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10.2: Aufbau der reellen Zahlen - Mathematik


Fähigkeiten zum Entwickeln

  • Zeigen Sie, warum das Erstellen von reellen Zahlen logisch notwendig ist

Im Gegensatz zum Titel dieses Abschnitts werden wir hier nicht rigoros die reellen Zahlen aufbauen. Unser Ziel ist es stattdessen, zu zeigen, warum ein solcher Build logisch notwendig ist, und einen Eindruck davon zu vermitteln, wie dies in der Vergangenheit erreicht wurde. Dies mag angesichts unserer einheitlichen Betonung der mathematischen Strenge, insbesondere im dritten Teil des Textes, seltsam erscheinen, aber dafür gibt es sehr gute Gründe.

Einer ist einfache Praktikabilität. Tatsache ist, dass die rigorose Konstruktion der reellen Zahlen und der anschließende Nachweis ihrer geforderten Eigenschaften selbst für die Mathematik eine außerordentliche Detailarbeit ist. Wenn wir diesen Text überschaubar halten wollen (wir tun), fehlt uns einfach der Platz.

Der zweite Grund ist, dass Sie, soweit wir wissen, sehr wenig davon zu gewinnen haben. Wenn wir fertig sind, haben wir die reellen Zahlen. Die gleichen reellen Zahlen, die Sie Ihr ganzes Leben lang verwendet haben. Sie haben die gleichen Eigenschaften und Macken, die sie schon immer hatten. Von ihrem Reiz werden sie allerdings nichts verloren haben; Sie werden die gleiche reizvolle Mischung aus Alltäglichem und Bizarrem sein, und es lohnt sich immer noch, sie zu erkunden und besser kennenzulernen. Aber nichts, was wir tun, während wir sie logisch aus einfacheren Ideen aufbauen, wird bei dieser Erkundung helfen.

Eine vernünftige Frage ist dann: „Warum die Mühe?” Wenn der Prozess überwältigend und mühsam detailliert ist (ist er) und uns nichts Neues für unsere Bemühungen gibt, warum dann überhaupt?

Mathematik zu machen wurde verglichen1 einen dunklen Raum zu betreten. Zuerst bist du verloren. Die Raumaufteilung und die Möbel sind unbekannt, so dass Sie ein wenig herumfummeln und langsam ein Gefühl für Ihre unmittelbare Umgebung bekommen, vielleicht eine vage Vorstellung von der Organisation des Raumes als Ganzes. Irgendwann, nach vielen, oft mühsamen Erkundungen, fühlen Sie sich in Ihrem Zimmer recht wohl. Aber immer wird es dunkle Ecken geben; versteckte Bereiche, die Sie noch nicht erforscht haben. Ein so dunkler Bereich kann alles verbergen; die Riegel an ungeöffneten Türen, von denen Sie nicht wussten, dass sie da waren; eine Klemme, deren Vorhandensein erklärt, warum man den kleinen Schreibtisch in der Ecke nicht bewegen konnte; sogar der Lichtschalter, mit dem Sie einen Bereich klarer ausleuchten könnten, als Sie es sich für möglich gehalten hätten.

Aber, und das ist der Punkt, Sie können nicht wissen, was Sie dort finden werden, bis Sie in diese dunkle Ecke gehen und mit der Erkundung beginnen. Vielleicht nichts. Aber vielleicht etwas Wunderbares.

Dies geschah im späten neunzehnten Jahrhundert. Die reellen Zahlen wurden verwendet, seit die Pythagoräer erfuhren, dass (sqrt{2}) irrational ist. Aber wirklich, die meisten Berechnungen wurden (und werden immer noch) nur mit den rationalen Zahlen durchgeführt. Da (mathbb{Q}) außerdem ein „Satz von Maß Null“ ist klar, dass die meisten reellen Zahlen völlig ungenutzt geblieben waren. Die Menge der reellen Zahlen war also eine von denen „dunkle Ecken“ der Mathematik. Es musste erforscht werden.

Aber auch wenn das stimmt“, könnten Sie fragen, „ich habe kein Interesse an den logischen Grundlagen der reellen Zahlen, besonders wenn mir solche Kenntnisse nichts sagen, was ich nicht schon weiß. Warum muss ich alle Details kennen, um (mathbb{R}) aus (mathbb{Q}) zu konstruieren?"

Die Antwort darauf ist ganz einfach: Du tust es nicht.

Das ist der andere Grund, warum wir nicht alle Details dieses Materials behandeln. Wir werden genug erklären, um diese kleine Ecke der Mathematik, vielleicht schwach, zu beleuchten. Wenn Sie später darauf zurückkommen müssen (oder wollen) und weiter erforschen, haben Sie eine Grundlage, mit der Sie beginnen können. Nichts mehr.

Bis zum 19. Jahrhundert galt die Geometrie von Euklid, wie sie in seinem Buch Die Elemente beschrieben wird, allgemein als Prüfstein mathematischer Perfektion. Dieser Glaube war so tief in der westlichen Kultur verankert, dass Edna St. Vincent Millay noch 1923 eines der Gedichte in ihrem Buch The Harp Weaver and Other Poems mit der Zeile „Euklid allein hat die Schönheit nackt angeschaut.

Euklid beginnt sein Buch mit der Angabe von (5) einfachen Axiomen und fährt fort, Schritt für logischen Schritt seine Geometrie aufzubauen. Obwohl weit entfernt von wirklicher Perfektion, sind seine Methoden sauber, präzise und effizient – ​​er kommt zum Satz des Pythagoras in nur (47) Schritten (Theoremen) – und auch heute setzt Euklids Elemente immer noch einen sehr hohen Standard an mathematischer Darstellung und Sparsamkeit.

Das Ziel, mit dem Klaren und Einfachen zu beginnen und logisch, konsequent zum Komplexen fortzuschreiten, ist aus verschiedenen Gründen noch immer ein Leitgedanke aller Mathematik. Im späten 19. Jahrhundert wurde dieses Prinzip auf die reellen Zahlen angewandt. Das heißt, einige Eigenschaften der reellen Zahlen, die zunächst einfach und intuitiv klar erscheinen, erweisen sich bei näherer Betrachtung, wie wir gesehen haben, als eher kontraintuitiv. Dies allein ist nicht wirklich ein Problem. Wir können in unserer Mathematik kontraintuitive Eigenschaften haben – in der Tat ist dies ein großer Teil dessen, was die Mathematik interessant macht –, solange wir sie logisch finden, ausgehend von einfachen Annahmen, wie es Euklid getan hat.

Nachdem wir zu einer Ansicht der reellen Zahlen gekommen sind, die mit der unserer Kollegen aus dem 19. Jahrhundert vergleichbar ist, sollte nun klar sein, dass die reellen Zahlen und ihre Eigenschaften aus einfacheren Konzepten aufgebaut werden müssen, wie unsere italienischen Freunde im vorigen Abschnitt vorgeschlagen haben.

Zusätzlich zu diesen Eigenschaften, die wir bisher entdeckt haben, teilen sowohl (mathbb{Q}) als auch (mathbb{R}) eine weitere Eigenschaft, die nützlich sein wird. Wir haben es im gesamten Text verwendet, aber bisher nicht explizit gemacht. Beide sind linear geordnet. Wir werden diese Eigenschaft nun explizit machen.

Definition (PageIndex{1})

Ein Zahlenfeld heißt linear geordnet, wenn es eine mit „(<)“ bezeichnete Beziehung zu den Elementen des Feldes gibt, die für alle (x), (y), und (z) im Feld.

  1. Für alle Zahlen (x) und (y) im Feld gilt genau eine der folgenden:
    1. (x
    2. (x=y)
    3. (y < x)
  2. Wenn (x < y), dann (x + z < y + z) für alle (z) im Feld.
  3. Wenn (x < y) und (0 < z), dann (x cdot z < y cdot z).
  4. Wenn (x < y) und (y < z) dann (x < z).

Jedes Zahlenfeld mit einer solchen Beziehung wird als linear geordnetes Zahlenfeld bezeichnet, und wie das folgende Problem zeigt, ist nicht jedes Zahlenfeld linear geordnet.

Übung (PageIndex{1})

  1. Beweisen Sie, dass das Folgende in jedem linear geordneten Zahlenfeld gelten muss.
    1. (0 < x) genau dann, wenn (-x < 0).
    2. Wenn (x < y) und (z < 0) dann (y cdot z < x cdot z).
    3. Für alle (x eq 0), (0 < x^2).
    4. (0 < 1).
  2. Zeigen Sie, dass die Menge der komplexen Zahlen ((mathbb{C})) kein linear geordneter Körper ist.

In einer gründlichen, rigorosen Darstellung würden wir nun die Existenz der natürlichen Zahlen ((mathbb{N})) und ihrer Eigenschaften annehmen und damit die ganzen Zahlen ((mathbb{Z})) definieren. . Wir würden dann die ganzen Zahlen verwenden, um die rationalen Zahlen ((mathbb{Q})) zu definieren. Wir könnten dann zeigen, dass die rationalen Zahlen die im vorigen Abschnitt ausgearbeiteten Feldaxiome erfüllen und dass sie linear geordnet sind.

Dann würden wir – endlich – (mathbb{Q}) benutzen, um die reellen Zahlen ((mathbb{R}) zu definieren), zeigen, dass diese auch die Feldaxiome erfüllen und auch die anderen Eigenschaften haben, die wir erwarten : Stetigkeit, die Nested Interval Property, die Least Upper Bound Property, der Satz von Bolzano-Weierstrass, die Konvergenz aller Cauchy-Folgen und lineare Ordnung.

Wir würden mit den natürlichen Zahlen beginnen, weil sie so einfach zu sein scheinen, dass wir ihre Eigenschaften einfach annehmen können. Wie Leopold Kronecker (1823-1891) sagte: „Gott hat die natürlichen Zahlen geschaffen, alles andere ist das Werk des Menschen.

Leider ist dies ziemlich viel, um in diesen Epilog zu passen, so dass wir den Prozess ziemlich stark abkürzen müssen.

Wir werden die Existenz und die Eigenschaften der rationalen Zahlen annehmen. (mathbb{Q}) aus den ganzen Zahlen zu bauen ist nicht besonders schwer und es ist leicht zu zeigen, dass sie die von Salviati, Sagredo und Simplicio im vorherigen Abschnitt erarbeiteten Axiome erfüllen. Aber der Detaillierungsgrad, der für die Strenge erforderlich ist, wird schnell lästig.

Selbst ab dieser ziemlich fortgeschrittenen Position in der Logikkette ist noch ein beträchtlicher Detaillierungsgrad erforderlich, um den Prozess abzuschließen. Daher wird unsere Darstellung notwendigerweise unvollständig sein.

Anstatt in aller Strenge darzustellen, wie die reellen Zahlen aus den rationalen Zahlen aufgebaut werden können, werden wir in ziemlich allgemeiner Form drei Wege aufzeigen, wie dies in der Vergangenheit getan wurde. Wir werden später Referenzen geben, falls Sie nachverfolgen und mehr erfahren möchten.

Die Dezimalerweiterung

Dies ist bei weitem die einfachste Methode, die wir untersuchen werden. Da wir mit (mathbb{Q}) beginnen, haben wir bereits einige Zahlen, deren Dezimalentwicklung unendlich ist. Zum Beispiel (frac{1}{3} = 0,333....) Wir wissen auch, dass, wenn (x ∈ mathbb{Q}) dann (x) als Dezimalzahl ausdrückt, entweder a endliche oder eine sich wiederholende unendliche Dezimalzahl.

Einfacher können wir sagen, dass (mathbb{Q}) aus der Menge aller Dezimalausdrücke besteht, die sich schließlich wiederholen. (Wenn es schließlich Nullen wiederholt, haben wir es eine endliche Dezimalzahl genannt.)

Dann definieren wir die reellen Zahlen als die Menge aller unendlichen Dezimalzahlen, sich wiederholend oder nicht.

Es mag sich so anfühlen, als ob wir nur noch Addition und Multiplikation auf die offensichtliche Weise definieren müssten und wir fertig sind. Diese Menge mit diesen Definitionen erfüllt offensichtlich alle Feldaxiome, die unsere italienischen Freunde im vorigen Abschnitt ausgearbeitet haben. Darüber hinaus scheint klar, dass alle unsere äquivalenten Vollständigkeitsaxiome erfüllt sind.

Allerdings sind die Dinge nicht ganz so eindeutig, wie sie scheinen.

Die Hauptschwierigkeit bei diesem Ansatz besteht darin, dass die dezimale Darstellung der reellen Zahlen so vertraut ist, dass alles, was wir zeigen müssen, offensichtlich erscheint. Aber halten Sie inne und denken Sie kurz nach. Ist es wirklich offensichtlich, wie man Addition und Multiplikation unendlicher Dezimalzahlen definiert? Betrachten Sie den Additionsalgorithmus, der uns allen in der Grundschule beigebracht wurde. Dieser Algorithmus erfordert, dass wir zwei Zahlen an ihren Dezimalstellen aneinanderreihen:

[d_1d_2 cdot d_3d_4 + delta _1 delta_2 cdot delta_3 delta_4]

Wir beginnen dann mit dem Hinzufügen in der Spalte ganz rechts und fahren nach links fort. Aber wenn unsere Dezimalzahlen unendlich sind, können wir nicht anfangen, weil es keine Spalte ganz rechts gibt!

Ein ähnliches Problem tritt bei der Multiplikation auf.

Unser erstes Problem besteht also darin, Addition und Multiplikation in (mathbb{R}) auf eine Weise zu definieren, die Addition und Multiplikation in (mathbb{Q}) wiedererfasst.

Dies ist keine triviale Aufgabe.

Eine Möglichkeit, vorzugehen, besteht darin, zu erkennen, dass die Dezimalschreibweise, die wir unser ganzes Leben lang verwendet haben, in Wirklichkeit eine Abkürzung für die Summe einer unendlichen Reihe ist. Das heißt, wenn (x = 0 cdot d_1d_2d_3 ...) mit (0 ≤ d_i ≤ 9) für alle (i ∈ N) dann

[x = sum_{i=1}^{infty} frac{d_i}{10^i}]

Die Addition ist nun anscheinend einfach zu definieren: Wenn (x = sum_{i=1}^{infty} frac{d_i}{10^i}) und (y = sum_{i=1}^ {infty} frac{delta_i}{10^i}) dann

[x + y = sum_{i=1}^{infty} frac{e_i}{10^i} ext{ wobei } e_i = d_i + delta_i]

Aber es gibt ein Problem. Angenommen für ein (j ∈ mathbb{N}), (e_j = d_i + δ_i > 10). In diesem Fall erfüllt unsere Summe nicht die Bedingung (0 ≤ e_i ≤ 9), sodass es nicht einmal klar ist, dass der Ausdruck (sum_{i=1}^{infty} frac{e_i}{10^ i}) steht für eine reelle Zahl. Das heißt, wir haben möglicherweise nicht die Abschlusseigenschaft eines Zahlenfeldes. Wir müssen eine Art von „Tragen“, um dies zu handhaben.

Übung (PageIndex{2})

Definieren Sie die Addition auf unendliche Dezimalstellen auf geschlossene Weise.

Hinweis

Finden Sie ein passendes „tragen” Operation für unsere Definition.

Eine ähnliche Schwierigkeit tritt auf, wenn wir versuchen, Multiplikation zu definieren. Sobald wir eine Vorstellung vom Tragen haben, könnten wir die Multiplikation einfach als die Multiplikation von Reihen definieren. Konkret könnten wir definieren

[egin{align*} (0cdot a_1a_2a_3cdots )cdot (0cdot b_1b_2b_3cdots ) &= left ( frac{a_1}{10} + frac{a_2}{10^2} + cdots ight )cdot left ( frac{b_1}{10} + frac{b_2}{10^2} + cdots ight ) &= frac{a_1b_1}{10^2} + frac{a_1b_2 + a_2b_1}{10^3} + frac{a_1b_3 + a_2b_2 + a_3b_1}{10^4} + cdots end{align*}]

Wir könnten dies dann in ein „richtig” Dezimal mit unserer Trageoperation.

Auch hier steckt der Teufel im Detail, um zu zeigen, dass solche algebraischen Operationen alles erfüllen, was wir von ihnen erwarten. Selbst dann müssen wir uns um die lineare Ordnung dieser Zahlen und unser Vollständigkeitsaxiom kümmern.

Eine andere Sichtweise besteht darin, sich eine unendliche dezimale Darstellung als eine (Cauchy-)Folge endlicher dezimaler Näherungen vorzustellen. Da wir wissen, wie man endliche Dezimaldarstellungen addiert und multipliziert, können wir die einzelnen Terme in den Folgen einfach addieren und multiplizieren. Natürlich gibt es keinen Grund, uns nur auf diese speziellen Typen von Cauchy-Folgen zu beschränken, wie wir in unserem nächsten Ansatz sehen.

Cauchy-Sequenzen

Wie wir gesehen haben, begann Georg Cantor seine Karriere mit dem Studium der Fourier-Reihen und wandte sich schnell grundlegenderen Fragen der Theorie der unendlichen Mengen zu.

Aber seine Faszination für die echte Analyse verlor er nicht, als er weiterzog. Wie viele Mathematiker seiner Zeit erkannte er die Notwendigkeit, (mathbb{R}) aus (mathbb{Q}) aufzubauen. Er und sein Freund und Mentor Richard Dedekind (dessen Ansatz wir im nächsten Abschnitt sehen werden) fanden beide unterschiedliche Wege, (mathbb{R}) aus (mathbb{Q}) zu bauen.

Cantor begann mit Cauchy-Folgen in (mathbb{Q}).

Das heißt, wir betrachten die Menge aller Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Wir möchten jede solche Folge als reelle Zahl definieren. Das Ziel sollte klar sein. Wenn (left( s_n ight)_{n=1}^{infty}) eine Folge in (mathbb{Q}) ist, die gegen (sqrt{2}) konvergiert, dann gilt: wird ((s_n)) die reelle Zahl (sqrt{2}) nennen.

Dies erscheint zunächst wahrscheinlich etwas verblüffend. Es gibt viele Zahlen in ((s_n)) (zählbar unendlich viele, um genau zu sein) und wir schlagen vor, sie alle in eine große Tüte zu stecken, sie zu einem Band zu binden und das Ganze ( sqrt{2}). Es scheint eine sehr seltsame Sache vorzuschlagen, aber erinnern Sie sich an die Diskussion im vorherigen Abschnitt, dass wir das Konzept von „Nummer“ undefiniert. Wenn wir also eine beliebige Menge von Objekten nehmen und Addition und Multiplikation so definieren können, dass die Feldaxiome erfüllt sind, dann sind diese Objekte legitimerweise Zahlen. Um zu zeigen, dass es sich tatsächlich um die reellen Zahlen handelt, benötigen wir noch die Vollständigkeitseigenschaft.

Ein Sack voller rationaler Zahlen funktioniert genauso gut wie alles, wenn wir Addition und Multiplikation richtig definieren können.

Unser unmittelbares Problem ist jedoch nicht die Addition oder Multiplikation, sondern die Eindeutigkeit. Wenn wir eine Folge ((s_n)), die gegen (sqrt{2}) konvergiert, nehmen und als (sqrt{2}) definieren, was machen wir mit all den anderen Folgen, die zu (sqrt{2}) konvergieren?

Außerdem müssen wir bei der Definition der reellen Zahlen darauf achten, dass wir uns nicht auf reelle Zahlen beziehen, wie zum Beispiel auf die Quadratwurzel aus zwei. Dies wäre eine zirkuläre – und damit nutzlose – Definition. Natürlich können wir uns jedoch auf rationale Zahlen beziehen, da dies die Werkzeuge sind, die wir verwenden werden.

Die Lösung ist klar. Wir nehmen alle Folgen rationaler Zahlen, die gegen (sqrt{2}) konvergieren, werfen sie in unsere Tasche und nennen das (sqrt{2}). Unsere Tasche wird jetzt ziemlich voll.

Aber wir müssen dies ohne (sqrt{2}) tun, weil es eine reelle Zahl ist. Die folgenden beiden Definitionen erfüllen alle unsere Bedürfnisse.

Definition (PageIndex{2})

Seien (x = left ( s_n ight )_{k=1}^{infty }) und (y = left (sigma_n ight )_{k=1}^{infty} ) Cauchy-Folgen in (mathbb{Q}) sein. (x) und (y) heißen äquivalent, wenn sie die folgende Eigenschaft erfüllen: Für jedes (ε > 0), (ε ∈ mathbb{Q}) gibt es eine rationale Zahl (mathbb{N}) mit für alle (n > N), (n ∈ mathbb{N}),

[|s_n - σ_n| < ε]

Wir bezeichnen Äquivalenz, indem wir (x y) schreiben.

Übung (PageIndex{3})

Zeige, dass:

  1. (x x)
  2. (x y ⇒ y ≡ x)
  3. (x y) und (y ≡ z ⇒ x ≡ z)

Definition (PageIndex{3})

Jede Menge aller äquivalenten Cauchy-Folgen definiert eine reelle Zahl.

Ein sehr schönes Merkmal von Cantors Methode ist, dass es sehr klar ist, wie Addition und Multiplikation definiert werden sollten.

Definition (PageIndex{4})

Ob

[x = left { left ( s_n ight )_{k=1}^{infty } mid left ( s_n ight )_{k=1}^{infty } ext { is Cauchy in } mathbb{Q} ight }]

und

[y = left { left ( sigma_n ight )_{k=1}^{infty } mid left ( sigma_n ight )_{k=1}^{infty } ext { ist Cauchy in } mathbb{Q} ight }]

dann definieren wir folgendes:

Zusatz:

[x + y = left { left ( t_n ight )_{k=1}^{infty } mid t_k = s_k + sigma_k, forall (s_n)epsilon ; x, ext{ und } (sigma_n)epsilon; y echts }]

Multiplikation:

[x cdot y = left { left ( t_n ight )_{k=1}^{infty } mid t_k = s_k sigma_k, forall (s_n)epsilon ; x, ext{ und } (sigma_n)epsilon; y echts }]

Die in Definition (PageIndex{3}) verwendete Notation kann zunächst schwer zu lesen sein, aber im Grunde besagt sie, dass Addition und Multiplikation komponentenweise erfolgen.Da jedoch (x) und (y) aus allen äquivalenten Folgen bestehen, müssen wir jede mögliche Wahl von ((s_n) ∈ x) und ((σ_n) ∈ y) treffen, um die ( ext {Summe (Produkt)} left (s_n + sigma_n ight )_{n=1}^{infty} (left (s_n sigma_n ight )_{n=1}^{ infty })) und zeigen Sie dann, dass alle solche ext{Summen (Produkte)}) äquivalent sind. Andernfalls ist ext{Addition (Multiplikation)}) nicht genau definiert: Es hängt davon ab, welche Folge wir wählen, um (x) und (y) darzustellen.

Übung (PageIndex{4})

Seien (x) und (y) reelle Zahlen in (mathbb{Q}) (also Mengen äquivalenter Cauchy-Folgen). Wenn ((s_n)) und ((t_n)) in (x) und ((σ_n)) und ((τ_n)) in (y) sind, dann

[left (s_n + t_n ight )_{n=1}^{infty} equiv left (sigma_n + au_n ight )_{n=1}^{infty }]

Satz (PageIndex{1})

Sei (0∗) die Menge der Cauchy-Folgen in (mathbb{Q}), die alle äquivalent zur Folge ((0, 0, 0, ...)) sind. Dann

[0∗ + x = x]

Nachweisen

Aus Problem (PageIndex{4}) ist klar, dass wir bei der Bildung von (0∗ +x) jede beliebige Folge in (0∗) wählen können, um (0∗) darzustellen, und jede Folge in (x), um (x) darzustellen. (Das liegt daran, dass jede andere Wahl eine Folge ergibt, die (0∗ + x) entspricht.)

Daher wählen wir ((0,0,0,...)), um (0∗) und jedes Element von (x) darzustellen, sagen wir ((x_1,x_2,...)) , um (x) darzustellen. Dann

[egin{align*} (0,0,0,...) + (x_1,x_2,x_3,...) &= (x_1,x_2,x_3,...) &= x end{ausrichten*}]

Da alle anderen Folgen aus (0∗) bzw. (x) eine zu (x) äquivalente Summe ergeben (siehe Problem (PageIndex{3})), schließen wir, dass

[0∗ + x = x]

Übung (PageIndex{5})

Bestimmen Sie die Menge äquivalenter Cauchy-Folgen (1∗), so dass (1∗ cdot x = x).

Übung (PageIndex{6})

Seien (x), (y) und (z) reelle Zahlen (äquivalente Mengen von Cauchy-Folgen). Zeigen Sie, dass mit wie oben definierter Addition und Multiplikation gilt:

  1. (x + y = y + x)
  2. ((x + y) + z = x + (y + z))
  3. (x cdot y = y cdot x)
  4. ((x cdot y) cdot z = x cdot (y cdot z))
  5. (x cdot (y + z) = x cdot y + x cdot z)

Sobald die Existenz additiver und multiplikativer Inversen nachgewiesen ist 2 die Sammlung aller Mengen äquivalenter Cauchy-Folgen mit wie oben definierter Addition und Multiplikation erfüllt alle Feldaxiome. Es ist klar, dass sie ein Zahlenfeld bilden und daher den Namen Zahlen verdienen.

Dies zeigt jedoch nicht unbedingt, dass sie (mathbb{R}) bilden. Wir müssen auch zeigen, dass sie vollständig im Sinne von Kapitel 7 sind. Es ist vielleicht nicht allzu überraschend, dass die natürlichste Vollständigkeitseigenschaft, die wir zeigen können, wenn wir die reellen Zahlen mit äquivalenten Cauchy-Folgen bilden, die folgende ist, wenn eine Folge reeller Zahlen Cauchy dann konvergiert es.

Wir sind jedoch nicht in der Lage zu zeigen, dass Cauchy-Folgen in (mathbb{R}) konvergieren. Dazu müssten wir zunächst zeigen, dass diese Mengen von Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen (reelle Zahlen) linear geordnet sind.

Leider ist es zeitaufwendig, die lineare Ordnung zu zeigen, obwohl es nicht besonders schwierig ist. Wir berufen uns also wieder auf die Vorrechte des Lehrers und streichen alle Schwierigkeiten mit der Behauptung beiseite, dass es einfach ist zu zeigen, dass die reellen Zahlen, wie wir sie in diesem Abschnitt konstruiert haben, linear geordnet und vollständig sind. Wenn Sie diese Konstruktion in voller Strenge sehen möchten, empfehlen wir das Buch, Das Zahlensystem von H. A. Thurston [16].3

Dedekind-Schnitte

Ein Vorteil der Bildung der reellen Zahlen über Cauchy-Folgen im vorherigen Abschnitt besteht darin, dass, sobald wir äquivalente Folgen mit reellen Zahlen identifiziert haben, sehr klar ist, wie Addition und Multiplikation definiert werden sollten.

Auf der anderen Seite brauchen wir, bevor wir diese Konstruktion überhaupt verstehen können, ein ziemlich starkes Gespür dafür, was es bedeutet, dass eine Folge konvergiert, und genügend Erfahrung mit Folgen, um mit dem Begriff einer Cauchy-Folge vertraut zu sein. Daher muss eine Menge Mathematik auf hohem Niveau beherrscht werden, bevor wir überhaupt beginnen können.

Die Methode „Dedekind schneidet” zuerst von Richard Dedekind entwickelt (obwohl er sie nur “schneidet“ in seinem 1872 erschienenen Buch Continuity and the Irrational Numbers teilt den Vorteil der Cauchy-Folgenmethode, dass, sobald die Kandidaten für die reellen Zahlen identifiziert sind, es sehr klar ist4 wie Addition und Multiplikation definiert werden sollen. Es ist auch leicht zu zeigen, dass die meisten Feldaxiome erfüllt sind.

Darüber hinaus hat die Methode von Dedekind auch den Vorteil, dass für den Einstieg nur sehr wenig mathematische Kenntnisse erforderlich sind. Dies ist beabsichtigt. Im Vorwort zur Erstausgabe seines Buches sagt Dedekind:

Diese Memoiren können von jedem verstanden werden, der das besitzt, was man gewöhnlich gesunden Menschenverstand nennt; keine technisch-philosophischen oder mathematischen Kenntnisse sind im geringsten erforderlich. (zitiert in [5])

Obwohl er seinen Fall vielleicht ein wenig übertrieben hat, ist es klar, dass seine Absicht darin bestand, von sehr einfachen ersten Prinzipien aus zu argumentieren, genau wie es Euklid tat.

Sein Ausgangspunkt war die Beobachtung, die wir in Kapitel 1 gemacht haben: Der rationale Zahlenstrahl ist voller Löcher. Genauer gesagt können wir “schneiden” die rationale Linie auf zwei verschiedene Arten:

  1. Wir können eine rationale Zahl wählen, (r). Diese Wahl teilt alle anderen rationalen Zahlen in zwei Klassen ein: Diejenigen größer als (r) und diejenigen kleiner als (r).
  2. Wir können eines der Löcher im rationalen Zahlenstrahl auswählen. In diesem Fall fallen alle Rationalen in zwei Klassen: Diejenigen, die größer als das Loch sind, und diejenigen, die kleiner sind.

Aber von rationalen Zahlen als kleiner oder größer als etwas zu sprechen, das nicht ist, ist völliger Unsinn. Wir brauchen eine bessere (d. h. eine strengere) Definition.

Wie zuvor werden wir eher ein Gesamtgefühl dieser Konstruktion entwickeln als eine vollständig detaillierte Präsentation, da letztere viel zu lang wäre.

Unsere Präsentation wird sich eng an die von Edmund Landau in seinem klassischen Text Foundations of Analysis von 1951 anlehnen [7]. Wir tun dies, damit Sie Landaus Präsentation leichter folgen können, wenn Sie diese Konstruktion genauer verfolgen.

Definition (PageIndex{5}): Dedekind-Schnitt

Eine Reihe von positiven5 rationale Zahlen heißt Schnitt, wenn

Eigentum: Sie enthält eine positive rationale Zahl, aber nicht alle positiven rationalen Zahlen.

Eigenschaft II: Jede positive rationale Zahl in der Menge ist kleiner als jede positive rationale Zahl, die nicht in der Menge ist.

Eigenschaft III: Es gibt kein Element der Menge, das größer ist als jedes andere Element der Menge.

Dedekind und Landau schreckten angesichts ihrer Zielgruppen davor zurück, zu viel Notation zu verwenden. Wir werden jedoch Folgendes für diejenigen aufnehmen, die mit der Symbolik vertrauter sind, da sie helfen können, mehr Perspektive zu bieten. Konkret können die Eigenschaften, die einen Dedekind-Schnitt (α) definieren, wie folgt geschrieben werden.

Eigentum I: (α eq ∅) und (mathbb{Q}^+ - α eq ∅).

Eigenschaft II: Wenn (x α) und (y ∈ mathbb{Q}^+ - α), dann (x < y). (Alternativ, wenn (x α) und (y < x), dann (y ∈ α).)

Eigenschaft III: Wenn (x ∈ α), dann (∃ z ∈ α) mit (x < z).

Eigenschaften I-III sagen wirklich, dass Dedekind-Schnitte beschränkte offene Intervalle rationaler Zahlen sind, die bei (0) beginnen. Zum Beispiel ist ((0,3) ∩ mathbb{Q}^+) ein Dedekind-Schnitt (der schließlich die reelle Zahl (3) sein wird). Ebenso ist ({x|x^2 < 2} ∩ mathbb{Q}^+) ein Dedekind-Schnitt (der letztendlich die reelle Zahl (sqrt{2}) sein wird). Beachten Sie, dass Sie darauf achten müssen, in den Eigenschaften nicht auf irrationale Zahlen zu verweisen, da der Zweck darin besteht, sie aus rationalen Zahlen zu konstruieren.

Beachten Sie insbesondere die folgenden drei Tatsachen:

  1. Um diese Definition zu verstehen, sind nur sehr wenige mathematische Kenntnisse erforderlich. Wir müssen wissen, was eine Menge ist, wir müssen wissen, was eine rationale Zahl ist, und wir müssen wissen, dass zwei positive rationale Zahlen entweder gleich sind oder eine größer ist.
  2. Die Sprache, die Landau verwendet, ist sehr präzise. Dies ist notwendig, um solchen Unsinn wie den Versuch zu vermeiden, etwas mit nichts zu vergleichen, wie wir es ein paar Absätze höher gemacht haben.
  3. Wir verwenden nur die positiven rationalen Zahlen für unsere Konstruktion. Der Grund dafür wird in Kürze klar. Praktisch bedeutet dies vorerst, dass die soeben definierten Schnitte (eventuell) den positiven reellen Zahlen entsprechen.

Definition (PageIndex{6})

Seien (α) und (β) Schnitte. Dann sagen wir, dass (α) kleiner ist als (β), und schreiben [α < β], wenn es eine rationale Zahl in (β) gibt, die nicht in (α) liegt.

Beachten Sie, dass wir im Lichte dessen, was wir vor der Definition (PageIndex{1}) (die direkt von Landau übernommen wurde) gesagt haben, Folgendes bemerken.

Satz (PageIndex{2})

Seien (α) und (β) Schnitte. Dann gilt (α < β) genau dann, wenn (α ⊂ β).

Übung (PageIndex{7})

Beweisen Sie Satz (PageIndex{2}) und schließen Sie daraus, dass, wenn (α) und (β) Schnitte sind, genau eine der folgenden Aussagen wahr ist:

  1. (α = β)
  2. (α < β)
  3. (β < α)

Wir müssen zuerst Addition und Multiplikation für unsere Schnitte definieren und schließlich müssen diese um (mathbb{R}) erweitert werden (sobald auch die nicht positiven reellen Zahlen konstruiert sind). Es wird notwendig sein zu zeigen, dass die erweiterten Definitionen die Feldaxiome erfüllen. Wie Sie sehen, gibt es viel zu tun.

Wie bei den Cauchy-Folgen und bei unendlichen Dezimalzahlen werden wir weit vor der vollständigen Konstruktion aufhören. Wenn Sie daran interessiert sind, die Details von Dedekinds Konstruktion zu erforschen, ist Landaus Buch [7] sehr gründlich und wurde mit der ausdrücklichen Absicht geschrieben, es für Studenten zugänglich zu machen. In seinem "Vorwort für den Lehrer" er sagt

Ich hoffe, dass ich dieses Buch nach jahrzehntelanger Vorbereitung so geschrieben habe, dass es ein normaler Student in zwei Tagen lesen kann.

Dies kann die Dinge dehnen. Geben Sie sich mindestens eine Woche Zeit und stellen Sie sicher, dass Sie in dieser Woche nichts anderes zu tun haben.

Addition und Multiplikation sind auf offensichtliche Weise definiert.

Definition (PageIndex{7}): Addition bei Schnitten

Seien (α) und (β) Schnitte. Wir bezeichnen die Menge ({x + y|x ∈ α,y ∈ β}) mit (α + β).

Definition (PageIndex{8}): Multiplikation auf Schnitten

Seien (α) und (β) Schnitte. Wir bezeichnen die Menge ({xy|x ∈ α,y ∈ β}) mit (αβ) oder (αcdot β).

Wenn wir hoffen wollen, dass diese Objekte als unsere reellen Zahlen dienen, müssen wir in Bezug auf Addition und Multiplikation abgeschlossen sein. Wir werden die Schließung in Bezug auf die Addition zeigen.

Satz (PageIndex{3}): Abschluss bezüglich Addition

Wenn (α) und (β) Schnitte sind, dann ist (α + β) ein Schnitt.

Nachweisen

Wir müssen zeigen, dass die Menge (α + β) alle drei Eigenschaften eines Schnitts erfüllt.

Eigentumsnachweis I

Sei (x) eine beliebige rationale Zahl in (α) und sei (x_1) eine rationale Zahl nicht in (α). Dann nach Eigenschaft II (x < x_1).

Sei (y) eine beliebige rationale Zahl in (β) und sei (y_1) eine rationale Zahl nicht in (β). Dann nach Eigenschaft II (y < y_1).

Da also (x + y) ein generisches Element von (α + β) und (x + y < x_1 + y_1) darstellt, folgt (x_1 + y_1 ot{∈} α + β ).

Eigentumsnachweis II

Wir werden zeigen, dass das Kontrapositiv von Eigenschaft II wahr ist: Wenn (x ∈ α + β) und (y < x) gilt, dann gilt (y ∈ α + β).

Sei zunächst (x ∈ α + β). Dann gibt es (x_α ∈ α) und (x_β ∈ β) mit (y < x = x_α + x_β). Also (frac{y}{x_alpha + x_eta } < 1), so dass

[x_alpha left (frac{y}{x_alpha + x_eta } ight ) < x_alpha]

und

[x_eta left (frac{y}{x_alpha + x_eta } ight ) < x_eta]

Daher (x_alphaleft(frac{y}{x_alpha + x_eta} ight)epsilon;alpha) und (x_etaleft(frac{y}{x_ alpha + x_eta} ight)epsilon;eta).

Deswegen

[y = x_alpha left (frac{y}{x_alpha + x_eta } ight ) + x_eta left (frac{y}{x_alpha + x_eta } ight ) epsilon; alpha+eta]

Eigentumsnachweis III

Sei (z α + β). Wir müssen (w > z), (w ∈ α + β) finden. Beachten Sie, dass für einige (x α) und (y ∈ β)

[z = x + y]

Da (α) ein Schnitt ist, gibt es eine rationale Zahl (x_1 ∈ α) mit (x_1 > x). Nehmen Sie (w = x_1 + y ∈ α + β). Dann

[w = x1 + y > x + y = z]

Damit ist der Beweis dieses Theorems abgeschlossen.

Übung (PageIndex{8})

Zeigen Sie, dass, wenn (α) und (β) Schnitte sind, auch (αcdot β) ein Schnitt ist.

An diesem Punkt haben wir unsere Schnitte aufgebaut und wir haben Addition und Multiplikation für Schnitte definiert. Wie bereits erwähnt, werden die Kürzungen, die wir haben, jedoch (sehr bald) nur den positiven reellen Zahlen entsprechen. Dies mag ein Problem sein, ist es aber nicht, denn die nicht positiven reellen Zahlen können als positive Zahlen, also in Bezug auf unsere Kürzungen, definiert werden. Wir zitieren aus Landau [7]:

Diese Kürzungen werden fortan als „positive Zahlen;” .

Wir erstellen eine neue Zahl (0) (zu lesen “Null“), im Unterschied zu den positiven Zahlen.

Wir erzeugen auch Zahlen, die sowohl von den positiven als auch von Null verschieden sind und die wir negative Zahlen nennen werden, und zwar so, dass wir jedem (I) (dh jeder positiven Zahl) eine negative Zahl zuordnen bezeichnet mit (-ξ) (− zu lesen “Minus-“). Dabei werden (-ξ) und (-ν) genau dann als dieselbe Zahl (als gleich) angesehen, wenn (ξ) und (ν) dieselbe Zahl sind.

Die Gesamtheit, die aus allen positiven Zahlen, aus (0) und aus allen negativen Zahlen besteht, wird reelle Zahlen genannt.

Natürlich reicht es bei weitem nicht, nur die Existenz der nicht-negativen reellen Zahlen zu postulieren. Alles, was wir bisher haben, ist eine Menge von Objekten, die wir die reellen Zahlen nennen.

Für einige von ihnen (die positiven Realen)6) haben wir Addition und Multiplikation definiert. Diese Definitionen entsprechen schließlich der uns bekannten Addition und Multiplikation.

Wir haben jedoch keine der beiden Operationen für unseren gesamten Satz vorgeschlagener reeller Zahlen. Bevor wir dies tun, müssen wir zunächst den Absolutwert einer reellen Zahl definieren. Dies ist ein Konzept, mit dem Sie sehr vertraut sind, und Sie haben wahrscheinlich die folgende Definition gesehen: Sei (α ∈ mathbb{R}). Dann

[links | alpha echts | = egin{cases} alpha & ext{ if } alpha geq 0 -alpha & ext{ if } alpha < 0 end{cases}]

Leider können wir diese Definition nicht verwenden, da wir noch keine lineare Ordnung auf (mathbb{R}) haben und somit die Aussage (α ≥ 0) bedeutungslos ist. Tatsächlich wird es unsere Definition des absoluten Wertes sein, die die reellen Zahlen ordnet. Wir müssen vorsichtig sein.

Beachten Sie, dass per Definition eine negative reelle Zahl mit dem Bindestrich (’-') vor. Das heißt, (χ) ist positiv, während (-χ) negativ ist. Wenn also (A) eine reelle Zahl ist, dann ist eine der folgenden Aussagen wahr:

  1. (A = χ) für einige (χ ∈ mathbb{R}) ((A) ist positiv)
  2. (A = -χ) für irgendein (χ ∈ mathbb{R}) ((A) ist negativ)
  3. (A = 0)

Absoluten Wert definieren wir wie folgt:

Definition (PageIndex{9})

Sei (A ∈ mathbb{R}) wie oben. Dann

[links | A echts | = egin{cases} chi & ext{ if } A = chi 0 & ext{ if } A = 0 chi & ext{ if } A = -chi end{cases} ]

Mit dieser Definition ist es möglich zu zeigen, dass (mathbb{R}) linear geordnet ist. Wir werden dies nicht explizit tun. Stattdessen gehen wir einfach davon aus, dass die Symbole „(<)“, „(>)“ und „(=)“ definiert sind und alle Eigenschaften haben, die wir von ihnen erwarten.

Wir erweitern nun unsere Definitionen der Addition und Multiplikation von den positiven reellen Zahlen (Schnitten) auf alle. Seltsamerweise ist die Multiplikation die einfachere der beiden.

Definition (PageIndex{10}): Multiplikation

Sei (α), (β ∈ mathbb{R}). Dann

[alphacdoteta = egin{cases} -left | alpha echts | links | eta echts | & ext{ if } alpha > 0, eta < 0 ext{ oder } alpha < 0, eta > 0 left | alpha echts | links | eta echts | & ext{ if } alpha < 0, eta > 0 0 & ext{ if } alpha = 0 ext{ or } eta = 0 end{cases}]

Beachten Sie, dass der Fall, in dem (α) und (β) beide positiv sind, bereits von der Definition (PageIndex{8}) behandelt wurde, da sie in diesem Fall beide Schnitte sind.

Als nächstes definieren wir Addition.

Definition (PageIndex{11}): Addition

Sei (α), (β ∈ mathbb{R}). Dann

[alpha + eta = egin{cases} -(left | alpha ight | + left | eta ight |) & ext{ if } alpha < 0, eta < 0 links | alpha echts | - links | eta echts | & ext{ if } alpha > 0, eta < 0, left | alpha echts | > links | eta ight | 0 & ext{ if } alpha > 0, eta < 0, left | alpha echts | = links | eta ight | -(left | alpha ight | -left | eta ight |) & ext{ if } alpha > 0, eta < 0,left | alpha echts | < links | eta echts | eta +alpha & ext{ if } alpha < 0, eta > 0 eta & ext{ if } alpha = 0 alpha & ext{ if } eta = 0 end{Fälle}]

Aber warte! Im zweiten und vierten Fall unserer Definition haben wir die Addition tatsächlich als Subtraktion definiert. 7 Aber wir haben die Subtraktion noch nicht definiert! Hoppla!

Dies wird mit der folgenden Definition gehandhabt, aber es beleuchtet sehr deutlich die Sorgfalt, die bei diesen Konstruktionen aufgewendet werden muss. Die reellen Zahlen sind uns so vertraut, dass es außerordentlich leicht ist, ungerechtfertigte Annahmen zu treffen.

Da die Subtraktionen im zweiten und vierten Fall oben mit positiven Zahlen durchgeführt werden, brauchen wir nur der Subtraktion der Schnitte eine Bedeutung zu geben.

Definition (PageIndex{12})

Wenn (α), (β) und (δ) Schnitte sind, dann ist der Ausdruck

[α−β = δ]

ist definiert als

[α = δ + β]

Natürlich gibt es das Detail, zu zeigen, dass es einen solchen Schnitt (δ) gibt. (Wir haben Sie vor der Langeweile von all dem gewarnt.) Landau geht die Details durch, um zu zeigen, dass es einen solchen Schnitt gibt. Wir werden eine Alternative präsentieren, indem wir den Schnitt (α - β) direkt definieren (vorausgesetzt (β < α)). Um diese Definition zu motivieren, betrachten wir etwas, das uns vertraut ist: (3 - 2 = 1). In Bezug auf Schnitte wollen wir sagen, dass das offene Intervall von (0) bis (3)“Minus-” Das offene Intervall von (0) bis (2) sollte uns das offene Intervall von (0) bis (1) geben. Das Nehmen von Elementen von ((0,3)) und das Subtrahieren von Elementen von ((0,2)) wird dies nicht tun, da wir Unterschiede wie (2.9 - 0.9 = 2) haben würden, die nicht in . sind der Schnitt ((0,1)). Ein kurzer Gedanke sagt uns, dass wir alle Elemente von ((0,3)) nehmen und alle Elemente von ((2,∞) subtrahieren müssen, und uns nur auf diejenigen beschränken, die positiv sind Rationale Zahlen. Dies führt zu der folgenden Definition.

Definition (PageIndex{13})

Seien (α) und (β) Schnitte mit (β < α). Definiere (α - β) wie folgt:

[α - β = {x - y|x ∈ α ext{ und } y ot{∈} β} ∩ Q^+]

Um zu zeigen, dass tatsächlich (β + (α - β) = α) ist, ist das folgende technische Lemma hilfreich.

Lemma (PageIndex{1})

Sei (β) ein Schnitt, (y) und (z) seien positive rationale Zahlen nicht in (β) mit (y < z), und sei (ε > 0) eine beliebige rationale Zahl sein. Dann gibt es positive rationale Zahlen (r) und (s) mit (r ∈ β) und (s ot{∈} β), so dass (s < z), und (s - r < ε).

Übung (PageIndex{9})

Beweisen Sie Lemma (PageIndex{1}).

Hinweis

Da (β) ein Schnitt ist, existiert (r_1 ∈ β). Sei (s_1 = y ot{∈} β). Wir wissen, dass (r_1 < s_1 < z). Betrachten Sie den Mittelpunkt (frac{s_1+r_1}{2}). Wenn dies in (β) ist, dann beschrifte es um als (r_2) und beschrifte (s_1) um als (s_2). Wenn es nicht in (β) ist, dann beschrifte es um als (s_2) und beschrifte (r_1) um als (r_2) usw.

Übung (PageIndex{10})

Seien (α) und (β) Schnitte mit (β < α). Beweisen Sie, dass (β + (α - β) = α).

Hinweis

Es ist ziemlich einfach zu zeigen, dass (β + (α - β) ⊆ α). Um zu zeigen, dass (α β + (α - β)) gilt, sei (x ∈ α). Wegen (β < α) gilt (y ∈ α) mit (y ot{∈} β). Wir können ohne Einschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass (x < y). (Warum?) Wähle (z ∈ α) mit (y < z). Nach dem Lemma (PageIndex{1}) gibt es positive rationale Zahlen (r) und (s) mit (r ∈ β), (s ∈ β), (s < z) und (s - r < z - x). Zeigen Sie, dass (x < r + (z - s)).

Wir schließen mit der Feststellung, dass es, egal wie Sie das reelle Zahlensystem konstruieren, in Wirklichkeit nur eines gibt. Genauer gesagt haben wir den folgenden Satz, den wir ohne Beweis angeben.8

Satz (PageIndex{4})

Jedes vollständige, linear geordnete Feld ist isomorph9 zu (mathbb{R}).

Denken Sie daran, dass wir Sie gewarnt haben, dass diese Konstruktionen mit technischen Details behaftet sind, die nicht unbedingt aufschlussreich sind. Dennoch haben Sie an dieser Stelle alles, was Sie brauchen, um zu zeigen, dass die Menge aller reellen Zahlen wie oben definiert linear geordnet ist und die Eigenschaft der kleinsten Obergrenze erfüllt.

Aber wir werden hier aufhören, um, um Descartes zu paraphrasieren, Ihnen die Freude des weiteren Entdeckens zu überlassen.

Verweise

1 Von Andrew Wiles, dem Mann, der den letzten Satz von Fermat bewiesen hat.

2 Wir werden dieses Problem hier nicht ansprechen, aber Sie sollten sich überlegen, wie dies erreicht werden könnte.

3 Thurston erstellt zuerst R, wie wir in diesem Abschnitt angegeben haben. Als letzte Bemerkung zeigt er dann, dass die reellen Zahlen genau die unendlichen Dezimalzahlen sein müssen, die wir im vorigen Abschnitt gesehen haben.

4 „Klar“ bedeutet nicht „einfach zu machen“, wie wir sehen werden.

5 Beachten Sie insbesondere, dass wir nicht die negativen rationalen Zahlen oder die Null verwenden, um unsere Schnitte zu erstellen. Der Grund dafür wird in Kürze klar.

6 Das heißt, die Schnitte.

7 Beachten Sie auch, dass sich der fünfte Fall auf die Addition bezieht, wie sie im zweiten Fall definiert ist.

8 Tatsächlich scheint es in realen Analysereferenzen Standard zu sein, dieses Ergebnis nicht zu beweisen. Meistens wird es einfach so angegeben, wie wir es hier getan haben. Ein Beweis kann jedoch unter http://math.ucr.edu/res/math205A/uniqreals.pdf gefunden werden.

9 Zwei linear geordnete Zahlenfelder werden als isomorph bezeichnet, wenn es eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen ihnen gibt (eine solche Abbildung wird Bijektion genannt), die Addition, Multiplikation und Ordnung beibehält. Genauer gesagt, wenn (mathcal{F}_1) und (mathcal{F}_2) beide linear geordnete Felder sind, (x), (y ∈ mathcal{F}_1) und (varphi : mathcal{F}_1 ightarrow mathcal{F}_2) ist die Abbildung dann

  1. (φ(x + y) = φ(x) + φ(y))
  2. (φ(x cdot y) = φ(x) cdot φ(y))
  3. (x < y ⇒ φ(x) < φ(y))

Mitwirkender

  • Eugene Boman (Pennsylvania State University) und Robert Rogers (SUNY Fredonia)


So funktioniert Mathematik

Zahlen stellen eine Schwierigkeit für den Menschen dar. Sicher, einige von uns haben eine größere Begabung für Mathematik als andere, aber jeder von uns erreicht in seiner mathematischen Ausbildung einen Punkt, an dem es schwierig wird. Das Erlernen des Einmaleins ist schwierig, da das menschliche Gehirn sich nie entwickelt hat, um so fortgeschrittene Berechnungen wie 17 x 32 = 544 zu bewältigen. Ab einem bestimmten Punkt besteht unsere mathematische Ausbildung hauptsächlich darin, schlecht angepasste Gehirnschaltkreise neu zu gestalten [Quelle: Dehaene].

Zahlensinn mag für uns selbstverständlich sein, aber mathematische Kenntnisse kommen erst mit der Zeit. Ebenso hat der Gebrauch der Mathematik durch die Menschheit im Laufe der Jahrhunderte stetig zugenommen. Wie die Wissenschaft selbst ist Mathematik nicht das Produkt eines einzigen Geistes, sondern eher eine stetige Ansammlung von Wissen während der gesamten Menschheitsgeschichte.

Stellen Sie sich Mathematik als einen Turm vor. Die natürliche Größe des Menschen ist endlich. Wenn wir also höher in die Luft gelangen und weiter über die Landschaft sehen wollen, müssen wir etwas außerhalb von uns bauen. Unsere geistigen Fähigkeiten, Mathematik zu verstehen, sind ebenso begrenzt, also bauen wir einen großen Turm aus Zahlensystemen und klettern zu den Sternen empor.

Um die Grundstruktur dieses Turms aufzuschlüsseln, schauen wir uns zunächst die Rohstoffe an. Dies sind die grundlegenden Arten von Zahlen:

Ganzzahlen: Sie kennen diese wahrscheinlich als ganze Zahlen, und sie kommen sowohl in positiver als auch in negativer Form vor. Ganzzahlen umfassen die grundlegenden Zählzahlen (1-9), negative Zahlen (-1) und Null.

Rationale Zahlen umfassen ganze Zahlen, umfassen aber auch einfache Brüche, die als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen ausgedrückt werden können. Zum Beispiel ist 0,5 rational, weil wir es auch als 1/2 schreiben können.

Irrationale Zahlen: Diese Zahlen können nicht als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden. Pi (das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser) ist ein klassisches Beispiel, da es nicht genau als Verhältnis von zwei ganzen Zahlen geschrieben werden kann und so berechnet wurde, dass Dezimalpunkte in die Billionen gehen.

Rationale und irrationale Zahlen fallen beide in die Kategorie der reale Nummern oder komplexe Zahlen. Und ja, es gibt auch imaginäre Zahlen die außerhalb des reellen Zahlenstrahls existieren, und transzendente Zahlen, wie z. Es gibt noch viele andere Zahlentypen, die ebenfalls eine Rolle in der Struktur unseres Turms spielen.

Auf der nächsten Seite werden wir uns einige der Kernzweige der Mathematik ansehen.


Funktionen von Lab Manual Klasse 10 Mathe

Die Aktivitäten im Maths Lab Manual für Klasse 10 zielen darauf ab, den analytischen Verstand der Schüler zu stärken. Einige der Funktionen sind unten aufgeführt:

  • Experimente decken viele Hauptkonzepte ab.
  • Vor dem Versuchsteil gibt das Buch einen schnellen Überblick, um die Schüler über das Ziel des Versuchs und wie man das Ergebnis mit maximaler Effizienz erreichen kann.
  • Es werden praxisbezogene Fragen gestellt, um Ihren Lernumfang zu erweitern.
  • Es werden interaktive Lösungen bereitgestellt und einige der wichtigen Fragen aus der Sicht der Prüfung behandelt.

Die Studierenden sollten solche praxisorientierten Fragen üben, die ihnen helfen, die Konzepte viel schneller zu verstehen.

Liste verschiedener Lab Manual Maths Books für Klasse 10

Es gibt viele Maths Lab Manual-Bücher für Schüler der Klasse 10. Die akademischen Experten von Embibe haben jedoch einige der wichtigsten auf dem Markt erhältlichen Bücher identifiziert und aufgelistet:

BuchnameVeröffentlichung
Laborhandbuch Mathematik Klasse 10 Arihant
Zusammen mit Mathematics Lab Manual Rachna Sagar
Mathematik-Laborhandbuch für Klasse 10 Blaupausenausbildung

Lehrplan für das Mathelabor der Klasse 10

Der Lehrplan des Lab Manual Class 10 Maths wird auf der Grundlage der Konzepte erstellt, die in den Lehrbüchern behandelt werden. Wir haben das gesamte Handbuch analysiert und einen Überblick über den folgenden Lehrplan gegeben:

b) Ähnliche Dreiecke und ihr Flächenverhältnis nach dem Proportionalitätssatz

f) Summe ungerader/gerade natürlicher Zahlen

g) Arithmetische Progressionen

i) Kreisfläche mit Hilfe von Papierschneiden und Einfügen

l) Tangenten von verschiedenen Punkten gezogen

m) Rechter kreisförmiger Zylinder und Konus

n) Oberfläche von Zylinder und Kegel Con

o) Volumen von Zylinder und Konus

p) Vergleich der gekrümmten Oberfläche und der Gesamtoberfläche zweier verschiedener rechter Kreiszylinder

q) Oberfläche und Volumen von Kugeln

Wenn Sie sich mit den Details der Lehrplanabdeckung oder der Lösung dieser Kapitel befassen möchten, können Sie diese in unserem CBSE Klasse 10 Lehrplan für Mathematik.

Liste der manuellen Aktivitäten im Mathematiklabor der Klasse 10 10

Wie von CBSE vorgeschrieben, sind die folgenden Aktivitäten als Teil des Lehrplans für das Lab Manual Klasse 10 Mathematik zu absolvieren. Da diese Bewertungen und Bewertungen 20 % des Gesamtbewertungssystems ausmachen, ist es wichtig, dass Sie diese Aktivitäten abschließen, um gute Ergebnisse in der Prüfung zu erzielen.

  1. Ermitteln des HCF von zwei Zahlen praktisch auf der Grundlage von Euklids Divisionslemma.
  2. Zeichnen des Graphen eines quadratischen Polynoms und Ermitteln seiner Form sowie des Koeffizienten von x 2 .
  3. Überprüfung der Konsistenz-/Inkonsistenzbedingungen für verschiedene Paare linearer Gleichungen in zwei Variablen mit der grafischen Methode.
  4. Erhalten der Lösung der entsprechenden quadratischen Gleichung (x 2 + 4x = 60) durch geometrisches Vervollständigen des Quadrats.
  5. Identifizieren der arithmetischen Progressionen anhand einiger Muster/Zahlen.
  6. Ermitteln der Summe der ersten n natürlichen Zahlen.
  7. Experimentelles Finden der Summe der ersten 'n' ungeraden natürlichen Zahlen.
  8. Experimentelles Finden der Summe der ersten 'n' geraden natürlichen Zahlen.
  9. Aufstellung der Formel für die Addition der ersten 'n' Terme einer arithmetischen Progression.
  10. Überprüfung der Distanzformel mit der grafischen Methode.
  11. Überprüfen der Fläche einer Dreiecksformel.
  12. Festlegung der Kriterien für ähnliche Dreiecke.
  13. Überprüfen der Schnittformel mit der grafischen Methode.
  14. Zeichnen eines Systems ähnlicher Quadrate mit Hilfe von zwei sich kreuzenden Streifen mit Nägeln.
  15. Zeichnen eines Systems ähnlicher Dreiecke mit Hilfe von Y-förmigen Streifen mit Nägeln.
  16. Um das Thales-Theorem (Grundlegendes Proportionalitäts-Theorem) zu überprüfen.
  17. Ermitteln der Beziehung zwischen Flächen und Seiten ähnlicher Dreiecke.
  18. Experimentelle Überprüfung des Verhältnisses zweier ähnlicher Dreiecke mit dem Verhältnis ihrer Quadrate auf ihrer entsprechenden Seite.
  19. Zeichnen eines Vierecks gemäß dem angegebenen Skalierungsfaktor.
  20. Überprüfung des Satzes des Pythagoras.
  21. Experimentelle Überprüfung des Satzes des Pythagoras mit der Bhaskara-Methode.
  22. Experimenteller Nachweis, dass die Tangente von einem externen Punkt an einen Kreis senkrecht zum Radius ist.
  23. Ermitteln der Anzahl der Tangenten von einem bestimmten Punkt zu einem Kreis.
  24. Experimentelle Überprüfung, ob die Tangentenlängen von den spezifischen Punkten zu einem Kreis gleich sind.
  25. Ermitteln der Höhe eines Gebäudes mit dem Neigungsmesser.
  26. Experimentelles Ermitteln der Fläche eines Kreises.
  27. Bildung eines Kegelstumpfes.
  28. Experimentelles Ermitteln der Formeln für die Oberfläche und das Volumen eines Kegelstumpfes.
  29. Zeichnen einer kumulativen Häufigkeitskurve (oder einer Ogive) von weniger als Typ.
  30. Zeichnen einer kumulativen Häufigkeitskurve (oder einer Ogive) von mehr als einem Typ.

Matheprojekt für Klasse 10

Einer der wichtigen Teile des Lehrplans für das Lab Manual ist das Math Project für Klasse 10. CBSE hat die Projektarbeit als einen entscheidenden Aspekt des Lernens und des Aufbaus des Wissens der Schüler erklärt. Die Schüler müssen ihr Mathe-Projekt der Klasse 10 ernst nehmen.

So, jetzt wissen Sie alles über Maths Lab Manual for Class 10. Wir hoffen, dass es Ihnen hilft.

FAQs zum Übungshandbuch Klasse 10 Mathematik PDF

Die Aktivitäten im Mathe Lab Manual für Klasse 10 zielen darauf ab, das analytische Wissen der Schüler aufzubauen.

Auf dieser Seite haben wir die vollständigen Details des Lab Manual Class 10 Maths PDF angegeben, damit Sie es ganz einfach von dieser Embibe-Seite herunterladen können.

Lab Manual ist für den Lehrplan Mathematik und Naturwissenschaften verfügbar, um das praktische und analytische Wissen der Schüler zu verbessern.

Ja, CBSE führt jedes Jahr praktische Prüfungen für die CBSE Class 10, 12 Board Exams durch. Sie wird in der Schule selbst von Schullehrern oder von der CBSE beauftragten externen Lehrkräften durchgeführt.

CBSE Class 10 Science Practicals Umfassen insgesamt 15 Praktika im Lehrplan wie angegeben.

Bei Embibe können Sie auch lösen CBSE Klasse 10 Mathematik Fragen und nehme CBSE Klasse 10 Mathe-Testtests. Diese stehen Ihnen kostenlos zur Verfügung und werden Ihnen bei der Vorbereitung eine große Hilfe sein.

Wenn Sie Zweifel in Bezug auf Lab Manual Class 10 Maths haben, können Sie in den Kommentaren unten nachfragen. Wir melden uns schnellstmöglich bei Ihnen zurück.


Besteht das Universum aus Mathematik? [Auszug]

Was ist die Antwort auf die ultimative Frage nach dem Leben, dem Universum und allem? In Douglas Adams' Science-Fiction-Parodie &ldquoThe Per Anhalter durch die Galaxis&rdquo stellte sich heraus, dass die Antwort 42 war. Der schwierigste Teil stellte sich heraus, die eigentliche Frage zu finden. Ich finde es sehr passend, dass Douglas Adams über 42 Witze gemacht hat, weil die Mathematik eine bemerkenswerte Rolle in unserem wachsenden Verständnis unseres Universums gespielt hat.

Das Higgs-Boson wurde mit demselben Werkzeug wie der Planet Neptun und die Radiowelle vorhergesagt: mit Mathematik. Galileo sagte bekanntlich, dass unser Universum ein &ldquogrosse Buch&rdquo ist, das in der Sprache der Mathematik geschrieben ist. Warum erscheint unser Universum so mathematisch und was bedeutet es? In meinem neuen Buch &ldquoOur Mathematical Universe&rdquo argumentiere ich, dass unser Universum nicht nur durch Mathematik beschrieben wird, sondern dass es Mathematik in dem Sinne ist, dass wir alle Teile eines riesigen mathematischen Objekts sind, das wiederum Teil eines so riesigen Multiversums ist dass es die anderen Multiversen, die in den letzten Jahren diskutiert wurden, im Vergleich dazu mickrig erscheinen lässt.

Mathe, überall Mathe!
Aber wo ist diese ganze Mathematik, über die wir reden? Geht es in Mathematik nicht nur um Zahlen? Wenn Sie sich gerade umsehen, werden Sie wahrscheinlich hier und da ein paar Zahlen entdecken, zum Beispiel die Seitenzahlen in Ihrer neuesten Ausgabe von Scientific American, aber dies sind nur Symbole, die von Menschen erfunden und gedruckt wurden, also kann man kaum sagen, dass sie widerspiegeln unser Universum in irgendeiner tiefen Weise mathematisch ist.

Aufgrund unseres Bildungssystems setzen viele Menschen Mathematik mit Arithmetik gleich. Mathematiker studieren jedoch abstraktere Strukturen, die weitaus vielfältiger sind als Zahlen, einschließlich geometrischer Formen. Sehen Sie geometrische Muster oder Formen um sich herum? Auch hier zählen von Menschenhand geschaffene Designs wie die rechteckige Form dieses Buches nicht. Aber versuchen Sie, einen Kieselstein zu werfen und beobachten Sie die schöne Form, die die Natur für ihre Flugbahn bildet! Die Flugbahnen von allem, was Sie werfen, haben die gleiche Form, die als Upside-Down-Parabel bezeichnet wird. Wenn wir beobachten, wie sich Dinge auf Umlaufbahnen im Raum bewegen, entdecken wir eine andere wiederkehrende Form: die Ellipse. Darüber hinaus sind diese beiden Formen verwandt: Die Spitze einer sehr langgestreckten Ellipse ist fast genau wie eine Parabel geformt, sodass alle diese Flugbahnen tatsächlich nur Teile von Ellipsen sind.

Wir Menschen haben nach und nach viele weitere wiederkehrende Formen und Muster in der Natur entdeckt, die nicht nur Bewegung und Schwerkraft beinhalten, sondern auch so unterschiedliche Bereiche wie Elektrizität, Magnetismus, Licht, Wärme, Chemie, Radioaktivität und subatomare Teilchen. Diese Muster werden durch das, was wir unsere physikalischen Gesetze nennen, zusammengefasst. Wie die Form einer Ellipse können alle diese Gesetze mit mathematischen Gleichungen beschrieben werden.

Gleichungen sind nicht die einzigen Hinweise der Mathematik, die in die Natur eingebaut sind: Es gibt auch Zahlen.
Im Gegensatz zu menschlichen Schöpfungen wie den Seitenzahlen in diesem Buch spreche ich jetzt von Zahlen, die grundlegende Eigenschaften unserer physischen Realität sind.Wie viele Bleistifte können Sie beispielsweise so anordnen, dass sie alle senkrecht (im 90-Grad-Winkel) zueinander stehen? 3 &ndash, indem Sie sie entlang der 3 Kanten platzieren, die beispielsweise von einer Ecke Ihres Zimmers ausgehen. Woher kommt diese Nummer 3? Wir nennen diese Zahl die Dimensionalität unseres Raums, aber warum gibt es 3 Dimensionen statt 4 oder 2 oder 42? Und warum gibt es, soweit wir das beurteilen können, genau 6 Arten von Quarks in unserem Universum? Es gibt auch in der Natur kodierte Zahlen, die Dezimalzahlen erfordern, um zum Beispiel das Proton etwa 1836.15267 mal schwerer als das Elektron auszuschreiben. Aus nur 32 solcher Zahlen können wir Physiker im Prinzip jede andere jemals gemessene physikalische Konstante berechnen.

Unser Universum hat etwas sehr Mathematisches, und je genauer wir hinschauen, desto mehr Mathematik scheinen wir zu finden. Was also halten wir von all diesen Andeutungen der Mathematik in unserer physikalischen Welt? Die meisten meiner Physikkollegen meinen damit, dass die Natur aus irgendeinem Grund zumindest annähernd durch die Mathematik beschrieben wird, und belassen es dabei. Aber ich bin überzeugt, dass mehr dahinter steckt, und mal sehen, ob es für Sie sinnvoller ist als für diesen Professor, der sagte, es würde meine Karriere ruinieren.

Die mathematische Universumshypothese
Ich war ziemlich fasziniert von all diesen mathematischen Hinweisen in der Grundschule. An einem Berkeley-Abend im Jahr 1990, als mein Freund Bill Poirier und ich herumsaßen und über die ultimative Natur der Realität spekulierten, hatte ich plötzlich eine Idee, was das alles bedeutete: dass unsere Realität nicht nur durch Mathematik beschrieben wird - es ist Mathematik. in einem ganz bestimmten Sinne. Nicht nur Aspekte davon, sondern alles, einschließlich Sie.

Meine Ausgangsannahme, die externe Realitätshypothese, besagt, dass es eine externe physikalische Realität gibt, die von uns Menschen völlig unabhängig ist. Wenn wir die Konsequenzen einer Theorie ableiten, führen wir neue Konzepte und Wörter für sie ein, wie &ldquoProtonen&rdquo, &ldquoatoms&rdquo, &ldquomolecules&rdquo, &ldquocells&rdquo und &ldquostars&rdquo, weil sie praktisch sind. Es ist jedoch wichtig, sich daran zu erinnern, dass es im Prinzip wir Menschen sind, die diese Konzepte erstellen, alles könnte ohne dieses Gepäck berechnet werden.

Aber wenn wir davon ausgehen, dass die Realität unabhängig von Menschen existiert, dann muss sie für eine vollständige Beschreibung auch nach nicht-menschlichen Entitäten &ndash Aliens oder Supercomputern, sagen &ndash, die kein Verständnis menschlicher Konzepte haben, gut definiert sein. Das bringt uns zur mathematischen Universumshypothese, die besagt, dass unsere äußere physikalische Realität eine mathematische Struktur ist.

Angenommen, die Flugbahn eines Basketballs ist die eines schönen Buzzer-Beaters, der Ihnen das Spiel gewinnt, und dass Sie später einem Freund beschreiben möchten, wie es aussah. Da der Ball aus Elementarteilchen (Quarks und Elektronen) besteht, könnte man seine Bewegung im Prinzip ohne Bezug auf Basketbälle beschreiben:

Teilchen 1 bewegt sich in einer Parabel.
Partikel 2 bewegt sich in einer Parabel.
&hellip
Partikel 138.314.159.265.358.979.323.846.264 bewegt sich in einer Parabel.

Das wäre jedoch etwas unbequem, weil Sie länger brauchen würden als das Alter unseres Universums, um es zu sagen. Es wäre auch überflüssig, da alle Partikel zusammenkleben und sich als eine Einheit bewegen. Aus diesem Grund haben wir Menschen das Wort &ldquoball&rdquo erfunden, um sich auf die gesamte Einheit zu beziehen, wodurch wir Zeit sparen können, indem wir einfach die Bewegung der gesamten Einheit ein für alle Mal beschreiben.
Der Ball wurde von Menschen entworfen, aber es ist ziemlich analog für zusammengesetzte Objekte, die nicht von Menschenhand geschaffen wurden, wie Moleküle, Gesteine ​​und Sterne: Wörter für sie zu erfinden ist sowohl praktisch, um Zeit zu sparen, als auch um Konzepte in Bezug auf bereitzustellen die die Welt intuitiver verstehen. Obwohl nützlich, sind solche Wörter allesamt optionales Gepäck.

All dies wirft die Frage auf: Ist es tatsächlich möglich, eine solche Beschreibung der äußeren Realität zu finden, die kein Gepäck beinhaltet? Wenn dies der Fall ist, müsste eine solche Beschreibung von Objekten in dieser äußeren Realität und der Beziehungen zwischen ihnen vollständig abstrakt sein, was alle Wörter oder Symbole zu bloßen Etiketten ohne vorgefasste Bedeutungen zwingen würde. Stattdessen wären die einzigen Eigenschaften dieser Entitäten diejenigen, die durch die Beziehungen zwischen ihnen verkörpert werden.

Um diese Frage zu beantworten, müssen wir uns die Mathematik genauer ansehen. Für einen modernen Logiker ist eine mathematische Struktur genau das: eine Menge abstrakter Einheiten mit Beziehungen zwischen ihnen. Dies steht in krassem Gegensatz zu der Art und Weise, wie die meisten von uns Mathematik zuerst als sadistische Form der Bestrafung oder als Trickkiste zur Manipulation von Zahlen wahrnehmen.

Die moderne Mathematik ist das formale Studium von Strukturen, die auf rein abstrakte Weise ohne menschliches Gepäck definiert werden können. Stellen Sie sich mathematische Symbole als bloße Bezeichnungen ohne intrinsische Bedeutung vor. Es spielt keine Rolle, ob Sie &ldquotwo plus zwei gleich vier&rdquo, &ldquo2 + 2 = 4&rdquo oder &ldquodos mas dos igual a cuatro&rdquo schreiben. Die Notation, die verwendet wird, um die Entitäten und die Beziehungen zu bezeichnen, ist irrelevant, die einzigen Eigenschaften von ganzen Zahlen sind die, die durch die Beziehungen zwischen ihnen verkörpert werden. Das heißt, wir erfinden keine mathematischen Strukturen, sondern entdecken sie und erfinden nur die Notation, um sie zu beschreiben.

Zusammenfassend lassen sich zwei wichtige Punkte mitnehmen: Die External Reality Hypothese impliziert, dass eine &ldquotTheory of Everything&rdquo (eine vollständige Beschreibung unserer externen physikalischen Realität) kein Gepäck hat, und etwas, das eine vollständige, Gepäck-freie Beschreibung hat, ist genau eine mathematische Struktur. Zusammengenommen impliziert dies die mathematische Universumshypothese, d. h. dass die äußere physikalische Realität, die durch die Theorie von allem beschrieben wird, eine mathematische Struktur ist. Die Quintessenz ist also, dass, wenn Sie an eine vom Menschen unabhängige externe Realität glauben, Sie auch glauben müssen, dass unsere physikalische Realität eine mathematische Struktur ist. Alles in unserer Welt ist rein mathematisch &ndash auch Sie.


Ein abstraktes Schachspiel ist unabhängig von den Farben und Formen der Figuren und davon, ob seine Züge auf einem physisch vorhandenen Brett, durch stilisierte computergerenderte Bilder oder durch sogenannte algebraische Schachnotation beschrieben werden &ndash es ist immer noch dasselbe Schachspiel. Analog ist eine mathematische Struktur unabhängig von den Symbolen, mit denen sie beschrieben wird.
Bild: Mit freundlicher Genehmigung von Max Tegmark

Leben ohne Gepäck
Oben haben wir beschrieben, wie wir Menschen unseren Beschreibungen Gepäck hinzufügen. Schauen wir uns nun das Gegenteil an: Wie mathematische Abstraktion Gepäck entfernen und Dinge auf ihr Wesentliches reduzieren kann. Betrachten Sie die Sequenz von Schachzügen, die als &ldquoDas unsterbliche Spiel&rdquo bekannt geworden ist, bei der Weiß spektakulär beide Türme, einen Läufer und die Dame opfert, um mit den drei verbleibenden Nebenfiguren Schachmatt zu setzen. Wenn Schachliebhaber das Unsterbliche Spiel schön nennen, beziehen sie sich nicht auf die Attraktivität der Spieler, des Bretts oder der Figuren, sondern auf eine abstraktere Einheit, die wir das abstrakte Spiel oder die Zugfolge nennen könnten.

Schach beinhaltet abstrakte Einheiten (verschiedene Schachfiguren, verschiedene Felder auf dem Brett usw.) und Beziehungen zwischen ihnen. Eine Beziehung, die ein Stück zu einem Quadrat haben kann, ist beispielsweise, dass ersteres auf letzterem steht. Eine andere Beziehung, die eine Figur zu einem Feld haben kann, ist, dass sie sich dorthin bewegen darf. Es gibt viele gleichwertige Möglichkeiten, diese Entitäten und Beziehungen zu beschreiben, zum Beispiel mit einem physischen Brett, durch verbale Beschreibungen in Englisch oder Spanisch oder durch die sogenannte algebraische Schachnotation. Was bleibt also übrig, wenn Sie all dieses Gepäck ablegen? Was wird durch all diese gleichwertigen Beschreibungen beschrieben? Das unsterbliche Spiel selbst, 100% rein, ohne Zusatzstoffe. Es gibt nur eine einzigartige mathematische Struktur, die durch all diese äquivalenten Beschreibungen beschrieben wird.

Die Hypothese des mathematischen Universums impliziert, dass wir in einer relationalen Realität leben, in dem Sinne, dass die Eigenschaften der Welt um uns herum nicht aus den Eigenschaften ihrer letzten Bausteine ​​stammen, sondern aus den Beziehungen zwischen diesen Bausteinen. Die äußere physikalische Realität ist daher mehr als die Summe ihrer Teile, in dem Sinne, dass sie viele interessante Eigenschaften haben kann, während ihre Teile überhaupt keine intrinsischen Eigenschaften haben. Diese verrückt klingende Überzeugung von mir, dass unsere physikalische Welt nicht nur durch Mathematik beschrieben wird, sondern dass es Mathematik ist, macht uns selbstbewusst zu Teilen eines riesigen mathematischen Objekts. Wie ich im Buch beschreibe, degradiert dies letztendlich bekannte Begriffe wie Zufälligkeit, Komplexität und sogar Veränderung in den Status von Illusionen, es impliziert auch eine neue und ultimative Sammlung von Paralleluniversen, die so groß und exotisch sind, dass all die oben erwähnten Bizarren im Vergleich dazu verblassen , die uns zwingt, viele unserer tief verwurzelten Vorstellungen von Realität aufzugeben.

Es ist leicht, sich klein und machtlos angesichts dieser riesigen Realität zu fühlen. Tatsächlich haben wir Menschen diese Erfahrung schon früher gemacht und immer wieder entdeckt, dass das, was wir für alles hielten, nur ein kleiner Teil einer größeren Struktur war: unser Planet, unser Sonnensystem, unsere Galaxie, unser Universum und vielleicht eine Hierarchie von Paralleluniversen , verschachtelt wie russische Puppen. Ich finde dies jedoch auch ermächtigend, weil wir nicht nur die Größe unseres Kosmos, sondern auch die Kraft unseres menschlichen Geistes, ihn zu verstehen, immer wieder unterschätzt haben. Unsere höhlenbewohnenden Vorfahren hatten genauso große Gehirne wie wir, und da sie ihre Abende nicht vor dem Fernseher verbrachten, stellten sie mir sicher Fragen wie &ldquoWas ist das alles da oben am Himmel?&rdquo und &ldquoWo kommt das? kommt alles her?&rdquo. Ihnen wurden schöne Mythen und Geschichten erzählt, aber sie wussten nicht, dass sie es in sich hatten, die Antworten auf diese Fragen selbst zu finden. Und dass das Geheimnis nicht darin lag, in den Weltraum fliegen zu lernen, um die Himmelsobjekte zu untersuchen, sondern ihren menschlichen Geist fliegen zu lassen. Als unsere menschliche Vorstellungskraft zum ersten Mal in Gang kam und anfing, die Geheimnisse des Weltraums zu entschlüsseln, geschah dies mit mentaler Kraft und nicht mit Raketenkraft.

Ich finde dieses Streben nach Wissen so inspirierend, dass ich beschlossen habe, mich ihm anzuschließen und Physiker zu werden, und ich habe dieses Buch geschrieben, weil ich diese ermächtigenden Entdeckungsreisen teilen möchte, besonders in der heutigen Zeit, in der es so einfach ist, sich machtlos zu fühlen. Wenn Sie sich entscheiden, es zu lesen, dann wird es nicht nur meine Suche und meine Physikerkollegen sein, sondern unsere Suche.

ÜBER DIE AUTOREN)

Bekannt als "Mad Max" für seine unorthodoxen Ideen und seine Leidenschaft für Abenteuer, reichen die wissenschaftlichen Interessen von Max Tegmark von der Präzisionskosmologie bis zur ultimativen Natur der Realität, die alle in seinem neuen populären Buch "Unser mathematisches Universum" erforscht werden. Er ist Physikprofessor am MIT mit mehr als 200 technischen Aufsätzen und wurde in Dutzenden von wissenschaftlichen Dokumentarfilmen vorgestellt. Seine Arbeit mit der SDSS-Kollaboration zur Galaxienclusterbildung teilte sich den ersten Preis in Wissenschaft "Durchbruch des Jahres: 2003".


Aufbau der reellen Zahlen¶

Wir haben bereits die rationalen Zahlen. Wir betrachten Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Seien (a_n) und (b_n) Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Wenn (b_n-a_n) gegen (0) konvergiert, nennen wir sie äquivalent. Es ist leicht zu erkennen, dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt. Wir definieren Addition und Multiplikation als (a_n+b_n) und (a_nb_n) . Es ist leicht zu erkennen, dass diese Definitionen die Äquivalenzrelation respektieren. Wir bemerken auch, dass, wenn wir eine rationale Zahl (q) mit der Folge (q,q.) identifizieren, verschiedene rationale Zahlen nicht äquivlanet verschieden sind und eine Folge (a_n) äquivalent zu (q ) genau dann, wenn (a_n) gegen (q) konvergiert.

Die reellen Zahlen definieren wir als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen rationaler Zahlen. Um zu beweisen, dass es ein Körper ist, müssen wir zeigen, dass (a_n) nicht äquivalent zu (0) ist, es eine Inverse hat. Nicht äquivalent zu (0) bedeutet, dass es ein (epsilon) gibt, so dass für jedes (N) ein (n>N) mit (|a_n|>epsilon) existiert. Da (a_n) Cauchy ist, sei N so, dass (|a_n-a_m|N) . Da es ein (n>N) gibt, ist (|a_n|>epsilon) . Angenommen (a_n>epsilon) , dann gilt für (m>N) a_m>=a_n-|a_n-a_m|>a_n-epsilon/2>epsilon/2 . Insbesondere wenn m>N , (a_m eq 0) . Wir definieren eine Folge, (b_n) sei (1/a_n), falls (n>N) und (0) sonst. Dann ist (a_nb_n=1) wenn (n>N) , also ist (a_nb_n) äquivalent zu (1) – also ist (b_n) eine Umkehrung von (a_n) .

Wir definieren (a_nleq b_n), wenn (b_n-a_n) für jedes (epsilon) einen von (epsilon) nach unten begrenzten Schwanz hat. Die Definition ist subtil, weil wir ((1/n)leq 0) wollen. Es ist einfach zu überprüfen, ob das Feld mit dieser Ordnungsbeziehung geordnet wird.

Sei (a_n) eine Cauchy-Folge von rationalen Zahlen. Wählen Sie (N), das (1) für diese Folge entspricht. Dann ein_) ist eine rationale Zahl, und wenn (n>N) , (a_n<a_+1) . Da für jede rationale Zahl eine größere natürliche Zahl (M) , (a_nN) und (M>a_) . Daher (a_nleq M) gemäß obiger Definition.

Nehmen wir nun an, dass (m) eine natürliche Zahl und (a) eine reelle Zahl ist. Es gibt eine natürliche Zahl, (n>ma) und somit (a0) . Zu jeder natürlichen Zahl (n) gibt es eine natürliche Zahl (m) mit (m/2^n>b) . Da (b) eine obere Schranke ist, bedeutet dies, dass für jedes (a) in (A) (aleq m/2^n) gilt. Für jedes (n) nehmen wir das kleinste (m), das die Eigenschaft erfüllt (da jede Menge natürlicher Zahlen ein minimales Element hat). Nun stellen wir fest, dass, wenn (m/2^n) diese Eigenschaft erfüllt, dann für (n+1) entweder 2m/2^ die Eigenschaft erfüllt, oder (2m-1)/2^ denn wenn (2m-2)/2^ eine obere Schranke ist, dann gilt auch ((m-1)/2^) im Widerspruch zur Minimalität. Insbesondere wenn wir diese Folge als (c_n) definieren, dann gilt (|c_n-c_|<1/2^) . Durch Induktion können wir sehen, dass (|c_n-c_m|n) . Daher ist (c_n) eine Cauchy-Folge von rationalen Zahlen. Wir können sehen, dass (c_n>a) für jedes (a) in (A) gilt, also ist (c) eine obere Schranke für (A) . Wir bemerken auch, dass (cleq c_n) für jedes (n) gilt, da (c) eine abnehmende Folge ist.

Ist es eine minimale Obergrenze? Angenommen (d0) . In diesem Fall ist (1/(c-d)>0) . Nehmen wir eine natürliche Zahl, (N>1/(c-d)) , also (2^N>N>1/(c-d)) . Daher (c-d>1/2^N) oder (c>d+1/2^N) . Da aber (d) eine obere Schranke ist, gilt (c-1/2^Ngeq a) für alle (a) in (A) . (c_N-1/2^Ngeq c-1/2^Ngeq a) , und so wurde für die Stufe (N) (m) im Widerspruch nicht minimal gewählt. Daher ist (c) eine kleinste obere Schranke.

Für ein allgemeines (A) sei (a_0) ein Mitglied in (A) und sei (A') die Menge aller Zahlen, die als a-a_0+1 für (a ) in einem) . wenn (A) nach oben beschränkt ist, so ist es auch (A') , und da (1) in (A') liegt, hat (A') eine kleinste obere Schranke (c ) . Aber wenn (a-a_0+1leq c) , (aleq c+a_0-1) und somit (c+a_0-1) die kleinste obere Schranke für (A) ist.

Dies zeigt, dass rationale Cauchy-Folgen unter der richtigen Äquivalenzrelation ein vollständiger geordneter Körper sind und somit ein vollständiger geordneter Körper existiert.


10 erstaunliche Beispiele für Architektur, die von der Mathematik inspiriert sind

Die Verbindung zwischen Mathematik und Architektur reicht bis in die Antike zurück, als die beiden Disziplinen praktisch nicht zu unterscheiden waren. Pyramiden und Tempel waren einige der frühesten Beispiele für mathematische Prinzipien, die am Werk waren. Auch heute noch spielt Mathematik eine herausragende Rolle in der Gebäudeplanung. Wir sprechen nicht nur von bloßen Maßen – obwohl solche Elemente integraler Bestandteil der Architektur sind. Dank moderner Technologie können Architekten auf der Grundlage komplexer mathematischer Sprachen eine Vielzahl spannender Gestaltungsmöglichkeiten erkunden und bahnbrechende Formen bauen. Sehen Sie sich einige Strukturen nach dem Bruch an, die der Mathematik nachempfunden wurden. Auch wenn Ihre Vorstellung von Mathematik darin besteht, jugendliche, auf den Kopf gestellte Nachrichten in einen Taschenrechner einzugeben oder Siri zu bitten, es für Sie herauszufinden, wir versprechen Ihnen, dass Sie hier etwas finden, das Sie begeistern wird.

Möbius-Streifentempel

Sie haben wahrscheinlich im Mathematikunterricht der Grundschule einen Mobius-Streifen gemacht, also sollten Sie daran denken, dass die geometrische Form einzigartig ist, da es keine Orientierung gibt. Eine ähnliche kurvenreiche Form wird auf das Design buddhistischer Gebäude angewendet. Der Tempel hat eine hügelartige Form, die als Stupa bekannt ist – ähnlich einer Pagode – und enthält einen zentralen Turm, in dem sich Buddhisten versammeln. Ein Architekt wollte es für einen in Kürze zu bauenden Tempel in China modernisieren und basierte das aktualisierte Design auf dem Möbius-Streifen – der zufällig auch die Reinkarnation symbolisiert.

Tetraederförmige Kirche

Der Tetraeder ist ein konvexer Polyeder mit vier dreieckigen Flächen. Im Grunde ist es eine komplexe Pyramide. Sie haben das gleiche geometrische Prinzip gesehen, das in RPGs verwendet wird, da die Würfel gleich geformt sind. Der berühmte Architekt Walter Netsch hat das Konzept auf die Cadet Chapel der United States Air Force Academy in Colorado Springs, Colorado, angewendet. Es ist ein markantes und klassisches Beispiel modernistischer Architektur mit seiner Reihe von 17 Türmen und dem massiven Tetraederrahmen, der sich mehr als 50 Meter in den Himmel erstreckt. Der Bau der Kirche aus den frühen 1960er Jahren kostete satte 3,5 Millionen US-Dollar.

Fünfeckiges, phylotaktisches Gewächshaus und Bildungszentrum

Das Eden Project in Cornwall, England, beherbergt das größte Gewächshaus der Welt, das aus geodätischen Kuppeln besteht, die aus sechseckigen und fünfeckigen Zellen bestehen. Das Sozial-, Umwelt- und Kunst-/Bildungszentrum dreht sich alles um grünes Leben und berücksichtigt dies in jedem Aspekt ihrer Gestaltung und Programmierung. Ihr interaktives Bildungszentrum mit dem Namen "The Core" hat Fibonacci-Zahlen (eine mathematische Folge, die sich auch auf die Verzweigung, Blüte oder Anordnung von Dingen in der Natur bezieht) und Phyllotaxis (die Anordnung von Blättern) in ihr Design integriert.

Eine mathematisch geneigte Gurke am Himmel

Mit einer Höhe von 591 Fuß und 41 Stockwerken ist Londons Wolkenkratzer The Gherkin (ja, wie die Gurke) bekannt. Der moderne Turm wurde sorgfältig mit Hilfe von parametrischer Modellierung und anderen mathematischen Formeln konstruiert, damit die Architekten vorhersagen konnten, wie Wirbelwinde um seine Basis minimiert werden können. Das konisch zulaufende Oberteil und die vorgewölbte Mitte des Designs maximieren die Belüftung Das Gebäude verbraucht halb so viel Energie wie andere Türme gleicher Größe. Jeder Mathematiker würde das Gebäude gerne für sich in Anspruch nehmen, aber das Architekturbüro Foster and Partners könnte dazu etwas zu sagen haben.

Experimenteller Mathematik-Musik-Pavillon

Stellen Sie sich vor, Sie gehen auf der Weltausstellung 1958 zum Philips-Pavillon und sehen diese verrückte Konstruktion aus asymmetrischen hyperbolischen Paraboloiden und Stahlspannseilen. Geist. Geblasen. Dieses erstaunliche Gebäude wurde auf der ersten Expo nach dem Zweiten Weltkrieg präsentiert. Dies war ein wichtiger Moment, der es seinen Schöpfern ermöglichte, den technologischen Fortschritt zu zeigen, den die Welt seit der verheerenden Schlacht gemacht hat. Philips Electronics Company wollte den Besuchern ein einzigartiges Erlebnis bieten und arbeitete daher mit einer internationalen Gruppe renommierter Architekten, Künstler und Komponisten zusammen, um den experimentellen Raum zu schaffen. ArchDaily schrieb über das bahnbrechende, temporäre Gebäude und nannte es die „erste elektronisch-räumliche Umgebung, die Architektur, Film, Licht und Musik zu einem Gesamterlebnis aus Funktionen in Zeit und Raum verbindet. Es waren diese visuell inspirierten Konzepte, die den Philips Pavilion zu einem umfassenden Erlebnis machten, bei dem man ihre besonderen Bewegungen durch einen Raum aus Klang, Licht und Zeit visualisieren konnte.“ Poeme Electronique war damals eines der prominent ausgestellten Werke.

Moderne Musik-Mathe-Zuhause

Ein klassischer Geiger hat ein exzentrisches, 24 Millionen Dollar teures Haus am Rande einer Toronto-Schlucht in Auftrag gegeben. Der geschwungene, elegante Bau, der auch als unglaublicher Konzertraum für 200 Personen dient, wurde das Integrale Haus genannt. (Calculus-Freaks, vertreten!) Der Besitzer des Hauses, Jim Stewart, war ein Professor für Analysis, der Lehrbücher schrieb und das mathematische Zeichen in den Namen und das Design des Hauses integrieren wollte. Wogende Glas- und Holzwände erinnern auch an die Form einer Geige.

Zauberei mit Solaralgorithmen

Der Endesa-Pavillon in Barcelona verwendete mathematische Algorithmen, um die Geometrie des kubischen Gebäudes basierend auf der Sonnenneigung und der vorgeschlagenen Ausrichtung der Struktur zu ändern. Algorithmen können verwendet werden, um das perfekte Gebäude für irgendein Standort mit dem richtigen Computerprogramm. Für Endesa wurde die Bewegung der Sonne vor Ort verfolgt, bevor ein Architekt des Institute for Advance Architecture of Catalonia einsprang, um das Bild zu vervollständigen. Der Algorithmus hat im Wesentlichen die gesamte Planung für ihn übernommen und die optimale Form des Gebäudes für diesen bestimmten Standort berechnet.

Würfeldorf

Willkommen im Cube Village, erbaut vom niederländischen Architekten Piet Blom. Seine gekippten, geometrischen Häuser – die auf einer Fußgängerbrücke gebaut wurden, um einen abstrakten Wald zu imitieren – sind in drei Ebenen unterteilt. Das Dach hat Fenster an jeder Fassade und fühlt sich wie eine separate Struktur an.

Kathedrale des magischen Platzes

Die von Antoni Gaudí entworfene Kathedrale Sagrada Familia in Barcelona ist der Traum eines jeden Mathematikers. Überall sind hyperbolische paraboloide Strukturen zu sehen. Hast du Pringles gegessen? Dann wissen Sie definitiv, was eine hyperbolische Paraboloidstruktur ist. Oberleitungsbögen (eine geometrische Kurve) gibt es im Überfluss. Die Kathedrale enthält auch ein magisches Quadrat – eine Anordnung von Zahlen, die in jeder Spalte, Reihe und Diagonale gleich groß sind. Die magische Zahl im Fall der Sagrada Familia ist 33, was auf mehrere religiöse Symbole anspielt. Zum Beispiel vollbrachte Jesus 33 aufgezeichnete Wunder, und die meisten Christen glauben, dass er im Alter von 33 Jahren im Jahr 33 n. Chr. gekreuzigt wurde.

Fractal Tankstelle Makeover

Ein Fraktal ist eine fragmentierte geometrische Form, die in mehrere Teile aufgeteilt ist, aber jede dieser Komponenten ist nur eine verkleinerte Kopie der Gesamtform. Viele Architekten wenden dieses mathematische Prinzip auf ihre Gebäudeentwürfe an, wie diese Tankstelle in Los Angeles, die kürzlich ein „grünes“ Makeover erhielt. Alles wurde abgebaut – einschließlich der Schilder der Tankstelle, die subtile Symbole sind – und die verspiegelte Fassade verschönert neunzig Sonnenkollektoren, die die Station mit Strom versorgen. Recycelte Materialien und ein begrüntes Dach runden den umweltfreundlichen Umbau ab.


Die Welt durch Mathematik verstehen

Das Wissen und die Praxis, die als Mathematik bekannt sind, stammen aus den Beiträgen von Denkern zu allen Zeiten und auf der ganzen Welt. Es gibt uns eine Möglichkeit, Muster zu verstehen, Beziehungen zu quantifizieren und die Zukunft vorherzusagen. Mathematik hilft uns, die Welt zu verstehen – und wir nutzen die Welt, um Mathematik zu verstehen.

Die Welt ist vernetzt. Die alltägliche Mathematik zeigt diese Zusammenhänge und Möglichkeiten. Je früher junge Lernende diese Fähigkeiten in die Praxis umsetzen können, desto wahrscheinlicher werden wir eine Innovationsgesellschaft und -wirtschaft bleiben.

Algebra kann erklären, wie schnell Wasser verunreinigt wird und wie viele Menschen in einem Drittweltland, die dieses Wasser trinken, jährlich erkranken können. Ein Studium der Geometrie kann die Wissenschaft hinter der Architektur auf der ganzen Welt erklären. Statistiken und Wahrscheinlichkeiten können die Zahl der Todesopfer durch Erdbeben, Konflikte und andere Katastrophen auf der ganzen Welt schätzen. Es kann auch Gewinne vorhersagen, wie sich Ideen verbreiten und wie sich zuvor gefährdete Tiere wieder bevölkern könnten. Mathematik ist ein mächtiges Werkzeug für globales Verständnis und Kommunikation. Mit ihm können die Schüler die Welt verstehen und komplexe und reale Probleme lösen. Das Überdenken der Mathematik in einem globalen Kontext bietet den Schülern eine Wendung zu den typischen Inhalten, die die Mathematik selbst für die Schüler anwendbarer und bedeutungsvoller macht.

Damit Schüler in einem globalen Kontext funktionieren können, müssen mathematische Inhalte ihnen helfen, globale Kompetenz zu erlangen, die verschiedene Perspektiven und Weltbedingungen versteht, anerkennt, dass Probleme weltweit miteinander verbunden sind, sowie auf angemessene Weise kommuniziert und gehandelt wird. In der Mathematik bedeutet dies, die typischen Inhalte auf untypische Weise zu überdenken und den Schülern zu zeigen, wie die Welt aus Situationen, Ereignissen und Phänomenen besteht, die mit den richtigen mathematischen Werkzeugen sortiert werden können.

Alle in der Mathematik verwendeten globalen Kontexte sollten zum Verständnis der Mathematik sowie der Welt beitragen. Um dies zu erreichen, sollten sich die Lehrer darauf konzentrieren, gute, fundierte, strenge und angemessene mathematische Inhalte zu vermitteln und globale Beispiele zu verwenden, die funktionieren. Zum Beispiel werden Lernende in Europa wenig Relevanz darin finden, eine Wortaufgabe mit Kilometern anstelle von Meilen zu lösen, wenn Instrumente die Zahlen bereits leicht umrechnen. Es trägt nicht zu einem komplexen Verständnis der Welt bei.

Mathematik wird oft als reine Wissenschaft studiert, wird aber typischerweise auf andere Disziplinen angewendet, die weit über Physik und Ingenieurwissenschaften hinausgehen. Beispielsweise ist es sinnvoll, exponentielles Wachstum und Verfall (die Geschwindigkeit, mit der Dinge wachsen und sterben) im Kontext des Bevölkerungswachstums, der Ausbreitung von Krankheiten oder der Wasserverschmutzung zu untersuchen. Es gibt den Schülern nicht nur einen realen Kontext, in dem sie die Mathematik anwenden können, sondern hilft ihnen auch, globale Phänomene zu verstehen – sie hören vielleicht von einer Krankheit, die sich in Indien ausbreitet, aber sie können keine Verbindung herstellen, ohne zu verstehen, wie schnell sich so etwas wie Cholera ausbreiten kann in einer dichten Bevölkerung. Tatsächlich kann das Hinzufügen einer Studie über Wachstum und Verfall zur unteren Algebra – die am häufigsten in Algebra II zu finden ist – mehr Schülern die Möglichkeit geben, sie im globalen Kontext zu studieren, als wenn sie der höheren Mathematik vorbehalten wäre, die nicht alle Schüler belegen .

In ähnlicher Weise ist ein Studium der Statistik und Wahrscheinlichkeit der Schlüssel zum Verständnis vieler Ereignisse der Welt und ist normalerweise Schülern mit einem höheren mathematischen Niveau vorbehalten, wenn es überhaupt ein Studium in der High School ermöglicht. Aber viele Weltereignisse und Phänomene sind unvorhersehbar und können nur mit statistischen Modellen beschrieben werden, daher muss ein global ausgerichtetes Mathematikprogramm die Einbeziehung von Statistiken in Betracht ziehen. Wahrscheinlichkeiten und Statistiken können verwendet werden, um die Zahl der Todesopfer durch Naturkatastrophen wie Erdbeben und Tsunamis, den Umfang der Hilfe, die in der Folgezeit möglicherweise erforderlich ist, und die Zahl der Vertriebenen abzuschätzen.

Die Welt zu verstehen bedeutet auch, die Beiträge anderer Kulturen zu schätzen. In der Algebra könnten Schüler vom Studium von Zahlensystemen profitieren, die in anderen Kulturen verwurzelt sind, wie dem Maya- und dem Babylonischen System, einem System zur Basis 20 bzw. zur Basis 60. Sie gaben uns Elemente, die in aktuellen mathematischen Systemen noch funktionieren, wie etwa 360 Grad im Kreis und die Einteilung der Stunde in 60-Minuten-Intervalle, und die Einbeziehung dieser Art von Inhalten kann helfen, eine Wertschätzung für die Beiträge anderer Kulturen zu entwickeln zu unserem mathematischen Verständnis.

Es ist jedoch wichtig, nur Beispiele aufzunehmen, die für die Mathematik relevant sind und den Schülern helfen, die Welt zu verstehen. In der Geometrie beispielsweise könnten islamische Tessellationen – in einem künstlerischen Muster angeordnete Formen – als Kontext verwendet werden, um die wichtigen geometrischen Verständnisse von Symmetrie und Transformationen zu entwickeln, zu erforschen, zu lehren und zu verstärken. Die Schüler könnten die verschiedenen Arten von Polygonen studieren, die verwendet werden können, um die Ebene zu tesselieren (den Raum ohne Löcher oder Überlappungen abzudecken) und sogar, wie islamische Künstler ihre Kunst annahmen. Inhalt und Kontext tragen hier zum Verständnis des Anderen bei.

Wenn den Schülern die richtigen Inhalte und der richtige Kontext für einen global geprägten Mathematiklehrplan zur Verfügung gestellt werden, können sie mithilfe von Mathematik globale Verbindungen herstellen und ein mathematisches Modell erstellen, das die Komplexität und Wechselbeziehung globaler Situationen und Ereignisse widerspiegelt. Sie sind in der Lage, mathematische Strategien zur Lösung von Problemen anzuwenden und die Anwendung eines bestimmten mathematischen Konzepts im globalen Sinne zu entwickeln und zu erklären. Und sie können die richtigen mathematischen Werkzeuge in den richtigen Situationen verwenden und erklären, warum ein von ihnen gewähltes mathematisches Modell relevant ist. Noch wichtiger ist, dass die Schüler in der Lage sind, Daten zu verwenden, um vertretbare Schlussfolgerungen zu ziehen, und mathematische Kenntnisse und Fähigkeiten einsetzen, um Auswirkungen auf das reale Leben zu erzielen.

Wenn ein Schüler die High School abschließt, sollte er oder sie in der Lage sein, mathematische Werkzeuge und Verfahren zu verwenden, um Probleme und Chancen in der Welt zu erkunden und mathematische Modelle zu verwenden, um Schlussfolgerungen und Handlungen zu ziehen und zu verteidigen.

Die Beispiele hier sind nur ein Beispiel dafür, wie es gemacht werden könnte, und sie können verwendet werden, um inhaltsorientierte Gespräche für Mathematiklehrer zu starten. Dabei handelt es sich auch nicht um separate Studiengänge, sondern um sich überschneidende und miteinander verbundene Elemente, die die Schulen entsprechend ihren individuellen Bedürfnissen einsetzen müssen.

Im Mittelpunkt jeder Diskussion über einen globalen Lehrplan durch Mathematik ist es wichtig zu überlegen, wie die Mathematik den Schülern hilft, die Welt zu verstehen, was sie nach ihrer Erfahrung dazu befähigt, die Mathematik zu nutzen, um Beiträge zur globalen Gemeinschaft zu leisten, und welche Mathematik Inhalte Studenten müssen komplexe Probleme in einer komplexen Welt lösen. Dann besteht die Herausforderung darin, echte, relevante und signifikante Beispiele für globale oder kulturelle Kontexte zu finden, die das Verständnis der Mathematik verbessern, vertiefen und veranschaulichen.

Das globale Zeitalter wird diese Fähigkeiten von seinen Bürgern verlangen – das Bildungssystem sollte den Schülern die nötigen Mittel zur Verfügung stellen, um sie zu beherrschen.

In den International Studies Schools der Asia Society wird von allen Abiturienten erwartet, dass sie Mathematik beherrschen. Die Schüler arbeiten während ihrer gesamten Sekundarschulbildung an Fähigkeiten und Projekten. Am Ende des Studiums haben die Studierenden ein Portfolio von Arbeiten, die Nachweise für Folgendes enthalten:


Römische Zahlen

Das numerische System repräsentiert durch römische Zahlen entstand im antiken Rom (753 v. Chr. – 476 n. Chr.) und blieb bis ins späte Mittelalter (in der Regel das 14. und 15. Jahrhundert (ca. 1301–1500)) in ganz Europa die übliche Schreibweise von Zahlen. Zahlen in diesem System werden durch Kombinationen von Buchstaben aus dem lateinischen Alphabet dargestellt. Römische Ziffern, wie sie heute verwendet werden, basieren auf sieben Symbolen:

Symbol ich V x L C D m
Wert 1 5 10 50 100 500 1,000

Die Verwendung römischer Ziffern wurde lange nach dem Untergang des Römischen Reiches fortgesetzt. Ab dem 14. Jahrhundert wurden römische Ziffern in den meisten Kontexten durch die bequemeren hindu-arabischen Ziffern ersetzt, jedoch verlief dieser Prozess allmählich, und die Verwendung römischer Ziffern besteht in einigen kleineren Anwendungen bis heute.

Die Zahlen 1 bis 10 werden in der Regel wie folgt in römischen Ziffern ausgedrückt:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X .

Zahlen werden gebildet, indem man Symbole kombiniert und die Werte addiert, also ist II zwei (zwei Einsen) und XIII ist dreizehn (eine Zehn und drei Einsen). Da jede Zahl einen festen Wert hat und kein Vielfaches von zehn, hundert usw Position, es gibt keine Notwendigkeit für “place Keeping” Nullen, da in Zahlen wie 207 oder 1066 diese Zahlen als CCVII (zwei Hundert, eine Fünf und zwei Einsen) und MLXVI (Tausend, Fünfzig, Zehn, a) geschrieben werden fünf und eins).

Die Symbole werden von links nach rechts in der Reihenfolge ihres Wertes platziert, beginnend mit dem größten. In einigen speziellen Fällen wird jedoch die subtraktive Schreibweise verwendet, um zu vermeiden, dass vier Zeichen nacheinander wiederholt werden (z. B. IIII oder XXXX ): wie in dieser Tabelle:


Mathematik. Log10(Doppel)-Methode

Einige Informationen beziehen sich auf Vorabversionen von Produkten, die vor der Veröffentlichung erheblich geändert werden können. Microsoft übernimmt keine ausdrücklichen oder stillschweigenden Gewährleistungen in Bezug auf die hier bereitgestellten Informationen.

Gibt den Logarithmus zur Basis 10 einer angegebenen Zahl zurück.

Parameter

Eine Zahl, deren Logarithmus gefunden werden soll.

Kehrt zurück

Einer der Werte in der folgenden Tabelle.

d-Parameter Rückgabewert
Positiv Der Basis-10-Log von d, das heißt log 10 d .
Null NegativUnendlich
Negativ NaN
Gleich NaNNaN
Gleich PositivUnendlichPositivUnendlich


Verschiedene, amüsante und seltsame Orte, um Phi und die Fibonacci-Zahlen zu finden

Fernsehsender in Halifax, Kanada

Kraftwerk Turku, Finnland

Jörg Wiegels aus Düsseldorf erzählte mir, dass er bei einem Besuch in Turku in Finnland erstaunt war, die Fibonacci-Zahlen hell am Nachthimmel leuchten zu sehen. Auf dem Schornstein des Kraftwerks Turku stehen die Fibonacci-Zahlen in 2 Meter hohen Neonlichtern! Es war der erste Auftrag des Umweltkunstprojekts der Stadt Turku im Jahr 1994. Der Künstler Mario Merz (Italien) nennt es Fibonacci-Folge 1-55 und sagt: "Es ist eine Metapher für das menschliche Streben nach Ordnung und Harmonie im Chaos."

Das Bild hier wurde von Dr. Ching-Kuang Shene von der Michigan Technological University aufgenommen und wird hier mit seiner freundlichen Genehmigung von seiner Fotoseite seiner Finnlandreise reproduziert.

Entworfen in?

  • Wenn Sie eine Kreditkarte messen, werden Sie feststellen, dass sie perfekt ist goldenes Rechteck.
  • Das goldene Rechteck-Symbol von National Geographic scheint auch ein Rechteck mit goldenem Schnitt zu sein.
  • Brian Agron aus Fairfax, Kalifornien, fand den goldenen Schnitt im Design seines Mountainbikes, einem Trek Fuel 90, das oben mit goldenen Schnitten markiert ist.
  • Brian sagt auch, dass die Form der großen Türen in Krankenhäusern ein goldenes Rechteck zu sein scheint.
  • John Harrison MA hat ein goldenes Rechteck in Form einer Kit-Kat-Schokoladenwaffel gefunden - der größere 4-Finger-Riegel in seiner älteren Verpackung, wie oben gezeigt.

Zwei Mythen über Uhren und die Zeit des Goldenen Schnitts

  • Wir messen Stunden als Dezimalzahl, sodass 2:30 2,5 Stunden und 12:00 und 0:00 0,0 Stunden sind und
  • wenn wir Winkel von 12 Uhr in Bruchteilen einer Umdrehung und nicht in Bogenmaß oder Grad messen, so dass beispielsweise der Stundenzeiger bei 3 Uhr bei 0,25 Umdrehungen steht

Dinge die zu tun sind

  1. Was andere Logos Findest du, dass das goldene Rechtecke sind?
  2. Wo sonst haben Sie das goldene Rechteck gefunden?

1� 39887 49894 84820 45868 34365 63811 77203 09179 80576 ..Mehr..


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