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1.8: Trigonometrische Funktionen in Beziehung setzen - Mathematik

1.8: Trigonometrische Funktionen in Beziehung setzen - Mathematik


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Lernziele

  • Geben Sie die reziproken Beziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen an und verwenden Sie diese Identitäten, um Werte von trigonometrischen Funktionen zu finden.
  • Geben Sie Quotientenbeziehungen zwischen trigonometrischen Funktionen an und verwenden Sie Quotientenidentitäten, um Werte von trigonalen Funktionen zu finden.
  • Geben Sie die Domäne und den Bereich jeder trigonometrischen Funktion an.
  • Geben Sie das Vorzeichen einer trigonometrischen Funktion an, wenn der Quadrant gegeben ist, in dem ein Winkel liegt.
  • Geben Sie die pythagoräischen Identitäten an und verwenden Sie diese Identitäten, um Werte von trigonometrischen Funktionen zu finden.

Gegenseitige und pythagoräische Identitäten

Die zwei grundlegendsten Typen trigonometrischer Identitäten sind die reziproken Identitäten und die pythagoräischen Identitäten. Die reziproken Identitäten sind einfach Definitionen der Kehrwerte der drei trigonometrischen Standardverhältnisse:
[ sec heta=frac{1}{cos heta} quad csc heta=frac{1}{sin heta} quad cot heta=frac{1}{ tan heta}
]

Denken Sie auch an die Definitionen der drei trigonometrischen Standardverhältnisse (Sinus, Kosinus und Tangens):
[ egin{array}{l}
sin heta=frac{op p}{h y p}
cos heta=frac{ad j}{h y p}
an heta=frac{op p}{a d y}
end{array}
]

Wenn wir uns die Beziehungen zwischen Sinus, Cosinus und Tangens genauer ansehen, werden wir feststellen, dass (frac{sin heta}{cos heta}= an heta)
[ frac{sin heta}{cos heta}=frac{left(frac{opp}{hyp} ight)}{left(frac{adj}{hyp} ight) }=frac{opp}{hyp} * frac{hyp}{adj}=frac{opp}{adj}= an heta
]

Pythagoräische Identitäten
Die pythagoräischen Identitäten basieren natürlich auf dem Satz des Pythagoras. Wenn wir uns an ein Diagramm erinnern, das in Kapitel (2,) eingeführt wurde, können wir diese Identitäten aus den Beziehungen im Diagramm aufbauen:

Mit dem Satz des Pythagoras in diesem Diagramm sehen wir, dass (x^{2}+y^{2}=1^{2},) also (x^{2}+y^{2}=1 . ) Denken Sie aber auch daran, dass im Einheitskreis (x=cos heta) und (y=sin heta)

Wenn wir diese Gleichheit ersetzen, erhalten wir die erste pythagoräische Identität:
[ x^{2}+y^{2}=1
] oder
[ cos^{2} heta+sin^{2} heta=1
] Diese Identität wird normalerweise in der Form angegeben:
[ sin^{2} heta+cos^{2} heta=1
]

Wenn wir diese Identität nehmen und auf beiden Seiten durch (cos^{2} heta,) teilen, ergibt dies die erste von zwei zusätzlichen pythagoräischen Identitäten:
[ frac{sin^{2} heta}{cos^{2} heta}+frac{cos^{2} heta}{cos^{2} heta}=frac {1}{cos^{2} heta}
] oder
[ an ^{2} heta+1=sec ^{2} heta
]

Dividieren durch (sin ^{2} heta) ergibt die zweite:
[ frac{sin^{2} heta}{sin^{2} heta}+frac{cos^{2} heta}{sin^{2} heta}=frac {1}{sin^{2} heta}
] oder
[ 1+cot ^{2} heta=csc ^{2} heta
] Die drei pythagoräischen Identitäten, die wir verwenden werden, sind also:
[ egin{array}{l}
sin^{2} heta+cos^{2} heta=1
an ^{2} heta+1=sec ^{2} heta
1+cot ^{2} heta=csc ^{2} heta
end{array}
]

Diese pythagoräischen Identitäten werden oft mit anderen Begriffen ausgedrückt, wie zum Beispiel:
[ egin{array}{l}
sin^{2} heta=1-cos^{2} heta
cos^{2} heta=1-sin^{2} heta
an ^{2} heta=sec ^{2} heta-1
cot ^{2} heta=csc ^{2} heta-1
end{array}
]

Da wir nun einige grundlegende Identitäten haben, mit denen wir arbeiten können, verwenden wir sie, um die Gleichheit einiger komplizierterer Anweisungen zu überprüfen. Der Prozess der Überprüfung trigonometrischer Identitäten beinhaltet das Ändern einer Seite des gegebenen Ausdrucks in die andere Seite. Da dies keine wirklichen Gleichungen sind, werden wir sie nicht so behandeln, wie wir Gleichungen behandeln. Das heißt, wir addieren oder subtrahieren nichts zu beiden Seiten der Aussage (oder multiplizieren oder dividieren auch nicht mit irgendetwas auf beiden Seiten).

Ein weiterer Grund, eine trigonometrische Identität nicht als Gleichung zu behandeln, besteht darin, dass dieser Prozess in der Praxis typischerweise nur eine Seite der Aussage umfasst. Bei der Problemlösung verwenden Mathematiker normalerweise trigonometrische Identitäten, um das Aussehen eines Problems zu ändern, ohne seinen Wert zu ändern. Bei diesem Vorgang wird ein trigonometrischer Ausdruck in einen anderen trigonometrischen Ausdruck geändert, anstatt zu zeigen, dass zwei trigonometrische Ausdrücke gleich sind, was wir tun werden.


Die trigonometrischen Identitäten, die wir in diesem Abschnitt besprochen haben, sind im Folgenden zusammengefasst:

Normalerweise wird die Form sin ( heta) oder (cos heta) verwendet, jedoch kann jeder Buchstabe verwendet werden, um den fraglichen Winkel darzustellen, solange es in allen Ausdrücken der GLEICHE Buchstabe ist. Wir können zum Beispiel sagen:
[ sin^{2} heta+cos^{2} heta=1
] oder wir können das sagen

[ sin ^{2} x+cos ^{2} x=1
] jedoch:
[ sin^{2} heta+cos^{2} x eq 1
] weil ( heta) und (x) verschiedene Winkel sein könnten!

Quotientenidentitäten

Die Definitionen der trigonometrischen Funktionen führten uns zu den reziproken Identitäten, die im Konzept zu diesem Thema zu sehen sind. Sie führen uns auch zu einem anderen Satz von Identitäten, den Quotientenidentitäten.

Betrachten Sie zuerst die Sinus-, Cosinus- und Tangensfunktionen. Für Drehwinkel (nicht unbedingt im Einheitskreis) sind diese Funktionen wie folgt definiert:

(egin{ausgerichtet}sin heta&=dfrac{y}{r} cos heta&=dfrac{x}{r} an heta &=dfrac{y}{x }end{ausgerichtet})

Mit diesen Definitionen können wir zeigen, dass ( an heta =dfrac{sin heta}{cos heta}), solange (cos heta eq 0) gilt:

(dfrac{sin heta}{cos heta} =dfrac{dfrac{y}{r}}{dfrac{x}{r}}=dfrac{y}{r} imes dfrac{r}{x}=dfrac{y}{x}= an heta).

Die Gleichung ( an heta=dfrac{sin heta}{cos heta}) ist also eine Identität, mit der wir den Wert der Tangensfunktion ermitteln können, wenn der Wert von Sinus und Kosinus . gegeben ist .

Werfen wir einen Blick auf einige Probleme mit Quotientenidentitäten.

1. Finden Sie den Wert von ( an heta)?

Wenn (cos heta =dfrac{5}{13}) und (sin heta =dfrac{12}{13}), welchen Wert hat ( an heta) ?

( an heta=dfrac{12}{5})

( an heta =dfrac{sin heta}{cos heta} =dfrac{dfrac{12}{13}}{dfrac{5}{13}}=dfrac{12} {13} imes dfrac{13}{5}=dfrac{12}{5})

2. Zeigen Sie, dass (cot heta =dfrac{cos heta}{sin heta})

(cos hetasin heta=dfrac{dfrac{x}{r}}{dfrac{y}{r}}=dfrac{x}{r} imesdfrac{r}{ y}=dfrac{x}{y}=cot heta)

3. Was ist der Wert von (cot heta)?

Wenn (cos heta =dfrac{7}{25}) und (sin heta =dfrac{24}{25}), welchen Wert hat (cot heta) ?

(cot heta =dfrac{7}{24})

(cot heta=dfrac{cos heta}{sin heta}=dfrac{dfrac{7}{25}}{dfrac{24}{25}}=dfrac{7} {25} imes dfrac{25}{24}=dfrac{7}{24})

Beispiel (PageIndex{3})

Wenn (sin heta =dfrac{63}{65}) und (cos heta =dfrac{16}{65}), welchen Wert hat ( an heta) ?

Lösung

( an heta=dfrac{63}{16}). Wir sehen dies aus der Beziehung für die Tangensfunktion:

( an heta=dfrac{sin heta}{cos heta}=dfrac{dfrac{63}{65}}{dfrac{16}{65}}=dfrac{63} {65} imes dfrac{65}{16}=dfrac{63}{16})

Beispiel (PageIndex{4})

Wenn ( an heta =dfrac{40}{9}) und (cos heta =dfrac{9}{41}), welchen Wert hat (sin heta) ?

Lösung

(sin heta =dfrac{40}{41}). Wir sehen dies aus der Beziehung für die Tangensfunktion:

(egin{ausgerichtet} an heta &= dfrac{sin heta}{cos heta} sin heta &=( an heta)(cos heta) sin heta&=dfrac{40}{9} imes dfrac{9}{41} sin heta &=dfrac{40}{41}end{ausgerichtet})

Überprüfung

Füllen Sie jede Lücke mit einer trigonometrischen Funktion aus.

  1. Wenn (cos heta =dfrac{1}{2}) und (cot heta =dfrac{sqrt{3}}{3}), welchen Wert hat (sin heta)?
  2. Wenn ( an heta =0) und (cos heta =−1), welchen Wert hat (sin heta)?
  3. Wenn (cot heta =−1) und (sin heta =−dfrac{sqrt{2}}{2}), welchen Wert hat (cos heta)?

Wortschatz

BegriffDefinition
QuotientenidentitätDie Quotientenidentität ist eine Identität, die den Tangens eines Winkels auf den Sinus des Winkels geteilt durch den Kosinus des Winkels bezieht.

Zusätzliche Ressourcen

Video: Die reziproken, Quotienten und pythagoräischen Identitäten

Kofunktionsidentitäten

Eine Kofunktionsidentität ist eine Beziehung zwischen einer trigonometrischen Funktion eines Winkels und einer anderen trigonometrischen Funktion des Komplements dieses Winkels.

In einem rechtwinkligen Dreieck können Sie sogenannte "Kofunktionsidentitäten" anwenden. Diese werden als Kofunktionsidentitäten bezeichnet, da die Funktionen gemeinsame Werte haben. Diese Identitäten sind im Folgenden zusammengefasst.


Definition trigonometrischer Funktionen & Grundformeln

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt ∠CAB = A und ∠BCA = 90° = π/2. AC ist die Basis, BC die Höhe und AB ist die Hypotenuse.

Wir bezeichnen die Basis als die angrenzende Seite und die Höhe als die gegenüberliegende Seite. Es gibt sechs trigonometrische Verhältnisse, auch trigonometrische Funktionen oder Kreisfunktionen genannt. Bezogen auf den Winkel A sind die sechs Verhältnisse:

heißt Sinus von A und geschrieben als sinA

heißt Kosinus von A und wird als cosA . geschrieben

heißt Tangente von A und wird geschrieben als tanA

Offensichtlich ist $large tanA = frac $

Die Kehrwerte von Sinus, Kosinus und Tangens werden als Kosekans, Sekante und Kotangens von A bezeichnet. Wir schreiben diese als cosecA , secA bzw. cot A.

Da die Hypotenuse die größte Seite in einem rechtwinkligen Dreieck ist, können sin A und cos A niemals größer als eins sein und cosecA und sec A können niemals kleiner als eins sein.

Daher | sinA | ≤ 1, |cos A| ≤ 1, |cosec A| ≥ 1, |sec A | ≥1 , während tan A und cot A jeden Zahlenwert zwischen – ∞ und +∞ . haben können

Anmerkungen:

♦ Die oben erwähnte Methode, trigonometrische Funktionen mit Winkeln und Seiten eines Dreiecks zu verknüpfen, wird als geometrische Definition trigonometrischer Funktionen bezeichnet.

♦ Alle sechs trigonometrischen Funktionen haben eine sehr wichtige gemeinsame Eigenschaft, nämlich Periodizität.

♦ Denken Sie daran, dass die trigonometrischen Verhältnisse reelle Zahlen sind und gleich bleiben, solange die Winkel reell sind.

Grundformeln:

Es ist möglich, ein trigonometrisches Verhältnis durch eines der anderen Verhältnisse auszudrücken:

d.h. alle trigonometrischen Funktionen wurden durch cotθ ausgedrückt. Dies bleibt Ihnen als Übung überlassen, um diese Ergebnisse abzuleiten. Nur als Hinweis für Sie, drücken Sie den Nenner des Bruchs aus, der cotθ als Einheit (d. h. Basis als Einheit) definiert, und bilden Sie ein rechtwinkliges Dreieck, um die Seiten auszudrücken und fortzufahren.

Abbildung : Drücken Sie tanθ in Bezug auf cosθ aus.

$large cos heta = frac = frac<1>$ wobei OB als Einheit genommen wird und OA = x

Abbildung : Falls sinθ + sin 2 θ = 1 , dann beweise, dass

cos 12 θ + 3 cos 10 θ + 3 cos 8 θ + cos 6 θ – 1 = 0.

Vorausgesetzt sinθ = 1 – sin 2 θ = cos 2 θ

L.H.S = cos 6 θ (cos 2 θ + 1) 3 – 1

Abbildung :Beweise das :

(tanθ + cot) 2 = tan 2 θ + Kinderbett 2 θ + 2

= sec 2 θ – 1 + cosec 2 θ – 1 + 2

(i) Wenn sin x + cos x = m und sec x + cosec x = n beweisen, dass n(m 2 – 1) = 2 m ist.

(ii) Falls x sin 3 θ + y cos 3 θ = sinθ und x sinθ – y cosθ = 0, beweise, dass x 2 + y 2 = 1

(iv) Wenn a sec α + btan α = d und b sec α + a tan α = c gilt, beweisen Sie, dass a 2 + c 2 = b 2 + d 2


Inhalt

In diesem Abschnitt bezeichnet der gleiche Großbuchstabe eine Ecke eines Dreiecks und das Maß des entsprechenden Winkels bezeichnet der gleiche Kleinbuchstabe eine Kante des Dreiecks und deren Länge.

Bei einem spitzen Winkel A = θ eines rechtwinkligen Dreiecks ist die Hypotenuse c die Seite, die die beiden spitzen Winkel verbindet. Die Seite b benachbart zu θ ist die Seite des Dreiecks, die θ mit dem rechten Winkel verbindet. Die dritte Seite a heißt Gegenteil zu θ.

Ist der Winkel θ gegeben, so sind alle Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bis auf einen Skalierungsfaktor wohldefiniert. Das bedeutet, dass das Verhältnis zweier beliebiger Seitenlängen nur von θ abhängt. Somit definieren diese sechs Verhältnisse sechs Funktionen von θ , die die trigonometrischen Funktionen sind. Genauer gesagt sind die sechs trigonometrischen Funktionen: [4] [5]

sinus sin ⁡ θ = a c = op p o s i t e h y p o t e n u s e >= > >>> Kosekans csc ⁡ θ = c a = h y p o t e n u s e o p p o s i t e >= > >>>
Kosinus cos ⁡ θ = b c = a d j a c e n t h y p o t e n u s e >= > >>> Sekante sec ⁡ θ = c b = h y p o t e n u s e a d j a c e n t >= > >>>
Tangente tan ⁡ θ = a b = o p p o s i t e a d j a c e n t >= > >>> Kotangens Kinderbett ⁡ θ = b a = a d j a c e n t o p p o s i t e >= > >>>

In geometrischen Anwendungen ist das Argument einer trigonometrischen Funktion im Allgemeinen das Maß eines Winkels. Zu diesem Zweck ist jede Winkeleinheit geeignet, und Winkel werden am häufigsten in herkömmlichen Gradeinheiten gemessen, in denen ein rechter Winkel 90° und eine vollständige Drehung 360° beträgt (insbesondere in der elementaren Mathematik).

In der Analysis und der mathematischen Analysis werden die trigonometrischen Funktionen jedoch im Allgemeinen abstrakter als Funktionen reeller oder komplexer Zahlen und nicht als Winkel betrachtet. Tatsächlich lassen sich die Funktionen sin und cos für alle komplexen Zahlen in Form der Exponentialfunktion über Potenzreihen [7] oder als Lösungen von Differentialgleichungen bei bestimmten Anfangswerten [8] (siehe unten), ohne Bezug auf irgendwelche geometrischen Begriffe. Die anderen vier trigonometrischen Funktionen (tan, cot, sec, csc) können als Quotienten und Kehrwerte von sin und cos definiert werden, außer wenn Null im Nenner vorkommt. Für reelle Argumente kann bewiesen werden, dass diese Definitionen mit elementaren geometrischen Definitionen übereinstimmen Wenn das Argument wird als Winkel im Bogenmaß betrachtet. [7] Außerdem ergeben sich aus diesen Definitionen einfache Ausdrücke für die Ableitungen und unbestimmte Integrale für die trigonometrischen Funktionen. [9] Daher wird das Bogenmaß in Einstellungen jenseits der elementaren Geometrie als die mathematisch natürliche Einheit zur Beschreibung von Winkelmaßen angesehen.

Bei Verwendung des Bogenmaßes (rad) wird der Winkel als die Länge des Bogens des von ihm aufgespannten Einheitskreises angegeben: der Winkel, der einen Bogen der Länge 1 auf dem Einheitskreis begrenzt, beträgt 1 rad (≈ 57,3°) und a vollständige Drehung (360°) ist ein Winkel von 2 π (≈ 6,28) rad. Für reelle Zahl x, die Notationen sin x, weil x, usw. beziehen sich auf den Wert der trigonometrischen Funktionen, die bei einem Winkel von ausgewertet werden x rad. Wenn Gradeinheiten vorgesehen sind, muss das Gradzeichen explizit angegeben werden (z.B. sin , weil , etc.). In dieser Standardnotation wird das Argument x für die trigonometrischen Funktionen erfüllt die Beziehung x = (180x/ π )°, so dass z. B. sin 180° = sin 180° ist, wenn wir x = . Auf diese Weise kann das Gradsymbol als mathematische Konstante betrachtet werden, so dass 1° = π /180 ≈ 0,0175 ist.

Die sechs trigonometrischen Funktionen können als Koordinatenwerte von Punkten auf der euklidischen Ebene definiert werden, die sich auf den Einheitskreis beziehen, der der Kreis mit dem Radius 1 ist, der um den Ursprung O dieses Koordinatensystems zentriert ist. Während rechtwinklige Dreiecksdefinitionen die Definition der trigonometrischen Funktionen für Winkel zwischen 0 und π 2 < extstyle <2>>> radian (90°) erlauben, erlauben die Einheitskreisdefinitionen den Definitionsbereich von trigonometrische Funktionen auf alle positiven und negativen reellen Zahlen zu erweitern.

Die trigonometrischen Funktionen cos und sin sind jeweils definiert als x- und ja-Koordinatenwerte von Punkt A . Das ist,

Die anderen trigonometrischen Funktionen finden Sie entlang des Einheitskreises als

Durch Anwendung der pythagoräischen Identitäts- und geometrischen Beweismethoden kann leicht gezeigt werden, dass diese Definitionen mit den Definitionen von Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans in Bezug auf Sinus und Kosinus übereinstimmen, d

gilt für jeden Winkel θ und jede ganze Zahl k . Das gleiche gilt für die vier anderen trigonometrischen Funktionen. Durch Beobachtung des Vorzeichens und der Monotonie der Funktionen Sinus, Kosinus, Kosekans und Sekante in den vier Quadranten kann man zeigen, dass 2 π der kleinste Wert ist, für den sie periodisch sind (dh 2 π ist die Grundperiode dieser Funktionen ). Nach einer Drehung um einen Winkel π kehren die Punkte B und C jedoch bereits in ihre ursprüngliche Lage zurück, so dass die Tangensfunktion und die Kotangentialfunktion eine Grundperiode von π haben. Das heißt, die Gleichheiten

gilt für jeden Winkel θ und jede ganze Zahl k .

Die algebraischen Ausdrücke für die wichtigsten Winkel lauten wie folgt:

Das Schreiben der Zähler als Quadratwurzeln aufeinanderfolgender nicht negativer Ganzzahlen mit einem Nenner von 2 bietet eine einfache Möglichkeit, sich die Werte zu merken. [12]

Solche einfachen Ausdrücke existieren im Allgemeinen nicht für andere Winkel, die rationale Vielfache eines geraden Winkels sind. Für einen Winkel, der in Grad gemessen ein Vielfaches von drei ist, können Sinus und Kosinus in Quadratwurzeln ausgedrückt werden, siehe Trigonometrische Konstanten in reellen Radikalen. Diese Werte des Sinus und des Kosinus können somit mit Lineal und Zirkel konstruiert werden.

Für einen Winkel einer ganzen Zahl von Grad können der Sinus und der Kosinus in Form von Quadratwurzeln und der Kubikwurzel einer nicht-reellen komplexen Zahl ausgedrückt werden. Die Galois-Theorie erlaubt den Beweis, dass, wenn der Winkel kein Vielfaches von 3° ist, nicht-reelle Kubikwurzeln unvermeidbar sind.

Für einen Winkel, der in Grad gemessen eine rationale Zahl ist, sind Sinus und Kosinus algebraische Zahlen, die durch n-te Wurzeln ausgedrückt werden können. Dies ergibt sich daraus, dass die Galois-Gruppen der zyklotomischen Polynome zyklisch sind.

Für einen Winkel, der in Grad gemessen keine rationale Zahl ist, dann sind entweder der Winkel oder sowohl Sinus als auch Kosinus transzendente Zahlen. Dies ist eine Folgerung des Satzes von Baker, der 1966 bewiesen wurde.

Einfache algebraische Werte Bearbeiten

Die folgende Tabelle fasst die einfachsten algebraischen Werte trigonometrischer Funktionen zusammen. [13] Das Symbol ∞ stellt den Punkt im Unendlichen auf der projektiv verlängerten reellen Geraden dar, es ist nicht vorzeichenbehaftet, da die entsprechende trigonometrische Funktion, wenn es in der Tabelle erscheint, zu + ∞ auf der einen Seite und zu − ∞ auf der anderen Seite, wenn das Argument gegen den Wert in der Tabelle tendiert.

Der moderne Trend in der Mathematik besteht darin, Geometrie aus der Infinitesimalrechnung aufzubauen und nicht umgekehrt. [ Zitat benötigt ] Daher werden trigonometrische Funktionen, außer auf ganz elementarer Ebene, mit den Methoden der Infinitesimalrechnung definiert.

Trigonometrische Funktionen sind an jedem Punkt, an dem sie definiert sind, differenzierbar und analytisch, d. h. überall für Sinus und Kosinus und für den Tangens überall außer bei π /2 + k π für jede ganze Zahl k .

Die trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen, und ihre Grundperiode beträgt 2 π für den Sinus und den Kosinus und π für den Tangens, der in jedem offenen Intervall ( π /2 + k , π /2 + (k + 1) π ). An jedem Endpunkt dieser Intervalle hat die Tangensfunktion eine vertikale Asymptote.

In der Infinitesimalrechnung gibt es zwei äquivalente Definitionen von trigonometrischen Funktionen, entweder unter Verwendung von Potenzreihen oder Differentialgleichungen. Diese Definitionen sind äquivalent, da es leicht ist, ausgehend von einer von ihnen die andere als Eigenschaft abzurufen. Die Definition durch Differentialgleichungen ist jedoch irgendwie natürlicher, da beispielsweise die Wahl der Koeffizienten der Potenzreihen als recht willkürlich erscheinen kann und die pythagoreische Identität viel leichter aus den Differentialgleichungen abzuleiten ist.

Definition durch Differentialgleichungen Bearbeiten

Sinus und Kosinus sind die einzigartigen differenzierbaren Funktionen, so dass

Differenziert man diese Gleichungen, so erhält man, dass sowohl Sinus als auch Kosinus Lösungen der Differentialgleichung sind

Wendet man die Quotientenregel auf die Definition des Tangens als Quotienten des Sinus durch den Kosinus an, so erhält man, dass die Tangensfunktion bestätigt

Potenzreihenerweiterung Bearbeiten

Wendet man die Differentialgleichungen auf Potenzreihen mit unbestimmten Koeffizienten an, kann man Rekursionsbeziehungen für die Koeffizienten der Taylorreihen der Sinus- und Cosinusfunktionen ableiten. Diese Rekursionsbeziehungen sind leicht zu lösen und geben die Reihenentwicklungen [14]

Der Konvergenzradius dieser Reihen ist unendlich. Daher können Sinus und Kosinus auf ganze Funktionen (auch "Sinus" und "Cosinus" genannt) erweitert werden, die (per Definition) komplexwertige Funktionen sind, die auf der gesamten komplexen Ebene definiert und holomorph sind.

Da sie als Bruchteile ganzer Funktionen definiert sind, können die anderen trigonometrischen Funktionen zu meromorphen Funktionen erweitert werden, dh Funktionen, die in der gesamten komplexen Ebene holomorph sind, mit Ausnahme einiger isolierter Punkte, die Pole genannt werden. Die Pole sind hier die Zahlen der Form ( 2 k + 1 ) π 2 < extstyle (2k+1)<2>>> für Tangente und Sekante, oder k π < displaystyle kpi >für den Kotangens und den Kosekans, wobei k eine beliebige ganze Zahl ist.

Rekursionsbeziehungen können auch für die Koeffizienten der Taylor-Reihe der anderen trigonometrischen Funktionen berechnet werden. Diese Reihen haben einen endlichen Konvergenzradius. Ihre Koeffizienten haben eine kombinatorische Interpretation: Sie zählen abwechselnde Permutationen endlicher Mengen auf. [fünfzehn]

man hat folgende Reihenentwicklungen: [16]

Teilbruchexpansion Bearbeiten

Es gibt eine Reihendarstellung als Partialbruchentwicklung, bei der gerade übersetzte Kehrwertfunktionen so aufsummiert werden, dass die Pole der Kotangensfunktion und der Kehrwertfunktionen übereinstimmen: [17]

Diese Identität lässt sich mit dem Herglotz-Trick nachweisen. [18] Kombinieren der (–n) th mit dem n Term führen zu absolut konvergenten Reihen:

In ähnlicher Weise kann man eine Partialbruchentwicklung für die Sekanten-, Kosekans- und Tangensfunktionen finden:

Unbegrenzte Produkterweiterung Bearbeiten

Das folgende unendliche Produkt für den Sinus ist in der komplexen Analysis von großer Bedeutung:

Zum Beweis dieser Erweiterung siehe Sinus. Daraus lässt sich ableiten, dass

Beziehung zur Exponentialfunktion (Eulersche Formel) Bearbeiten

Diese Formel wird allgemein für reelle Werte von x in Betracht gezogen, sie bleibt jedoch für alle komplexen Werte gültig.

Wenn man dieses lineare System in Sinus und Cosinus auflöst, kann man sie durch die Exponentialfunktion ausdrücken:

Wenn x reell ist, kann dies umgeschrieben werden als

Die meisten trigonometrischen Identitäten können bewiesen werden, indem trigonometrische Funktionen in Form der komplexen Exponentialfunktion unter Verwendung der obigen Formeln ausgedrückt werden und dann die Identität e a + b = e a e b =e^e^> um das Ergebnis zu vereinfachen.

Definitionen mit Funktionsgleichungen Bearbeiten

Man kann die trigonometrischen Funktionen auch mit verschiedenen Funktionsgleichungen definieren.

Zum Beispiel [19] bilden der Sinus und der Kosinus das eindeutige Paar stetiger Funktionen, die die Differenzformel erfüllen

cos ⁡ ( x − y ) = cos ⁡ x cos ⁡ y + sin ⁡ x sin ⁡ y

In der komplexen Ebene Bearbeiten

Durch Ausnutzung der Domänenfärbung ist es möglich, die trigonometrischen Funktionen als komplexwertige Funktionen darzustellen. Verschiedene Besonderheiten der komplexen Funktionen sind aus dem Graphen ersichtlich, zum Beispiel können die Sinus- und Cosinusfunktionen als unbeschränkt angesehen werden, wenn der Imaginärteil von z größer wird (da die Farbe Weiß unendlich darstellt) und dass die Funktionen einfache Nullstellen oder Pole enthalten, erkennt man daran, dass der Farbton jede Nullstelle oder jeden Pol genau einmal umkreist. Der Vergleich dieser Graphen mit denen der entsprechenden hyperbolischen Funktionen verdeutlicht die Beziehungen zwischen den beiden.

Viele Identitäten verbinden die trigonometrischen Funktionen miteinander. Dieser Abschnitt enthält die grundlegendsten für weitere Identitäten, siehe Liste trigonometrischer Identitäten. Diese Identitäten können geometrisch aus den Einheitskreisdefinitionen oder den rechtwinkligen Dreiecksdefinitionen bewiesen werden (wobei bei letzteren Definitionen auf Winkel geachtet werden muss, die nicht im Intervall [0, π /2] liegen, siehe Beweise trigonometrischer Identitäten). Für nicht-geometrische Beweise, die nur Werkzeuge der Infinitesimalrechnung verwenden, kann man die Differentialgleichungen direkt verwenden, ähnlich wie beim obigen Beweis der Eulerschen Identität. Man kann auch die Identität von Euler verwenden, um alle trigonometrischen Funktionen in Form komplexer Exponentialfunktionen auszudrücken und Eigenschaften der Exponentialfunktion zu verwenden.

Parität Bearbeiten

Der Kosinus und der Sekant sind gerade Funktionen, die anderen trigonometrischen Funktionen sind ungerade. Das ist:

Perioden Bearbeiten

Alle trigonometrischen Funktionen sind periodische Funktionen der Periode 2 π . Dies ist die kleinste Periode, mit Ausnahme von Tangens und Kotangens, die π als kleinste Periode haben. Dies bedeutet, dass für jede ganze Zahl k gilt

Pythagoräische Identität Bearbeiten

Die pythagoreische Identität ist der Ausdruck des Satzes des Pythagoras in Bezug auf trigonometrische Funktionen. es ist

Summen- und Differenzformeln Bearbeiten

Die Summen- und Differenzformeln ermöglichen die Erweiterung des Sinus, des Kosinus und des Tangens einer Summe oder einer Differenz zweier Winkel in Form von Sinus und Kosinus und Tangenten der Winkel selbst. Diese können geometrisch abgeleitet werden, indem Argumente verwendet werden, die auf Ptolemäus zurückgehen. Man kann sie auch algebraisch mit der Eulerschen Formel erzeugen.

Wenn die beiden Winkel gleich sind, reduzieren sich die Summenformeln auf einfachere Gleichungen, die als bekannt sind Doppelwinkelformeln.

Diese Identitäten können verwendet werden, um die Produkt-zu-Summe-Identitäten abzuleiten.

Dies ist die tangentiale Halbwinkelsubstitution, die es ermöglicht, die Berechnung von Integralen und Stammfunktionen trigonometrischer Funktionen auf rationale Brüche zu reduzieren.

Derivate und Stammfunktionen Bearbeiten

Die Ableitungen trigonometrischer Funktionen ergeben sich aus denen von Sinus und Cosinus unter Anwendung der Quotientenregel. Die in der folgenden Tabelle für die Stammfunktionen angegebenen Werte können durch Differenzierung verifiziert werden. Die Zahl C ist eine Integrationskonstante.

Alternativ können die Ableitungen der 'Kofunktionen' mit trigonometrischen Identitäten und der Kettenregel erhalten werden:

Die trigonometrischen Funktionen sind periodisch und daher nicht injektiv, also haben sie streng genommen keine Umkehrfunktion. Auf jedem Intervall, auf dem eine trigonometrische Funktion monoton ist, kann man jedoch eine inverse Funktion definieren, und dies definiert inverse trigonometrische Funktionen als mehrwertige Funktionen. Um eine echte Umkehrfunktion zu definieren, muss man den Bereich auf ein Intervall beschränken, in dem die Funktion monoton und somit von diesem Intervall zu ihrem Bild durch die Funktion bijektiv ist. Die gebräuchliche Wahl für dieses Intervall, das als Menge von Hauptwerten bezeichnet wird, ist in der folgenden Tabelle angegeben. Wie üblich werden die inversen trigonometrischen Funktionen mit dem Präfix "arc" vor dem Namen oder seiner Abkürzung der Funktion bezeichnet.

Die Notationen sin –1 , cos –1 usw. werden häufig für arcsin und arccos usw. verwendet. Bei dieser Notation könnten Umkehrfunktionen mit multiplikativen Inversen verwechselt werden. Die Notation mit dem Präfix "arc" vermeidet eine solche Verwirrung, obwohl "arcsec" für arcsecans mit "arcsecond" verwechselt werden kann.

Genau wie Sinus und Kosinus können auch die inversen trigonometrischen Funktionen durch unendliche Reihen ausgedrückt werden. Sie können auch als komplexe Logarithmen ausgedrückt werden.

Winkel und Seiten eines Dreiecks Bearbeiten

Dabei bezeichnen A , B , C die drei (Innen-)Winkel eines Dreiecks und a , b , c die Längen der jeweils gegenüberliegenden Kanten. Sie sind durch verschiedene Formeln verbunden, die nach den trigonometrischen Funktionen benannt sind, die sie beinhalten.

Sinusgesetz Bearbeiten

Das Gesetz der Sinus besagt, dass für ein beliebiges Dreieck mit den Seiten a , b und c und Winkeln gegenüber diesen Seiten A , B und C gilt:

wobei Δ die Fläche des Dreiecks ist, oder äquivalent

Es kann bewiesen werden, indem man das Dreieck in zwei rechte teilt und die obige Definition von Sinus verwendet. Das Sinusgesetz ist nützlich, um die Längen der unbekannten Seiten in einem Dreieck zu berechnen, wenn zwei Winkel und eine Seite bekannt sind. Dies ist eine häufige Situation in Triangulation, eine Technik zur Bestimmung unbekannter Entfernungen durch Messung zweier Winkel und einer zugänglichen eingeschlossenen Entfernung.

Kosinusgesetz Bearbeiten

Das Kosinusgesetz (auch bekannt als Kosinusformel oder Kosinusregel) ist eine Erweiterung des Satzes des Pythagoras:

In dieser Formel ist der Winkel bei C der Seite c entgegengesetzt. Dieser Satz kann bewiesen werden, indem man das Dreieck in zwei rechte teilt und den Satz des Pythagoras verwendet.

Das Kosinusgesetz kann verwendet werden, um eine Seite eines Dreiecks zu bestimmen, wenn zwei Seiten und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind. Es kann auch verwendet werden, um den Kosinus eines Winkels (und folglich die Winkel selbst) zu bestimmen, wenn die Längen aller Seiten bekannt sind.

Tangentengesetz Bearbeiten

Die folgenden bilden alle das Tangentengesetz [20]

Die Erklärung der Formeln in Worten wäre umständlich, aber die Muster der Summen und Differenzen für die Längen und die entsprechenden Gegenwinkel sind im Satz offensichtlich.

Gesetz der Kotangens Bearbeiten

> (der Radius des eingeschriebenen Kreises für das Dreieck)

> (der Halbumfang des Dreiecks),

dann bilden die folgenden alle das Gesetz der Kotangens [20]

In Worten lautet der Satz: Der Kotangens eines halben Winkels ist gleich dem Verhältnis des Halbumfangs minus der gegenüberliegenden Seite des genannten Winkels zum Innenradius des Dreiecks.

Periodische Funktionen Bearbeiten

Die trigonometrischen Funktionen sind auch in der Physik wichtig. Die Sinus- und die Kosinusfunktion werden beispielsweise verwendet, um einfache harmonische Bewegungen zu beschreiben, die viele Naturphänomene nachbilden, wie die Bewegung einer an einer Feder befestigten Masse und für kleine Winkel die Pendelbewegung einer um a . hängenden Masse Schnur. Die Sinus- und Cosinusfunktionen sind eindimensionale Projektionen einer gleichförmigen Kreisbewegung.

Trigonometrische Funktionen erweisen sich auch beim Studium allgemeiner periodischer Funktionen als nützlich. Die charakteristischen Wellenmuster periodischer Funktionen sind nützlich, um wiederkehrende Phänomene wie Schall- oder Lichtwellen zu modellieren. [21]

Unter eher allgemeinen Bedingungen ist eine periodische Funktion F(x) kann als Summe von Sinuswellen oder Cosinuswellen in einer Fourier-Reihe ausgedrückt werden. [22] Bezeichnen der Sinus- oder Kosinus-Basisfunktionen mit φk , die Entwicklung der periodischen Funktion F(T) hat die Form:

Beispielsweise kann die Rechteckwelle als Fourier-Reihe geschrieben werden

In der Animation einer Rechteckwelle oben rechts ist zu erkennen, dass schon wenige Terme eine recht gute Näherung ergeben. Darunter ist die Überlagerung mehrerer Terme bei der Expansion einer Sägezahnwelle dargestellt.

Während die frühe Erforschung der Trigonometrie bis in die Antike zurückverfolgt werden kann, wurden die heute verwendeten trigonometrischen Funktionen im Mittelalter entwickelt. Die Akkordfunktion wurde von Hipparchos von Nicäa (180–125 v. Chr.) und Ptolemaios von Römischem Ägypten (90–165 n. Chr.) entdeckt. Die Funktionen von Sinus und Versin (1 - Kosinus) lassen sich auf die jy und koti-jy Funktionen, die in der indischen Astronomie der Gupta-Zeit verwendet wurden (Aryabhatiya, Surya Siddhanta), durch Übersetzung vom Sanskrit ins Arabische und dann vom Arabischen ins Lateinische. [23] (Siehe Aryabhatas Sinustabelle.)

Alle sechs heute verwendeten trigonometrischen Funktionen waren in der islamischen Mathematik im 9. Jahrhundert bekannt, ebenso wie das Sinusgesetz, das beim Lösen von Dreiecken verwendet wird. [24] Mit Ausnahme des Sinus (der aus der indischen Mathematik übernommen wurde) wurden die anderen fünf modernen trigonometrischen Funktionen von persischen und arabischen Mathematikern entdeckt, darunter Kosinus, Tangens, Kotangens, Sekante und Kosekans. [24] Al-Khwārizmī (ca. 780–850) erstellte Sinus-, Kosinus- und Tangenstabellen. Um 830 entdeckte Habash al-Hasib al-Marwazi den Kotangens und erstellte Tangenten- und Kotangenstabellen. [25] [26] Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (853–929) entdeckte die wechselseitigen Funktionen von Sekant und Kosekans und erstellte die erste Tabelle der Kosekans für jeden Grad von 1° bis 90°. [26] The trigonometric functions were later studied by mathematicians including Omar Khayyám, Bhāskara II, Nasir al-Din al-Tusi, Jamshīd al-Kāshī (14th century), Ulugh Beg (14th century), Regiomontanus (1464), Rheticus, and Rheticus' student Valentinus Otho.

Madhava of Sangamagrama (c. 1400) made early strides in the analysis of trigonometric functions in terms of infinite series. [27] (See Madhava series and Madhava's sine table.)

Die Bedingungen tangent und Sekante were first introduced by the Danish mathematician Thomas Fincke in his book Geometria rotundi (1583). [28]

The 17th century French mathematician Albert Girard made the first published use of the abbreviations Sünde, cos, und bräunen in his book Trigonométrie. [29]

In a paper published in 1682, Leibniz proved that sin x is not an algebraic function of x . [30] Though introduced as ratios of sides of a right triangle, and thus appearing to be rational functions, Leibnitz result established that they are actually transcendental functions of their argument. The task of assimilating circular functions into algebraic expressions was accomplished by Euler in his Introduction to the Analysis of the Infinite (1748). His method was to show that the sine and cosine functions are alternating series formed from the even and odd terms respectively of the exponential series. He presented "Euler's formula", as well as near-modern abbreviations (sin., cos., tang., cot., sec., und cosec.). [23]

A few functions were common historically, but are now seldom used, such as the chord, the versine (which appeared in the earliest tables [23] ), the coversine, the haversine, [31] the exsecant and the excosecant. The list of trigonometric identities shows more relations between these functions.

  • crd(θ) = 2 sin(
  • θ / 2 )
  • versin(θ) = 1 − cos(θ) = 2 sin 2 (
  • θ / 2 )
  • coversin(θ) = 1 − sin(θ) = versin(
  • π / 2 − θ)
  • haversin(θ) =
  • 1 / 2 versin(θ) = sin 2 (
  • θ / 2 )
  • exsec(θ) = sec(θ) − 1
  • excsc(θ) = exsec(
  • π / 2 − θ) = csc(θ) − 1

Das Wort sine derives [32] from Latin Sinus, meaning "bend bay", and more specifically "the hanging fold of the upper part of a toga", "the bosom of a garment", which was chosen as the translation of what was interpreted as the Arabic word jaib, meaning "pocket" or "fold" in the twelfth-century translations of works by Al-Battani and al-Khwārizmī into Medieval Latin. [33] The choice was based on a misreading of the Arabic written form j-y-b ( جيب ), which itself originated as a transliteration from Sanskrit jīvā, which along with its synonym jyā (the standard Sanskrit term for the sine) translates to "bowstring", being in turn adopted from Ancient Greek χορδή "string". [34]

Das Wort tangent comes from Latin tangens meaning "touching", since the line touches the circle of unit radius, whereas Sekante stems from Latin secans—"cutting"—since the line cuts the circle. [35]

The prefix "co-" (in "cosine", "cotangent", "cosecant") is found in Edmund Gunter's Canon triangulorum (1620), which defines the cosinus as an abbreviation for the sinus complementi (sine of the complementary angle) and proceeds to define the cotangens similarly. [36] [37]


Fast 16-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 120 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of cos(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 253 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 30 of file trig8.h.

Fast 16-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 0.69% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-65535
Returns sin of theta, value between -32767 to 32767.

Definition at line 88 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 159 of file trig8.h.

Fast 8-bit approximation of sin(x).

This approximation never varies more than 2% from the floating point value you'd get by doing

Parameter

thetainput angle from 0-255
Returns sin of theta, value between 0 and 255

Definition at line 217 of file trig8.h.


Awk only provides sin(), cos() und atan2(), the three bare necessities for trigonometry. They all use radians. To calculate the other functions, we use these three trigonometric identities:

tangent Arkussinus Arkuskosinus
tan ⁡ θ = sin ⁡ θ cos ⁡ θ >> tan ⁡ ( arcsin ⁡ y ) = y 1 − y 2 >>>> tan ⁡ ( arccos ⁡ x ) = 1 − x 2 x >>>>

With the magic of atan2(), arcsine of ja is just atan2(y, sqrt(1 - y * y)), and arccosine of x is just atan2(sqrt(1 - x * x), x). This magic handles the angles arcsin(-1), arcsin 1 und arccos 0 that have no tangent. This magic also picks the angle in the correct range, so arccos(-1/2) ist 2*pi/3 and not some wrong answer like -pi/3 (though tan(2*pi/3) = tan(-pi/3) = -sqrt(3).)

atan2(y, x) actually computes the angle of the point (x, y), in the range [-pi, pi]. When x > 0, this angle is the principle arctangent of y/x, in the range (-pi/2, pi/2). The calculations for arcsine and arccosine use points on the unit circle at x 2 + y 2 = 1. To calculate arcsine in the range [-pi/2, pi/2], we take the angle of points on the half-circle x = sqrt(1 - y 2 ). To calculate arccosine in the range [0, pi], we take the angle of points on the half-circle y = sqrt(1 - x 2 ).


Ex 3.3 Class 11 Maths Question 1.
Prove that:
Lösung.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 2.

Lösung.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 3.

Lösung.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 4.

Lösung.
L.H.S. =

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 5.
Find the value of:
(i) sin 75°
(ii) tan 15°
Lösung.
(i) sin (75°) = sin (30° + 45°)

(ii) tan 15° = tan (45° – 30°)

Prove the following:
Ex 3.3 Class 11 Maths Question 6.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 7.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 8.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 9.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 10.
sin(n +1 )x sin(n + 2)x + cos(n +1 )x cos(n + 2)x = cosx
Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 11.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 12.
sin 2 6x – sin 2 4x= sin 2 x sin10x
Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 13.
cos 2 2x – cos 2 6x = sin 4x sin 8x
Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 14.
sin2x + 2 sin 4x + sin 6x = 4 cos 2 x sin 4x
Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 15.
cot 4x (sin 5x + sin 3x) = cot x (sin 5x – sin 3x)
Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 16.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 17.

Lösung.
Wir haben,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 18.

Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 19.

Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 20.

Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 21.

Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 22.
cot x cot 2x – cot 2x cot 3x – cot3x cotx = 1
Lösung.
We know that 3x = 2x + x.
Deswegen,

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 23.

Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 24.
cos 4x = 1 – 8 sin 2 x cos 2 x
Lösung.

Ex 3.3 Class 11 Maths Question 25.
cos 6x = 32 cos6 x – 48 cos 4 x + 18 cos 2 x -1
Lösung.

We hope the NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3 help you. If you have any query regarding NCERT Solutions for Class 11 Maths Chapter 3 Trigonometric Functions Ex 3.3, drop a comment below and we will get back to you at the earliest.


Mathematica Q&A: Plotting Trig Functions in Degrees

Got a question about Mathematica? The Wolfram Blog has answers! We’ll regularly answer selected questions from users around the web. You can submit your question directly to the Q&A Team using this form.

This week’s question comes from Brian, who is a part-time math teacher:

How do you plot trigonometric functions in degrees instead of radians?

Trigonometric functions in Mathematica wie zum Beispiel Sin[x] und Cos[x] nehmen x to be given in radians:

To convert from degrees to radians, multiply by π &frasl 180. This special constant is called Grad In Mathematica.

The symbol ° is a handy shorthand for Grad and is entered as Esc-d-e-g-Esc. You can also find this symbol in the Basic Math Assistant palette in the Palettes menu of Mathematica.

Using either Grad or °, you can plot trigonometric functions in degrees:

That answers the main question, but here’s a related hint.

When plotting trigonometric functions in degrees, you might also want to manually specify exactly where Mathematica draws tick marks. You can do this using the Ticks option:

(Here, Range[0, 360, 45] specifies the tick marks on the x axis, and Automatisch uses the default tick marks on the ja axis.)

Das Ticks option is very flexible. You can specify where tick marks are drawn, what labels they should have, how long they are, and even colors and styles.

Download the Computable Document Format (CDF) file for this post to see how to get the custom tick marks used in this plot:

If you have a question you’d like to see answered in this blog, you can submit it to the Q&A Team using this form.


Formal Definitions

Consider the following right triangle:

The sides with respect to angle θ heta θ are

sin ⁡ θ = ( opposite ) ( hypotenuse ) = b c cos ⁡ θ = ( adjacent ) ( hypotenuse ) = a c tan ⁡ θ = ( opposite ) ( adjacent ) = b a . Start sin heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac cos heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac an heta &= frac<( ext)><( ext)> = frac. Ende sin θ cos θ tan θ ​ = ( hypotenuse ) ( opposite ) ​ = c b ​ = ( hypotenuse ) ( adjacent ) ​ = c a ​ = ( adjacent ) ( opposite ) ​ = a b ​ .​

We also have the following reciprocal functions


Course Content Menu

Chapter 1 - The Six Trigonometric Functions

LessonsHausaufgabenQuiz
1.1 - The Rectangular Coordinate System1.11.1
1.2 - Angles, Degrees and Special Triangles1.21.2
1.3 - Trigonometric Functions1.31.3
1.4 - Introduction to the Unit Circle1.41.4
Chapter 1 Test ( 15 questions )
Chapter 2 - Trigonometry

LessonsHausaufgabenQuiz
2.1 - Right Triangle Trigonometry2.12.1
2.2 - Other Angles and Trigonometric Functions2.22.2
2.3 - Solving Right Triangles2.32.3
2.4 - Applications2.42.4
Chapter 2 Test ( 18 questions )
Chapter 3 - Radian Measure

LessonsHausaufgabenQuiz
3.1 - Reference Angle3.13.1
3.2 - Radians and Degrees3.23.2
3.3 - Circular Functions3.33.3
3.4 - Arc Length and Area of a Sector3.43.4
3.5 - Velocity3.53.5
Chapter 3 Test ( 22 questions )
Chapter 4 - Graphs of Trigonometric Functions

LessonsHausaufgabenQuiz
4.1 - Graphs of Basic Trigonometry Functions4.14.1
4.2 - Amplitude and Period4.24.2
4.3 - Phase Shift4.34.3
4.4 - Equations of Graphs4.44.4
4.5 - Relations & Functions4.54.5
4.6 - Inverse Trigonometric Functions4.64.6
Chapter 4 Test ( 26 questions )
Chapter 5 - Trigonometric Identities

LessonsHausaufgabenQuiz
5.1 - Proving Identities5.15.1
5.2 - Sum and Difference Formulas5.25.2
5.3 - Double-Angle Formulas5.35.3
5.4 - Half-Angle Formulas5.45.4
5.5 - More Identities5.55.5
Chapter 5 Test ( 22 questions )
Chapter 6 - Trigonometric Equations

LessonsHausaufgabenQuiz
6.1 - Trigonometric Equations6.16.1
6.2 - More Trigonometric Equations6.26.2
6.3 - Trigonometric Equations & Multiple Angles6.36.3
6.4 - Parametric Equations6.46.4
Chapter 6 Test ( 20 questions )
Chapter 7 - Triangles

LessonsHausaufgabenQuiz
7.1 - Law of Cosines7.17.1
7.2 - Law of Sines7.27.2
7.3 - Area of a Triangle7.37.3
7.4 - Vectors7.47.4
Chapter 7 Test ( 27 questions )
Chapter 8 - Polar Coordinates & Complex Numbers

LessonsHausaufgabenQuiz
8.1 - Complex Numbers8.18.1
8.2 - Trigonometric Form of a Complex Number8.28.2
8.3 - Products and Quotients in Trigonometric Form8.38.3
8.4 - Roots of a Complex Number8.48.4
8.5 - Polar Coordinates8.58.5
8.6 - Equations with Polar Coordinates and Their Graphs8.68.6
Chapter 8 Test ( 21 questions )
Trigonometry Final Exam


1.8: Relating Trigonometric Functions - Mathematics

Chapter 4 - Trigonometry and the Unit Circle <- link to CEMC Waterloo

​ 4.1 Angles and Angle Measure - CEMC Radian Measure

Choose at least 5 from Practice section (at least one of 12 and 13)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

Extension # 19 (engineering), 24, C5

Choose at least 5 from Practice section (at least two letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

4.3 Trigonometric Ratios (Unit Circle Worksheet)

Choose at least 4 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 5 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 1 from the Create Connections section

​4.4 Intro to Trig Equations - CEMC - Trig Equations

Choose at least 5 from Practice section (at least three letters each)

Choose at least 4 from the Apply/Extend section (one from Extend)

Choose at least 2 from the Create Connections section

Ch4 Review - ​ Pages 215-217 &ndash 4.1 # 1-6 (at least 3)

​​Ch4 ​Trigonometry Unit Test

Chapter 5 - Trigonometric Functions and Graphs

5.1 Graphing Sine and Cosine Functions

Assigned: Pages 233-237 - # 3, 4cd, 5, 6-10, 12, 14, 15, 18 ,19, C2, C4

5.2 Transformations of Sinusoidal Functions

Assigned: Part 1 - Trig Graphs Practice

Pages 250-255 - # 5, 7, 9, 10, 13, 15, 16, 21, 23, C2, C3

Assigned: Pages 262-265 - Student Choice

5.4 Equations & Graphs of Trig Functions

Assigned: Pages 275-281 - # 1, 3, 7, 8, 10, 11, 17, 19,21, C1, C2

Trigonometry Function and Graphs Review

Ch5 Trig Functions and Graphs Test

Graphing Calculator and/or GEOGEBRA App part of test

Chapter 6 - Trigonometric Identities

6.1a Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 11 1 - 6

6.1b Reciprocal, Quotient, and Pythagorean Identities

Assigned: Pages 296-298 - # 1, 5, 6 (graph calc/app), 7, 9, 12, 14, C1, C2

6.2 Sum, Difference, and Double Angle Identities

Assigned: Pages 306-308 - # 1ace, 2ace, 3, 4ace, 5-8, 10

6.3a Proofs using basic identities

6.3b Proofs using sum and difference identities

6.3c Proofs using double angle identities

Extension page 315 # 16, 17, 18, 19

6.4 Solving Trig Equations using identities

Assigned: Pages 320-321 - # 1, 2acd, 3, 5, 6, 8-12, 15, 16

Assigned: Pages 322-323 - # 1bd, 2cd, 3, 7bc, 8d, 9bc, 11, 12, 13c, 17, 19

Chapter 7/8 - Exponential & Logarithmic Functions

7.3 Solving Exponential Equations: Part 1

​​ Assigned: Pages 364-365 # 1-3, C1, C2

Practice in Study Guide # 1 - 8

Extension page 365 # 16, 17

8.1 Understanding Logarithms

​​ Assigned: Pages 380-382 # 2-7, 12-14

Practice in Study Guide # 1 - 15

Practice in Study Guide # 1 - 4

Extension page 381 # 21, 22, 24

​​ Assigned: Pages 400-403 # 1-3,7-11, 15, C2, C3

Practice in Study Guide # 1 - 13

Practice in Study Guide # 14 - 20

8.4 Solving Exponential Equations: Part 2

​​ Assigned: Pages 412-415 # 2, 7, C1

Practice in Study Guide # 1 - 12

Extension page 415 # 19, 22

8.4 Solving Logarithmic Equations

​​ Assigned: Pages 412-415 # 1ac, 4, 5, 6, 8e

Practice in Study Guide # 1 - 4

Practice in Study Guide # 5 - 16- 4

Extension page 415 # 20, 21

8.3 Law of Logarithms - Change of Base

​​ Assigned: Practice in Study Guide # 1 - 3

Practice in Study Guide # 4, 5

Practice in Study Guide # 6

Extension page 402 # 19, 20

7.1/7.2 Characteristics & Transformations of Exponential Functions

​​ Assigned: Pages 342-343 # 1-4, 5ac

Pages 351-355 # 1abc, 2, 3abc, 4d, 6abc, 7ab, C1, C2b

Practice in Study Guide # 1-3

8.1/8.2 Characteristics & Transformations of Logarithmic Functions

​​ Assigned: Pages 380-381 # 1,b, 7, 9, 10, 15, 16, 17, C1

Pages 389-391 # 1a, 2, 4ab, 5ac, 6ac, 10a Ext 15, 16a, 17

Practice in Study Guide # 1-7

7.1 Applications of Exponential Growth and Decay

​​ Assigned: Pages 342-344 # 6, 7b, 8ac, 9ad, 10acd, 11, 12

8.1-8.4 Application of Logarithmic Scales

​​ Assigned: Selected Problems # 1-11

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part A (Lessons 1 - 6)

Ch7&8 Exponents and Logarithms Test - Part B (Lessons 7 - 10)

Chapter 2 - Radical Functions

2.1 Radical Functions and Transformations

Assigned: Pages 72-77 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

2.2 Square Root of a Function

Assigned: Pages 86-89 : at least 5 from Practice section (all parts)

at least 5 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

2.3 Solving Radical Equations

Assigned: Pages 96-98 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 questions from CC section

Assigned: Pages 99-101 : #1-6 [at least 4 (all parts)]

# 13-15 (pick 2) 16 all 17 or 18

Radical Functions Test - Feb 27/28 (may stay up to 30 minutes extra)

Chapter 9 - Rational Functions <- link to CEMC Waterloo

9.1 Transformations of Rational Functions

Assigned: Pages 442-445 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

# 7, 8, 9 and at least 7 more from Apply/Extend (A/E) section

at least 1 question from Create Connections (CC) section

9.2 Analyzing Rational Functions

Assigned: Pages 451-456 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 9 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 from Create Connections (CC) section

9.3 Connecting Graphs to Rational Equations

Assigned: Pages 465-467 : Practice section #1-6 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 468-469 : #1-11 [at least 10]

Chapter 10 - Function Operations <- link to CEMC Waterloo

10.1 Sums and Differences of Functions

Assigned: Pages 483-487 : Practice section #1-8 (at least 2 letters each)

at least 6 from Apply/Extend (A/E)

at least 2 question from Create Connections (CC) section

10.2 Products and Quotients of Functions

Assigned: Pages 496-498 : Practice section #1-5 (at least 2 letters each)

at least 8 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 question from Create Connections (CC) section

10.3 Composition of Functions

Assigned: Pages 507-509 : Practice section #1-7 (at least 2 letters each)

at least 12 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 510-511 : 10.1 - at least 4 questions

10.2 - at least 4 questions

10.3 - at least 5 questions

Chapter 3 - Polynomial Functions <- link to CEMC Waterloo

3.1 Characteristics of Polynomial Functions

Assigned: Pages 114-117: Practice section #1-4 (at least 2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

Assigned: Pages 124-125: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

Assigned: Pages 133-135: at least 4 from Practice section (2 letters each)

at least 4 from Apply/Extend (A/E)

at least 1 questions from CC section

3.4 Equations and Graphs of Polynomial Functions

Assigned: Pages 147-152: at least 4 from Practice section (2 letters each)


Schau das Video: Symmetrie bei sinx und cosx, trigonometrische Funktionen. Mathe by Daniel Jung (Kann 2022).