktionen werden häufig die Notationen sinh -1 und cosh -1 für arcsinh und arccosh usw. verwendet. Wenn diese Notation verwendet wird, werden die inversen Funktionen manchmal mit den multiplikativen Inversen der Funktionen verwechselt. Die Notation mit dem Präfix "quotarc-" vermeidet eine solche Verwirrung.

Die inversen hyperbolischen Funktionen sind die mehrwertigen Funktionen, die die Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen sind.

2) Definitionen

Die inversen hyperbolischen Funktionen können unter Verwendung natürlicher Logarithmen ausgedrückt werden.

arccosh ( z ) = ln( )
Wirklich x >1, das vereinfacht sich zu
arccosh ( x ) = ln( x + )

arctanh( z ) = [ln(1 + z ) - ln(1 - z ) ]
Wirklich x < 1, das vereinfacht sich zu
arctanh( x ) = ln( )

Lichtbogen ( z ) = [ln(1 + ) - ln(1 - ) ]
Wirklich x < 0 oder x >1, das vereinfacht sich zu
Lichtbogen ( x ) = ln( )

arcsech( z ) = ln( )
Wirklich x , es befriedigt
arcsech( x ) =


F: Finden Sie den Bereich zwischen den Kurven. x= - 2, x = 2, y = 3x, y = x? - 4 Die Fläche zwischen den Kurven beträgt (.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Bestimmen Sie in den Aufgaben 1–7 die Geschwindigkeits- und Beschleunigungsvektoren in Bezug auf u, und u,. 1. r = 0 und .

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: 25. Sei A(x) = | f(1) dt für f(x) in Abbildung 8. (a) Berechnen Sie A(2), A(3), A'(2) und A'(3). (b) Finden Sie .

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: 9. Welche der folgenden Gleichungen sind trennbar? Schreiben Sie diejenigen, die trennbar sind, in der Form y' = f.

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Können Sie bitte dieses Problem lösen und alle Schritte zeigen und den richtigen Buchstaben sagen?

A: Sei y die Entfernung des Leuchtturms vom nächsten Punkt P an der Küste. Lassen Sie zum Zeitpunkt t den Strahl li.

F: 12. Unterstützen die Daten in der beigefügten Tabelle das dritte Keplersche Gesetz? Begründe deine Antwort. .

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Bestimmen Sie die Fläche der eingeschlossenen Region, die durch die Graphen von x = 2y und ? = ?^2 − 3. Verwenden Sie eine entsprechende

A: Klicken Sie hier, um die Antwort zu sehen

F: Frage: Bestimmen Sie, ob jede Reihe konvergiert oder divergiert, und unterscheiden Sie gegebenenfalls zwischen a.


Ableitung von arcsech

Wir können die implizite Differentiation verwenden, um die Formeln für die Ableitungen der inversen trigonometrischen Funktionen zu finden, wie die folgenden Beispiele nahelegen:

Ermitteln der Ableitung der inversen Sinusfunktion, $displaystyle (arcsin x)>$

Angenommen $arcsin x = heta$. Dann müssen es die Fälle sein, die

Implizite Differenzierung des Obigen in Bezug auf $x$-Renditen

Die Division beider Seiten durch $cos heta$ führt sofort zu einer Formel für die Ableitung.

Um eine nützliche Formel für die Ableitung von $arcsin x$ zu sein, würden wir jedoch bevorzugen, dass $displaystyle = frac (arcsin x)>$ in $x$ ausgedrückt werden, nicht in $ heta$.

Wenn Sie überlegen, wie Sie dann das obige $cos heta$ durch einen Ausdruck in $x$ ersetzen können, erinnern Sie sich an die pythagoreische Identität $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$ und was diese Identität bedeutet, wenn $sin heta = x$:

Wir wissen also, dass entweder $cos heta$ entweder die positive oder die negative Quadratwurzel der rechten Seite der obigen Gleichung ist. Da $ heta$ im Bereich von $arcsin x$ liegen muss (also $[-pi/2,pi/2]$), wissen wir, dass $cos heta$ positiv sein muss. Daher,

Setzen wir dies schließlich in unsere Formel für die Ableitung von $arcsin x$ ein, finden wir

Ermitteln der Ableitung der inversen Kosinusfunktion, $displaystyle (arccos x)>$

Der Prozess zum Finden der Ableitung von $arccos x$ ist fast identisch mit dem für $arcsin x$:

Angenommen $arccos x = heta$. Dann muss es wohl so sein

Implizite Differenzierung des Obigen in Bezug auf $x$-Renditen

Die Division beider Seiten durch $-sin heta$ führt sofort zu einer Formel für die Ableitung.

Um eine nützliche Formel für die Ableitung von $arccos x$ zu sein, würden wir jedoch bevorzugen, dass $displaystyle = frac (arccos x)>$ in $x$ ausgedrückt werden, nicht in $ heta$.

Wenn Sie überlegen, wie Sie dann das obige $sin heta$ durch einen Ausdruck in $x$ ersetzen können, erinnern Sie sich an die pythagoreische Identität $cos^2 heta + sin^2 heta = 1$ und was diese Identität bedeutet, wenn $cos heta = x$:

Wir wissen also, dass entweder $sin heta$ entweder die positive oder die negative Quadratwurzel der rechten Seite der obigen Gleichung ist. Da $ heta$ im Bereich von $arccos x$ liegen muss (also $[0,pi]$), wissen wir, dass $sin heta$ positiv sein muss. Daher,

Setzen wir dies schließlich in unsere Formel für die Ableitung von $arccos x$ ein, finden wir

Ermitteln der Ableitung der inversen Tangensfunktion, $displaystyle (arctan x)>$

Der Prozess zum Finden der Ableitung von $arctan x$ ist etwas anders, aber es wird dieselbe Gesamtstrategie verwendet:

Angenommen $arctan x = heta$. Dann muss es wohl so sein

Implizite Differenzierung des Obigen in Bezug auf $x$-Renditen

Die Division beider Seiten durch $sec^2 heta$ führt sofort zu einer Formel für die Ableitung.

Um eine nützliche Formel für die Ableitung von $arctan x$ zu sein, würden wir jedoch bevorzugen, dass $displaystyle = frac (arctan x)>$ in $x$ ausgedrückt werden, nicht in $ heta$.

Wenn Sie darüber nachdenken, wie Sie dann das obige $sec^2 heta$ durch einen Ausdruck in $x$ ersetzen können, erinnern Sie sich an die andere pythagoreische Identität $ an^2 heta + 1 = sec^2 heta$ und was diese Identität impliziert, dass $ an heta = x$ gilt:

Da wir uns nicht um das Vorzeichen kümmern müssen, wie wir es in den vorherigen beiden Argumenten getan haben, setzen wir dies einfach in unsere Formel für die Ableitung von $arccos x$ ein, um zu finden

Ermitteln der Ableitung der inversen Kotangensfunktion, $displaystyle ( extrm x)>$

Die Ableitung von $ extrm x$ kann ähnlich gefunden werden. Angenommen $ extrm x = heta$. Dann ist $cot heta = x$. Implizites Differenzieren nach $x$ ergibt $-csc^2 heta cdot frac = 1$, was folgendes impliziert, wenn man erkennt, dass $cot heta = x$ und die Identität $cot^2 heta + 1 = csc^2 heta$ $csc^2 heta = 1 + . erfordert x^2$, $frac = frac<-1> = frac<-1><1+x^2>$ Also ist $frac( extrm x) = frac<-1><1+x^2>$

Ermitteln der Ableitung der inversen Sekantenfunktion, $displaystyle ( extrm x)>$

Die Ableitung von $ extrm x$ ist interessanter.

Hier nehmen wir an $ extrm x = heta$, was $sec heta = x$ bedeutet. Wie zuvor differenzieren wir dies implizit nach $x$, um zu finden

$sec heta an heta frac = 1$

Auflösen nach $d heta/dx$ in Form von $ heta$ erhalten wir schnell

Hier müssen wir vorsichtig sein. Unter der Annahme, dass der Bereich der Sekantenfunktion durch $(0, pi)$ gegeben ist, beachten wir, dass $ heta$ entweder in Quadrant I oder II liegen muss. In beiden Fällen muss das Produkt von $sec heta an heta$ positiv sein. Dies impliziert

$sec heta an heta = |sec heta|| an heta|$

Natürlich $|sec heta| = |x|$, und wir können $ an^2 heta + 1 = sec^2 heta$ verwenden, um $| an heta| = sqrt$. Als solche,


Demo zur Derivatepraxis

Die Rückseite dieses Blattes enthält eine Liste von Übungsaufgaben. Es enthält auch Links zu Lösungen, die von Wolfram Alpha und SymboLab erstellt wurden.

Es gibt mehrere große Computeralgebra-Systeme (kurz: CAS). Viele unserer Mathematik-Grundkurse verwenden ein System namens Maple. Ein weiterer wichtiger CAS ist Mathematica. Mathematica ist Teil dessen, was die als Wolfram Alpha bekannte Online-Computer-Engine antreibt.

Wir haben mehrere Demos verwendet, die auf dem SageMath CAS basieren. Obwohl die Benutzeroberfläche von SAGE nicht so ausgefeilt ist wie die von Maple und Mathematica, ist sie Open Source und kann kostenlos verwendet werden. Sogar Wolfram Alpha hat, obwohl es frei verfügbar ist, hinter seiner Paywall gesperrt.

Natürlich sind Maple, Mathematica und SAGE nicht die einzigen verfügbaren Tools. Wir haben auch Desmos gesehen, der schöne Grafiken erstellt (aber keine symbolischen Berechnungen durchführt). SymboLab bietet ein weiteres Werkzeug für mathematische Berechnungen.

SymboLab ist viel eingeschränkter als das oben erwähnte CAS, verfügt jedoch über eine einfache Benutzeroberfläche und bietet schrittweise Lösungen für grundlegende Probleme der Algebra und der Analysis, einschließlich schrittweiser Ableitungsberechnungen. Wenn Sie immer noch Probleme mit abgeleiteten Regeln haben, wird SymboLab meiner Meinung nach sehr hilfreich sein.

Erwähnenswert ist auch, dass SAGE, Desmos, Wolfram Alpha und SymboLab alle kostenlos über einen Webbrowser verfügbar sind. Einige von ihnen haben begleitende Smartphone-Apps (die in der Regel nicht kostenlos sind). Zum Beispiel ist Desmos kostenlos, während Alpha ein paar Dollar kostet. Die App von SymboLab ist kostenlos, verfügt jedoch über gesperrte Funktionen, für deren Entsperrung eine Zahlung erforderlich ist. Persönlich würde ich nur über einen Browser auf diese Tools zugreifen.

  • Maple (ein leistungsstarkes CAS, das in vielen Klassen bei AppState verwendet wird): https://www.maplesoft.com
  • Mathematica (ein leistungsstarkes CAS und die Maschine hinter Wolfram Alpha): https://www.wolfram.com/mathematica/
  • SAGE (ein Open-Source-CAS, das viele in unserem Kurs verwendete Demos unterstützt): http://www.sagemath.org
  • Wolfram Alpha (eine größtenteils kostenlose Online-Computer-Engine): http://www.wolframalpha.com
  • SymboLab (ein kostenloser Online-Rechner für Algebra und Infinitesimalrechnung): https://www.symbolab.com
  • Desmos (ein kostenloses Online-Dienstprogramm zur grafischen Darstellung): https://www.desmos.com

Übungsprobleme.

Berechnen Sie die Ableitung. Diese Probleme beginnen mit ``Grundlagen'' und beginnen dann mit dem Hinzufügen von Regeln und neuen Funktionen. Die Probleme gegen Ende sind in der Regel kniffliger als die am Anfang.

Versuchen Sie auch einige grundlegende Vereinfachungen. Die Fähigkeit, Antworten zu vereinfachen, ist in vielen Kontexten wichtig – das heißt – Vereinfachung steht nicht im Mittelpunkt dieser Übung, also verschwenden Sie nicht viel Zeit mit dem Kampf mit Algebra.

Notiz: Mit einem Klick auf „ALPHA“ gelangen Sie zur Lösung von Wolfram Alpha, mit einem Klick auf „SYMBO“ gelangen Sie zur Lösung von SymboLab.


Schritt 1: Schreiben Sie (y = arcsin(x))

Beginnen Sie mit der Einrichtung einer Variablen namens (y) gleich (arcsin(x))

Schritt 2: Nimm die (Sünde) beider Seiten

Wende die Funktion (sin) auf beide Seiten des Gleichheitszeichens an

$fracleft(sin(y) ight) quad = quad frac$

Die linke Seite erfordert die Kettenregel, während die rechte Seite gleich 1:

$fracleft(sin(y) ight)frac quad = quad 1$

Die linke Seite vereinfacht sich zu (cos(y)) mal der Ableitung von (y) nach (x)

Schritt 4: Teilen Sie beide Seiten durch (cos(y))

Löse (dy/dx) durch Division beider Seiten durch (cos(y))

Schritt 5: Ersetzen Sie (cos(y))

Erinnern Sie sich an die trigonometrische Identität des Pythagoras:

Indem wir (sin^2(y)) von beiden Seiten subtrahieren und dann die Quadratwurzel beider Seiten ziehen, können wir die pythagoreische Identität für (cos(y) isolieren

Denken Sie daran, dass (sin(y)=x) aus Schritt 2 gilt. Wir können (x) anstelle von (sin(y)) einsetzen.

Da (cos(y)) gleich der Quadratwurzel von 1 minus (x) zum Quadrat ist, können wir es in unsere Ableitung aus Schritt 4 einsetzen

Denken Sie daran, dass (y) in Schritt 1 gleich (arcsin(x)) gesetzt wurde. Die Ableitung von (y) nach (x) ist also dieselbe wie beim Schreiben der Ableitung von (arcsin(x))


Inhalt

Die gebräuchlichsten Abkürzungen sind die der ISO 80000-2 Norm. Sie bestehen aus ar- gefolgt von der Abkürzung der entsprechenden hyperbolischen Funktion (z. B. arsinh, arcosh).

Jedoch, Bogen- gefolgt von der entsprechenden hyperbolischen Funktion (z. B. arcsinh, arccosh) wird ebenfalls häufig gesehen, analog zur Nomenklatur für inverse trigonometrische Funktionen. [9] Dies sind falsche Bezeichnungen, da das Präfix Bogen ist die Abkürzung für arcus, während das Präfix ar steht für Bereich die hyperbolischen Funktionen sind nicht direkt mit Bögen verbunden. [10] [11] [12]

Andere Autoren bevorzugen die Notation argsinh, argcosh, argtanh und so weiter, wobei das Präfix arg ist die Abkürzung des lateinischen argumentum. [13] In der Informatik wird dies oft abgekürzt zu asinh.

Die Schreibweise sinh −1 (x) , cosh -1 (x) usw. wird auch verwendet, [14] [15] [16] [17] obwohl darauf geachtet werden muss, dass die hochgestellte Ziffer −1 nicht als Potenz falsch interpretiert wird, im Gegensatz zu einer Abkürzung zur Bezeichnung der Umkehrung Funktion (z. B. cosh -1 (x) gegen cosh(x) −1 ).

Da die hyperbolischen Funktionen rationale Funktionen von sind e x deren Zähler und Nenner höchstens vom Grad zwei sind, lassen sich diese Funktionen nach lösen e x , unter Verwendung der quadratischen Formel ergibt dann der natürliche Logarithmus die folgenden Ausdrücke für die inversen hyperbolischen Funktionen.

Bei komplexen Argumenten sind die inversen hyperbolischen Funktionen, die Quadratwurzel und der Logarithmus mehrwertige Funktionen, und die Gleichheiten der nächsten Unterabschnitte können als Gleichheiten mehrwertiger Funktionen angesehen werden.

Für alle inversen hyperbolischen Funktionen (mit Ausnahme des inversen hyperbolischen Kotangens und des inversen hyperbolischen Kosekans) ist der Bereich der reellen Funktion zusammenhängend.

Inverser hyperbolischer Sinus Bearbeiten

Inverser hyperbolischer Sinus (alias Bereich hyperbolischer Sinus) (Latein: Area sinus hyperbolicus): [14] [15]

Inverser hyperbolischer Kosinus Bearbeiten

Inverser hyperbolischer Kosinus (alias Bereich hyperbolischer Kosinus) (Latein: Area cosinus hyperbolicus): [14] [15]

Inverse Tangente Hyperbel Bearbeiten

Inverser hyperbolischer Tangens (auch bekannt als area hyperbolischer Tangens) (Latein: Flächentangens hyperbolicus): [15]

Inverser hyperbolischer Kotangens Bearbeiten

Inverser hyperbolischer Kotangens (alias, Fläche hyperbolischer Kotangens) (Latein: Area cotangens hyperbolicus):

Der Definitionsbereich ist die Vereinigung der offenen Intervalle (−∞, −1) und (1, +∞) .

Inverse hyperbolische Sekante Bearbeiten

Inverse hyperbolische Sekante (alias, Fläche hyperbolische Sekante) (Latein: Area secans hyperbolicus):

Die Domäne ist das halboffene Intervall (0, 1] .

Inverser hyperbolischer Kosekans Bearbeiten

Inverser hyperbolischer Kosekans (alias, Bereich hyperbolischer Kosekans) (Latein: Area cosecans hyperbolicus):

Die Domäne ist die echte Zeile, wobei 0 entfernt wurde.

Als Beispiel für eine Differenzierung: let θ = arsinh x, also (wo sinh 2 θ = (sinh θ) 2 ):

Für die oben genannten Funktionen sind Erweiterungsserien erhältlich:

Asymptotische Expansion für das Arsinh x wird gegeben von

Als Funktionen einer komplexen Variablen sind inverse hyperbolische Funktionen mehrwertige Funktionen, die analytisch sind, außer an einer endlichen Anzahl von Punkten. Für eine solche Funktion ist es üblich, einen Hauptwert zu definieren, bei dem es sich um eine einwertige analytische Funktion handelt, die mit einem bestimmten Zweig der mehrwertigen Funktion über einem Gebiet zusammenfällt, das aus der komplexen Ebene besteht, in der eine endliche Anzahl von Bögen (normalerweise die Hälfte Linien oder Liniensegmente) wurden entfernt. Diese Bögen werden als Astschnitte bezeichnet. Um den Zweig zu spezifizieren, dh zu definieren, welcher Wert der mehrwertigen Funktion an jedem Punkt betrachtet wird, definiert man ihn im Allgemeinen an einem bestimmten Punkt und leitet den Wert überall im Definitionsbereich des Hauptwerts durch analytische Fortsetzung ab. Wenn möglich, ist es besser, den Hauptwert direkt zu definieren – ohne sich auf die analytische Fortsetzung zu beziehen.

Für die Quadratwurzel wird der Hauptwert beispielsweise als die Quadratwurzel mit positivem Realteil definiert. Dies definiert eine einwertige analytische Funktion, die überall definiert ist, außer für nicht positive reelle Werte der Variablen (bei denen die beiden Quadratwurzeln einen Realteil von Null haben). Dieser Hauptwert der Quadratwurzelfunktion wird als x >> im Folgenden. Ebenso der Hauptwert des Logarithmus, bezeichnet als Log > wird im Folgenden als der Wert definiert, bei dem der Imaginärteil den kleinsten Absolutwert hat. Sie ist überall definiert, außer bei nicht positiven reellen Werten der Variablen, bei denen zwei verschiedene Werte des Logarithmus das Minimum erreichen.

Für alle inversen hyperbolischen Funktionen kann der Hauptwert durch Hauptwerte der Quadratwurzel und der Logarithmusfunktion definiert werden. In einigen Fällen liefern die Formeln von § Definitionen in Form von Logarithmen jedoch keinen korrekten Hauptwert, da ein Definitionsbereich zu klein und in einem Fall nicht zusammenhängend ist.

Hauptwert des inversen hyperbolischen Sinus Edit

Der Hauptwert des inversen hyperbolischen Sinus ist gegeben durch

Das Argument der Quadratwurzel ist genau dann eine nicht positive reelle Zahl, wenn z gehört zu einem der Intervalle [ich, +ich) und (−ich∞, −ich] der imaginären Achse. Wenn das Argument des Logarithmus reell ist, dann ist es positiv. Somit definiert diese Formel einen Hauptwert für Arsinh, mit Zweigschnitten [ich, +ich) und (−ich∞, −ich] . Dies ist optimal, da die Astschnitte die einzelnen Punkte verbinden müssen ich und −ich bis ins Unendliche.

Hauptwert des inversen hyperbolischen Kosinus Bearbeiten

Die Formel für den inversen hyperbolischen Kosinus in § Inverser hyperbolischer Kosinus ist nicht bequem, da ähnlich wie bei den Hauptwerten des Logarithmus und der Quadratwurzel der Hauptwert von arcosh für imaginäre nicht definiert wäre z . Daher muss die Quadratwurzel faktorisiert werden, was zu

Die Hauptwerte der Quadratwurzeln sind beide definiert, außer wenn z gehört zum reellen Intervall (−∞, 1] . Wenn das Argument des Logarithmus reell ist, dann z ist echt und hat das gleiche Vorzeichen. Somit definiert die obige Formel einen Hauptwert von arcosh außerhalb des reellen Intervalls (−∞, 1] , das somit der eindeutige Zweigschnitt ist.

Hauptwerte des inversen hyperbolischen Tangens und des Kotangens Bearbeiten

zur Definition der Hauptwerte des inversen hyperbolischen Tangens und des Kotangens. In diesen Formeln ist das Argument des Logarithmus genau dann reell, wenn z ist echt. Für Artanh liegt dieses Argument im reellen Intervall (−∞, 0] , wenn z gehört entweder zu (−∞, −1] oder zu [1, ∞) . Für arcoth ist das Argument des Logarithmus in (−∞, 0] , genau dann, wenn z gehört zum reellen Intervall [−1, 1] .

Daher definieren diese Formeln geeignete Hauptwerte, für die die Verzweigungsschnitte (−∞, −1] und [1, ∞) für den inversen hyperbolischen Tangens und [−1, 1] für den inversen hyperbolischen Kotangens sind.

Hauptwert des inversen hyperbolischen Kosekans Edit

Für den inversen hyperbolischen Kosekans ist der Hauptwert definiert als

Sie ist definiert, wenn die Argumente des Logarithmus und der Quadratwurzel keine nicht positiven reellen Zahlen sind. Der Hauptwert der Quadratwurzel ist somit außerhalb des Intervalls [−ich, ich] der imaginären Linie. Wenn das Argument des Logarithmus reell ist, dann z eine reelle Zahl ungleich Null ist, und dies impliziert, dass das Argument des Logarithmus positiv ist.

Somit ist der Hauptwert durch die obige Formel außerhalb des Verzweigungsschnitts definiert, bestehend aus dem Intervall [−ich, ich] der imaginären Linie.

Für z = 0 , gibt es einen singulären Punkt, der im Verzweigungsschnitt enthalten ist.

Hauptwert des inversen hyperbolischen Sekanten Edit

Hier müssen wir wie beim inversen hyperbolischen Kosinus die Quadratwurzel faktorisieren. Dies ergibt den Hauptwert

Wenn das Argument einer Quadratwurzel reell ist, dann z reell ist, und daraus folgt, dass beide Hauptwerte von Quadratwurzeln definiert sind, außer wenn z ist reell und gehört zu einem der Intervalle (−∞, 0] und [1, +∞) . Wenn das Argument des Logarithmus reell und negativ ist, dann z ist auch real und negativ. Daraus folgt, dass der Hauptwert von arsech durch die obige Formel außerhalb von zwei Verzweigungsschnitten, den reellen Intervallen (−∞, 0] und [1, +∞) wohldefiniert ist.

Für z = 0 , gibt es einen singulären Punkt, der in einem der Zweigschnitte enthalten ist.

Grafische Darstellung Bearbeiten

In der folgenden grafischen Darstellung der Hauptwerte der inversen hyperbolischen Funktionen erscheinen die Verzweigungsschnitte als Unstetigkeiten der Farbe. Die Tatsache, dass die gesamten Verzweigungsschnitte als Diskontinuitäten erscheinen, zeigt, dass diese Hauptwerte nicht auf analytische Funktionen ausgedehnt werden können, die über größere Bereiche definiert sind. Mit anderen Worten, die oben definierten Verzweigungsschnitte sind minimal.


Inverser Sekantenrechner | Arcsecans-Berechnung

Der Arcsec-Rechner wird auch als Inverser Sekanten-Rechner bezeichnet, da er die Umkehrung des Sekantenwerts ist. Der Begriff Arcsec ist eine Kurzform des Begriffs 'Arc Secant'. Es kann auch als asec bezeichnet werden. Es ist nur die Umkehrfunktion von sec(x). Verwenden Sie den folgenden Rechner, um die Arcus-Sekanten-Werte in Grad und Bogenmaß zu ermitteln. Geben Sie einen Wert ein und klicken Sie auf Berechnen, um die entsprechenden Bogensekanten im Bogenmaß und in Grad zu ermitteln. Dieser Arkussekanten-Rechner findet die inversen trigonometrischen Werte der Sekante.


Schau das Video: Syndicate - Derivakat Dream SMP original song (Januar 2022).