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8.1.1: Stichprobenräume und Wahrscheinlichkeit (Übungen)


ABSCHNITT 8.1 PROBLEMSATZ: MUSTERFELDER UND WAHRSCHEINLICHKEIT

Schreiben Sie in den Aufgaben 1 - 6 einen Beispielraum für das gegebene Experiment.

1) Ein Würfel wird gewürfelt.

2) Ein Penny und ein Nickel werden geworfen.

3) Ein Würfel wird gewürfelt und eine Münze wird geworfen.

4) Drei Münzen werden geworfen.

5) Es werden zwei Würfel geworfen.

6) Ein Glas enthält vier Murmeln mit den Nummern 1, 2, 3 und 4. Zwei Murmeln werden gezogen.

In den Aufgaben 7 - 12 wird eine Karte zufällig aus einem Stapel ausgewählt. Finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

7) P (ein Ass)

8) P (eine rote Karte)

9) P (ein Verein)

10) P (eine Bildkarte)

11) P (ein Wagenheber oder ein Spaten)

12) P (ein Wagenheber und ein Spaten)

Zu den Aufgaben 13 - 16: Ein Glas enthält 6 rote, 7 weiße und 7 blaue Murmeln. Wenn eine Murmel zufällig ausgewählt wird, finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

13) P(rot)

14) P(weiß)

15) P(rot oder blau)

16) P(rot und blau)

Zu den Problemen 17 - 22: Stellen Sie sich eine Familie mit drei Kindern vor. Finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

17) P (zwei Jungen und ein Mädchen)

18) P (mindestens ein Junge)

19) P (Kinder beiderlei Geschlechts)

20) P (höchstens ein Mädchen)

21) P(erstes und drittes Kind sind männlich)

22) P(alle Kinder haben das gleiche Geschlecht)

Zu den Aufgaben 23 - 27: Es werden zwei Würfel geworfen. Finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

23) P(die Summe der Würfel ist 5)

24) P(die Summe der Würfel ist 8)

25) P(die Summe ist 3 oder 6)

26) P(die Summe ist mehr als 10)

27) P(das Ergebnis ist ein Double) (Hinweis: ein Double bedeutet, dass beide Würfel den gleichen Wert zeigen)

Zu den Aufgaben 28-31: Ein Glas enthält vier Murmeln mit den Nummern 1, 2, 3 und 4. Zwei Murmeln werden zufällig gezogen, OHNE ERSATZ. Das bedeutet, dass nach dem Ziehen einer Murmel diese NICHT in das Glas zurückgelegt wird, bevor die zweite Murmel ausgewählt wird. Finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

28) P(die Summe der Zahlen ist 5)

29) P(die Summe der Zahlen ist ungerade)

30) P(die Summe der Zahlen ist 9)

31) P(eine der Zahlen ist 3)

Zu den Aufgaben 32-33: Ein Glas enthält vier Murmeln mit den Nummern 1, 2, 3 und 4. Zwei Murmeln werden zufällig gezogen MIT ERSATZ. Das bedeutet, dass nachdem eine Murmel gezogen wurde, diese in das Glas zurückgelegt wird, bevor die zweite Murmel ausgewählt wird. Finden Sie die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

32) P(die Summe der Zahlen ist 5)

33) P(die Summe der Zahlen ist 2)


8.1.1: Stichprobenräume und Wahrscheinlichkeit (Übungen)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu werfen und eine Zahl größer als 4 zu bekommen?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Würfel zu werfen und die Summe der gefallenen Zahlen größer als 3 zu bekommen?

Wir wählen 7 von 32 Spielkarten aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter den ausgewählten Karten genau drei Herzen befinden?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, fünfmal hintereinander eine Münze zu werfen und den Kopf zu fallen?

Der Kunde möchte ein Brot und eine Dose kaufen. Im Laden gibt es 30 Stück Brot, davon 5 vom Vortag, und 20 Dosen mit unlesbarem Verfallsdatum, von denen eine abgelaufen ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde ein frisches Brot und eine Dose unter Garantie kauft?

Die abstrahierte Sekretärin legte drei Briefe nach dem Zufallsprinzip in drei Umschläge. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der Empfänger seinen Brief bekommt?

Im Shop sind 10 Töpfe ausgestellt, von denen 2 versteckte Mängel aufweisen. Der Kunde kauft zwei Stück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer von ihnen einen versteckten Fehler hat?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, sieben Mal hintereinander einen Würfel zu werfen und die Zahl 6 genau dreimal zu fallen?

Der Test enthält 10 Fragen mit jeweils vier verschiedenen Antworten, von denen nur eine richtig ist. Um den Test zu bestehen, müssen mindestens 5 Fragen richtig beantwortet werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein völlig unvorbereiteter Schüler den Test besteht?

Wir haben 100 Lose im Hut, die von 1 bis 100 nummeriert sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ziehen wir eine Zahl heraus, die durch zwei oder durch fünf teilbar ist?

In der Box befinden sich 49 Produkte, von denen nur 6 hochwertig sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 zufällige Produkte aus der Schachtel zu ziehen und mindestens vier davon von hoher Qualität zu haben?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, zwei Würfel zu werfen und die Summe der gefallenen Zahlen genau 9 zu erhalten?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, einen Würfel zu werfen und zu erhalten:
ein) die gerade Zahl
B) die durch drei teilbare Zahl
C) die Zahl weniger als sechs?

Im Labor stehen 60 Chemikalienflaschen, von denen 6 falsch beschriftet sind. Wie groß ist die Chance, dass, wenn wir zufällig 5 Flaschen auswählen, genau 3 davon richtig beschriftet werden?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wir, wenn wir eine Dreiheit aus 19 Jungen und 12 Mädchen auswählen, :
ein) drei Jungen
B) drei Mädchen
C) zwei Jungs und ein Mädchen?

Der Karton enthält 30 Produkte, von denen 3 fehlerhaft sind. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, 5 zufällige Produkte aus der Schachtel zu ziehen und darunter höchstens zwei die fehlerhaften zu haben.

Johnny hat eine zufällige natürliche Zahl von 1 bis 20 geschrieben. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er eine Primzahl geschrieben hat.

Suzie hat die Ziffern 0, 2, 3, 4, 5, 6, 7 zur Verfügung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass, wenn sie aus den gegebenen Ziffern eine zufällige dreistellige Zahl bildet, es die Zahl 445 ist?

Von 100 Paar Schuhen sind 5 Paar von schlechter Qualität. Der Auditor wählt zufällig vier Paar Schuhe aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines der ausgewählten Paare von schlechter Qualität ist?

Bei der Lotterie werden 5 Zahlen aus 35 gezogen. Bei 3 richtig erratenen Zahlen zahlt die Lotterie den dritten Preis aus. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, den dritten Preis zu gewinnen, wenn wir nur ein Los mit 5 erratenen Zahlen einreichen?

In der Mall stehen 100 Fernseher, davon 85 erster und 15 zweiter Qualität. Die ersten zehn Kunden erhielten das TV-Gerät erster Güte. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der elfte Kunde das Fernsehgerät zweiter Qualität kauft?

Wir haben 4 weiße und 3 blaue Kugeln in einer Schüssel. Aus Versehen ziehen wir zwei Kugeln heraus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass:
ein) beide herausgezogenen Kugeln sind weiß
B) ein Ball ist weiß und der andere blau?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, drei Würfel zu werfen und
ein) die Summe der gefallenen Zahlen genau 9 erhalten?
B) die Summe der gefallenen Zahlen genau 10 erhalten?
C) Erkläre, warum beim Werfen von drei Würfeln die Summe von 10 häufiger fällt als die Summe von 9.

Im Lager befinden sich 800 Komponenten, von denen 20 kaputt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 9 zufällig ausgewählten Komponenten nicht mehr als 3 davon kaputt gehen?

In der Klasse mit 30 Schülern haben sieben von ihnen die Hausaufgaben nicht gemacht. Der Lehrer wählte zufällig 6 Schüler aus. Wie groß ist die Chance, dass mindestens vier von ihnen ihre Hausaufgaben gemacht haben?

Vier Herren haben in der Umkleide vier identische Hüte abgesetzt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beim Verlassen mindestens einer von ihnen seinen eigenen Hut zurückbekommt?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dreimal hintereinander einen Würfel zu werfen und nach dem ersten Fall die gerade Zahl, nach dem zweiten Fall die Zahl größer als vier und nach dem letzten Fall die ungerade Zahl zu erhalten?

Drei Schützen schießen auf das gleiche Ziel, jeder schießt nur einmal. Der erste trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 70 % das Ziel, der zweite mit einer Wahrscheinlichkeit von 80 % und der dritte mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Schützen das Ziel treffen?
ein) wenigstens einmal
B) Mindestens zwei mal ?

Die Wahrscheinlichkeit, dass die Glühbirne länger als 800 Stunden arbeitet, beträgt 0,2. Wir haben drei Glühbirnen im Flur. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 800 Betriebsstunden noch mindestens einer davon funktioniert?

In der Lotterie werden 6 von 49 Zahlen gezogen. Wie hoch ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?
ein) der zweite Preis (wir haben 5 Zahlen richtig erraten)
B) der dritte Preis (wir haben 4 Zahlen richtig erraten)
wenn wir nur sechs Zahlen erraten würden?


Sample Space verstehen

Definition: Das Probenraum eines Experiments ist die Menge aller möglichen Ergebnisse dieses Experiments.

Experiment 1: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, wenn ein Cent geworfen wird?

Ergebnisse: Die Ergebnisse dieses Experiments sind Kopf und Schwanz.

Der Probenraum von Experiment 1 ist:

Experiment 2: Ein Spinner hat 4 gleiche Sektoren, die gelb, blau, grün und rot gefärbt sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nach dem Drehen dieses Spinners auf jeder Farbe zu landen?

P(gelb) = 1
4
P(blau) = 1
4
P(grün) = 1
4
P(rot) = 1
4

Experiment 3: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, wenn ein einzelner 6-seitiger Würfel geworfen wird?

P(1) = 1
6
P(2) = 1
6
P(3) = 1
6
P(4) = 1
6
P(5) = 1
6
P(6) = 1
6

Experiment 4: Ein Glas enthält 1 rote, 3 grüne, 2 blaue und 4 gelbe Murmeln. Wenn eine einzelne Murmel zufällig aus dem Glas ausgewählt wird, wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis?

P(rot) = 1
10
P(grün) = 3
10
P(blau) = 2 = 1
10 5
P(gelb) = 4 = 2
10 5

Zusammenfassung: Der Stichprobenraum eines Experiments ist die Menge aller möglichen Ergebnisse für dieses Experiment. Sie haben vielleicht bemerkt, dass für jedes der obigen Experimente die Summe der Wahrscheinlichkeiten jedes Ergebnisses 1 ist. Dies ist kein Zufall. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Ergebnisse innerhalb eines Stichprobenraums ist 1.

Der Beispielbereich für die zufällige Auswahl einer einzelnen Karte aus einem Stapel von 52 Spielkarten ist unten gezeigt. Es gibt 52 mögliche Ergebnisse in diesem Beispielraum.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis dieses Experiments ist:

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der unterschiedlichen Ergebnisse innerhalb dieses Stichprobenraums ist:

Übungen

Anleitung: Lesen Sie jede Frage unten. Wählen Sie Ihre Antwort aus, indem Sie auf die Schaltfläche klicken. Feedback zu Ihrer Antwort finden Sie im ERGEBNISFELD. Wenn Sie einen Fehler machen, wählen Sie eine andere Schaltfläche.


Beispielarbeitsblätter für Räume

Was sind statistische Stichprobenräume? In der Statistik definieren wir den Probenraum als die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Experiments. Die Anzahl der Ergebnisse oder Ergebnisse, die in einem Stichprobenraum vorhanden sind, hängt vom Zufallsexperiment ab. Falls ein Stichprobenraum eine endliche oder festgelegte Anzahl von Ergebnissen hat, wird dieser Stichprobenraum als endlich oder diskret bezeichnet. Im Stichprobenraum werden Ereignisse als Teilmenge aller wahrscheinlichen Ergebnisse definiert. Wir repräsentieren den Probenraum, indem wir ein Symbol 'S' verwenden. Wir schließen einen Stichprobenraum eines Zufallsexperiments mit einer geschweiften Klammer <> ein. Die meisten Leute verwechseln oft den Probenraum und die möglichen Ergebnisse, wenn wir den Probenraum eines gegebenen Experiments schreiben, wir schreiben <1, 2, 3, 4, 5, 6>. Wenn wir jedoch die möglichen Ergebnisse schreiben sollen, kann es als eine Menge von ungeraden Ergebnissen <1, 3, 5> oder geraden Ergebnissen <2, 4, 6> geschrieben werden. Die Ergebnisse können zufällig sein, aber der Probenraum ist die universelle Menge für ein bestimmtes Experiment. Betrachten wir ein Experiment des Münzwurfs, erhalten wir nur zwei mögliche Ergebnisse, nämlich Kopf und Zahl. Daher wird der Probenraum eines Münzwurfs geschrieben als: Probenraum (S) = oder . Das Set ist jedoch anders, wenn wir zwei Münzen werfen. Seien H1 und T1 die Ergebnisse der ersten Münze und H2 und T2 die Ergebnisse der zweiten Münze. Die möglichen Ergebnisse können geschrieben werden als: Sample Space (S) = <(H1, H2), (H1, T2), (T1, H2), (T1, T2)>.

Grundkurs

Führt das Konzept der Bestimmung der Anzahl von Elementen ein, die an einem Problem beteiligt sind. Wie viele Elemente enthält der Musterraum für das Werfen einer Münze? Listen Sie den Probenraum auf. Ein Stichprobenraum ist eine Menge aller möglichen Ergebnisse für eine Aktivität oder ein Experiment. Eine Münze hat nur zwei Möglichkeiten, entweder Kopf oder Zahl. Es wird also 2 Ergebnisse im Probenraum geben:

Mittelstufe

Diese Lektion konzentriert sich auf die Auflistung der Beispielbereiche. Man zieht eine Kugel aus einem Hut mit roten, grünen, blauen und weißen Kugeln. Listen Sie den Probenraum auf. Es gibt vier Möglichkeiten, einen Ball aus dem Hut auszuwählen. Es wird also 4 Ergebnisse im Probenraum geben:

Selbständige Praxis 1

Die Schüler üben mit 20 Sample Spaces-Problemen. Die Antworten finden Sie unten. Es gibt 3 Eingangstüren und 3 Treppen in einem Gebäude. Listen Sie den Beispielraum für die Verwendung einer Eingangstür und einer Treppe auf.

Selbständige Praxis 2

Weitere 20 Sample Spaces-Probleme. Die Antworten finden Sie unten. Ein Computermodell verfügt über 3 verschiedene Prozessorgeschwindigkeiten und 6 verschiedene Speichergrößen.

Arbeitsblatt Hausaufgaben

Überprüft alle Fähigkeiten in der Einheit. Ein tolles Blatt zum Mitnehmen. Bietet auch ein Übungsproblem. Wählen Sie ein Outfit aus einem blauen Hemd, einem weißen Hemd, einer schwarzen Hose, einem Paar schwarzen Schuhen und einem Paar braunen Schuhen?

Skill-Quiz

10 Aufgaben, die die Fähigkeiten von Sample Spaces testen.

Hausaufgaben- und Quiz-Antwortschlüssel

Antworten für die Hausaufgaben und das Quiz.

Lösungsschlüssel

Antworten zu den Unterrichts- und Übungsblättern.

Grundkurs

Führt die Grundlagen von Sample Spaces ein. Bietet eine grundlegende Anwendung.

Mittelstufe

Diese Lektion konzentriert sich auf das Bestimmen des Ergebnisses von Sample Spaces mit Textaufgaben.

Selbständige Praxis 1

Die Schüler üben mit 20 Sample Spaces-Aufgaben. Die Antworten finden Sie unten. Wie viele Kombinationsmöglichkeiten gibt es aus 8 Pizzasorten und 4 verschiedenen Größen?

Selbständige Praxis 2

Weitere 20 Sample Spaces-Probleme. Die Antworten finden Sie unten. Ein Schüler kann eines von 5 verschiedenen Geschichtsbüchern, eines von 6 verschiedenen Mathematikbüchern und eines von 3 verschiedenen Wissenschaftsbüchern auswählen.

Arbeitsblatt Hausaufgaben

Überprüft alle Fähigkeiten in der Einheit. Ein tolles Blatt zum Mitnehmen. Bietet auch ein Übungsproblem.

Skill-Quiz

10 Aufgaben, die die Fähigkeiten von Sample Spaces testen.

Hausaufgaben- und Quiz-Antwortschlüssel

Antworten für die Hausaufgaben und das Quiz.

Lösungsschlüssel

Antworten zu den Unterrichts- und Übungsblättern.

So lösen Sie die Stichprobenplatzwahrscheinlichkeit

Was ist Wahrscheinlichkeit? Nun, Wahrscheinlichkeit ist die mathematische Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis stattfindet. Es hilft bei der Vorhersage von Anzeigenprognosen. Also, wie man Wahrscheinlichkeiten löst. Wenn ein Experiment oder ein Ereignis eintritt, gibt es unzählige Möglichkeiten eines einzelnen Ereignisses. Wenn Sie nun all diese möglichen Ergebnisse zusammentragen, bilden sie den Probenraum. Um die Stichprobenraumwahrscheinlichkeit zu lösen, benötigen Sie lediglich die Anzahl der Gesamtmöglichkeiten und die Gesamtzahl der gewünschten Ergebnisse. Wenn Sie die Gesamtzahl der gewünschten Ergebnisse durch die Gesamtzahl der Möglichkeiten im Stichprobenraum dividieren, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit des gewünschten Ereignisses. Wenn Sie die Wahrscheinlichkeiten für jedes der möglichen Ergebnisse berechnen und sie addieren, ist das Ergebnis eins, was der Stichprobenraumwahrscheinlichkeit entspricht.

Kopf oder Zahl?

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Münzwurf Kopf oder Zahl zu bekommen? Die Antwort ist eine Hälfte Kopf und eine Hälfte Zahl. Probieren Sie es aus und sehen Sie, ob es funktioniert! Wenn wir 25 Mal eine Münze geworfen haben, haben wir 10/15 bekommen. Bei 100 Würfen war unser Verhältnis 50/50 und bei 500 Würfen 251/249.


Wahrscheinlichkeit

Definition

Das Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses Eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses misst. e in einem Probenraum S ist eine Zahl P zwischen 0 und 1, die die Wahrscheinlichkeit misst, dass e wird bei einem einzigen Versuch des entsprechenden Zufallsexperiments auftreten. Der Wert P = 0 entspricht dem Ergebnis e unmöglich und der Wert P = 1 entspricht dem Ergebnis e sicher sein.

Definition

Das Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses Eine Zahl, die die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses misst. EIN ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse, aus denen sie sich zusammensetzt. Es wird bezeichnet P(A).

Die folgende Formel drückt den Inhalt der Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses aus:

Wenn eine Veranstaltung E ist E = < e 1 , e 2 , … , e k >, dann

P ( E ) = P ( e 1 ) + P ( e 2 ) + · · · + P ( e k )

Abbildung 3.3 Beispielräume und Wahrscheinlichkeit

Da der gesamte Probenraum S ein Ereignis ist, das sicher eintreten wird, muss die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse die Zahl 1 sein.

In der gewöhnlichen Sprache werden Wahrscheinlichkeiten häufig in Prozent ausgedrückt. Zum Beispiel würden wir sagen, dass morgen eine 70-prozentige Regenwahrscheinlichkeit besteht, was bedeutet, dass die Regenwahrscheinlichkeit 0,70 beträgt. Wir werden diese Praxis hier anwenden, aber in allen folgenden Berechnungsformeln verwenden wir die Form 0,70 und nicht 70%.

Beispiel 5

Eine Münze wird als „ausgeglichen“ oder „fair“ bezeichnet, wenn jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit landet. Weisen Sie jedem Ergebnis im Stichprobenraum des Experiments, das darin besteht, eine einzelne faire Münze zu werfen, eine Wahrscheinlichkeit zu.

Mit den gekennzeichneten Ergebnissen h für Köpfe und T für Schwänze ist der Abtastraum die Menge S = < h , t >. Da die Ergebnisse die gleichen Wahrscheinlichkeiten haben, die sich zu 1 addieren müssen, wird jedem Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 1/2 zugewiesen.

Beispiel 6

Ein Würfel wird als „ausgewogen“ oder „fair“ bezeichnet, wenn jede Seite mit gleicher Wahrscheinlichkeit oben landet. Weisen Sie jedem Ergebnis im Stichprobenraum für das Experiment, das darin besteht, einen einzigen fairen Würfel zu werfen, eine Wahrscheinlichkeit zu. Finden Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse E: „eine gerade Zahl wird gewürfelt“ und T: „Eine Zahl größer als zwei wird gewürfelt.“

Bei Ergebnissen, die entsprechend der Anzahl der Punkte auf der Oberseite des Würfels gekennzeichnet sind, ist der Probenraum die Menge S = < 1,2,3,4,5,6 >. Da es sechs gleich wahrscheinliche Ergebnisse gibt, die sich zu 1 addieren müssen, wird jedem eine Wahrscheinlichkeit von 1/6 zugewiesen.

Da E = < 2,4,6 >, P ( E ) = 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 + 1 ∕ 6 = 3 ∕ 6 = 1 ∕ 2 .

Da T = < 3, 4, 5, 6 > ist P ( T ) = 4 6 = 2 ∕ 3 .

Beispiel 7

Zwei faire Münzen werden geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Münzen übereinstimmen, d. h. entweder beide Lande Kopf oder beide Lande Zahl.

In Anmerkung 3.8 "Beispiel 3" haben wir den Musterraum S = < 2 h , 2 t , d >für die Situation konstruiert, in der die Münzen identisch sind und der Musterraum S ′ = < hh , ht , th , tt >für diefor Situation, in der die beiden Münzen voneinander getrennt werden können.

Die Wahrscheinlichkeitstheorie sagt es uns nicht wie um den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuzuordnen, nur was mit ihnen zu tun ist, wenn sie einmal zugewiesen wurden. Insbesondere unter Verwendung des Probenraums S, übereinstimmende Münzen ist das Ereignis M = < 2 h , 2 t > , das die Wahrscheinlichkeit P ( 2 h ) + P ( 2 t ) hat . Unter Verwendung des Abtastraums S ist übereinstimmende Münzen das Ereignis M ′ = < h h , t t > , das die Wahrscheinlichkeit P ( h h ) + P ( t t ) hat . In der physischen Welt sollte es keinen Unterschied machen, ob die Münzen identisch sind oder nicht, und deshalb möchten wir den Ergebnissen Wahrscheinlichkeiten zuordnen, damit die Zahlen P ( M ) und P ( M ′ ) gleich sind und am besten zu dem passen, was wir beobachten, wenn tatsächliche physikalische Experimente mit Münzen durchgeführt werden, die fair erscheinen. Die tatsächliche Erfahrung legt nahe, dass die Ergebnisse in S ′ gleich wahrscheinlich sind, also ordnen wir jeder Wahrscheinlichkeit 1∕4 zu und dann

P ( M ′ ) = P ( h h ) + P ( t t ) = 1 4 + 1 4 = 1 2

In ähnlicher Weise können erfahrungsgemäß geeignete Entscheidungen für die Ergebnisse in S sind:

P ( 2 h ) = 1 4 P ( 2 t ) = 1 4 P ( d ) = 1 2

die die gleiche endgültige Antwort geben

P ( M ) = P ( 2 h ) + P ( 2 t ) = 1 4 + 1 4 = 1 2

Die vorherigen drei Beispiele veranschaulichen, wie Wahrscheinlichkeiten einfach durch Zählen berechnet werden können, wenn der Stichprobenraum aus einer endlichen Anzahl gleich wahrscheinlicher Ergebnisse besteht. In manchen Situationen sind die einzelnen Ergebnisse eines Stichprobenraums, der das Experiment repräsentiert, unvermeidlich ungleich wahrscheinlich, in welchem ​​Fall Wahrscheinlichkeiten nicht einfach durch Zählen berechnet werden können, sondern die Berechnungsformel verwendet werden muss, die in der Definition der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses angegeben ist.

Beispiel 8

Die Aufschlüsselung der Schülerschaft in einer örtlichen High School nach Rasse und ethnischer Zugehörigkeit beträgt 51 % weiße, 27 % schwarze, 11 % hispanische, 6 % asiatische und 5 % für alle anderen. Aus dieser High School wird zufällig ein Schüler ausgewählt. (Die Auswahl „zufällig“ bedeutet, dass jeder Schüler die gleiche Chance hat, ausgewählt zu werden.) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

  1. B: der Schüler ist schwarz,
  2. m: der Schüler ist eine Minderheit (d. h. nicht weiß),
  3. n: Der Student ist nicht schwarz.

Das Experiment ist die Aktion, bei der zufällig ein Schüler aus der Schülerpopulation der High School ausgewählt wird. Ein offensichtlicher Probenraum ist S = < w , b , h , a , o >. Da 51% der Schüler weiß sind und alle Schüler die gleiche Chance haben, ausgewählt zu werden, ist P ( w ) = 0,51 und ähnlich für die anderen Ergebnisse. Diese Informationen sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst:

  1. Da B = < b >, P (B) = P (b) = 0,27.
  2. Da M = < b , h , a , o >, P ( M ) = P ( b ) + P ( h ) + P ( a ) + P ( o ) = 0,27 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,49
  3. Da N = < w , h , a , o >, P ( N ) = P ( w ) + P ( h ) + P ( a ) + P ( o ) = 0,51 + 0,11 + 0,06 + 0,05 = 0,73

Beispiel 9

Die Schülerschaft der in Anmerkung 3.18 „Beispiel 8“ betrachteten Oberstufe lässt sich wie folgt in zehn Kategorien unterteilen: 25 % weiße Männer, 26 % weiße Frauen, 12 % schwarze Männer, 15 % schwarze Frauen, 6 % hispanische Männer, 5 % hispanische Frau, 3 % asiatischer Mann, 3 % asiatische Frau, 1 % männlicher anderer Minderheiten zusammen und 4 % weiblicher anderer Minderheiten zusammen. Aus dieser High School wird zufällig ein Schüler ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse:

  1. B: der Schüler ist schwarz,
  2. M F : die Studentin ist weiblich,
  3. F N : Die Studentin ist weiblich und nicht schwarz.

Nun ist der Abtastraum S = < w m , b m , h m , a m , o m , w f , b f , h f , a f , o f >. Die im Beispiel gegebenen Informationen können in der folgenden Tabelle zusammengefasst werden, genannt a Zwei-Wege- Kontingenztabelle:

Geschlecht Rasse / Ethnizität
Weiß Schwarz Spanisch asiatisch Andere
Männlich 0.25 0.12 0.06 0.03 0.01
Weiblich 0.26 0.15 0.05 0.03 0.04
  1. Da B = < b m , b f > , P ( B ) = P ( b m ) + P ( b f ) = 0,12 + 0,15 = 0,27 .
  2. Da M F = < b f , h f , a f , o f >, P ( M ) = P ( b f ) + P ( h f ) + P ( a f ) + P ( o f ) = 0,15 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,27
  3. Da F N = < w f , h f , a f , o f >, P ( F N ) = P ( w f ) + P ( h f ) + P ( a f ) + P ( o f ) = 0,26 + 0,05 + 0,03 + 0,04 = 0,38

Die zentralen Thesen

  • Der Stichprobenraum eines Zufallsexperiments ist die Sammlung aller möglichen Ergebnisse.
  • Ein mit einem Zufallsexperiment verbundenes Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraums.
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse addieren sich zu 1.
  • Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses EIN ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse in EIN.

Übungen

Basic

Eine Kiste enthält 10 weiße und 10 schwarze Murmeln. Konstruieren Sie einen Musterraum für das Experiment, indem Sie zwei Murmeln nacheinander zufällig herausziehen und ersetzen und jedes Mal die Farbe notieren. (Ziehen „mit Ersatz“ bedeutet, dass die erste Murmel zurückgelegt wird, bevor die zweite Murmel gezogen wird.)

Eine Schachtel enthält 16 weiße und 16 schwarze Murmeln. Konstruieren Sie einen Musterraum für das Experiment, indem Sie nach dem Zufallsprinzip drei Murmeln nacheinander herausziehen und ersetzen und jedes Mal die Farbe notieren. (Ziehen „mit Ersatz“ bedeutet, dass jede Murmel zurückgelegt wird, bevor die nächste Murmel gezogen wird.)

Eine Kiste enthält 8 rote, 8 gelbe und 8 grüne Murmeln. Konstruieren Sie einen Musterraum für das Experiment, indem Sie zwei Murmeln nacheinander zufällig herausziehen und ersetzen und jedes Mal die Farbe notieren.

Eine Kiste enthält 6 rote, 6 gelbe und 6 grüne Murmeln. Konstruieren Sie einen Musterraum für das Experiment, indem Sie nach dem Zufallsprinzip drei Murmeln nacheinander herausziehen und ersetzen und jedes Mal die Farbe notieren.

Listen Sie in der Situation von Übung 1 die Ergebnisse auf, die jedes der folgenden Ereignisse umfassen.

Listen Sie in der Situation von Übung 2 die Ergebnisse auf, die jedes der folgenden Ereignisse umfassen.

  1. Mindestens eine Murmel jeder Farbe wird gezogen.
  2. Es wird kein weißer Marmor gezeichnet.
  3. Es werden mehr schwarze als weiße Murmeln gezeichnet.

Listen Sie in der Situation von Übung 3 die Ergebnisse auf, die jedes der folgenden Ereignisse umfassen.

  1. Es wird kein gelber Marmor gezeichnet.
  2. Die beiden gezogenen Murmeln haben die gleiche Farbe.
  3. Mindestens eine Murmel jeder Farbe wird gezogen.

Listen Sie in der Situation von Übung 4 die Ergebnisse auf, die jedes der folgenden Ereignisse umfassen.

  1. Es wird kein gelber Marmor gezeichnet.
  2. Die drei gezogenen Murmeln haben die gleiche Farbe.
  3. Mindestens eine Murmel jeder Farbe wird gezogen.

Unter der Annahme, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 5.

Unter der Annahme, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 6.

Unter der Annahme, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 7.

Unter der Annahme, dass jedes Ergebnis gleich wahrscheinlich ist, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 8.

Ein Abtastraum ist S = < a , b , c , d , e >. Identifizieren Sie zwei Ereignisse als U = < a , b , d > und V = < b , c , d >. Angenommen, P(a) und P(b) sind jeweils 0,2 und P(c) und P(d) sind jeweils 0,1.

Ein Abtastraum ist S = < u , v , w , x >. Identifizieren Sie zwei Ereignisse als A = < v , w > und B = < u , w , x >. Angenommen P(u) = 0,22, P(w) = 0,36 und P(x) = 0,27.

Ein Abtastraum ist S = < m , n , q , r , s >. Identifizieren Sie zwei Ereignisse als U = < m , q , s > und V = < n , q , r >. Die Wahrscheinlichkeiten einiger der Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Ein Abtastraum ist S = < d , e , f , g , h >. Identifizieren Sie zwei Ereignisse als M = < e , f , g , h > und N = < d , g >. Die Wahrscheinlichkeiten einiger der Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle angegeben:

Anwendungen

Der Stichprobenraum, der alle Drei-Kind-Familien nach den Geschlechtern der Kinder in Bezug auf die Geburtsreihenfolge beschreibt, wurde in Anmerkung 3.9 „Beispiel 4“ konstruiert. Identifizieren Sie die Ergebnisse, die jedes der folgenden Ereignisse im Experiment zur zufälligen Auswahl einer Drei-Kind-Familie umfassen.

  1. Mindestens ein Kind ist ein Mädchen.
  2. Höchstens ein Kind ist ein Mädchen.
  3. Alle Kinder sind Mädchen.
  4. Genau zwei der Kinder sind Mädchen.
  5. Das Erstgeborene ist ein Mädchen.

Der Beispielraum, der drei Würfe einer Münze beschreibt, ist derselbe wie der in Anmerkung 3.9 „Beispiel 4“ konstruierte, wobei „Junge“ durch „Kopf“ und „Mädchen“ durch „Zahl“ ersetzt wurde. Identifizieren Sie die Ergebnisse, die jedes der folgenden Ereignisse im Experiment zum dreimaligen Werfen einer Münze umfassen.

  1. Die Münze landet häufiger Kopf als Zahl.
  2. Die Münze landet genauso oft Kopf, wie sie Zahl landet.
  3. Die Münze landet mindestens zweimal mit Kopf.
  4. Die Münze landet beim letzten Wurf mit Kopf.

Unter der Annahme, dass die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 17.

Unter der Annahme, dass die Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses in Aufgabe 18.

Zusätzliche Übungen

Die folgende Zwei-Wege-Kontingenztabelle zeigt die Aufschlüsselung der Bevölkerung an einem bestimmten Ort nach Alter und Tabakkonsum:

Eine Person wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes der folgenden Ereignisse.

  1. Die Person ist Raucher.
  2. Die Person ist unter 30.
  3. Die Person ist Raucher unter 30.

Die folgende Zwei-Wege-Kontingenztabelle zeigt die Aufschlüsselung der Bevölkerung an einem bestimmten Ort nach Parteizugehörigkeit (EIN, B, C, oder Keiner) und Stellungnahme zu einer Anleiheemission:

Zugehörigkeit Meinung
Gefälligkeiten Widerspricht Unentschieden
EIN 0.12 0.09 0.07
B 0.16 0.12 0.14
C 0.04 0.03 0.06
Keiner 0.08 0.06 0.03

Eine Person wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes der folgenden Ereignisse.

  1. Die Person ist mit der Partei verbunden B.
  2. Die Person ist mit einer Partei verbunden.
  3. Die Person befürwortet die Anleiheemission.
  4. Die Person hat keine Parteizugehörigkeit und ist unentschlossen bezüglich der Anleiheemission.

Die folgende Zwei-Wege-Kontingenztabelle zeigt die Aufteilung der Bevölkerung verheirateter oder ehemals verheirateter Frauen über das gebärfähige Alter hinaus in einem bestimmten Gebiet nach Alter bei der ersten Eheschließung und Anzahl der Kinder:

Alter Anzahl der Kinder
0 1 oder 2 3 oder mehr
Unter 20 0.02 0.14 0.08
20–29 0.07 0.37 0.11
30 und höher 0.10 0.10 0.01

Eine Frau wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes der folgenden Ereignisse.

  1. Die Frau war bei ihrer ersten Ehe in den Zwanzigern.
  2. Die Frau war bei ihrer ersten Ehe 20 Jahre oder älter.
  3. Die Frau hatte keine Kinder.
  4. Die Frau war bei ihrer ersten Ehe in den Zwanzigern und hatte mindestens drei Kinder.

Die folgende Zwei-Wege-Kontingenztabelle zeigt die Aufschlüsselung der Bevölkerung der Erwachsenen in einem bestimmten Gebiet nach dem höchsten Bildungsstand und ob die Person regelmäßig Nahrungsergänzungsmittel einnimmt oder nicht:

Bildung Verwendung von Nahrungsergänzungsmitteln
Dauert Nimmt nicht
Kein Abitur 0.04 0.06
Abitur 0.06 0.44
Bachelor-Abschluss 0.09 0.28
Schulabschluss 0.01 0.02

Ein Erwachsener wird zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit jedes der folgenden Ereignisse.

  1. Die Person hat einen Hauptschulabschluss und nimmt regelmäßig Nahrungsergänzungsmittel ein.
  2. Die Person hat einen Bachelor-Abschluss und nimmt regelmäßig Nahrungsergänzungsmittel ein.
  3. Die Person nimmt regelmäßig Nahrungsergänzungsmittel ein.
  4. Die Person nimmt nicht regelmäßig Nahrungsergänzungsmittel ein.

Übungen mit großen Datensätzen

Hinweis: Diese Datensätze fehlen, aber die Fragen werden hier als Referenz bereitgestellt.

Die großen Datensätze 4 und 4A zeichnen die Ergebnisse von 500 Würfen einer Münze auf. Finden Sie die relative Häufigkeit jedes Ergebnisses 1, 2, 3, 4, 5 und 6. Erscheint die Münze „ausgewogen“ oder „fair“?


3.2: Komplemente, Kreuzungen und Vereinigungen

Basic

  1. Für den Probenraum (S=) Identifizieren Sie das Komplement jedes gegebenen Ereignisses.
    1. (A=)
    2. (B=)
    3. (S)
    1. (R=)
    2. (T=)
    3. (varnothing) (die &ldquoleere&rdquo-Menge ohne Elemente)
    1. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (H) und (M) umfassen.
    2. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (Hcap M), (Hcup M) und (H^c) umfassen.
    3. Unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, bestimme (P(Hcap M)), (P(Hcup M)) und (P(H^c)).
    4. Bestimmen Sie, ob sich (H^c) und (M) gegenseitig ausschließen. Erkläre warum oder warum nicht.
    1. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (T) und (G) umfassen.
    2. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (Tcap G), (Tcup G), (T^c) und ((Tcup G)^c) umfassen.
    3. Unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, bestimme (P(Tcap G)), (P(Tcup G)) und (P(T^c)).
    4. Bestimmen Sie, ob sich (T) und (G) gegenseitig ausschließen. Erkläre warum oder warum nicht.
    1. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (B), (R) und (N) umfassen.
    2. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (Bcap R), (Bcup R), (Bcap N), (Rcup N), (B^c) und . umfassen ((Bcup R)^c).
    3. Unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse im vorherigen Teil.
    4. Bestimmen Sie, ob sich (B) und (N) gegenseitig ausschließen. Erkläre warum oder warum nicht.
    1. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (Y), (I) und (J) umfassen.
    2. Listen Sie die Ergebnisse auf, die (Ycap I), (Ycup J), (Icap J), (I^c) und ((Ycup J)^ . umfassen C).
    3. Unter der Annahme, dass alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse im vorherigen Teil.
    4. Bestimmen Sie, ob sich (I^c) und (J) gegenseitig ausschließen. Erkläre warum oder warum nicht.

    1. (P(A)).
    2. (P(B)).
    3. (P(A^c)). Zwei Wege: (i) indem man die Ergebnisse in (A^c) findet und ihre Wahrscheinlichkeiten addiert und (ii) die Wahrscheinlichkeitsregel für Komplemente verwendet.
    4. (P(Acap B)).
    5. (P(Acup B)) Zwei Wege: (i) indem man die Ergebnisse in (Acup B) findet und ihre Wahrscheinlichkeiten addiert, und (ii) indem man die additive Wahrscheinlichkeitsregel verwendet.
    1. Das bereitgestellte Venn-Diagramm zeigt einen Beispielraum und zwei Ereignisse (A) und (B). Angenommen (P(a)=0.32, P(b)=0.17, P(c)=0.28, ext P(d)=0,23). Bestätigen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse zu (1) addieren, und berechnen Sie dann die folgenden Wahrscheinlichkeiten.

    1. (P(A)).
    2. (P(B)).
    3. (P(A^c)). Zwei Wege: (i) indem man die Ergebnisse in (A^c) findet und ihre Wahrscheinlichkeiten addiert und (ii) die Wahrscheinlichkeitsregel für Komplemente verwendet.
    4. (P(Acap B)).
    5. (P(Acup B)) Zwei Wege: (i) indem man die Ergebnisse in (Acup B) findet und ihre Wahrscheinlichkeiten addiert, und (ii) indem man die additive Wahrscheinlichkeitsregel verwendet.
    1. Bestätigen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in der Zweiwege-Kontingenztabelle zu (1) addieren, und verwenden Sie sie dann, um die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse zu ermitteln.
    1. (P(A), P(B), P(Acap B)).
    2. (P(U), P(W), P(Ucap W)).
    3. (P(Ucup W)).
    4. (P(V^c)).
    5. Bestimmen Sie, ob die Ereignisse (A) und (U) die Ereignisse (A) und (V) gegenseitig ausschließen.
    1. Bestätigen Sie, dass sich die Wahrscheinlichkeiten in der Zweiwege-Kontingenztabelle zu (1) addieren, und verwenden Sie sie dann, um die Wahrscheinlichkeiten der angegebenen Ereignisse zu ermitteln.
    1. (P(R), P(S), P(Rcap S)).
    2. (P(M), P(N), P(Mcap N)).
    3. (P(Rcup S)).
    4. (P(R^c)).
    5. Bestimmen Sie, ob die Ereignisse (N) und (S) die Ereignisse (N) und (T) gegenseitig ausschließen.

    Anwendungen

    1. Geben Sie in normalem Englisch eine Erklärung ab, die die Ergänzung jedes Ereignisses beschreibt (fügen Sie nicht einfach das Wort &ldquonot&rdquo ein).
      1. Im Würfelwurf: &ldquofünf oder mehr.&rdquo
      2. Bei einem Würfelwurf: &ldquoan gerade Zahl.&rdquo
      3. Bei zwei Münzwürfen: &ldquomindestens ein Kopf.&rdquo
      4. Bei der Zufallsauswahl eines College-Studenten: &ldquoKein Erstsemester.&rdquo
      1. Im Würfelwurf: &ldquotwo oder weniger.&rdquo
      2. Im Würfelwurf: &ldquoone, drei oder vier.&rdquo
      3. In zwei Münzwürfen: “höchstens ein Kopf.&rdquo
      4. Bei der Zufallsauswahl eines College-Studenten: &ldquoWeder ein Neuling noch ein Senior.&rdquo
      1. Mindestens ein Kind ist ein Mädchen.
      2. Höchstens ein Kind ist ein Mädchen.
      3. Alle Kinder sind Mädchen.
      4. Genau zwei der Kinder sind Mädchen.
      5. Das Erstgeborene ist ein Mädchen.
      1. Die Person ist männlich.
      2. Die Person ist nicht dafür.
      3. Die Person ist entweder männlich oder bevorzugt.
      4. The person is female and neutral.

      The record of a part is selected at random. Find the probability of each of the following events.

      1. The part was defective.
      2. The part was either of high quality or was at least usable, in two ways: (i) by adding numbers in the table, and (ii) using the answer to (a) and the Probability Rule for Complements.
      3. The part was defective and came from supplier (B).
      4. The part was defective or came from supplier (B), in two ways: by finding the cells in the table that correspond to this event and adding their probabilities, and (ii) using the Additive Rule of Probability.
      1. Individuals with a particular medical condition were classified according to the presence ((T)) or absence ((N)) of a potential toxin in their blood and the onset of the condition (( ext)). The breakdown according to this classification is shown in the two-way contingency table.

      One of these individuals is selected at random. Find the probability of each of the following events.

      1. The person experienced early onset of the condition.
      2. The onset of the condition was either midrange or late, in two ways: (i) by adding numbers in the table, and (ii) using the answer to (a) and the Probability Rule for Complements.
      3. The toxin is present in the person&rsquos blood.
      4. The person experienced early onset of the condition and the toxin is present in the person&rsquos blood.
      5. The person experienced early onset of the condition or the toxin is present in the person&rsquos blood, in two ways: (i) by finding the cells in the table that correspond to this event and adding their probabilities, and (ii) using the Additive Rule of Probability.
      1. The breakdown of the students enrolled in a university course by class (( ext)) and academic major (( ext)) is shown in the two-way classification table.

      A student enrolled in the course is selected at random. Adjoin the row and column totals to the table and use the expanded table to find the probability of each of the following events.

      1. The student is a freshman.
      2. The student is a liberal arts major.
      3. The student is a freshman liberal arts major.
      4. The student is either a freshman or a liberal arts major.
      5. The student is not a liberal arts major.
      1. The table relates the response to a fund-raising appeal by a college to its alumni to the number of years since graduation.

      An alumnus is selected at random. Adjoin the row and column totals to the table and use the expanded table to find the probability of each of the following events.

      1. The alumnus responded.
      2. The alumnus did not respond.
      3. The alumnus graduated at least (21) years ago.
      4. The alumnus graduated at least (21) years ago and responded.

      Additional Exercises

      1. The sample space for tossing three coins is (S=)
        1. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoAll the coins are heads.&rdquo
        2. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoNot all the coins are heads.&rdquo
        3. List the outcomes that correspond to the statement &ldquoAll the coins are not heads.&rdquo

        Antworten

          1. ()
          2. ()
          3. (varnothing)
          1. (H=, M=)
          2. (Hcap M=, Hcup M=H, H^c=)
          3. (P(Hcap M)=4/8, P(Hcup M)=7/8, P(H^c)=1/8)
          4. Mutually exclusive because they have no elements in common.
          1. (B=, R=, N=)
          2. (Bcap R=varnothing , Bcup R=, Bcap N=, Rcup N=, B^c=, (Bcup R)^c=)
          3. (P(Bcap R)=0, P(Bcup R)=8/16, P(Bcap N)=2/16, P(Rcup N)=10/16, P(B^c)=12/16, P((Bcup R)^c)=8/16)
          4. Not mutually exclusive because they have an element in common.
          1. (0.36)
          2. (0.78)
          3. (0.64)
          4. (0.27)
          5. (0.87)
          1. (P(A)=0.38, P(B)=0.62, P(Acap B)=0)
          2. (P(U)=0.37, P(W)=0.33, P(Ucap W)=0)
          3. (0.7)
          4. (0.7)
          5. (A) and (U) are not mutually exclusive because (P(Acap U)) is the nonzero number (0.15). (A) and (V) are mutually exclusive because (P(Acap V)=0).
          1. &ldquofour or less&rdquo
          2. &ldquoan odd number&rdquo
          3. &ldquono heads&rdquo or &ldquoall tails&rdquo
          4. &ldquoa freshman&rdquo
          1. &ldquoAll the children are boys.&rdquo Event: (), Complement: ()
          2. &ldquoAt least two of the children are girls&rdquo or &ldquoThere are two or three girls.&rdquo Event: (), Complement: ()
          3. &ldquoAt least one child is a boy.&rdquo Event: (), Complement: ()
          4. &ldquoThere are either no girls, exactly one girl, or three girls.&rdquo Event: (), Complement: ()
          5. &ldquoThe first born is a boy.&rdquo Event: (), Complement: ()
          1. (0.0023)
          2. (0.9977)
          3. (0.0009)
          4. (0.3014)
          1. (920/1671)
          2. (668/1671)
          3. (368/1671)
          4. (1220/1671)
          5. (1003/1671)
          1. ()
          2. ()
          3. ()

          Sample Space And Events

          And this leads us to sample spaces and events.

          What is the sample space? And what is an event?

          EIN Probenraum is the set of all possible outcomes of a statistical experiment, and it is sometimes referred to as a probability space. Und outcomes are observations of the experiment, and they are sometimes referred to as sample points. Ein Veranstaltung is a subset of a sample space as discussed by Shafer and Zhang.

          So, in our coin-flipping example, the probability space for flipping a coin one time is “Heads or Tails,” and we write this as S = .

          How To Find Sample Space?

          The three most common ways to find a sample space are:

          For example, let’s suppose we flip a coin and roll a die.

          • How many outcomes are possible?
          • What is the probability space?
          • Identify the events.

          When we flip a coin, there are only two possible outcomes , and when we roll a die, there are six possible outcomes <1,2,3,4,5,6>.

          That means we have two events:

          1. List Of All Possible Outcomes

          Now, let’s see if we can find the sample space.

          Example – Flipping A Coin And Rolling A Die

          If we flip and roll, then we can get any of the following scenarios:

          • Heads and 1
          • Heads and 2
          • Heads and 3
          • Heads and 4
          • Heads and 5
          • Heads and 6
          • Tails and 1
          • Tails and 2
          • Tails and 3
          • Tails and 4
          • Tails and 5
          • Tails and 6

          Solutions: Probability

          Tossing a coin.
          Rolling a single 6-sided die.
          Choosing a marble from a jar.
          Alles das oben Genannte.

          Rolling a pair of dice.
          Landing on red.
          Choosing 2 marbles from a jar.
          None of the above.

          Choose a number at random from 1 to 7.
          Toss a coin.
          Choose a letter at random from the word SCHOOL.
          None of the above.

          Certain and Impossible Events

          Exercise Problem Lösung
          1 A glass jar contains 5 red, 3 blue and 2 green jelly beans. If a jelly bean is chosen at random from the jar, then which of the following is an impossible event?

          Choosing a red jelly bean.
          Choosing a blue jelly bean.
          Choosing a yellow jelly bean.
          None of the above.

          Landing on a number less than 7.
          Landing on a number less than 8.
          Landing on a number greater than 1.
          None of the above.

          Rolling a number less than 7.
          Rolling an even number.
          Rolling a zero.
          None of the above.

          Sample Spaces

          Exercise Problem Lösung
          1 What is the sample space for choosing an odd number from 1 to 11 at random?

          The Complement of an Event

          Exercise Problem Lösung
          1 A glass jar contains 5 red, 3 blue and 2 green jelly beans. If a jelly bean is chosen at random from the jar, what is the probability that it is not blue?

          Answer: 0 (this is an impossible event)

          Answer: 1 (This is a certain event)

          Mutually Exclusive Events

          Exercise Problem Lösung
          1 Which of the following are mutually exclusive events when a single card is chosen at random from a standard deck of 52 playing cards?

          Choosing a 7 or Choosing a club.
          Choosing a 7 or Choosing a jack.
          Choosing a 7 or Choosing a heart.
          None of the above.

          Rolling a number less than 4 or Rolling a number greater than 4.
          Rolling a 2 or Rolling an odd number.
          Rolling a 2 or Rolling an even number.
          None of the above.

          Choosing a Monday or Choosing a Wednesday.
          Choosing a Saturday or Choosing a Sunday.
          Choosing a weekday or Choosing a weekend day.
          Alles das oben Genannte.

          Choosing a T or Choosing a consonant.
          Choosing a T or Choosing a vowel.
          Choosing an E or Choosing a C.
          None of the above.

          Choosing August or Choosing a summer month.
          Choosing September or Choosing a fall month.
          Choosing a summer month or Choosing a winter month.
          None of the above.


          Probability

          The probability of an outcome (e) in a sample space (S) is a number (P) between (1) and (0) that measures the likelihood that (e) will occur on a single trial of the corresponding random experiment. The value (P=0) corresponds to the outcome (e) being impossible and the value (P=1) corresponds to the outcome (e) being certain.

          Definition: probability of an event

          Das probability of an event (A) is the sum of the probabilities of the individual outcomes of which it is composed. It is denoted (P(A)).

          The following formula expresses the content of the definition of the probability of an event:

          The following figure expresses the content of the definition of the probability of an event:

          Figure (PageIndex<3>) : Sample Spaces and Probability

          Since the whole sample space (S) is an event that is certain to occur, the sum of the probabilities of all the outcomes must be the number (1).

          In ordinary language probabilities are frequently expressed as percentages. For example, we would say that there is a (70\%) chance of rain tomorrow, meaning that the probability of rain is (0.70). We will use this practice here, but in all the computational formulas that follow we will use the form (0.70) and not (70\%).

          A coin is called &ldquobalanced&rdquo or &ldquofair&rdquo if each side is equally likely to land up. Assign a probability to each outcome in the sample space for the experiment that consists of tossing a single fair coin.

          With the outcomes labeled (h) for heads and (t) for tails, the sample space is the set

          Since the outcomes have the same probabilities, which must add up to (1), each outcome is assigned probability (1/2).

          A die is called &ldquobalanced&rdquo or &ldquofair&rdquo if each side is equally likely to land on top. Assign a probability to each outcome in the sample space for the experiment that consists of tossing a single fair die. Find the probabilities of the events (E): &ldquoan even number is rolled&rdquo and (T): &ldquoa number greater than two is rolled.&rdquo

          With outcomes labeled according to the number of dots on the top face of the die, the sample space is the set

          Since there are six equally likely outcomes, which must add up to (1), each is assigned probability (1/6).

          Two fair coins are tossed. Find the probability that the coins match, i.e., either both land heads or both land tails.

          In Example (PageIndex<3>) we constructed the sample space (S=<2h,2t,d>) for the situation in which the coins are identical and the sample space (S&prime=) for the situation in which the two coins can be told apart.

          The theory of probability does not tell us how to assign probabilities to the outcomes, only what to do with them once they are assigned. Specifically, using sample space (S), matching coins is the event (M=<2h, 2t>) which has probability (P(2h)+P(2t)). Using sample space (S'), matching coins is the event (M'=), which has probability (P(hh)+P(tt)). In the physical world it should make no difference whether the coins are identical or not, and so we would like to assign probabilities to the outcomes so that the numbers (P(M)) and (P(M')) are the same and best match what we observe when actual physical experiments are performed with coins that seem to be fair. Actual experience suggests that the outcomes in S' are equally likely, so we assign to each probability (frac<1><4>), and then.

          Similarly, from experience appropriate choices for the outcomes in (S) are:

          The previous three examples illustrate how probabilities can be computed simply by counting when the sample space consists of a finite number of equally likely outcomes. In some situations the individual outcomes of any sample space that represents the experiment are unavoidably unequally likely, in which case probabilities cannot be computed merely by counting, but the computational formula given in the definition of the probability of an event must be used.

          The breakdown of the student body in a local high school according to race and ethnicity is (51\%) white, (27\%) black, (11\%) Hispanic, (6\%) Asian, and (5\%) for all others. A student is randomly selected from this high school. (To select &ldquorandomly&rdquo means that every student has the same chance of being selected.) Find the probabilities of the following events:

          1. (B): the student is black,
          2. (M): the student is minority (that is, not white),
          3. (N): the student is not black.

          The experiment is the action of randomly selecting a student from the student population of the high school. An obvious sample space is (S=). Since (51\%) of the students are white and all students have the same chance of being selected, (P(w)=0.51), and similarly for the other outcomes. This information is summarized in the following table:

          1. Since (B=, P(B)=P(b)=0.27)
          2. Since (M=, P(M)=P(b)+P(h)+P(a)+P(o)=0.27+0.11+0.06+0.05=0.49)
          3. Since (N=, P(N)=P(w)+P(h)+P(a)+P(o)=0.51+0.11+0.06+0.05=0.73)

          The student body in the high school considered in the last example may be broken down into ten categories as follows: (25\%) white male, (26\%) white female, (12\%) black male, (15\%) black female, 6% Hispanic male, (5\%) Hispanic female, (3\%) Asian male, (3\%) Asian female, (1\%) male of other minorities combined, and (4\%) female of other minorities combined. A student is randomly selected from this high school. Find the probabilities of the following events:

          1. (B): the student is black
          2. (MF): the student is a non-white female
          3. (FN): the student is female and is not black

          Now the sample space is (S=). The information given in the example can be summarized in the following table, called a two-way contingency table:


          7.5 Summary

          Glossar

          The probabilistic model for the values of a measurements in the sample, before the measurement is taken.

          The distribution of a random sample.

          Sampling Distribution of a Statistic:

          A statistic is a function of the data i.e. a formula applied to the data. The statistic becomes a random variable when the formula is applied to a random sample. The distribution of this random variable, which is inherited from the distribution of the sample, is its sampling distribution.

          Sampling Distribution of the Sample Average:

          The distribution of the sample average, considered as a random variable.

          A mathematical result regarding the sampling distribution of the sample average. States that the distribution of the average of measurements is highly concentrated in the vicinity of the expectation of a measurement when the sample size is large.

          The Central Limit Theorem:

          A mathematical result regarding the sampling distribution of the sample average. States that the distribution of the average is approximately Normal when the sample size is large.

          Discussion in the Forum

          Limit theorems in mathematics deal with the convergence of some property to a limit as some indexing parameter goes to infinity. The Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem are examples of limit theorems. The property they consider is the sampling distribution of the sample average. The indexing parameter that goes to infinity is the sample size (n) .

          Some people say that the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem are useless for practical purposes. These theorems deal with a sample size that goes to infinity. However, all sample sizes one finds in reality are necessarily finite. What is your opinion?

          When forming your answer to this question you may give an example of a situation from your own field of interest in which conclusions of an abstract mathematical theory are used in order to solve a practical problem. Identify the merits and weaknesses of the application of the mathematical theory.

          For example, in making statistical inference one frequently needs to make statements regarding the sampling distribution of the sample average. For instant, one may want to identify the central region that contains 95% of the distribution. The Normal distribution is used in the computation. The justification is the Central Limit Theorem.

          Summary of Formulas

          Variance of the sample average:

          Running this simulation, and similar simulations of the same nature that will be considered in the sequel, demands more of the computer’s resources than the examples that were considered up until now. Beware that running times may be long and, depending on the strength of your computer and your patience, too long. You may save time by running less iterations, replacing, say, “ 10^5 ” by “ 10^4 ”. The results of the simulation will be less accurate, but will still be meaningful.↩

          Mathematically speaking, the Binomial distribution is only an approximation to the sampling distribution of (X) . Actually, the Binomial is an exact description to the distribution only in the case where each subject has the chance be represented in the sample more than once. However, only when the size of the sample is comparable to the size of the population would the Binomial distribution fail to be an adequate approximation to the sampling distribution.↩


          Schau das Video: MB 26 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie HD 720p (Januar 2022).