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15: Lateinische Quadrate - Mathematik


15: Lateinische Quadrate - Mathematik

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Latin Square Designs werden wahrscheinlich nicht so oft verwendet, wie sie sein sollten - es sind sehr effiziente Designs. Lateinische quadratische Designs ermöglichen zwei Blockierungsfaktoren. Mit anderen Worten, diese Designs werden verwendet, um gleichzeitig zu kontrollieren (oder zu eliminieren) zwei Quellen für störende Variabilität. Wenn Sie beispielsweise ein Grundstück haben, kann sich die Fruchtbarkeit dieses Landes aufgrund von Boden- oder Feuchtigkeitsgradienten in beide Richtungen ändern, Nord – Süd und Ost – West. Als Sperrfaktoren können also sowohl Zeilen als auch Spalten verwendet werden. Sie können lateinische Quadrate jedoch in vielen anderen Einstellungen verwenden. Wie wir sehen werden, können lateinische Quadrate ebenso wie das RCBD in industriellen Experimenten sowie in anderen Experimenten verwendet werden.

Wenn Sie mehr als einen Blockierungsfaktor haben, können Sie mit einem lateinischen Quadrat-Design die Variation für diese beiden Quellen aus der Fehlervariation entfernen. Nehmen wir also an, wir hätten ein Grundstück, wir könnten es in Spalten und Zeilen blockiert haben, d.h. jede Zeile ist eine Ebene des Zeilenfaktors und jede Spalte ist eine Ebene des Spaltenfaktors. Wir können die Abweichung aus unserer gemessenen Antwort in beide Richtungen entfernen, wenn wir sowohl Zeilen als auch Spalten als Faktoren in unserem Design berücksichtigen.

Das Latin Square Design hat seinen Namen von der Tatsache, dass wir es als Quadrat mit lateinischen Buchstaben schreiben können, um den Behandlungen zu entsprechen. Die Behandlungsfaktorstufen sind die lateinischen Buchstaben im lateinischen Quadratdesign. Die Anzahl der Zeilen und Spalten muss der Anzahl der Behandlungsstufen entsprechen. Wenn wir also vier Behandlungen haben, müssten wir vier Zeilen und vier Spalten haben, um ein lateinisches Quadrat zu erstellen. Dies gibt uns ein Design, bei dem wir jede der Behandlungen und in jeder Zeile und in jeder Spalte haben.

Jede Behandlung findet in jeder Spalte und Zeile statt

Dies ist nur eines von vielen 4×4-Quadraten, die Sie erstellen können. Tatsächlich können Sie für jede beliebige Anzahl von Behandlungen ein beliebig großes Quadrat erstellen - es muss nur die folgende Eigenschaft zugeordnet sein - dass jede Behandlung nur einmal in jeder Zeile und einmal in jeder Spalte vorkommt.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel in einer industriellen Umgebung: Die Zeilen sind die Rohstoffcharge, die Spalten sind der Bediener der Ausrüstung und die Behandlungen (A, B, C und D) sind ein industrieller Prozess oder ein industrielles Protokoll zur Herstellung eines bestimmten Produkts.

(y_ = mu + ho_i + eta_j + au_k + e_)

(N = t^2) (die Anzahl der Zeilen mal die Anzahl der Spalten) und T ist die Anzahl der Behandlungen.

Beachten Sie, dass ein lateinisches Quadrat ein unvollständiges Design ist, was bedeutet, dass es keine Beobachtungen für alle möglichen Kombinationen von enthält ich, J und k. Deshalb verwenden wir die Notation (k = d(i, j)). Sobald wir die Zeile und Spalte des Designs kennen, wird die Behandlung festgelegt. Mit anderen Worten, wenn wir wissen ich und J, dann k wird durch das Latin Square Design spezifiziert.

Diese Eigenschaft wirkt sich darauf aus, wie wir Mittelwerte und Quadratsummen berechnen. Aus diesem Grund können wir den Befehl ausgeglichene ANOVA in Minitab nicht verwenden, obwohl er perfekt ausgeglichen aussieht. Wir werden später sehen, dass Sie den Befehl ausgeglichene ANOVA in Minitab nicht verwenden können, obwohl er die Eigenschaft der Orthogonalität besitzt, da er nicht vollständig ist.

Eine Annahme, die wir bei der Verwendung eines lateinischen Quadrats machen, ist, dass die drei Faktoren (Behandlungen und zwei Störfaktoren) nicht interagieren. Wenn diese Annahme verletzt wird, wird der Begriff des Entwurfsfehlers des lateinischen Quadrats überhöht.

Das Randomisierungsverfahren für die Zuweisung von Behandlungen, die Sie verwenden möchten, wenn Sie tatsächlich ein Lateinisches Quadrat anwenden, ist etwas eingeschränkt, um die Struktur des Lateinischen Quadrats zu erhalten. Die ideale Randomisierung wäre, ein Quadrat aus der Menge aller möglichen lateinischen Quadrate der angegebenen Größe auszuwählen. Ein praktischeres Randomisierungsschema wäre jedoch, zufällig ein standardisiertes lateinisches Quadrat auszuwählen (diese sind tabellarisch aufgeführt) und dann:

  1. die Spalten zufällig permutieren,
  2. permutieren Sie die Zeilen nach dem Zufallsprinzip, und dann
  3. Ordnen Sie die Behandlungen den lateinischen Buchstaben nach dem Zufallsprinzip zu.

Betrachten Sie eine Werkseinstellung, in der Sie ein Produkt mit 4 Bedienern und 4 Maschinen herstellen. Wir nennen die Spalten die Operatoren und die Reihen die Maschinen. Dann können Sie die spezifischen Operatoren einer Zeile und die spezifischen Maschinen einer Spalte nach dem Zufallsprinzip zuweisen. Die Behandlung ist eines von vier Protokollen zur Herstellung des Produkts und unser Interesse gilt der durchschnittlichen Zeit, die für die Herstellung jedes Produkts benötigt wird. Wenn sowohl die Maschine als auch der Bediener einen Einfluss auf die Produktionszeit haben, dann wird durch die Verwendung eines Latin Square Designs diese maschinen- oder bedienerbedingte Abweichung effektiv aus der Analyse entfernt.

Die folgende Tabelle gibt die Freiheitsgrade für die Terme im Modell an.


Inhalt

Die Analyse von Sudoku gliedert sich in zwei Hauptbereiche:

  1. Analyse der Eigenschaften fertiger Gitter
  2. Analysieren der Eigenschaften abgeschlossener Puzzles.

Die anfängliche Analyse konzentrierte sich hauptsächlich auf die Aufzählung von Lösungen, wobei die Ergebnisse erstmals im Jahr 2004 erschienen. [1]

Es gibt viele Sudoku-Varianten, teilweise gekennzeichnet durch Größe (n) und die Form ihrer Regionen. Sofern nicht anders angegeben, geht die Diskussion in diesem Artikel vom klassischen Sudoku aus, d.h. n=9 (ein 9×9-Gitter und 3×3-Regionen). Ein rechteckiges Sudoku verwendet rechteckige Bereiche mit Zeilen-Spalten-Dimension R×C. Andere Varianten sind solche mit unregelmäßig geformten Bereichen oder mit zusätzlichen Einschränkungen (Hypercube) oder anderen Einschränkungstypen (Samunamupure).

Regionen werden auch genannt Blöcke oder Kisten. EIN Band ist ein Teil des Rasters, das 3 Reihen und 3 Kästchen umschließt, und a Stapel ist ein Teil des Rasters, das 3 Spalten und 3 Kästchen umfasst. EIN Puzzle ist eine teilweise abgeschlossene Netz, und die Anfangswerte sind gibt oder Hinweise. EIN richtig Puzzle hat eine einzigartige Lösung. EIN minimal Puzzle ist ein richtiges Puzzle, aus dem kein Hinweis entfernt werden kann, ohne zusätzliche Lösungen einzuführen. Weitere Terminologie finden Sie im Glossar von Sudoku. [2]

Das Lösen von Sudokus aus der Sicht eines Spielers wurde in Denis Berthiers Buch "The Hidden Logic of Sudoku" (2007) [3] untersucht, das Strategien wie "versteckte xy-Ketten" betrachtet.

Mathematischer Kontext Bearbeiten

Das allgemeine Problem beim Lösen von Sudoku-Rätseln auf n 2 ×n 2 Gitter von n×n Blöcke sind bekanntlich NP-vollständig. [4] Für n=3 (klassisches Sudoku), ist dieses Ergebnis jedoch von geringer praktischer Relevanz: Algorithmen wie Dancing Links können aufgrund der geringen Größe des Problems Rätsel in Bruchteilen einer Sekunde lösen. [ Zitat benötigt ]

Ein Puzzle kann als ein Diagrammfarbproblem ausgedrückt werden. [5] Ziel ist es, eine 9-Färbung eines bestimmten Graphen zu konstruieren, wenn eine partielle 9-Färbung gegeben ist. Der Sudoku-Graph hat 81 Scheitelpunkte, einen Scheitelpunkt für jede Zelle. Die Scheitelpunkte sind mit geordneten Paaren (x, ja), wo x und ja sind ganze Zahlen zwischen 1 und 9. In diesem Fall sind zwei unterschiedliche Scheitelpunkte mit (x, ja) und (x′, ja′) sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn:

  • x = x′ (gleiche Spalte) oder,
  • ja = ja′ (gleiche Reihe) oder,
  • x/3 ⌉ = ⌈ x′/3 ⌉ und ⌈ ja/3 ⌉ = ⌈ ja′/3 ⌉ (gleiche 3×3-Zelle)

Das Puzzle wird dann vervollständigt, indem jedem Scheitelpunkt eine ganze Zahl zwischen 1 und 9 zugewiesen wird, sodass Scheitelpunkten, die durch eine Kante verbunden sind, nicht dieselbe ganze Zahl zugewiesen ist.

Ein Sudoku-Lösungsraster ist auch ein lateinisches Quadrat. [5] Es gibt deutlich weniger Sudoku-Gitter als lateinische Quadrate, weil Sudoku die zusätzliche regionale Einschränkung auferlegt.

Sudokus von Gruppentabellen Bearbeiten

Wie bei den lateinischen Quadraten können auch die (Additions- oder) Multiplikationstafeln (Cayleytafeln) endlicher Gruppen verwendet werden, um Sudokus und verwandte Zahlentafeln zu konstruieren. Es sind nämlich Untergruppen und Quotientengruppen zu berücksichtigen:

Unter dieser Sicht schreiben wir das Beispiel auf, Raster 1, für n = 3 .

Damit diese Methode funktioniert, braucht man in der Regel kein Produkt aus zwei gleich großen Gruppen. Eine sogenannte kurze exakte Folge endlicher Gruppen entsprechender Größe erledigt bereits die Arbeit. Versuchen Sie zum Beispiel die Gruppe Z 4 _<4>> mit Quotienten- und Untergruppe Z 2 _<2>> . Es scheint klar (schon aus Aufzählungsargumenten), dass nicht alle Sudokus auf diese Weise erzeugt werden können.

Varianten Bearbeiten

Ein Sudoku kann als Kachelung (oder Abdeckung) eines lateinischen Quadrats mit Polyominos (der Regionen des Sudokus). Das klassische 9×9-Sudoku besteht aus quadratischen Nonominos. Es ist möglich, die Sudoku-Regeln auf Puzzles anderer Größe anzuwenden, allerdings nur n 2 ×n 2 Sudoku-Rätsel können mit quadratischen Polyominos gekachelt werden.

Eine erweiterte Liste der Varianten finden Sie im Glossar von Sudoku.

Rechteckige Regionen Bearbeiten

Eine beliebte Variante sind rechteckige Bereiche (Blöcke oder Kisten) – zum Beispiel 2×3 Hexominos, die in einem 6×6-Raster gekachelt sind. Zur Diskussion dieser Variante wird folgende Notation verwendet:

  • R×C bezeichnet einen rechteckigen Bereich mit R Reihen und C Säulen.
  • Die implizierte Rasterkonfiguration hat:
    • Rastermaße n×n, wo n = R×C
    • nBlöcke (Kisten) der Größe R×C, angeordnet in a C×R 'Supergitter'
    • CBands der Größe R×n, bestehend aus R horizontal benachbarte Blöcke
    • RStapel der Größe n×C, bestehend aus C vertikal benachbarte Blöcke

    Sudoku mit Quadrat n×n Regionen sind symmetrischer als rechteckige Sudoku, da sich jede Zeile und Spalte überschneidet n Regionen und Aktien n Zellen mit jedem. Die Anzahl der Bänder und Stapel ist ebenfalls gleich n. Das "3×3"-Sudoku ist zusätzlich einzigartig: n ist auch die Anzahl der Zeilen-Spalten-Region-Beschränkungen aus dem Eine Regel (d.h. es gibt n=3 Arten von Einheiten).

    Puzzle-Sudokus Bearbeiten

    Ein Sudoku, dessen Regionen nicht (notwendigerweise) quadratisch oder rechteckig sind, wird als Jigsaw Sudoku bezeichnet. Insbesondere ein n×n Quadrat, wo n is prime kann nur mit unregelmäßigen Fliesen verfliest werden n-Ominos. Für kleine Werte von n die Anzahl der Möglichkeiten, das Quadrat zu kacheln (ohne Symmetrien) wurde berechnet (Sequenz A172477 im OEIS). [6] Für n ≥ 4 einige dieser Kacheln sind mit keinem lateinischen Quadrat kompatibel, d. h. alle Sudoku-Rätsel auf einer solchen Kachel haben keine Lösung. [6]

    Die Antwort auf die Frage 'Wie viele Sudoku-Gitter gibt es?' hängt von der Definition ab, wann ähnliche Lösungen als unterschiedlich angesehen werden.

    Gewöhnliches Sudoku Bearbeiten

    Alle Lösungen Bearbeiten

    Für die Aufzählung von alle mögliche Lösungen werden zwei Lösungen als unterschiedlich betrachtet, wenn sich einer ihrer entsprechenden (81) Zellenwerte unterscheidet. Symmetriebeziehungen zwischen ähnlichen Lösungen werden ignoriert, z.B. die Drehungen einer Lösung werden als verschieden betrachtet. Symmetrien spielen bei der Aufzählungsstrategie eine bedeutende Rolle, jedoch nicht bei der Zählung von alle mögliche Lösungen.

    Die erste bekannte Lösung zur vollständigen Aufzählung wurde von QSCGZ (Günter Stertenbrink) an die rec.puzzles Newsgroup im Jahr 2003, [7] [8] [9] Erhalten 6,670,903,752,021,072,936,960 (6,67 × 10 21 ) verschiedene Lösungen.

    In einer Studie aus dem Jahr 2005 analysierten Felgenhauer und Jarvis [10] [9] die Permutationen der oberen Bande, die in validen Lösungen verwendet wurden. Nachdem die Band1-Symmetrien und Äquivalenzklassen für die Teilgitterlösungen identifiziert waren, wurden die Vervollständigungen der unteren beiden Bänder konstruiert und für jede Äquivalenzklasse gezählt. Durch Summieren der Vervollständigungen über die Äquivalenzklassen, gewichtet nach Klassengröße, ergibt sich die Gesamtzahl der Lösungen von 6.670.903.752.021.072.936.960, was den von QSCGZ ermittelten Wert bestätigt. Der Wert wurde anschließend unabhängig voneinander mehrfach bestätigt. Später wurde eine zweite Aufzählungstechnik basierend auf der Bandgenerierung entwickelt, die deutlich weniger rechenintensiv ist. Diese nachfolgende Technik führte dazu, dass ungefähr 1/97 der Anzahl von Rechenzyklen als die ursprünglichen Techniken benötigt wurden, war jedoch wesentlich komplizierter einzurichten.

    Im Wesentlichen unterschiedliche Lösungen Bearbeiten

    Gültigkeitserhaltende Transformationen Bearbeiten

    Zwei gültige Raster sind im Wesentlichen dasselbe, wenn man das eine vom anderen ableiten kann, indem man ein sogenanntes gültigkeitserhaltende Transformation (VPT). Diese Transformationen transformieren immer ein gültiges Gitter in ein anderes gültiges Gitter. Es gibt zwei Haupttypen: Symbolpermutationen (Relabeling) und Zellpermutationen (Rearrangements). Sie sind:

    • Symbole umbenennen (9!)
      (Sobald alle möglichen Umbenennungskombinationen eliminiert sind, bis auf eine: Wenn beispielsweise die oberste Reihe auf [123456789] fixiert bleibt, reduziert sich die Anzahl der festen Raster auf 18.383.222.420.692.992. Dieser Wert ist 6.670.903.752.021.072.936.960 geteilt durch 9!)

    und neu anordnen (mischen):

    • Bandpermutationen (3!)
    • Zeilenpermutationen innerhalb eines Bandes (3!×3!×3!)
    • Stapel-Permutationen (3!)
    • Spaltenpermutationen innerhalb eines Stapels (3!×3!×3!)
    • Reflexion, Transposition und Rotation (2)
      (Bei einer einzigen Transposition oder Vierteldrehung in Verbindung mit den obigen Permutationen kann jede Kombination von Reflexionen, Transpositionen und Drehungen erzeugt werden, so dass diese Operationen nur einen Faktor von 2 beitragen)

    Diese Operationen definieren eine Beziehung zwischen äquivalenten Gittern. Bezüglich der 81 Gitterzellenwerte bilden die Umordnungsoperationen eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe S81, Ordnung 3! 8 × 2 = 3.359.232. Die Umetikettierungsoperationen sind isomorph mit S9 und generieren Sie eine zusätzliche 9! = 362.880 äquivalente Gitter. Die Anwendung dieser Operationen auf ein Gitter ergibt 3! 8×2×9! oder 1.218.998.108.160 im Wesentlichen äquivalente Raster. Es gibt jedoch eine kleine Anzahl von Sudokus, für die die obigen Operationen weniger Gitter erzeugen, dies sind die selbstähnlichen oder automorphen Sudokus. Nur etwa 0,01% aller im Wesentlichen eindeutigen Gitter sind automorph, [11] aber das Zählen ist notwendig, um die genaue Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Sudokus zu bewerten.

    Die Sudoku-Symmetriegruppe Bearbeiten

    Die genaue Struktur der Sudoku-Symmetriegruppe kann mit dem Kranzprodukt (≀) prägnant ausgedrückt werden. Die möglichen Zeilen- (oder Spalten-) Permutationen bilden eine zu isomorphe Gruppe S3S3 der Ordnung 3! 4 = 1.296. [12] Die gesamte Umlagerungsgruppe wird gebildet, indem man die Transpositionsoperation (isomorph zu C2) wirken auf zwei Kopien dieser Gruppe, eine für die Zeilenpermutationen und eine für die Spaltenpermutationen. Das ist S3S3C2, eine Gruppe der Ordnung 1.296 2 × 2 = 3.359.232. Schließlich kommutieren die Umetikettierungsoperationen mit den Umordnungsoperationen, sodass die vollständige Sudoku (VPT)-Gruppe (S3S3C2) × S9 der Bestellung 1.218.998.108.160.

    Fixpunkte und Burnsides Lemma Bearbeiten

    Die Menge der äquivalenten Gitter, die mit diesen Operationen (ohne Umetikettierung) erreicht werden kann, bildet unter der Wirkung der Umordnungsgruppe eine Umlaufbahn von Gittern. Die Anzahl der wesentlich unterschiedlichen Lösungen ist dann die Anzahl der Umlaufbahnen, die mit dem Lemma von Burnside berechnet werden können. Die Burnside Fixpunkte sind Gitter, die sich bei der Umordnungsoperation entweder nicht ändern oder sich nur durch Umbenennung unterscheiden. Zur Vereinfachung der Berechnung werden die Elemente der Umordnungsgruppe in Konjugationsklassen einsortiert, deren Elemente alle die gleiche Anzahl von Fixpunkten haben. Es stellte sich heraus, dass nur 27 der 275 Konjugationsklassen der Umordnungsgruppe Fixpunkte haben [13] diese Konjugationsklassen repräsentieren die verschiedenen Symmetrietypen (Selbstähnlichkeit oder Automorphismus), die in vollständigen Sudoku-Gittern zu finden sind. Mit dieser Technik berechneten Ed Russell und Frazer Jarvis als erste die Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Sudoku-Lösungen als 5,472,730,538. [13] [14]

    Anzahl der festen Gitter
    (bis zur Umetikettierung),

    Anzahl der festen Gitter
    (bis zur Umetikettierung),

    Beachten Sie, dass ein Gitter ein Fixpunkt mehrerer Transformationen gleichzeitig sein kann, zum Beispiel hat jedes Gitter, das eine Vierteldrehungssymmetrie hat, auch eine Halbdrehungssymmetrie. Die Kombination aller Transformationen, die ein bestimmtes Gitter fixieren, ist die Stabilisatoruntergruppe ("Automorphismusgruppe") dieses Gitters.

    Stabilisator-Untergruppen Bearbeiten

    Russell hat eine Liste von 122 "wesentlich unterschiedlichen" nicht-trivialen Stabilisator-Untergruppen-Konjugationsklassen ("Automorphismus-Gruppen") zusammengestellt, [16] [17] zusammen mit einem Beispielraster, den VPT-Konjugationsklassen in der Gruppe, einem Satz von Generatoren und die Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Gitter (Orbits) mit dieser Stabilisatorklasse. Bis auf Isomorphie gibt es 26 verschiedene Gruppenstrukturen. [18] Es gibt 15 verschiedene mögliche Stabilisatorgruppengrößen, die im nächsten Abschnitt aufgelistet sind.

    Anzahl im Wesentlichen äquivalenter Gitter Bearbeiten

    Jedes der im Wesentlichen einzigartigen Gitter kann auf Selbstähnlichkeiten ("Automorphismen") analysiert werden [11], um den "Mangel" in der Anzahl von im Wesentlichen äquivalenten Gittern zu bewerten. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Insgesamt haben 560.151 der 5.472.730.538 im Wesentlichen einzigartigen Gitter (ca. 0,01%) eine Form von Selbstähnlichkeit (ein nicht trivialer Stabilisator).

    Die Größe der Umlaufbahn (d. h. die Anzahl der im Wesentlichen äquivalenten Gitter) kann mit dem Orbit-Stabilisator-Theorem berechnet werden: Es ist die Größe der Sudoku-Symmetriegruppe geteilt durch die Größe der Stabilisator- (oder "Automorphismus")-Gruppe. Das Multiplizieren der Anzahl der im Wesentlichen einzigartigen Gitter (der Anzahl der Umlaufbahnen) mit der Umlaufbahngröße ergibt die Gesamtanzahl der Gitter mit dieser Stabilisatorgruppengrößensummierung und liefert dann wiederum die Gesamtanzahl der möglichen Sudoku-Gitter. "Automorphe" Gitter haben kleinere Umlaufbahnen, so dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufälliges Gitter eine Symmetrie hat, sinkt: von ungefähr 1 zu 10.000 für im Wesentlichen verschiedene Gitter auf ungefähr 1 zu 20.000 für alle Gitter.

    Anzahl der Sudoku-Raster nach Stabilisatorgruppengröße [11]
    Größe von
    Stabilisator
    Gruppe
    Anzahl im Wesentlichen
    einzigartige Gitter
    (Anzahl der Umlaufbahnen)
    Äquivalente Gitter
    (Bahngröße),
    Umbenennung ignorieren
    Anzahl Gitter,
    Umbenennung ignorieren
    Äquivalente Gitter (Bahngröße),
    inklusive Umetikettierung
    Gesamtzahl der Gitter
    1 5,472,170,387 3,359,232 18,382,289,873,462,784 1,218,998,108,160 6,670,565,349,282,175,057,920
    2 548,449 1,679,616 921,183,715,584 609,499,054,080 334,279,146,711,121,920
    3 7,336 1,119,744 8,214,441,984 406,332,702,720 2,980,856,707,153,920
    4 2,826 839,808 2,373,297,408 304,749,527,040 861,222,163,415,040
    6 1,257 559,872 703,759,104 203,166,351,360 255,380,103,659,520
    8 29 419,904 12,177,216 152,374,763,520 4,418,868,142,080
    9 42 373,248 15,676,416 135,444,234,240 5,688,657,838,080
    12 92 279,936 25,754,112 101,583,175,680 9,345,652,162,560
    18 85 186,624 15,863,040 67,722,117,120 5,756,379,955,200
    27 2 124,416 248,832 45,148,078,080 90,296,156,160
    36 15 93,312 1,399,680 33,861,058,560 507,915,878,400
    54 11 62,208 684,288 22,574,039,040 248,314,429,440
    72 2 46,656 93,312 16,930,529,280 33,861,058,560
    108 3 31,104 93,312 11,287,019,520 33,861,058,560
    162 1 20,736 20,736 7,524,679,680 7,524,679,680
    648 1 5,184 5,184 1,881,169,920 1,881,169,920
    >1 560,151 932,547,230,208 338,402,738,897,879,040
    5,472,730,538 18,383,222,420,692,992 6,670,903,752,021,072,936,960

    Andere Varianten Bearbeiten

    Für viele Sudoku-Varianten wurden Aufzählungsergebnisse berechnet: Diese sind im Folgenden zusammengefasst.

    Sudoku mit zusätzlichen Einschränkungen Bearbeiten

    Im Folgenden sind alle Einschränkungen des klassischen 3×3-Sudoku (9×9-Raster) aufgeführt. Die Typennamen wurden nicht standardisiert: Klicken Sie auf die Zuordnungslinks, um die Definitionen anzuzeigen. Das gewöhnliche Sudoku ist zum Vergleich in der letzten Zeile enthalten.

    Typ Anzahl Gitter Namensnennung Verifiziert?
    Quasi-Magisches Sudoku 248,832 Jones, Perkins und Roach [19] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    Magisches Sudoku 5,971,968 Stertenbrink [20] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    Hyperwürfel 37,739,520 Stertenbrink [21] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    3doku 104,015,259,648 Stertenbrink [22] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    NRC Sudoku 6,337,174,388,428,800 Brouwer [23] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    Sudoku X 55,613,393,399,531,520 Russel [24] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    Disjunkte Gruppen 201,105,135,151,764,480 Russel [25] Jawohl [ Zitat benötigt ]

    Sudoku mit rechteckigen Regionen Bearbeiten

    In der Tabelle sind die Blockabmessungen die der Regionen (z. B. 3×3 im normalen Sudoku). Die Spalte „Rel Err“ gibt an, wie sich eine einfache Näherung [26] basierend auf berechneten Bandzahlen (detailliert in den folgenden Abschnitten) mit der wahren Gitterzahl vergleichen lässt: Sie ist in allen bisher ausgewerteten Fällen eine Unterschätzung. Die Zahlen für quadratische Blockraster (n 2 × n 2 ) sind aufgelistet in (Sequenz A107739 im OEIS), und die Zahlen für 2 × n Blöcke (2n × 2n Gitter) sind in (Sequenz A291187 im OEIS) aufgeführt.

    Ähnlich wie bei lateinischen Quadraten kann die Anzahl der Sudoku-Raster betragen reduziert indem man feststellt, dass es eine Eins-zu-Eins-Entsprechung mit einer teilweise standardisierten Form gibt, bei der der erste Block die kanonischen Labels hat und sowohl die oberste Zeile als auch die ganz linke Spalte sortiert sind (so weit die Regeln es erlauben, dh innerhalb von Blöcken und die Stacks/Bands selbst). Für ein Gitter mit R × C Blöcken entspricht jedes dieser reduzierten Gitter

    Ein gelöstes Sudoku bleibt unter den Einwirkungen der gültigkeitserhaltenden Transformationen gültig (siehe auch Jarvis [13] ). Durch sorgfältiges Zählen der Anzahl der invarianten Gitter für jede Transformation kann man die Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Sudoku-Gitter berechnen (siehe oben). Ähnliche Methoden wurden auf Sudoku-Gitter anderer Dimensionen angewendet. Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle zusammengefasst. Bei quadratischen Blockgittern (Sequenz A109741 im OEIS) kann die Transpositionstransformation (siehe unten) in die VPT-Gruppe (Symmetrie) aufgenommen werden oder nicht. Die Anzahl der im Wesentlichen unterschiedlichen Gitter kann geschätzt werden, indem die Gesamtanzahl der Gitter (entweder bekannt oder geschätzt) durch die Größe der VPT-Gruppe (die leicht berechnet wird) geteilt wird, was im Wesentlichen davon ausgeht, dass die Anzahl der automorphen Sudokus vernachlässigbar ist. Die Zahlen für 2 × n Blöcke (2n × 2n Gitter) sind in (Sequenz A291188 im OEIS) aufgeführt.

    Schätzmethode Bearbeiten

    Die Methode von Kevin Kilfoil [49] (verallgemeinert von Pettersen [26] ) kann verwendet werden, um die Anzahl der abgeschlossenen Gitter unter Verwendung der Anzahl möglicher abgeschlossener Bänder und Stapel abzuschätzen. Das Verfahren behauptet, dass die Sudoku-Zeilen- und Spaltenbeschränkungen in erster Näherung bedingt unabhängig sind, wenn die Boxbeschränkung gegeben ist. Das gibt dem Kilfoil-Silber-Pettersen-Formel: [26]

    Diese Schätzung hat sich für das klassische 9×9-Gitter mit einer Genauigkeit von ca. 0,2 % und für größere Gitter, für die genaue Werte bekannt sind, innerhalb von 1 % als genau erwiesen (siehe Tabelle oben).

    Anzahl der Bänder Bearbeiten

    der äußere Summand wird von allen übernommen ein,B,C so dass 0≤ein,B,C und ein+B+C=2C. der innere Summand wird von allen übernommen k12,k13,k14,k23,k24,k34 ≥ 0 so dass k12,k34ein und k13,k24B und k14,k23C und k12+k13+k14 = eink12+k23+k24 = Bk13+Ck23+k34 = Ck14+Bk24+eink34 = C

    Die äußere Summation entspricht einer Aufteilung des Bandes in zwei "Unterbänder" von je 2 Kästchen die Zahlen ein, B und C beschreiben die Aufteilung und müssen für beide Teilbänder übereinstimmen, damit der Summand quadriert werden kann.

    Die Split-Variablen werden wie folgt beschrieben: "ein ist die Anzahl der Symbole in Zeile 1 und 2 in den ersten Kästchen (d. h. Symbole, die sich entweder in Zeile 1 in Kästchen 1 und Zeile 2 in Kästchen 2 befinden ODER in Zeile 1 in Kästchen 2 und Zeile 2 in Kästchen 1). Es wird dann auch die Anzahl der Symbole in den Zeilen 3 und 4 in den ersten beiden Kästchen, sowie die Anzahl der Symbole in den Zeilen 1 und 2 in den beiden letzten Kästchen und die Anzahl der Symbole in den Zeilen 3 und 4 in den die ersten beiden Kisten. B ist die Anzahl der Symbole in Zeile 1 und 3 in den ersten beiden Kästchen, zusammen mit anderen Kombinationen wie für die Variable ein. C ist die Anzahl der Symbole in Zeile 1 und 4 in den ersten beiden Kästchen." [50]

    Die innere Summation zählt die Anzahl der Teilbänder für ein gegebenes ein,B,C Spezifikation: "Unter den ein Symbole, die in Zeile 1 und 2 in Box 1 und 2 liegen, k12 zählt, wie viele davon in Reihe 1 in Box 1 liegen (und damit auch in Reihe 2 in Box 2). Im Allgemeinen für ich<J, unter den Symbolen in der Reihe ich und J in den ersten beiden Kästchen kij sagt, wie viele von ihnen in einer Reihe sind ich in Box 1 und Reihe J in Kasten 2." [50]

    Einige bekannte Bandzahlen sind unten aufgeführt. Petersens Algorithmus, [53] wie er von Silver implementiert und verbessert wurde, [54] teilt das Band in Teilbänder auf, die dann in Äquivalenzklassen eingeteilt werden BR,C.

    Maße Anzahl der Bänder Namensnennung Verifiziert?
    Band Blöcke
    3×6 3×2 6! × 2! 6 × 10 = 460800 Pettersen (Formel)
    3×9 3×3 9! × 3! 6 × 56 = 9! × 2612736 = 948109639680 ≈ 9,4811 × 10 11 (44 Äquivalenzklassen [10] [55] ) Verschiedene [10] [30]
    3×12 3×4 12! × 4! 6 × 346 = 31672366418991513600 ≈ 3.1672 × 10 19 Stertenbrink [ Zitat benötigt ] Ja [56]
    3×15 3×5 15! × 5! 6 × 2252 ≈ 8.7934 × 10 27 Pettersen (Formel) [37]
    (größere 3×C-Werte können leicht mit der oben angegebenen Formel berechnet werden)
    4×8 4×2 8! × 2! 12 × 5016 = 828396011520 ≈ 8.2840 × 10 11 [ Zitat benötigt ]
    4×12 4×3 12! × 3! 12 × 2180544 = 2273614462643364849254400 ≈ 2.2736 × 10 24 Petersen [30] Ja [56]
    4×16 4×4 16! × 4! 12 × 1273431960 ≈ 9.7304 × 10 38 Silber [38] [57] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    4×20 4×5 20! × 5! 12 × 879491145024 ≈ 1.9078 × 10 55 Russell [57] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    4×24 4×6 24! × 6! 12 × 677542845061056 ≈ 8.1589 × 10 72 Russell [57] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    4×28 4×7 28! × 7! 12 × 563690747238465024 ≈ 4.6169 × 10 91 Russell [57] Jawohl [ Zitat benötigt ]
    (Berechnungen bis 4×100 wurden von Silver durchgeführt, [58] sind aber hier nicht aufgeführt)
    5×10 5×2 10! × 2! 20 × 364867776 ≈ 1,3883 × 10 21 (355 Äquivalenzklassen [33] ) [ Zitat benötigt ] Nein
    5×15 5×3 15! × 3! 20 × 324408987992064 ≈ 1.5510 × 10 42 Silber [39] Ja gleicher Autor, andere Methode
    5×20 5×4 20! × 4! 20 × 518910423730214314176 ≈ 5.0751 × 10 66 Silber [39] Ja gleicher Autor, andere Methode
    5×25 5×5 25! × 5! 20 × 1165037550432885119709241344 ≈ 6.9280 × 10 93 Pettersen / Silber [40] Nein
    5×30 5×6 30! × 6! 20 × 3261734691836217181002772823310336 ≈ 1.2127 × 10 123 Pettersen / Silber [40] Nein
    5×35 5×7 35! × 7! 20 × 10664509989209199533282539525535793414144 ≈ 1.2325 × 10 154 Pettersen / Silber [59] Nein
    5×40 5×8 40! × 8! 20 × 39119312409010825966116046645368393936122855616 ≈ 4.1157 × 10 186 Pettersen / Silber [54] Nein
    5×45 5×9 45! × 9! 20 × 156805448016006165940259131378329076911634037242834944 ≈ 2.9406 × 10 220 Pettersen / Silber [ Zitat benötigt ] Nein
    5×50 5×10 50! × 10! 20 × 674431748701227492664421138490224315931126734765581948747776 ≈ 3.2157 × 10 255 Pettersen / Silber [ Zitat benötigt ] Nein
    6×12 6×2 12! × 2! 30 × 9480675056071680 = 4876139207527966044188061990912000 ≈ 4.8761 × 10 33 Petersen [60] Nein

    Mindestanzahl der Angaben Bearbeiten

    Gewöhnliche Sudokus (richtig Rätsel) haben eine einzigartige Lösung. EIN minimal Sudoku ist ein Sudoku, von dem kein Hinweis entfernt werden kann, so dass es ein richtiges Sudoku bleibt. Verschiedene minimale Sudokus können eine unterschiedliche Anzahl von Hinweisen haben. In diesem Abschnitt wird die minimale Anzahl von gegebenen Bedingungen für richtige Rätsel beschrieben.


    Inhalt

    Lösbarkeit Bearbeiten

    Johnson & Story (1879) verwendete ein Paritätsargument, um zu zeigen, dass die Hälfte der Startpositionen für die n Rätsel sind unmöglich zu lösen, egal wie viele Züge gemacht werden. Dies geschieht, indem eine Funktion der Kachelkonfiguration betrachtet wird, die bei jeder gültigen Bewegung invariant ist, und diese dann verwendet wird, um den Raum aller möglichen beschrifteten Zustände in zwei Äquivalenzklassen von erreichbaren und nicht erreichbaren Zuständen zu unterteilen.

    Die Invariante ist die Parität der Permutation aller 16 Quadrate plus die Parität des Taxiabstands (Anzahl der Zeilen plus Anzahl der Spalten) des leeren Quadrats von der unteren rechten Ecke. Dies ist eine Invariante, da jeder Zug sowohl die Parität der Permutation als auch die Parität der Taxientfernung ändert. Wenn sich das leere Quadrat in der unteren rechten Ecke befindet, ist das Puzzle genau dann lösbar, wenn die Permutation der verbleibenden Teile gerade ist.

    Johnson & Story (1879) zeigte auch, dass das Umgekehrte auf Boards der Größe gilt m×n unter der Voraussetzung m und n sind beide mindestens 2: alle geraden Permutationen sind lösbar. Dies ist einfach, aber ein wenig chaotisch, um durch Induktion auf zu beweisen m und n beginnen mit m=n=2. Archer (1999) lieferte einen weiteren Beweis, basierend auf der Definition von Äquivalenzklassen über einen Hamilton-Pfad.

    Wilson (1974) untersuchte die Verallgemeinerung des 15-Puzzles auf beliebige endliche Graphen, wobei das ursprüngliche Problem der Fall eines 4×4-Gittergraphen war. Das Problem hat einige degenerierte Fälle, in denen die Antwort entweder trivial oder eine einfache Kombination der Antworten auf das gleiche Problem in einigen Teilgraphen ist. Für Pfade und Polygone hat das Puzzle nämlich keine Freiheit, wenn der Graph getrennt ist, nur die verbundene Komponente des Knotens mit dem "leeren Raum" ist relevant und wenn es einen Artikulationsknoten gibt, reduziert sich das Problem auf das gleiche Puzzle auf jedem von die zweifach zusammenhängenden Komponenten dieses Scheitelpunkts. Abgesehen von diesen Fällen zeigte Wilson, dass es außer einem außergewöhnlichen Graphen auf 7 Knoten möglich ist, alle Permutationen zu erhalten, es sei denn, der Graph ist bipartit, in diesem Fall können genau die geraden Permutationen erhalten werden. Der außergewöhnliche Graph ist ein regelmäßiges Sechseck mit einer Diagonale und einem Scheitelpunkt in der Mitte hinzugefügt, nur 1/6 seiner Permutationen können erreicht werden.

    Für größere Versionen des n Rätsel, eine Lösung zu finden ist einfach, aber das Problem, das zu finden kürzeste Lösung ist NP-hart. Es ist auch NP-schwer, die wenigsten Slides innerhalb einer additiven Konstante anzunähern, aber es gibt eine polynomielle Zeitkonstanten-Faktor-Approximation. [2] [3] Für die 15 Puzzles reichen die Längen der optimalen Lösungen von 0 bis 80 Einzelsteinzügen (es gibt 17 Konfigurationen, die 80 Züge erfordern) [4] [5] oder 43 Mehrsteinzüge [6] die 8 Das Rätsel kann immer in maximal 31 Einzelzügen oder 24 Mehrfachzügen gelöst werden (Ganzzahlfolge A087725). Die Multi-Kachel-Metrik zählt nachfolgende Bewegungen der leeren Kachel in dieselbe Richtung wie eine. [6]

    Die Transformationen des Fünfzehner-Puzzles bilden ein Gruppoid (keine Gruppe, da nicht alle Züge zusammengesetzt werden können) [12] [13] [14] dieses Gruppoid wirkt auf Konfigurationen.

    Gruppentheorie Bearbeiten

    Da die Kombinationen des 15er Puzzles durch 3 Zyklen erzeugt werden können, kann bewiesen werden, dass das 15er Puzzle durch die alternierende Gruppe A 15 > repräsentiert werden kann. [15] Tatsächlich kann jedes 2 k − 1 Schiebepuzzle mit quadratischen Kacheln gleicher Größe durch A 2 k − 1 > dargestellt werden.

    In einer alternativen Betrachtungsweise des Problems können wir die Invariante als die Summe der Parität der Anzahl der Inversionen in der aktuellen Reihenfolge der 15 nummerierten Teile und der Parität der Differenz der Zeilennummer des leeren Quadrats aus dem Zeilennummer der letzten Zeile. (Nennen wir es Reihenabstand von der letzten Reihe.) Dies ist eine Invariante, da jede Spaltenbewegung, wenn wir ein Stück innerhalb derselben Spalte bewegen, sowohl die Parität der Anzahl der Umkehrungen ändert (indem die Anzahl der Umkehrungen um ±1 . geändert wird) , ±3) und die Parität des Reihenabstands von der letzten Reihe (Änderung des Reihenabstands um ±1) und jeder Reihenzug, wenn wir eine Figur innerhalb derselben Reihe bewegen, ändert keine der beiden Paritäten. Betrachten wir nun den gelösten Zustand des Rätsels, ist diese Summe gerade. Daher ist es leicht durch Induktion zu beweisen, dass jeder Zustand des Puzzles, für den die obige Summe ungerade ist, nicht lösbar sein kann. Wenn sich das leere Quadrat in der unteren rechten Ecke befindet (sogar irgendwo in der letzten Reihe), ist das Puzzle genau dann lösbar, wenn die Anzahl der Umkehrungen der nummerierten Teile gerade ist.


    Bestellen Sie 4 magische Quadrate

    Es gibt 880 grundlegende magische Quadrate der Ordnung-4. Der komplette Satz wurde vor 1675 von Bernard Fr nicle de Bessy zusammengestellt. [1][2]
    Diese Liste wurde seither von vielen Leuten (mich eingeschlossen) neu berechnet und verifiziert.

    Diese 880 magischen Quadrate wurden von H. E. Dudeney in 12 Gruppen eingeteilt und erstmals in veröffentlicht Die Königin, 15. Januar 1910. Die Klassifikationsdiagramme erschienen später in Vergnügungen in Mathematik, 1917, herausgegeben von Thomas Nelson & Sons, Ltd.

    Sowohl die Liste der magischen Quadrate als auch die Gruppenklassifikation wurden in jüngerer Zeit in [3] veröffentlicht.

    [1] Fr nicle de Bessy, Des Quarrez oder Tables Magiques, darunter: Table generale des quarrez de quatre. Mem. de l’Acad. Roy. des Sc. 5 (1666-1699) (1729) 209-354. (Fránicle starb 1675).
    [2] B. Fránicle de Bessy et al., Divers ouvrages de mathematique et de physique (1693).
    Ollerenshaw & Bondi zitieren eine Ausgabe von 1731 aus Den Haag??) (= Divers Ouvrages de Math matique et de Physique par Messieurs de l Acad mie des Sciences ed. P. de la Hire und Paris, 1693, S. 423- 507, NYS (Rara, 632) Recueil de Divers Ouvrages de Mathematique de Mr. Frenicle.
    B. Fr nicle de Bessy, Trait des Triangles Rechtecke en Nombres, dans lequel plusieurs belles propriet s de ces triangles sont demontr es par de nouveaux principes (1676) enthielt KEINE magischen Quadrate. (Paul Pasles E-Mail 14. Januar 2003).
    [3] William H. Benson und Oswald Jacoby, Neue Erholung mit Magic Squares, Dover Publ., 1976, 0-486-23236-0.

    Die 12 Gruppen werden nach den Mustern klassifiziert, die durch die 8 Komplementpaare gebildet werden.
    Ein Komplementpaar sind zwei Zahlen, die sich zusammen zu summieren n 2 + 1. Für Ordnung-4 ist diese Zahl 17.


    Gruppe I

    Gruppe II

    Gruppe III

    Gruppe IV

    Gruppe V

    Gruppe VI

    Gruppe VII

    Gruppe VIII

    Gruppe IX

    Gruppe X

    Gruppe XI

    Gruppe XII

    Die Gruppen III und VI sind selbstähnlich. Das heißt, wenn jede Zahl ergänzt wird, wird das gleiche magische Quadrat erzeugt (nur in einer anderen Ausrichtung).

    Die zwölf Gruppen selbst können in vier Sätze gruppiert werden, in denen die Gruppen in jedem Satz stark verwandt sind. Sie sind:

    Die Mitglieder jedes Sets haben viele Gemeinsamkeiten, die bei der Arbeit mit Übergängen deutlich werden.
    Auch die Sätze 1 und 2 sind eng verwandt, wie die Tatsache zeigt, dass 30 der 48 Transformationen, die auf der Seite Transformationszusammenfassung aufgelistet sind, für alle sechs Gruppen dieser beiden Sätze funktionieren.
    Sätze 2 und 3 haben 2 Orientierungen des komplementären Paarmusters. 0 und 90 .
    Set 4 jede Gruppe hat 3 Orientierungen. Gruppe XI hat 0 , 180 und 270 . Gruppe XII hat 0 , 90 und 180 .

    Auf dieser Seite habe ich alle magischen Quadrate der Ordnung 4 der fünf kleinsten Gruppen gepostet, die zufällig auch die interessantesten sind.

    Die vier folgenden Seiten enthalten die gesamte Liste von 880 Lösungen. Sie erscheinen eine Lösung pro Zeile, in der Indexreihenfolge. Jede Zeile enthält die Dudeney-Gruppe mit erforderlichem Rotationsgrad und die Komplementpaarnummer und Partnerlösung,
    Jede Seite ist ziemlich groß, also seien Sie geduldig, während sie geladen wird.

    Zwei Dateien stehen zum Download bereit:
    Einer ist in Indexreihenfolge sortiert, der andere ebenfalls in Indexreihenfolge, jedoch in die 12 verschiedenen Gruppen sortiert.

    Ein Hinweis zu den Gruppen I, II und III.
    Dies sind die funktionsreichsten magischen Quadrate der Ordnung-4. Tatsächlich sind pandiagonale magische Quadrate auch bekannt als perfekt.
    Alle magischen Quadrate der Gruppen I, II und III haben die Eigenschaft, dass sich die Eckzellen vieler 2x2 (d. h. aller Zellen) und aller 3x3 und 4x4 Quadrate zu 34 (der magischen Konstante) summieren.
    Beachten Sie den Hinweis, der der Auflistung für jede Gruppe folgt, um andere eng verwandte Funktionen zu realisieren!

    Dies sind die 48 pandiagonalen magischen Quadrate der Ordnung-4. Sie sind über die 880 magischen Quadrate dieser Ordnung verstreut. Die Zahl über jedem Quadrat ist die Position in der indizierten Liste. Die Buchstaben A, B, C zeigen an, zu welchem ​​von 3 Sätzen von 16 das Quadrat gehört.

    Von den 48 magischen Quadraten der Gruppe I gibt es 12 Paare, bei denen die Linien 1 und 3 identisch sind. Auch die Linien 2 und 4 sind jeweils identisch, aber vertauscht. Beachten Sie die Anmerkungen am Ende der Auflistungen der Gruppen II und III, um die enge Beziehung zwischen den 3 Gruppen zu sehen.

    Die magischen Quadrate in dieser Gruppe sind alle halbpandiagonal und haben die zusätzliche Eigenschaft von magisch gebogenen Diagonalen. For # 21 (below) these are 1, 16, 2,15 15, 2 11, 6, 6, 11, 5, 12 12, 5, 16, 1 and their reverses such as 13, 4, 14, 3.

    Of the 48 Group II magic squares, there are 20 pairs where the first two lines are identical. In each case, lines 3 and 4 are also identical but interchanged.

    Group III The symmetricals

    Of the 48 Group III magic squares, there are 13 pairs where lines 1 and 4 are identical. In each case, lines 2 and 3 are also identical but interchanged.
    Pair 850/860 and 7 other pairs have columns 1 and 4 the same, columns 2 and 3 interchanged. There are only 6 of the 48 magic squares that do not belong to one or the other of these two sets.

    These two groups are the only ones not symmetrical around the horizontal und vertical center lines of the square. Consequently transformations to or from other groups will produce different results depending on the orientation of the particular magic square in these two groups.

    Examining the main diagonals of the 8 group XI and eight group XII magic squares reveal the similarity between these two groups. There are a total of nine sets of four numbers that comprise the 32 main diagonals of these 16 magic squares. The 4 numbers in each set may appear in different orders.
    For group XII, the first 8 appear once in the first 4 magic squares and once in the second 4 magic squares.


    The 4x4 Latin Squares and Alphabetical Patterns

    The fundamental 4x4 magic carpet can be represented by dots and spaces. Any line in any direction of length four contains two dots, i.e., it sums to 2 any selected 4x4 area is a pan-magic pattern. We can take four samples of this large carpet, rotate two of them, and make the only four possible order four magic carpets.

    Alphabetical Subsitution.

    Because they look somewhat like letters of the alphabet they are given a letter to identify them.

    The Composite Alphabetical Magic Carpet

    The dot in each of the above squares is replaced with its own letter. The four squares are then combined to make the composite square on the left and then the larger carpet on the right.

    Only one composite pattern exists. This one composite square underlies all order 4 pan-magic squares. Any 4x4 area contains each letter twice in every row, every line, and every diagonal. To make an actual 4x4 magic square the letters in this square would be replaced, respectively by 8, 4, 2, and 1 (see Main 4x4 Page).

    Neat Pattern.

    When the pattern is repeated, a large magic carpet emerges - pleasing and symmetrical - which makes the interesting colored pattern on the left.

    Not a Latin Square

    Strictly speaking this is not a "Latin Square". A Latin Square for order N uses N letters N times and each row and each column contains one of each letter. The above square can be converted into two Latin Squares.

    Two 4x4 Latin Squares

    The illustration below combines two 4x4 Latin Squares into a single, so-called Graeco-Latin square For convenience it employs Upper and Lower case Roman letters instead of using both Roman and Greek characters. The letters in the new square are derived from the square above:

    A when neither S nor N are present
    B when N is present
    C when S is present
    D when both S and N are present
    a when neither C nor A are present
    b when C is present
    c when A is present
    d when both C and A are present

    EIN B C D
    C D EIN B
    B EIN D C
    D C B EIN
    +
    ein D C B
    D ein B C
    B C D ein
    C B ein D
    =
    Aa Bd Cc Db
    Cd Da Ab Bc
    Bb Ac Dd Ca
    Dc Cb Ba Ad

    Not Pan-Magic.

    Inspection of the resulting Graeco-Latin shows that that the rows and columns are inevitably " Magic " - they do contain one of each letter. This is, however, not true for any of the diagonals they can only add up to the magic sum for appropriately selected numerical substitutions.

    Limited Value for 4x4 Latin Squares.

    Because of this limitation, Latin Squares are of only limited use in constructing 4x4 pan-magic squares. There are two other possible 4x4 alphabetical squares and all three are shown below. The third is not even Latin in that, now, only the diagonals contain one of each letter.


    Alumni Scholarship

    Both alumni and the Mathematics and Statistics Department created the UWF Mathematics and Statistics Alumni Scholarship for exceptional students in the Math and Statistics department. This scholarship award will provide students who major in Mathematics and Statistics who have a cumulative graduate point average of 3.0. This scholarship will offer transformational opportunities for today’s students, tomorrow’s leaders. To make a gift to the UWF Mathematics and Statistics Alumni Scholarship please visit, uwf.edu/give and in the comments section, mention UWF Math/Stats Alumni Scholarship.


    Maximal sets of mutually orthogonal Latin squares (maxMOLS)

    Perhaps the most interesting order for MOLS is 10, because it is the smallest order for which Euler's famous conjecture fails and is also the first case where we do not know the size of the largest set of MOLS. Here is a bunch of random MOLS of Order 10. They were generated by making Latin squares at random and then exhaustively finding their mates. Some squares have multiple mates, in which case the square will be repeated within the file, once for each of its mates.

    Of course the question we'd all like to see answered is whether there is a triple of MOLS of order 10. The closest I've come is this example which is a pair of MOLS of order 10 that share 7 common transversals. If you can do better then let me know!

    Also, I wrote a paper on pairs of MOLS that cannot be extended to any triple of MOLS. Here are some of the examples from that paper, namely MOLS of order 10, 14 and 18.


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    PRESH TALWALKAR

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    By way of history, I started the Mind Your Decisions blog back in 2007 to share a bit of math, personal finance, personal thoughts, and game theory. It's been quite a journey! I thank everyone that has shared my work, and I am very grateful for coverage in the press, including the Shorty Awards, The Telegraph, Freakonomics, and many other popular outlets.

    I studied Economics and Mathematics at Stanford University.

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