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5.1: Das komplexe Zahlensystem


Fokusfragen

Die folgenden Fragen sollen unser Studium des Materials in diesem Abschnitt leiten. Nachdem wir diesen Abschnitt studiert haben, sollten wir die durch diese Fragen motivierten Konzepte verstehen und in der Lage sein, präzise, ​​kohärente Antworten auf diese Fragen zu schreiben.

  • Was ist eine komplexe Zahl?
  • Was bedeutet es, wenn zwei komplexe Zahlen gleich sind?
  • Wie addieren wir zwei komplexe Zahlen?
  • Wie multiplizieren wir zwei komplexe Zahlen miteinander?
  • Was ist die Konjugierte einer komplexen Zahl?
  • Was ist der Modul einer komplexen Zahl?
  • Wie hängen Konjugierte und Modul einer komplexen Zahl zusammen?
  • Wie dividieren wir eine komplexe Zahl durch eine andere?

Die quadratische Formel (x = dfrac{-b pm sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}) erlaubt uns, Lösungen für die quadratische Gleichung (ax^2+ bx + c = 0). Zum Beispiel sind die Lösungen der Gleichung (x^{2} + x + 1 = 0)

[x = dfrac{-1 pm sqrt{1 - 4}}{2} = dfrac{-1 pm sqrt{-3}}{2}. keine Nummer]

Bei dieser Lösung entsteht sofort ein Problem, da es keine reelle Zahl (t) mit der Eigenschaft (t^{2} = -3) oder (t = sqrt{-3}) gibt. Um Lösungen wie diese sinnvoll zu machen, stellen wir vor komplexe Zahlen. Obwohl komplexe Zahlen natürlicherweise beim Lösen quadratischer Gleichungen entstehen, entstand ihre Einführung in die Mathematik aus dem Problem der Lösung kubischer Gleichungen.

Wenn wir die quadratische Formel verwenden, um eine Gleichung wie (x^{2} + x + 1 = 0) zu lösen,

wir erhalten die Lösungen (x = dfrac{-1 + sqrt{-3}}{2}) und (x = dfrac{-1 - sqrt{-3}}{2}). Diese Zahlen sind komplexe Zahlen und wir haben eine spezielle Form, um diese Zahlen zu schreiben. Wir schreiben sie so, dass die Quadratwurzel von (-1) isoliert wird. Zur Veranschaulichung die Zahl

[dfrac{-1 + sqrt{-3}}{2} onumber]

kann wie folgt geschrieben werden:

[dfrac{-1 + sqrt{-3}}{2} = -dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{-3}}{2} = -dfrac{1}{ 2} + dfrac{sqrt{3}sqrt{-1}}{2} = -dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{3}}{2}sqrt{-1} keine Nummer]

Da es keine reelle Zahl (t) gibt, die (t^{2} = -1) erfüllt, ist (sqrt{-1}) keine reelle Zahl. Wir nennen (sqrt{-1}) an imaginäre Zahl und geben Sie ihm ein spezielles Label (i). Also (i = sqrt{-1}) oder (i^{2} = -1). In diesem Sinne können wir schreiben

[dfrac{-1 + sqrt{-3}}{2} = -dfrac{1}{2} + dfrac{sqrt{3}}{2}i onumber]

und jede komplexe Zahl hat diese spezielle Form.

Definition: Komplexe Zahlen

EIN komplexe Zahl ist ein Objekt der Form

[a + bi]

wobei (a) und (b) reelle Zahlen sind und (i^{2} = -1).

Die Form (a + bi), wobei a und b reelle Zahlen sind, heißt Standardform für eine komplexe Zahl. Wenn wir eine komplexe Zahl der Form (z = a + bi) haben, heißt die Zahl (a) die echter teil der komplexen Zahl (z) und der Zahl (b) heißt die imaginärer Teil von (z). Da i keine reelle Zahl ist, sind zwei komplexe Zahlen (a + bi) und (c + di) genau dann gleich, wenn (a = c) und (b = d) sind.

Es gibt eine Arithmetik komplexer Zahlen, die durch Addition und Multiplikation komplexer Zahlen bestimmt wird. Das Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen ist natürlich:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i]

[(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i]

Das heißt, um zwei komplexe Zahlen zu addieren (oder zu subtrahieren), addieren (subtrahieren) wir ihre Realteile und addieren (subtrahieren) ihre Imaginärteile. Auch die Multiplikation erfolgt auf natürliche Weise – um zwei komplexe Zahlen zu multiplizieren, entwickeln wir einfach das Produkt wie gewohnt und nutzen die Tatsache aus, dass (i^{2} = -1) ist. Das Produkt zweier komplexer Zahlen ist also

[egin{align*} (a + bi) + (c + di) &= ac + (ad)i + (bc)i + (bd)i^{2} [4pt] &= (ac - bd) + (ad + bc)i end{align*}]

Komplexe Zahleneigenschaften

Es kann gezeigt werden, dass die komplexen Zahlen viele nützliche und bekannte Eigenschaften erfüllen, die den Eigenschaften der reellen Zahlen ähneln. Wenn (u), (w) und (z) komplexe Zahlen sind, dann

  1. (w + z = z + w)
  2. (u + (w + z) = (u + w) + z)
  3. Die komplexe Zahl (0 = 0 + 0i) ist eine additive Identität, also (z + 0 = z).
  4. Wenn (z = a + bi), dann ist die additive Inverse von (z) (-z = (-a) + (-b)i). Das heißt, (z + (-z) = 0).
  5. (wz = zw)
  6. (u(wz) = (uw)z)
  7. (u(w + z) = uw + uz)
  8. Wenn (wz = 0), dann (w = 0) oder (z = 0).

Wir werden diese Eigenschaften nach Bedarf verwenden. Um zum Beispiel das komplexe Produkt ((1 + i)i) in der Form (a + bi) mit (a) und (b) reellen Zahlen zu schreiben, verteilen wir Multiplikation über Addition und verwenden die Tatsache, dass (i^{2} = -1) um zu sehen, dass

[(1 + i)i = i + i^{2} = i + (-1) = (-1) + i.]

Für ein anderes Beispiel, wenn (w = 2 + i) und (z = 3 - 2i), können wir diese Eigenschaften verwenden, um (wz) in der Standardform (a + bi) wie folgt zu schreiben :

[wz = (2 + i)z = 2z + iz = 2(3 - 2i) + i(3 - 2i) = (6 - 4i) + (3i - 2i^{2}) = 6 - 4i + 3i - 2(-1) = 8 - i]

Übung (PageIndex{1A})

Schreiben Sie jede der Summen oder Produkte als komplexe Zahl in Standardform.

  1. ((2 + 3i) + (7 - 4i))
  2. ((4 - 2i)(3 + i))
  3. ((2 + i)i - (3 + 4i))
Antworten

(a) ((2 + 3i) + (7 - 4i) = 9 - i)

(b) ((4 - 2i)(3 + i) = (4 - 2i)3 + (4 - 2i)i = 14 - 2i)

(c) ((2 + i)i - (3 + 4i) = (2i - 1) - 3 - 4i = -4 - 2i)

Übung (PageIndex{1B})

Verwenden Sie die quadratische Formel, um die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung (x^{2} - x+2 = 0) als komplexe Zahlen der Form (r + si) und (u + vi) für . zu schreiben einige reelle Zahlen (r), (s), (u) und (v).

(Hinweis: Denken Sie daran: (i = sqrt{-1}). Wir können also etwas wie (sqrt{-4}) umschreiben als (sqrt{-4} = sqrt{4}sqrt{-1} = 2i).)

Antworten

Wir verwenden die quadratische Formel, um die Gleichung zu lösen und erhalten [x = dfrac{1 pm sqrt{-7}}{2}.]

Wir können dann (sqrt{-7} = isqrt{7}) schreiben. Die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung lauten also:

[egin{align*} x &= dfrac{1 pm isqrt{7}}{2} [4pt] &= dfrac{1}{2} pm dfrac{sqrt{ 7}}{2}i [4pt] end{align*}]

Division komplexer Zahlen

Wir können komplexe Zahlen addieren, subtrahieren und multiplizieren, daher ist es natürlich zu fragen, ob wir komplexe Zahlen dividieren können. Wir illustrieren mit einem Beispiel.

Beispiel (PageIndex{2}): Dividieren durch eine komplexe Zahl

Schreiben Sie den Quotienten (dfrac{2 + i}{3 + i}) als komplexe Zahl in der Form (a + bi).

Lösung

Dieses Problem rationalisiert einen Nenner, da (i = sqrt{-1}). In diesem Fall müssen wir also den Imaginärteil vom Nenner „entfernen“. Denken Sie daran, dass das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten eine reelle Zahl ist. Wenn wir also Zähler und Nenner von (dfrac{2 + i}{3 + i}) mit der komplex Konjugierten des Nenners multiplizieren, erhalten wir kann den Nenner in eine reelle Zahl umschreiben. Die Schritte sind wie folgt. Die Multiplikation von Zähler und Nenner mit der Konjugierten (3 - i) oder (3 + i) ergibt uns

[dfrac{2 + i}{3 + i} = left(dfrac{2 + i}{3 + i} ight)left(dfrac{3 - i}{3 - i} ight ) = dfrac{(2 + i)(3 - i)}{(3 + i)(3 - i)} = dfrac{(6 - i^{2}) + (-2 + 3)i} {9 - i^{2}} = dfrac{7 + i}{10} onumber]

Jetzt können wir das Endergebnis in Standardform schreiben als

[dfrac{7 + i}{10} = dfrac{7}{10} + dfrac{1}{10}i. keine Nummer]

Beispiel (PageIndex{2}) veranschaulicht das allgemeine Verfahren zum Dividieren einer komplexen Zahl durch eine andere. Im Allgemeinen können wir den Quotienten (dfrac{a + bi}{c + di}) in der Form (r + si) schreiben, indem wir Zähler und Nenner unseres Bruchs mit der Konjugierten (c - di ) von (c + di), um zu sehen, dass

[dfrac{a + bi}{c + di} = left(dfrac{a + bi}{c + di} ight)left(dfrac{c - di}{c - di} ight ) = dfrac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^{2} + d^{2}} = dfrac{ac + bd}{c^{2} + d^{2 }} + dfrac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}}i]

Daher haben wir die Formel für den Quotienten zweier komplexer Zahlen.

Definition: Quotient komplexer Zahlen

Das Quotient (dfrac{a + bi}{c + di}) der komplexen Zahlen (a + bi) und (c + di) ist die komplexe Zahl

[dfrac{a + bi}{c + di} = dfrac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} + dfrac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}}i]

vorausgesetzt (c + di eq 0).

Übung (PageIndex{3})

Seien (z = 3 + 4i) und (w = 5 - i).

  1. Schreiben Sie (dfrac{w}{z} = dfrac{5 - i}{3 + 4i}) als komplexe Zahl in der Form (r + si) wobei (r) und (s ) sind einige reelle Zahlen. Überprüfen Sie das Ergebnis, indem Sie den Quotienten mit (3 + 4i) multiplizieren. Ist dieses Produkt gleich (5 - i)?
  2. Finden Sie die Lösung der Gleichung ((3 + 4i)x = 5 - i) als komplexe Zahl in der Form (x = u + vi) wobei (u) und (v) einige sind reale Nummern.
Antworten
  1. Wenn wir unsere Formel mit (a = 5, b = -1, c = 3) und (d = 4) verwenden, erhalten wir [dfrac{5 - i}{3 + 4i} = dfrac{15 - 4}{15} + dfrac{-3 -20}{25}i = dfrac{11}{25} - dfrac{23}{25}i] Zur Kontrolle sehen wir, dass [left (dfrac{11}{25} - dfrac{23}{25}i ight)left(3 + 4i ight) = left(dfrac{33}{25} - dfrac{69}{ 25}i ight) + dfrac{44}{25}i - dfrac{92}{25}i^{2} = left(dfrac{33}{25} + dfrac{92}{25 } ight) + left(-dfrac{69}{25}i + dfrac{44}{25}i ight) = 5 - i]
  2. Wir können nach (x) auflösen, indem wir beide Seiten der Gleichung durch (3 + 4i) dividieren, um zu sehen, dass [x = dfrac{5 - i}{3 + 4i} = dfrac{11}{ 25} - dfrac{23}{25}i]

Geometrische Darstellungen komplexer Zahlen

Jedes geordnete Paar ((a , b)) reeller Zahlen bestimmt:

  • Ein Punkt in der Koordinatenebene mit den Koordinaten ((a , b)).
  • Eine komplexe Zahl (a + bi)
  • Ein Vektor (a extbf{i} + b extbf{j} = ( a, b ))

Das bedeutet, dass wir die komplexe Zahl (a + bi) geometrisch mit einem Vektor in Standardlage mit Endpunkt ((a , b)) darstellen können. Daher können wir Bilder von komplexen Zahlen in der Ebene zeichnen. Wenn wir dies tun, heißt die horizontale Achse die echte Achse, und die vertikale Achse heißt die imaginäre Achse. Außerdem wird die Koordinatenebene dann als bezeichnet die komplexe ebene. Das heißt, wenn (z = a + bi), können wir uns (z) als gerichtetes Liniensegment vom Ursprung zum Punkt (a, b) vorstellen, wobei der Endpunkt des Segments ( a) Einheiten von der imaginären Achse und (b) Einheiten von der reellen Achse. Die komplexen Zahlen (3 + 4i) und (-8 + 3i) sind beispielsweise in Abbildung 5.1 dargestellt.

Abbildung (PageIndex{1}): Zwei komplexe Zahlen.

Außerdem kann die Summe zweier komplexer Zahlen mit den Vektorformen der komplexen Zahlen geometrisch dargestellt werden. Zeichnen Sie das durch (w = a + bi) und (z = c + di) definierte Parallelogramm. Die Summe von (w) und (z) ist die komplexe Zahl, die durch den Vektor vom Ursprung zum Scheitelpunkt auf dem Parallelogramm gegenüber dem Ursprung dargestellt wird, wie mit den Vektoren (w = 3 + 4i) und (z = -8 + 3i) in Abbildung (PageIndex{2}).

Übung (PageIndex{4})

Seien (w = 2 + 3i) und (z = -1 + 5i).

  1. Schreiben Sie die komplexe Summe (w + z) in Standardform.
  2. Zeichnen Sie ein Bild, um die Summe zu veranschaulichen, indem Sie Vektoren verwenden, um (w) und (z) darzustellen.
Antworten

1. Die Summe ist (w + z = (2 - 1) + (3 + 5)i = 1 + 8i).

2. Eine Darstellung der komplexen Summe unter Verwendung von Vektoren ist in der folgenden Abbildung dargestellt.

Wir erweitern nun unsere Verwendung der Darstellung einer komplexen Zahl als Vektor in Standardposition um den Begriff der Länge eines Vektors. Erinnern Sie sich aus Abschnitt 3.6, dass die Länge eines Vektors ( extbf{v} = a extbf{i} + b extbf{j}) (| extbf{v}| = sqrt{a^{ 2} + b^{2}}).

Abbildung (PageIndex{2}): Die Summe zweier komplexer Zahlen.

Wenn wir diese Idee mit komplexen Zahlen verwenden, nennen wir sie die Norm oder Modul der komplexen Zahl.

Definition: Norm

Das Norm (oder Modul) der komplexen Zahl (z = a + bi) ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt ((a, b)) und wird mit (|z|) bezeichnet. Wir sehen

dass [|z| = |a + bi| = sqrt{a^{2} + b^{2}}.]

Es gibt ein weiteres Konzept im Zusammenhang mit der komplexen Zahl, das auf dem folgenden Teil der Algebra basiert.

[(a + bi)(a -bi) = a^{2} - (bi)^{2} = a^{2} - b^{2}i^{2} = a^{2} + b^{2}]

Die komplexe Zahl (a - bi) heißt die komplex Konjugierte von (a + bi). Seien wir (z = a + bi), bezeichnen wir die komplex konjugiert von (z) als (ar{z}). Also [ar{z} = overline{a + bi} = a - bi.]

Das merken wir auch

[zar{z} = (a + bi)(a - bi) = a^{2} + b^{2},]

und so ist das Produkt einer komplexen Zahl mit ihrer Konjugierten eine reelle Zahl. Eigentlich,

[zar{z} = a^{2} + b^{2} = |z|^{2},], also [|z| = sqrt{zar{z}}]

Übung (PageIndex{5})

Seien (w = 2 + 3i) und (z = -1 + 5i)

  1. Finden Sie (ar{w}) und (ar{z}).
  2. Berechne (|w|) und (|z|).
  3. Berechne (war{w}) und (zar{z}).
  4. Was ist (ar{z}), wenn (z) eine reelle Zahl ist?
Antworten

1. Mit der Definition der Konjugierten einer komplexen Zahl finden wir (ar{w} = 2 - 3i) und (ar{z} = -1 - 5i).
2. Mit der Definition der Norm einer komplexen Zahl finden wir (|w| = sqrt{2^{2} + 3^{2}} = sqrt{13}) und (|z| = sqrt{(-1)^{2} + 5^{2}} = sqrt{26}).
3. Mit der Definition des Produkts komplexer Zahlen finden wir, dass

[war{w} = (2 + 3i)(2 - 3i) = 4 + 9 = 13]

[zar{z} = (-1 + 5i)(-1 - 5i) = 1 + 25 = 26]

4. Sei (z = a + 0i) für ein (ainmathbb{R}). Dann ist (ar{z} = a - 0i). Somit gilt (ar{z} = z) für (zinmathbb{R}).

Zusammenfassung

In diesem Abschnitt haben wir die folgenden wichtigen Konzepte und Ideen untersucht:

  • EIN komplexe Zahl ist ein Objekt der Form (a + bi), wobei (a) und (b) reelle Zahlen sind und (i^{2} = -1). Wenn wir eine komplexe Zahl der Form (z = a + bi) haben, heißt die Zahl (a) die echter teil der komplexen Zahl (z) und der Zahl (b) heißt die imaginärer Teil von (z).
  • Wir können komplexe Zahlen wie folgt addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren:

[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i onumber ]

[(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i onumber]

[(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i onumber]

[dfrac{a + bi}{c + di} = dfrac{ac + bd}{c^{2} + d^{2}} + dfrac{bc - ad}{c^{2} + d^{2}}i onumber] vorausgesetzt (c + di eq 0)

  • Eine komplexe Zahl (a + bi) lässt sich geometrisch mit einem Vektor in Standardlage mit Endpunkt ((a, b)) darstellen. Wenn wir dies tun, heißt die horizontale Achse die echte Achse, und die vertikale Achse heißt die imaginäre Achse. Das heißt, wenn (z = a + bi) ist, können wir uns (z) als eine gerichtete Strecke vom Ursprung zum Punkt ((a, b)) vorstellen, wobei der Endpunkt ist eine Einheit von der imaginären Achse und (b) Einheiten von der reellen Achse.
  • Das Norm (oder Modul) der komplexen Zahl (z = a + bi) ist der Abstand vom Ursprung zum Punkt ((a, b)) und wird mit (|z|) bezeichnet. Wir sehen, dass [|z| = |a + bi| = sqrt{a^{2} + b^{2}} onumber]
  • Die komplexe Zahl (a - bi) heißt die komplex Konjugierte von (a + bi). Beachten Sie, dass [(a + bi)(a - bi) = a^{2} + b^{2} = |a + bi|^{2} onumber]