Artikel

3.2: Direkte Beweise


Um zu zeigen, dass eine Aussage (q) wahr ist, gehen Sie folgendermaßen vor:

  • Finden Sie entweder ein Ergebnis, das (pRightarrow q) aussagt, oder beweisen Sie, dass (pRightarrow q) wahr ist.
  • Zeigen oder überprüfen Sie, dass (p) wahr ist.
  • Schließen Sie, dass (q) wahr sein muss.

Die Logik ist gültig, denn wenn (pRightarrow q) wahr ist und (p) wahr ist, dann muss (q) wahr sein. Symbolisch sagen wir, dass die logische Formel [[(p Rightarrow q) wedge p] Rightarrow q] eine Tautologie ist (wir können dies leicht mit einer Wahrheitstafel verifizieren). Symbolisch präsentieren wir das Argument als [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & p hline herefore & q end{array}] Ein solches Argument heißt modus ponens oder der Gesetz der Ablösung.

Beispiel (PageIndex{1}label{zB:directpf-01})

Das Argument

(b^2>4ac Rightarrow ax^2+bx+c=0) hat zwei reelle Lösungen.
(x^2-5x+6) erfüllt (b^2>4ac).
(deshalb)(x^2-5x+6=0) hat zwei reelle Lösungen.

ist ein Beispiel für Modus Ponens.

Es ist klar, dass Implikationen bei mathematischen Beweisen eine wichtige Rolle spielen. Wenn wir eine Folge von Implikationen haben, könnten wir sie „von Kopf bis Fuß“ zu einer weiteren Implikation verbinden: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & q Rightarrow r hline herefore & p Rightarrow r end{array}] Dies nennt man Gesetz des Syllogismus.

.

Beispiel (PageIndex{2}label{zB:directpf-02})

Das Argument

Deutsche Schäferhunde sind Hunde.
Hunde sind Säugetiere.
Säugetiere sind Wirbeltiere.
(deshalb)Deutsche Schäferhunde sind Wirbeltiere.

ist aufgrund des Gesetzes des Syllogismus gültig.

Die große Frage ist, wie können wir eine Implikation beweisen? Der einfachste Ansatz ist der direkter Beweis:

Angenommen (p) ist wahr.

Leiten Sie aus (p) ab, dass (q) wahr ist.

Wichtig ist: Verwenden Sie die von (p) abgeleitete Information, um zu zeigen, dass (q) wahr ist. So kann ein typischer direkter Beweis aussehen:

Nachweisen: Angenommen )p) ist wahr. Dann . .

Wegen (p) finden wir . .

. Daher ist (q) wahr.

Beispiel (PageIndex{3}label{zB:directpf-03})

Beweisen Sie, dass (mn) gerade sein muss, wenn ein (m imes n)-Schachbrett vollständig von nicht überlappenden Dominosteinen bedeckt werden kann.

Lösung

Angenommen, das Schachbrett kann von nicht überlappenden Dominosteinen bedeckt werden, und sei (t) die Anzahl der Dominosteine, die das Schachbrett bedecken. Dann muss das Schachbrett (2t) Felder enthalten. Also (mn=2t), was bedeutet, dass (mn) eine gerade Zahl sein muss.

Bevor wir mit weiteren Beispielen fortfahren, möchten wir die formale Definition von geraden und ungeraden ganzen Zahlen vorstellen.

Definition

Eine ganze Zahl ist auch wenn es als (2q) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann, und seltsam wenn es als (2q+1) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann.

Wir müssen nicht (q) verwenden, um die ganze Zahl zu bezeichnen, die, wenn sie mit 2 multipliziert wird, eine gerade ganze Zahl ergibt. Jeder Buchstabe funktioniert, sofern wir erwähnen, dass es sich um eine ganze Zahl handelt. Wenn beispielsweise (n) eine gerade ganze Zahl ist, können wir (n=2t) für eine ganze Zahl (t) schreiben. Der Begriff der geraden ganzen Zahlen kann weiter verallgemeinert werden.

Definition

Sei (m) eine ganze Zahl ungleich null. Eine ganze Zahl heißt a mehrere von (m), wenn es als (mq) für eine ganze Zahl (q) geschrieben werden kann.

Wir sind jetzt bereit, weitere Beispiele zu studieren.

Beispiel (PageIndex{4}label{zB:directpf-04})

Zeigen Sie, dass das Quadrat einer ungeraden ganzen Zahl ungerade ist.

Lösung

Sei (n) eine ungerade ganze Zahl. Dann (n=2t+1) für eine ganze Zahl (t) und [n^2 = (2t+1)^2 = 4t^2+4t+1 = 2(2t^2+2t) +1,] wobei (2t^2+2t) eine ganze Zahl ist. Daher ist (n^2) ungerade.

praktische Übung (PageIndex{1}label{he:directpf-01})

Sei (n) eine ganze Zahl. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, (n^3) ungerade ist.

Beispiel (PageIndex{5}label{zB:directpf-05})

Zeigen Sie, dass das Produkt zweier ungerader Zahlen ungerade ist.

Lösung

Seien (x) und (y) zwei ungerade ganze Zahlen. Wir wollen beweisen, dass (xy) ungerade ist. Dann (x=2s+1) und (y=2t+1) für einige ganze Zahlen (s) und (t) und [xy = (2s+1)(2t+1) = 4st+2s+2t+1 = 2(2st+s+t)+1,] wobei (2st+s+t) eine ganze Zahl ist. Daher ist (xy) ungerade.

In diesem Beweis müssen wir zwei verschiedene Größen (s) und (t) verwenden, um (x) und (y) zu beschreiben, da sie nicht gleich sein müssen. Wenn wir (x=2s+1) und (y=2s+1) schreiben, sagen wir tatsächlich (x=y). Wir müssen betonen, dass (s) und (t) ganze Zahlen sind, denn nur (x=2s+1) und (y=2t+1) zu sagen garantiert (x) und (y) sind ungerade. Zum Beispiel kann die gerade Zahl 4 als (2cdotfrac{3}{2}+1) geschrieben werden, die die Form (2s+1) hat. Es ist offensichtlich, dass 4 nicht ungerade ist. Auch wenn wir eine Zahl in der Form (2s+1) schreiben können, bedeutet dies nicht unbedingt, dass die Zahl ungerade sein muss, es sei denn wir wissen mit Sicherheit, dass (s) eine ganze Zahl ist. Dieses Beispiel zeigt, wie wichtig es ist, auf die Details in unserem Schreiben zu achten.

.

Beispiel (PageIndex{6}label{directpf-06})

Zeigen Sie, dass, wenn (x^3-7x^2+x-7=0), dann (x=7) ist.

Lösung

Angenommen (x^3-7x^2+x-7=0). Da [x^3-7x^2+x-7 = x^2(x-7)+(x-7) = (x^2+1)(x-7),] wenn es gleich ist Null, wir brauchen entweder (x^2+1=0) oder (x-7=0). Da (x^2+1) niemals null sein kann, müssen wir (x-7=0) haben; also (x=7).

praktische Übung (PageIndex{2}label{he:directpf-02})

Zeigen Sie, dass, wenn (x^3+6x^2+12x+8=0), dann (x=-2) ist.

Das letzte Beispiel demonstriert eine Technik namens Beweis durch Fälle. Es gibt zwei Möglichkeiten, nämlich entweder (i) (x^2+1=0) oder (ii) (x-7=0). Die endgültige Schlussfolgerung wird gezogen, nachdem wir diese beiden Fälle getrennt untersucht haben.

Beispiel (PageIndex{7}label{zB:directpf-07})

Zeigen Sie, dass, wenn eine ganze Zahl (n) nicht durch 3 teilbar ist, (n^2-1) ein Vielfaches von 3 sein muss.

Anmerkung

Der Buchstabe (n) wurde verwendet, um die für uns interessante ganze Zahl zu identifizieren, und er erscheint in der Hypothese der Implikation, die wir beweisen wollen. Nichtsdestotrotz würden viele Autoren ihre Beweise mit dem vertrauten Satz „Let (n) be …“ beginnen.

Antworten

Sei (n) eine ganze Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist. Wenn sie durch 3 geteilt wird, ist der Rest 1 oder 2. Also (n=3q+1) oder (n=3q+2 ) für eine ganze Zahl (q).

Fall 1: Wenn (n=3q+1) für eine ganze Zahl (q), dann [n^2-1 = 9q^2+6q = 3 (3q^2+2q),] wobei (3q^2+2q) ist eine ganze Zahl.

Fall 2: Wenn (n=3q+2) für eine ganze Zahl (q), dann [n^2-1 = 9q^2+12q+3 = 3(3q^2+4q+1), ] wobei (3q^2+4q+1) eine ganze Zahl ist.

In beiden Fällen haben wir gezeigt, dass (n^2-1) ein Vielfaches von 3 ist.

praktische Übung (PageIndex{3}label{he:directpf-03})

Zeigen Sie, dass (n^3+n) für alle (ninmathbb{N}) gerade ist.

praktische Übung (PageIndex{4}label{he:directpf-04})

Zeigen Sie, dass (n(n+1)(2n+1)) für alle (ninmathbb{N}) durch 6 teilbar ist.

Hinweis

Eine der beiden ganzen Zahlen (n) und (n+1) muss gerade sein, wir wissen also bereits, dass das Produkt (n(n+1)(2n+1)) ein Vielfaches von 2 ist. Es bleibt also zu zeigen, dass es auch ein Vielfaches von 3 ist. Betrachten Sie drei Fälle: (n=3q), (n=3q+1) oder (n=3q+2), wobei (q) ist eine ganze Zahl.

Wir schließen unsere Diskussion mit zwei häufigen Irrtümern (logischen Fehlern). Der erste ist der Irrtum der Umkehrung oder der Verleugnung des Vorangegangenen: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & overline{p} hline herefore & overline{q} end{array}] Damit ist die Umkehrung (overline{p}Rightarrow overline{q}), von dem wir wissen, dass nicht logisch äquivalent zur ursprünglichen Implikation. Daher ist dies eine falsche Methode, um eine Implikation zu beweisen.

.

Beispiel (PageIndex{8}label{zB:directpf-08})

Ist das folgende Argument

Wörterbücher sind wertvoll.
Dieses Buch ist kein Wörterbuch.
(deshalb)Dieses Buch ist nicht wertvoll.

gültig? Wieso den?

Ein weiterer häufiger Fehler ist bekannt als der Irrtum des Umgekehrten oder der Bestätigung der Konsequenz: [egin{array}{cl} & p Rightarrow q & q hline herefore & p end{array}] Damit ist nur die Umkehrung (qRightarrow p) bewiesen. Da die Umkehrung nicht logisch äquivalent zur ursprünglichen Implikation, ist dies eine falsche Art, eine Implikation zu beweisen.

.

Beispiel (PageIndex{9}label{zB:directpf-09})

Ist dieses Argument

Keine Medizin schmeckt gut.
Dieses Getränk schmeckt schlecht.
(deshalb)Das muss Medizin sein.

ein gültiges Argument? Wieso den?

  • Um eine Implikation (pRightarrow q) zu beweisen, nehmen Sie zunächst an, dass (p) wahr ist. Verwenden Sie die Informationen aus dieser Annahme zusammen mit anderen bekannten Ergebnissen, um zu zeigen, dass auch (q) wahr sein muss.
  • Bei Bedarf können Sie (p) in mehrere Fälle (p_1, p_2, ldots,) zerlegen und jede Implikation (p_iRightarrow q) (getrennt, einzeln) wie oben angegeben beweisen .
  • Achten Sie darauf, die mathematischen Ausdrücke klar zu schreiben. Verwenden Sie unterschiedliche Variablen, wenn die beteiligten Mengen möglicherweise nicht gleich sind.
  • Notieren Sie sich zunächst die gegebenen Informationen, die Annahme und was Sie beweisen möchten.
  • Verwenden Sie im nächsten Schritt ggf. die Definition und schreiben Sie die Informationen in mathematische Notationen um. Der Punkt ist, versuchen Sie, einige mathematische Gleichungen oder logische Aussagen zu erhalten, die wir manipulieren können.

.

Übung (PageIndex{1}label{ex:directpf-01})

Beweisen oder widerlegen Sie: (2^n+1) ist eine Primzahl für alle nichtnegativen ganzen Zahlen (n).

Übung (PageIndex{2}label{ex:directpf-02})

Zeigen Sie, dass für jede ganze Zahl (ngeq5) die ganzen Zahlen (n), (n+2) und (n+4) nicht alle Primzahlen sein können.

Hinweis

Wenn (n) ein Vielfaches von 3 ist, dann ist (n) selbst zusammengesetzt und der Beweis ist vollständig. Wir können also annehmen, dass (n) nicht durch 3 teilbar ist. Wie würde dann (n) aussehen, und was können Sie über (n+2) und (n+4) sagen?

Übung (PageIndex{3}label{ex:directpf-03})

Sei (n) eine ganze Zahl.

  1. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, auch (n^2) ungerade ist.
  2. Zeigen Sie, dass, wenn (n) ungerade ist, auch (n^4) ungerade ist.
  3. EIN logische Folge ist ein Ergebnis, das leicht aus einem anderen Ergebnis abgeleitet werden kann. Leiten Sie (b) als Korollar von (a) her.
  4. Zeigen Sie, dass, wenn (m) und (n) ungerade sind, auch (mn) ungerade ist.
  5. Zeigen Sie, dass, wenn (m) gerade und (n) ungerade ist, (mn) gerade ist.

Übung (PageIndex{4}label{ex:directpf-04})

Beweisen Sie, dass für jede ungerade ganze Zahl (n) die Zahl (2n^2+5n+4) ungerade sein muss.

Übung (PageIndex{5}label{ex:directpf-05})

Sei (n) eine ganze Zahl.

  1. Beweisen Sie, dass, wenn (n) ein Vielfaches von 3 ist, auch (n^2) ein Vielfaches von 3 ist.
  2. Beweisen Sie, dass, wenn (n) ein Vielfaches von 7 ist, auch (n^3) ein Vielfaches von 7 ist.

Übung (PageIndex{6}label{ex:directpf-06})

Beweisen Sie, dass, wenn (n) kein Vielfaches von 3 ist, dann auch (n^2) kein Vielfaches von 3 ist.

Hinweis

Wenn (n) kein Vielfaches von 3 ist, dann gilt (n=3q+1) oder (n=3q+2) für manche ganze Zahl (q).

Übung (PageIndex{7}label{ex:directpf-07})

Nutze die Fakten, die

(sqrt{2}) ist irrational und

wenn (x) irrational ist, dann ist auch (sqrt{x}) irrational,

um zu beweisen, dass (sqrt[8]{2}) irrational ist.

Übung (PageIndex{8}label{ex:directpf-08})

Denken Sie daran, dass wir ein Gegenbeispiel verwenden können, um eine Implikation zu widerlegen. Zeigen Sie, dass die folgenden Behauptungen falsch sind:

  1. Wenn (x) und (y) ganze Zahlen sind, so dass (x^2>y^2), dann gilt (x>y).
  2. Wenn (n) eine positive ganze Zahl ist, dann ist (n^2+n+41) eine Primzahl.

Übung (PageIndex{9}label{ex:directpf-09})

Erklären Sie, warum die folgenden Argumente ungültig sind:

  1. Sei (n) eine ganze Zahl. Wenn (n^2) ungerade ist, dann ist (n) ungerade. Daher muss (n) ungerade sein.
  2. Sei (n) eine ganze Zahl. Wenn (n) gerade ist, dann ist auch (n^2) gerade. Als ganze Zahl könnte (n^2) ungerade sein. Daher kann (n) nicht gerade sein. Daher muss (n) ungerade sein.

Übung (PageIndex{10}label{ex:directpf-10})

Analysieren Sie die folgende Argumentation:

  1. Sei (S) eine Menge reeller Zahlen. Wenn (x) in (S) ist, dann ist (x^2) in (S). Aber (x) ist nicht in (S), also ist (x^2) nicht in (S).
  2. Sei (S) eine Menge reeller Zahlen. Wenn also (x^2) in (S) liegt, dann ist (x) in (S).

Beweismethode: Direkter Beweis

In meinem ersten Beitrag auf meiner Reise zur Verbesserung meiner mathematischen Genauigkeit sagte ich, dass ich ein paar verschiedene Techniken zur Durchführung von Beweisen durchgehen würde.

Der erste, mit dem ich mich beschäftigen möchte, sind direkte Beweise. Dies ist die “einfachste” Methode und manchmal kann es so aussehen, als ob der Beweis überhaupt nicht da ist.

Es wird oft so aussehen wie “if a dann b”. Mit einer Definition von a können wir also zeigen, dass b als direkte Konsequenz durch eine ununterbrochene Reihe logischer Argumente folgt, so dass

Lass es uns an einigen Beispielproblemen ausprobieren


3.2: Direkte Beweise

[email protected]`$-lj8i6ngC.>8)JL:/2W+rlXZ*gd#Z+PT)=R"? m6$d8cel4Ls$lgSU$"p*-LUhk]$ntZX!XT+>XRVF#'@ A`Wm30YP -P)_Ukg-s- $h4B^lKG/"PFbIm=kkA>[n-M4h,P3Q/X?972POmZkkBXrEfu2G.Vo1^XY.WTFu6),^+6,ME(!l !e7E rX/`X?Y]FHNUCVts7+A=mS4'^*g+Q0#AO:1JlI.DFq*>inuJNZTr7+(@"[email protected]?2Tb8Tb1)P`R JR/(JWu"5ae>',r( IsYUDV(9f:N/'i2C(7#,H?DWc4Q_4j-/-,O UJB8nJoo [email protected]+J0OO=coAXARN(F93keeMI)5r+uiQM aPkFRmc%F2D=DQ!maH?c*Tso H LJeWH8= N!H>W^ql2t'l lSc4rXp$2(>,i4cf!(5R:.1SnGrUM=u,/E)C6?4#G%c^T!_0"[3(kcbu)Ctg(,fF- R!BoOG+NVFFj oY,A!Pu(CRmjp_eIYWhd?p_,)4]40/_j0q5li)hLr0QXAFYG?GC/1_pPEKK=O?&#=('4W,l

,`FX)m0 TH9sa2s7 cgMlc(JZo0Uj/W:)Fb]fV8SoP'uBH rWd80hAHX&SRZb%5H*Ch'1Ca*p(DH$=O^@8bd0.Q"l`T-4?F4gcRLqNDSsT__bh )*^J[J!4=at4OHO")GlZs)rotn!^]`]`k"E4/l W#"SCjS[P6?S Ysa6p$?[LdIg Ho2eCbm +2e'H`o%% q-5a4>sYaFg)*]l0j&N*jD&p BZd7'P7jW=u !%&!cmD *[email protected] AdBQNF6SH*tpbFp2$%NNeD3.2: Direkte Beweise,[nobr][H1toH2]Q9agmAC/e4 s#7,) t+4QL`N[Tb+X8T/)S0JUZAl(:sOuX_$?uGi?jEfrUMfgnp1`

4UWGN^0W%:]WQu#"fhDDRVJLu674ZjZ18/AEKKN: B]9E5u,)cML,aiI#L.PC9H"+m94&W0'AJX,3i)Ss%rPDPuPb O-Ic$G>5W05W0obs$3 Bf3 >2Nmuk>99']3TP[H-ZF90D-9CHu!W>lE&aPs>]OdHC36X&XCB*aY0.b1Q `[email protected][h/HtO!T?hB!6qteA#]4MHOIS52 &

> endstream endobj 54 0 obj > endobj 55 0 obj > endobj 56 0 obj > endobj 57 0 obj > stream ,p?)`/O P0ea_*/hm,su][email protected] [email protected]++Co&)BkM


Prob. 3, Sek. 3.2 in Kreyszigs Funktionalanalysis: Wie kann man die Vollständigkeit dieses Teilraums direkt beweisen?

Hier ist Prob. 2 Sek. 3.2, im Buch Einführung in die Funktionsanalyse mit Anwendungen von Erwine Kreyszig:

Sei $X$ der innere Produktraum bestehend aus dem Nullpolynom und allen reellen Polynomen in $t$ , vom Grad nicht größer als $2$ , betrachtet für reelle $t in [a, b]$ , mit dem inneren Produkt definiert durch $ langle x, y angle colon= int_a^bx(t) y(t) mathrm t qquad für alle x, y in X.$ Zeigen Sie, dass $X$ vollständig ist.

Wenn $xin X$ , dann ist $x$ eine reellwertige Funktion mit Definitionsbereich $[a, b]$, definiert durch eine Formel der Form $ x(t) = alpha + eta t + gamma t ^2 qquad forall t in [a, b],$ für einige reelle Zahlen $alpha$ , $eta$ und $gamma$ .

Sei $left( x_n ight)_>$ sei eine Cauchy-Folge im inneren Produktraum $X$ . Dann gibt es für jede reelle Zahl $varepsilon > 0$ eine natürliche Zahl $N$ mit $ d left( x_m, x_n ight) < varepsilon qquad mbox < für alle >m, n > N $ Hier ist $d$ die Metrik, die durch das innere Produkt auf $X$ induziert wird, also $ d(x, y) = sqrt < int_a^b left( x(t) - y(t) ight )^2 mathrmt > qquad für alle x, y in X.$

Für jedes $n in mathbb$ , als $x_n in X$ , also $x_n colon [a, b] ightarrow mathbb$ ist eine Funktion definiert durch eine Formel der Form $ x_n(t) colon= alpha_n + eta_n t + gamma_n t^n qquad forall t in [a, b], $ für einige reelle Zahlen $ alpha_n$ , $eta_n$ und $gamma_n$ .

Auf diese Weise erhalten wir Folgen $left( alpha_n ight)_>$, $left(eta_n ight)_>$ und $left(gamma_n ight)_>$ reelle Zahlen. Wir zeigen, dass jede dieser Folgen Cauchy ist.

Für jedes $m gilt n in mathbb$ , sehen wir, dass egin & d left( x_m, x_n ight) &= sqrt < int_a^b left[ x_m(t) - x_n(t) ight]^2 mathrmt > &= sqrt < int_a^b left[ left( alpha_m - alpha_n ight) + left( eta_m - eta_n ight) t + left( gamma_m - gamma_n rechts) t^2 ight]^2 mathrmt > &= sqrt < int_a^b left[ left( alpha_m - alpha_n ight)^2 + 2 left( alpha_m - alpha_n ight) left( eta_m - eta_n ight) t + left( 2 left( alpha_m - alpha_n ight) left( gamma_m - gamma_n ight) + left( eta_m - eta_n ight)^2 ight) t^ 2 + 2 left( eta_m - eta_n ight) left( gamma_m - gamma_n ight) t^3 + left( gamma_m - gamma_n ight)^2 t^4 ight] mathrmt > &= sqrt< left( alpha_m - alpha_n ight)^2 (ba) + left( alpha_m - alpha_n ight) left( eta_m - eta_n ight) left ( b^2 - a^2 ight) + frac<1> <3>left( 2 left( alpha_m - alpha_n ight) left( gamma_m - gamma_n ight) + left( eta_m - eta_n ight)^2 ight) left( b^3 - a^3 ight) + frac<1> <2>left( eta_m - eta_n ight) left( gamma_m - gamma_n ight) left( b^4 - a^4 ight) + frac<1> <5>left( gamma_m - gamma_n ight)^2 left( b^5 - a ^5 echts) >. Ende

Ist diese Berechnung richtig? Wenn ja, was dann? Wie geht man von diesem Punkt aus weiter?

Ich weiß, dass jeder endlichdimensionale normierte Raum ein Banach-Raum ist, aber ich möchte a Direkte Beweis für die Vollständigkeit dieses speziellen Raumes.


Inhalt

Platons Parmenides könnte 370 v. Chr. ein frühes Beispiel für einen impliziten induktiven Beweis enthalten haben. [6] Eine entgegengesetzte iterierte Technik, das Zählen Nieder anstatt nach oben, findet sich im Sorites-Paradoxon, wo argumentiert wurde, dass, wenn 1.000.000 Sandkörner einen Haufen bilden und das Entfernen eines Korns von einem Haufen einen Haufen zurücklässt, dann ein einzelnes Sandkorn (oder sogar keine Körner) entsteht ein Haufen. [7]

In Indien erscheinen frühe implizite Beweise durch mathematische Induktion in Bhaskaras "zyklischer Methode" [8] und in der al-Fakhri geschrieben von al-Karaji um 1000 n. Chr., der es auf arithmetische Folgen anwandte, um den binomialen Satz und die Eigenschaften des Pascalschen Dreiecks zu beweisen. [9] [10]

Keiner dieser antiken Mathematiker hat jedoch ausdrücklich die Induktionshypothese aufgestellt. Ein anderer ähnlicher Fall (im Gegensatz zu dem, was Vacca geschrieben hat, wie Freudenthal sorgfältig zeigte) [11] war der von Francesco Maurolico in seinem Arithmeticorum libri Duo (1575), der mit dieser Technik bewies, dass die Summe der ersten n ungerade ganze Zahlen ist n 2 .

Die früheste rigorose Anwendung der Induktion stammt von Gersonides (1288–1344). [12] [13] Die erste explizite Formulierung des Induktionsprinzips wurde von Pascal in seinem Traité du Triangle Arithmetik (1665). Ein anderer Franzose, Fermat, machte von einem verwandten Prinzip ausgiebig Gebrauch: der indirekte Beweis durch unendliche Abstammung.

Die Induktionshypothese wurde auch vom Schweizer Jakob Bernoulli verwendet und wurde fortan bekannt. Die moderne formale Behandlung des Prinzips kam erst im 19. Jahrhundert mit George Boole, [14] Augustus de Morgan, Charles Sanders Peirce, [15] [16] Giuseppe Peano und Richard Dedekind. [8]

Die einfachste und gebräuchlichste Form der mathematischen Induktion besagt, dass eine Aussage mit einer natürlichen Zahl n (d. h. einer ganzen Zahl n ≥ 0 oder 1) gilt für alle Werte von n . Der Beweis besteht aus zwei Schritten:

  1. Das Initial oder Basisfall: Beweisen Sie, dass die Aussage für 0 oder 1 gilt.
  2. Das Induktionsschritt, induktiver Schritt, oder Schritt Fall: Beweisen Sie, dass für jedes n, wenn die Aussage für n gilt, dann gilt sie für n + 1 . Mit anderen Worten, nehmen Sie an, dass die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n gilt, und beweisen Sie, dass die Aussage für gilt n + 1 .

Die Hypothese im Induktionsschritt, dass die Aussage für ein bestimmtes n gilt, heißt Induktionshypothese oder induktive Hypothese. Um den Induktionsschritt zu beweisen, nimmt man die Induktionshypothese für n an und verwendet dann diese Annahme, um zu beweisen, dass die Aussage für . gilt n + 1 .

Autoren, die es vorziehen, natürliche Zahlen so zu definieren, dass sie bei 0 beginnen, verwenden diesen Wert im Basisfall, diejenigen, die natürliche Zahlen so definieren, dass sie bei 1 beginnen, verwenden diesen Wert.

Summe aufeinanderfolgender natürlicher Zahlen Bearbeiten

Mit mathematischer Induktion lässt sich die folgende Aussage beweisen P(n) für alle natürlichen Zahlen n.

Dies stellt eine allgemeine Formel für die Summe der natürlichen Zahlen kleiner oder gleich einer gegebenen Zahl dar, tatsächlich eine unendliche Folge von Aussagen: 0 = ( 0 ) ( 0 + 1 ) 2 <2>>> , 0 + 1 = ( 1 ) ( 1 + 1 ) 2 <2>> > , 0 + 1 + 2 = ( 2 ) ( 2 + 1 ) 2 <2>>> usw.

Basisfall: Zeigen Sie, dass die Aussage für die kleinste natürliche Zahl gilt n = 0.

Induktiver Schritt: Zeige das für jeden k ≥ 0, wenn P(k) gilt, dann P(k+1) gilt auch.

Nehmen Sie die Induktionshypothese an, dass für ein bestimmtes k, der Einzelfall n = k hält, Bedeutung P(k) ist wahr:

Algebraisch vereinfacht sich die rechte Seite wie folgt:

Wenn wir die äußerste linke und rechte Seite gleichsetzen, leiten wir Folgendes ab:

Das heißt, die Aussage P(k+1) gilt ebenfalls und begründet den induktiven Schritt.

Abschluss: Da sowohl der Basisfall als auch der Induktionsschritt als wahr bewiesen sind, ergibt sich durch mathematische Induktion die Aussage P(n) gilt für jede natürliche Zahl n. ∎

Eine trigonometrische Ungleichung Bearbeiten

Die Ungleichung zwischen den extremen linken und rechten Größen zeigt, dass P ( k + 1 ) 1)> wahr ist, was den induktiven Schritt vervollständigt.

In der Praxis sind Induktionsbeweise oft unterschiedlich aufgebaut, je nach der genauen Beschaffenheit der zu beweisenden Eigenschaft. Alle Varianten der Induktion sind Spezialfälle der transfiniten Induktion siehe unten.

Induktionsbasis anders als 0 oder 1 Bearbeiten

Will man eine Aussage nicht für alle natürlichen Zahlen, sondern nur für alle Zahlen n größer oder gleich einer bestimmten Zahl b beweisen, so besteht der Induktionsbeweis wie folgt:

  1. Zeigen, dass die Aussage gilt, wenn n = B .
  2. Zeigen, dass wenn die Aussage für eine beliebige Zahl gilt holds nB , dann gilt die gleiche Aussage auch für n + 1 .

Dies kann zum Beispiel verwendet werden, um zu zeigen, dass 2 nn + 5 für n ≥ 3 .

Auf diese Weise kann man beweisen, dass eine Aussage P(n) gilt für alle n ≥ 1 oder sogar für alle n −5 . Diese Form der mathematischen Induktion ist eigentlich ein Sonderfall der vorherigen Form, denn wenn die zu beweisende Aussage P(n) dann ist der Beweis mit diesen beiden Regeln gleichbedeutend mit dem Beweisen P(n + B) für alle natürlichen Zahlen n mit Induktionsbasisfall 0 . [17]

Beispiel: Bildung von Dollarbeträgen durch Münzen Bearbeiten

Gehen Sie von einem unendlichen Vorrat an 4- und 5-Dollar-Münzen aus. Induktion kann verwendet werden, um zu beweisen, dass jeder ganze Dollarbetrag größer oder gleich 12 durch eine Kombination solcher Münzen gebildet werden kann. Lassen S(k) bezeichne die Aussage " k Dollar können aus einer Kombination von 4- und 5-Dollar-Münzen gebildet werden". Der Beweis, dass S(k) gilt für alle k ≥ 12 kann dann durch Induktion über k wie folgt erreicht werden:

Basisfall: Zeigt das S(k) gilt für k = 12 ist einfach: Nimm drei 4-Dollar-Münzen.

Induktionsschritt: Angesichts dessen S(k) gilt für einen Wert von k ≥ 12 (Induktionshypothese), Beweise das S(k + 1) gilt auch:

Übernehmen S(k) gilt für einige willkürliche k 12. Wenn es eine Lösung für k Dollar gibt, die mindestens eine 4-Dollar-Münze enthält, ersetzen Sie sie durch eine 5-Dollar-Münze, um sie herzustellen k + 1 Dollar. Andernfalls, wenn nur 5-Dollar-Münzen verwendet werden, muss k ein Vielfaches von 5 sein, also mindestens 15, aber dann können wir drei 5-Dollar-Münzen durch vier 4-Dollar-Münzen ersetzen, um zu machen k + 1 Dollar. In jedem Fall, S(k + 1) stimmt.

Daher gilt nach dem Induktionsprinzip S(k) gilt für alle k ≥ 12 , und der Beweis ist abgeschlossen.

Induktion auf mehr als einem Zähler Bearbeiten

Manchmal ist es wünschenswert, eine Aussage mit zwei natürlichen Zahlen zu beweisen, n und m, durch Iteration des Induktionsprozesses. Das heißt, man beweist einen Basisfall und einen Induktionsschritt für n, und beweist in jedem von ihnen einen Basisfall und einen Induktionsschritt für m. Siehe zum Beispiel den begleitenden Beweis der Kommutativität Addition natürlicher Zahlen. Auch kompliziertere Argumente mit drei oder mehr Zählern sind möglich.

Unendliche Abfahrt Bearbeiten

Die Methode des unendlichen Abstiegs ist eine Variation der mathematischen Induktion, die von Pierre de Fermat verwendet wurde. Es wird verwendet, um zu zeigen, dass eine Aussage Q(n) ist für alle natürlichen Zahlen falsch n. Seine traditionelle Form besteht darin zu zeigen, dass wenn Q(n) gilt für eine natürliche Zahl n, es gilt auch für eine streng kleinere natürliche Zahl m. Da es keine unendlichen abnehmenden Folgen natürlicher Zahlen gibt, wäre diese Situation unmöglich, was (durch Widerspruch) zeigen würde, dass Q(n) kann für keine wahr sein n.

Die Gültigkeit dieser Methode kann anhand des üblichen Prinzips der mathematischen Induktion überprüft werden. Mit mathematischer Induktion auf die Aussage P(n) definiert als "Q(m) ist für alle natürlichen Zahlen falsch m weniger als oder gleich n", es folgt dem P(n) gilt für alle n, was bedeutet, dass Q(n) ist für jede natürliche Zahl falsch n.

Präfixinduktion Bearbeiten

Die gebräuchlichste Beweisform durch mathematische Induktion erfordert den Beweis im Induktionsschritt, dass

worauf das Induktionsprinzip "automatisiert" n Anwendungen dieses Schrittes, um von P(0) bis P(n). Dies könnte als "Vorgängerinduktion" bezeichnet werden, da jeder Schritt etwas über eine Zahl aus etwas über den Vorgänger dieser Zahl beweist.

Eine interessante Variante der rechnerischen Komplexität ist die "Präfix-Induktion", bei der man im Induktionsschritt folgende Aussage beweist:

k ( P ( k ) → P ( 2 k ) ∧ P ( 2 k + 1 ) )

Das Induktionsprinzip "automatisiert" dann log n Anwendungen dieser Schlussfolgerung beim Erhalten von P(0) bis P(n). Tatsächlich wird es "Präfix-Induktion" genannt, weil jeder Schritt etwas über eine Zahl aus etwas über das "Präfix" dieser Zahl beweist - wie es durch Abschneiden des unteren Bits seiner binären Darstellung gebildet wird. Es kann auch als eine Anwendung der traditionellen Induktion auf die Länge dieser binären Darstellung angesehen werden.

Wenn die traditionelle Vorgängerinduktion rechnerisch interpretiert wird als ein n-Schrittschleife, dann würde die Präfixinduktion einem Log entsprechen-n-Schrittschleife. Aus diesem Grund sind Beweise mit Präfixinduktion "praktikabler konstruktiver" als Beweise mit Vorgängerinduktion.

Die Vorgängerinduktion kann trivialerweise die Präfixinduktion auf derselben Aussage simulieren. Die Präfixinduktion kann eine Vorgängerinduktion simulieren, aber nur um den Preis, dass die Aussage syntaktisch komplexer wird (Hinzufügen eines beschränkten universellen Quantors). von beschränkten universellen und existentiellen Quantoren, die in der Aussage erlaubt sind. [18]

Man kann die Idee noch einen Schritt weiterführen: man muss beweisen

woraufhin das Induktionsprinzip das Logbuch "automatisiert" n Anwendungen dieser Schlussfolgerung beim Erhalten von P(0) bis P(n). Diese Form der Induktion wurde analog dazu verwendet, um logarithmische parallele Berechnungen zu untersuchen. [ Zitat benötigt ]

Vollständige (starke) Induktion Bearbeiten

Beispiel: Fibonacci-Zahlen Bearbeiten

Vollständige Induktion ist am nützlichsten, wenn für jeden Induktionsschritt mehrere Instanzen der Induktionshypothese erforderlich sind. Zum Beispiel kann man mit vollständiger Induktion zeigen, dass

Beispiel: Primfaktorzerlegung Bearbeiten

Beispiel: Dollarbeträge erneut aufgerufen Bearbeiten re

Wir werden versuchen, das gleiche Beispiel wie oben zu beweisen, diesmal mit starke Induktion. Die Aussage bleibt dieselbe:

Es wird jedoch leichte Unterschiede in der Struktur und den Annahmen des Beweises geben, beginnend mit dem erweiterten Basisfall:

Induktiver Schritt: Beweisen Sie, dass S ( j ) gilt.

Vorwärts-Rückwärts-Induktion Bearbeiten

Der induktive Schritt muss für alle Werte von bewiesen werden n. Um dies zu veranschaulichen, schlug Joel E. Cohen das folgende Argument vor, das vorgibt, durch mathematische Induktion zu beweisen, dass alle Pferde die gleiche Farbe haben: [21]

  • Basisfall: Nur im Set set eins Pferd, es gibt nur eine Farbe.
  • Induktionsschritt: Nehmen Sie als Induktionshypothese an, dass es in jeder Menge von n Pferden nur eine Farbe gibt. Betrachten Sie nun eine beliebige Menge von n + 1 Pferden. Nummeriere sie: 1 , 2 , 3 , … , n , n + 1 . Betrachten Sie die Mengen < 1 , 2 , 3 , … , n >< extstyle left<1,2,3,dotsc , ight>> und < 2 , 3 , 4 , … , n + 1 >< extstyle left<2,3,4,dotsc , +1 ight>> . Jedes ist eine Menge von nur n Pferden, daher gibt es in jedem nur eine Farbe. Aber die beiden Mengen überschneiden sich, daher darf es unter allen n + 1 Pferden nur eine Farbe geben.

In Logik zweiter Ordnung, kann man das "Induktionsaxiom" wie folgt aufschreiben:

wo P(.) ist eine Variable für Prädikate mit einer natürlichen Zahl und k und n sind Variablen für natürliche Zahlen.

In Worten, der Basisfall P(0) und der Induktionsschritt (nämlich dass die Induktionshypothese P(k) impliziert P(k + 1) ) zusammen bedeuten, dass P(n) für jede natürliche Zahl n . Das Axiom der Induktion behauptet die Gültigkeit der Folgerung, dass P(n) gilt für jede natürliche Zahl n aus dem Basisfall und dem Induktionsschritt.

Der erste Quantor im Axiom reicht über Prädikate statt über einzelne Zahlen. Dies ist ein Quantor zweiter Ordnung, was bedeutet, dass dieses Axiom in der Logik zweiter Ordnung angegeben wird. Die Axiomatisierung der arithmetischen Induktion in der Logik erster Ordnung erfordert ein Axiomenschema, das für jedes mögliche Prädikat ein eigenes Axiom enthält. Der Artikel Peano-Axiome enthält weitere Diskussionen zu diesem Thema.

Das Axiom der strukturellen Induktion für die natürlichen Zahlen wurde zuerst von Peano formuliert, der es verwendet, um die natürlichen Zahlen zusammen mit den folgenden vier anderen Axiomen zu spezifizieren:

  1. 0 ist eine natürliche Zahl.
  2. Die Nachfolgerfunktion s jeder natürlichen Zahl liefert eine natürliche Zahl (S(x) = x + 1) .
  3. Die Nachfolgerfunktion ist injektiv.
  4. 0 liegt nicht im Bereich von s .

In ZFC-Mengentheorie erster Ordnung, Quantifizierung über Prädikate ist nicht erlaubt, aber man kann die Induktion immer noch durch Quantifizierung über Mengen ausdrücken:

A kann als eine Menge gelesen werden, die einen Satz repräsentiert und natürliche Zahlen enthält, für die der Satz gilt. Dies ist kein Axiom, sondern ein Theorem, da natürliche Zahlen in der Sprache der ZFC-Mengentheorie durch Axiome definiert werden, analog zu Peanos.

Das Prinzip der vollständigen Induktion gilt nicht nur für Aussagen über natürliche Zahlen, sondern für Aussagen über Elemente jeder wohlbegründeten Menge, also einer Menge mit einer irreflexiven Relation <, die keine unendlichen absteigenden Ketten enthält. Jede Menge von Kardinalzahlen ist begründet, zu der auch die Menge der natürlichen Zahlen gehört.

Auf ein fundiertes Set angewendet, lässt es sich in einem einzigen Schritt formulieren:

  1. Zeigen Sie, dass, wenn eine Aussage für alle gilt m < n , dann gilt die gleiche Aussage auch für n.

Diese Form der Induktion, angewendet auf eine Menge von Ordinalzahlen (die eine wohlgeordnete und damit begründete Klasse bilden), heißt transfinite Induktion. Es ist eine wichtige Beweistechnik in der Mengenlehre, Topologie und anderen Gebieten.

Beweise durch transfinite Induktion unterscheiden typischerweise drei Fälle:

  1. Wenn n ist ein minimales Element, d.h. es gibt kein Element kleiner als n
  2. Wenn n hat einen direkten Vorgänger, d. h. die Menge der Elemente, die kleiner als sind n hat ein größtes Element
  3. Wenn n hat keinen direkten Vorgänger, d.h. n ist eine sogenannte Grenzordinalzahl.

Streng genommen ist es bei der transfiniten Induktion nicht notwendig, einen Basisfall zu beweisen, da es sich um einen leeren Spezialfall des Satzes handelt, dass wenn P gilt für alle n < m , dann P trifft zu m. Es ist vage wahr, gerade weil es keine Werte von gibt n < m das könnte als Gegenbeispiel dienen. Die Spezialfälle sind also Spezialfälle des allgemeinen Falles.

Das Prinzip der mathematischen Induktion wird normalerweise als Axiom der natürlichen Zahlen angegeben, siehe Peano-Axiome. Es ist strikt stärker als das Wohlordnungsprinzip im Kontext der anderen Peano-Axiome. Angenommen, Folgendes:

  • Das Trichotomie-Axiom: Für beliebige natürliche Zahlen n und m, n ist kleiner oder gleich m dann und nur dann, wenn m ist nicht weniger als n.
  • Für jede natürliche Zahl n, n + 1 ist größer als n .
  • Für jede natürliche Zahl n, keine natürliche Zahl steht dazwischen n und n + 1 .
  • Keine natürliche Zahl ist kleiner als Null.

Es kann dann bewiesen werden, dass die Induktion mit den oben aufgeführten Axiomen das Wohlordnungsprinzip impliziert. Der folgende Beweis verwendet vollständige Induktion und das erste und vierte Axiom.

Nachweisen. Angenommen, es existiert eine nicht-leere Menge, S, von natürlichen Zahlen, die kein kleinstes Element haben. Lassen P(n) sei die Behauptung, dass n ist nicht dabei S. Dann P(0) ist wahr, denn wenn es falsch wäre, dann ist 0 das kleinste Element von S. Lassen Sie außerdem n sei eine natürliche Zahl und nehme an P(m) gilt für alle natürlichen Zahlen m weniger als n + 1 . Dann wenn P(n + 1) ist falsch n + 1 ist in S, also ein minimales Element in S, ein Widerspruch. Daher P(n + 1) stimmt. Daher gilt nach dem vollständigen Induktionsprinzip P(n) gilt für alle natürlichen Zahlen n so S ist leer, ein Widerspruch. Q.E.D.

Andererseits ist die Menge <(0, n): n ℕ> ∪ <(1, n): n ∈ ℕ> , im Bild gezeigt, ist wohlgeordnet [22] : 35lf nach der lexikographischen Ordnung. Darüber hinaus erfüllt es mit Ausnahme des Induktionsaxioms alle Peano-Axiome, wobei Peanos Konstante 0 als das Paar (0,0) interpretiert wird und Peanos Nachfolger Funktion ist auf Paaren definiert durch erfolgreich(x, n) = (x, n + 1) für alle x∈ <0,1>und n. Als Beispiel für die Verletzung des Induktionsaxioms definieren Sie das Prädikat P(x, n) wie (x, n) = (0, 0) oder (x, n) = (erfolgreich(ja, m)) für einige ja∈ <0,1>und m. Dann der Basisfall P(0,0) ist trivialerweise wahr, ebenso der Stufenfall: if P(x, n) , dann P(erfolgreich(x, n)). Jedoch, P ist nicht für alle Paare in der Menge wahr.

Peanos Axiome mit dem Induktionsprinzip modellieren die natürlichen Zahlen eindeutig. Das Ersetzen des Induktionsprinzips durch das Wohlordnungsprinzip ermöglicht exotischere Modelle, die alle Axiome erfüllen. [22]

In mehreren Büchern [22] und Quellen wird fälschlicherweise abgedruckt, dass das Wohlordnungsprinzip äquivalent zum Induktionsaxiom ist. In the context of the other Peano axioms, this is not the case, but in the context of other axioms, they are equivalent [22] specifically, the well-ordering principle implies the induction axiom in the context of the first two above listed axioms and

The common mistake in many erroneous proofs is to assume that n − 1 is a unique and well-defined natural number, a property which is not implied by the other Peano axioms. [22]


Merkmale

  • Proof Strategies encourage students to plan what is needed to present a proof of the result in question.
  • Proof Analysis segments appear after presentations of proofs and discuss key details considered for the creation of each proof.
  • Chapter 0, Communicating Mathematics provides a valuable reference for students as the course progresses. This chapter prepares students to write effective and clear exposition by emphasizing the correct usage of mathematical symbols, mathematical expressions, and key mathematical terminology.
  • Early introduction of Sets (Chapter 1) prepares students for the coverage of logic that follows.
  • Early introduction of Logic (Chapter 2) presents the needed prerequisites to get into proofs as quickly as possible. Much of the chapter’s emphasis is on statements, implications, and an introduction to qualified statements.
  • Proof by Contradiction receives an entire chapter, with sections covering counterexamples, existence proofs, and uniqueness.
  • A wide variety of exercises is provided in the text.
    • Difficulty ranges from routine to medium to moderately challenging
    • True/False exercises present statements and ask students to determine whether they are correct, asking for justification as part of the process.
    • Proposed proofs of statements ask students if an argument is valid.
    • Proofs without a statement ask students to supply a statement of what has been proved.
    • Finally, there are exercises that call upon students to ask questions of their own and to provide answers.

    New to This Edition

    • New Exercises: More than 250 exercises have been added, including many challenging exercises at the end of exercise sets. New exercises include some dealing with making conjectures to give students practice with this important aspect of advanced mathematics.
    • New and Revised Examples: Examples have been added and heavily revised with new proofs, adding support for the material to give students better understanding and helping them to solve new exercises.
    • Additional sections: Chapter 13 has been expanded to include coverage of cosets and Lagrange’s theorem. The important topic of quantified statements is now introduced in Section 2.10 and reviewed in Section 7.2 in reinforce the student’s understanding.

    Okay, so a proof by contraposition, which is sometimes called a proof by contrapositive, flips the script. Instead of assuming the hypothesis to be true and the proving that the conclusion is also true, we instead, assumes that the conclusion to be false and prove that the hypothesis is also false.

    Remember, we know from our study of equivalence that the conditional statement of “if p then q” has the same truth value of “if not q then not p.” Therefore, a proof by contraposition says, let’s assume “not q” is true and let’s prove “not p.” And consequently, if we can show “not q then not p” to be true, then the statement “if p then q” must be true also as noted by the State University of New York.

    Beispiel 1

    Contraposition Inequality Proof

    Now I want to draw your attention to the critical word “or” in the claim above. Here’s a BIG hint…

    …whenever you are given an “or” statement, you will always use proof by contraposition.

    Because trying to prove an “or” statement is extremely tricky, therefore, when we use contraposition, we negate the “or” statement and apply De Morgan’s law, which turns the “or” into an “and” which made our proof-job easier!

    Beispiel #2

    Let’s look at another problem.

    Contrapositive Proof — Even and Odd Integers

    Notice that by using contraposition, we could use one of our basic definitions, namely the definition of even integers, to help us prove our claim, which, once again, made our job so much easier.


    Explosion-proof solenoid valves

    . In Type, Terminal Box As Per Is 13947 Explosion-Nachweisen With Junction Box As Per Is 2148 Group I, Iia, Iib And Iic Explosion-Nachweisen With Junction Box As Per Atex, Inmetro, .

    Temperature: -20 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 400 bar

    . Connection: 1/2" | 1/4" MOC: SS316 Solenoid: Weather Nachweisen | Explosion Nachweisen Media:Air | Free Flowing Liquid | Fuel | Inert Gas | LPG | Oil | Vaccum | Water Application: .

    Temperature: -30 °C - 75 °C
    Pressure: 0 bar - 150 bar

    . Aluminium | Brass | SS 316 Solenoid: Weather Nachweisen | Explosion Nachweisen | Intrinsically Safe Media:Air | Fuel | Intert gas | Liquid | LPG | Oil | Vacuum .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 10 bar
    DN: 3 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9500300000000000 •Working from 0 bar upwards •Short switching times •Suited for fine vacuum 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. solenoid .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 10 bar
    DN: 2 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600210000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Temperature: -25 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 14 bar
    DN: 3 mm

    Direct solenoid actuated poppet valves ITEM: 9600340000000000 •Working from 0 bar up •Short switching times •Suited for fine vacuum down to 1,33·10-3 mbar •Assembled oil and grease-free •For a.c. .

    Temperature: -10 °C - 160 °C
    Pressure: 0 bar - 16 bar
    DN: 0.125 in - 2 in

    . S73 is a series of coil explosion proof solenoid valves . Operation direct acting or pilot operated depends on the model .All solenoid valve .

    Temperature: -40 °C - 60 °C
    Voltage: 24 V - 220 V

    QLight QEB solenoid valve box is explosion proof. It has aluminium housing and cover, which ensures high resistance to corrosion and a long service life. The box is waterproof. .

    Temperature: -25 °C - 50 °C
    Pressure: 1.5 bar - 10 bar
    DN: 8 mm

    Series of valves with NAMUR interface in stainless steel AISI 316L, especially suitable for food, chemical, pharmaceutical, OIL&GAS and mining industry. Conforming to 2014/34/EU Directive, certified II 2Gc IIB T5 / II .

    Temperature: 80 °C
    Pressure: 16 bar
    DN: 65 mm - 300 mm

    . DN300 Material body in aluminum, brass, galvanized steel Temperature up to 80°C Degree of protection IP65 Atex Ex II 3G - II 3D These solenoid valvesare constructed to ensure the gas interception .

    Temperature: -20 °C - 50 °C
    Pressure: 2 bar - 10 bar
    DN: 7 mm

    Our In-Line solenoid valves are suitable for the central installation in a control box or assembly on linear actuators, lift drives or gate valves. Suitable for: Zone 2, Zone 22 II .

    Temperature: -40 °C - 180 °C
    Pressure: 0 bar - 40 bar
    DN: 6, 12 mm

    . combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X. Servo-assisted and compact piston valve .

    Pressure: 10.3 bar
    DN: 0.75, 1 in
    Voltage: 24, 48, 115 V

    . to 150 PSIG Operating EnvironmentHazardous Features Valves can be mounted in any position Explosion proof operators, intended for use in potentially explosive areas, according to .

    Temperature: -30 °C - 180 °C
    DN: 0.375 in - 1 in
    Voltage: 24 V - 230 V

    . anti-corrosive 221G Solenoid Valves is the most resistant solution for fluid control in even the harshest environments. The 221G stainless steel valves offer unrivalled resistance .

    Products conforming to the International Guidelines for Explosion-proofing (IEC standards). Compatible with explosion-proof structure Exd2BT4.

    Temperature: -50 °C - 100 °C
    DN: 15 mm - 100 mm
    Voltage: 220, 24 V

    . Additional valve trim status sensor Designed for solenoid valve disc status determination (open/close). Valve status sensor circuit s housed within explosion-proof .

    Temperature: -15 °C - 50 °C

    3009M Ex m 94/9/CE ATEX AMISCO has completed the EVI7 S9 solenoid system with a special coil for pneumatic applications in potentially explosive ambient (group II), that fullfills the requirements .

    Temperature: -10 °C - 50 °C
    Pressure: 0 bar - 8 bar
    DN: 0.6 mm

    3/2 NC Manifold mounting >Compact design >In excess of 100 millions cycle rate Low power consumption >Certification: ATEX,IECEx

    Beschreibung Solenoid valve, explosion-proof solenoid valve

    Stainless Steel Explosion-Nachweisen Solenoid Valve Body Material: Stainless Steel Coil: Explosion-proof coil Fluid temperature: -10 .

    Temperature: -60 °C - 80 °C
    Pressure: 0 bar - 40 bar
    DN: 15 mm - 50 mm

    Description 2/2-Way solenoid valve, piston design Impulse without differential pressure Body Stainless Steel

    Temperature: -20 °C - 80 °C
    Pressure: 40 bar
    DN: 2.5 mm - 5.5 mm

    . 1/8, G 1/4, 1/4 NPT Type: Explosion Nachweisen Solenoid Valves ATEX Flow Kv (l/min): 3,2, 4, 5, 9 Applications: Air, Chemical, Industrial automation, Medical, .


    Valve 6014 is a direct-acting plunger valve. The stopper and plunger guide tube are welded together to enhance pressure resistance and leak-tightness. Various seal material combinations are available depending on the application. A Bürkert-specific flange design (SFB) enables space-saving arrangement of valves on a manifold. The coils are moulded with polyamide or with chemically resistant epoxy. Pulse coils are available for the reduction of electrical power consumption during operation. Optional manual actuation enables quick commissioning and easy maintenance. In combination with a plug in accordance with DIN EN 175301-803 Form A, the valves satisfy protection class IP65. Stainless steel valves satisfy NEMA 4X.

    • Direct-acting, compact valve with diameter of up to DN 2.5
    • Vibration-proof, bolted coil system
    • Banjo threaded connection for direct mounting on pneumatic valves
    • Service-friendly manual override
    • Energy-saving pulse versions

    For selecting the correct product please refer to the technical data, images and notes for proper use according to the data sheet.


    Proof by Induction

    Proof by induction is a more advanced method of proving things, and to be honest, something that took me a while to really grasp. This method is used to show that all elements in an infinite set have a certain property. For example, we may want to prove that 1 + 2 + 3 + … + n = n (n + 1)/2.

    In a proof by induction, we generally have 2 parts, a basisand the inductive step. The basis is the simplest version of the problem, In our case, the basis is,

    The next part of the proof is the inductive step. The inductive step is the part where to generalize your basis and take it a step further.

    Suppose our theorem is true for some n = k ≥ 1, that is:

    1 + 2 + 3 + . . . + k = k(k + 1)/2.

    Prove that our theorem is true for n = k + 1, meaning:

    1 + 2 + 3 + . . . + k + (k + 1) = (k + 1)(k + 2) 2 .

    This is the core of the inductive step. We take our theorem, generalize it and take it to the next step. We added in the (k + 1) on the left side of the equals sign and we changed the k on the right side of the equals sign to (k + 1)(k + 2). We finally finish off our proof with

    And with that, we’re done. We’ve followed a logical progression from the basis or the base case, to the inductive step, all the way through to the final part of the proof.


    Schau das Video: 2016 Ford Ranger Wildtrack 4X4 3,2 Aut (Januar 2022).