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15.E: Multiple Integration (Übungen) - Mathematik


15.1: Doppelintegrale über rechteckige Bereiche

Verwenden Sie in den folgenden Übungen die Mittelpunktsregel mit (m = 4) und (n = 2), um das Volumen des von der Fläche (z = f(x,y)) begrenzten Festkörpers abzuschätzen vertikale Ebenen (x = 1), (x = 2), (y = 1) und (y = 2) und die horizontale Ebene (x = 0).

(f(x,y) = 4x + 2y + 8xy)

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27.

(f(x,y) = 16x^2 + frac{y}{2})

Schätzen Sie in den folgenden Übungen das Volumen des Festkörpers unter der Oberfläche (z = f(x,y)) und über dem rechteckigen Bereich ab R indem eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwendet wird und die Abtastpunkte die unteren linken Ecken der Unterrechtecke der Partition sind.

(f(x,y) = sin space x - cos space y), (R = [0, pi] imes [0, pi])

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0.

(f(x,y) = cos space x + cos space y), (R = [0, pi] imes [0, frac{pi}{2}])

Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2), um (iint_R f(x,y) dA abzuschätzen, wobei die Werte der Funktion F auf (R = [8,10] imes [9,11]) sind in der folgenden Tabelle angegeben.

ja
x99.51010.511
89.856.755.6
8.59.44.585.43.4
98.74.665.53.4
9.56.764.55.46.7
106.86.45.55.76.8

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21.3.

Die Werte der Funktion F auf dem Rechteck (R = [0,2] imes [7,9]) sind in der folgenden Tabelle angegeben. Schätzen Sie das Doppelintegral (iint_R f(x,y)dA) ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwenden. Wählen Sie die Abtastpunkte als die oberen rechten Ecken der Unterquadrate von R.

(y_0 = 7)(y_1 = 8)(y_2 = 9)
(x_0 = 0)10.2210.219.85
(x_1 = 1)6.739.759.63
(x_2 = 2)5.627.838.21

Die Tiefe eines Kinderpools von 1,2 m x 1,2 m, gemessen in Abständen von 1 m, ist in der folgenden Tabelle angegeben.

  1. Schätzen Sie das Wasservolumen im Schwimmbecken ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 2) verwenden. Wählen Sie die Abtastpunkte unter Verwendung der Mittelpunktregel auf (R = [0,4] imes [0,4]).
  2. Finden Sie die durchschnittliche Tiefe des Schwimmbeckens.
    ja
    x01234
    011.522.53
    111.522.53
    211.51.52.53
    3111.522.5
    41111.52

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A. 28 (ft^3) b. 1,75 Fuß

Die in Abständen von 1 Fuß gemessene Tiefe eines 3 Fuß mal 3 Fuß großen Lochs im Boden ist in der folgenden Tabelle angegeben.

  1. Schätzen Sie das Volumen des Lochs ab, indem Sie eine Riemann-Summe mit (m = n = 3) verwenden und die Abtastpunkte als die oberen linken Ecken der Unterquadrate von (R).
  2. Finden Sie die durchschnittliche Tiefe des Lochs.
    ja
    x0123
    066.56.46
    16.577.56.5
    26.56.76.56
    366.555.6

Die Niveaukurven (f(X,Y) = K) der Funktion F sind in der folgenden Grafik angegeben, wobei k ist eine Konstante.

  1. Wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (M = N = 2)m=n=2m=n=2 an, um das Doppelintegral (iint_R f(x,y)dA) abzuschätzen, wobei (R = [0,2, 1] mal [0,0.8]).
  2. Schätzen Sie den Durchschnittswert der Funktion F an (R).

A. 0,112 B. (f_{ave} 0,175); hier (f(0.4,0.2) ≃ 0.1), (f(0.2,0.6) ≃− 0.2), (f(0.8,0.2) ≃ 0.6) und (f(0.8,0.6) ≃ 0,2).

Die Niveaukurven (f(x,y) = k) der Funktion F sind in der folgenden Grafik angegeben, wobei k ist eine Konstante.

  1. Wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2) an, um das Doppelintegral (iint_R f(x,y)dA) abzuschätzen, wobei (R = [0,1,0,5] imes [0,1,0,5] ).
  2. Schätzen Sie den Durchschnittswert der Funktion F an (R).

Der unter der Oberfläche (z = sqrt{4 - y^2}) und über dem rechteckigen Bereich( R = [0,2] imes [0,2]) liegende Festkörper ist in der folgenden Grafik dargestellt . Berechnen Sie das Doppelintegral (iint_Rf(x,y)), wobei (f(x,y) = sqrt{4 - y^2}) ist, indem Sie das Volumen des entsprechenden Festkörpers bestimmen.

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(2pi)

Der unter der Ebene (z = y + 4) und über dem rechteckigen Bereich (R = [0,2] imes [0,4]) liegende Körper ist in der folgenden Grafik dargestellt. Bewerten Sie das Doppelintegral (iint_R f(x,y)dA), wobei (f(x,y) = y + 4), indem Sie das Volumen des entsprechenden Festkörpers bestimmen.

Berechnen Sie in den folgenden Übungen die Integrale, indem Sie die Integrationsreihenfolge vertauschen.

[int_{-1}^1left(int_{-2}^2 (2x + 3y + 5)dx ight) space dy]

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40.

[int_0^2left(int_0^1 (x + 2e^y + 3)dx ight) space dy]

[int_1^{27}left(int_1^2 (sqrt[3]{x} + sqrt[3]{y})dy ight) space dx]

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(frac{81}{2} + 39sqrt[3]{2}).

[int_1^{16}left(int_1^8 (sqrt[4]{x} + 2sqrt[3]{y})dy ight) space dx]

[int_{ln space 2}^{ln space 3}left(int_0^1 e^{x+y}dy ight) space dx]

[Lösung ausblenden]

(e - 1).

[int_0^2left(int_0^1 3^{x+y}dy ight) space dx]

[int_1^6left(int_2^9 frac{sqrt{y}}{y^2}dy ight) space dx]

[Lösung ausblenden]

(15 - frac{10sqrt{2}}{9}).

[int_1^9 left(int_4^2 frac{sqrt{x}}{y^2}dy ight) dx]

Bewerten Sie in den folgenden Übungen die iterierten Integrale, indem Sie die Integrationsreihenfolge wählen.

[int_0^{pi} int_0^{pi/2} sin(2x)cos(3y)dx space dy]

[Lösung ausblenden]

0.

[int_{pi/12}^{pi/8}int_{pi/4}^{pi/3} [cot space x + tan(2y)]dx space dy]

[int_1^e int_1^e left[frac{1}{x}sin(ln space x) + frac{1}{y}cos (ln space y) ight] dx space dy]

[Lösung ausblenden]

((e − 1)(1 + sin1 − cos1))

[int_1^e int_1^e frac{sin(ln space x)cos (ln space y)}{xy} dx space dy]

[int_1^2 int_1^2 left(frac{ln space y}{x} + frac{x}{2y + 1} ight) dy space dx]

[Lösung ausblenden]

(frac{3}{4}ln left(frac{5}{3} ight) + 2b space ln^2 2 - ln space 2)

[int_1^e int_1^2 x^2 ln(x) dy space dx]

[int_1^{sqrt{3}} int_1^2 y space arctan left(frac{1}{x} ight) dy space dx]

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{8}[(2sqrt{3} - 3) pi + 6 space ln space 2]).

[int_0^1 int_0^{1/2} (Arcsin space x + arcsin space y) dy space dx]

[int_0^1 int_0^2 xe^{x+4y} dy space dx]

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{4}e^4 (e^4 - 1)).

[int_1^2 int_0^1 xe^{x-y} dy space dx]

[int_1^e int_1^e left(frac{ln space y}{sqrt{y}} + frac{ln space x}{sqrt{x}} ight) dy space dx]

[Lösung ausblenden]

(4(e - 1)(2 - sqrt{e})).

[int_1^e int_1^e left(frac{x space ln space y}{sqrt{y}} + frac{y space ln space x}{sqrt{x}} ight) dy space dx]

[int_0^1 int_1^2 left(frac{x}{x^2 + y^2} ight) dy space dx]

[Lösung ausblenden]

(-frac{pi}{4} + ln left(frac{5}{4} ight) - frac{1}{2} ln space 2 + arctan space 2).

[int_0^1 int_1^2 frac{y}{x + y^2} dy space dx]

Ermitteln Sie in den folgenden Übungen den Mittelwert der Funktion über die gegebenen Rechtecke.

(f(x,y) = −x+2y), (R = [0,1] imes [0,1])

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{2}).

(f(x,y) = x^4 + 2y^3), (R = [1,2] imes [2,3])

(f(x,y) = sinh space x + sinh space y), (R = [0,1] imes [0,2])

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{2}(2 space cosh space 1 + cosh space 2 - 3)).

(f(x,y) = arctan(xy)), (R = [0,1] imes [0,1])

Lassen F und g seien zwei stetige Funktionen mit (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) für jedes (x ∈ [a,b]) und (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) für beliebige( y ∈ [c,d]). Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung wahr ist:

[m_1m_2(b-a)(c-d) leq int_a^b int_c^d f(x) g(y) dy dx leq M_1M_2 (b-a)(c-d).]

Verwenden Sie in den folgenden Übungen die Eigenschaft v von Doppelintegralen und die Antwort aus der vorherigen Übung, um zu zeigen, dass die folgenden Ungleichungen wahr sind.

(frac{1}{e^2} leq iint_R e^{-x^2 - y^2} space dA leq 1), wobei (R = [0,1] imes [ 0,1])

(frac{pi^2}{144} leq iint_R sin space x space cos y space dA leq frac{pi^2}{48}), wobei (R = links[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight] imes left[ frac{pi}{6}, frac{pi}{3} ight ])

(0 leq iint_R e^{-y}space cos x space dA leq frac{pi}{2}), wobei (R = left[0, frac{pi} {2} ight] imes left[0, frac{pi}{2} ight])

(0 leq iint_R (ln space x)(ln space y) dA leq (e - 1)^2), wobei (R = [1, e] imes [1, e] )

Lassen F und g seien zwei stetige Funktionen mit (0 leq m_1 leq f(x) leq M_1) für jedes (x ∈ [a,b]) und (0 leq m_2 leq g(y) leq M_2) für jedes (y ∈ [c,d]). Zeigen Sie, dass die folgende Ungleichung wahr ist:

((m_1 + m_2) (b - a)(c - d) leq int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)|space dy space dx leq (M_1 + M_2 )(b - a)(c - d)).

Verwenden Sie in den folgenden Übungen die Eigenschaft v von Doppelintegralen und die Antwort aus der vorherigen Übung, um zu zeigen, dass die folgenden Ungleichungen wahr sind.

(frac{2}{e} leq iint_R (e^{-x^2} + e^{-y^2}) dA leq 2), wobei (R = [0,1] mal [0,1])

(frac{pi^2}{36}iint_R (sin space x + cos space y)dA leq frac{pi^2 sqrt{3}}{36}), wobei (R = [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}] imes [frac{pi}{6}, frac{pi}{3}])

(frac{pi}{2}e^{-pi/2} leq iint_R (cos space x + e^{-y})dA leq pi), wobei (R = [0, frac{pi}{2}] imes [0, frac{pi}{2}])

(frac{1}{e} leq iint_R (e^{-y} - ln space x) dA leq 2), wobei (R = [0, 1] imes [0, 1 ])

In den folgenden Übungen wird die Funktion F wird in Form von Doppelintegralen angegeben.

  1. Bestimmen Sie die explizite Form der Funktion F.
  2. Finden Sie das Volumen des Festkörpers unter der Oberfläche (z = f(x,y)) und über der Region R.
  3. Finden Sie den Mittelwert der Funktion F an R.
  4. Verwenden Sie ein Computeralgebrasystem (CAS), um (z = f(x,y)) und (z = f_{ave}) im gleichen Koordinatensystem darzustellen.

[T] (f(x,y) = int_0^y int_0^x (xs + yt) ds space dt), wobei ((x,y) in R = [0,1] imes [0 ,1])

[Lösung ausblenden]

A. (f(x,y) = frac{1}{2} xy (x^2 + y^2)); B. (V = int_0^1 int_0^1 f(x,y) dx space dy = frac{1}{8}); C. (f_{ave} = frac{1}{8});

D.

[T] (f(x,y) = int_0^x int_0^y [cos space (s) + cos space (t)] dt space ds), wobei ((x,y) in R = [0,3] mal [0,3])

Zeigen Sie, dass wenn F und g auf ([a,b]) bzw. ([c,d]) stetig sind, dann

(int_a^b int_c^d |f(x) + g(y)|dy space dx = (d - c) int_a^b f(x)dx)

(+ int_a^b int_c^dg(y)dy space dx = (b - a) int_c^dg(y)dy + int_c^d int_a^bf(x) dx space dy) .

Zeigen Sie, dass (int_a^b int_c^d yf(x) + xg(y) dy space dx = frac{1}{2} (d^2 - c^2) left(int_a^bf (x)dx ight) + frac{1}{2} (b^2 - a^2) left(int_c^dg(y)dy ight)).

[T] Betrachten Sie die Funktion (f(x,y) = e^{-x^2-y^2}), wobei ((x,y) in R = [−1,1] imes [−1 ,1]).

  1. Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2,4,..., 10), um das Doppelintegral (I = iint_R e^{-x^2 - y^2} dA) abzuschätzen. Runden Sie Ihre Antworten auf die nächsten Hundertstel.
  2. Ermitteln Sie für (m = n = 2) den Mittelwert von F über die Region R. Runden Sie Ihre Antwort auf die nächsten Hundertstel.
  3. Verwenden Sie ein CAS, um im gleichen Koordinatensystem den Festkörper, dessen Volumen durch (iint_R e^{-x^2-y^2} dA) gegeben ist, und die Ebene (z = f_{ave}) darzustellen.

[Lösung ausblenden]

A. Für (m = n = 2), (I = 4e^{-0,5} approx 2,43) b. (f_{ave} = e^{-0.5} simeq 0.61);

C.

[T] Betrachten Sie die Funktion (f(x,y) = sin space (x^2) space cos space (y^2)), wobei ((x,y in R = [−1,1] mal [−1,1]).

  1. Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2,4,..., 10), um das Doppelintegral (I = iint_R sin space (x^2) space cos space (y^2 ) space dA). Runden Sie Ihre Antworten auf die nächsten Hundertstel.
  2. Ermitteln Sie für (m = n = 2) den Mittelwert von F über die Region R. Runden Sie Ihre Antwort auf die nächsten Hundertstel.
  3. Verwenden Sie einen CAS, um im gleichen Koordinatensystem den Körper, dessen Volumen durch (iint_R sin space (x^2) space cos space (y^2) space dA) und die Ebene (z = f_{ave}).

In den folgenden Übungen werden die Funktionen fnfn angegeben, wobei (n geq 1) eine natürliche Zahl ist.

  1. Bestimme das Volumen der Körper (S_n) unter den Flächen (z = f_n(x,y)) und über der Region R.
  2. Bestimmen Sie die Grenze der Volumen der Festkörper (S_n) als n erhöht sich unbegrenzt.

(f(x,y) = x^n + y^n + xy, space (x,y) in R = [0,1] imes [0,1])

[Lösung ausblenden]

A. (frac{2}{n + 1} + frac{1}{4}) b. (frac{1}{4})

(f(x,y) = frac{1}{x^n} + frac{1}{y^n}, space (x,y) in R = [1,2] imes [ 1,2])

Zeigen Sie, dass der Mittelwert einer Funktion F auf einem rechteckigen Gebiet (R = [a,b] imes [c,d]) ist (f_{ave} approx frac{1}{mn} sum_{i=1}^m sum_ {j=1}^nf(x_{ij}^*,y_{ij}^*)),wobei ((x_{ij}^*,y_{ij}^*)) die Abtastpunkte von sind die Teilung von R, wobei (1 leq i leq m) und (1 leq j leq n).

Verwenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n), um zu zeigen, dass der Mittelwert einer Funktion F auf einem rechteckigen Gebiet (R = [a,b] imes [c,d]) wird angenähert durch

[f_{ave} approx frac{1}{n^2} sum_{i,j=1}^nf left(frac{1}{2} (x_{i=1} + x_i) , space frac{1}{2} (y_{j=1} + y_j) ight).]

Eine Isothermenkarte ist ein Diagramm, das Punkte mit derselben Temperatur zu einem bestimmten Zeitpunkt für einen bestimmten Zeitraum verbindet. Verwenden Sie die obige Übung und wenden Sie die Mittelpunktsregel mit (m = n = 2) an, um die Durchschnittstemperatur über dem in der folgenden Abbildung angegebenen Bereich zu ermitteln.

[Lösung ausblenden]

(56,5^{circ}) F; hier (f(x_1^*,y_1^*) = 71, space f(x_2^*, y_1^*) = 72, space f(x_2^*,y_1^*) = 40, space f( x_2^*,y_2^*) = 43), wobei (x_i^*) und (y_j^*) die Mittelpunkte der Teilintervalle der Partitionen von [a,b] und [c,d] sind , beziehungsweise

15.2: Doppelintegrale über allgemeine Regionen

Geben Sie in den folgenden Übungen an, ob es sich bei der Region um Typ I oder Typ II handelt.

Die Region (D) begrenzt durch (y = x^3, space y = x^3 + 1, space x = 0,) und (x = 1) wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y) = 3xy) in der Region, die in der vorherigen Übung grafisch dargestellt wurde.

[Lösung ausblenden]

(frac{27}{20})

Finden Sie die Fläche der Region (D) aus der vorherigen Übung.

Der Bereich (D) begrenzt durch (y = sinspace x, space y = 1 + sinspace x, space x = 0) und (x = frac{pi}{2 }) wie in der folgenden Abbildung angegeben.

[Lösung ausblenden]

Typ I, aber nicht Typ II

Ermitteln Sie den Mittelwert der Funktion (f(x,y) = cos space x) in der Region, die in der vorherigen Übung grafisch dargestellt wurde.

Finden Sie die Fläche der Region (D) aus der vorherigen Übung.

[Lösung ausblenden]

(frac{pi}{2})

Die Region (D) begrenzt durch (x = y^2 - 1) und (x = sqrt{1 - y^2}) wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Finden Sie das Volumen des Festkörpers unter dem Graphen der Funktion (f(x,y) = xy + 1) und über dem Bereich in der Abbildung in der vorherigen Übung.

[Lösung ausblenden]

(frac{1}{6}(8 + 3pi))

Die Region (D) begrenzt durch (y = 0, space x = -10 + y,) und (x = 10 - y) wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Finden Sie das Volumen des Festkörpers unter dem Graphen der Funktion (f(x,y) = x + y) und über dem Bereich in der Abbildung aus der vorherigen Übung.

[Lösung ausblenden]

(frac{1000}{3})

Der Bereich (D) begrenzt durch (y = 0, space x = y - 1, space x = frac{pi}{2}) wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Die Region (D) begrenzt durch (y = 0) und (y = x^2 - 1) wie in der folgenden Abbildung dargestellt.

Typ I und Typ II

Sei (D) der Bereich, der von den Kurven der Gleichungen (y = x, space y = -x) und (y = 2 - x^2) begrenzt wird. Erklären Sie, warum (D) weder vom Typ I noch vom Typ II ist.

Sei (D) der Bereich, der von den Kurven der Gleichungen (y = cos space x) und (y = 4 - x^2) und der (x)-Achse begrenzt wird. Erklären Sie, warum (D) weder vom Typ I noch vom Typ II ist.

[Lösung ausblenden]

Die Region (D) ist nicht vom Typ I: sie liegt nicht zwischen zwei vertikalen Linien und den Graphen zweier stetiger Funktionen (g_1(x)) und (g_2(x)). Die Region


    Hier sind einige Tipps. Zuerst können Sie "Bogenlängenprobleme Kalkül 2" googeln und Sie erhalten viele Beispiele durch verschiedene Websites. Schauen Sie nicht, wie sie es ausarbeiten, versuchen Sie es zuerst selbst. Zweitens hat Stewart Calculus viele Probleme mit der Bogenlänge (aktuelle Ausgabe Kapitel 8 Abschnitt 1). Sie können dieses Buch gebraucht zu einem guten Preis kaufen. Ausgezeichnetes Referenzmaterial.

    Ich bin sicher, es sind noch andere Calculus-Bücher im Umlauf, die auch genug Bogenlängenprobleme haben. Als ich es studierte, habe ich Thomas & Finney sowie Edwards & Penney als Referenz verwendet. (Ausgaben für Übersee)

    Fast jedes Buch hat genug practic3e für Ihre Zwecke. Es gibt Sehr wenig wirklich unterschiedliche Funktionen $y=f(x)$, für die das Integral, das Sie erhalten, "machbar" ist. Dies liegt daran, dass, wenn Sie die meisten $f(x)$ nehmen und $sqrt<1+(f'(x))^2>, ag<1>$ berechnen, Sie am Ende etwas haben, das nicht in elementares integriert werden kann Bedingungen. Deshalb ist die Funktion $1+(f'(x))^2$ in vielen der Aufgaben, die Ihnen gestellt werden, "magisch" das Quadrat von etwas Schönem.

    Ein typisches Beispiel wäre etwa $f(x)=frac<1><2>(e^x+e^<-x>)$. Unterscheiden. Wir erhalten $frac<1><2>(e^x-e^<-x>)$. Quadrat und füge 1$ hinzu. Wir erhalten $frac<1><4>(e^<2x>-2+e^<-2x>)+1$.

    Wenn Sie den Ausdruck auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten Sie $frac<1><4>(e^<2x>+2+e^<-2x>)$, was "zufällig" das Quadrat ist von $frac<1><2>(e^x+e^<-x>)$. Ziehen Sie also die Quadratwurzel, und jetzt ist die Integration einfach.

    Bei Bogenlängenproblemen ist es sinnvoll, nach magischen Vereinfachungen Ausschau zu halten. Das Bedauerliche daran ist, dass man, wenn man einen kleinen Fehler in der Algebra macht, am Ende etwas bekommt, das sich elementar nicht integrieren lässt.


    Übungen in Infinitesimalrechnung von Norman Dobson, herausgegeben von Thomas Gideon

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    Infinitesimalrechnung I NYA - Inhalt

    1. Grenzwerte (ps, pdf)
    2. Kontinuität (ps, pdf)
    3. Definition des Derivats (ps, pdf)
    4. Differenzierung u(ps, pdf)
    5. Tangenten und Normalen (ps, pdf)
    6. Verwandte Tarife (ps, pdf)
    7. Höhere Derivate (ps, pdf)
    8. Kurvenskizzen (ps, pdf)
    9. Optimierung (ps, pdf)
    10. Einbindung (ps, pdf)
    11. Differentialgleichungen (ps, pdf)
    12. Bereich (ps, pdf)
    13. Verschiedenes (ps, pdf)

    Calculus II NYB - InhaltB

    1. Einbindung (ps, pdf)
    2. Grenzwerte (ps, pdf)
    3. Revolutionsbände (ps, pdf)
    4. Sequenzen, Geometrie- und Teleskopserien (ps, pdf)
    5. Positiv-Term-Reihe (ps, pdf)
    6. Abwechselnde Serien (ps, pdf)

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    Hausaufgabenregeln

    Die Zusammenarbeit bei Problemstellungen wird gefördert, aber

    1. Versuchen Sie jeden Teil jedes Problems selbst. Lesen Sie jeden Abschnitt des Problems, bevor Sie um Hilfe bitten. Wenn Sie nicht verstehen, was gefragt wird, bitten Sie um Hilfe bei der Interpretation des Problems und versuchen Sie dann ehrlich, es zu lösen.
    2. Schreiben Sie jedes Problem unabhängig voneinander auf. Sowohl in Teil A als auch in Teil B wird erwartet, dass Sie die Antwort in Ihren eigenen Worten schreiben.
    3. Schreiben Sie auf Ihre Problemliste, wen Sie konsultiert haben und welche Quellen Sie verwendet haben. Wenn Sie dies nicht tun, können Sie des Plagiats angeklagt und mit schweren Strafen belegt werden.
    4. Das Einsehen von Materialien aus früheren Semestern ist nicht gestattet.

    Integrieren von $int^_0 e^,dx$ mit Feynmans Parametrisierungstrick

    Ich bin am letzten Wochenende über diesen kurzen Artikel gestolpert, er stellt einen Integraltrick vor, der die Differenzierung unter dem Integralzeichen ausnutzt. Auf der letzten Seite hat der Autor, Herr Anonymous, mehrere Aufgaben ohne Hinweise hinterlassen, eine davon ist die Auswertung des Gauß-Integrals $ int^infty_0 e^ <-x^2>,dx= frac< sqrt> <2>$ mit diesem Parametriertrick. Ich hatte es durch Versuch und Irrtum mit verschiedenen Paramatrisierungen bewertet, aber bisher kein Glück.

    Folgendes habe ich bisher versucht:

    Ein erster Instinkt wäre, etwas zu tun wie: $ I(b) = int^infty_0 e^<-f(b)x^2>,dx $ für eine zulässige Funktion $f(cdot)$, differenzieren führt zu einer einfachen lösbaren Ode: $ frac = -frac <2f(b)>$ was ergibt: $ I(b) = frac>. $ Das Auffinden dieser Konstanten $C$ entspricht jedoch im Grunde der Auswertung des ursprünglichen Integrals, wir stecken hier fest, ohne dieses Parametrisierungs-Trick-Framework zu verlassen.

    Ein zweiter Versuch beinhaltet eine Übung auf derselben Seite: $ I(b) = int^infty_0 e^<-frac-x^2>dx. $ Durch Ableitung und Umskalierung des Integrals mittels Variablenänderung erhalten wir: $ I'(b) = -2I(b). $ Dies gibt uns eine weitere unmöglich zu lösende Konstante $C$ in: $ I(b) = C e^ <-2b>$, ohne diesen Rahmen noch einmal zu verlassen.

    Der dritte Versuch besteht darin, die Antwort von Américo Tavares in dieser MSE-Frage zu ändern: $ I(b) = int^infty_0 be^<-b^2x^2>,dx. $ Es ist leicht zu zeigen: $ I'(b) = int^infty_0 e^<-b^2x^2>,dx - int^infty_0 2b^2 x^2 e^<-b ^2x^2>,dx = 0 $ durch eine Integration nach Teileidentität: $ int^infty_0 x^2 e^<- cx^2>,dx = frac<1><2c>int^ infty_0 e^<- cx^2>,dx . $ Dann bleibt $I(b) = C$, autsch, wieder bei dieser Konstante hängen.

    Beachten Sie, dass die Antwort von Bryan Yocks in der Frage $displaystyleint_<0>^ e^ <-x^2>dx = frac<2>$ der Idee ähnlich ist der Parametrisierung muss er jedoch eine weitere parametrische Integration einführen, um ein bestimmtes Integral zu erzeugen, das zu $arctan$ führt.

    Gibt es eine solche One-Shot-Parametrisierungstricklösung, wie der Autor Anonymous behauptete, "kreative Parametrisierungen und eine Dosis Differenzierung unter dem Integral" zu sein?


    $A$ kann außerhalb des Integrals genommen werden und multipliziert daher nur die endgültige Antwort. Das zweite Integral kann durch partielle Integration als erstes ausgedrückt werden. Beachten Sie zunächst, dass die Ableitung von $-ae^<-ax>$ $e^<-ax>$ ist. Bearbeiten: Die Ableitung von $e^<-ax>$ ist $-ae^<-ax>$.

    Hinweise Verwenden Sie für den ersten eine Substitution.

    Für den zweiten Teil integrieren.

    Ein Trick für die zweite Funktion besteht darin, sie als Ableitung der ersten Funktion nach a zu betrachten. Ist nicht wirklich formell, aber wirklich nützlich. Das geht so: $int_0^infty Axexp(-ax)=-Aint_0^infty fracexp(-ax)dx=-Afracint_0^inftyexp(-ax)dx$ Das Integral des ersten ist einfach, es ist nur $-frac<1>exp(-ax)$, wie in den Beiträgen gesagt. Die Grenze einer negativen Exponentialfunktion zu $infty$ beträgt nur $ und zu $ ​​ist $1$. Wir erhalten also: $-Afracleft(0-frac<1> ight)=-frac$ Mit dieser Methode kannst du $int_0^infty Ax^ nexp(-ax)$ für jedes $n in mathbb . integrieren$


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    Schreiben ohne Überarbeitung

    Lernprotokolle

    Zu Beginn des Unterrichts erhalten die Schüler eine Aufforderung, auf die sie einige Minuten schriftlich antworten. Die Aufgabe ist nicht per se als Mathematikaufgabe konzipiert, sondern soll die Schüler dazu anregen, sich auf die Mathematik zu konzentrieren.

    Ein Lehrer der fünften Klasse verwendet normalerweise Lernprotokolle, um zuvor gelerntes Material zu überprüfen. Bei einer Gelegenheit stellte sie sich als Aufforderung: Was haben wir über Mittelwert, Median und Modus gelernt? Die meisten Schüler schrieben mindestens eine halbe Seite voller Definitionen und Beispiele (siehe Abbildung 1A). Während des Studiums der Wahrscheinlichkeit schrieb ein Student die folgende Definition: "Die 'Wahrscheinlichkeit' von etwas ist, wie wahrscheinlich es ist, dass Sie etwas bekommen, auswählen oder finden." Dann gab er ein Beispiel mit Formen und farbigen Karten (siehe Abbildung 1B).

    Abbildung 1A: Lernprotokolleinträge von Fünftklässlern – Definitionen und Beispiele für Mittelwert, Median und Modus

    Abbildung 1B: Lernprotokolleinträge von Fünftklässlern – Definition und Beispiele für Wahrscheinlichkeiten

    Dieser Lehrer stellte fest, dass sich die Qualität der Lernprotokolle verbesserte, wenn die Schüler ihre Arbeit teilten: "[Wenn ein Schüler] ein Protokoll mit klarem Verständnis teilte, lieferte dies anderen ein Beispiel, dem sie folgen konnten." Neben der Feststellung, dass Lernprotokolle eine effektive Methode zur Einführung oder zum Abschluss einer Unterrichtsstunde darstellen, stellte die Lehrkraft fest, dass die Qualität der Schülerdiskussion über Mathematik während des Unterrichts reicher war, wenn von den Schülern erwartet wurde, dass sie schreiben.

    Lernprotokolle ehren die Integrität des Schreibens, wenn Schüler ihre eigenen Verbindungen und Beispiele schreiben. Gleichzeitig fördern sie das mathematische Verständnis, indem sie den Verstand der Schüler dazu anregen, Informationen von zu merkenden Fakten in die Konstruktion von Bedeutungen umzuwandeln (z. B. Newell, 2008).

    Denken-schreiben-teilen

    Lehrer stellen oft Fragen und rechnen damit, dass mindestens ein oder zwei Schüler ihre Hand heben. Ein Lehrer der vierten Klasse aus dem Jahr 2011 versuchte, alle in der Klasse einzubeziehen, indem er Zeit zum Nachdenken einräumte und von den Schülern erwartete, dass sie vor dem Teilen schreiben. Für eine Think-Write-Aktie fragte sie: "Was ist ein äquivalenter Bruch?" Sie gab den Schülern ein paar Minuten zum Nachdenken und bat sie dann, ihre Antworten zu schreiben, bevor sie die Schüler mit einer Dokumentenkamera zum Teilen aufrief. Beim Nachdenken über die Anwendung dieser Strategie kommentierte die Lehrkraft:

    Ich ging davon aus, dass jeder verstanden hat [was ein äquivalenter Bruch ist], weil wir das schon eine Weile tun. Als wir uns teilten, wurde mir jedoch bald klar, dass einige meiner Schüler dachten, dass äquivalente Brüche [nur] Brüche sind, die gleich sind, zum Beispiel 1&#82604 = 1&#82604.

    Um diesem Missverständnis entgegenzuwirken, wählte die Lehrerin strategisch Schüler aus, die sie auf der Grundlage des Denkens, das sie gezeigt hatte, teilen sollten: "Kinder, die es falsch verstanden haben, Kinder, die es ein wenig verstanden haben, und diejenigen, die es gut wussten." Nachdem mehrere klare Antworten geteilt und diskutiert worden waren (siehe Abbildung 2A), forderte die Lehrkraft alle Schüler auf, noch einmal zu schreiben und ihre ursprüngliche Arbeit zu überarbeiten, um ihr erweitertes Verständnis widerzuspiegeln (siehe Abbildung 2B).

    Abbildung 2A: Think-write-Aktien von Viertklässlern – Beispiel, das ein klares Verständnis von äquivalenten Brüchen zeigt

    Abbildung 2B: Think-write-Aktien von Viertklässlern – Beispiel für äquivalente Brüche, vor und nach der Überarbeitung

    Die Think-Write-Share-Strategie erhöht das schriftliche Engagement der Schüler. Gleichzeitig werden die Studierenden für ihr eigenes mathematisches Verständnis verantwortlich gemacht.

    Notizen machen/Notizen machen

    Die Schüler sind vielleicht daran gewöhnt, sich Notizen zu machen, bitten sie jetzt aber auch, sich Notizen zu machen. Neben der Auflistung der Hauptpunkte einer Unterrichtsstunde können die Schüler ihre eigenen Reflexionen und Wahrnehmungen aufschreiben. Ein Lehrer der fünften Klasse nutzte die Strategie des Notierens/Notierens in der Mathematik, um den Begriff der ganzen Zahlen auf ganze Zahlen zu erweitern, einschließlich des Konzepts der negativen Zahl.

    Sie forderte ihre Schüler auf, ihre Papiere vertikal in zwei Hälften zu falten. Auf der linken Seite wies sie die Schüler an, ganze Zahlen zu definieren und Zahlenlinien zu konstruieren, um die relative Größe von ganzzahligen Paaren zu demonstrieren. Auf der rechten Seite schrieben die Schüler ihre eigenen Reaktionen und Beobachtungen. Ein Student schrieb: "Ich werde mich daran erinnern, dass es auf der negativen Seite umso kleiner wird, je größer es wird. Das fand ich cool." Ein anderer Student schrieb: "Es ist seltsam, dass -2 größer als -5 ist." Derselbe Student fuhr fort, seine eigene Analogie zu erstellen: "Es ist wie ein Klavier, von unten nach oben mit mittlerem C. Kleiner zu größer mit Null. Null und C sind nicht klein, groß, hoch oder niedrig" (siehe Abbildung 3 ).

    Abbildung 3: Notizen machen/Notizen machen: Die Vorstellung eines Fünftklässlers von ganzen Zahlen

    Notizen/Notizen ehren sowohl das Schreiben als auch die Mathematik. Es ermutigt die Schüler, Verbindungen zwischen neuen Konzepten und zuvor erlerntem Material und ihren persönlichen Erfahrungen herzustellen.


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    6. Ersatz x zurück in

    Wir sind jetzt fast fertig, da wir die Stammfunktion gefunden haben. Wir müssen es nur in Bezug auf schreiben x so dass unsere Antwort tatsächlich die Stammfunktion der Funktion ist, mit der wir begonnen haben. Da wir bereits die Stammfunktion nach gefunden haben du, und wir wissen du bezüglich x, können wir einfach ersetzen du.

    Wir haben in Schritt 1 entschieden, dass

    und wir fanden auch heraus, dass unsere Stammfunktion in Bezug auf du ist

    Daher können wir (x^2+5) einsetzen für du um herauszufinden, dass die Stammfunktion von (f(x)=x(x^2+5)^3) . ist

    Und das ist es! Sie können diese 6 Schritte anwenden, um jedes U-Substitutionsproblem zu lösen.

    Ich hoffe, diese Lektion hilft Ihnen weiter, aber wenn es noch ein Thema gibt, über das Sie mehr erfahren möchten, sehen Sie sich einige meiner anderen Lektionen und Problemlösungen an. Wenn Sie das Thema oder die Frage, die Sie suchen, nicht finden können, lassen Sie es mich einfach wissen, indem Sie mir eine E-Mail senden an [email protected]!

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    Schau das Video: : Triple Integrals (Januar 2022).