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3.4: Numerische Approximation multipler Integrale - Mathematik


Wie Sie gesehen haben, ist die Berechnung von Mehrfachintegralen selbst für einfache Funktionen und Regionen schwierig. Bei komplizierten Funktionen ist es möglicherweise nicht möglich, eines der iterierten Integrale in einer einfachen geschlossenen Form auszuwerten. Glücklicherweise gibt es numerische Methoden, um den Wert eines Mehrfachintegrals zu approximieren. Die Methode, die wir diskutieren werden, heißt Monte-Carlo-Methode. Die Idee dahinter basiert auf dem Konzept der Durchschnittswert einer Funktion, die Sie in der Ein-Variablen-Rechnung gelernt haben. Denken Sie daran, dass für eine stetige Funktion (f (x)) die Durchschnittswert (ar f ext{ of }f) über ein Intervall ([a,b]) ist definiert als

[ar f = dfrac{1}{b-a}int_a^b f(x),dx label{Gl.3.11}]

Die Größe (b − a) ist die Länge des Intervalls ([a,b]), die man sich als „Volumen“ des Intervalls vorstellen kann. Wenden wir die gleiche Argumentation auf Funktionen von zwei oder drei Variablen an, definieren wir die Durchschnittswert von (f (x, y)) über einem Gebiet (R) zu

[ar f = dfrac{1}{A(R)} iintlimits_R f (x, y),d A label{Gl.3.12}]

wobei (A(R)) die Fläche der Region (R) ist und wir den Mittelwert von (f (x, y, z)) über einem Festkörper (S) als . definieren

[ar f = dfrac{1}{V(S)} iiiintlimits_S f (x, y, z),dV label{Gl.3.13}]

wobei (V(S)) das Volumen des Festkörpers (S) ist. So haben wir zum Beispiel

[iintlimits_R f (x, y),d A = A(R) ar f label{Gl.3.14}]

Der Durchschnittswert von (f(x,y)) über (R) kann man sich als die Summe aller Werte von (f) dividiert durch die Anzahl der Punkte in (R) vorstellen. . Leider gibt es unendlich viele (eigentlich unzählbar viele) Punkte in einer beliebigen Region, d. h. sie können nicht in einer diskreten Reihenfolge aufgelistet werden. Aber was wäre, wenn wir eine sehr große Zahl (N) von zufällig Punkte in der Region (R) (die von einem Computer erzeugt werden können) und nahm dann den Durchschnitt der Werte von (f) für diese Punkte und verwendet diesen Durchschnitt als den Wert von (ar f )? Genau das macht die Monte-Carlo-Methode. In Formel ef{Gl.3.14} erhalten wir also die Näherung

[iintlimits_R f (x, y),d A approx A(R) ar f pm A(R) sqrt{dfrac{ar {f^2}-(ar f) ^2}{N}}label{Gl3.15}]

wo

[ar f = dfrac{sum_{i=1}^{N}f(x_i,y_i)}{N} ext{ und } ar {f^2} = dfrac{sum_{i =1}^{N}(f(x_i,y_i))^2}{N}label{Gl3.16}]

wobei die Summen über die (N) Zufallspunkte ((x_1 , y_1), ..., (x_N , y_N )) übernommen werden. Der (pm)-„Fehlerterm“ in Formel ef{Gl.3.15} liefert keine wirklichen Grenzen für die Näherung. Es repräsentiert eine einzelne Standardabweichung von dem erwartet Wert des Integrals. Das heißt, es bietet a wahrscheinlich an den Fehler gebunden. Aufgrund der Verwendung zufälliger Punkte ist die Monte-Carlo-Methode ein Beispiel für a Wahrscheinlichkeitsrechnung Methode (im Gegensatz zu deterministisch Methoden wie die Newton-Methode, die eine bestimmte Formel zum Erzeugen von Punkten verwenden).

Zum Beispiel können wir Formel ef{Gl.3.15} verwenden, um das Volumen (V) unter der Ebene (z = 8x + 6y) über dem Rechteck (R = [0,1] imes [ 0,2]). In Beispiel 3.1 in Abschnitt 3.1 haben wir gezeigt, dass das tatsächliche Volumen 20 beträgt. Unten ist ein Code-Listing (montecarlo.java) für ein Java-Programm, das das Volumen unter Verwendung einer Anzahl von Punkten (N) berechnet, die auf dem Kommandozeile als Parameter.


Auflistung 3.1 Programmliste für montecarlo.java

Die Ergebnisse der Ausführung dieses Programms mit verschiedenen Anzahlen von zufälligen Punkten (z. B. Java Montecarlo 100) sind unten aufgeführt:

Wie Sie sehen, ist die Näherung ziemlich gut. Als (N oinfty) kann gezeigt werden, dass die Monte-Carlo-Approximation gegen das tatsächliche Volumen konvergiert (in der Größenordnung von (O(sqrt{N})), in der Terminologie der Rechenkomplexität).

Im obigen Beispiel war die Region (R) ein Rechteck. Um die Monte-Carlo-Methode für eine nicht rechteckige (begrenzte) Region (R) zu verwenden, ist nur eine geringfügige Modifikation erforderlich. Wähle ein Rechteck ( ilde R ext{, das }R einschließt) und erzeuge wie zuvor zufällige Punkte in diesem Rechteck. Dann verwenden Sie diese Punkte bei der Berechnung von (ar f) nur dann, wenn sie innerhalb von (R) liegen. In diesem Fall muss die Fläche von (R) für Gleichung ef{Gl.3.15} nicht berechnet werden, da Sie durch den Ausschluss von Punkten außerhalb von (R) die Fläche des Rechtecks ​​( ilde R) stattdessen, ähnlich wie zuvor.

Zum Beispiel haben wir in Beispiel 3.4 gezeigt, dass das Volumen unter der Oberfläche (z = 8x + 6y) über dem nichtrechteckigen Bereich (R = {(x, y) : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2x^ 2 }) ist 6.4. Da das Rechteck ( ilde R = [0,1] imes [0,2] ext{ }R) enthält, können wir dasselbe Programm wie zuvor verwenden, mit der einzigen Änderung, zu prüfen, ob (y < 2x^2) für einen zufälligen Punkt ((x, y) ext{ in }[0,1] imes [0,2]). Listing 3.2 unten enthält den Code (montecarlo2.java):

Auflistung 3.2 Programmliste für montecarlo2.java

Die Ergebnisse der Ausführung des Programms mit verschiedenen Anzahlen von Zufallspunkten (z. B. java montecarlo2 1000) werden unten angezeigt:

Um die Monte-Carlo-Methode zur Auswertung von Tripelintegralen zu verwenden, müssen Sie zufällige Tripel ((x, y, z)) in einem Parallelepiped erzeugen, anstatt zufällige Paare ((x, y)) in einem Rechteck, und verwenden Sie das Volumen des Parallelepipeds anstelle der Fläche eines Rechtecks ​​in Gleichung ef{Gl.3.15} (siehe Aufgabe 2). Für eine ausführlichere Diskussion numerischer Integrationsverfahren siehe PRESS et al.


3.4: Numerische Approximation multipler Integrale - Mathematik

In diesem Kapitel haben wir viel Zeit damit verbracht, die Werte von Integralen zu berechnen. Allerdings können nicht alle Integrale berechnet werden. Ein perfektes Beispiel ist das folgende bestimmte Integral.

Wir müssen jetzt ein wenig über das Schätzen von Werten bestimmter Integrale sprechen. Wir werden uns drei verschiedene Methoden ansehen, wobei Ihnen eine bereits aus Ihrer Infinitesimalrechnung I bekannt sein sollte. Wir werden alle drei Methoden zur Schätzung entwickeln

indem man sich das Integral als Flächenproblem vorstellt und bekannte Formen verwendet, um die Fläche unter der Kurve abzuschätzen.

Lassen Sie uns zuerst die Methoden entwickeln und dann versuchen wir das oben gezeigte Integral zu schätzen.

Mittelpunktregel

Dies ist die Regel, die Ihnen ein wenig bekannt sein sollte. Wir teilen das Intervall (left[ ight]) in (n) gleich breite Teilintervalle,

Wir werden jedes der Intervalle wie folgt bezeichnen:

Dann sei für jedes Intervall (x_i^*) der Mittelpunkt des Intervalls. Wir skizzieren dann in Rechtecken für jedes Teilintervall mit einer Höhe von (fleft( Rechts)). Hier ist ein Diagramm, das den Aufbau mit (n = 6) zeigt.

Wir können leicht die Fläche für jedes dieser Rechtecke finden und erhalten für ein allgemeines (n) Folgendes:

Oder durch Herausrechnen von (Delta x) erhalten wir die allgemeine Mittelpunktsregel.

Trapezregel

Für diese Regel werden wir die gleichen Einstellungen vornehmen wie für die Mittelpunktregel. Wir werden das Intervall (left[ ight]) in (n) Teilintervalle der Breite,

Dann nähern wir uns in jedem Teilintervall der Funktion mit einer geraden Linie an, die gleich den Funktionswerten an jedem Endpunkt des Intervalls ist. Hier ist eine Skizze dieses Falles für (n = 6).

Jedes dieser Objekte ist ein Trapezoid (daher der Name der Regel…) und wie wir sehen können einige von ihnen die tatsächliche Fläche unter der Kurve sehr gut annähern und andere nicht so gut.

Die Fläche des Trapezes im Intervall (left[ <<>>,> ight]) ist gegeben durch,

Wenn wir also (n) Teilintervalle verwenden, ist das Integral ungefähr

Durch eine kleine Vereinfachung kommen wir zur allgemeinen Trapezregel.

Beachten Sie, dass alle Funktionsauswertungen mit Ausnahme der ersten und letzten mit 2 multipliziert werden.

Simpsons Regel

Dies ist die letzte Methode, die wir uns ansehen werden und in diesem Fall werden wir das Intervall (left[ ight]) in (n) Teilintervalle. Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Methoden müssen wir jedoch verlangen, dass (n) gerade ist. Der Grund dafür wird in Kürze ersichtlich sein. Die Breite jedes Teilintervalls beträgt

In der Trapezregel haben wir die Kurve mit einer Geraden angenähert. Für die Simpson-Regel werden wir die Funktion mit einem Quadrat approximieren und verlangen, dass das Quadrat mit drei der Punkte aus unseren Teilintervallen übereinstimmt. Unten ist eine Skizze davon mit (n = 6). Jede der Näherungen ist anders eingefärbt, damit wir sehen können, wie sie tatsächlich funktionieren.

Beachten Sie, dass jede Approximation tatsächlich zwei der Teilintervalle abdeckt. Dies ist der Grund, warum (n) gerade sein muss. Einige der Näherungen sehen eher wie eine Linie als eine quadratische aus, aber sie sind wirklich quadratisch. Beachten Sie auch, dass einige der Näherungen besser funktionieren als andere. Es kann gezeigt werden, dass die Fläche unter der Näherung auf den Intervallen (left[ <<>>,> ight]) und (left[ <,<>>> ight]) ist,

Wenn wir (n)-Teilintervalle verwenden, ist das Integral dann näherungsweise

Vereinfachend kommen wir zur allgemeinen Simpson-Regel.

Beachten Sie in diesem Fall, dass alle Funktionsbewertungen an Punkten mit ungeraden Indizes mit 4 multipliziert werden und alle Funktionsbewertungen an Punkten mit geraden Indizes (außer dem ersten und letzten) mit 2 multipliziert werden. Wenn Sie sich daran erinnern können, ist dies a ziemlich leicht zu merkende Regel.

Okay, es ist an der Zeit, an einem Beispiel zu arbeiten und zu sehen, wie diese Regeln funktionieren.

Zunächst gibt Mathematica zu Referenzzwecken den folgenden Wert für dieses Integral an.

In jedem Fall beträgt die Breite der Teilintervalle

und so werden die Teilintervalle sein,

Lassen Sie uns jede der Methoden durchgehen.

Denken Sie daran, dass wir hier an den Mittelpunkten jedes der Teilintervalle auswerten! Die Mittelpunktregel hat einen Fehler von 1,96701523.

Die Trapezoidregel hat einen Fehler von 4.19193129

Die Simpson-Regel hat einen Fehler von 0,90099869.

Keine der Schätzungen im vorherigen Beispiel ist so gut. Die beste Näherung in diesem Fall stammt aus der Simpson-Regel und hatte dennoch einen Fehler von fast 1. Um eine bessere Schätzung zu erhalten, müssten wir ein größeres (n) verwenden. Der Vollständigkeit halber sind hier die Schätzungen für einen größeren Wert von (n).

Mittelpunkt Trapezoid Simpsons
(n) Ca. Fehler Ca. Fehler Ca. Fehler
8 15.9056767 0.5469511 17.5650858 1.1124580 16.5385947 0.0859669
16 16.3118539 0.1407739 16.7353812 0.2827535 16.4588131 0.0061853
32 16.4171709 0.0354568 16.5236176 0.0709898 16.4530297 0.0004019
64 16.4437469 0.0088809 16.4703942 0.0177665 16.4526531 0.0000254
128 16.4504065 0.0022212 16.4570706 0.0044428 16.4526294 0.0000016

In diesem Fall konnten wir den Fehler für jede Schätzung ermitteln, da wir den genauen Wert in die Hände bekommen konnten. Da dies oft nicht der Fall ist, möchten wir uns als Nächstes die Fehlergrenzen für jede Schätzung ansehen.

Diese Grenzen ergeben den größtmöglichen Fehler in der Schätzung, aber es sollte auch darauf hingewiesen werden, dass der tatsächliche Fehler deutlich kleiner als die Grenze sein kann. Die Grenze ist nur da, damit wir sagen können, dass der tatsächliche Fehler kleiner als die Grenze ist.

Angenommen, (left| echts| le K) und (left| <>left( x ight)> ight| le M) für (a le x le b) dann wenn (), (), und () sind die tatsächlichen Fehler für den Mittelpunkt, das Trapez und die Simpson-Regel, wir haben die folgenden Grenzen,

Wir wissen bereits, dass (n = 4), (a = 0) und (b = 2), also müssen wir nur (K) (den größten Wert der zweiten Ableitung) und (M) (der größte Wert der vierten Ableitung). Das bedeutet, dass wir die zweite und vierte Ableitung von (fleft( x ight)) benötigen.

Hier ist ein Graph der zweiten Ableitung.

Hier ist ein Graph der vierten Ableitung.

Aus diesen Graphen ist also klar, dass der größte Wert von beiden bei (x = 2) liegt. So,

[Startf''left( 2 ight) & = 982.7667hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace<0.25in>K = 983 >left( 2 ight) & = 25115.14901hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace<0.25in>M = 25116end]

Wir haben gerundet, um die Berechnungen zu vereinfachen. Beachten Sie jedoch, dass dies nicht erforderlich ist.

Hier sind die Grenzen für jede Regel.

In jedem Fall können wir sehen, dass die Fehler deutlich kleiner sind als die tatsächlichen Grenzen.


Verweise

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Wiener, N.: Das Fourier-Integral und einige seiner Anwendungen. Cambridge University Press, Cambridge (1988)


DIE ANNÄHERUNG MEHRERER INTEGRALE DURCH DIE VERWENDUNG VON INTERPOLATORISCHEN KUBATURFORMELN

In diesem Kapitel wird die Approximation mehrerer Integrale mit Hilfe der interpolatorischen Kubaturformel diskutiert. Es gibt einen Überblick über die Theorie der interpolatorischen Kubaturformeln, die nach 1970 entwickelt wurde. In dem Kapitel werden folgende Aspekte betrachtet: untere Schranken für die Anzahl der Knoten der Kubaturformel, die für Polynome festen Grades exakt sind, der Zusammenhang zwischen orthogonale Polynome und Kubaturformeln, das Verfahren zur Reproduktion von Kernen und invariante Formeln. Die Erweiterung von Kubaturformeln vom Gaußschen Typ für den multivariaten Fall ist in der Theorie der interpolatorischen Kubaturformel wichtig. Wenn zwei Polynome vom Grad k orthogonal zu Ω und Gewichtsfunktion p (x, y) genau k 2 Wurzeln gemeinsam haben, endlich und verschieden, dann können diese Wurzeln als Knoten einer Kubaturformel für ein Integral auf Ω . genommen werden mit der Gewichtsfunktion p (x, y). Diese Formel ist für alle Polynome mit einem Grad von nicht mehr als 2k - 1 genau.


3.4: Numerische Approximation multipler Integrale - Mathematik

In diesem Kapitel haben wir viel Zeit damit verbracht, die Werte von Integralen zu berechnen. Allerdings können nicht alle Integrale berechnet werden. Ein perfektes Beispiel ist das folgende bestimmte Integral.

Wir müssen jetzt ein wenig über das Schätzen von Werten bestimmter Integrale sprechen. Wir werden uns drei verschiedene Methoden ansehen, wobei Ihnen eine bereits aus Ihrer Infinitesimalrechnung I bekannt sein sollte. Wir werden alle drei Methoden zur Schätzung entwickeln

indem man sich das Integral als Flächenproblem vorstellt und bekannte Formen verwendet, um die Fläche unter der Kurve abzuschätzen.

Lassen Sie uns zuerst die Methoden entwickeln und dann versuchen wir das oben gezeigte Integral zu schätzen.

Mittelpunktregel

Dies ist die Regel, die Ihnen ein wenig bekannt sein sollte. Wir teilen das Intervall (left[ ight]) in (n) gleich breite Teilintervalle,

Wir werden jedes der Intervalle wie folgt bezeichnen:

Dann sei für jedes Intervall (x_i^*) der Mittelpunkt des Intervalls. Wir skizzieren dann Rechtecke für jedes Teilintervall mit einer Höhe von (fleft( Rechts)). Hier ist ein Diagramm, das den Aufbau mit (n = 6) zeigt.

Wir können leicht die Fläche für jedes dieser Rechtecke finden und erhalten für ein allgemeines (n) Folgendes:

Oder durch Herausrechnen von (Delta x) erhalten wir die allgemeine Mittelpunktsregel.

Trapezregel

Für diese Regel werden wir die gleichen Einstellungen vornehmen wie für die Mittelpunktregel. Wir werden das Intervall (left[ ight]) in (n) Teilintervalle der Breite,

Dann approximieren wir die Funktion in jedem Teilintervall mit einer geraden Linie, die gleich den Funktionswerten an jedem Endpunkt des Intervalls ist. Hier ist eine Skizze dieses Falles für (n = 6).

Jedes dieser Objekte ist ein Trapezoid (daher der Name der Regel…) und wie wir sehen können einige von ihnen die tatsächliche Fläche unter der Kurve sehr gut annähern und andere nicht so gut.

Die Fläche des Trapezes im Intervall (left[ <<>>,> ight]) ist gegeben durch,

Wenn wir also (n)-Teilintervalle verwenden, ist das Integral ungefähr

Durch eine kleine Vereinfachung kommen wir zur allgemeinen Trapezregel.

Beachten Sie, dass alle Funktionsauswertungen mit Ausnahme der ersten und letzten mit 2 multipliziert werden.

Simpsons Regel

Dies ist die letzte Methode, die wir uns ansehen werden und in diesem Fall werden wir das Intervall (left[ ight]) in (n) Teilintervalle. Im Gegensatz zu den beiden vorherigen Methoden müssen wir jedoch verlangen, dass (n) gerade ist. Der Grund dafür wird in Kürze ersichtlich sein. Die Breite jedes Teilintervalls beträgt

In der Trapezregel haben wir die Kurve mit einer Geraden angenähert. Für die Simpson-Regel werden wir die Funktion mit einem Quadrat approximieren und verlangen, dass das Quadrat mit drei der Punkte aus unseren Teilintervallen übereinstimmt. Unten ist eine Skizze davon mit (n = 6). Jede der Näherungen ist anders eingefärbt, damit wir sehen können, wie sie tatsächlich funktionieren.

Beachten Sie, dass jede Approximation tatsächlich zwei der Teilintervalle abdeckt. Dies ist der Grund, warum (n) gerade sein muss. Einige der Näherungen sehen eher wie eine Linie als eine quadratische aus, aber sie sind wirklich quadratisch. Beachten Sie auch, dass einige der Näherungen besser funktionieren als andere. Es kann gezeigt werden, dass die Fläche unter der Näherung auf den Intervallen (left[ <<>>,> ight]) und (left[ <,<>>> ight]) ist,

Wenn wir (n)-Teilintervalle verwenden, ist das Integral dann näherungsweise

Vereinfacht kommen wir zur allgemeinen Simpson-Regel.

Beachten Sie in diesem Fall, dass alle Funktionsbewertungen an Punkten mit ungeraden Indizes mit 4 multipliziert werden und alle Funktionsbewertungen an Punkten mit geraden Indizes (außer dem ersten und letzten) mit 2 multipliziert werden. Wenn Sie sich daran erinnern können, ist dies a ziemlich leicht zu merkende Regel.

Okay, es ist an der Zeit, an einem Beispiel zu arbeiten und zu sehen, wie diese Regeln funktionieren.

Zunächst gibt Mathematica zu Referenzzwecken den folgenden Wert für dieses Integral an.

In jedem Fall beträgt die Breite der Teilintervalle

und so werden die Teilintervalle sein,

Lassen Sie uns jede der Methoden durchgehen.

Denken Sie daran, dass wir hier an den Mittelpunkten jedes der Teilintervalle auswerten! Die Mittelpunktregel hat einen Fehler von 1,96701523.

Die Trapezoidregel hat einen Fehler von 4.19193129

Die Simpson-Regel hat einen Fehler von 0,90099869.

Keine der Schätzungen im vorherigen Beispiel ist so gut. Die beste Näherung in diesem Fall stammt aus der Simpson-Regel und hatte dennoch einen Fehler von fast 1. Um eine bessere Schätzung zu erhalten, müssten wir ein größeres (n) verwenden. Der Vollständigkeit halber sind hier die Schätzungen für einen größeren Wert von (n).

Mittelpunkt Trapezoid Simpsons
(n) Ca. Fehler Ca. Fehler Ca. Fehler
8 15.9056767 0.5469511 17.5650858 1.1124580 16.5385947 0.0859669
16 16.3118539 0.1407739 16.7353812 0.2827535 16.4588131 0.0061853
32 16.4171709 0.0354568 16.5236176 0.0709898 16.4530297 0.0004019
64 16.4437469 0.0088809 16.4703942 0.0177665 16.4526531 0.0000254
128 16.4504065 0.0022212 16.4570706 0.0044428 16.4526294 0.0000016

In diesem Fall konnten wir den Fehler für jede Schätzung ermitteln, da wir den genauen Wert in die Hände bekommen konnten. Dies ist oft nicht der Fall, daher möchten wir uns als Nächstes die Fehlergrenzen für jede Schätzung ansehen.

Diese Grenzen ergeben den größtmöglichen Fehler in der Schätzung, aber es sollte auch darauf hingewiesen werden, dass der tatsächliche Fehler deutlich kleiner als die Grenze sein kann. Die Grenze ist nur da, damit wir sagen können, dass der tatsächliche Fehler kleiner als die Grenze ist.

Angenommen, (left| echts| le K) und (left| <>left( x ight)> ight| le M) für (a le x le b) dann wenn (), (), und () sind die tatsächlichen Fehler für den Mittelpunkt, das Trapez und die Simpson-Regel, wir haben die folgenden Grenzen:

Wir wissen bereits, dass (n = 4), (a = 0) und (b = 2), also müssen wir nur (K) (den größten Wert der zweiten Ableitung) und (M) (der größte Wert der vierten Ableitung). Das bedeutet, dass wir die zweite und vierte Ableitung von (fleft( x ight)) benötigen.

Hier ist ein Graph der zweiten Ableitung.

Hier ist ein Graph der vierten Ableitung.

Aus diesen Graphen ist also klar, dass der größte Wert von beiden bei (x = 2) liegt. So,

[Startf''left( 2 ight) & = 982.7667hspace<0.25in>hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace<0.25in>K = 983 >left( 2 ight) & = 25115.14901hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>hspace<0.25in>M = 25116end]

Wir haben gerundet, um die Berechnungen zu vereinfachen. Beachten Sie jedoch, dass dies nicht erforderlich ist.

Hier sind die Grenzen für jede Regel.

In jedem Fall können wir sehen, dass die Fehler deutlich kleiner sind als die tatsächlichen Grenzen.


Approximation von Integralen und Ableitungen.

Integration ist in Anwendungen extrem wichtig, aber es ist sehr selten möglich, den genauen Wert eines bestimmten Integrals zu erhalten, da dies eine Stammfunktion der Funktion erfordert. Wenn die Stammfunktion nicht gefunden werden kann, ist eine Näherungsmethode erforderlich. Die Definition des bestimmten Integrals beinhaltet den Grenzwert von Summen mit Auswertungen der Funktion (vgl. auch Riemann-Integral Integralsumme), was einen natürlichen Weg zur Approximation des Integrals bietet. Es ist jedoch ein sehr ineffizientes Verfahren, und es werden viel bessere Näherungsverfahren erhalten, indem eine Interpolationsfunktion verwendet wird, um die Funktion anzunähern und dann die Interpolationsfunktion integriert wird, um den Näherungswert für das Integral zu erzeugen. Die allgemein verwendeten Interpolationsfunktionen sind Polynome oder stückweise Polynome. Numerische Integrationsverfahren sind im Allgemeinen stabil und können so ausgelegt werden, dass sie Genauigkeitsprüfungen beinhalten, um die Technik zu modifizieren, wenn vermutet wird, dass die Näherung nicht ausreichend genau ist.

Da die Definition der Ableitung die Grenze des Verhältnisses der Änderung der Werte einer Funktion in Bezug auf die Änderung ihrer Variablen beinhaltet, verwenden die grundlegenden Ableitungs-Approximationstechniken einen Differenzenquotienten, um die Ableitung einer gegebenen Funktion anzunähern. Die numerische Differenzierung ist jedoch im Allgemeinen hinsichtlich des Rundungsfehlers instabil, und die resultierenden Näherungen können ohne Sorgfalt bedeutungslos sein.


3.4: Numerische Approximation multipler Integrale - Mathematik

Die numerische Integration ist im Vergleich zur numerischen Differenzierung viel zuverlässiger. Der Rundungsfehler bei der Berechnung der Summe der Werte ich k , wo k = 0,1. n, ist immer konstant, was nicht von der numerischen Integrationsregel abhängt. Diese Konstante ist begrenzt durch das Produkt des Integrationsintervalls T und der maximale Rundungsfehler ähm in der Computerdarstellung von Zahlen. Wenn also der Trunkierungsfehler der numerischen Integrationsregel durch einen rekursiven Algorithmus reduziert werden kann (siehe Vorlesung 3.5), repräsentiert die resultierende numerische Approximation den exakten Wert des Integrals mit einem konstanten Gesamtrundungsfehler.

Der Trunkierungsfehler kann auf zwei verschiedene Arten reduziert werden: durch Reduzierung der Schrittweite h und unter Verwendung der Integrationsformel höherer Ordnung der Ordnung O(h 2 ), O(h 4 ), usw. Wenn die Schrittweite h zwischen zwei benachbarten Werten ich k kleiner wird, nimmt der Trunkierungsfehler der numerischen Integrationsregel ab. Wenn beispielsweise die Schrittweite um die Hälfte reduziert wird, wird der globale Abschneidefehler der zusammengesetzten Trapezregel um vier reduziert. Die folgende Abbildung zeigt die Ergebnisse aus der Verwendung von zwei zusammengesetzten trapezförmigen Regeln für den Strom ich = ich(t) (Anzeigen der Datenwerte für den Strom). Die Näherungen erhält man mit Schrittweite h = 10 (grüne Pluspunkte) und mit Schrittweite h = 5 (blaue Punkte) gegenüber dem exakten Integral S T [I(t)] (rote durchgezogene Kurve). Der Fehler der zusammengesetzten Trapezregel verringert sich deutlich mit kleinerer Schrittweite h (blaue Punkte liegen näher an der exakten roten Kurve im Vergleich zu den grünen Pluspunkten).

Die Abbildung zeigt auch, dass der Trunkierungsfehler für das Integral mit der Länge des Intervalls wächst. Es ist der globale Trunkierungsfehler der numerischen Integration über das Intervall t = 0 und t = T. Der globale Trunkierungsfehler wird vom lokalen Trunkierungsfehler unterschieden, letzterer Fehler tritt auf, wenn das Integral zwischen zwei benachbarten Punkten durch ein Trapez ersetzt wird.

In vielen Fällen werden die Datenstichproben mit einer festen Schrittweite angegeben h das lässt sich nicht kontrollieren. Wenn dies der Fall ist, kann die numerische Näherung für das Integral verbessert werden, indem eine Integrationsregel höherer Ordnung verwendet wird, beispielsweise die Simpson-Regel. Der Romberg-Integrationsalgorithmus (siehe Vorlesung 3.5) ermöglicht es, ausgehend von wenigen Berechnungen der zusammengesetzten Trapezregel, eine Folge von Integrationsregeln höherer Ordnung zu konstruieren. Die folgende Abbildung zeigt einen Vergleich der zusammengesetzten Trapezregel (grüne Pluspunkte) und der zusammengesetzten Simpson-Regel (blaue Punkte) für das Integral des Stroms ich = ich(t). Die Schrittweite h ist für beide numerischen Integrationen gleich: h = 10. Das genaue Integral S T [I(t)] wird durch eine rote durchgezogene Kurve angezeigt. Die zusammengesetzte Simpson-Regel ist eindeutig viel genauer als die zusammengesetzte Trapezregel.


3.4: Numerische Approximation multipler Integrale - Mathematik

> endstream endobj 24 0 obj 1382 endobj 22 0 obj > /ProcSet 2 0 R >> /Contents 23 0 R >> endobj 27 0 obj > stream J.+gME)=>9"rdt?634UY(320^N52/" @4Nr*[email protected]#.R_91Bcr!t%#'K9:,s B,EPGb(_p=g_.RNWqh5Tr8H)G-:+iGF]3KjolU>`W=(bhL-6e$ ZTYbY/), a6k(C`bE W/KZVY1B0b/n8& >)]o5Fi*6'T?!m.&5^OO2q8:\_a0S40p!(_:$4=*JCD*?K! +_rVHL7t(L(5 =BP:7&U"Wc#,%_f4JtN'[email protected]@[email protected] @?>"SNK0CL$Ojptj>P&0OCmjh_5iZjNt(k=$TI:_n]dT[=5R+fJ4"KEGoQl3%]X (_j:WE+0LkdmUjT%]a]+&.Qei`[email protected]#JO!HSMkZl/i35cS-A+oGS'L4*JWjL. UT"$DK$b[^rp_!/qW8WG#-R5( ffh0u(VF5leUEbN/hZ'51np"i88VpPgC+$o3Nq *+^(JUKf5A%M0c>4:NNNHFV-CI'YEO'GHB^"tiSA)+ :rrL1/U`! M_Ve6Q$"piH! 8kPlTq .! =)6(HFBVi'F'U59e *MZ!dqOsOVmuD)[email protected][email protected]^44,j1L?_?l['$V[IJ][email protected]?Ot.iK/'0OVA,0- #Jg== [email protected]%f4!Bg'7dA&3uSX%)L&g0M3.4: Numerische Approximation mehrerer Integrale - Mathematik,[nobr][H1toH2][email protected](cr$G.1:^Q -4%[email protected] 67:r^r#kApYg-8KQ,oW_e6X_%4!qhYS`mlBK6U]=kGh.LHP-psXa :[email protected],eg4EG(GQ^#&`YJ_0E:#i?Shhc`iq&a>OLOZdOa]^ ucJ1Ei]H$V/2S&AKo- * f0e3!P @10:4H^tg 'Z(!/T[s%"[email protected] oBYaZF&XXR="f$Ih.K'qC"F#s_uSTFCQ i#Xgp[2UZ26jCTn9S7m8N^,KMiB) WPFONFMT"TI+['+dl7iE."J#n

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