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2.8: Zusammengesetzte Ungleichungen lösen - Mathematik

2.8: Zusammengesetzte Ungleichungen lösen - Mathematik



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In diesem Abschnitt werden wir zusammengesetzte Ungleichungen untersuchen. Wie ein zusammengesetzter Satz die Kombination von zwei (oder mehr) Sätzen zu einem größeren Satz mit Konjunktionen wie "und" und "oder" ist, sind zusammengesetzte Ungleichungen Aussagen, die gebildet werden, indem zwei (oder mehr) Ungleichungen miteinander verbunden werden, entweder mit dem Wort "und " " oder "oder", wie

(x le -1) oder (x > 5),

oder indem Sie eine einzelne Anweisung erstellen (manchmal als a Kettenungleichheit), die mehrere Ungleichungssymbole enthält, z. B.

(-4 lex < 7).

Um besser zu verstehen, wie diese zusammengesetzten Ungleichungen funktionieren, müssen wir zunächst den Schnitt und die Vereinigung zweier Mengen definieren.

Kreuzung und Vereinigung

Der Schnittpunkt zweier Mengen (A) und (B) ist wie folgt definiert.

Definition

Das Überschneidung der Mengen (A) und (B) ist die Menge aller Objekte, die sich in (A) und in (B) befinden.

In Symbolen schreiben wir

[Acap B=ig{x, | , x in A ext { und } x in Big}]

Um diese Definition zu verstehen, ist es absolut wichtig, dass wir die Bedeutung des Wortes „und“ verstehen. Das Wort „und“ ist eine Konjunktion, die zwischen den Aussagen (P) und (Q) verwendet wird, wie in „Es regnet heute und mein bester Freund ist der Lone Ranger.“ Um die Wahrheit oder Falschheit dieser Aussage zu bestimmen, müssen Sie zuerst die Wahrheit oder Falschheit der Aussagen (P) und (Q) auf jeder Seite des Wortes „und“ untersuchen.

Der Sprecher sagt die Wahrheit nur, wenn beide Aussagen (P) und (Q) wahr sind. Mit anderen Worten, die Aussage „Heute regnet es und mein bester Freund ist der Lone Ranger“ ist dann und nur dann wahr, wenn die Aussage „Heute regnet es“ zutrifft und die Aussage „Mein bester Freund ist der Lone Ranger“ auch wahr. Logiker erfinden gerne ein Konstrukt namens Wahrheitstabelle, wie das in Tabelle (PageIndex{2}) gezeigte.

Zu beachtende Punkte in Tabelle (PageIndex{2}):

(P)(Q)(P) und (Q)
TTT
TFF
FTF
FFF
Tabelle (PageIndex{2}) Wahrheitstabelle für die Konjunktion „und“.
  • In der ersten Zeile (nach der Kopfzeile) von Tabelle (PageIndex{2}), wenn die Aussagen (P) und (Q) beide wahr sind (mit einem T gekennzeichnet), dann ist die Aussage „ (P) und (Q)“ gilt ebenfalls.
  • In den verbleibenden Zeilen der Tabelle (PageIndex{2}) ist die eine oder andere der Aussagen (P) oder (Q) falsch (gekennzeichnet mit einem F), also die Aussage „(P ) und (Q)“ ist ebenfalls falsch.

Daher ist die Aussage „(P) und (Q)“ genau dann wahr, wenn (P) wahr ist und (Q) wahr ist.

Beispiel (PageIndex{1})

Wenn (A = ig{1, 3, 5, 7, 9ig}) und (B = ig{2, 5, 7, 8, 11ig},) finden der Schnittpunkt von (A) und (B.)

Lösung

Zur Erinnerung, die Überschneidung der Mengen (A) und (B) ist

[Acap B=ig{x, | , x in A ext { und } x in Big}]

Wir suchen also nach den Objekten, die in (A) und in (B) liegen. Die einzigen Objekte, die in (A) und in (B) sind (denken Sie daran, beide Aussagen „in (A)“ und „in (B)“ müssen wahr sein) sind 5 und 7, also schreiben wir:

[A cap B=ig{5,7ig}]

Mathematiker und Logiker verwenden beide eine visuelle Hilfe namens Venn-Diagramm, um Mengen darzustellen. John Venn war ein englischer Mathematiker, der diese Visualisierung logischer Zusammenhänge entwickelt hat. Betrachten Sie die Ellipse (A) in Abbildung (PageIndex{5}). Alles innerhalb des Randes dieser Ellipse bildet die Menge (A = ig{1, 3, 5, 7, 9ig}.) Deshalb sehen Sie diese Zahlen innerhalb des Randes dieser Ellipse.

Betrachten Sie die Ellipse (B) in Abbildung (PageIndex{5}). Alles innerhalb des Randes dieser Ellipse bildet die Menge (B = ig{2, 5, 7, 8, 11ig}.) Deshalb sehen Sie diese Zahlen innerhalb des Randes dieser Ellipse.

Beachten Sie nun, dass nur zwei Zahlen, (5) und (7,) innerhalb der Grenzen von (A) und (B.) enthalten sind. Dies sind die Zahlen, die im Schnittpunkt der Mengen (A) und (B.)

Der schattierte Bereich in Abbildung (PageIndex{6}) ist der Bereich, der zu den beiden Mengen (A) und (B.) gehört. Beachten Sie, dass dieser schattierte Bereich treffend als „Schnittpunkt der Mengen“ bezeichnet wird (A) und (B.)“ Dies ist der Bereich, der den Mengen (A) und (B,) gemeinsam ist der Bereich, in dem die Mengen (A) und (B ) überlappen oder „überschneiden“.

Dies führt zu dem folgenden wichtigen Ratschlag.

Notiz

Wenn Sie aufgefordert werden, den Schnittpunkt zweier Mengen (A) und (B,) zu finden, schauen Sie, wo sich die Mengen schneiden oder überlappen. Das heißt, suchen Sie nach den Elementen, die in beiden Mengen (A) und (B.) enthalten sind.

Kommen wir zur Definition der Vereinigung zweier Mengen (A) und (B.)

Definition

Das Union der Mengen (A) und (B) ist die Menge aller Objekte, die in (A) oder in (B) liegen.

In Symbolen schreiben wir

[Acup B=ig{x, | , x in A ext { oder } x in Big}]

Um diese Definition zu verstehen, ist es wichtig, die Bedeutung des Wortes „oder“ zu verstehen. Das Wort „oder“ ist eine Disjunktion, die zwischen den Aussagen (P) und (Q,) wie in „Es regnet heute oder mein bester Freund ist der Lone Ranger“ verwendet wird. Um die Wahrheit oder Falschheit dieser Aussage zu bestimmen, müssen Sie zuerst die Wahrheit oder Falschheit der Aussagen (P) und (Q) auf jeder Seite des Wortes „oder“ untersuchen.

Der Sprecher sagt die Wahrheit, wenn entweder die Aussage (P) wahr ist oder die Aussage (Q) wahr ist. Mit anderen Worten, die Aussage „Heute regnet es oder mein bester Freund ist der Lone Ranger“ ist genau dann wahr, wenn die Aussage „Heute regnet es“ oder die Aussage „Mein bester Freund ist der Lone Ranger“ wahr ist . Logiker erfinden gerne ein Konstrukt namens Wahrheitstabelle, wie das in Tabelle (PageIndex{3}) gezeigte.

(P)(Q)(P) oder (Q)
TTT
TFT
FTT
FFF
Tabelle (PageIndex{3}) Wahrheitstabelle für die Konjunktion „oder“.

Zu beachtende Punkte in Tabelle (PageIndex{3}):

  • In der letzten Zeile der Tabelle (PageIndex{3}) sind beide Aussagen (P) und (Q) falsch (gekennzeichnet mit einem F), also die Aussage (P) oder (Q ) ist ebenfalls falsch.
  • In den ersten drei Zeilen (nach der Kopfzeile) der Tabelle (PageIndex{3}) ist entweder die Aussage (P) wahr oder die Aussage (Q) ist wahr (mit einem T gekennzeichnet), also Aussage (P) oder (Q) ist auch wahr.

Daher ist die Aussage „(P) oder (Q)“ genau dann wahr, wenn eine der Aussagen (P) oder (Q,) wahr ist.

Beispiel (PageIndex{2})

Wenn (A = ig{1, 3, 5, 7, 9ig}) und (B = ig{2, 5, 7, 8, 11ig},) finden die Vereinigung von (A) und (B.)

Lösung

Zur Erinnerung, die Vereinigung von (A) und (B) ist [Acup B=ig{x, | , x in A ext { oder } x in Big}]

Somit ist ein Objekt genau dann in der Vereinigung von (A) und (B) enthalten, wenn es in einer der Mengen ist. Die Zahlen, die in beiden Mengen vorkommen, sind die Zahlen [Acup B=ig{1,2,3,5,7,8,9,11ig}]

Wenn wir uns das Venn-Diagramm in Abbildung (PageIndex{5}) noch einmal ansehen, sehen wir, dass diese Vereinigung (Acup B = ig{1, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 11ig}) listet jede Zahl auf, die in einer der beiden Mengen in Abbildung (PageIndex{5}) enthalten ist.

Somit ist der schattierte Bereich in Abbildung (PageIndex{7}) die Vereinigung der Mengen (A) und (B.). Beachten Sie, wie gut dieser Bereich benannt ist, denn genau das tun Sie tatsächlich , wobei die „Vereinigung“ der beiden Mengen (A) und (B.) genommen wird. Das heißt, die Vereinigung enthält alle Elemente, die entweder zu (A) oder (B.) gehören union ist eine Möglichkeit, alles zu kombinieren, was in einer der beiden Mengen vorkommt.

Dies führt zu dem folgenden wichtigen Ratschlag.

Notiz

Wenn Sie aufgefordert werden, die Vereinigung zweier Mengen (A) und (B,) in Ihrer Antwort zu finden, schließen Sie alles aus beiden Mengen ein.

Einfache zusammengesetzte Ungleichungen

Wenden wir das Gelernte an, um die Vereinigungen und/oder Schnittmengen von Intervallen reeller Zahlen zu finden. Der einfachste Ansatz ist durch eine Reihe von Beispielen. Lass uns anfangen.

Beispiel (PageIndex{3})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge der reellen Zahlen in der Menge (ig{x, | , x < 3) oder (x < 5ig}.) Verwenden Sie die Set-Builder-Notation und Intervallnotation, um Ihre endgültige Antwort zu beschreiben.

Lösung

Skizzieren wir zunächst zwei Mengen, (ig{x, | , x < 3ig}) und (ig{x , | , x < 5ig}, ) auf separaten reellen Zeilen übereinander, wie in Abbildung (PageIndex{8}) gezeigt.

Um nun die Lösung zu skizzieren, notieren Sie das Wort „oder“ in der Menge (ig{x, |, x < 3) oder (x < 5ig}.) Wir brauchen also die Vereinigung der beiden schraffierten reellen Geraden in Abbildung (PageIndex{8}). Das heißt, wir müssen alles schattieren, was auf einer der beiden Zahlenlinien schattiert ist. Dies wäre natürlich alles kleiner als 5, wie in Abbildung (PageIndex{9}) gezeigt.

Somit ist die endgültige vereinfachte Lösung

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, x < 5ig})

Intervall-Notation: ((-infty, 5))

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{4})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge der reellen Zahlen in der Menge (ig{x, | , x < 3) und (x < 5ig}.). endgültige Antwort.

Lösung

Im Beispiel (PageIndex{3}) wurden Sie aufgefordert, die Menge (ig{x, | , x < 3) oder (x < 5ig}) auf dem echte Linie. In diesem Beispiel werden wir gebeten, die Menge (ig{x, | , x < 3) und (x < 5ig}) zu skizzieren bis auf eine Änderung identisch, das „oder“ von Beispiel (PageIndex{3}) wurde durch das Wort „und“ ersetzt.

Unsere Lösung werden die Zahlen sein, die Lösungen sind für beide Ungleichungen, die als Schnittmenge der beiden Ungleichungen bezeichnet werden. Stellen Sie sich vor, die Kreuzung zweier Straßen – der Teil, an dem sich die Straßen überschneiden – gehört zu beiden Straßen.

Um die Lösung einer zusammengesetzten Und-Ungleichung zu finden, betrachten wir die Graphen jeder Ungleichung und finden dann die Zahlen, die zu beiden Graphen gehören – wo sich die Graphen überschneiden.

Skizzieren Sie wieder zwei Mengen, (ig{x, | , x < 3ig}) und (ig{x , | , x < 5ig},) auf separaten reellen Zeilen übereinander, wie in Abbildung (PageIndex{11}) gezeigt.

Um nun die Lösung zu skizzieren, notieren Sie das Wort „und“ in der Menge (ig{x, |, x < 3) und (x < 5ig}.) Wir brauchen also den Schnittpunkt der beiden schraffierten reellen Geraden in Abbildung (PageIndex{11}) zu nehmen. Das heißt, wir müssen alles schattieren, was den beiden Zahlengeraden gemeinsam ist. Hier wäre dies alles kleiner als 3, wie in Abbildung (PageIndex{12}) gezeigt.

Somit ist die endgültige vereinfachte Lösung

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, x < 3ig})

Intervall-Notation: ((-infty, 3)).

Notiz

Wenn Sie mit „oder“ antworten, wenn die Antwort „und“ erfordert, oder umgekehrt, haben Sie keinen kleinen Fehler gemacht. Tatsächlich ist dies ein großer Fehler, wie in Beispiel (PageIndex{3}) und Beispiel (PageIndex{4}) gezeigt wird.

Bevor wir ein weiteres Beispiel versuchen, machen wir eine Pause, um eine Notation zu definieren, die in unserer kommenden Arbeit äußerst wichtig sein wird.

Definition

Die Notation

[a

wird so interpretiert, dass

[x>a ext { und } x

Alternativ hätten wir sagen können, dass (a < x < b) identisch ist mit „(a < x) und (x < b,)“, aber „(a < x)“ zu sagen ist dasselbe wie „(x > a.)“ Wir ziehen es vor, „(x > a) und (x < b,)“ zu sagen und werden diese Reihenfolge in unserer gesamten Arbeit verwenden, aber die Form „ (a < x) und (x < b)“ ist gleichermaßen gültig.

Der wirklich entscheidende Punkt hier ist die Tatsache, dass die Aussage (a < x < b) eine „und“-Aussage ist. Wenn es richtig verwendet wird, ist es eine gute Möglichkeit, die Zahlen zu beschreiben, die zwischen (a) und (b.) liegen.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{5})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge der reellen Zahlen in der Menge (ig{x, | , x>3 ext { and } x<5ig}.) Geben Sie sowohl die vereinfachte Menge- Builder-Notation und Intervall-Notation, um Ihre Antwort zu beschreiben.

Lösung

Der erste Schritt besteht darin, die Mengen (ig{x, |, x > 3ig}) und (ig{x, |, x < 5ig} ) auf einzelnen reellen Zeilen, übereinander gestapelt, wie in Abbildung (PageIndex{13}) gezeigt.

Um nun die Lösung zu skizzieren, notieren Sie das Wort „und“ in der Menge (ig{x, |, x > 3) und (x < 5ig}.) Wir brauchen also den Schnittpunkt der beiden Graphen in Abbildung (PageIndex{13}) zu nehmen. Das heißt, wir müssen die Zahlen auf der reellen Linie schattieren, die den beiden Graphen in Abbildung (PageIndex{13}) gemeinsam sind. Die Zahlen 3 und 5 sind in beiden Mengen in Abbildung (PageIndex{13}) nicht schattiert, daher werden sie in unserer endgültigen Lösung nicht schattiert. Alle reellen Zahlen zwischen 3 und 5 sind jedoch in beiden Mengen in Abbildung (PageIndex{13}) schattiert, sodass diese Zahlen in der endgültigen Lösung in Abbildung (PageIndex{14}) schattiert werden.

Da die Zahlen, die die ursprüngliche zusammengesetzte Ungleichung wahr machen, nur diejenigen sind, die zwischen (3) und (5) auf der Zahlengeraden liegen, können wir die Bedingung in der Set-Builder-Notation vereinfachen zu

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, 3

Und die Intervallnotation für die schattierte Lösung in Abbildung (PageIndex{14}) ist

Intervall-Notation: ((3, 5))

In ähnlicher Weise sind hier die Set-Builder- und Intervall-Notationen sowie die Schattierung der Sets auf der realen Linie für verschiedene Situationen, einschließlich der gerade besprochenen, aufgeführt.

ZahlenliniendiagrammSet-Builder-NotationIntervall-Notation
(ig{x, |, 3 < x < 5ig})((3,5))

(ig{x, |, 3leq x leq 5ig})

([3,5])
(ig{x, |, 3 leq x < 5ig})([3,5))
(ig{x, |, 3 < xleq 5ig})((3,5])
Tabelle (PageIndex{4}). Zahlenliniendiagramme, Set-Builder-Notation und Intervall-Notation.

Hinsichtlich der Intervalle in Tabelle (PageIndex{4}) gibt es mehrere Schwerpunkte.

  1. Wenn wir betonen möchten, dass wir keinen Punkt auf der realen Linie einschließen, verwenden wir einen „leeren Kreis“. Umgekehrt bedeutet ein „gefüllter Kreis“, dass wir den Punkt auf der reellen Linie einschließen. Somit enthält das Intervall in der ersten Zeile von Tabelle (PageIndex{4}) nicht die Endpunkte bei 3 und 5, aber das Intervall in der zweiten Zeile von Tabelle (PageIndex{4}) enthält die Endpunkte bei 3 und 5.
  2. Die Verwendung einer Klammer in der Intervallnotation bedeutet, dass wir diesen Endpunkt nicht in das Intervall einschließen. Somit bedeuten die Klammern, die in ((3, 5)) in der ersten Zeile der Tabelle (PageIndex{4}) verwendet werden, dass wir die Zahlen 3 und 5 nicht in dieses Intervall einschließen.
  3. Die Verwendung einer Klammer in der Intervallnotation bedeutet, dass wir die eingeklammerte Zahl in das Intervall einschließen. Die in ([3, 5],) verwendeten Klammern in der zweiten Zeile der Tabelle (PageIndex{4}) bedeuten also, dass wir die Zahlen 3 und 5 in das Intervall einschließen.
  4. Beachten Sie schließlich, dass einige unserer Intervalle an einem Ende „offen“ sind, aber am anderen Ende „geschlossen“ (gefüllt) sind, wie z. B. die in den Zeilen 3 und 4 der Tabelle (PageIndex{4}).

Definition

Einige Terminologie:

  • Das Intervall ((3, 5)) ist an jedem Ende offen. Daher nennen wir das Intervall ((3, 5)) ein offenes Intervall.
  • Das Intervall ([3, 5]) ist an jedem Ende geschlossen (gefüllt). Daher nennen wir das Intervall ([3, 5]) ein abgeschlossenes Intervall.
  • Die Intervalle ((3, 5]) und ([3, 5)) sind weder offen noch geschlossen.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{6})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge aller reellen Zahlen in der Menge (ig{x, |, x > 3) oder (x < 5ig}). Verwenden Sie die Set-Builder-Notation und die Intervallnotation, um Ihre Antwort zu beschreiben.

Lösung

Beachten Sie, dass der einzige Unterschied zwischen diesem aktuellen Beispiel und der in Beispiel (PageIndex{4}) schattierten Menge darin besteht, dass wir das Wort „und“ in (ig{x , | , x > 3) und (x < 5ig}) mit dem Wort „oder“ in (ig{x, |, x > 3) oder (x < 5ig }). Aber wie wir bereits gesehen haben, kann dies einen großen Unterschied machen.

Der erste Schritt besteht also darin, die Mengen (ig{x, |, x > 3ig}) und (ig{x, | , x < 5ig }) auf einzelnen reellen Zeilen, übereinander gestapelt, wie in Abbildung (PageIndex{15}) gezeigt.

Um nun die Lösung zu skizzieren, notiere das Wort „oder“ in der Menge (ig{x, |, x > 3) oder (x < 5ig}). Daher müssen wir die Vereinigung der beiden Graphen in Abbildung (PageIndex{15}) nehmen. Das heißt, wir müssen die Zahlen auf der reellen Linie schattieren, die in einem der beiden Diagramme in Abbildung (PageIndex{15}) schattiert sind. Dies bedeutet jedoch, dass wir jede Zahl auf der Linie schattieren müssen, wie in Abbildung (PageIndex{16}) gezeigt. Sie werden keine Beschriftungen für (3) und (5) auf der realen Linie in Abbildung (PageIndex{16}) bemerken, da es in dieser Lösung keine Endpunkte gibt. Die Endpunkte liegen, wenn man so will, bei negativer und positiver Unendlichkeit.

Somit ist die Intervallnotation für die schattierte Lösung in Abbildung (PageIndex{16}) auf ganz natürliche Weise

Intervall-Notation: ((-infty, infty).)

Die Set-Builder-Notation für diese Lösung muss die ganze reelle Gerade oder alle reellen Zahlen darstellen, also schreiben wir sie wie folgt:

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, xinmathbb{R}ig}).

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{7})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge aller reellen Zahlen in der Menge (ig{x, |, x < −1) oder (x > 3ig}). Verwenden Sie Intervallnotation, um Ihre Antwort zu beschreiben.

Lösung

Der erste Schritt besteht darin, die Mengen (ig{x, |, x < −1ig}) und (ig{x, | , x > 3ig} ) auf separaten reellen Zeilen, übereinander gestapelt, wie in Abbildung (PageIndex{17}) gezeigt.

Um die Lösung zu skizzieren, notiere das Wort „oder“ in der Menge (ig{x, |, x < −1) oder (x > 3ig}). Wir müssen also die Vereinigung der beiden schraffierten reellen Geraden in Abbildung (PageIndex{17}) nehmen. Das heißt, wir müssen die Zahlen auf der reellen Linie schattieren, die auf einer der reellen Linien in Abbildung (PageIndex{17}) schattiert sind. Somit ist jede Zahl kleiner als (−1) schattiert, sowie jede Zahl größer als 3. Das Ergebnis ist in Abbildung (PageIndex{18}) dargestellt.

Da der Graph dieser Lösung kein einzelnes Intervall auf dem Zahlenstrahl ist, sondern aus zwei disjunkten (nicht überlappenden) Intervallen besteht, müssen wir in dieser einen Situation das Wort "oder" in der Bedingung im . belassen Set-Builder-Notation für diese Lösung.

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, x < −1) oder (x > 3ig})

Als nächstes wollen wir herausfinden, wie man diese Lösung mit Intervallnotation schreibt.

Hier ist ein wichtiger Tipp.

Notiz

Wenn Sie die Intervallnotation richtig verwenden möchten, folgen Sie einer einfachen Regel: Bewegen Sie Ihre Augen immer von links nach rechts und beschreiben Sie, was Sie auf der echten Linie schattiert sehen.

Wenn wir diesem Rat folgen und unsere Augen von links nach rechts über die in Abbildung (PageIndex{18}) schattierte reelle Linie streichen, sehen wir, dass Zahlen von negativ unendlich bis (−1,) schattiert werden von (3) bis positiv unendlich. Somit ist die Intervallnotation für die schattierte Lösungsmenge in Abbildung (PageIndex{18}) auf ganz natürliche Weise

Intervall-Notation: ((-infty,-1) cup(3, infty))

Hier sind mehrere wichtige Punkte zu beachten:

Beachten Sie, wie wir das Unionssymbol (cup) verwendet haben, um die beiden Intervalle in ((-infty,-1) cup(3, infty)) auf natürliche Weise zu verbinden.

Das Unionssymbol wird zwischen Zahlengruppen verwendet, während das Wort „oder“ zwischen Aussagen über Zahlen verwendet wird. Daher ist es falsch, die Rollen des Gewerkschaftssymbols und des Wortes „oder“ zu vertauschen. Daher ist das Schreiben von (ig{x, | , x<-1 cup x>3ig}) falsch, wie es auch ((-infty,-1) ) oder ((3, infty)).

Beachten Sie, dass wir in unserer Intervallnotation niemals ein Schnittpunktsymbol (()) verwenden werden. Schnittpunkte von Intervallen können immer zu einem einzigen Intervall vereinfacht werden. Nur Vereinigungen (mit dem Wort "oder" kombiniert) können Lösungen bilden, die aus disjunkten (nicht zusammenhängenden) Intervallen bestehen, wie in Abbildung (PageIndex{18}) gezeigt.

Lassen Sie uns unsere frühere Diskussion über den Unterschied zwischen „gefüllten“ und „offenen“ Kreisen, Klammern und Klammern mit den unten in Tabelle (PageIndex{5}) gezeigten Beispielen verstärken. Hier schließen wir mehrere Vergleiche der Intervall- und Set-Builder-Notation ein, einschließlich der aktuellen Lösung für Beispiel (PageIndex{7}).

ZahlenliniendiagrammSet-Builder-NotationIntervall-Notation
(ig{x, |, x<-1) oder (x>3ig})((-infty,-1) cup(3, infty))
(ig{x, |, xleq-1) oder (xgeq 3ig})((-infty,-1] cup[3, infty))
(ig{x, |, xleq-1) oder (x>3ig})((-infty,-1] cup(3, infty))
(ig{x, |, x<-1) oder (xgeq 3ig})((-infty,-1) cup[3, infty))
Tabelle (PageIndex{5}). Zahlenliniendiagramme, Set-Builder-Notation und Intervall-Notation.

Auch hier bekräftigen wir die folgenden Punkte.

  • Beachten Sie, wie Sie die Intervallnotation in der richtigen Reihenfolge schreiben, wenn Sie Ihre Augen von links nach rechts schwenken und beschreiben, was auf der echten Linie schattiert ist.
  • Eine Klammer entspricht einem gefüllten Punkt und schließt den Endpunkt ein, während eine Klammer einem offenen Punkt entspricht und den Endpunkt nicht einschließt.

Lassen Sie uns ein letztes Beispiel anführen, das die Vorstellung, dass es einen großen Unterschied zwischen den Wörtern „und“ und „oder“ gibt, für immer festigen sollte.

Beispiel (PageIndex{8})

Skizzieren Sie auf der reellen Geraden die Menge aller reellen Zahlen in der Menge (ig{x, |, x<-1) und (x>3ig}). Beschreiben Sie Ihre Lösung.

Lösung

Beachten Sie zunächst, dass der einzige Unterschied zwischen diesem Beispiel und dem Beispiel (PageIndex{6}) darin besteht, dass wir das „oder“ in (ig{x, | , x<-1 ) oder (x>3ig}) auf ein „und“ in (ig{x, |, x<-1) und (x>3ig}) . Die vorläufigen Skizzen sind identisch mit denen in Abbildung (PageIndex{17}).

Beachte nun das Wort „und“ in (ig{x, |, x < −1 ext{ und }x > 3ig}). Daher müssen wir den Schnittpunkt der schattierten reellen Geraden in Abbildung (PageIndex{19}) nehmen. Das heißt, wir müssen auf einer einzigen reellen Linie alle Zahlen schattieren, die auf beiden reellen Linien in Abbildung (PageIndex{19}) schattiert sind. Es gibt jedoch keine Punkte auf den reellen Linien in Abbildung (PageIndex{19}), die gemeinsam schattiert sind, sodass die Lösungsmenge leer ist, wie in Abbildung (PageIndex{20}) gezeigt.

Diese zusammengesetzte Ungleichung hat Keine Lösung, also würden wir seine Lösungsmenge schreiben als: (ig{ ig}).

In diesem Fall gibt es keine Möglichkeit, eine Intervallnotation oder eine Setbuilder-Notation zu schreiben.

Ziemlich beeindruckend! Die letzten beiden Beispiele zeigen deutlich, dass Sie keinen kleinen Fehler gemacht haben, wenn Sie die Rollen von „und“ und „oder“ vertauschen. Tatsächlich haben Sie die ganze Bedeutung des Problems geändert. Seien Sie also vorsichtig mit Ihren "unds" und "or".

Auflösen von zusammengesetzten Ungleichungen

Wir wenden uns nun dem Geschäft der Lösung zusammengesetzter Ungleichungen zu.

In diesem Fall lernt man am besten durch das Tun. Beginnen wir mit einem Beispiel.

Beispiel (PageIndex{9})

Löse die folgende zusammengesetzte Ungleichung nach (x.)

[3-2 x<-1 quad ext { oder } quad 3-2 x>1 onumber]

Lösung

Lösen Sie zunächst jede der Ungleichungen unabhängig voneinander. Bei der ersten Ungleichung addiere (−3) zu beiden Seiten der Ungleichung und dividiere dann durch (−2,) und kehre das Ungleichungszeichen um.

[egin{align*} 3-2 x &<-1 -2 x &<-4 x &>2 end{align*}]

Schattiere die Lösung auf einem Zahlenstrahl.

Genau die gleiche Folge von Operationen kann verwendet werden, um die zweite Ungleichung zu lösen

[egin{align*} 3-2 x &>1 -2 x &>-2 x &<1 end{align*}]

Obwohl Sie jede Seite der Ungleichung unabhängig lösen, sollten Sie Ihre Arbeit wie folgt anordnen, indem Sie die Zahlenstrahllösung für die erste Ungleichung über der der zweiten Ungleichung stapeln.

[egin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{<}&{-1} & { ext { oder }} & {quad 3-2 x}&{>}&{1} {-2 x}&{<}&{-4} & &{-2 x}&{>}&{-2} {x}&{>}&{2} && {x}& {<}&{1}end{array} onumber]

Die Antwort, die sowohl in der Intervall- als auch in der Set-Builder-Notation beschrieben wird, lautet

Intervall-Notation: ((-infty, 1) cup(2, infty))

Set-Builder-Notation: (ig{x, | ,<1 ext { oder } x>2ig}.)

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{10})

Löse die folgende zusammengesetzte Ungleichung nach (x.)

[-1<3-2 x<1 label{eq12}]

Lösung

Denken Sie daran, dass (a < x < b) identisch mit der Aussage (x > a) und (x < b.) ist. Somit können wir die zusammengesetzte Ungleichung (−1 < 3 − 2x < 1 ) in der Form

[3-2 x>-1 quad ext { und } quad 3-2 x<1 label{eq13}]

Lösen Sie jede Ungleichung unabhängig voneinander und ordnen Sie Ihre Arbeit wie folgt an.

[egin{array}{rlllrll}{3-2 x}&{>}&{-1} & { ext { und }} & {quad 3-2 x}&{<}&{1} {-2 x}&{>}&{-4} & &{-2 x}&{<}&{-2} {x}&{<}&{2} && {x}& {>}&{1}end{array} label{eq14}]

Schattiere die Lösung jeder Ungleichung auf separaten reellen Geraden, eine über der anderen

Die Antwort, die sowohl in der Intervall- als auch in der Set-Builder-Notation beschrieben wird, lautet

Intervall-Notation: ((1,2))

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, 1

Beachten Sie, dass wir in unserer Antwort die kompakte Form der zusammengesetzten Ungleichung verwendet haben, da diese Bedingung einfacher ist als die Verwendung einer zusammengesetzten Ungleichung "und".

Alternativer Ansatz. Sie haben vielleicht bemerkt, dass Sie beim Lösen der zweiten Ungleichung in ef{eq14} die gleichen Operationen wiederholt haben, die zur Lösung der ersten Ungleichung verwendet wurden. Das heißt, Sie haben (3) von beiden Seiten der Ungleichung abgezogen und dann beide Seiten der Ungleichung durch (−2,) geteilt, wodurch das Ungleichungszeichen umgekehrt wird.

Diese Wiederholung ist ärgerlich und legt in dieser besonderen Situation eine mögliche Abkürzung nahe. Anstatt die zusammengesetzte Ungleichung ef{eq12} in zwei Teile aufzuspalten (wie in ef{eq13}), lassen wir die Ungleichung zusammen, wie in

[-1<3-2 x<1 label{eq16}]

Hier sind nun die Regeln für die Arbeit mit diesem Formular.

Eigenschaft (PageIndex{4})

Beim Arbeiten mit einer zusammengesetzten Ungleichung der Form

[a

Sie können zu (von) allen drei Teilen der Ungleichung denselben Betrag addieren (oder subtrahieren), wie in

[a+c

oder

[a-c

Sie können auch alle drei Teile mit demselben multiplizieren positiv Zahl (c > 0,) wie in

[c a

Wenn Sie jedoch alle drei Teile mit demselben multiplizieren Negativ Zahl (c < 0,) dann vergiss nicht, die Ungleichungszeichen umzukehren, da in

[ca>cx>cb]

Die Regeln für die Division sind identisch mit den Multiplikationsregeln. Wenn (c > 0) (positiv), dann

[frac{a}{c}

Wenn (c < 0) (negativ), dann kehren Sie die Ungleichungszeichen beim Dividieren um.

[frac{a}{c}>frac{x}{c}>frac{b}{c}]

Jedes der Werkzeuge in Eigenschaft (PageIndex{4}) erzeugt immer äquivalente Ungleichungen.

Kehren wir also zur zusammengesetzten Ungleichung ef{eq16} zurück und subtrahieren (3) von allen drei Mitgliedern der Ungleichung.

[egin{array}{c}{-1<3-2 x<1} {-1-3<3-2 x-3<1-3} {-4<-2 x< -2}end{array} onumber]

Als nächstes dividieren Sie alle drei Elemente durch (−2,) und kehren dabei die Ungleichungszeichen um.

[egin{array}{c}{-4<-2 x<-2} {dfrac{-4}{-2}>dfrac{-2 x}{-2}>dfrac{ -2}{-2}} {2>x>1}end{array} onumber]

Es ist üblich, die Reihenfolge dieser letzten Ungleichung zu ändern. Indem wir die Ungleichung von rechts nach links lesen, erhalten wir

[1

die die reellen Zahlen beschreibt, die größer als 1 und kleiner als (2.) sind. Die Lösung wird auf der folgenden reellen Geraden gezogen.

Beachten Sie, dass dies identisch mit der Lösungsmenge auf der reellen Linie in Abbildung (PageIndex{22}) ist. Beachten Sie auch, dass diese zweite alternative Methode effizienter ist, insbesondere wenn Sie ein wenig im Kopf arbeiten. Betrachten Sie die folgende Sequenz, in der wir drei von allen drei Elementen subtrahieren, dann alle drei Elemente durch (−2,) dividieren, die Ungleichungszeichen umkehren und schließlich die Ungleichung in die entgegengesetzte Richtung lesen.

[egin{array}{c}{-1<3-2 x<1} {-4<-2 x<-2} {quad 2>x>1} {quad 1

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{11})

Löse die folgende zusammengesetzte Ungleichung nach (x.)

[-1

Lösung

Lassen Sie uns zuerst alle drei Elemente mit (2,) multiplizieren, um die Brüche zu löschen.

[2(-1)<2left(x-frac{x+1}{2} ight) leq 2(2) onumber]

[-2<2(x)-2left(frac{x+1}{2} ight) leq 4 onumber]

Stornieren. Beachten Sie die Verwendung von Klammern, die bei einem Minuszeichen von entscheidender Bedeutung ist.

[-2<2 x-cancel{2}left(frac{x+1}{cancel{2}} ight) leq 4 onumber]

[-2<2 x-(x+1) leq 4 onumber]

Verteile das Minuszeichen und vereinfache.

[egin{align*} -2 &< &&2x-x-1 &&leq 4 -2 &< &&x-1&& leq 4end{align*}]

Fügen Sie allen drei Mitgliedern (1) hinzu.

[-1

Diese Lösung beschreibt die reellen Zahlen, die größer als (-1) und kleiner als (5,) sind, einschließlich (5.) Das heißt, die reellen Zahlen, die zwischen (-1) und ( 5,) einschließlich (5,) schattiert auf der reellen Linie in Abbildung (PageIndex{24}).

Die Antwort, die sowohl in Intervall- als auch in Set-Builder-Notation beschrieben wird, lautet

Intervall-Notation: ((-1,5])

Set-Builder-Notation: (ig{x, |,-1

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Beispiel (PageIndex{12})

Löse die folgende zusammengesetzte Ungleichung nach (x.)

[x leq 2 x-3 leq 5 onumber]

Lösung

Angenommen, wir versuchen, (x) zu isolieren, wie wir es in Beispiel (PageIndex{11}) getan haben. Vielleicht würden wir versuchen, allen drei Mitgliedern (−x) hinzuzufügen.

[egin{align*} x &leq &&2x-3 &&leq 5 xx &leq &&2x-3-x &&leq 5-x 0 &leq &&x-3 &&leq 5- x end{ausrichten*}]

Nun, das hat nicht viel geholfen, nur das Problem mit (x) auf das andere Ende der Ungleichung zu übertragen. Ähnliche Versuche werden nicht helfen, (x.) zu isolieren. Also, was tun wir?

Die Lösung ist, dass wir die Ungleichung aufteilen (natürlich mit dem Wort „und“).

[x leq 2 x-3 quad ext { und } quad 2 x-3 leq 5 onumber]

Wir können die erste Ungleichung lösen, indem wir (2x) von beiden Seiten der Ungleichung subtrahieren, dann beide Seiten mit (−1,) multiplizieren und dabei die Ungleichung umkehren

[egin{align*} x & leq 2 x-3 -x & leq-3 x & geq 3 end{align*}]

Um die zweite Ungleichung zu lösen, addiere (3) zu beiden Seiten und dividiere dann beide Seiten durch (2):

[egin{align*} 2 x-3 & leq 5 2 x & leq 8 x & leq 4 end{align*}]

Natürlich möchten Sie Ihre Arbeit wahrscheinlich wie folgt anordnen

[egin{array}{rllrl} x & leq 2 x-3 & ext{and} &2 x-3 & leq 5 -x & leq-3 && 2 x & leq 8 x & geq 3 & & x & leq 4end{array} onumber]

Daher müssen wir auf einer Zahlengeraden alle reellen Zahlen schattieren, die größer oder gleich (3) und kleiner oder gleich (4,) sind, wie in Abbildung (PageIndex{25}) gezeigt. .

Die Lösung, die sowohl in der Intervall- als auch in der Set-Builder-Notation beschrieben wird, lautet

Intervall-Notation: ([3,4])

Set-Builder-Notation: (ig{x, |, 3 leq x leq 4ig})

Mitwirkende

Angepasst und angepasst von Paul Seeburger (Monroe Community College) basierend hauptsächlich auf Material von

David Arnold (Professor im Ruhestand (Mathematik) am College of the Redwoods)

Abbildung (PageIndex{10}) und ein Teil des umgebenden Textes stammen aus Abschnitt 2.7 des OpenStax Intermediate Algebra-Textes von Lynn Marecek.


2.8: Zusammengesetzte Ungleichungen lösen - Mathematik

Eine lineare Ungleichung Eine mathematische Aussage, die einen linearen Ausdruck entweder als kleiner oder größer als ein anderer bezeichnet. ist eine mathematische Aussage, die einen linearen Ausdruck entweder als kleiner oder größer als einen anderen bezeichnet. Im Folgenden sind einige Beispiele für lineare Ungleichungen aufgeführt, die alle in diesem Abschnitt gelöst werden:

Eine Lösung für eine lineare Ungleichung Eine reelle Zahl, die eine wahre Aussage ergibt, wenn ihr Wert die Variable ersetzt. ist eine reelle Zahl, die eine wahre Aussage erzeugt, wenn sie die Variable ersetzt. Lineare Ungleichungen haben entweder unendlich viele Lösungen oder keine Lösung. Wenn es unendlich viele Lösungen gibt, zeichnen Sie die Lösungsmenge auf einer Zahlengeraden auf und/oder drücken Sie die Lösung in Intervallnotation aus.

Beispiel 1: Sind x = − 2 und x = 4 Lösungen zu 3 x + 7 < 16 ?

Lösung: Ersetzen Sie die Werte für x, vereinfachen und prüfen, ob wir eine wahre Aussage erhalten.

Antwort: x = − 2 ist eine Lösung und x = 4 nicht.


2.8: Zusammengesetzte Ungleichungen lösen - Mathematik

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Beschreibung

Dieses Paket bietet Ihnen als Lehrer alles, was Sie benötigen, um den Schülern beim Erlernen von zusammengesetzten Ungleichungen zu helfen. Dazu gehören die grafische Darstellung von zusammengesetzten Ungleichungen, das Lösen von zusammengesetzten Ungleichungen und das Lesen und Interpretieren von Graphen zusammengesetzter Ungleichungen in einer Variablen.

Wenn Sie dieses Bundle herunterladen, erhalten Sie einen ZIP-Ordner mit einem Readme-Dokument, das alle darin enthaltenen Dokumente organisiert und die Bereitstellung der Lektionen vereinfacht. (Sie können sehen, wie dieses Dokument auf dem unten geposteten Bild aussieht.) Die Mappe enthält auch einen hochwertigen, gut organisierten Begleiter für Lehrer, der die Schlüsselkonzepte aufschlüsselt und den Fokus für Ihren Unterricht bietet, eine hochwertige PowerPoint, Referenznotizen, die den Schülern zum Lesen oder Nachschlagen zugewiesen werden können, eine Hausaufgabe und Links zu im Internet bereitgestellten Informationen, die auf diese Lektion ausgerichtet sind, um Schüler oder Eltern nachzuschlagen. Es gibt zwei Hausaufgaben. Die Online-Informationen umfassen Videos, Online-Notizen und Übungsaufgaben der Khan Academy.

Wie bei allen Paketen und Lektionen von Math Connected können Sie die Materialien problemlos in einer traditionellen Lektion, einem umgedrehten Klassenzimmer oder einem virtuellen Klassenzimmer verwenden. Wenn Sie den Schülern die zu lesenden Notizen zuordnen, entwickeln sie ihre Kenntnisse und Erfahrungen mit technischem Schreiben weiter. In jedem Fall sind sie eine großartige Referenz für Studenten.

Alle Materialien hier sind so ausgerichtet, dass Sie Schüler mit unterschiedlichen Fähigkeiten unterstützen können, während Sie gleichzeitig Zugang zu Inhalten zur Überprüfung oder für abwesende Schüler und sogar Eltern, die Zugriff haben möchten, damit sie “helfen,” ihren Kind schneidet im Unterricht gut ab.


Warum das lernen

Das Leben ist nicht binär (egal wie sehr Tiger es sich wünscht) und wir werden oft mit Fragen konfrontiert, die mehr als eine Antwort haben. Deshalb brauchen wir Ungleichheiten. Wie viel von einem Produkt sollte produziert werden, um den Gewinn eines Unternehmens zu maximieren? Wie viele Tickets müssen Sie verkaufen, damit die Show Ihrer Band profitabel ist? Wie viel Geld müssen Sie in der Sommerpause verdienen, um einen Skiurlaub im Winter zu buchen? Lineare Ungleichungen können uns helfen, diese und viele weitere Fragen zu beantworten, indem sie helfen, die Beziehungen zwischen dem, was wir wissen und dem, was wir wissen wollen, zu erklären!


Frühere KCSE-Fragen zum Thema.

  1. Finden Sie den Bereich von x, wenn 2 &le 3 &minus x < 5
  2. Finden Sie alle ganzzahligen Werte von x, die die Ungleichungen erfüllen:
    2(2&minusx) < 4x &minus 9 <x + 11
  3. Löse die Ungleichung und zeige die Lösung
    3 &ndash 2x < x &le 2x + 5 auf dem Zahlenstrahl
    3
  4. Löse die Ungleichung x &minus 3 + x &minus 5 &le 4x + 6 &minus 1
    4 6 8
  5. Lösen und notieren Sie alle Integralwerte, die die Ungleichung erfüllen.
    x &ndash 9 &le &minus 4 < 3x &ndash 4
  6. Zeigen Sie auf einem Zahlenstrahl den Bereich aller ganzzahligen Werte von x, die das folgende Ungleichungspaar erfüllen:
    3 &minus x &le 1 &minus ½ x
    &minus½ ( x&minus 5) &le 7&minus x
  7. Löse die Ungleichungen 4x &ndash 3  6x &ndash 1  3x + 8, also stelle deine Lösung auf einer Zahlengerade dar
  8. Finden Sie alle ganzzahligen Werte von x, die die Ungleichungen erfüllen
    2(2 &minus x) < 4x -9< x + 1 1
  9. Vorausgesetzt x + y = 8 und x²+ y²=34
    Finden Sie den Wert von:-
    1. x²+2xy+y²
    2. 2xy
    1. Zeichnen Sie auf dem bereitgestellten Raster den Graphen von y = 4 + 3x &ndash x 2 für die Integralwerte von x im Intervall &minus2 &le x &ge 5. Verwenden Sie eine Skala von 2 cm, um 1 Einheit auf der x &ndash-Achse und 1 cm darzustellen, um darzustellen 1 Einheit auf der y &ndash-Achse. (6mk)
    2. Geben Sie den Wendepunkt des Graphen an. (1 m)
    3. Verwenden Sie Ihre Grafik, um zu lösen.
      1. &minusx 2 + 3x + 4 = 0
      2. 4x = x 2

      2.8: Zusammengesetzte Ungleichungen lösen - Mathematik

      Google-Nutzer haben uns gestern gefunden, indem sie diese Algebra-Begriffe eingegeben haben:

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      Auflösen von zusammengesetzten Ungleichungen



      Beispiele, Arbeitsblätter, Lösungen und Aktivitäten, mit denen Algebra 1-Schüler lernen, wie man zusammengesetzte Ungleichungen löst.

      Zusammengesetzte Ungleichungen
      In der Mathematik kann es sinnvoll sein, die Lösung zu begrenzen oder sogar mehrere Lösungen für eine Ungleichung zu haben. Dazu verwenden wir zusammengesetzte Ungleichungen, die Ungleichungen mit mehreren Ungleichungszeichen sind. Beim Lösen von zusammengesetzten Ungleichungen verwenden wir einige der gleichen Methoden, die beim Lösen von mehrstufigen Ungleichungen verwendet werden.

      Probieren Sie den kostenlosen Mathway-Rechner und den folgenden Problemlöser aus, um verschiedene mathematische Themen zu üben. Probieren Sie die angegebenen Beispiele aus oder geben Sie Ihr eigenes Problem ein und überprüfen Sie Ihre Antwort mit den Schritt-für-Schritt-Erklärungen.

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      Brauchen Sie Mathe im Alltag

      Zusammengesetzte Ungleichungen sind definiert als die Bedingungen der Verfügbarkeit der Bedingung in den bestimmten Ungleichungen Bedingungen werden erfüllt zwischen zwei oder mehr einfachen Ungleichungen, die durch die Begriffe 'und' oder 'oder' verbunden sind.

      Arten von zusammengesetzten Ungleichungen sind

      Es gibt drei Arten von Ungleichheiten

      1. Und - das ist die Ungleichung, die die beiden Ungleichungen getrennt hat.

      2. Oder - das ist die Ungleichung, die die beiden Ungleichungen getrennt hat.

      3. a < bx + c < d – Dies ist die einfache Ungleichungsform.

      Und, oder Arten von zusammengesetzten Ungleichungen mit Beispielen:
      Und Beispiele für zusammengesetzte Ungleichungen:

      Dies ist wie eine Schnittmenge der beiden jeweiligen Lösungen. Es ist leicht zu lösen. Um den Schnittpunkt von zwei bestimmten Mengen zu finden.

      Bsp.:1 2x + 2 < 8 und 3x – 4 > -4

      Der Schnitt und die Ungleichungen der Lösung sind (x | 0 < x < 3)

      Bsp.: 2 4x +5 > 1 und 3x – 4 < -1 . lösen

      Lösung: 4x > 1 – 5 und 3x < -1 + 4

      Der Schnitt und die Ungleichungen der Lösung sind ( x| -1 < x < 1)

      Dieser Typ ist wie eine Vereinigung der einzelnen Ungleichungen zweier Lösungen. Es ist leicht zu lösen. Um die Vereinigung bestimmter zwei Punkte zu finden.

      Algebra wird häufig in alltäglichen Aktivitäten verwendet. Achten Sie auf meine bevorstehenden Beiträge zu einem algebraischen Ausdruck und einem mathematischen Algebra-Löser. Ich bin sicher, sie werden hilfreich sein.

      Arten von zusammengesetzten Ungleichungen:

      Einfach zusammengesetzte Ungleichungen bilden:


      Diese Art von Ungleichungen sind die solange die Variable nur im mittleren Teil der Variablen in ihrer Ungleichung auftauchen muss.


      Sol:Gegeben -2 < 5x – 7 < 3 füge die 7 auf beiden Seiten von 3 Teilen hinzu


      Schau das Video: Wie zeichne ich lineare Ungleichungen im Koordinatensystem? Ungleichungen grafisch darstellen (August 2022).