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2.4: Lineare Gleichungen lösen - Teil II


Lernziele

  • Löse allgemeine lineare Gleichungen.
  • Identifizieren und lösen Sie bedingte Gleichungen, Identitäten und Widersprüche.
  • Löschen Sie Dezimalzahlen und Brüche aus Gleichungen.
  • Löse wörtliche Gleichungen oder Formeln für eine gegebene Variable.

Ähnliche Begriffe kombinieren und vereinfachen

Lineare Gleichungen werden normalerweise nicht in Standardform angegeben, sodass ihre Lösung zusätzliche Schritte erfordert. Diese zusätzlichen Schritte umfassen das Vereinfachen von Ausdrücken auf jeder Seite des Gleichheitszeichens unter Verwendung der Reihenfolge der Operationen.

Gleichseitige Begriffe

Wir werden oft auf lineare Gleichungen stoßen, bei denen die Ausdrücke auf jeder Seite des Gleichheitszeichens vereinfacht werden können. Typischerweise beinhaltet dies das Kombinieren von gleichseitigen Begriffen. Wenn dies der Fall ist, vereinfachen Sie am besten zuerst jede Seite, bevor Sie sie lösen.

Beispiel (PageIndex{1})

Lösen:

(−4a+2−a=3−2).

Lösung:

Kombinieren Sie zunächst die gleichen Begriffe auf jeder Seite des Gleichheitszeichens.

Antworten:

Die Lösung ist (frac{1}{5}).

Gegenseitige wie ähnliche Begriffe

Bei einer gegebenen linearen Gleichung der Form (ax+b=cx+d) beginnen wir damit, gleiche Terme auf gegenüberliegenden Seiten des Gleichheitszeichens zu kombinieren. Um gegenüberliegende gleiche Terme zu kombinieren, verwenden Sie die Additions- oder Subtraktionseigenschaft der Gleichheit, um Terme effektiv von einer Seite auf die andere zu „bewegen“, damit sie kombiniert werden können.

Beispiel (PageIndex{2})

Lösen:

(−2y−3=5y+11).

Lösung:

Um den Term (5y) auf die linke Seite zu „bewegen“, subtrahiere ihn auf beiden Seiten.

(egin{ausgerichtet} -2y-3&=5y+11 -2y-3color{Cerulean}{-5y}&=5y+11color{Cerulean}{-5y} &color{Cerulean} {Subtrahieren:5y:von:beide:Seiten.} -7y-3&=11 end{ausgerichtet})

Von hier aus lösen Sie mit den zuvor entwickelten Techniken.

Überprüfen Sie immer, ob die Lösung richtig ist, indem Sie die Lösung wieder in die ursprüngliche Gleichung einsetzen und vereinfachen, um zu sehen, ob Sie eine wahre Aussage erhalten.

(egin{ausgerichtet} -2y-3&=5y+11 -2(color{Olivgrün}{-2}color{schwarz}{)-3}&=5(color{Olivgrün}{- 2}color{black}{)+1} 4-3&=-10+11 1&=1 quadcolor{Cerulean}{checkmark} end{aligned})

Antworten:

Die Lösung ist (-2).

Allgemeine Richtlinien zum Lösen linearer Gleichungen

Beim Lösen linearer Gleichungen besteht das Ziel darin, zu bestimmen, welcher Wert, falls vorhanden, eine wahre Aussage ergibt, wenn er in die ursprüngliche Gleichung eingesetzt wird. Machen Sie dies, indem Sie die Variable mit den folgenden Schritten isolieren:

Schritt 1: Vereinfachen Sie beide Seiten der Gleichung mit der Reihenfolge der Operationen und kombinieren Sie alle gleichseitigen Terme.

Schritt 2: Verwenden Sie die entsprechenden Gleichheitseigenschaften, um gegensätzliche Terme mit dem variablen Term auf der einen Seite der Gleichung und dem konstanten Term auf der anderen zu kombinieren.

Schritt 3: Dividiere oder multipliziere nach Bedarf, um die Variable zu isolieren.

Schritt 4: Überprüfen Sie, ob die Antwort die ursprüngliche Gleichung löst.

Beispiel (PageIndex{3})

Lösen:

(-frac{1}{2}(10y-2)+3=14)

Lösung:

Vereinfachen Sie den linearen Ausdruck auf der linken Seite vor dem Lösen.

Überprüfen,

(egin{ausgerichtet} -frac{1}{2}(10(color{Olivgrün}{-2}color{schwarz}{)-2)+3}&=14 -frac{ 1}{2}(-20-2)+3&=14 -frac{1}{2}(-22)+3&=14 11+3&=14 14&=14quadcolor {Cerulean}{checkmark} end{aligned})

Antworten:

Die Lösung ist (-2).

Beispiel (PageIndex{4})

Lösen:

(5(3x+2)−2=−2(1−7x)).

Lösung:

Vereinfachen Sie zunächst die Ausdrücke auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens.

Antworten:

Die Lösung ist (−10). Der Scheck bleibt als Übung.

Übung (PageIndex{1})

Lösen:

(6−3(4x−1)=4x−7).

Antworten

(x=1)

Bedingte Gleichungen, Identitäten und Widersprüche

Es gibt drei verschiedene Arten von Gleichungen. Bisher haben wir bedingte Gleichungen gelöst. Dies sind Gleichungen, die für bestimmte Werte gelten. Eine Identität ist eine Gleichung, die für alle möglichen Werte der Variablen gilt. Beispielsweise,

(x=xquadcolor{Cerulean}{Identität})

hat eine Lösungsmenge, die aus allen reellen Zahlen besteht, (R). Ein Widerspruch ist eine Gleichung, die niemals wahr ist und daher keine Lösungen hat. Beispielsweise,

(x+1=xquadcolor{Cerulean}{Widerspruch})

hat keine Lösung. Wir verwenden die leere Menge (∅), um anzuzeigen, dass es keine Lösungen gibt.

Wenn das Endergebnis der Lösung einer Gleichung eine wahre Aussage ist, wie (0 = 0), dann ist die Gleichung eine Identität und jede reelle Zahl ist eine Lösung. Wenn das Lösen zu einer falschen Aussage führt, wie (0 = 1), dann ist die Gleichung ein Widerspruch und es gibt keine Lösung.

Beispiel (PageIndex{5})

Lösen:

(4(x+5)+6=2(2x+3)).

Lösung:

(egin{ausgerichtet} 4(x+5)+6&=2(2x+3)&color{Cerulean}{Verteilen.} 4xcolor{Olivgrün}{+20+6}&=4x+ 6&color{Cerulean}{Kombinieren:gleiche Seite:wie:Begriffe.} 4x+26&=4x+6 &color{Cerulean}{Kombinieren:Gegenseite:wie:Begriffe. } 4x+26color{Cerulean}{-4x}&=4x+6color{Cerulean}{-4x} 26&=6quadcolor{red}{x} &color{Cerulean} {Falsch} end{ausgerichtet})

Antworten:

(∅). Das Lösen führt zu einer falschen Aussage; Daher ist die Gleichung ein Widerspruch und es gibt keine Lösung.

Beispiel (PageIndex{6})

Lösen:

(3(3y+5)+5=10(y+2)−y).

Lösung:

(egin{ausgerichtet} 3(3y+5)+5&=10(y+2)-y &color{Cerulean}{Verteilen.} 9ycolor{Olivgrün}{+15+5}&= 10y+20-y &color{Cerulean}{Kombinieren:gleiche Seite:wie:terms.} 9y+20&=9y+20 &color{Cerulean}{Kombinieren:Gegenseite: like:terms.} 9y+20color{Cerulean}{-9y}&=9y+20color{Cerulean}{-9y} 20&=20 quadcolor{Cerulean}{checkmark} &color{Cerulean}{True} end{aligned})

Antworten:

(R). Das Lösen führt zu einer wahren Aussage; daher ist die Gleichung eine Identität und jede reelle Zahl ist eine Lösung.

Wenn es schwer zu glauben ist, dass eine reelle Zahl eine Lösung der Gleichung im vorherigen Beispiel ist, wählen Sie Ihre bevorzugte reelle Zahl und setzen Sie sie in die Gleichung ein, um zu sehen, dass sie zu einer wahren Aussage führt. Wählen Sie (x=7) und überprüfen Sie:

Übung (PageIndex{2})

Lösen:

(−2(3x+1)−(x−3)=−7x+1).

Antworten

(R)

Dezimalstellen und Brüche löschen

Die Koeffizienten linearer Gleichungen können jede beliebige reelle Zahl sein, sogar Dezimalzahlen und Brüche. Wenn Dezimalzahlen und Brüche verwendet werden, ist es möglich, die Multiplikationseigenschaft der Gleichheit zu verwenden, um die Koeffizienten in einem einzigen Schritt zu löschen. Wenn Dezimalkoeffizienten angegeben sind, multiplizieren Sie diese mit einer entsprechenden Zehnerpotenz, um die Dezimalstellen zu löschen. Wenn Bruchkoeffizienten gegeben sind, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner (LCD).

Beispiel (PageIndex{7})

Lösen:

(2,3x+2,8=−1,2x+9,8).

Lösung:

Beachten Sie, dass alle Dezimalkoeffizienten mit Ziffern an der Zehntelstelle ausgedrückt werden; Dies legt nahe, dass wir die Dezimalstellen löschen können, indem wir beide Seiten mit (10) multiplizieren. Achten Sie darauf, (10) auf jeden Term auf beiden Seiten der Gleichung zu verteilen.

(egin{ausgerichtet} color{Cerulean}{10cdot }color{black}{(2.3x+2.8)} &=color{Cerulean}{10cdot}color{black}{-1.2 x+9,8} &color{Cerulean}{Multiply:beide:sides:by:10.} color{Cerulean}{10cdot }color{schwarz}{2,3x+}color{ Cerulean}{10cdot }color{black}{2.8}&=color{Cerulean}{10cdot }color{black}{(-1.2x)+}color{Cerulean}{10cdot} color{black}{9.8} 23x+28&=-12x+98 &color{Cerulean}{Integer:Koeffizienten} 23x+28color{Cerulean}{+12x}&=-12x+98 color{Cerulean}{+12x} &color{Cerulean}{Löse.} 35x+28&=98 35x+28color{Cerulean}{-28}&=98color{Cerulean}{- 28} 35x&=70 frac{35x}{color{Cerulean}{35}}&=frac{70}{color{Cerulean}{35}} x&=2 end{aligned })

Antworten:

Die Lösung ist (2).

Beispiel (PageIndex{8})

Lösen:

(frac{1}{3}x+frac{1}{5}=frac{1}{5}x−1).

Lösung:

Löschen Sie die Brüche, indem Sie beide Seiten mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der angegebenen Nenner multiplizieren. In diesem Fall ist die LCM((3, 5)=15).

Antworten:

Die Lösung ist (-9).

Es ist wichtig zu wissen, dass diese Techniken nur für Gleichungen funktionieren. Versuchen Sie nicht, Brüche zu löschen, wenn Sie Ausdrücke vereinfachen. Als eine Erinnerung

(egin{array}{c|c} {underline{color{Cerulean}{Ausdruck}}}&{underline{color{Cerulean}{Gleichung}}} {frac{1}{ 2}x+frac{5}{3}}&{frac{1}{2}x+frac{5}{3}=0} end{array})

Gleichungen lösen und Ausdrücke vereinfachen. Wenn Sie einen Ausdruck mit (6) multiplizieren, ändern Sie das Problem. Wenn Sie jedoch beide Seiten einer Gleichung mit 6 multiplizieren, erhalten Sie eine äquivalente Gleichung.

(egin{array}{c|c} {underline{color{red}{Falsch}}}&{underline{color{Cerulean}{Correct}}}{frac{1}{ 2}x+frac{5}{3}}&{frac{1}{2}x+frac{5}{3}=0} { eqcolor{rot}{6cdot} color{black}{left(frac{1}{2}x+frac{5}{3} ight)}}&{color{Cerulean}{6cdot}color{black}{left ( frac{1}{2}x+frac{5}{3} ight) =}color{Cerulean}{6cdot }color{schwarz}{0}} {=3x+10 quadcolor{red}{x}}&{3x+10=10quadcolor{Cerulean}{checkmark}} end{array})

Literale Gleichungen (lineare Formeln)

Mit Algebra können wir ganze Klassen von Anwendungen mithilfe von wörtlichen Gleichungen oder Formeln lösen. Formeln haben oft mehr als eine Variable und beschreiben oder modellieren ein bestimmtes reales Problem. Zum Beispiel beschreibt die bekannte Formel (D=rt) die zurückgelegte Strecke in Bezug auf die durchschnittliche Geschwindigkeit und Zeit; Wenn zwei dieser Größen gegeben sind, können wir die dritte bestimmen. Mit Algebra können wir die Gleichung nach einer der Variablen lösen und zwei weitere Formeln herleiten.

(egin{ausgerichtet} D&=rt frac{D}{color{Cerulean}{r}}&=frac{rt}{color{Cerulean}{r}}&color{Cerulean} {Divide:beide:sides:by:r.} frac{D}{r}&=t end{aligned})

Teilen wir beide Seiten durch (r), erhalten wir die Formel (t=Dr). Verwenden Sie diese Formel, um die Zeit anhand der Entfernung und der Geschwindigkeit zu ermitteln

(egin{ausgerichtet} D&=rt frac{D}{color{Cerulean}{t}}&=frac{rt}{color{Cerulean}{t}}&color{Cerulean} {Divide:beide:sides:by:t.} frac{D}{t}&=r end{aligned})

Teilen wir beide Seiten durch (t), erhalten wir die Formel (r=Dt). Verwenden Sie diese Formel, um die Rate unter Berücksichtigung der zurückgelegten Entfernung und der Zeit zu ermitteln, die für diese Entfernung benötigt wird. Mit den bisher erlernten Techniken haben wir jetzt drei äquivalente Formeln für Distanz, Durchschnittsgeschwindigkeit und Zeit:

(D=rtqquad t=frac{D}{r}qquad r=frac{D}{t})

Bei einer wörtlichen Gleichung ist es oft notwendig, eine der Variablen in Bezug auf die anderen aufzulösen. Verwenden Sie die Eigenschaften der Gleichheit, um die angegebene Variable zu isolieren.

Beispiel (PageIndex{9})

Löse nach (a):

(P=2a+b).

Lösung:

Ziel ist es, die Variable (a) zu isolieren.

(egin{ausgerichtet} P&=2a+b Pcolor{Cerulean}{-b}&=2a+bcolor{Cerulean}{-b} &color{Cerulean}{Subtrahieren:b :von:beide:Seiten.} P-b&=2a frac{Pb}{color{Cerulean}{2}}&=frac{2a}{color{Cerulean}{2} } &color{Cerulean}{Divide:beide:sides:by:2.} frac{Pb}{2}&=a end{aligned})

Antworten:

(a=frac{P-b}{2})

Beispiel (PageIndex{10})

Löse nach (y):

(z=frac{x+y}{2}).

Lösung:

Ziel ist es, die Variable (y) zu isolieren.

(egin{ausgerichtet} z&=frac{x+y}{2} color{Cerulean}{2cdot}color{black}{z}&=color{Cerulean}{2cdot }color{schwarz}{frac{x+y}{2}}&color{Cerulean}{Multiplizieren:beide:Seiten:mit:2.} 2z&=x+y 2z color{Cerulean}{-x}&=x+ycolor{Cerulean}{-x}&color{Cerulean}{Subtrahieren:x:von:beide:Seiten.} 2z-x& =y end{ausgerichtet})

Antworten:

(y=2z-x)

Übung (PageIndex{3})

Löse nach (b):

(2a−3b=c).

Antworten

(b=frac{2a−c}{3})

Die zentralen Thesen

  • Das Lösen allgemeiner linearer Gleichungen beinhaltet das Isolieren der Variablen mit dem Koeffizienten (1) auf einer Seite des Gleichheitszeichens.
  • Die Schritte zum Lösen linearer Gleichungen sind:
    • Vereinfachen Sie beide Seiten der Gleichung und kombinieren Sie alle gleichseitigen Terme.
    • Kombinieren Sie gegenüberliegende gleiche Terme, um den variablen Term auf der einen Seite des Gleichheitszeichens und den konstanten Term auf der anderen zu erhalten.
    • Dividieren oder multiplizieren Sie nach Bedarf, um die Variable zu isolieren.
    • Überprüfen Sie die Antwort.
  • Die meisten linearen Gleichungen, denen Sie begegnen werden, sind bedingt und haben eine Lösung.
  • Wenn das Lösen einer linearen Gleichung zu einer wahren Aussage wie (0 = 0) führt, dann ist die Gleichung eine Identität und die Lösungsmenge besteht aus allen reellen Zahlen (R).
  • Wenn das Lösen einer linearen Gleichung zu einer falschen Aussage wie (0 = 5) führt, dann ist die Gleichung ein Widerspruch und es gibt keine Lösung (∅).
  • Löschen Sie Brüche, indem Sie beide Seiten einer linearen Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller Nenner multiplizieren. Verteilen und multiplizieren Sie alle Terme mit dem LCD, um eine äquivalente Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten zu erhalten.
  • Lösen Sie eine gegebene Formel nach einer beliebigen Variablen auf, indem Sie dieselben Techniken zum Lösen linearer Gleichungen verwenden. Dies funktioniert, weil Variablen einfach Darstellungen von reellen Zahlen sind.

Aufgabe (PageIndex{4}) Auf Lösungen prüfen

Ist der angegebene Wert eine Lösung der linearen Gleichung?

  1. (2(3x+5)−6=3x−8; x=−4 )
  2. (−x+17−8x=9−x; x=−1 )
  3. (4(3x−7)−3(x+2)=−1; x=frac{1}{3})
  4. (−5−2(x−5)=−(x+3); x=−8 )
  5. (7−2(frac{1}{2}x−6)=x−1; x=10)
  6. (3x−frac{2}{3}(9x−2)=0; x=frac{4}{9})
Antworten

1. Ja

3. Nein

5. Ja

Aufgabe (PageIndex{5}) Lineare Gleichungen lösen

Lösen.

  1. (4x−7=7x+5)
  2. (−5x+3=−8x−9)
  3. (3x−5=2x−17)
  4. (−2y−52=3y+13)
  5. (−4x+2=7x−20)
  6. (4x−3=6x−15)
  7. (9x−25=12x−25)
  8. (12y+15=−6y+23)
  9. (1,2x−0,7=3x+4,7)
  10. (2.1x+6.1=−1.3x+4.4)
  11. (2.02x+4.8=14.782−1.2x)
  12. (−3,6x+5,5+8,2x=6,5+4,6x)
  13. (frac{1}{2}x−frac{2}{3}=x+frac{1}{5})
  14. (frac{1}{3}x−frac{1}{2}=−frac{1}{4}x−frac{1}{3})
  15. (−frac{1}{10}y+frac{2}{5}=frac{1}{5}y+frac{3}{10})
  16. (x−frac{20}{3}=frac{5}{2}x+frac{5}{6})
  17. (frac{2}{3}y+frac{1}{2}=frac{5}{8}y+frac{37}{24})
  18. (frac{1}{3}+frac{4}{3}x=frac{10}{7}x+frac{1}{3}−frac{2}{21}x)
  19. (frac{8}{9}−frac{11}{18}x=frac{7}{6}−12x)
  20. (frac{1}{3}−9x=frac{4}{9}+frac{1}{2}x)
  21. (12x−5+9x=44)
  22. (10−6x−13=12)
  23. (−2+4x+9=7x+8−2x)
  24. (20x−5+12x=6−x+7)
  25. (3a+5−a=2a+7)
  26. (−7b+3=2−5b+1−2b)
  27. (7x−2+3x=4+2x−2)
  28. (−3x+8−4x+2=10)
  29. (6x+2−3x=−2x−13)
  30. (3x−0,75+0,21x=1,24x+7,13)
  31. (−x−2+4x=5+3x−7)
  32. (−2y−5=8y−6−10y)
  33. (frac{1}{10}x−frac{1}{3}=frac{1}{30}−frac{1}{15}x−frac{7}{15})
  34. (frac{5}{8}−frac{4}{3}x+frac{1}{3}=−frac{3}{9}x−frac{1}{4}+ frak{1}{3}x)
Antworten

1. (−4)

3. (−12)

5. (2)

7. (0)

9. (−3)

11. (3.1)

13. (−frac{26}{15})

15. (frac{1}{3})

17. (25)

19. (−frac{5}{2})

21. (frac{7}{3})

23. (−1)

25. (∅)

27. (frac{1}{2})

29. (−3)

31. (R)

33. (−frac{3}{5})

Aufgabe (PageIndex{6}) Lösen von linearen Gleichungen mit Klammern

Lösen.

  1. (−5(2y−3)+2=12)
  2. (3(5x+4)+5x=−8)
  3. (4−2(x−5)=−2)
  4. (10−5(3x+1)=5(x−4))
  5. (9−(x+7)=2(x−1))
  6. (−5(2x−1)+3=−12)
  7. (3x−2(x+1)=x+5)
  8. (5x−3(2x−1)=2(x−3))
  9. (−6(x−1)−3x=3(x+8))
  10. (−frac{3}{5}(5x+10)=frac{1}{2}(4x−12))
  11. (3.1(2x−3)+0.5=22.2)
  12. (4,22−3.13(x−1)=5.2(2x+1)−11.38)
  13. (6(x−2)−(7x−12)=14)
  14. (−9(x−3)−3x=−3(4x+9))
  15. (3−2(x+4)=−3(4x−5))
  16. (12−2(2x+1)=4(x−1))
  17. (3(x+5)−2(2x+3)=7x+9)
  18. (3(2x−1)−4(3x−2)=−5x+10)
  19. (−3(2a−3)+2=3(a+7))
  20. (−2(5x−3)−1=5(−2x+1))
  21. (frac{1}{2}(2x+1)−frac{1}{4}(8x+2)=3(x−4))
  22. (−frac{2}{3}(6x−3)−frac{1}{2}=frac{3}{2}(4x+1))
  23. (frac{1}{2}(3x−1)+frac{1}{3}(2x−5)=0)
  24. (frac{1}{3}(x−2)+frac{1}{5}=frac{1}{9}(3x+3))
  25. (−2(2x−7)−(x+3)=6(x−1))
  26. (10(3x+5)−5(4x+2)=2(5x+20))
  27. (2(x−3)−6(2x+1)=−5(2x−4))
  28. (5(x−2)−(4x−1)=−2(3−x))
  29. (6(3x−2)−(12x−1)+4=0)
  30. (−3(4x−2)−(9x+3)−6x=0)
Antworten

1. (frac{1}{2})

3. (8)

5. (frac{4}{3})

7. (∅)

9. (−frac{3}{2})

11. (5)

13. (−14)

15. (2)

17. (0)

19. (−frac{10}{9})

21. (3)

23. (1)

25. (frac{17}{11})

27. (∅)

29. (frac{7}{6})

Übung (PageIndex{7}) Literale Gleichungen

Lösen Sie nach der angegebenen Variablen auf.

  1. Löse nach (w): (A=l⋅w).
  2. Löse nach (a): (F=ma).
  3. Löse nach (w): (P=2l+2w).
  4. Löse nach (r): (C=2πr).
  5. Löse nach (b): (P=a+b+c).
  6. Löse nach (C): (F=frac{9}{5}C+32).
  7. Löse nach (h): (A=frac{1}{2}bh).
  8. Löse nach (t): (I=Prt).
  9. Löse nach (y): (ax+by=c).
  10. Löse nach (h): (S=2πr^{2}+2πrh).
  11. Löse nach (x): (z=frac{2x+y}{5}).
  12. Löse nach (c): (a=3b−frac{2c}{3}).
  13. Löse nach (b): (y=mx+b).
  14. Löse nach (m): (y=mx+b).
  15. Löse nach (y): (3x−2y=6).
  16. Löse nach (y): (−5x+2y=12).
  17. Löse nach (y): (frac{x}{3}−frac{y}{5}=1).
  18. Löse nach (y): (frac{3}{4}x−frac{1}{5}y=frac{1}{2}).
Antworten

1. (w=frac{A}{l})

3. (w=frac{P−2l}{2})

5. (b=P−a−c)

7. (h=frac{2A}{b})

9. (y=frac{−ax+c}{b})

11. (x=frac{5z−y}{2})

13. (b=y−mx)

15. (y=frac{3x−6}{2})

17. (y=frac{5x−15}{3})

Übung (PageIndex{8}) Literalgleichungen

Übersetzen Sie die folgenden Sätze in lineare Gleichungen und lösen Sie dann.

  1. Die Summe von (3x) und (5) ist gleich der Summe von (2x) und (7).
  2. Die Summe von (−5x) und (6) ist gleich der Differenz von (4x) und (2).
  3. Die Differenz von (5x) und (25) ist gleich der Differenz von (3x) und (51).
  4. Die Summe von (frac{1}{2}x) und (frac{3}{4}) ist gleich (frac{2}{3}x).
  5. Eine Zahl (n) geteilt durch (5) ist gleich der Summe aus dem Doppelten der Zahl und (3).
  6. Ein negatives Zehnfaches einer Zahl (n) ist gleich der Summe aus dem Dreifachen der Zahl und (13).
Antworten

1. (3x+5=2x+7); (x=2)

3. (5x−25=3x−51); (x=−13)

5. (frac{n}{5}=2n+3); (n=−frac{5}{3})

Übung (PageIndex{9}) Diskussionsforum-Themen

  1. Was ist der Ursprung des Wortes Algebra?
  2. Was gilt als das Hauptgeschäft der Algebra?
  3. Warum ist das Lösen von Gleichungen ein so wichtiges Algebra-Thema?
  4. Posten Sie einige reale lineare Formeln, die in diesem Abschnitt nicht vorgestellt werden.
  5. Erforschen und diskutieren Sie die Beiträge von Diophantus von Alexandria.
  6. Erstellen Sie eine eigene Identität oder einen eigenen Widerspruch und teilen Sie sie im Diskussionsforum. Geben Sie eine Lösung an und erklären Sie, wie Sie sie gefunden haben.
Antworten

1. Antworten können variieren

3. Antworten können variieren

5. Antworten können variieren


2.4: Lineare Gleichungen lösen - Teil II

Wir beginnen den Lösungsteil dieses Kapitels mit dem Lösen linearer Gleichungen. EIN Lineargleichung ist jede Gleichung, die in der Form geschrieben werden kann

wobei (a) und (b) reelle Zahlen sind und (x) eine Variable ist. Diese Form wird manchmal als . bezeichnet Standardform einer linearen Gleichung. Beachten Sie, dass die meisten linearen Gleichungen nicht in dieser Form beginnen. Außerdem kann die Variable ein (x) sein oder nicht, also lassen Sie sich nicht zu sehr darauf ein, immer ein (x) dort zu sehen.

Um lineare Gleichungen zu lösen, werden wir die folgenden Tatsachen intensiv nutzen.

    Wenn (a = b) dann (a + c = b + c) für jedes (c). Dies bedeutet nur, dass wir auf beiden Seiten der Gleichung eine Zahl (c) hinzufügen können, ohne die Gleichung zu ändern.

Diese Fakten bilden die Grundlage für fast alle Lösungstechniken, die wir in diesem Kapitel betrachten, daher ist es sehr wichtig, dass Sie sie kennen und nicht vergessen. Eine Möglichkeit, sich diese Regeln vorzustellen, ist die folgende. Was wir mit der einen Seite einer Gleichung machen, müssen wir mit der anderen Seite der Gleichung machen. Wenn Sie sich daran erinnern, werden Sie diese Tatsachen immer richtig machen.

In diesem Abschnitt werden wir lineare Gleichungen lösen und es gibt einen schönen einfachen Prozess zum Lösen linearer Gleichungen. Lassen Sie uns zuerst den Prozess zusammenfassen und dann werden wir einige Beispiele bearbeiten.

Verfahren zum Lösen linearer Gleichungen

  1. Wenn die Gleichung Brüche enthält, verwenden Sie den kleinsten gemeinsamen Nenner, um die Brüche zu löschen. Wir werden dies tun, indem wir beide Seiten der Gleichung mit dem LCD multiplizieren.

Wenn es Variablen in den Nennern der Brüche gibt, identifizieren Sie Werte der Variablen, die eine Division durch Null ergeben, da wir diese Werte in unserer Lösung vermeiden müssen.

Beachten Sie, dass wir normalerweise nur beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten dividieren, wenn es sich um eine ganze Zahl handelt, oder beide Seiten der Gleichung mit dem Kehrwert des Koeffizienten multiplizieren, wenn es sich um einen Bruch handelt.

Schauen wir uns einige Beispiele an.

  1. (3 übrig( ight) = 2left( < - 6 - x> ight) - 2x)
  2. (displaystyle frac<><3>+ 1 = frac<<2m>><7>)
  3. (displaystyle frac<5><<2y - 6>> = frac<<10 - y>><<- 6 Jahre + 9>>)
  4. (displaystyle frac<<2z>><> = frac<3><> + 2)

Für dieses Problem gibt es keine Brüche, sodass wir uns nicht um den ersten Schritt im Prozess kümmern müssen. Der nächste Schritt sagt, beide Seiten zu vereinfachen. Wir löschen also alle Klammern, indem wir die Zahlen durch multiplizieren und dann ähnliche Terme kombinieren.

[Start3 übrig( ight) & = 2left( < - 6 - x> ight) - 2x 3x + 15 & = - 12 - 2x - 2x 3x + 15 & = - 12 - 4xend]

Der nächste Schritt besteht darin, alle (x) auf der einen Seite und alle Zahlen auf der anderen Seite zu erhalten. Auf welcher Seite die (x) weitergehen, liegt bei Ihnen und wird wahrscheinlich je nach Problem variieren. Als Faustregel werden wir die Variablen normalerweise auf die Seite legen, die einen positiven Koeffizienten ergibt. Dies geschieht einfach, weil es oft leicht ist, das Minuszeichen des Koeffizienten aus den Augen zu verlieren. Wenn wir also sicherstellen, dass er positiv ist, müssen wir uns keine Sorgen machen.

Für unseren Fall bedeutet dies also, auf beiden Seiten 4(x) zu addieren und auf beiden Seiten 15 abzuziehen. Beachten Sie auch, dass wir diese Operationen zwar in dieser Zeit ausführen werden, diese Operationen jedoch normalerweise in unserem Kopf durchführen.

Der nächste Schritt besagt, einen Koeffizienten von 1 vor (x) zu erhalten. In diesem Fall können wir dies tun, indem wir beide Seiten durch eine 7 teilen.

Wenn wir nun unsere ganze Arbeit richtig gemacht haben, ist (x = - frac<<27>><7>) die Lösung der Gleichung.

Der letzte und letzte Schritt besteht darin, die Lösung zu überprüfen. Wie in der Prozessskizze erwähnt, müssen wir die Lösung im Original Gleichung. Dies ist wichtig, da wir im allerersten Schritt möglicherweise einen Fehler gemacht haben und wenn wir die Antwort in den Ergebnissen dieses Schritts überprüft haben, kann dies darauf hindeuten, dass die Lösung richtig ist, obwohl die Realität so sein wird, dass wir Aufgrund des Fehlers, den wir ursprünglich gemacht haben, habe ich nicht die richtige Antwort.

Das Problem ist natürlich, dass die Überprüfung bei dieser Lösung ein wenig chaotisch sein kann. Machen wir es trotzdem.

Also haben wir unsere Arbeit richtig gemacht und die Lösung der Gleichung lautet:

Beachten Sie, dass wir hier nicht die Lösungssatznotation verwendet haben. Bei Einzellösungen werden wir das in dieser Klasse selten machen. Wenn wir jedoch die Lösungssatznotation für dieses Problem gewollt hätten, wäre,

Bevor wir mit dem nächsten Problem fortfahren, machen wir zunächst einen kurzen Kommentar zur „Unordnung“ dieser Antwort. Erwarten Sie NICHT, dass alle Antworten nette einfache ganze Zahlen sind. Obwohl wir versuchen, die meisten Antworten einfach zu halten, werden sie es oft nicht sein, also verliere dich NICHT so in der Idee, dass eine Antwort eine einfache ganze Zahl sein muss, dass du sofort davon ausgehst, dass du einen Fehler gemacht hast, wegen der „Unordnung“ von die Antwort.

Okay, mit diesem werden wir nicht ganz so viel Erklärung in das Problem geben.

In diesem Fall haben wir Brüche. Um uns das Leben zu erleichtern, multiplizieren wir beide Seiten mit der LCD, die in diesem Fall 21 ist. Danach wird das Problem dem vorherigen Problem sehr ähnlich sein. Beachten Sie auch, dass die Nenner nur Zahlen sind und wir uns daher keine Gedanken über die Division durch Null machen müssen.

Lassen Sie uns zuerst beide Seiten mit dem LCD multiplizieren.

[Start21links( > <3>+ 1> ight) & = left( ><7>> ight)21 21left( ><3>> ight) + 21left( 1 ight) & = left( ><7>> ight)21 7left( ight) + 21 & = left( <2m> ight)left( 3 ight)end]

Achten Sie darauf, die 21 richtig durch die Klammern auf der linken Seite zu verteilen. Alles innerhalb der Klammer muss mit 21 multipliziert werden, bevor wir vereinfachen. An dieser Stelle haben wir ein Problem, das dem vorherigen Problem ähnlich ist, und wir werden uns diesmal nicht mit all den Erklärungen beschäftigen.

[Start7links( ight) + 21 & = left( <2m> ight)left( 3 ight) 7m - 14 + 21 & = 6m 7m + 7 & = 6m m & = - 7end]

Es sieht also so aus, als wäre (m = - 7) die Lösung. Lassen Sie es uns überprüfen, um sicherzugehen.

[Startfrac<< - 7 - 2>> <3>+ 1 & mathop = limits^? frac <<2left( < - 7> ight)>><7> frac<< - 9>> <3>+ 1 & mathop = limits^? - frac<<14>><7> - 3 + 1 &mathop = limits^? - 2 - 2 & = - 2hspace<0.5in>>ende]

Dieser ähnelt dem vorherigen, außer dass wir jetzt Variablen im Nenner haben. Um das LCD zu erhalten, müssen wir also zuerst die Nenner jedes rationalen Ausdrucks vollständig faktorisieren.

Es sieht also so aus, als ob das LCD (2 echts)^2>). Beachten Sie auch, dass wir (y = 3) vermeiden müssen, da wir, wenn wir das in die Gleichung einfügen, eine Division durch Null erhalten.

Außerhalb der (y)s im Nenner funktioniert dieses Problem genauso wie das vorherige, also machen wir die Arbeit.

Jetzt ist die Lösung nicht (y = 3), also erhalten wir mit der Lösung keine Division durch Null, was eine gute Sache ist. Lassen Sie uns zum Schluss eine schnelle Überprüfung durchführen.

In diesem Fall sieht es so aus, als ob das LCD (left( echts links( ight)) und es sieht auch so aus, als müssten wir (z = - 3) und (z = 10) vermeiden, um sicherzustellen, dass wir keine Division durch Null erhalten.

Beginnen wir mit der Arbeit für dieses Problem.

[Startlinks( echts links( ight)left( ><>> ight) & = left( <> + 2> echts)links( echts links( echts) 2zlinks( echts) & = 3links( echts) + 2links( echts links( echts) 2 - 20z & = 3z + 9 + 2links( <- 7z - 30> echts)end]

Lassen Sie uns an dieser Stelle innehalten und anerkennen, dass wir ein z 2 in der Arbeit hier. Seien Sie deswegen nicht aufgeregt. Manchmal tauchen diese vorübergehend in diesen Problemen auf. Sie sollten sich nur darum kümmern, wenn es nach Abschluss der Vereinfachungsarbeiten noch da ist.

Beenden wir das Problem.

Beachten Sie, dass die z 2 hat tatsächlich abgesagt. Nun, wenn wir unsere Arbeit richtig gemacht haben, sollte (z = frac<<17>><3>) die Lösung sein, da keiner der beiden Werte eine Division durch Null ergibt. Lassen Sie uns dies überprüfen.

Die Überprüfung kann manchmal etwas chaotisch sein, aber es bedeutet, dass wir WISSEN, dass die Lösung richtig ist.

Okay, in den letzten paar Teilen des vorherigen Beispiels haben wir immer wieder auf Division-durch-Null-Probleme geachtet, aber wir haben nie eine Lösung gefunden, wo das ein Problem war. Also sollten wir jetzt ein paar dieser Probleme lösen, um zu sehen, wie sie funktionieren.

Der erste Schritt besteht darin, die Nenner zu faktorisieren, um das LCD zu erhalten.

Das LCD ist also (left( echts links( ight)) und wir müssen (x = - 2) und (x = - 3) vermeiden, damit wir keine Division durch Null erhalten.

Hier ist die Arbeit für dieses Problem.

[Startlinks( echts links( ight)left( <>> ight) & = left( > < echts links( echts)>>> echts)links( echts links( echts) 2links( echts) & = - x 2x + 6 & = - x 3x & = - 6 x & = - 2end]

Wir erhalten also eine „Lösung“, die in der Liste der Zahlen enthalten ist, die wir vermeiden müssen, damit wir keine Division durch Null erhalten und sie nicht als Lösung verwenden können. Dies ist jedoch auch die einzig mögliche Lösung. Das ist in Ordnung. Dies bedeutet nur, dass diese Gleichung keine Lösung.

Die LCD für diese Gleichung ist (x + 1) und wir müssen (x = - 1) vermeiden, damit wir keine Division durch Null erhalten. Hier ist die Arbeit für diese Gleichung.

[Startleft( <>> echts)links( ight) & = left( <4 - frac<<2x>><>> echts)links( echts) 2 & = 4links( echts) - 2x 2 & = 4x + 4 - 2x 2 & = 2x + 4 - 2 & = 2x - 1 & = xend]

Wir kommen also wieder zu dem einzelnen Wert von (x), den wir vermeiden mussten, damit wir nicht durch Null dividieren. Daher hat diese Gleichung keine Lösung.

Wie wir gesehen haben, müssen wir also bei der Division durch Null vorsichtig sein, wenn wir mit Gleichungen beginnen, die rationale Ausdrücke enthalten.

An dieser Stelle sollten wir wahrscheinlich auch anerkennen, dass lineare Gleichungen genau eine Lösung haben, sofern wir keine Division durch Null Probleme haben (wie die in den letzten Beispielen). Wir werden nie mehr als eine Lösung bekommen und das einzige Mal, dass wir keine Lösungen bekommen, ist, wenn wir mit der „Lösung“ über eine Abteilung mit null Problemen laufen.

Bevor wir diesen Abschnitt verlassen, sollten wir beachten, dass viele der Techniken zum Lösen linearer Gleichungen immer wieder auftauchen, wenn wir verschiedene Arten von Gleichungen behandeln. Daher ist es sehr wichtig, dass Sie diesen Prozess verstehen.


2.4: Lineare Gleichungen lösen - Teil II

Der erste Spezialfall von Differentialgleichungen erster Ordnung, den wir uns ansehen, ist die lineare Differentialgleichung erster Ordnung. In diesem Fall können wir im Gegensatz zu den meisten Fällen erster Ordnung, die wir uns ansehen, tatsächlich eine Formel für die allgemeine Lösung ableiten. Die allgemeine Lösung wird unten hergeleitet. Wir empfehlen Ihnen jedoch, sich die Formel selbst nicht zu merken. Anstatt sich die Formel zu merken, sollten Sie sich den Prozess merken und verstehen, den ich verwenden werde, um die Formel abzuleiten. Die meisten Probleme sind tatsächlich einfacher zu bearbeiten, wenn Sie den Prozess anstelle der Formel verwenden.

Sehen wir uns also an, wie man eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung löst. Denken Sie bei diesem Prozess daran, dass das Ziel darin besteht, eine Lösung in der Form (y = yleft( t ight)) zu erhalten. Es ist manchmal leicht, das Ziel aus den Augen zu verlieren, wenn wir diesen Prozess zum ersten Mal durchlaufen.

Um eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung zu lösen, MÜSSEN wir mit der Differentialgleichung in der unten gezeigten Form beginnen. Wenn die Differentialgleichung nicht in dieser Form vorliegt, wird der von uns verwendete Prozess nicht funktionieren.

Wobei sowohl (p(t)) als auch (g(t)) stetige Funktionen sind. Denken Sie daran, dass eine schnelle und schmutzige Definition einer stetigen Funktion darin besteht, dass eine Funktion stetig ist, vorausgesetzt, Sie können den Graphen von links nach rechts zeichnen, ohne jemals Ihren Bleistift oder Stift zur Hand zu nehmen. Mit anderen Worten, eine Funktion ist stetig, wenn sie keine Löcher oder Brüche enthält.

Nun nehmen wir an, dass es irgendwo da draußen auf der Welt eine magische Funktion gibt, (muleft(t ight)), genannt an integrierender Faktor. Machen Sie sich zu diesem Zeitpunkt keine Gedanken darüber, was diese Funktion ist oder woher sie stammt. Wir werden herausfinden, was (muleft(t ight)) ist, sobald wir die Formel für die allgemeine Lösung zur Hand haben.

Nun, da wir die Existenz von (muleft(t ight)) angenommen haben, multiplizieren Sie alles in (eqref) durch (muleft(t ight)). Dies wird geben.

[Startmu left( t ight)frac<><

> + mu left( t ight)pleft( t ight)y = mu left( t ight)gleft( t ight) label Ende]

Hier kommt nun die Magie von (muleft(t ight)) ins Spiel. Wir nehmen an, dass was auch immer (muleft(t ight)) ist, es erfüllt das Folgende.

[Startmu left( t ight)pleft( t ight) = mu 'left( t ight) label Ende]

Machen Sie sich wieder keine Gedanken darüber, wie wir ein (muleft( t ight)) finden können, das (eqref). Wie wir sehen werden, ist (p(t)) stetig, und wir können es finden. Ersetzen von (eqref) kommen wir nun an.

[Startmu left( t ight)frac<><

> + mu 'left(t ight)y = muleft(t ight)gleft(t ight)label Ende]

An dieser Stelle müssen wir erkennen, dass die linke Seite von (eqref) ist nichts anderes als die folgende Produktregel.

Wir können also die linke Seite von (eqref) mit dieser Produktregel. Dabei (eqref) wird

Denken Sie daran, dass wir nach (y(t)) sind. Wir können jetzt etwas dagegen tun. Alles, was wir tun müssen, ist, beide Seiten zu integrieren, dann ein wenig Algebra zu verwenden und wir haben die Lösung. Integriere also beide Seiten von (eqref) zu bekommen.

Beachten Sie, dass die Integrationskonstante (c) von der linken Seite hier integriert ist. Es ist von entscheidender Bedeutung, dass dies einbezogen wird. Wenn es weggelassen wird, erhalten Sie jedes Mal die falsche Antwort.

Der letzte Schritt ist dann eine Algebra, um nach der Lösung (y(t)) aufzulösen.

Nun wissen wir aus notationeller Sicht, dass die Integrationskonstante (c) eine unbekannte Konstante ist, und um uns das Leben zu erleichtern, nehmen wir das Minuszeichen davor in die Konstante auf und verwenden stattdessen ein Plus. Dies hat keinen Einfluss auf die endgültige Antwort für die Lösung. Mit dieser Änderung haben wir also.

Auch hier hat das Ändern des Vorzeichens der Konstanten keinen Einfluss auf unsere Antwort. Wenn Sie sich dafür entscheiden, das Minuszeichen beizubehalten, erhalten Sie den gleichen Wert von (c) wie wir, außer dass es das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Beim Einstecken von (c) erhalten wir genau die gleiche Antwort.

In diesem Abschnitt wird viel schnell und locker mit Integrationskonstanten gespielt, sodass Sie sich daran gewöhnen müssen. Wenn wir dies tun, werden wir immer versuchen, sehr deutlich zu machen, was vor sich geht, und zu rechtfertigen, warum wir das getan haben, was wir getan haben.

Da wir nun eine allgemeine Lösung für (eqref) müssen wir zurückgehen und feststellen, was diese magische Funktion (muleft(t ight)) ist. Dies ist tatsächlich ein einfacherer Prozess, als Sie vielleicht denken. Wir beginnen mit (eqref).

[muleft(t ight)pleft(t ight) = mu'left(t ight)]

Teile beide Seiten durch (muleft(t ight)),

Nun, hoffentlich erkennen Sie die linke Seite davon aus Ihrer Klasse Infinitesimalrechnung I als nichts anderes als die folgende Ableitung.

Wie bei dem Prozess müssen wir vor allem beide Seiten integrieren, um zu erhalten.

Sie werden feststellen, dass die Integrationskonstante von der linken Seite, (k), auf die rechte Seite verschoben wurde und das Minuszeichen wieder darin aufgenommen wurde, wie wir es zuvor getan haben. Beachten Sie auch, dass wir hier (k) verwenden, da wir bereits (c) verwendet haben und in Kürze beide in derselben Gleichung haben werden. Um Verwirrung zu vermeiden, haben wir also verschiedene Buchstaben verwendet, um die Tatsache darzustellen, dass sie aller Wahrscheinlichkeit nach unterschiedliche Werte haben werden.

Potenzieren Sie beide Seiten, um (muleft(t ight)) aus dem natürlichen Logarithmus zu erhalten.

Jetzt ist es an der Zeit, wieder schnell und locker mit Konstanten zu spielen. Es ist unbequem, (k) im Exponenten zu haben, also werden wir es wie folgt aus dem Exponenten herausbekommen.

Nutzen wir nun die Tatsache, dass (k) eine unbekannte Konstante ist. Wenn (k) eine unbekannte Konstante ist, dann ist es auch (<<f>^k>), also können wir es genauso gut in (k) umbenennen und unser Leben einfacher machen. Dies wird uns Folgendes geben.

Damit haben wir nun eine Formel für die allgemeine Lösung (eqref) und eine Formel für den integrierenden Faktor (eqref). Wir haben jedoch ein Problem. Wir haben zwei unbekannte Konstanten und je mehr unbekannte Konstanten wir haben, desto mehr Probleme werden wir später haben. Daher wäre es schön, wenn wir einen Weg finden könnten, einen von ihnen zu eliminieren (wir werden nicht in der Lage sein, beide zu eliminieren….).

Das geht eigentlich ganz einfach. Ersetzen Sie zuerst (eqref) in (eqref) und ordnen Sie die Konstanten neu an.

Also (eqref) kann so geschrieben werden, dass die beiden unbekannten Konstanten nur im Verhältnis der beiden auftreten. Da dann sowohl (c) als auch (k) unbekannte Konstanten sind, gilt auch das Verhältnis der beiden Konstanten. Deshalb nennen wir das Verhältnis einfach (c) und lassen dann (k) aus (eqref), da es schließlich in (c) absorbiert wird.

Die Lösung einer linearen Differentialgleichung erster Ordnung ist dann

Die Realität ist nun, dass (eqref) ist nicht so nützlich, wie es scheinen mag. Es ist oft einfacher, einfach den Prozess zu durchlaufen, der uns zu (eqref) anstatt die Formel zu verwenden. Wir werden diese Formel in keinem unserer Beispiele verwenden. Wir müssen (eqref) regelmäßig, da diese Formel einfacher zu verwenden ist als der Prozess, sie abzuleiten.

Lösungsprozess

Der Lösungsprozess für eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung ist wie folgt.

    Setzen Sie die Differentialgleichung in die richtige Anfangsform (eqref).

Arbeiten wir ein paar Beispiele. Beginnen wir mit der Lösung der Differentialgleichung, die wir im Abschnitt Richtungsfeld abgeleitet haben.

Zuerst müssen wir die Differentialgleichung in die richtige Form bringen.

Daraus können wir sehen, dass (p(t)=0.196) und somit (muleft(t ight)) ist.

Beachten Sie, dass es offiziell eine Integrationskonstante im Exponenten der Integration geben sollte. Wir können das jedoch aus genau dem gleichen Grund weglassen, aus dem wir (k) aus (eqref).

Multiplizieren Sie nun alle Terme in der Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor und vereinfachen Sie etwas.

Integrieren Sie beide Seiten und vergessen Sie nicht die Integrationskonstanten, die sich aus beiden Integralen ergeben.

In Ordnung. Es ist wieder Zeit, mit Konstanten zu spielen. Wir können (k) von beiden Seiten subtrahieren, um zu erhalten.

Sowohl (c) als auch (k) sind unbekannte Konstanten und somit ist auch die Differenz eine unbekannte Konstante. Wir schreiben daher die Differenz als (c). Also haben wir jetzt now

Von diesem Punkt an werden wir nur eine Integrationskonstante aufschreiben, wenn wir beide Seiten integrieren, da wir wissen, dass, wenn wir für jedes Integral eine aufgeschrieben hätten, wie wir sollten, die beiden am Ende ineinander aufgehen würden.

Der letzte Schritt im Lösungsprozess besteht dann darin, beide Seiten durch (<<f>^<0.196t>>) oder beide Seiten mit (<<f . multiplizieren)>^< - 0,196t>>). Beides funktioniert, aber wir bevorzugen normalerweise die Multiplikationsroute. Dadurch erhält man die allgemeine Lösung der Differentialgleichung.

Aus der Lösung dieses Beispiels können wir nun sehen, warum die Integrationskonstante in diesem Prozess so wichtig ist. Ohne sie würden wir in diesem Fall eine einzige, konstante Lösung erhalten, (v(t)=50). Mit der Integrationskonstante erhalten wir unendlich viele Lösungen, eine für jeden Wert von (c).

Zurück im Abschnitt mit dem Richtungsfeld, in dem wir zuerst die im letzten Beispiel verwendete Differentialgleichung abgeleitet haben, haben wir das Richtungsfeld verwendet, um einige Lösungen zu skizzieren. Mal sehen, ob wir sie richtig verstanden haben. Um einige Lösungen zu skizzieren, müssen wir nur verschiedene Werte von (c) auswählen, um eine Lösung zu erhalten. Einige davon sind in der folgenden Grafik dargestellt.

Es sieht also so aus, als ob wir die Diagramme im Abschnitt mit dem Richtungsfeld ziemlich gut skizziert haben.

Erinnern Sie sich nun aus dem Abschnitt Definitionen daran, dass die Anfangsbedingung(en) es uns ermöglichen, auf eine bestimmte Lösung einzugehen. Lösungen von Differentialgleichungen erster Ordnung (nicht nur linear, wie wir sehen werden) haben eine einzige unbekannte Konstante in sich, und daher benötigen wir genau eine Anfangsbedingung, um den Wert dieser Konstanten und damit die gesuchte Lösung zu finden. Die Anfangsbedingung für Differentialgleichungen erster Ordnung hat die Form

Denken Sie auch daran, dass eine Differentialgleichung zusammen mit einer ausreichenden Anzahl von Anfangsbedingungen ein Anfangswertproblem (IVP) genannt wird.

Um die Lösung eines IVP zu finden, müssen wir zuerst die allgemeine Lösung der Differentialgleichung finden und dann die Anfangsbedingung verwenden, um die genaue Lösung zu identifizieren, die wir suchen. Da dies also dieselbe Differentialgleichung ist, die wir in Beispiel 1 betrachtet haben, wir haben bereits seine allgemeine Lösung.

Um nun die gesuchte Lösung zu finden, müssen wir den Wert von (c) identifizieren, der uns die gesuchte Lösung liefert. Dazu setzen wir einfach die Anfangsbedingung ein, die uns eine Gleichung liefert, die wir nach (c) auflösen können. Also lass uns das machen

[48 = vleft( 0 ight) = 50 + chspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.25in>c = - 2]

Die eigentliche Lösung für das IVP ist also.

Ein Diagramm dieser Lösung ist in der obigen Abbildung zu sehen.

Lassen Sie uns ein paar Beispiele machen, die etwas komplizierter sind.

Schreiben Sie die Differentialgleichung um, um den Koeffizienten der Ableitung a eins zu erhalten.

Finden Sie nun den integrierenden Faktor.

Kannst du das Integral machen? Wenn nicht, schreibe Tangente zurück in Sinus und Kosinus und verwende dann eine einfache Substitution. Beachten Sie, dass wir die Absolutwertbalken auf der Sekante wegen der Grenzen von (x) weglassen könnten. Tatsächlich ist dies der Grund für die Grenzen von (x). Beachten Sie auch, dass es zwei Formen der Antwort auf dieses Integral gibt. Sie sind wie unten gezeigt äquivalent. Welche Sie verwenden, ist wirklich eine Frage der Präferenz.

Beachten Sie auch, dass wir von der folgenden Tatsache Gebrauch gemacht haben.

Dies ist eine wichtige Tatsache, an die Sie sich bei diesen Problemen immer erinnern sollten. Wir werden den integrierenden Faktor in allen Fällen so weit wie möglich vereinfachen wollen, und diese Tatsache wird zu dieser Vereinfachung beitragen.

Nun zurück zum Beispiel. Multiplizieren Sie den integrierenden Faktor mit der Differentialgleichung und überprüfen Sie, ob die linke Seite eine Produktregel ist. Beachten Sie auch, dass wir den integrierenden Faktor mit der neu geschriebenen Differentialgleichung und NICHT mit der ursprünglichen Differentialgleichung multiplizieren. Stellen Sie sicher, dass Sie dies tun. Wenn Sie den integrierenden Faktor mit der ursprünglichen Differentialgleichung multiplizieren, erhalten Sie die falsche Lösung!

[Startsec left( x ight)y' + sec left( x ight) an left( x ight)y & = 2sec left( x ight) left( x ight)sin left( x ight) - left( x ight) ight) ^prime > & = 2cos left( x ight)sin left( x ight) - left( x ight)end]

Beachten Sie die Verwendung der trigonometrischen Formel (sinleft(<2 heta > ight) = 2sin hetacos heta), die das Integral einfacher machte. Als nächstes lösen Sie nach der Lösung.

Wenden Sie schließlich die Anfangsbedingung an, um den Wert von (c) zu ermitteln.

[yleft( x ight) = - frac<1><2>cos left( x ight)cos left( <2x> ight) - sin left( x ight) + 7coslinks(x echts)]

Unten ist ein Plot der Lösung.

[t,y' + 2y = - t + 1hspace<0.25in>yleft( 1 ight) = frac<1><2>]

Teilen Sie zuerst durch das t, um die Differentialgleichung in die richtige Form zu bringen.

Jetzt erhalten wir den integrierenden Faktor (mu left( t ight)).

Nun müssen wir (muleft(t ight)) vereinfachen. Wir können jedoch nicht (eqref), da dies jedoch einen Koeffizienten von eins vor dem Logarithmus erfordert. Also erinnere dich daran

und schreiben Sie den integrierenden Faktor in eine Form um, die es uns ermöglicht, ihn zu vereinfachen.

Wir konnten die Absolutwertbalken hier weglassen, weil wir (t) quadriert haben, aber oft können sie nicht weggelassen werden. Seien Sie also vorsichtig mit ihnen und lassen Sie sie nicht weg, es sei denn, Sie wissen, dass Sie es können. Oft müssen die Absolutwertbalken erhalten bleiben.

Multiplizieren Sie nun die neu geschriebene Differentialgleichung (denken Sie daran, dass wir hier nicht die ursprüngliche Differentialgleichung verwenden können ...) mit dem integrierenden Faktor.

Integrieren Sie beide Seiten und lösen Sie nach der Lösung.

Wenden Sie schließlich die Anfangsbedingung an, um den Wert von (c) zu erhalten.

[frac<1> <2>= yleft( 1 ight) = frac<1> <4>- frac<1> <3>+ frac<1> <2>+ chspace <0,25in>Rightarrow hspace<0,25in>,,,c = frac<1><<12>>]

Hier ist ein Plot der Lösung.

Dividiere zuerst durch (t), um die Differentialgleichung in der richtigen Form zu erhalten.

Nachdem wir dies getan haben, können wir den integrierenden Faktor (muleft(t ight)) ermitteln.

Vergessen Sie nicht, dass das „-“ Teil von (p(t)) ist. Das Vergessen dieses Minuszeichens kann ein sehr einfach zu lösendes Problem zu einem sehr schwierigen, wenn nicht sogar unmöglichen Problem machen, also seien Sie vorsichtig!

Jetzt müssen wir dies nur noch vereinfachen, wie wir es im vorherigen Beispiel getan haben.

Auch hier können wir die Absolutwertbalken weglassen, da wir den Term quadrieren.

Multiplizieren Sie nun die Differentialgleichung mit dem integrierenden Faktor (stellen Sie auch hier sicher, dass es sich um die neu geschriebene und nicht um die ursprüngliche Differentialgleichung handelt).

Integrieren Sie beide Seiten und lösen Sie nach der Lösung.

[Start>yleft( t ight) & = int<<sin left( <2t> ight),dt>> + int<< - 1 + 4t,dt>> >yleft( t ight) & = - frac<1><2>cos left( <2t> ight) + frac<1><2>tsin left( <2t> ight) + frac<1><4>cos left( <2t> rechts) - t + 2 + c yleft( t ight) & = - frac<1><2>cos left(<2t> ight) + frac<1><2>sin left(<2t> ight) + frac<1><4>cos left( <2t> ight) - + 2 + cEnde]

Wenden Sie die Anfangsbedingung an, um den Wert von (c) zu ermitteln.

Unten ist ein Plot der Lösung.

Lassen Sie uns an einem letzten Beispiel arbeiten, das sich mehr mit der Interpretation einer Lösung befasst als mit der Suche nach einer Lösung.

Teilen Sie zuerst durch eine 2, um die Differentialgleichung in die richtige Form zu bringen.

[y' - frac<1><2>y = 2sin left(<3t> ight)]

Multiplizieren Sie (muleft(t ight))durch die Differentialgleichung und schreiben Sie die linke Seite als Produktregel um.

Integrieren Sie beide Seiten (die rechte Seite erfordert eine Integration in Teilen – können Sie das richtig machen?) und lösen Sie nach der Lösung.

Wenden Sie die Anfangsbedingung an, um den Wert von (c) zu finden, und beachten Sie, dass sie (y_<0>) enthält, da wir keinen Wert dafür haben.

Nun, da wir die Lösung haben, schauen wir uns das langfristige Verhalten an (d.h. (t o infty )) der Lösung. Die ersten beiden Terme der Lösung bleiben für alle Werte von (t) endlich. Es ist der letzte Term, der das Verhalten der Lösung bestimmt. Die Exponentialfunktion wird immer als (t o infty) ins Unendliche gehen, jedoch abhängig vom Vorzeichen des Koeffizienten (c) (ja, wir haben es bereits gefunden, aber zur Vereinfachung dieser Diskussion fahren wir fort um es (c) zu nennen). Die folgende Tabelle gibt das Langzeitverhalten der Lösung für alle Werte von (c) an.

Bereich von (c) Verhalten der Lösung als(t oinfty)
(c) < 0 (yleft(t ight) o - infty)
(c) = 0 (yleft(t ight)) bleibt endlich fin
(c) > 0 (yleft(t ight) o infty)

Dieses Verhalten ist auch in der folgenden Grafik einiger Lösungen zu sehen.

Da wir nun wissen, wie sich (c) zu (y_<0>) verhält, können wir das Verhalten der Lösung zu (y_<0>) in Beziehung setzen. Die folgende Tabelle gibt das Verhalten der Lösung in Bezug auf (y_<0>) anstelle von (c) an.

Beachten Sie, dass für ( = - frac<<24>><<37>>) bleibt die Lösung endlich. Das wird nicht immer passieren.

Die Untersuchung des Langzeitverhaltens von Lösungen ist manchmal wichtiger als die Lösung selbst. Angenommen, die obige Lösung gibt die Temperatur in einem Metallstab an. In diesem Fall möchten wir die langfristig endliche(n) Lösung(en). Mit dieser Untersuchung hätten wir nun den Wert der Anfangsbedingung, der uns diese Lösung liefert, und noch wichtiger die Werte der Anfangsbedingung, die wir vermeiden müssten, damit wir den Stab nicht schmelzen.


1.2.2. Richtungsfelder

* Siehe Maple-Datei „Richtungsfelder“

Beim Lösen von ODEs gibt es viele Methoden, sie darzustellen. In diesem Abschnitt erfahren Sie, wie Sie drei Plotbefehle im DEtools-Paket verwenden, um die Lösungen zu ODEs zu plotten. Der Befehl dfieldplot zeichnet ein Richtungs-/Neigungsfeld der angegebenen Funktion. Die generische Syntax des Befehls lautet wie folgt:

> mit (DEtools):
> dfieldplot(Differentialgleichung, unabhängige Variable, x-Bereich, y-Bereich)

Um eine Differentialgleichung auszudrücken, zum Beispiel eine Funktion von y in Bezug auf x, müssen Sie „diff(y(x),x)“ eingeben. In einigen Tutorials kann dies als „D(y)(x)“ ausgedrückt werden, aber der Einfachheit halber verwenden wir den vorherigen Ausdruck.
Probieren Sie Folgendes aus:

Die Eingabe sollte das obige Richtungsfeld erzeugen. Leider müssen Sie Differentialgleichungen explizit mit dfieldplot darstellen. Daher ist es am besten, eine gegebene Differentialgleichung zu lösen, um sie explizit auszudrücken, wenn sie implizit gegeben ist.


Lösen von linearen Gleichungen, die Brüche enthalten

Lösen von linearen Gleichungen mit Variablen auf beiden Seiten

Lösen von linearen Gleichungen, die Klammern enthalten

Allgemeines Verfahren zum Lösen einer linearen Gleichung: pg. 152

1. Wenn Brüche vorhanden sind, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichung mit der LCD aller Brüche.
2. Vereinfachen Sie jede Seite der Gleichung.
3. Verwenden Sie Addition und Subtraktion, um alle Terme mit der Variablen auf einer Seite und alle konstanten Terme zu erhalten
auf der anderen Seite der Gleichung. Vereinfachen Sie dann jede Seite der Gleichung.
4. Teilen Sie beide Seiten der Gleichung durch den Koeffizienten der Variablen.
5. Überprüfen Sie Ihre Lösung in der ursprünglichen Gleichung.

Für diese Probleme gibt es genau eine Lösung.

Diese Probleme haben keine Lösung

Diese Probleme haben jeden Wert der Variablen als Lösung. Sie heißen an Identität.

Überprüfung: Wenn Sie eine lineare Gleichung lösen und die vereinfachte Gleichung lautet:

Bei einer falschen Aussage wie 8 = 1 hat die Gleichung keine Lösung.
Bei einer wahren Aussage wie 12 = 12 ist die Gleichung eine Identität.
Jeder Wert der Variablen ist eine Lösung.
Für eine wahre Aussage wie x = 4 gibt es nur eine Lösung.


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Die Hausaufgaben für Math 2410 werden am Ende jeder Stunde ausgegeben und jeden Donnerstag abgeholt. Das Gesamtgewicht der Hausaufgabennoten beträgt 150 Punkte der insgesamt 500 Kurspunkte.

Prüfungsplan: Prüfung 1: Donnerstag, 21. Februar, 14:00 - 15:15 Uhr, Raum: ACD 206
Prüfung 2: Donnerstag, 28. März, 14:00 - 15:15 Uhr, Raum: ACD 206
Abschlussprüfung: Dienstag, 1. Mai 13:00 - 15:00 Uhr, Raum: ACD 206

Benotungsrichtlinien: Hausaufgaben: 150, Prüfung 1: 100, Prüfung 2: 100, Abschlussprüfung: 150.



Datum Kapitel Thema Hausaufgaben
Woche 1 Di. 1/21 1.1 Definitionen und Terminologie CH. 1.1

Do. 1/23 1.2
1.3
Anfangswertprobleme
Differentialgleichungen als mathematische Modelle
CH. 1,2
CH. 1.3





Woche 2 Di. 1/28 2.1 Lösungskurven ohne Lösung (Richtungsfelder/Autonom). CH. 2.1

Do. 1/30 2.2 Phasenportraits. Trennbare Gleichungen CH. 2.2





Woche 3 Di. 2/4 2.3 Lineare Gleichungen CH. 2.3

Do. 2/6 2.4 Genaue Gleichungen. CH. 2.4





Woche 4 Di. 2/11 2.5 Lösungen durch Substitutionen. CH. 2.5

Do. 2/13 2.6 Eulersche Methode. CH. 2.6





Woche 5 Di. 2/18
Überprüfung.
Übungsprüfung 1
Übungsprüfung 1. Lösungen


Do. 2/20
Prüfung 1





Woche 6 Di. 2/25 3.1 Lineare Modelle. CH. 3.1

Do. 2/27 3.2, 3.3 Lineare Modelle. Modellierung mit Gleichungssystemen 1. Ordnung. CH. 3.2, 3.3





Woche 7 Di. 3/3 8.1 Lineare Modelle. CH. 8.1

Do. 3/5 8.2 Homogene lineare Systeme. CH. 8.2





Woche 8 Di. 3/10 8.2 Homogene lineare Systeme. Wiederholte Eigenwerte. CH. 8.2

Do. 3/12 8.2 Homogene lineare Systeme. Komplexe Eigenwerte. CH. 8.2





Woche 9 Di. 3/17
Federaussparung

Do. 19.03
Federaussparung





Woche 10 Di. 3/24 8.3 Inhomogene lineare Systeme. CH. 8.3

Do. 3/26 8.3 Inhomogene lineare Systeme. 8.3





Woche 11 Di. 3/31
Überprüfung.
Übungsprüfung 2
Übungsprüfung 2. Lösungen

Do. 4/2
Prüfung 2





Woche 12 Di. 4/7 4.1 Prüfungsrückblick. Lineare Gleichungen, Teil 1.

Do. 4/9 4.1 Lineare Gleichungen. Teil 2. CH. 4.1





Woche 13 Di. 4/14 4.2, 4.3 Reduktionsauftrag. Homogene lineare Gleichungen mit konstanten Koeffizienten. CH. 4.1

Do. 4/16 4.4 Unbestimmte Koeffizienten. Überlagerungsansatz. CH. 4.1





Woche 14 Di. 4/21 7.1 Die Laplace-Transformation CH. 4.3

Do. 4/23 7.2 Inverse Transformationen und Transformationen von Derivaten. CH. 4.4





Woche 15 Di. 4/28 7.3 Betriebseigenschaften 1. CH. 7.1
Do. 4/30 7.4 Betriebseigenschaften 2. CH. 7.2





Woche 16 Di. 5/5
Abschlussprüfung, 13:00-15:00 Uhr
Abschlussprüfung üben
Abschlussprüfung üben. Lösungen

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Zuletzt geändert: 28.04.2020


Selina Concise Mathematics Class 8 ICSE-Lösungen Kapitel 14 Lineare Gleichungen in einer Variablen

Selina Publishers Concise Mathematics Class 8 ICSE-Lösungen Kapitel 14 Lineare Gleichungen in einer Variablen (mit Problemen basierend auf linearen Gleichungen)

Lineare Gleichungen in einer Variablen Übung 14A – Selina Concise Mathematics Class 8 ICSE Solutions

Lösen Sie die folgenden Gleichungen:
Frage 1.
20 = 6 + 2x
Lösung:

Frage 2.
15 + x = 5x + 3
Lösung:

Frage 3.
= -7
Lösung:

Frage 4.
3a – 4 = 2(4 –a)
Lösung:

Frage 5.
3(b – 4) = 2(4 –b)
Lösung:

Lösung:

Lösung:

Frage 8.
5(8x + 3) = 9(4x + 7)
Lösung:

Frage 9.
3(x + 1) = 12 + 4(x – 1)
Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Frage 16.
6(6x – 5) – 5 (7x – 8) = 12 (4 – x) + 1
Lösung:

Frage 17.
(x – 5) (x + 3) = (x – 7) (x + 4)
Lösung:

Frage 18.
(x – 5) 2 – (x + 2) 2 = -2
Lösung:

Frage 19.
(x – 1) (x + 6) – (x – 2) (x – 3) = 3
Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Lösung:

Frage 24.
Lösen:
Finden Sie daher den Wert von 'a', wenn + 5x = 8.
Lösung:

Frage 25.
Lösen:
Finden Sie daher den Wert von ‘p’, wenn 2p – 2x + 1 = 0
Lösung:

Frage 26.
Lösen:
Lösung:

Frage 27.
Lösen:
Lösung:

Lineare Gleichungen in einer Variablen Übung 14B – Selina Concise Mathematics Class 8 ICSE Solutions

Frage 1.
Fünfzehn weniger als viermal eine Zahl ist 9. Finden Sie die Zahl.
Lösung:

Frage 2.
Wird Meghas Alter um das Dreifache erhöht, sind das 60 Jahre. Finde ihr Alter
Lösung:

Frage 3.
28 ist 12 weniger als 4 mal eine Zahl. Finden Sie die Nummer.
Lösung:

Frage 4.
Fünf weniger als dreimal eine Zahl ist -20. Finden Sie die Nummer.
Lösung:

Frage 5.
Fünfzehn mehr als das Dreifache von Neetus Alter entspricht dem Vierfachen ihres Alters. Wie alt ist sie?
Lösung:

Frage 6.
Eine um 30 verringerte Zahl ist das gleiche wie eine um das Dreifache verringerte Zahl. Finden Sie die Zahl.
Lösung:

Frage 7.
Das Gehalt von A ist gleich dem 4-fachen des Gehalts von B. Wenn sie zusammen 3.750 Rupien im Monat verdienen, finden Sie das Gehalt von jedem.
Lösung:

Frage 8.
Trennen Sie 178 in zwei Teile, so dass der erste Teil 8 weniger ist als das Doppelte des zweiten Teils.
Lösung:

Frage 9.
Sechs mehr als ein Viertel einer Zahl sind zwei Fünftel der Zahl. Finden Sie die Nummer.
Lösung:

Frage 10.
Die Länge eines Rechtecks ​​ist das Doppelte seiner Breite. Wenn sein Umfang 54 cm beträgt, finden Sie seine Länge.
Lösung:

Frage 11.
Die Länge eines Rechtecks ​​beträgt 5 cm weniger als das Doppelte seiner Breite. Wenn die Länge um 5 cm verringert und die Breite um 2 cm erhöht wird, beträgt der Umfang des resultierenden Rechtecks ​​74 cm. Bestimmen Sie die Länge und Breite des ursprünglichen Rechtecks.
Lösung:

Frage 12.
Die Summe von drei aufeinanderfolgenden ungeraden Zahlen ist 57. Finde die Zahlen.
Lösung:

Frage 13.
Ein Mann ist dreimal so alt wie sein Sohn, und in zwölf Jahren wird er doppelt so alt sein wie sein Sohn. Welches Alter haben sie gegenwärtig.
Lösung:

Frage 14.
Ein Mann ist 42 Jahre alt und sein Sohn ist 12 Jahre alt. In wie vielen Jahren wird der Sohn zu diesem Zeitpunkt halb so alt sein wie der Mann?
Lösung:

Frage 15.
Ein Mann absolvierte eine Reise von 136 km in 8 Stunden. Ein Teil der Fahrt wurde mit 15 km/h und der Rest mit 18 km/h zurückgelegt. Finden Sie den mit 18 km/h zurückgelegten Teil der Fahrt.
Lösung:

Frage 16.
Die Differenz zweier Zahlen beträgt 3 und die Differenz ihrer Quadrate beträgt 69. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 17.
Zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen sind so, dass ein Viertel der kleineren ein Fünftel der größeren um 1 überschreitet. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 18.
Drei aufeinanderfolgende ganze Zahlen sind so, dass wenn sie durch 5, 3 bzw. 4 geteilt werden, die Summe der Quotienten 40 ist. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 19.
Wenn die gleiche Zahl zu den Zahlen 5, 11, 15 und 31 addiert wird, sind die resultierenden Zahlen proportional. Finden Sie die Nummer.
Lösung:

Frage 20.
Das heutige Alter eines Mannes ist doppelt so hoch wie das seines Sohnes. In acht Jahren wird ihr Alter im Verhältnis 7 : 4 stehen. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter.
Lösung:

Lineare Gleichungen in einer Variablen Übung 14C – Selina Concise Mathematics Class 8 ICSE Solutions

Frage 1.
Lösen:
(ich)
(ii)
(iii) (x + 2) (x + 3) + (x – 3)(x – 2) – 2x(x + 1) = 0
(NS)
(v) 13(x – 4) – 3(x – 9) – 5(x + 4) = 0
(vi) x + 7 –
(vii)
(viii)
(ix)
(x)
(xi)
(xii)
(xiii)
(xiv)
Lösung:






Frage 2.
Nach 12 Jahren werde ich 3 mal so alt sein wie 1 vor 4 Jahren. Finden Sie mein jetziges Alter.
Lösung:

Frage 3.
Ein Mann verkaufte einen Artikel für 7396 und gewann 10% davon. Finden Sie den Einstandspreis des Artikels
Lösung:

Frage 4.
Die Summe zweier Zahlen ist 4500. Wenn 10 % einer Zahl 12,5 % der anderen sind, suchen Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 5.
Die Summe zweier Zahlen ist 405 und ihr Verhältnis ist 8 : 7. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 6.
Das Alter von A und B steht im Verhältnis 7 : 5. In zehn Jahren wird das Verhältnis ihrer Alter also 9 : 7 sein. Finden Sie ihr gegenwärtiges Alter heraus.
Lösung:

Frage 7.
Finden Sie die Zahl, deren Double 45 größer als ihre Hälfte ist.
Lösung:

Frage 8.
Der Unterschied zwischen den Quadraten zweier aufeinanderfolgender Zahlen beträgt 31. Finden Sie die Zahlen.
Lösung:

Frage 9.
Finden Sie eine Zahl, bei der 5 von der 5-fachen Zahl subtrahiert wird, das Ergebnis 4 mehr als das Doppelte der Zahl ist.
Lösung:

Frage 10.
Der Zähler eines Bruches ist 5 kleiner als sein Nenner. Addiert man 3 zum Zähler und Nenner beides, wird der Bruch zu . Finden Sie den ursprünglichen Bruch.
Lösung:


Erfüllt NCTM-Standards:

Beschreibung: [HINWEIS: Dieses Video ist nur ein 12-minütiger Teil der gesamten 3-stündigen Lektion. Bitte besuchen Sie meine Website, um die vollständige Version zu erwerben] Diese Lektion besteht darin, Ihnen ein Selbst-Tutorial zur Lösung typischer linearer Textaufgaben (Geschichtsaufgaben oder angewandte Aufgaben) zur Verfügung zu stellen. Der Tutor zeigt Ihnen, wie Sie in Formeln nach einer bestimmten Variablen auflösen. Er bespricht auch, wie man eine sich wiederholende Dezimalzahl in einen Bruch umwandelt (was in Basic Math: Lektion 6 -"Brüche" übersprungen wurde) und wird dir beibringen, wie man Maßeinheiten umwandelt.

Beispiele für gelöste Wortaufgaben sind:

Eine Zahl anhand bestimmter Kriterien finden.
Wortprobleme mit Geometrie (Dreieck, Rechteck, Kreis).
Altersprobleme.
Mischungsprobleme.
Geldprobleme (Geschichte meines Lebens!).
Rate-Zeit-Distanz-Probleme.
Prozent Gleichungen/Probleme.
Verhältnis und Proportion (Konzepte und Problemlösungen, einschließlich ähnlicher Dreiecke).
Probleme beim Umgang mit dem Stückpreis.


2.4: Lineare Gleichungen lösen - Teil II

Willkommen zu meinen Online-Mathe-Tutorials und -Notizen. Die Absicht dieser Site ist es, einen vollständigen Satz kostenloser Online- (und herunterladbarer) Notizen und/oder Tutorials für Kurse bereitzustellen, die ich an der Lamar University unterrichte. Ich habe versucht, die Notizen/Tutorials so zu schreiben, dass sie für jeden zugänglich sind, der das Thema lernen möchte, unabhängig davon, ob Sie in meinen Kursen sind oder nicht. Mit anderen Worten, sie gehen nicht davon aus, dass Sie über andere Vorkenntnisse als die für diese Klasse erforderlichen Standardmaterialien verfügen. Mit anderen Worten, es wird davon ausgegangen, dass Sie Algebra und Trig kennen, bevor Sie die Notizen zu Infinitesimalrechnung I lesen, dass Sie Infinitesimalrechnung I kennen, bevor Sie die Notizen zu Infinitesimalrechnung II lesen, etc. Die Annahmen über Ihren Hintergrund, die ich gemacht habe, sind bei jeder Beschreibung unten angegeben.

Ich möchte Shane F, Fred J., Mike K. und David A. für all die Tippfehler danken, die sie gefunden und mir geschickt haben! Ich habe versucht, diese Seiten Korrektur zu lesen und so viele Tippfehler wie möglich zu erkennen, aber es ist einfach nicht möglich, alle zu erkennen, wenn Sie auch die Person sind, die das Material geschrieben hat. Fred, Mike und David haben einige Tippfehler entdeckt, die ich übersehen hatte und waren nett genug, sie mir zu schicken. Nochmals vielen Dank Fred, Mike und David!

Wenn Sie einer meiner aktuellen Studenten sind und hier Hausaufgaben suchen, habe ich eine Reihe von Links, die Sie zu den richtigen hier aufgeführten Seiten führen.

Zur Zeit habe ich die Notizen/Tutorials für meine Algebra (Math 1314), Calculus I (Math 2413), Calculus II (Math 2414), Calculus III (Math 3435) und Differential Equations (Math 3301) online. Ich habe auch ein paar Rezensionen / Extras zur Verfügung. Zu den Rezensionen / Extras, die ich habe, gehören eine Algebra / Trig-Rezension für meine Calculus-Schüler, eine Einführung in komplexe Zahlen, eine Reihe von häufigen mathematischen Fehlern und einige Tipps zum Lernen von Mathematik.

Ich habe die meisten Seiten dieser Site auch zum Download bereitgestellt. Diese herunterladbaren Versionen liegen im PDF-Format vor. Jedes Thema auf dieser Seite steht als kompletter Download zur Verfügung und bei sehr großen Dokumenten habe ich diese auch in kleinere Portionen aufgeteilt, die meist den einzelnen Themen entsprechen. Um die herunterladbare Version eines beliebigen Themas zu erhalten, navigieren Sie zu diesem Thema und dann unter Herunterladen Menü wird Ihnen eine Option zum Herunterladen des Themas angezeigt.

Hier finden Sie eine vollständige Liste aller Themen, die derzeit auf dieser Website verfügbar sind, sowie eine kurze Beschreibung zu jedem.

Algebra-Spickzettel - Dies sind so viele allgemeine Algebra-Fakten, Eigenschaften, Formeln und Funktionen, die mir einfallen. Es gibt auch eine Seite mit häufigen Algebrafehlern. Es gibt zwei Versionen des Spickzettels. Eine ist in voller Größe und umfasst derzeit vier Seiten. Die andere Version ist eine reduzierte Version, die genau die gleichen Informationen wie die Vollversion enthält, außer dass sie nur verkleinert wurde, sodass zwei Seiten auf der Vorderseite und zwei Seiten auf der Rückseite eines einzigen Blattes Papier gedruckt werden.

Trig-Spickzettel - Hier ist eine Reihe von allgemeinen trigonometrischen Fakten, Eigenschaften und Formeln. Ein Einheitskreis (vollständig ausgefüllt) ist ebenfalls enthalten. Es gibt zwei Versionen des Spickzettels. Eine ist in voller Größe und umfasst derzeit vier Seiten. Die andere Version ist eine reduzierte Version, die genau die gleichen Informationen wie die Vollversion enthält, außer dass sie nur verkleinert wurde, sodass zwei Seiten auf der Vorderseite und zwei Seiten auf der Rückseite eines einzigen Blattes Papier gedruckt werden.

Calculus Spickzettel - Dies ist eine Reihe von Calculus Spickzetteln, die den größten Teil eines Standard-Calculus-I-Kurses und einige Themen aus einem Calculus-II-Kurs abdecken. Hier gibt es vier verschiedene Spickzettel. Einer enthält alle Informationen, der andere hat nur Informationen zu den Grenzen, einer hat nur Informationen über Ableitungen und der letzte enthält nur Informationen über die Integrale. Jeder Spickzettel kommt in zwei Versionen. Eine in voller Größe und eine andere, die verkleinert ist, mit genau den gleichen Informationen wie die Version in voller Größe, die zwei Seiten auf die Vorder- und/oder Rückseite jeder Papierseite druckt.

Gemeinsame Ableitungen und Integrale - Hier ist eine Reihe von gemeinsamen Ableitungen und Integralen, die in einer Klasse in Infinitesimalrechnung I oder Infinitesimal II relativ regelmäßig verwendet werden. Ebenfalls enthalten sind Erinnerungen auf mehreren Integrationstechniken. Hier sind zwei Versionen des Spickzettels verfügbar. Einer ist in voller Größe und derzeit vier Seiten. Die andere Version ist eine reduzierte Version, die genau die gleichen Informationen wie die Vollversion enthält, außer dass sie nur verkleinert wurde, sodass zwei Seiten auf der Vorderseite und zwei Seiten auf der Rückseite eines einzigen Blattes Papier gedruckt werden.

Tabelle der Laplace-Transformationen - Hier ist eine Liste von Laplace-Transformationen für eine Differentialgleichungsklasse. Diese Tabelle enthält viele der häufig verwendeten Laplace-Transformationen und -Formeln. Es ist derzeit zwei Seiten lang, wobei die erste Seite die Laplace-Transformationen enthält und die zweite einige Informationen / Fakten zu einigen der Einträge enthält.

Alle Klassen, mit Ausnahme von Differentialgleichungen, haben Übungsaufgaben (mit Lösungen), die Sie zum Üben verwenden können, sowie eine Reihe von Aufgabenstellungen (ohne Lösungen/Antworten) für die Lehrkräfte, die sie verwenden können, wenn sie dies wünschen.

  • Vorbemerkungen - Exponenteneigenschaften, Rationale Exponenten, Negative Exponenten, Radikale, Polynome, Faktorisieren, Rationale Ausdrücke, Komplexe Zahlen
  • Gleichungen und Ungleichungen lösen - Lineare Gleichungen, Quadratische Gleichungen, Vervollständigung des Quadrats, Quadratische Formeln, Anwendungen von linearen und quadratischen Gleichungen, Reduzierbar auf quadratische Form, Gleichungen mit Radikalen, Lineare Ungleichungen, Polynome und rationale Ungleichungen, Absolutwertgleichungen und Ungleichungen.
  • Grafische Darstellung und Funktionen - Grafische Darstellung von Linien, Kreisen und stückweise Funktionen, Funktionsdefinition, Funktionsnotation, Funktionszusammensetzung, Umkehrfunktionen.
  • Allgemeine Graphen - Parabeln, Ellipsen, Hyperbeln, Absolutwert, Quadratwurzel, konstante Funktion, rationale Funktionen, Verschiebungen, Spiegelungen, Symmetrie.
  • Polynomfunktionen - Dividieren von Polynomen, Nullstellen/Wurzeln von Polynomen, Nullstellen von Polynomen finden, Polynome grafisch darstellen, partielle Brüche.
  • Exponential- und Logarithmusfunktionen - Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Exponentialfunktionen lösen, Logarithmusfunktionen lösen, Anwendungen.
  • Gleichungssysteme - Substitutionsverfahren, Eliminationsverfahren, Augmented Matrix, Nichtlineare Systeme.

In den Algebra-Notizen/-Tutorial wird davon ausgegangen, dass Sie sich mit den Grundlagen der Algebra vertraut gemacht haben. Insbesondere wird davon ausgegangen, dass die Abschnitte Exponenten und Factoring für Sie eher eine Überprüfung darstellen. Außerdem wird davon ausgegangen, dass Sie die Grundlagen der grafischen Darstellung von Gleichungen kennen. Die grafische Darstellung bestimmter Gleichungstypen wird in den Anmerkungen ausführlich behandelt. Es wird jedoch davon ausgegangen, dass Sie das grundlegende Koordinatensystem und das Zeichnen von Punkten verstehen.

  • Algebra/Trig-Überprüfung - Trigfunktionen und -gleichungen, Exponentialfunktionen und -gleichungen, Logarithmusfunktionen und -gleichungen.
  • Grenzen - Konzepte, Definition, Berechnung, einseitige Grenzen, Kontinuität, Grenzen mit Unendlichkeit, L'Hospitals-Regel
  • Ableitungen - Definition, Interpretationen, Ableitungsformeln, Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel, Ableitungen höherer Ordnung, implizite Differenzierung, logarithmische Differenzierung, Ableitungen von Trigfunktionen, Exponentialfunktionen, Logarithmusfunktionen, Inverse Trigfunktionen und Hyperbolische Trigfunktionen .
  • Anwendungen von Derivaten - Verwandte Raten, kritische Punkte, Minimal- und Maximalwerte, steigende/fallende Funktionen, Wendepunkte, Konkavität, Optimierung
  • Integration - Definition, Unbestimmte Integrale, Bestimmte Integrale, Substitutionsregel, Auswerten bestimmter Integrale, Fundamentalsatz der AnalysisCalc
  • Anwendungen von Integralen - Mittelwert der Funktion, Bereich zwischen den Kurven, Rotationskörper, Arbeit.

Die Notizen/Tutorials zu Infinitesimalrechnung I gehen davon aus, dass Sie über Grundkenntnisse in Algebra und Trig verfügen. Es gibt einige Besprechungen zu einigen Algebra- und Trig-Themen, aber größtenteils wird davon ausgegangen, dass Sie über einen anständigen Hintergrund in Algebra und Trig verfügen. Diese Hinweise setzen keine Vorkenntnisse in Calculus voraus.

  • Integrationstechniken - Integration nach Teilen, Integrale mit Trig-Funktionen, Trig-Substitutionen, Integration mit partiellen Brüchen, Integrale mit Wurzeln, Integrale mit Quadratik, Integrationsstrategie, unechte Integrale, Vergleichstest für unechte Integrale und Approximation bestimmter Integrale.
  • Anwendungen von Integralen - Bogenlänge, Oberfläche, Schwerpunkt/Schwerpunkt, hydrostatischer Druck und Kraft, Wahrscheinlichkeit.
  • Parametrische Gleichungen und Polarkoordinaten - Parametrische Gleichungen und Kurven, Berechnung mit parametrischen Gleichungen (Tangenten, Flächen, Bogenlänge und Oberfläche), Polarkoordinaten, Berechnung mit Polarkoordinaten (Tangenten, Flächen, Bogenlänge und Oberfläche).
  • Folgen und Reihen - Folgen, Reihen, Konvergenz/Divergenz von Reihen, Absolute Reihe, Integraltest, Vergleichstest, Grenzwertvergleichstest, Alternierender Reihentest, Verhältnistest, Wurzeltest, Schätzen des Wertes einer Reihe, Potenzreihe, Taylor-Reihe, Binomialreihe
  • Vektoren - Grundlagen, Betrag, Einheitsvektor, Arithmetik, Punktprodukt, Kreuzprodukt, Projektion
  • Dreidimensionales Koordinatensystem - Liniengleichungen, Ebenengleichungen, quadratische Flächen, Funktionen mehrerer Variablen, Vektorfunktionen, Grenzwerte, Ableitungen und Integrale von Vektorfunktionen, Tangentenvektoren, Normalenvektoren, Binormale Vektoren, Krümmung, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten

Die Anmerkungen/Tutorial zu Infinitesimalrechnung II gehen davon aus, dass Sie über Grundkenntnisse in Infinitesimalrechnung I verfügen, einschließlich Grenzwerten, Ableitungen und Integration (bis hin zur einfachen Substitution). Es wird auch vorausgesetzt, dass Sie über recht gute Kenntnisse von Trig verfügen. Mehrere Themen hängen stark von trigonometrischen Funktionen und dem Wissen über trigonometrische Funktionen ab.

  • Dreidimensionales Koordinatensystem - Liniengleichungen, Ebenengleichungen, quadratische Flächen, Funktionen mehrerer Variablen, Vektorfunktionen, Grenzwerte, Ableitungen und Integrale von Vektorfunktionen, Tangentenvektoren, Normalenvektoren, Binormale Vektoren, Krümmung, Zylinderkoordinaten, Kugelkoordinaten
  • Partielle Ableitungen - Grenzen, partielle Ableitungen, partielle Ableitungen höherer Ordnung, Differentiale, Kettenregel, gerichtete Ableitungen, Gradient.
  • Anwendungen partieller Ableitungen - Tangentialebene, Normallinie, Relative Extrema, Absolute Extrema, Optimierung, Lagrange-Multiplikatoren.
  • Mehrfachintegrale - Iterierte Integrale, Doppelintegrale, Doppelintegrale in Polarkoordinaten, Dreifachintegrale, Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten, Dreifachintegrale in Kugelkoordinaten, Änderung von Variablen, Oberfläche.
  • Linienintegrale - Vektorfelder, Linienintegrale in Bezug auf die Bogenlänge, Linienintegrale in Bezug auf x und ja, Linienintegrale von Vektorfeldern, Fundamentalsatz der Linienintegrale, Konservative Vektorfelder, Potentialfunktionen, Satz von Green, Curl, Divergenz.
  • Oberflächenintegrale - Parametrische Oberflächen, Oberflächenintegrale, Oberflächenintegrale von Vektorfeldern, Satz von Stokes, Divergenzsatz.

Die Anmerkungen/Tutorials zu Infinitesimalrechnung III setzen voraus, dass Sie über Kenntnisse in Infinitesimalrechnung I verfügen, einschließlich Grenzen, Ableitungen und Integration. Es wird auch davon ausgegangen, dass der Leser über gute Kenntnisse in mehreren Calculus II-Themen verfügt, einschließlich einiger Integrationstechniken, parametrischer Gleichungen, Vektoren und Kenntnisse des dreidimensionalen Raums.

  • Differentialgleichungen erster Ordnung - Lineare Gleichungen, Trennbare Gleichungen, Exakte Gleichungen, Gleichgewichtslösungen, Modellierungsprobleme.
  • Differentialgleichungen zweiter Ordnung - Homogene und inhomogene Differentialgleichungen zweiter Ordnung, grundlegender Lösungssatz, unbestimmte Koeffizienten, Parametervariation, mechanische Schwingungen
  • Laplace-Transformationen - Definition, inverse Transformationen, Stufenfunktionen, Heaviside-Funktionen, Dirac-Delta-Funktion, Lösen von IVPs, Inhomogener IVP, Nichtkonstanter Koeffizient IVP, Faltungsintegral.
  • Systeme von Differentialgleichungen - Matrixform, Eigenwerte/Eigenvektoren, Phasenebene, Inhomogene Systeme, Laplace-Transformationen.
  • Serienlösungen - Serienlösungen, Euler-Differentialgleichungen.
  • Differentialgleichungen höherer Ordnung - n Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Unbestimmte Koeffizienten, Variation von Parametern, 3 x 3 Systeme von Differentialgleichungen.
  • Randwertprobleme und Fourier-Reihen - Randwertprobleme, Eigenwerte und Eigenfunktionen, orthogonale Funktionen, Fourier-Sinus-Reihen, Fourier-Cosinus-Reihen, Fourier-Reihen.
  • Partielle Differentialgleichungen - Wärmegleichung, Wellengleichung, Laplace-Gleichung, Trennung von Variablen.

Diese Hinweise setzen keine Vorkenntnisse über Differentialgleichungen voraus. Ein gutes Verständnis der Infinitesimalrechnung ist jedoch erforderlich. Dazu gehören Kenntnisse in Differenzierung und Integration.

Nicht alle Themen, die in einer Algebra- oder Trig-Klasse behandelt werden, werden in dieser Rezension behandelt. Ich habe hauptsächlich Themen behandelt, die für Schüler in einer Infinitesimalklasse von besonderer Bedeutung sind. Ich habe ein paar Themen aufgenommen, die für einen Calculus-Kurs nicht so wichtig sind, aber die Schüler scheinen gelegentlich Probleme zu haben. Wenn es die Zeit zulässt, werde ich auch weitere Abschnitte hinzufügen.

Die Überprüfung erfolgt in Form eines Problemsets mit der ersten Lösung, die detaillierte Informationen zur Lösung dieser Art von Problem enthält. Spätere Lösungen sind in der Regel nicht so detailliert, können aber je nach Bedarf weitere/neue Informationen enthalten.

Beachten Sie, dass diese Einführung davon ausgeht, dass Sie vor dem Lesen zumindest einige komplexe Zahlen gesehen haben. Der Zweck dieses Dokuments besteht darin, ein wenig über das hinauszugehen, was die meisten Leute sehen, wenn die ersten beispielsweise in einem College-Algebra-Kurs komplexe Zahlen kennen. Außerdem soll dieses Dokument in keiner Weise ein vollständiges Bild komplexer Zahlen darstellen, noch beschreibe ich alle beteiligten Konzepte (das ist eine ganze Klasse für sich).

Dieser Teil der Website sollte für jeden interessant sein, der nach häufigen mathematischen Fehlern sucht. Wenn Sie nicht in einem Calculus-Kurs sind oder noch nie Calculus gemacht haben, sollten Sie den letzten Abschnitt ignorieren.

Wie man Mathematik lernt - Dies ist ein kurzer Abschnitt mit einigen Ratschlägen, wie man Mathematik am besten lernt.


Schau das Video: GeoGebra - Regneudtryk, løsning af ligninger og uligheder (Januar 2022).