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3.4: Summen-zu-Produkt- und Produkt-zu-Summen-Formeln


Lernziele

  • Express-Produkte als Summen.
  • Summen als Produkte ausdrücken.

Eine Band marschiert über das Feld und erzeugt einen erstaunlichen Sound, der die Menge stärkt. Dieser Schall breitet sich als Welle aus, die mit trigonometrischen Funktionen interpretiert werden kann.

Abbildung (PageIndex{2}) stellt beispielsweise eine Schallwelle für die Musiknote A dar. In diesem Abschnitt werden wir trigonometrische Identitäten untersuchen, die die Grundlage alltäglicher Phänomene wie Schallwellen sind.

Produkte als Summen ausdrücken

Wir haben bereits eine Reihe von Formeln kennengelernt, die zum Erweitern oder Vereinfachen trigonometrischer Ausdrücke nützlich sind, aber manchmal müssen wir das Produkt von Kosinus und Sinus als Summe ausdrücken. Wir können die nutzen Produkt-Summen-Formeln, die Produkte trigonometrischer Funktionen als Summen ausdrücken. Untersuchen wir zuerst die Kosinusidentität und dann die Sinusidentität.

Produkte als Summen für Kosinus ausdrücken

Wir können die Produkt-zu-Summe-Formel aus den Summen- und Differenzidentitäten für ableiten Kosinus. Wenn wir die beiden Gleichungen addieren, erhalten wir:

[egin{align*} cosalphacoseta+sinalphasineta&= cos(alpha-eta)[4pt] underline{+ cosalphacos beta-sin alphasineta}&= underline{cos(alpha+eta)}[4pt] 2 cosalpha coseta&= cos(alpha-eta)+ cos(alpha+eta)end{ausrichten*}]

Dann dividieren wir durch 2, um das Kosinusprodukt zu isolieren:

[cosalphacoseta=dfrac{1}{2}[cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)] label{eq1}]

Gewusst wie: Gegeben ein Kosinusprodukt, als Summe ausdrücken

  1. Schreiben Sie die Formel für das Produkt des Kosinus.
  2. Setze die angegebenen Winkel in die Formel ein.
  3. Vereinfachen.

Beispiel (PageIndex{1}): Schreiben des Produkts als Summe mit der Produkt-zu-Summe-Formel für Kosinus

Schreiben Sie das folgende Kosinusprodukt als Summe: (2cosleft(dfrac{7x}{2} ight) cosleft(dfrac{3x}{2} ight)).

Lösung

Wir beginnen damit, die Formel für das Produkt des Kosinus (Gleichung ef{eq1}) zu schreiben:

[ cos alpha cos eta = dfrac{1}{2}[ cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta) ] onumber]

Wir können dann die angegebenen Winkel in die Formel einsetzen und vereinfachen.

[egin{align*} 2 cosleft(dfrac{7x}{2} ight)cosleft(dfrac{3x}{2} ight)&= 2left(dfrac{ 1}{2} ight)[ cosleft(dfrac{7x}{2}-dfrac{3x}{2} ight)+cosleft(dfrac{7x}{2}+ dfrac{3x}{2} ight) ][4pt] &= cosleft(dfrac{4x}{2} ight)+cosleft(dfrac{10x}{2} ight ) [4pt] &= cos 2x+cos 5x end{ausrichten*}]

Übung (PageIndex{1})

Verwenden Sie die Produkt-zu-Summe-Formel (Gleichung ef{eq1}), um das Produkt als Summe oder Differenz zu schreiben: (cos(2 heta)cos(4 heta)).

Antworten

(dfrac{1}{2}(cos 6 heta+cos 2 heta))

Das Produkt von Sinus und Cosinus als Summe ausdrücken

Als nächstes leiten wir die Produkt-zu-Summen-Formel für Sinus und Cosinus aus den Summen- und Differenzformeln für ab Sinus. Wenn wir die Summen- und Differenzidentitäten addieren, erhalten wir:

[egin{align*} cosalphacoseta+sinalphasineta&= cos(alpha-eta)[4pt] underline{+ cosalphacos beta-sin alphasineta}&= cos(alpha+eta)[4pt] 2 cosalphacoseta&= cos(alpha-eta)+cos( alpha+eta)[4pt] ext{Dann dividieren wir durch 2, um das Produkt des Kosinus zu isolieren:}[4pt] cos alpha cos eta&= dfrac{1}{2}left [cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta) ight] end{align*}]

Beispiel (PageIndex{2}): Schreiben des Produkts als Summe, die nur Sinus oder Cosinus enthält

Drücken Sie das folgende Produkt als Summe aus, die nur Sinus oder Cosinus und keine Produkte enthält: (sin(4 heta)cos(2 heta)).

Lösung

Schreiben Sie die Formel für das Produkt von Sinus und Kosinus. Setzen Sie dann die angegebenen Werte in die Formel ein und vereinfachen Sie.

[egin{align*} sin alpha cos eta&= dfrac{1}{2}[ sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta) ][4pt] sin(4 heta)cos(2 heta)&= dfrac{1}{2}[sin(4 heta+2 heta)+sin(4 heta-2 heta)] [4pt] &= dfrac{1}{2}[sin(6 heta)+sin(2 heta)] end{align*}]

Übung (PageIndex{2})

Verwenden Sie die Produkt-zu-Summe-Formel, um das Produkt als Summe zu schreiben: (sin(x+y)cos(x−y)).

Antworten

(dfrac{1}{2}(sin 2x+sin 2y))

Produkte von Sinus in Bezug auf Cosinus ausdrücken

Das Produkt von Sinus in Bezug auf ausdrücken Kosinus wird auch aus den Summen- und Differenzidentitäten für den Kosinus abgeleitet. In diesem Fall subtrahieren wir zunächst die beiden Kosinusformeln:

[egin{align*} cos(alpha-eta)&= cosalphacoseta+sinalphasineta[4pt] underline{-cos(alpha+ beta)}&= -(cosalphacoseta-sinalphasineta)[4pt] cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)&= 2 sin alpha sin eta[4pt] ext{Dann teilen wir durch 2, um das Sinusprodukt zu isolieren:}[4pt] sin alpha sin eta&= dfrac{1} {2}[ cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta) ] end{align*}]

In ähnlicher Weise könnten wir das Produkt des Kosinus in Form eines Sinus ausdrücken oder andere Produkt-Summen-Formeln herleiten.

DIE PRODUKT-ZUM-SUMME-FORMELN

Das Produkt-zu-Summe Formeln sind wie folgt:

[cosalphacoseta=dfrac{1}{2}[cos(alpha−eta)+cos(alpha+eta)]]

[sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha−eta)]]

[sinalphasineta=dfrac{1}{2}[cos(alpha−eta)−cos(alpha+eta)]]

[cosalphasineta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)−sin(alpha−eta)]]

Beispiel (PageIndex{3}): Das Produkt als Summe oder Differenz ausdrücken

Schreiben Sie (cos(3 heta) cos(5 heta)) als Summe oder Differenz.

Lösung

Wir haben das Produkt des Kosinus, also beginnen wir damit, die zugehörige Formel zu schreiben. Dann ersetzen wir die angegebenen Winkel und vereinfachen.

[egin{align*} cosalphacoseta&= dfrac{1}{2}[cos(alpha-eta)+cos(alpha+eta)][4pt] cos(3 heta)cos(5 heta)&= dfrac{1}{2}[cos(3 heta-5 heta)+cos(3 heta+5 heta)] [4pt] &= dfrac{1}{2}[cos(2 heta)+cos(8 heta)]qquad ext{Gerade-ungerade Identität verwenden} end{align*}]

Übung (PageIndex{3})

Verwenden Sie die Produkt-zu-Summe-Formel, um (cos dfrac{11pi}{12} cos dfrac{pi}{12}) auszuwerten.

Antworten

(dfrac{−2−sqrt{3}}{4})

Summen als Produkte ausdrücken

Einige Probleme erfordern die Umkehrung des Prozesses, den wir gerade verwendet haben. Das Summen-zu-Produkt-Formeln erlauben uns, Summen von Sinus oder Cosinus als Produkte auszudrücken. Diese Formeln können aus den Produkt-zu-Summe-Identitäten abgeleitet werden. Mit ein paar Substitutionen können wir beispielsweise die Summen-zu-Produkt-Identität für . ableiten Sinus. Seien (dfrac{u+v}{2}=alpha) und (dfrac{u−v}{2}=eta).

Dann,

[egin{align*} alpha+eta&= dfrac{u+v}{2}+dfrac{uv}{2}[4pt] &= dfrac{2u}{2}[ 4pt] &= u end{align*}]

[egin{align*} alpha-eta&= dfrac{u+v}{2}-dfrac{uv}{2}[4pt] &= dfrac{2v}{2} [4pt] &= v end{align*}]

Wenn wir also (alpha) und (eta) in der Produkt-zu-Summe-Formel durch die Ersatzausdrücke ersetzen, haben wir

[egin{align*} sin alpha cos eta&= dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)][4pt] sin left ( frac{u+v}{2} ight ) cos left ( frac{uv}{2} ight )&= frac{1}{2}[sin u + sin v]qquad ext{Ersatz für } (alpha+eta) ext{ und } (alphaeta)[4pt] 2sinleft(dfrac{u+v}{2} rechts) cosleft(dfrac{uv}{2} ight)&= sin u+sin v end{align*}]

Die anderen Summen-zu-Produkt-Identitäten werden auf ähnliche Weise abgeleitet.

SUMME-ZU-PRODUKT-FORMELN

Das Summen-zu-Produkt-Formeln sind wie folgt:

[sinalpha+sineta=2sinleft(dfrac{alpha+eta}{2} ight)cosleft(dfrac{alpha−eta}{2} ight )]

[sinalpha-sineta=2sinleft(dfrac{alpha-eta}{2} ight)cosleft(dfrac{alpha+eta}{2} Rechts)]

[cosalpha−coseta=−2sinleft(dfrac{alpha+eta}{2} ight)sinleft(dfrac{alpha−eta}{2} Rechts)]

[cosalpha+coseta=2sinleft(dfrac{alpha+eta}{2} ight)sinleft(dfrac{alpha−eta}{2} ight )]

Beispiel (PageIndex{4}): Die Differenz von Sinus als Produkt schreiben

Schreiben Sie den folgenden Unterschied des Sinusausdrucks als Produkt: (sin(4 heta)−sin(2 heta)).

Lösung

Wir beginnen damit, die Formel für die Sinusdifferenz zu schreiben.

[egin{align*} sinalpha-sineta&= 2sinleft(dfrac{alpha-eta}{2} ight)cosleft(dfrac{alpha+ beta}{2} ight)[4pt] ext {Setze die Werte in die Formel ein und vereinfache.}[4pt] sin(4 heta)-sin(2 heta)&= 2 sinleft(dfrac{4 heta-2 heta}{2} ight) cosleft(dfrac{4 heta+2 heta}{2} ight)[4pt] & = 2sinleft(dfrac{2 heta}{2} ight) cosleft(dfrac{6 heta}{2} ight)[4pt] &= 2sin heta cos(3 heta) end{align*}]

Übung (PageIndex{4})

Verwenden Sie die Summe-zu-Produkt-Formel, um die Summe als Produkt zu schreiben: (sin(3 heta)+sin( heta)).

Antworten

(2sin(2 heta)cos( heta))

Beispiel (PageIndex{5}): Auswertung mit der Summen-zu-Produkt-Formel

Bewerte (cos(15°)−cos(75°)). Überprüfen Sie die Antwort mit einem Grafikrechner.

Lösung

Wir beginnen damit, die Formel für die Differenz der Kosinuswerte zu schreiben.

[egin{ausrichten*}
cosalpha-coseta&= -2sinleft(dfrac{alpha+eta}{2} ight) sinleft(dfrac{alpha-eta}{2} ight )[4pt]
ext {Dann ersetzen wir die angegebenen Winkel und vereinfachen.}[4pt]
cos(15^{circ})-cos(75^{circ})&= -2sinleft(dfrac{15^{circ}+75^{circ}}{2} ight) sinleft(dfrac{15^{circ}-75^{circ}}{2} ight)[4pt]
&= -2sin(45^{circ}) sin(-30^{circ})[4pt]
&= -2left(dfrac{sqrt{2}}{2} ight)left(-dfrac{1}{2} ight)[4pt]
&= dfrac{sqrt{2}}{2}
end{ausrichten*}]

Beispiel (PageIndex{6}): Identitätsnachweis

Beweisen Sie die Identität:

[dfrac{cos(4t)−cos(2t)}{sin(4t)+sin(2t)}=− an t]

Lösung

Wir beginnen mit der linken Seite, der komplizierteren Seite der Gleichung und schreiben den Ausdruck um, bis er mit der rechten Seite übereinstimmt.

[egin{align*} dfrac{cos(4t)-cos(2t)}{sin(4t)+sin(2t)}&= dfrac{-2 sinleft(dfrac {4t+2t}{2} ight)sinleft(dfrac{4t-2t}{2} ight)}{2 sinleft(dfrac{4t+2t}{2} ight) cosleft(dfrac{4t-2t}{2} ight)}[4pt] &= dfrac{-2 sin(3t)sin t}{2 sin(3t)cos t }[4pt] &= -dfrac{sin t}{cos t}[4pt] &= - an t end{align*}]

Analyse

Denken Sie daran, dass die Überprüfung trigonometrischer Identitäten eigene Regeln hat. Die Prozeduren zum Lösen einer Gleichung sind nicht die gleichen wie die Prozeduren zum Verifizieren einer Identität. Wenn wir eine Identität beweisen, wählen wir eine Seite aus, an der wir arbeiten, und nehmen Ersetzungen vor, bis sich diese Seite in die andere Seite verwandelt.

Beispiel (PageIndex{7}): Überprüfung der Identität mit Doppelwinkelformeln und reziproken Identitäten

Überprüfe die Identität ({csc}^2 heta−2=cos(2 heta)sin2 heta).

Lösung

Um diese Gleichung zu verifizieren, führen wir mehrere der Identitäten zusammen. Wir verwenden die Doppelwinkelformel und die reziproken Identitäten. Wir arbeiten mit der rechten Seite der Gleichung und schreiben sie um, bis sie mit der linken Seite übereinstimmt.

[egin{align*} cos(2 heta)sin2 heta&= dfrac{1-2 {sin}^2 heta}{{sin}^2 heta}[4pt] &= dfrac{1}{{sin}^2 heta}-dfrac{2 {sin}^2 heta}{{sin}^2 heta}[4pt] &= { csc}^2 heta - 2 end{align*}]

Übung (PageIndex{5})

Verifizieren Sie die Identität ( an hetacot heta−{cos}^2 heta={sin}^2 heta).

Antworten

[egin{align*} an hetacot heta-{cos}^2 heta&= left(dfrac{sin heta}{cos heta} ight)left( dfrac{cos heta}{sin heta} ight)-{cos}^2 heta[4pt] &= 1-{cos}^2 heta[4pt] &= { sin}^2 heta end{align*}]

Medien

Greifen Sie auf diese Online-Ressourcen zu, um zusätzliche Anweisungen und Übungen mit den Produkt-zu-Summe- und Summe-zu-Produkt-Identitäten zu erhalten.

  • Summe zu Produktidentitäten
  • Summe zu Produkt und Produkt zu Summe Identitäten

Schlüsselgleichungen

Produkt-Summen-Formeln

[cosalphacoseta=dfrac{1}{2}[cos(alpha−eta)+cos(alpha+eta)] onumber]

[sinalphacoseta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)+sin(alpha−eta)] onumber]

[sinalphasineta=dfrac{1}{2}[cos(alpha−eta)−cos(alpha+eta)] onumber]

[cosalphasineta=dfrac{1}{2}[sin(alpha+eta)−sin(alpha−eta)] onumber]

Summen-zu-Produkt-Formeln

[sinalpha+sineta=2sin(dfrac{alpha+eta}{2})cos(dfrac{alpha−eta}{2}) onumber]

[sinalpha-sineta=2sin(dfrac{alpha-eta}{2})cos(dfrac{alpha+eta}{2}) onumber]

[cosalpha−coseta=−2sin(dfrac{alpha+eta}{2})sin(dfrac{alpha−eta}{2}) onumber]

[cosalpha+coseta=2sin(dfrac{alpha+eta}{2})sin(dfrac{alpha−eta}{2}) onumber]

Schlüssel Konzepte

  • Aus den Summen- und Differenzidentitäten können wir die Produkt-zu-Summen-Formeln und die Summen-zu-Produkt-Formeln für Sinus und Cosinus ableiten.
  • Wir können die Produkt-zu-Summen-Formeln verwenden, um Produkte von Sinus, Produkte von Cosinus und Produkte von Sinus und Cosinus als Summen oder Differenzen von Sinus und Cosinus umzuschreiben. Siehe Beispiel (PageIndex{1}), Beispiel (PageIndex{2}) und Beispiel (PageIndex{3}).
  • Wir können auch die Summe-zu-Produkt-Identitäten aus den Produkt-zu-Summen-Identitäten durch Substitution ableiten.
  • Wir können die Summen-zu-Produkt-Formeln verwenden, um Summe oder Differenz von Sinus, Kosinus oder Produkten von Sinus und Kosinus in Produkte von Sinus und Kosinus umzuschreiben. Siehe Beispiel (PageIndex{4}).
  • Trigonometrische Ausdrücke sind mit den Formeln oft einfacher auszuwerten. Siehe Beispiel (PageIndex{5}).
  • Die Identitäten können mit anderen Formeln oder durch Umwandeln der Ausdrücke in Sinus und Cosinus überprüft werden. Um eine Identität zu verifizieren, wählen wir die kompliziertere Seite des Gleichheitszeichens und schreiben sie um, bis sie sich in die andere Seite verwandelt. Siehe Beispiel (PageIndex{6}) und Beispiel (PageIndex{7}).

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3.5.1: Summen zu Produktformeln für Sinus und Cosinus

Verhältnis der Summe oder Differenz zweier trigonometrischer Funktionen zu einem Produkt.

Können Sie Probleme lösen, die die Summe von Sinus oder Kosinus beinhalten? Betrachten Sie zum Beispiel die Gleichung:

Sie könnten einfach jeden Ausdruck separat berechnen und ihre Werte am Ende hinzufügen. Es gibt jedoch einen einfacheren Weg, dies zu tun. Sie können die Gleichung zuerst vereinfachen und dann lösen.

Sinus- und Cosinussumme zu Produktformeln

Bei einigen Problemen wird das Produkt zweier trigonometrischer Funktionen bequemer durch die Summe zweier trigonometrischer Funktionen unter Verwendung von Identitäten gefunden.

Dies kann mit Hilfe der Summen- und Differenzformeln überprüft werden:

In ähnlicher Weise lassen sich folgende Variationen ableiten:

Hier sind einige Probleme mit dieser Art der Transformation von einer Summe von Termen in ein Produkt von Termen.

1. Ändern Sie (sin 5x&minussin 9x) in ein Produkt.

Verwenden Sie die Formel (sin alpha &minussin eta =2sin dfrac<2> imes cos dfrac<2>).

2. Wandeln Sie (cos (&minus3x)+cos 8x) in ein Produkt um.

Verwenden Sie die Formel (cos alpha +cos eta =2cos dfrac <2> imes cos dfrac<2>)

3. Ändere (2sin 7xcos 4x) in eine Summe.

Dies ist das Gegenteil von dem, was in den beiden vorherigen Beispielen gemacht wurde. Betrachten Sie die vier obigen Formeln und nehmen Sie die Formel mit Sinus und Kosinus als Produkt, (sin alpha +sin eta =2sin dfrac <2> imes cos dfrac<2>). Daher (7x=dfrac<2>) und (4x=dfrac<2>).

Dies bedeutet also (sin (11x)+sin (3x)). Eine Abkürzung für dieses Problem wäre, zu bemerken, dass die Summe von (7x) und (4x) (11x) ist und die Differenz (3x).

Vorhin wurden Sie gebeten, zu lösen

Sie können diese Gleichung leicht in ein Produkt zweier trigonometrischer Funktionen umwandeln, indem Sie:

Ersetzen der bekannten Größen:

(cos 10t+cos 3t=2cos dfrac<13t> <2> imes cos dfrac<7t><2>=2cos (6,5t)cos (3,5t))

Drücken Sie die Summe als Produkt aus: (sin 9x+sin 5x)

Verwenden der Summe-zu-Produkt-Formel:

(Start sin 9x+sin 5x &2left(sin left(dfrac<9x+5x><2> ight)cos left(dfrac<9x&minus5x><2> ight) ight) & 2sin 7xcos 2x end)


Summen-zu-Produkt-Formeln

Summen-zu-Produkt-Formeln
  • (sin u + sin v = 2sinleft(frac<2> echts)coslinks(frac<2> echts))
  • (sin u - sin v = 2cosleft(frac<2> echts)sinlinks(frac<2> echts))
  • (cos u + cos v = 2cosleft(frac<2> echts)coslinks(frac<2> echts))
  • (cos u - cos v = -2sinleft(frac<2> echts)sinlinks(frac<2> echts))

Beispiel 2: Bewerten eines trigonometrischen Ausdrucks

Ermitteln Sie den genauen Wert von cos 75° − cos 15°.

Lösung

Dies ist eine Kosinusdifferenz, also verwenden Sie die letzte Formel mit du = 75° und v = 15°.

$cos u - cos v = -2sinleft(frac<2> echts)sinlinks(frac<2> ight)$

$cos 75° - cos 15° = -2sinleft(frac<75° + 15°><2> ight)sinleft(frac<75° - 15°><2> ight)$

Probieren Sie es aus 2

Finden Sie den genauen Wert von sin 255° + sin 15°.

Antworten

Beispiel 3: Lösen einer trigonometrischen Gleichung

Auflösen im Intervall [0, 2π): sin 5x + Sünde x = 0.

Da die Gleichung null ist, könnten wir die Produkteigenschaft null verwenden, wenn die Gleichung ein Produkt und keine Summe wäre. Verwenden Sie also eine Summen-Produkt-Formel mit du = 5x und v = x.

(cos3x = 0) (sin 2x = 0)
(3x = frac<π> <2>+ n) (2x = 0 + πn)
(x = frac<π> <6>+ frac<πn><3>) (x = frac<πn><2>)

Probieren Sie es aus 3

Auflösen im Intervall [0, 2): cos 3x + cos x = 0.

Antworten

Beispiel 4: Überprüfen einer trigonometrischen Identität

Lösung

Wenn der Bruch Terme verwendet, die miteinander multipliziert statt addiert wurden, können sie sich aufheben. Verwenden Sie also eine Summen-Produkt-Formel für Zähler und Nenner mit du = 3x und v = x.


Geben Sie die Gewichtungsformel ein

Das in diesem Artikel gezeigte Beispiel berechnet den gewichteten Durchschnitt für die Endnote eines Schülers mithilfe der SUMMENPRODUKT-Funktion.

Die Funktion erreicht dies durch:

  • Multiplizieren der verschiedenen Markierungen mit ihrem individuellen Gewichtungsfaktor.
  • Addieren der Produkte dieser Multiplikationsoperationen zusammen.
  • Dividieren der obigen Summe durch die Summe des Gewichtungsfaktors 7 (1+1+2+3) für die vier Bewertungen.

Wie die meisten anderen Funktionen in Excel kann SUMPRODUCT mit Hilfe der work Funktionsbibliothek gefunden auf dem Formeln Tab. Da die Gewichtungsformel in diesem Beispiel SUMPRODUCT nicht standardmäßig verwendet (das Ergebnis der Funktion wird durch den Gewichtungsfaktor geteilt), muss die Gewichtungsformel in eine Arbeitsblattzelle eingegeben werden.

Um die SUMMENPRODUKT-Formel einzugeben, um einen gewichteten Durchschnitt zu berechnen, öffnen Sie ein leeres Arbeitsblatt und geben Sie die Daten in Zeilen ein 1 durch 6 aus dem obigen Bild und gehen Sie wie folgt vor:

Zelle auswählen C7 um es zur aktiven Zelle zu machen (dies ist der Ort, an dem die Endnote des Schülers angezeigt wird).

Geben Sie die Formel ein =SUMMENPRODUKT(B3:B6,C3:C6)/(1+1+2+3) in die Zelle. Die Formel wird in der Formelleiste angezeigt.

Drücken Sie die Eintreten Taste auf der Tastatur.

Die Antwort 78.6 erscheint in Zelle C7 (Ihre Antwort kann mehr Dezimalstellen haben).

Der ungewichtete Durchschnitt für die gleichen vier Noten wäre 76.5. Da der Student bei seinen Zwischen- und Abschlussprüfungen bessere Ergebnisse erzielte, half das Abwägen des Durchschnitts, die Gesamtnote zu verbessern.


Summe zu Produkt und Produkt zu Summenformeln

Der Prozess der Umwandlung von Summen in Produkte oder Produkte in Summen kann den Unterschied zwischen einer einfachen Lösung eines Problems und keiner Lösung ausmachen. Aus den Summen- und Differenzidentitäten können zwei Sätze von Identitäten abgeleitet werden, die bei dieser Umwandlung helfen.

Summe zum Produkt

Wir können die nutzen Summen- und Differenzformeln zusammen, um die Summe zweier trigonometrischer Verhältnisse als Produkt trigonometrischer Verhältnisse umzuschreiben.

Beispiel: Berechne sin75° + sin15°.

Lösung: Nach der Formel Sünde a + Sünde b, wir bekommen:
sin75° + sin15° = 2 · sin (90°/2) · cos (60°/2) = 2 · sin45° · cos30° = 2 · √2/2 · √3/2 = √6/2

Produkt zu summieren

Wir können auch die Summen- und Differenzformeln verwenden, um das Produkt zweier trigonometrischer Verhältnisse als Summe zu schreiben. Diese neuen Formeln heißen die Produkt zu Summenformeln.

Beispiel: Berechnen Sie cos105° · cos15°.

Lösung: Mit der Formel cos a · cos b können wir schreiben:
cos105° + cos15° = 1/2 [cos (105° + 15°) + cos (105° – 15°)]
= 1/2 [cos120° + cos90°] = 1/2 · (-1/2 + 0) = -1/4


Bonus: Summieren Sie die Top-N-Werte mit der SEQUENCE-Funktion

Die SEQUENCE-Funktion wird in Excel 2019 und 365 eingeführt. Sie gibt eine Zahlenfolge zurück. Wir können es verwenden, um die Top-N-Werte zu erhalten und sie dann aufzusummieren.

Generische Formel:

=SUMMENPRODUKT(LARGE(range,SEQUENCE(num_values,,[start_num], [steps]))))

Angebot: Der Bereich ist der Bereich, aus dem Sie die höchsten N-Werte summieren möchten.

Anzahl_Werte: Es ist die Anzahl der Spitzenwerte, die Sie summieren möchten.

[start_num]: Es ist die Startnummer der Serie. Es ist optional. Wenn Sie dies auslassen, beginnt die Serie am 1.

[Schritte]: Es ist die Differenz zwischen der nächsten Zahl von der aktuellen Zahl. Standardmäßig ist es 1.

Wenn wir diese generische Formel verwenden, um das gleiche Ergebnis wie im vorherigen Beispiel zu erhalten, lautet die Formel:

=SUMME(GROSS(C2:C13,SEQUENZ(4,,3)))

Es wird der Wert 534040 zurückgegeben.

Wie funktioniert es?

Es ist einfach. Die Funktion SEQUENCE gibt eine Reihe von 4 Werten zurück, die mit 3 mit Intervall 1 beginnen. Sie gibt das Array <3456> zurück. Jetzt gibt die Funktion LARGE die größten Werte der entsprechenden Zahlen zurück. Schließlich summiert die SUM-Funktion diese Werte und wir erhalten unser Ergebnis als 534040.

Also ja Leute, so könnt ihr die Top 3, 5, 10, . N-Werte in Excel. Ich habe versucht, erklärend zu sein. Ich hoffe es hilft dir. Wenn Sie Zweifel an diesem Thema oder einem anderen Thema im Zusammenhang mit Excel haben, fragen Sie im Kommentarbereich unten nach. Ich antworte häufig auf Anfragen.

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Excel-SUMIFS mit mehreren ODER-Kriterien

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Wie üblich kann ein Beispiel helfen, den Punkt besser zu veranschaulichen. Fügen wir in unserer Tabelle der Obstlieferanten das Lieferdatum (Spalte E) hinzu und finden Sie die Gesamtmenge, die Mike, John und Pete im Oktober geliefert haben.

Beispiel 1. SUMIFS + SUMIFS

Die von diesem Ansatz erzeugte Formel enthält viele Wiederholungen und sieht umständlich aus, ist aber leicht zu verstehen und vor allem funktioniert sie : )

=SUMIFS(D2:D9,C2:C9, "Mike", E2:E9,">=01.10.2014", E2:E9, "<=31.10.2014") +
SUMIFS(D2:D9, C2:C9, "Johannes", E2:E9, ">=01.10.2014", E2:E9, "<=31.10.2014") +
SUMIFS(D2:D9, C2:C9, "Pete", E2:E9, ">=01.10.2014" ,E2:E9, "<=31.10.2014")

Wie Sie sehen, schreiben Sie für jeden der Lieferanten eine separate SUMIFS-Funktion und schließen zwei Bedingungen ein - gleich oder größer als 1. Oktober (">=1.10.2014") und kleiner oder gleich 31. Oktober (" <=31.10.2014"), und dann summieren Sie die Ergebnisse.

Beispiel 2. SUM & SUMIFS mit einem Array-Argument

Ich habe versucht, das Wesen dieses Ansatzes im SUMIF-Beispiel zu erklären. Jetzt können wir diese Formel einfach kopieren, die Reihenfolge der Argumente ändern (wie Sie sich erinnern, dass sie in SUMIF und SUMIFS unterschiedlich ist) und zusätzliche Kriterien hinzufügen. Die resultierende Formel ist kompakter als SUMIFS + SUMIFS:

Das von dieser Formel zurückgegebene Ergebnis ist genau das gleiche wie im obigen Screenshot.

Beispiel 3. Summenprodukt und Summen

Wie Sie sich erinnern, unterscheidet sich der SUMPRODUCT-Ansatz von den beiden vorherigen darin, dass Sie jedes Ihrer Kriterien in eine separate Zelle eingeben, anstatt sie direkt in der Formel anzugeben. Bei mehreren Kriteriensätzen reicht die SUMPRODUCT-Funktion nicht aus und Sie müssen zusätzlich ISNUMBER und MATCH verwenden.

Unter der Annahme, dass sich die Materialnamen in den Zellen H1:H3, das Startdatum in Zelle H4 und das Enddatum in Zelle H5 befinden, nimmt unsere SUMMENPRODUKT-Formel die folgende Form an:

=SUMMENPRODUKT(--(E2:E9>=H4), --(E2:E9<=H5), --(ISNUMMER(MATCH(C2:C9, H1:H3,0))), D2:D9)

Viele Leute fragen sich, warum Doppelstriche (--) in SUMPRODUCT-Formeln verwendet werden. Der Punkt ist, dass Excel SUMPRODUCT alle außer numerischen Werte ignoriert, während die Vergleichsoperatoren in unserer Formel boolesche Werte (TRUE / FALSE) zurückgeben, die nicht numerisch sind. Um diese booleschen Werte in 1 und 0 umzuwandeln, verwenden Sie das doppelte Minuszeichen, das technisch als doppelter unärer Operator bezeichnet wird. Die erste unäre erzwingt TRUE/FALSE entsprechend zu -1/0. Die zweite Einzahl negiert die Werte, d. h. kehrt das Vorzeichen um und verwandelt sie in +1 und 0, was die SUMMENPRODUKT-Funktion verstehen kann.

Ich hoffe die obige Erklärung macht Sinn. Und selbst wenn dies nicht der Fall ist, denken Sie einfach an diese Faustregel - verwenden Sie den doppelten unären Operator (--), wenn Sie Vergleichsoperatoren in Ihren SUMPRODUCT-Formeln verwenden.


Summe des Produkts (SOP) & Produkt der Summe (POS)

Produktsumme (SOP)

Summe des Produkts ist die abgekürzte Form von SOP. Summe der Produktform ist eine Ausdrucksform in der Booleschen Algebra, bei der verschiedene Produktterme von Eingaben summiert werden. Dieses Produkt ist keine arithmetische Multiplikation, sondern ein boolesches logisches UND und die Summe ist ein boolesches logisches ODER.

Um SOP besser zu verstehen, müssen wir die Mindestlaufzeit kennen.

Mindestlaufzeit

Minterm bezeichnet den Begriff, der für eine minimale Anzahl von Kombinationen von Eingaben gilt. Dies gilt nur für eine Kombination von Eingaben.

Da das UND-Gatter auch nur True liefert, wenn alle seine Eingänge wahr sind, können wir sagen, dass min-Terme UND von Eingangskombinationen sind, wie in der unten angegebenen Tabelle.

3 Eingänge haben 8 verschiedene Kombinationen. Jede Kombination hat einen min-Term, der durch ein kleines m bezeichnet wird, und seine dezimale Kombinationsnummer, die tiefgestellt ist. Jeder dieser Minterms ist nur für die spezifische Eingabekombination wahr.

Arten von Produktsummenformularen (SOP)

Es gibt wenige verschiedene Formen der Produktsumme.

Kanonisches SOP-Formular

Dies ist die Standardform der Produktsumme. Es wird von O Ring gebildet, den Minterms der Funktion, für die die Ausgabe wahr ist. Dies wird auch als Summe der Min-Terme oder kanonische disjunktive Normalform (CDNF) bezeichnet. Es ist nur ein schicker Name. „kanonisch“ bedeutet „standardisiert“ und „disjunktiv“ bedeutet „logische ODER-Verknüpfung“.

Der kanonische SOP-Ausdruck wird durch das Summenzeichen dargestellt und Minterms in geschweiften Klammern, für die die Ausgabe wahr ist.

Zum Beispiel ist unten eine Funktionswahrheitstabelle angegeben.

Für diese Funktion lautet der kanonische SOP-Ausdruck

Das bedeutet, dass die Funktion für die min-Terme gilt .

Durch Erweiterung der Summation erhalten wir.

Setzen Sie jetzt min-Terme in den Ausdruck

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

Die kanonische Form enthält alle Eingaben, die in ihren Produktbegriffen entweder ergänzt oder nicht ergänzt werden.

Nicht-kanonisches SOP-Formular

Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei dieser Form um die nicht standardisierte Form von SOP-Ausdrücken. Die Produktterme sind nicht die Mindestterme, aber sie sind vereinfacht. Nehmen wir die obige Funktion in kanonischer Form als Beispiel.

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B(C̅ + C) + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B(1) + AB̅C

F = A̅B̅C + A̅B + AB̅C

Dieser Ausdruck ist immer noch in der Form Sum of Product, aber er ist nicht kanonisch oder nicht standardisiert.

Minimales SOP-Formular

Diese Form ist der vereinfachteste SOP-Ausdruck einer Funktion. Es ist auch eine Form der nicht-kanonischen Form. Die minimale SOP-Form kann mit booleschen algebraischen Sätzen erstellt werden, aber sie ist sehr einfach mit der Karnaugh-Karte (K-Map) zu erstellen.

Eine minimale SOP-Form wird bevorzugt, da sie die minimale Anzahl von Gattern und Eingangsleitungen verwendet. es ist aufgrund seiner kompakten Größe, seiner hohen Geschwindigkeit und seiner geringen Herstellungskosten kommerziell vorteilhaft.

Nehmen wir ein Beispiel für die oben angegebene Funktion in kanonischer Form.

Gemäß der K-Map lautet der Ausgabeausdruck

F = B̅C + A̅B

Dies ist der am einfachsten und optimierteste Ausdruck für die genannte Funktion. Dieser Ausdruck erfordert nur zwei UND-Gatter mit 2 Eingängen und ein ODER-Gatter mit 2 Eingängen. Die kanonische Form benötigt jedoch vier UND-Gatter mit 3 Eingängen und ein ODER-Gatter mit 4 Eingängen, was relativ kostspieliger ist als die Implementierung in minimaler Form.

Schematischer Aufbau der Produktsumme (SOP)

SOP-Ausdruck implementiert zweistufiges UND-ODER-Design, bei dem die 1 Level-Gatter ist UND-Gatter nach 2. Level-Gatter, das ODER-Gatter ist. Das schematische Design des SOP-Ausdrucks erfordert ein Gruppenarray von UND-Gattern und ein ODER-Gatter.

Jeder SOP-Ausdruck hat ein ähnliches Design, d. h. alle Eingänge gehen durch ein UND-Gatter und dann fließt der Ausgang dieser UND-Gatter durch ein ODER-Gatter, wie in der folgenden Abbildung gezeigt.

Die Anzahl der Eingänge und die Anzahl der UND-Gatter hängen von dem Ausdruck ab, den man implementiert.

Beispiele für Designs von kanonischen und minimalen SOP-Ausdrücken für eine Funktion sind unten angegeben.

Umwandlung von minimaler SOP in kanonisches SOP-Formular

Die Umwandlung von minimaler oder irgendeiner nicht-kanonischen Form in kanonische Form ist sehr einfach.

Wie wir wissen, hat die kanonische Form min-Terme und min-Terme bestehen aus allen Eingaben, die entweder ergänzt oder nicht ergänzt werden. Also multiplizieren wir jeden Term der minimalen SOP mit der Summe der komplementierten und nicht komplementierten Form der fehlenden Eingabe. Ein Beispiel für die Konvertierung der obigen Funktion in die minimale SOP-Form ist unten angegeben.

F = A̅B + B̅C

Der Begriff A̅B fehlt Input C. Also multiplizieren wir A̅B mit (C+C̅) da (C+C̅ = 1). Der Begriff B̅C fehlt die Eingabe EIN. also wird es multipliziert mit (A+A̅)

F = A̅B(C + C̅) + B̅C(A + A̅)

F = A̅BC + A̅BC̅ + AB̅C + A̅B̅C

Nun, dieser Ausdruck ist in kanonischer Form.

Umstellung von Canonical SOP auf Canonical POS

Der Standard-SOP-Ausdruck kann in den Standard-POS-Ausdruck (Produkt der Summe) umgewandelt werden. For example, the function given above is in canonical SOP form

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

The remaining terms of this function are maxterms for which output is false. These max terms are M0,M4,M6,M7. These Max terms will be used in POS expression as the product of these max terms. The Symbol of Product is ∏.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

The Max terms are the complement of minterms. Which is why m0=(A+B+C).

Conversion from Canonical SOP to Minimal SOP

Canonical SOP can be converted to minimal SOP. It can be converted using Karnaugh map or Boolean algebraic theorems. The K-map method is very easy and its example has been done above in the minimal SOP form.

Product of Sum

Product of Sum abbreviated for POS.

The product of Sum form is a form in which products of different sum terms of inputs are taken. These are not arithmetic product and sum but they are logical Boolean AND and OR respectively.

To better understand about Product of Sum, we need to know about Max term.

Max Term

Maxterm means the term or expression that is true for a maximum number of input combinations or that is false for only one combination of inputs.

Since OR gate also gives false for only one input combination. So Maxterm is OR of either complemented or non-complemented inputs.

Max terms for 3 input variables are given below.

3 inputs have 8 different combinations so it will have 8 maxterms. Maxterms are denoted by capital M and decimal combination number In the subscript as shown in the table given above.

In maxterm, each input is complemented because Maxterm gives ‘0’ only when the mentioned combination is applied and Maxterm is complement of minterm.

m3 = A + B̅ +C̅ DE Morgan’s law

Which is why for A=0 Max term consist A & for A=1 Max term consist A̅.

Types of Product Of Sum Forms

There are different types of Product of Sum forms.

Canonical POS Form

It is also known as Product of Max term or Canonical conjunctive normal form (CCNF). Canonical means standard and conjunctive means intersection.

In this form, Maxterms are AND together for which output is false.

Canonical POS expression is represented by ∏ and Maxterms for which output is false in brackets as shown in the example given below.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

The canonical form contains all inputs either complemented or non-complemented in its each Sum term.

Non – Canonical Form

The product of sum expression that is not in standard form is called non-canonical form.

Let’s take the above-given function as an example.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

F = (B+C) (A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

Same but inverted terms eliminates from two Max terms and form a single term to prove it here is an example.

= AA̅+AB+AC+A̅B+BB+BC+A̅C+BC+CC

= 0+AB+AC+A̅B+A̅C+B+BC+C

= A(B+C)+A̅(B+C)+B(1+C)+C

The expression achieved is still in Product of Sum form but it is non-canonical form.

Minimal POS Form

This is the most simplified and optimized form of a POS expression which is non-canonical. Minimal Product of Sum form can be achieved using Boolean algebraic theorems like in the non-canonical example given above. Another method of achieving minimal POS form is by using Karnaugh map which is comparatively easier than using Boolean algebraic theorems.

Minimal POS form uses less number of inputs and logic gates during its implementation, that’s why they are being preferred over canonical form for their compact,fast and low-cost implementation.

Let’s take the above-given function as example

Minimal expression using K-map

The achieved expression is the minimal product of sum form. It is still Product of Sum expression But it needs only 2 inputs two OR gates and a single 2 input AND gate. However, the canonical form needs 4 OR gates of 3 inputs and 1 AND gate of 4 inputs.

Schematic Design of Product of Sum (POS)

The product of Sum expression has a specific schematic design of OR-AND. In OR-AND the inputs go through an array of OR gates which is the first level of gates, the output of the first level OR gates goes through the second level of the gate,which is an AND gate.

The number of inputs and number of gates used in this design depends upon the expression that is to be implemented.

The canonical form consists of the max number of possible inputs and gates,however, the minimal form consists of the lowest possible number of inputs and gates. The schematic design of canonical and minimal POS form is given below.

Conversion from Minimal POS to Canonical form POS

As we know the canonical form of POS has max terms and max terms contains every input either complemented or non-complemented. So we will add every sum term with the product of complemented and non-complemented missing input. Example of its conversion is given below.

(A̅+B̅) term is missing C input so we will add (CC̅) with it. (B+C) term is missing A input so we will add (AA̅) with it.

F = (A̅+B̅+CC̅) (B+C+AA̅)

F = (A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)(A+B+C)(A̅+B+C)

This expression is now in canonical form.

Conversion From Canonical POS to SOP

The product of Sum expression can be converted into Sum of Product form only if the expression is in canonical form. Canonical POS and canonical SOP are inter-convertible i.e. they can be converted into one another. Example of POS to SOP conversion is given below.

F = (A+B+C)(A̅+B+C)(A̅+B̅+C)(A̅+B̅+C̅)

In canonical form each sum term is a max term so it can also be written as:

The remaining combinations of inputs are minterms of the function for which its output is true. To convert it into SOP expression first we will change the symbol to summation (∑) and use the remaining minterm.

Now we will expand the summation sign to form canonical SOP expression.

F = A̅B̅C + A̅BC̅ + A̅BC + AB̅C

Min terms are complement of Max terms for the same combination of inputs.

Canonical to Minimal POS

A canonical Product of Sum expression can be converted into Minimal Product of sum form by using Karnaugh map (K-map). Another method for converting canonical into minimal is by using Boolean algebraic theorems.

The use of K-map is very easy that is why K-map is preferred. For minimal POS expression, 0’s in K-map are combined into groups and the expression we get is complemented since the groups were made of ‘0’s. Its example has been done above.


How to use SUM & IF function instead for SUMPRODUCT or SUMIFS function in Excel

In this article, we will learn How to use IF function instead of SUMPRODUCT and SUMIFS function in Excel.

In simple words, when working with a long scattered dataset, sometimes we need to find the sum of numbers with some criteria over it. For example, finding the sum of salaries in a particular department or having multiple criterias over date, names, department or can even numbers data like salaries below value or quantity above value. For this you usually use the SUMPRODUCT or SUMIFS function. But you wouldn't believe, you perform the same function with Excel basic function IF function.

How to solve the problem?

You must be thinking how is this possible, to perform logical operations over table arrays using IF function. IF function in excel is very useful, It will get you through some difficult tasks in Excel or any other coding languages. IF function tests conditions on array corresponding to required values and returns the result as array corresponding to True conditions as 1 and False as 0.

For this problem, we will be using the following functions :

We will be requiring these above functions and some basic sense of data operation. logical conditions on arrays can be applied using logical operators. These logic operators work on text and numbers both. Below here is the generic formula. curly braces is the magic tool to perform array formulas with IF function.

Note: For curly braces ( ) Use Ctrl + Shift + Enter when working with arrays or ranges in Excel. This will generate Curly Braces on the formula by default. DO NOT try to hard code curly braces characters.

Logical 1 : tests condition 1 on array 1

Logical 2 : tests condition 2 on array 2 and so on

sum_array : array, operation sum is performed

All of these might be confusing to understand. So, let's test this formula via running it on the example shown below. Here we have data of delivered products to different cities along with corresponding category fields and quantities. Here we have the data and we need to find the quantity of cookies sent to Boston where the quantity be greater than 40.

Data table and criteria table are shown in the above image. For understanding purpose we used named ranges for the used arrays. Named ranges are listed below.

City defined for array A2:A17.

Category defined for array B2:A17.

Quantity defined for array C2:C17.

Now you are ready to get the desired result using the below formula.

  1. City ="Boston" : checks the values in city range to match with "Boston".
  2. Category="Cookies" : checks the values in Category range to match with "Cookies".
  3. Quantity > 40 : checks the values in Quantity range to ma
  4. Quantity be array where sum is required.
  5. IF function checks all criteria and asterisk char (*) multiples all the array results.
  1. Now IF function only returns the quantities corresponding to the 1s and rest are ignored.
  2. SUM function returns the SUM.

Now the quantity corresponding to 1’s only adds up to get the result.


As you can see, quantity 43 is returned but there are three cookie orders delivered to "Boston" having quantity 38, 36 and 43. We needed a sum of quantity where quantity be above 40. So the formula returns 43 only. Now use other criteria to get the SUM Quantity for City : "Los Angeles" & Category : "Bars" & Quantity be less than 50.

As you can see, the formula returns the values 86 as result. Which is the sum of 2 orders satisfying the conditions having quantity 44 & 42. This article, illustrates how to replace a nested IF formula with a single IF in an array formula. This can be used to reduce complexity in complex formulas. However, This particular problem could be easily solved with SUMIFS or SUMPRODUCT function.

Use of SUMPRODUCT function:

SUMPRODUCT function returns the sum of corresponding values in the array. So we will get the arrays to returns 1s a the True statement values and 0s to the False statement values. So last sum will be corresponding where all statements stands True.

= SUMPRODUCT ( -- (City = "Boston") , -- (Category = "Cookies") , -- (Quantity > 40) , Quantity )

-- : operation used to convert all TRUEs to 1s and False to 0.

SUMPRODUCT function rechecks the SUM of quantity returned by the SUM and IF function explained above.

Similarly for the second example the result stands the same.

As you can see SUMPRODUCT function can perform the same task.

Here are all the observational notes regarding using the formula.

  1. The sum_array in the formula only works with numbers.
  2. If the formula returns #VALUE error, check for the curly braces must be present in the formula as shown in the examples in the article.
  3. Negation (--) char changes values, TRUEs or 1s to FALSEs or 0s and FALSEs or 0s to TRUEs or 1s .
  4. Operations like equals to ( = ), less than equal to ( <= ), greater than ( > ) or not equals to ( <> ) can be performed within a formula applied, with numbers only.

Hope this article about How to use IF function instead of SUMPRODUCT and SUMIFS function in Excel is explanatory. Find more articles on Summing formulas here. If you liked our blogs, share it with your fristarts on Facebook . And also you can follow us on Twitter and Facebook . We would love to hear from you, do let us know how we can improve, complement or innovate our work and make it better for you. Write us at [email protected]

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