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7.5: Umfang eines Kreises - Mathematik

7.5: Umfang eines Kreises - Mathematik


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Das Umfang eines Kreises ist der Umfang des Kreises, die Länge der Linie, die durch Schneiden des Kreises und "Begradigen der Kurven" erhalten wird (Abbildung (PageIndex{1})).

Es ist unpraktisch, den Umfang der meisten kreisförmigen Objekte direkt zu messen. Ein kreisförmiges Maßband wäre schwer zu halten und würde sich verformen, wenn es gebogen würde. Das Objekt selbst würde zerstört werden, wenn wir versuchen würden, es zu schneiden und für die Messung auszurichten. Glücklicherweise können wir den Umfang eines Kreises aus seinem Radius oder Durchmesser berechnen, die leicht zu messen sind.

Einen ungefähren Wert für den Umfang eines Kreises mit dem Radius (x) erhält man, indem man den Umfang eines regelmäßigen Sechsecks mit dem Radius (r) berechnet, das in den Kreis eingeschrieben ist (Abbildung (PageIndex{2})) . Wir sehen, dass der Umfang etwas größer ist als der Umfang des Sechsecks, der dem 6-fachen des Radius ox und dem 3-fachen des Durchmessers entspricht. Um eine bessere Näherung zu erhalten, erhöhen wir die Anzahl der Seiten des eingeschriebenen regelmäßigen Vielecks. Mit zunehmender Seitenzahl eines regelmäßigen Polygons sieht das Polygon immer mehr wie ein Kreis aus (Abbildung (PageIndex{3})). In Abschnitt 7.1 haben wir den Umfang eines 90-seitigen regelmäßigen Polygons mit dem 3,141-fachen des Durchmessers oder dem 6,282-fachen des Radius berechnet. Der Umfang eines 1000-seitigen regelmäßigen Vielecks erwies sich als nur geringfügig größer, 3,1416-facher Durchmesser oder 6,283-facher Radius. Daraus lässt sich schließen, dass der Umfang eines Kreises etwa das 3,14-fache seines Durchmessers oder das 6,28-fache seines Radius beträgt.

Satz (PageIndex{1})

Der Umfang eines Kreises ist (pi) mal Durchmesser oder (2pi) mal Radius, wobei (pi) ungefähr 3,14 beträgt.

[C=pid]

oder

[C =2 pi r]

Das Symbol (pi) (griechischer Buchstabe Pi) ist die Standardschreibweise für die Zahl, mit der der Durchmesser eines Kreises multipliziert werden muss, um den Umfang zu erhalten. Sein Wert wird normalerweise mit 3,14 angenommen, obwohl 3,1416 und (dfrac{22}{7}) andere häufig verwendete Näherungen sind. Diese Zahlen sind nicht exakt, denn wie (sqrt{2}) kann gezeigt werden, dass (pi) eine irrationale Zahl ist (unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl). Sein Wert auf 50 Dezimalstellen ist

3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37511

Beispiel (PageIndex{1})

Finden Sie den Umfang:

Lösung

(C = pi d = (3.14)(4) = 12.56).

Antwort: 12.56

Wir definieren die Länge eines Bogens auf die gleiche Weise wie wir den Umfang definiert haben. Wir berechnen es, indem wir den Umfang mit dem entsprechenden Bruch multiplizieren.

Beispiel (PageIndex{2})

Finden Sie die Länge des Bogens (widehat{AB}):

Lösung

(C = 2pi r = 3(3.14)(10) = 62.8). Da (90^{circ}) (dfrac{1}{4}) von (360^{circ}) ist, ist (widehat{AB}) (dfrac {1}{4}) des Umfangs (C). (widehat{AB} = dfrac{1}{4} C = dfrac{1}{4} (62,8) = 15,7).

Antwort: 15.7.

Wie in Abschnitt 7.4 erwähnt, wird das Symbol plain = für die Bogenlänge und das Symbol (stackrel{circ}{=}) für Grad verwendet. Also im Beispiel (PageIndex{2}), (widehat{AB} = 15,7) aber (widehat{AB} stackrel{circ}{=} 90^{circ}).

Wir können auch die folgende Formel verwenden, um die Bogenlänge zu ermitteln:

[ ext{Bogenlänge} = dfrac{ ext{Grad in Bogen}}{360^{circ}} cdot ext{Umfang}]

oder einfach

[L = dfrac{D}{360} cdot C]

Also in Beispiel (PageIndex{2}),

(L = dfrac{D}{360} cdot C = dfrac{90}{360} (62,8) = dfrac{1}{4} (62,8) = 15,7)

Beispiel (PageIndex{3})

Finden Sie die Länge des Bogens (widehat{AB}):

Lösung

(C = pi d =(3.14)(4) = 12.56). (angle ACB stackrel{circ}{=} dfrac{1}{2} widehat{AB} stackrel{circ}{=} 30^{circ}). Daher (widehat{AB}stackrel{circ}{=} 60^{circ}). Mit der Formel für die Bogenlänge,

(L = dfrac{D}{360} C = dfrac{60}{360} (12.56) = dfrac{1}{6} (12.56) = 2.09).

Antwort: 2.09.

Beispiel (PageIndex{4})

Bestimme den Durchmesser eines Kreises, dessen Umfang 628 beträgt.

Lösung

Mit (C = 628) und (pi = 3.14) in der Formel für den Umfang gilt

[egin{array} {rcl} {c} & = & {pi d} {628} & = & {(3.14) d} {dfrac{628}{3.14}} & = & {dfrac{3.14d}{3.14}} {200} & = & {d} end{array}]

Antwort: Durchmesser = 200.

Anwendung

Der Kilometerzähler und der Tachometer eines Automobils werden entsprechend der Umdrehungszahl eines der Räder kalibriert. Angenommen, der Durchmesser eines auf dem Rad montierten Reifens beträgt 2 Fuß. Dann ist sein Umfang (C = pi d = (3.14)(2) = 6.28) Fuß. Da 1 Meile = 5280 Fuß ist, dreht sich das Rad (5280 div 6,28 = 841) mal pro Meile. Wenn die Reifengröße aus irgendeinem Grund geändert wird, müssen Kilometerzähler und Tachometer neu kalibriert werden.

Historische Anmerkung

Der Erdumfang wurde zuerst von dem griechischen Geographen Eratosthenes (ca. 284 - 192 v. Chr.), der in Alexandria, Ägypten, lebte, genau berechnet. Es war bekannt, dass am Mittag des Tages der Sommersonnenwende die Sonnenstrahlen die Brunnen von Syene (heute Assuan), Ägypten, vollständig erleuchteten. Dies deutete darauf hin, dass die Sonnenstrahlen bei Syene senkrecht zur Erdoberfläche standen, und so geht in Abbildung (PageIndex{4}) (overleftrightarrow{DS}) durch den Erdmittelpunkt (O) ). Zur gleichen Zeit beobachtete Eratosthenes in Alexandria, dass die Sonnenstrahlen einen Winkel von (dfrac{1}{50}) von (360^{circ}) (d. h. (7,2^ {circ})) mit der Senkrechten ((angle BAC = 7,2^{circ}) in Abbildung (PageIndex{4})). Die Sonnenstrahlen werden als parallel angenommen, also (angle AOS = angle BAC = 7,2^{circ}) und (widehat{AS} stackrel{circ}{=} 7,2^{ Kreis}). Da die Entfernung zwischen Alexandria und Syene etwa 500 Meilen beträgt (die Länge von (widehat{AS})). Eratosthenes konnte eine bemerkenswert genaue Zahl von etwa (50)(500) = 25.000 Meilen für den Erdumfang aufstellen.

Abbildung (PageIndex{4}). Die Sonnenstrahlen standen senkrecht auf der Erdoberfläche bei (S) und bildeten gleichzeitig einen Winkel von (7,2^{circ}) mit der Senkrechten bei (A).

Frühe grobe Schätzungen des Wertes von (pi) wurden von den Chinesen ((pi = 3)), Babyloniern ((pi = 3) oder (3dfrac{1}{8 })) und Ägypter ((pi = 3.16)). Der Wert (pi = 3) wird auch in der Bibel angenommen (1. Könige 7,23). Die erste genaue Berechnung wurde durchgeführt von Archimedes (287 - 212 v Flüssigkeit verdrängt.) In seiner Abhandlung Über die Messung des Kreises er approximiert den Umfang, indem er den Umfang von eingeschriebenen und umschriebenen regelmäßigen Vielecken berechnet (Abbildung (PageIndex{5})). Dies ähnelt der Methode, die wir im Text beschrieben haben, außer dass Archimedes keine genauen trigonometrischen Tabellen hatte und seine eigenen Formeln ableiten musste zwischen (3dfrac{10}{71}) und (3dfrac{1}{7}). (Übrigens hat Archimedes das Symbol (pi) nicht verwendet. Das Symbol (pi) wurde erst im 18. Jahrhundert für das Verhältnis von Umfang zu Durchmesser eines Kreises verwendet.)

Das Verfahren des Archimedes war der Beginn einer langen Geschichte; von immer genaueren Berechnungen des Wertes von (pi). Seit dem 17. Jahrhundert werden bei diesen Berechnungen unendliche Reihen verwendet, wie z

[dfrac{1}{4}pi = 1 - dfrac{1}{3} + dfrac{1}{5} - dfrac{1}{7} + dfrac{1}{9} - ...]

deren Ableitung ca.Tl in vielen Lehrbüchern der Infinitesimalrechnung zu finden ist. Zuletzt wurde mit Hilfe eines Computers der Wert von (pi) auf eine Million Nachkommastellen genau bestimmt.

PROBLEME

Verwenden Sie für jede der folgenden Aussagen (pi = 3.14).

1 - 8. Ermitteln Sie den Umfang jedes Kreises:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9 - 14. Bestimme die Länge des Bogens (widehat{AB}):

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15 - 16. Bestimme die Längen der Bögen (widehat{AB}) und (widehat{CD}):

15.

16.

17 - 18. Bestimme die Länge des Hauptbogens (widehat{ABC}):

17.

18.

19 - 22. Ermitteln Sie den Umfang des Kreises, dessen...

19. Durchmesser ist 30.

20. Durchmesser ist 8.

21. Radius ist 10.

22. Radius ist 6.

23. Bestimmen Sie den Radius und den Durchmesser des Kreises, dessen Umfang 314 beträgt.

24. Bestimmen Sie den Radius und den Durchmesser des Kreises, dessen Umfang 100 beträgt (lassen Sie die Antwort auf die nächste ganze Zahl stehen).

25. Welchen Umfang hat ein Autorad mit einem Durchmesser von 14 Zoll?

26. Wie groß ist der Umfang einer 12-Zoll-Schallplatte?

27. Welchen Durchmesser hat die Erde, wenn ihr Umfang 24.830 Meilen beträgt?

28. Welchen Durchmesser hat eine viertel Meile Laufbahn?


Wie groß ist die Fläche eines Kreises mit einem Umfang von 7,5 mm?

Hier ist die Antwort auf Fragen wie: Wie findet man die Fläche eines Kreises mit einem Umfang von 7,5 mm?

Kreisrechner

Verwenden Sie den folgenden Kreisflächenrechner, um die Fläche eines Kreises anhand seines Umfangs oder anderer Parameter zu ermitteln. Um die Fläche zu berechnen, müssen Sie nur einen positiven Zahlenwert in eines der 3 Felder des Taschenrechners eingeben. Sie können auch am unteren Rand des Rechners die Schritt-für-Schritt-Lösung sehen.


Umfang eines Kreises

Dies ist das zweite Jahr, in dem ich gelehrt habe, den Umfang eines Kreises anhand der Lektionen aus dem Buch “Hands On Math!” zu ermitteln. Dieses Buch finden Sie in meinem Abschnitt “Ressourcen”. Hier ist jedoch ein Bild des Buches……

Das Buch “Hands On Math!” ist nach Zielen aufgebaut. Jedes Ziel enthält drei verschiedene Aktivitäten. Die erste Aktivität ist sehr konkret, die zweite Lektion ist bildhaft (normalerweise zeichnen oder malen sie etwas) und die dritte Aktivität ist ein kooperatives Lernspiel. Die Lektion, die ich zum Unterrichten des Kreisumfangs verwendet habe, beginnt auf Seite 355. Bevor ich mit diesen Aktivitäten begann, gab ich ihnen ein farbiges Blatt Papier und wir zeichneten einen Kreis und beschrifteten den Durchmesser, den Radius, die Mitte und wir schrieben entlang des Randes, dass der umfang ist der abstand um den kreis.

Für diese Aktivitäten ließ ich die Schüler paarweise gruppieren. Die erste Aktivität heißt “All Wrapped Up.” Die eigentliche Aktivität erfordert verschiedene Plastikdeckel, aber ich habe nicht daran gedacht, Deckel aufzusparen (vielleicht fange ich jetzt an, für die Gruppe im nächsten Jahr zu sparen. 8217ll notieren). Anstelle von eigentlichen Deckeln habe ich drei verschieden große Kreise auf ein Blatt Papier gezeichnet und für jeden Schüler Kopien angefertigt. Obwohl sie zu zweit sind, wollte ich trotzdem, dass jeder Schüler diese Übung tatsächlich selbst macht, aber trotzdem auf seinen Partner schaut, um sicherzustellen, dass er die Aktivität richtig macht. Das hilft, denn da die Klasse etwa zwanzig ist, gibt es nur einen Lehrer.

Handgezeichnete Kreise für "All Wrapped UP"

Ich habe ihnen auch Baumwollschnur (nicht dehnbar) lang genug gegeben, um zumindest den größten Kreis zu umrunden.

Die Schüler wurden gebeten, die Schnur so genau wie möglich um den mittelgroßen Kreis zu legen und dann mit den Fingern zu markieren, wo das Ende der Schnur auf den Rest der Schnur trifft, nachdem sie einmal gewickelt wurde. Im Grunde messen sie den Umfang des Kreises mit der Schnur.

Bitten Sie sie dann, zu sehen, wie oft diese markierte Schnur über die Mitte des Kreises (den Durchmesser) geht.

Gehen Sie durch den Raum und fragen Sie die Schüler, wie viele Durchmesser sie aus der markierten Schnur herausholen konnten. Hoffentlich bekommen sie “drei plus ein bisschen mehr.” Nachdem mehrere Schüler drei plus ein bisschen mehr gesagt haben, können Sie erklären, dass dieses “drei plus ein bisschen mehr” tatsächlich einen Namen in Mathematik hat. Dieser Name ist Pi. Ich zeichne das Symbol an die Tafel und sage ihnen, dass die tatsächliche Zahl 3,14 ……… . ist

Zweite Aktivität: Rund und quer

Bei dieser Aktivität gebe ich jedem Paar eine Kopie des Arbeitsblatts aus dem Buch und füge Maschinenband, Zentimeterlineale und einen Taschenrechner hinzu.

Die Schüler sollen das Rechenband um den Kreis wickeln (etwas einfacher, da es sich bereits umwickelt).

Sie sollten das Band der Rechenmaschine mit einem Bleistift an der Stelle markieren, an der das Ende auf den Rest des Bandes trifft. Sie müssen dann das markierte Stück des Bandes messen, um den Umfang des Kreises auf den nächsten Zentimeter genau zu messen. Möglicherweise müssen Sie erklären, wie Sie mit einem Lineal messen. Dann platzieren sie diese Messung an der entsprechenden Stelle in der Tabelle auf der Rückseite des Arbeitsblatts. Dann müssen sie den Durchmesser mit dem Lineal messen und in die Tabelle eintragen. Mit dem Taschenrechner müssen sie den Umfang geteilt durch den Durchmesser eingeben. Sie müssen das in allen Kreisen tun. Nachdem alle fertig sind, gehen Sie durch den Raum und fragen Sie nach dem Umfang/Durchmesser. Hoffentlich werden die meisten von ihnen drei Punkt etwas sagen. Ich betone immer die “drei plus ein bisschen mehr”. Ich frage sie dann, ob das bekannt vorkommt, und sie schreien immer pi! Hier gehe ich in die Diskussion und hinterfrage sie, bis sie erkennen, dass der Abstand um den Kreis (der Umfang) gleich drei plus ein bisschen mehr Durchmesser ist. Das Zeichnen von Bildern am Whiteboard ist in meinem Unterricht immer von Vorteil. Ich sage ihnen dann, dass die tatsächliche Formel für den Umfang eines Kreises C = pi * d ist (sorry, ich weiß nicht, wie man das Pi-Symbol hier eingibt). Wir sprechen auch darüber, wie zwei Radien benötigt werden, um einen Durchmesser zu erzeugen, daher benötigen wir möglicherweise auch C = 2 * pi * r.

Aktivität 3: Circlespin

Dies ist ein ziemlich cooles “game”. Immer noch zu zweit gebe ich jeder Gruppe eine Kopie der Spinner, eine große Büroklammer und sie brauchen einen Bleistift.

Dies ist nicht der ursprüngliche Spinner, der aus dem Buch kam. Ich habe White Out verwendet und es so geändert, dass es zu unserem PASS der sechsten Klasse passt. Zunächst einmal verwenden wir keine Dezimalzahlen mit Umfang und Fläche, und sie müssen den Durchmesser oder Radius anhand des Umfangs nicht ermitteln. Aus diesem Grund habe ich den “Umfang” auf dem Spinner in “beide” geändert und die Zahlen in ganze, gerade Zahlen geändert. Die Schüler streichen dann für jeden Spinner einmal mit der Büroklammer. Beide Schüler müssen den Umfang anhand der Angaben des Spinners ermitteln. Wenn die Büroklammer zum Beispiel auf “radius” auf dem oberen Spinner und 𔄞” auf dem unteren Spinner landete, würden beide Schüler den Umfang eines Kreises mit einem Radius von sechs finden. Sie sollen dann die Antworten des anderen überprüfen, um zu sehen, ob sie gleich sind. In der sechsten Klasse fordert PASS sie nur auf, den Umfang zu pi zu ermitteln und nicht zu multiplizieren. Aus diesem Grund sollte dieses Spiel nicht sehr lange dauern. Normalerweise bitte ich sie, zehn Aufgaben zusammen zu lösen. Die Papiere jedes Paares sollten bei der Abgabe identisch aussehen.

Ich habe verschiedene Arbeitsblätter, die ich ihnen gebe, wenn ich das Gefühl habe, dass sie ein wenig Übung brauchen. Normalerweise gebe ich ihnen mindestens eine Hausaufgabe, um den Umfang zu finden.


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Lösungen

Lösung: 1 Ähnlichkeit der Kreise

Unten ist ein Bild eines Kreises mit dem Durchmesser 1 mit der Bezeichnung $C_1$ und dem Durchmesser $d = 2r$ mit der Bezeichnung $C_2$:

Im abgebildeten Fall ist $d$ größer als $1$. Alle Kreise sind ähnlich und in diesem Fall beträgt der Skalierungsfaktor vom Kreis mit dem Durchmesser $1$ zum Kreis mit dem Durchmesser $2r$ $2r$. Der Umfang eines Kreises ist ein eindimensionales Maß und skaliert daher genauso wie die Durchmesser:

Da der Umfang von $C_1$ per Definition $pi$ ist, folgt aus obiger Gleichung, dass der Umfang von $C_2$ $2pi r$ ist.

Lösung: 2 Ähnlichkeit von Dreiecken

In dieser Lösung approximieren wir den Umfang eines Kreises durch Polygone und verwenden dann die Ähnlichkeit von Dreiecken, um die Formel für den Umfang eines Kreises zu erklären. Unten ist ein Bild eines regelmäßigen Achtecks, das in einen Kreis mit dem Radius $r$ eingeschrieben ist:

Der Umfang des Kreises ist etwas größer als der Umfang des regelmäßigen Achtecks, das wir mit dem folgenden Bild berechnen können:

Der Umfang des Achtecks ​​beträgt $8b$, da es in acht kongruente Dreiecke mit jeweils einer Basis von $b$ unterteilt wurde. Wir können die Winkel dieser acht Dreiecke berechnen, indem wir die Tatsache verwenden, dass die acht Innenwinkel zusammen einen 360-Grad-Kreis bilden, sodass jeder 45 Grad misst. Die Dreiecke sind alle gleichschenklig, was bedeutet, dass die Basiswinkel jeweils $frac<180-45> <2>= 67,5$ Grad betragen. Nach AAA sind zwei Dreiecke mit den Winkeln $67.5^circ, 67.5^circ,$ und $45^circ$ ähnlich. Daher hängt das Verhältnis $(b:r)$ nicht von der Größe des regulären Achtecks ​​ab. Das bedeutet, dass das Verhältnis $( ext:r)$ hängt auch nicht von der Größe des regulären Achtecks ​​ab. Wenn wir immer mehr Seiten hinzufügen, nähert sich dieses Verhältnis dem Verhältnis des Umfangs des Kreises zu seinem Radius an. Wir schließen, dass für einen Kreis $C$ mit beliebigem Radius $r$ $ ( ext(C):r) = left(pi:frac<1><2> ight). $ Beachten Sie, dass $frac<1><2>$ von der Betrachtung des Kreises mit Durchmesser 1 und Umfang $pi$ stammt: Der Radius dieses Kreises ist $frac<1><2>$. Dies entspricht der üblichen Formel, die besagt, dass der Umfang eines Kreises mit dem Radius $r$ $2pi r$ beträgt.


Der Kreis ist eine ebene Form (zweidimensional), also:

Kreis: die Menge aller Punkte auf einer Ebene, die einen festen Abstand von einem Mittelpunkt haben.

Die Fläche eines Kreises ist &Pi mal den Radius zum Quadrat, der geschrieben wird:

Damit Sie sich besser erinnern können, denken Sie an "Pie Are Squared" (obwohl Kuchen normalerweise rund sind):

Beispiel: Wie groß ist die Fläche eines Kreises mit einem Radius von 1,2 m ?

Fläche im Vergleich zu einem Quadrat

Ein Kreis hat ca. 80% der Fläche eines Quadrats ähnlicher Breite.
Der tatsächliche Wert ist ( &pi /4) = 0,785398. = 78,5398. %

Und etwas Interessantes für Sie:


Radius eines Kreises

Der Radius eines Kreises ist die Länge der Linie vom Mittelpunkt bis zu einem beliebigen Punkt an seinem Rand. Die Pluralform ist Radien (ausgesprochen "ray-dee-eye"). Ziehen Sie in der obigen Abbildung den orangefarbenen Punkt herum und sehen Sie, dass der Radius an jedem Punkt des Kreises immer konstant ist.

Manchmal wird das Wort "Radius" verwendet, um sich auf die Linie selbst zu beziehen. In diesem Sinne können Sie "Zeichnen Sie einen Radius des Kreises" sehen. Im neueren Sinne ist es die Länge der Linie und wird daher als "der Radius des Kreises beträgt 1,7 Zentimeter" bezeichnet.


Klicken Sie auf eines der folgenden Beispielbilder, um eine größere Version anzuzeigen.

Ähnliche Arbeitsblätter

Die unten aufgeführten Arbeitsblätter sind für das gleiche Alter und die gleichen Noten wie Umfang und Fläche eines Kreises verstehen geeignet.


Kreise und Verwendung eines Kompass

Kreis

EIN Kreis ist eine Menge von Punkten in einer Ebene, die den gleichen Abstand von einem Fixpunkt (genannt Zentrum) haben. Diese Punktmenge bildet die Umfang des Kreises.

Das Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt des Kreises zu einem beliebigen Punkt auf seinem Umfang.

Das Umfang eines Kreises ist der Umfang des Kreises.

Diese Teile eines Kreises sind in der beigefügten Abbildung angegeben.

Der Plural von Radius ist Radien.

Linien im Kreis

Der Name einer Linie in einem Kreis hängt von ihrer Position im Kreis ab.


EIN Sekante ist eine Linie, die durch zwei beliebige Punkte auf einem Kreis verläuft.

EIN Akkord ist eine Linie, die zwei Punkte auf dem Umfang eines Kreises verbindet.

Das Durchmesser ist ein Akkord, der durch den Mittelpunkt eines Kreises geht.

EIN Tangente ist eine Linie, die den Kreis nur an einem Punkt berührt.

Ein Bogen ist ein Teil des Umfangs.


EIN Sektor ist der Teil eines Kreises zwischen zwei Radien.


EIN Segment ist der Teil eines Kreises, der zwischen einer Sehne und dem Umfang liegt.


EIN Halbkreis ist ein halber Kreis.

Kompass

EIN Kompass ist ein Instrument zum Zeichnen von Kreisen oder Teilen von Kreisen, die als Bögen bezeichnet werden. Es besteht aus zwei beweglichen Armen, die miteinander gelenkig verbunden sind, wobei ein Arm ein spitzes Ende hat und der andere Arm einen Bleistift hält.

Beachten Sie, dass ein Kompass auch als Zirkel bezeichnet wird.


Um einen Kreis (oder Bogen) mit einem Zirkel zu zeichnen:

  • Stellen Sie sicher, dass das Scharnier oben am Kompass festgezogen ist, damit es nicht verrutscht
  • Ziehen Sie den Halt für den Bleistift fest, damit er auch nicht verrutscht
  • Richten Sie die Bleistiftmine mit der Nadel des Kompasses aus
  • Drücken Sie die Nadel nach unten und drehen Sie den Knopf oben am Kompass, um einen Kreis (oder Bogen) zu zeichnen.

Beispiel 2

Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 4 cm.

Lösung:

Schritt 1: Stellen Sie mit einem Lineal den Abstand von der Zirkelspitze zur Bleistiftmine auf 4 cm ein.
Schritt 2: Platzieren Sie die Himmelsrichtung in der Mitte des Kreises.
Schritt 3: Zeichnen Sie den Kreis, indem Sie den Kompass um 360 drehen .

Aktivität 10.1

1. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 5 cm.
2. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Durchmesser von 12 cm.

3a. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 4,5 cm.
3b. Zeichnen Sie den Durchmesser des Kreises und messen Sie mit einem Lineal die Länge des Durchmessers.
3c. Schreiben Sie eine Gleichung, um die Beziehung zwischen dem Radius, R, und der Durchmesser, D.

4a. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 5,5 cm.
4b. Zeichne einen Durchmesser und beschrifte ihn PQ.
4c. Zeichne ein Dreieck PQR wo R steht auf dem Halbkreis.
4d. Verwenden Sie einen Winkelmesser, um die Größe des Winkels zu messen PRQ.

5a. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 6,5 cm.
5b. Zeichne einen Durchmesser und beschrifte ihn PQ.
5c. Zeichne ein Dreieck PQR wo R steht auf dem Halbkreis.
5d. Verwenden Sie einen Winkelmesser, um die Größe des Winkels zu messen PRQ.

6a. Zeichnen Sie mit einem Zirkel einen Kreis mit einem Radius von 7,5 cm.
6b. Zeichne einen Durchmesser und beschrifte ihn PQ.
6c. Zeichne ein Dreieck PQR wo R steht auf dem Halbkreis.
6d. Verwenden Sie einen Winkelmesser, um die Größe des Winkels zu messen PRQ.

7. Verwenden Sie die Ergebnisse der Fragen 4, 5 und 6, um die folgenden Aussagen zu vervollständigen:
A. Die Größe des Winkels auf dem Durchmesser eines Kreises mit einem Scheitel auf dem Kreis ist
B. Wenn ein Dreieck in einem Halbkreis mit dem Durchmesser als Kante gezeichnet wird, beträgt der Winkel, der den gekrümmten Teil des Dreiecks berührt,

Schlüsselbegriffe

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7.5: Umfang eines Kreises - Mathematik

Definitionen in Bezug auf Kreise

Bogen: eine gekrümmte Linie, die Teil des Umfangs eines Kreises ist

Akkord: ein Liniensegment innerhalb eines Kreises, das 2 Punkte auf dem Kreis berührt.

Umfang: die Entfernung um den Kreis.

Durchmesser: die längste Entfernung von einem Ende eines Kreises zum anderen.

Ursprung: der Mittelpunkt des Kreises

pi(): Eine Zahl, 3.141592. gleich (dem Umfang) / (dem Durchmesser) eines beliebigen Kreises.

Radius: Abstand vom Kreismittelpunkt zu einem beliebigen Punkt darauf.

Sektor: ist wie ein Stück Kuchen (ein Kreiskeil).

Tangente des Kreises: eine Linie senkrecht zum Radius, die NUR einen Punkt auf dem Kreis berührt.

Umfang des Kreises = PI x Durchmesser = 2 PI x Radius
wo PI = = 3,141592.

Kreisfläche:
Fläche = PI r 2

Länge eines Kreisbogens: (mit Mittelpunktswinkel)
wenn der Winkel in Grad ist, dann Länge = x (PI/180) x r
wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, dann Länge = r x

Bereich des Kreissektors: (mit Mittelwinkel)
wenn der Winkel in Grad ist, dann Fläche = (/360) x PI r 2
wenn der Winkel im Bogenmaß angegeben ist, dann Fläche = ((/(2PI)) x PI r 2

Kreisgleichung: (kartesische Koordinaten)

für einen Kreis mit Mittelpunkt (j, k) und Radius (R):
(x-j) ^2 + (y-k) ^2 = r^2

Kreisgleichung: (Polarkoordinaten)
für einen Kreis mit Mittelpunkt (0, 0): r() = Radius

für einen Kreis mit Mittelpunkt mit Polarkoordinaten: (c, ) und Radius ein:
r 2 - 2cr cos( - ) + c 2 = a 2

Gleichung eines Kreises: (parametrische Koordinaten)
für einen Kreis mit Ursprung (j, k) und Radius r:
x(t) = r cos(t) + j y(t) = r sin(t) + k